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listado 9

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
LISTADO 9. INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA. 520145
Tema: Funciones Circulares
1. Determine el valor de las seis funciones trigonométricas para los siguientes ángulos del plano
ubicados en posición normal:
7π
11π
17π
c)
d)
a) − 60◦
b) −
6
4
3
2. Determine el valor de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ ubicado en posición
normal en cuyo lado terminal contiene el punto P :
a)P (4, 9)
c)P (−7, −12)
b)P (−2, 6)
3. En los siguientes ejercicios se da una de las funciones trigonométricas del ángulo α. Con este
valor encuentre el valor de las cinco funciones trigonométricas restantes:
a)
c)
e)
g)
sen(α) = 5/13, P (α) ∈ ICuad.
cos(α) = 7/9, P (α) ∈ IV Cuad.
cos(α) = −7/9, P (α) ∈ IIICuad.
tan(α) = −3/4, cos(α) > 0
b)
d)
f)
h)
cos(α) = −4/5, P (α) ∈ IICuad.
tan(α) = 1/2, sen(α) > 0
tan(α) = −1/2, sen(α) > 0
ctg(α) = 4/3, P (α) ∈ ICuad.
4. Si cos(α) = 3/4 y sen(α) = 2/7 con P (α) ∈ IV cuadrante y P (β) ∈ II cuadrante, determine el
valor exacto de:
a)cos(α + β)
b)sen(α − β)
c)tan(2α)
Señale en qué cuadrante se encuentran los puntos P (α + β), P (α − β) y P (2α).
5. Dado que sen(α) = − 71 , con α ∈ III cuadrante y cos(β) = 23 ,con β ∈ I cuadrante.
Determine el valor exacto de sen(2α + β).
6. Pruebe las siguientes identidades.
a)
1
1
+
= 2sec2 (x)
1 − sen(x) 1 + sen(x)
c)
tan(x) + cotg(x)
=1
sec(x) · cosec(x)
e)sen(3x) = 3sen(x) − 4sen3 (x)
b)sen2
x
2
=
tan(x) − sen(x)
2tan(x)
d)tan(x)·tan(2x)·tan(3x) = tan(3x)−tan(2x)−tan(x)
f )cos
x + y 6
· cos
x − y 6
=
y 1 x
cos
+ cos
2
3
3
7. Determine el valor exacto de:
a)cos(Arccos(2/3) + π/2)
c)tan(2Arctan(3/4) + Arctan(5/12))
b)sen(Arcsen(12/13) + Arcsen(4/5))
13π d)Arcsen sen
8
8. Resuelve las siguientes ecuaciones en R.
a)sen(t) = cos(t)
c)2sen(t) · cos2 (t) =
e)
b)sen(2x) · cos(x) = 0
√
3
cos(t)
2
d)sen(3x) ·
p
cos(x) − cos(x) = 0
p
sec2 (3x) − 1 = 1
f )ctg(x) − tan(x) = 2
π
g)Arcsen(x) + Arcsen(2x) =
3
π
i)Arctan(x) + 2Arccotg(x) =
4
h)Arccos(2x2 − 1) = Arcsen
j)Arcsen
2
x
+ Arcsen
√3 12 x
2
=
π
2
9. Se va a construir un túnel a través de una montaña, desde A hasta B. Un punto C desde el
cual A y B son visibles, está a 385 metros de A y 556 metros de B. ¿Qué longitud tendrá el
túnel si la medida del ángulo ACB es 36◦ ?.
10. Dos personas inician su recorrido desde un mismo punto A. La primera camina 3 km en dirección
norte hasta un punto B y luego se devuelve ciertos kilómetros en dirección S60◦ E. La segunda
persona camina en dirección N 75◦ E. ¿A qué distancia de A se cruzan los recorridos de ambas
personas?.
11. Un barco navega con un rumbo de N 65◦ E, en un instante, en el que se encuentra a 18 millas
naúticas de su punto de partida, cambia su curso a un rumbo N 15◦ O y viaja 22 millas naúticas.
¿Cuál es la distancia en lı́nea recta desde el punto de partida al punto final?.
12. Un explorador se aleja de su campamento C hasta un punto M, situado a 10 km al norte de
C, cuando recibe un mensaje por celular que le indica que debe ir a comprar un medicamento
a uno de los dos pueblos P o Q y regresar al campo C. El pueblo P se encuentra a 8 km en
dirección N 45◦ O de M y Q a 6 km en dirección N 60◦ E de M. Si debe regresar en lı́nea recta
de cualquiera de estos pueblos al campamento, ¿a cuál pueblo le conviene acudir para recorrer
el camino más corto?, ¿cuántos kilómetros debe recorrer?.
13. Determine si las siguientes funciones son pares o impares:
a)f (x) = |2x| − 3cos(4x)
b)f (x) = |x − tan(x)|
14. Bosqueje el gráfico de las funciones, indica perı́odo,
amplitud
y fase.
1
a)f (x) = −3cos(4x)
b)f (x) = cos x + 3
2
1
c)f (x) = sen(3x)
2
1
d)f (x) = sen(3x) + 4.
2
AC/MO/MS/MW/LN/GA/FL/ES.es
26.04.11
2
c)f (x) = sen(3x) + 1
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