Formulariov1

Fórmulas de Cálculo (Derivadas e Integrales)
Versión 1.0
Pag. 1/2
Información: El siguiente formulario se compone de fórmulas matemáticas y algebraicas, pertenecientes a varias áreas (Álgebra, Cálculo, Trigonométrica, etc), con el fin de servir de guı́a o recordatorio al momento
de realizar aplicaciones que las requieran. ¡Recuerda!, es una guı́a no un solucionario.
3
2
2
3
4
4
(x − y)(x + x y + xy + y ) = x − y
CONSTANTES
4
3
2 2
3
4
5
5
(x − y)(x + x y + x y + xy + y ) = x − y


n
X n−k k−1
 = xn − y n ∀n ∈ N
(x − y) 
x
y
k=1
2
2
3
3
(x + y)(x − xy + y ) = x + y
π = 3,14159265359...
e = 2,71828182846...
VALOR ABSOLUTO
x
si x ≥ 0
|x| =
−x
si x < 0
x ≤ |x| y −x ≤ |x|
|x| ≥ 0
|x| = 0 ⇔ x = 0
n
Y
|xk |
k=1
k=1
n
n
X
X
|x + y| ≤ |x| + |y| o
|xk |
xk ≤
k=1
k=1
|xy| = |x||y| o
xk =
REGLAS DE EXPONENTES
4
3
2 2
3
4
5
5
(x + y)(x − x y + x y − xy + y ) = x + y


n
X
k+1 n−k k−1 
(x + y) 
(−1)
x
y
=
k=1
n
n
= x + y ∀ n ∈ N impar


n
X
k+1 n−k k−1 
(x + y) 
(−1)
x
y
=
k=1
n
n
= x − y ∀ n ∈ N par
k=1
n
X
k=1
n
X
a−b
= x
xb
a b
ab
(x ) = x
REGLAS DE LOGARITMOS
c
loga (x) = c ⇒ a = x
loga (xy) = loga (x) + loga (y)
!
x
= loga (x) − loga (y)
loga
y
r
loga (x ) = r loga (x)
ln(x)
loga (x) =
PRODUCTOS BÁSICOS
a(x + y) = ax + ay
(x + y)(x + y) = x
2
2
+ 2xy + y
2
2
= (x + y)
2
2
2
(x − y)(x − y) = x − 2xy + y = (x − y)
(x + c)(x + d) = x
2
CA
H
cos(θ) =
+ (a + c)x + ad
axk = a
n
Y
CA
CA
cot(θ) =
CA
CO
cos(θ + π) = − cos(θ)
(x − y)(x
+ xy + y ) = x
−y
tanh(θ) =
n
sin(θ + nπ) = (−1) sin(θ)
eθ + e−θ
=
eθ − e−θ
tanh(θ)
n
= (−1)
2
2
cosh (θ) − sinh (θ) = 1
π
= 0
2
2
1 − tanh (θ) = sech (θ)
= ∞
2
2
coth (θ) − 1 = csch (θ)
2
!
2n + 1
tan
π
2
q
De tal manera que tomando r =
x2 + y 2 , entonces
θ−
sin(θ) = cos
y
sin(θ) =
r
csc(θ) =
r
y
x
r
sec(θ) =
r
x
y
x
cot(θ) =
cos(θ) = sin
π
sinh(−θ) = − sinh(θ)
2
π
cosh(−θ) = cosh(θ)
θ+
2
sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β)
sinh(α ± β) = sinh(α) cosh(β) ± cosh(α) sinh(β)
tan(α ± β) =
tan(α) ± tan(β)
cosh(α ± β) = cosh(α) cosh(β) ± sinh(α) sinh(β)
1 ∓ tan(α) tan(β)
y
sin 2(θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
El radián es de alta utilidad al medir ángulos, expresándolos en
múltiplos o fracciones de π. Representa el ángulo central de una
circunferencia que abarca un arco de longitud igual al radio. Los
más comunes se muestran en la siguiente gráfica
tanh(α ± β) =
2
2
cos 2(θ) = cos (θ) − sin (θ)
sinh(2θ) = 2 sinh(θ) cosh(θ)
2 tan(θ)
tan 2(θ) =
2
sin (θ) =
2
2
cosh(2θ) = cosh (θ) + sinh (θ)
1 − tan2 (θ)
1 − cos(2θ)
2 tanh(θ)
tanh(2θ) =
2
1 + cos(2θ)
2
1 − cos 2(θ)
1 + cos 2(θ)
α+β
!
α−β
2
α−β
!
α+β
α+β
!
cos(α)−cos(β) = −2 sin
α+β
!
α−β
2
cosh(2θ) + 1
θ
e = cosh(θ) + sinh(θ)
2
!
sin
2
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
tanh(θ) =
α−β
cos
2
ex+ıy = ex (cos(y) + ı sin(y))
sinh(2θ)
2
cos(α) + cos(β) = 2 cos
FÓRMULA DE EÚLER
!
