INGENIERÍA MECATRÓNICA
NOMBRE DE LA MATERIA: Matemáticas Para Ingeniería
NOMBRE DEL DOCENTE: Ing. García Cuauhtémoc Mariscal
CORTE: 1
PORTAFOLIO DE EVIDENCIA: Funciones de varias variables
NOMBRE Y MATRICULA
• Peña Araiza Guillermo Alonso
(170358)
GRUPO: 5AV
FECHA DE ENTREGA: 12 de marzo de 2019
Integra un portafolio de evidencias que contenga:
a) Un reporte de investigación de 3 situaciones de su entorno en donde interactúen varias variables y se establezca lo
siguiente:
- Descripción de la situación e interacción de sus variables
- Número de variables que interactúan
- Variables dependientes e independientes
1. La empresa en la que trabajo “Placas Termodinámicas” fabricamos accesorios para la instalación de aislante para aviones.
Producimos los siguientes accesorios: Pin Washer que se vende 1 dólar la unidad y parche sellador que se vende en 1.5
dólar la unidad. La capacidad máxima de fabricación es de 1000 unidades, además no se puede fabricar mas de 800 Pin
Washer ni mas de 600 Parche sellador. Placas Termodinámicas vende todo lo que fabrica.
La función que utiliza Placas Termodinámicas para producir y maximizar sus ingresos está dada por:
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 + 𝟏. 𝟓𝒚
Numero de Variable: 2
Donde:
x = Pin Washer
y = Parche sellador
Sabemos que:
x + y ≤ 1000
a) Graficar.
x = 1000 - y
0 ≤ x ≤ 800
y = 1000 - x
x
0
1000
800
400
y
1000
0
200
600
0 ≤ y ≤ 600
b) Determinar cuantos Pin Washer y cuantos Parche sellador deben producir para maximizar los ingresos de Placas
Termodinamicas.
Reemplazamos:
A(0,0)
f(x,y)=x+1.5y
f(0,0) = 0 + 1.5(0) = 0 Dólares
B(0,600)
f(x,y)=x+1.5y
f(0,600) = 0 + 1.5(600) = 900 Dólares
C(400,600)
f(x,y)=x+1.5y
f(400,600) = 400 + 1.5(600) = 1300 Dólares
D(800,200)
f(x,y)=x+1.5y
f(800,200) = 800 + 1.5(200) = 1100 Dólares
E(800,0)
f(x,y)=x+1.5y
f(800,0) = 800 + 1.5(0) = 800 Dólares
Pin Washer es la variable independiente, siendo Parche sellador la variable dependiente y como resultado se deben fabricar
400 Pin Washer y 600 parches sellador para maximizar los ingresos de la empresa en donde trabajo, obteniendo un ingreso
de 1300 dólares.
f(400,600) = 1300 dólares
2. Un cliente le solicita a la empresa Baja Folding Carton en Mexicali, la fabricación de una caja cerrada de un volumen de
160 cm3 empleando tres tipos de materiales. Para la fabricación la empresa Baja Folding Carton tiene el costo del material
para el fondo y la tapa es de $0.18 por cm 2, el costo para el frente y la parte trasera es de $0.16 por cm 2, y el costo del
material para los otros lados es de $0.12 cm 2. Los ingenieros de la empresa quieren minimizar el costo de los materiales.
Para eso deben encontrar las dimensiones de la caja y el costo de la caja.
La función para la fabricación de la está dada por:
C(x,y,z) = 0.18(2xy) + 0.16(2xz) + 0.12(2yz)
C(x,y,z) = 0.36xy + 0.32xz + 0.24yz
Su restricción es:
V(x,y,z) = xyz = 160 cm3
Numero de Variables: 3
Donde:
C = Fabricación Caja
V = Restricción Volumen
Entonces:
1. Despejar una variable de la restricción.
z = 160/xy
2. Sustituir la restricción ya con la variable despejada en la función dada.
C(x,y) = 0.36xy + 51.2/y + 38.4/x
3. Sacar la derivada parcial
2C/2x = 0.36y - 38.4/x2
2C/2y = 0.36x - 51.2/y2
4. Igualar a cero.
2C/2x = 0.36y - 38.4/x2 = 0
2C/2y = 0.36x - 51.2/y2 = 0
5. Despejar una de las variables
0.36y = 38.4/x2 = y = 106.667/ x2
6. Sustituir y encontrar x
0.36x =51.2/(106.667/x2)2
0.36x = 0.0044x4
x(0.0044x3-0.36) = 0
x=0
0.0044x3 – 0.36 = 0
x3 = 0.36/ 0.0044
x= 3√0.36/0.0044 ≈ 4.3088 cm
7. Sustituir y encontrar y
y = 106.667/(4.308)2 = 5.7433cm
8. Sustituir y encontrar z
z = 160/(4.3088)(5.7433) = 6.4632cm
Sabemos que las dimensiones de la caja para su fabricación son:
x = 4.3088 cm y = 5.7433 cm z = 6.4632 cm
Remplazamos:
C(x,y,z) = 0.36xy + 0.32xz + 0.24yz
C(4.3088,5.7433,6.4632) = 0.36(4.3088)(5.7433) + 0.32(4.3088)(6.4632) + 0.24(5.7433)(6.4632)= $26.73
El costo para la fabricación de la caja es de $26.73 el objetivo de minimizar el costo de fabricación fue satisfactoria
para los ingenieros de Baja Folding Carton.
