Programación Lineal Método Simplex Solución con Solver Forma Estándar Es una forma particular de un problema de programación lineal en la cual la función objetivo debe ser Maximizada, solamente existen restricciones de igualdad y todos los lados derechos de las restricciones y las variables son no negativas. Variables de igualación Variable Floja o de holgura: variable no negativa que se agrega al lado izquierdo de una restricción “menor o igual” para convertirla en igualdad. Variable superávit o de excedente: variable no negativa que se resta del lado izquierdo de una restricción “mayor o igual” para convertirla en igualdad. Normalmente se representan por la letra S Enunciado: Cualquier restricción puede ser convertida en igualdad sumando una variable de holgura no negativa del lado izquierdo. Cualquier restricción se puede convertir en igualdad restando una variable de excedente no negativa del lado izquierdo Forma Estándar Ejemplo: Colocar en forma estándar el siguiente sistema lineal: Max X X 1 2 B.R. 8x1 7x2 56 -6x1 - 10 x2 -60 x1 6 - x1 x2 6 x1,x2 0 Forma Estándar Max X X 1 2 B.R. 8x1 7x 2 56 - 6x1 - 10 x 2 - 60 x1 6 - x1 x2 6 x1, x 2 0 4 restricciones con 2 variables Max x1 + x2 8x1 + 7x2 + S1 = 56 6x1 + 10x2 + S2 = 60 x1 + S3 = 6 -x1 + x2 - S4 = 6 4 restricciones con 6 variables Ejemplo: Una fábrica de TV’`s produce 2 tipos de televisiones, el Astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada tipo de televisor y dos departamentos; ambos intervienen en la producción de cada aparato. La capacidad de la línea de producción Astro es de 70 TV/día y la de Cosmo es de 50. En el departamento A se fabrican los cinescopios, en ese departamento los TV Astro requieren 1 hr./hombre de trabajo y los Cosmo 2 hrs./hombre, y pueden asignarse un máximo de 120 hrs./día. En el departamento B se construye el chasis, este es igual para ambos y consume 1 hrs./hombre c/u y se pueden asignar 90 hrs./día. La utilidad por aparato es de $20.00 para Astro y $10.00 para Cosmo. Ejemplo: Hrs./ aparato Astro A Cosmo C Disponibilidad 1 2 120 1 1 90 Capacidad 70 50 Utilidad 20 10 Departamento A Departamento B Planteamiento: Max 20A 10C BR A 2C 120 Depto. A A C 90 Depto. B A 70 Cap. A C 50 Cap. B A, C 0 Ejemplo: Forma estándar: Max 20A + 10C A + 2C + S1 = 120 A + C + S2 = 90 A + S3 = 70 C + S4 = 50 Representación gráfica C 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 A C 90 80 70 60 II S4 = 0 III 50 S1 = 0 40 30 IV A=0 S2 = 0 V Punto óptimo A=70, C=20 20 10 0 S3 = 0 I 10 20 30 C=0 40 VI 50 60 70 80 90 100 110 120 A Variables Básicas: son aquellas variables que en un vértice son diferentes de 0. Variables no básicas: son aquellas que en un vértice tienen valor igual a 0. Para cualquier problema de PL escrito en forma estándar con restricciones de igualdad, el número de variables positivas en cualquier vértice es igual o menor que el número de restricciones. Definición Representación gráfica X2 Max X X 1 2 9 8 4 B.R. 8x1 7x2 56 -6x1 - 10 x2 -60 x1 6 - x1 x2 6 x1,x2 0 7 6 5 2 4 (1) (2) (3) (4) 3 1 2 3 1 0 1 2 3 4 5 X1 6 7 8 9 10 11 X2 Región factible II III IV P1 V I S1 , S2 , S3 , S4 0 X1 Vertice I II III IV V Variables Nulas X1 , X2 X1 , S2 , S4 S1, S2 S1, S3 X2, S3 Variables positivas S1, S2, S3, S4 X2, S1, S3 X1, X2, S3, S4 X1, X2, S2, S4 X1, S1, S2, S4 No. De positivas 4 3 4 4 4 Vértice degenerado Conteo de positivas en vértices Definición: El algoritmo Simplex es un método algebraico sistemático que examina los vértices de un conjunto factible de programación lineal en busca de una solución optima. En particular el método comienza con la determinación de un vértice inicial y luego recorre la región factible hasta encontrar la solución optima basado en los costos de oportunidad. Definición: Cada vértice se representa algebraicamente como una clase de solución particular de un conjunto de ecuaciones lineales Cada movimiento en la secuencia se llama ITERACIÓN o PIVOTEO. El modelo utiliza la forma estándar. Método Simplex II S4 = 0 III Punto óptimo A=70, C=20 S1 = 0 IV A=0 S2 = 0 V S3 = 0 I C=0 VI Herramienta Solver Es una de las herramientas que proporciona Excel. Consiste en identificar