1 + tanh2 (θ)
1
2
sinh (θ) =
(cosh(2θ) − 1)
2
1
2
cosh (θ) =
(cosh(2θ) + 1)
2
cosh(2θ) − 1
2
tanh (θ) =
cosh(2θ) + 1
cos
2
2a
!
cos
2
sin(α) − sin(β) = 2 sin
tanh(α) ± tanh(β)
1 ± tanh(α) tanh(β)
sin(α) + sin(β) = 2 sin
− 4ac se conoce como el discriminante.
tanh(−θ) = − tanh(θ)
cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β)
2
tan (θ) =
b2 − 4ac
eθ − e−θ
!
2n + 1
2
cos (θ) =
q
2
=
IDENTIDADES DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
!
π
cos
eθ + e−θ
1
sinh(θ)
2
x
−b ±
=
cosh(θ)
2n + 1
sin
tan(θ) =
x =
2
sech(θ) =
csch(θ) =
2
ax + bx + c = 0
2
eθ + e−θ
1
n
cos(θ + nπ) = (−1) cos(θ)
tan(nπ) = 0
,k ≤ n
FÓRMULA GENERAL
donde b
eθ − e−θ
=
cosh(θ)
n
cos(nπ) = (−1)
x
Dado
3
3
2
2
3
(x − y) = x − 3x y + 3xy − y
3
2
sinh(θ)
sin(nπ) = 0
(n − k)!k!
n n
X
n
n−k k
(x + y) =
x
y
k=0 k
n
(x1 + x2 + · · · + xk ) =
n
X
n!
n
n
n
=
x1 1 · x2 2 · · · x k
k
k=0 n1 !n2 ! · · · nk !
3
3
2
2
3
(x + y) = x + 3x y + 3xy + y
3
cosh(θ) =
tan(θ + π) = tan(θ)
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
2
2
eθ + e−θ
sec(θ) =
xk
se tiene,
2
eθ − e−θ
sinh(θ) =
sin(θ + π) = − sin(θ)
1
n!
2
(ax + b)(cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd
2
2
2
2
(x + y + z) = x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
tan(θ + 2π) = tan(θ)
coth(θ) =
k
−y
CO
CO
x=1
2
H
tan(θ + nπ) = tan(θ)
n
X
=
(x + y)(x − y) = x
csc(θ) =
a = na
n
loge (x) = ln(x)
sin(θ + 2π) = sin(θ)
cos(θ + 2π) = cos(θ)
H
CO
sin(θ) =
2. Definición como funciones, donde θ es cualquier angulo.
n! =
log10 (x) = log(x)
[cos(α − β) − cos(α + β)]
2
1
cos(α) cos(β) =
[cos(α − β) + cos(α + β)]
2
1
[sin(α + β) + sin(α − β)]
sin(α) cos(β) =
2
1
cos(α) sin(β) =
[sin(α + β) − sin(α − β)]
2
tan(α) + tan(β)
tan(α) tan(β) =
cot(α) + cot(β)
tan(−θ) = − tan(θ)
Utilizando la Hipotenusa y los Catetos es posible calcular:
cos(θ) =
logb (a)
1
sin(α) sin(β) =
2
2
1 + cot (θ) = csc (θ)
cos(−θ) = cos(θ)
xk = x1 + x2 + · · · + xn
logb (x)
=
ln(a)
2
2
sin (θ) + cos (θ) = 1
sin(−θ) = − sin(θ)
tan(θ) =
k=1
k=1
n
n
n
X
X
X
(xk + yk ) =
xk +
yk
k=1
k=1
k=1
n
X
(xk − xk−1 ) = xn − x0
k=1
n
X
(n + 1 − m)
x =
n+m
x=m
n
X
n(n + 1)
x =
2
x=1
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
2
x =
6
x=1
!
n
X
n(n + 1) 2
3
x =
2
x=1
2
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n
a
a a
(x · y) = x .y
!
x a
xa
=
y
ya
a
√
b a
xb =
x
cos α · cos β
2
2
tan (θ) + 1 = sec (θ)
SUMATORIAS Y PRODUCTOS
a
xa
2
H
n
X
= x · x · x···x
|
{z
}
a-veces
a
b
a+b
x ·x = a
x
π
1. Definición por triángulos rectángulos, donde 0 < θ <
sin(α ± β)
tan(α) ± tan(β) =
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
3
2
2
3
4
4
(x + y)(x − x y + xy − y ) = x − y
|x| = |−x|
n
Y
TRIGONOMÉTRICA
!