3. La empresa “Las Sombrillas” fabrica frituras, produce churros y duritos me pidió encontrar el costo mensual de los churros
y duros que está produciendo en una de sus fabricas lo cual genera costo distinto en la producción de dichos productos.
El costo de producción para los churros es de $15 el kilo y para los duritos es de $24 el kilo, ya que el costo mensual de la
fábrica es de $4,000.
Estos productos en el mercado tienen un precio de $60 el kilo de churritos y $75 el kilo de duritos.
Numero de variables: 2
Donde:
g = gasto
C = costo
El costo de producción por kilo de churritos la definimos como la variable x y el de los duritos como la variable y.
Entonces la función para la producción de estos productos está dada por: C(x,y) = costo fijo + costo variable
Es decir, que: C(x,y) = 4000 + 15x + 24y
Para encontrar la función de utilidad, primero encontramos la función de ingreso total para los dos tipos de frituras:
i(x,y) = 60x + 75y
Final la utilidad está dada por la diferencia entre:
g (x,y) = ingresos – costos
g (x,y)= 60x + 75y – (4000 + 15x + 24y)
g (x,y)= 45x + 51y – 4000
Encontramos que la x(15, 60, 45) y(24, 75, 51) son el dominio de la función y los rangos son los costos que tiene la empresa
“Las Sombrillas” 4,000. Así que el costo de la producción por kilo de churros es la variable independiente, y para los duritos
es la variable dependiente.
B) Una serie de 5 ejercicios de funciones de tres variables con el siguiente contenido.
- La elaboración manual de la superficie cuadrática, sus curvas de nivel y sus proyecciones en los planos XY, XZ y YZ.
- El dominio y rango de la función.
- La comprobación grafica realizada con software.
1. Consideremos la función f (x, y) = 3 + √1− (x −2)2 / 4 − (y −3)2 / 9 . La función está bien definida si el subradical 1−(x −2) 2
/4−(y −3)2 /9 ≥ 0, entonces el dominio máximo de esta función es el conjunto
Df = {(x, y) : (x −2)2 4 + (y −3)2 9 ≤ 1},
es decir, Df es la región encerrada por la elipse (x −2)2 /4+(y −3)2 /9 = 1 (incluido el borde).
Dominio de la función f (x, y) = 3+ √ 1− (x −2)2 4 − (y −3)2 9 (en celeste)
2. La función z = 1 / x2 + y2 solo se indefine en (0,0), entonces el dominio máximo de esta función es el conjunto Df = R2 −{(0,
0)}.
Dominio de la función z = 1 / x2 + y2 (en celeste)
3. Consideremos la función f (x, y) = 3−(x −2) 2 −(y −2)2. Su dominio máximo es R2. Frecuentemente hacemos la
representación gráfica de f sobre un dominio restringido, por ejemplo sobre el conjunto D = [1, 3]×[1, 3],
Función f restringida al un rectángulo D = [1, 3]× [1, 3]
4. Para dibujar el cilindro de ecuación z = 2cos(x) + 2 primero deberíamos dibujar la curva de ecuación z = 2cos(x)+2; y =
0. Luego, según nuestro convenio, la superficie cilíndrica z = 2cos(x)+2 tiene línea generatriz paralela al eje Y. Para
obtener una parametrización de esta superficie, tomamos x = t y z = 2cos(x)+2. y = s es libre. r (t,s) = (t, s, 2cos t +2), t,s ∈
R,
5. El cilindro de ecuación z = 2 − x 2 es una superficie cilíndrica generada por la parábola z = 2− x 2 , y = 0; con línea
generatriz paralela al eje Y. Para obtener una parametrización de esta superficie, usamos la ecuación de la curva en el
plano X Z, tomanos x = t y z = 2−t 2 . La coordenada y = s es libre. r (t,s) = (t, s, 2− t 2 ), t,s ∈ R.
C) Tres casos de funciones de tres variables donde se determine la continuidad de las trayectorias de sus variables,
justificando la respuesta con la ayuda de la graficacion por medio de software.
1. Estudiar la continuidad de la función
Solución
La función es continua en los puntos que no pertenecen a la circunferencia unidad S = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1}. Sin
embargo, no lo es en los puntos de S pues, si a 2 + b 2 = 1: lım (x,y)→(a,b) f(x, y) = ∞.
2. Estudiar la continuidad de la función
Solución
Basta estudiar la continuidad de la función en el origen. Ahora bien, debido a las desigualdades
3. Estudiar la continuidad de la función
Solución
Necesitamos estudiar únicamente la continuidad de la función en el origen.
Es fácil comprobar que los límites iterados son ambos iguales a cero. Sin embargo, si calculamos el límite a lo largo de
una recta arbitraria y = mx, tenemos:
Como este límite depende del valor de m, deducimos que no existe el límite de la función y, en consecuencia, no es
continua en el origen.