en una hoja de cálculo normal, las celdas que representaran las variables de decisión e introducir la función objetivo y las restricciones en función de estas celdas. Una vez identificados se ejecuta la herramienta Solver, indicando si el sistema se desea maximizar o minimizar y se obtienen las respuestas al sistema. Herramienta Solver Herramienta Solver Herramienta Solver Herramienta Solver Herramienta Solver Se colocan las variables de decisión Herramienta Solver Se coloca la celda en donde el objetivo Se escoge el objetivo delesta problema Se colocan las restricciones Herramienta Solver Ejemplo: Respuesta de una aplicación Solver (prob 3-4) A= C= 70 20 Max 1600 Depto A Depto B Cap.linea Astro Cap. Linea Cosmo 110 90 70 20 120 90 70 50 Ejemplo: La confederación agrícola sur esta formada por tres pequeñas comunidades, la planeación global del grupo se hace en una oficina de coordinación técnica. En la actualidad planean la producción agrícola para el próximo año. La producción esta limitada tanto por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas asigne. Comunidad Terreno disponible (acres) Asignación de agua (piesacre) 1 400 600 2 600 800 3 300 375 Ejemplo: Los tipos de cultivo adecuados para la región incluyen remolacha, algodón y sorgo, que son precisamente los que están es estudio para la estación venidera. Los cultivos difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de agua. Además el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la Confederación puede dedicas a estos cultivos Cultivo Cantidad máxima en acres Consumo de agua (acrepie/acre) Rendimiento neto ($/acre) Remolacha 600 3 1000 Algodón 500 2 750 Sorgo 325 1 250 Ejemplo: Comunidad agrícola Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la confederación no podrá utilizar todo el terreno irrigable para los cultivos de la próxima temporada, para asegurarse la equidad entre las tres comunidades han acordado que cada uno sembrará la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Por ejemplo la comunidad 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces la comunidad 2 deberá sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que la comunidad 3 sembrará 150 de sus 300 acres. Cualquier combinación de estos cultivos se pude sembrar en cualquiera de las granjas. El trabajo al que se enfrenta la oficina es asignar cuantos acres deberán sembrarse en cada comunidad cumpliendo con las restricciones. TAREA PROBLEMA 1 Un problema de producción. Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier combinación de cuatro productos diferentes (A, B, C, D). Para cada producto siempre se requiere invertir tiempo en cuatro máquinas distintas, el cual está expresado en minutos / kilogramo de producto, como se puede apreciar en la siguiente tabla. Cada máquina tiene una disponibilidad de 60 hrs. /semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $9, $7, $6 y $5 por kilo respectivamente. Los costos variables de mano de obra son de $2 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $3 por hora para las máquinas 3 y 4. Los costos de material para cada kilo del producto A son de $4. Los costos de material para cada kilo de los productos B, C y D son de $1. Formule el modelo de PL que maximice las ganancias, dada la demanda máxima del producto que se muestra a continuación y resuélvalo. PRODUCTO A B C D 1 5 3 4 4 MÁQUINA 2 3 10 6 6 4 5 3 2 1 4 3 8 3 2 DEMANDA MÁXIMA 400 100 150 500 TAREA PROBLEMA 2 Un problema de producción. Un fabricante tendrá que atender cuatro pedidos de producción A, B, C, y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo utilizado para completar cada trabajo en uno de estos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo de A puede hacerse en 8 horas en el taller 1 y una tercera parte del trabajo de C puede hacerse en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminación de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisión, formule el PL para este TIEMPO REQUERIDO (hrs.) problema y resuélvalo. COSTO POR TIEMPO DE TALLER DISPONIBLE (hrs.) TALLER A B C D HORA DEL TALLER ($) 1 32 151 72 118 89 160 2 39 147 61 126 81 160 3 46 155 57 121 84 160