−θ
e
= cosh θ(θ) − sinh(θ)
Fórmulas de Cálculo (Derivadas e Integrales)
d
LÍMITES
dx
d
1
lı́m (1 + x) x = e = 2,71828...
x→0
1 x
lı́m
1+
= e
x→∞
x
sin x
= 1
lı́m
x→0 x
1 − cos x
lı́m
= 0
x→0
x
ex − 1
lı́m
= 1
x→0
x
x−1
= 1
lı́m
x→1 ln x
dx
d
dx
d
dx
d
f (x + ∆x) − f (x)
df
df
= f
=
lı́m
∆x→0
∆x
0
dx
d
(c) = 0
dx
d
(cx) = c
dx
d
n
n−1
(x ) = nx
v2
v
INTEGRALES
Z
adx = ax
0
(sec(u)) = sec(u) tan(u)u
(csc(u)) = − csc(u) cot(u)u
0
u0
(arcsin(u)) = q
1 − u2
(arc cos(u)) = − q
u0
d
n
n−1 du
(u ) = nu
dx
dx
dF (u)
dF
du
0
0
=
·
= F (u)u (Regla de la cadena)
dx
du
dx
Z
1 + u2
u0
(arccot(u)) = −
dx
1 + u2
d
(arcsec(u)) =
dx
u0
+
si u > 1
= ± q
−
si u < −1
u 2
u −1
−
+
= ∓ q
u 2
u −1
si u > 1
si u < −1
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
u0
d
(ln(a))u
dx
u
u
0
(e ) = e · u
dx
u
u
0
(a ) = a ln(a)u
dx
d
dx
d
(cos(u)) = − sin(u)u
0
dx
1
1 + u2
!
= u arcsec(u) − ln
u2
4
0
,u > 1
, |u| < 1
, |u| > 1
= u arccsc(u) + ln
(u ln(u) − u) =
u
= − arc cos
= arcsin
= ln
u+
a
q
u
a
u2 ± a 2
u2 ± a2
uq
=
q
u+
u2 − 1 =
INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
(2 loga (u) − 1)
u2 ± a 2 ±
a2
2
= u arccsc(u) + arccosh(u)
ln
q
u+
u2 ± a2
2
eau (a sin(bu) − b cos(bu))
au
e
sin(bu) du =
a2 + b2
Z
eau (a cos(bu) + b sin(bu))
eau cos(bu) du =
a 2 + b2
Z
3
sec (u)du =
Z
1
=
Z
sinh(u)du = cosh(u)
1
sec(u) tan(u) +
2
ln|sec(u) + tan(u)|
2
(2 ln(u) − 1)
Z
cosh(u)du = sinh(u)
sin(x) = x −
f (n) (x0 )(x − x0 )n
f 00 (x0 )(x − x0 )2
0
Taylor: f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +
+···+
2!
n!
f 00 (0)x2
f (n) (0)xn
0
Maclaurin: f (x) = f (0) + f (0)x +
+···+
2!
n!
x2
x3
xn
x
e = 1+x+
+
+···+
+···
2!
3!
n!
a−u
2a
OTRAS INTEGRALES
INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Z
sin(u)du = − cos(u)
Z
cos(u)du = sin(u)
Z
2
sec (u)du = tan(u)
Z
2
csc (u)du = − cot(u)
Z
sec(u) tan(u)du = sec(u)
Z
csc(u) cot(u)du = − csc(u)
Z
tan(u)du = − ln|cos(u)| = ln|sec(u)|
Z
cot(u)du = ln|sin(u)|
Z
sec(u)du = ln|sec(u) + tan(u)|
SERIES
u+a
!
a+u
ln
u
du
1
ln
=
q
q
a
u a 2 ± u2
a + a 2 ± u2
a
Z
du
1
arc cos
=
=
q
a
u
u u2 − a 2
u
1
=
arcsec
a
a
u
Z q
uq
a2
a2 − u2 du =
a2 − u2 +
arcsin
2
2
a
Z q
u2 ± a2 du =
q
u + u2 − 1 =
arccsc(u)du =
ln(a)
u2
=
a2 − u2
= arcsec(u) − arccosh(u)
0
u2 − 1
1 − u2
−u0
arcsech(u) = q
dx
u 1 − u2
dx
d
1 + u2
(ln(u) − 1)
u ln(u)du =
u0
u0
q
ln(a)
1
Z
1 + u2
1 − u2
u0
q
arcsec(u)du =
u loga (u)du =
u0
arccoth(u) =
0
(sin(u)) = cos(u)u
Z
1 − u2
Z
Z
csch(u) = − csch(u) coth(u)u
arctanh(u) =
q
arctan(u)du = u arctan(u) − ln
4
dx
d
1 − u2
ln(a)
sech(u) = − sech(u) tanh(u)u
d
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
q
Z
ln(u)du = u ln(u) − u = u(ln(u) − 1)
u
2
0
coth(u) = − csc (u)u
arccosh(u) = q
q
arccot(u)du = u arccot(u) + ln
u−
ln
2a
1
du
Z
u
u
ue du = e (u − 1)
=
2
0
tanh(u) = sech (u)u
d
u cos(u)du = cos(u) + u sin(u)
Z
ln(a)
Z
0
cosh(u) = sinh(u)u
arcsinh(u) = q
q
au
loga (u)du =
DERIVADAS DE FUN. HIPERBÓLICAS INVERSAS
u
(loga u) =
INTEGRALES DE FUNCIONES LOG Y EXP
Z
u
u
e du = e
·
=
du
Z
Z
arc cos(u)du = u arc cos(u) −
ln(a)
au
u
1
= − arccot
a !
a
a
u−a
arccot
a
1
INTEGRALES DE RADICALES
u sin(u)du = sin(u) − u cos(u)
arcsin(u)du = u arcsin(u) +
u
ua du =
u
=
Z
Z
Z
u0
(ln u) =
a2 − u2
2
cot (u)du = −(cot(u) + u)
Z
u
a du =
u2 − a2
du
Z
= ln|u|
Z
1
u2 + a2
Z
du
, n 6= −1
Z
0
sinh(u) = cosh(u)u
Z
du
Z
Z
u
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
d
INTEGRALES DE FUN. HIPERBÓLICAS INVERSAS
u
1
2
sin (u)du =
−
sin(2u)
2
4
Z
u
1
2
cos (u)du =
+
sin(2u)
2
4
Z
2
tan (u)du = tan(u) − u
INTEGRALES DE FUN. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
n+1
Z
u0
csc(u)du = ln|csc(u) − cot(u)|
Z du
(arccsc(u)) =
dx
dx
d
un+1
n
u du =
(arctan(u)) =
DERIVADAS DE FUNCIONES LOG Y EXP
dx
d
Sean f (x), u(x), v(x), w(x) funciones de x
Z
Z
af (x)dx = a
f (x)dx
Z
Z
Z
(u ± v ± w ± · · ·)dx =
udx ±
vdx ±
Z
wdx ± · · ·
Z
Z
udv = uv −
vdu (Integración por partes)
1 − u2
u0
dx
d
dx
d
vu0 − uv 0
=
dx
d
(cot(u)) = − csc (u)u
Z
Z
0
d
dx
Sean u(x), v(x), w(x) funciones de x
d
0
(cu) = cu
dx
d
0
0
0
(u ± v ± w ± · · · ) = u ± v ± w ± · · ·
dx
d
0
0
(uv) = uv + vu
dx
d
0
0
0
(uvw) = uvw + uwv + vwu
dx
d u
2
dx
dx
dx
2
0
(tan(u)) = sec (u)u
d
Pag. 2/2
u0
d
arccsch(u) = −
, u 6= 0
q
dx
|u| 1 − u2
DERIVADAS DE FUN. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
DERIVADAS
Dx f (x) =
Versión 1.0
cos(x) = 1 −
Z
2
sech (u)du = tanh(u)
Z
2
csch (u)du = − coth(u)
Z
sech(u) tanh(u)du = − sech(u)
Z
csch(u) coth(u)du = − csch(u)
Z
tanh(u)du = ln(cosh(u))
Z
coth(u)du = ln|sinh(u)|
INTEGRALES DEFINIDAS, PROPIEDADES
Z b
a
Z b
a
Z b
{f (x) ± g(x)} dx =
Z b
f (x)dx ±
a
cf (x)dx = c
Z b
Z b
g(x)dx
a
f (x)dx, c ∈ R
a
Z b
f (x)dx +
f (x)dx
a
c
Z a
f (x)dx
f (x)dx = −
b
Zaa
f (x)dx = 0
a
Z b
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a) ⇔
a
⇔ m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b], m, M ∈ R
f (x)dx =
Z c
a
Z b
Z
sech(u)du = arctan(sinh(u))
csch(u)du = − arccoth(cosh(u)) =
1 = ln tanh
u
2
x3
x5
+
3!
x2
+
arctan(x) = x −
Sugerencias y comentarios: [email protected]
x2
2
x3
3
Z b
a
Z b
g(x)dx ⇔
a
⇔ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b]
f (x)dx ≤
f (x)dx ≤
Z b
|f (x)|dx si a < b
a
2n−1
n−1 x
+ · · · + (−1)
(2n − 1)!
2n−2
n−1 x
−
+ · · · + (−1)
4!
6!
(2n − 2)!
n
x3
x4
n−1 x
+
−
+ · · · + (−1)
3
4
n
2n−1
x5
x7
n−1 x
+
−
+ · · · + (1)
5
7
2n − 1
5!
x4
2!
ln(1 + x) = x −
Z b
a
Z
−
x7
7!
x6
.
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez