Subido por Carlos Linares

Matematica 1 cuadernillo

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E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Nombre:
Cuadernillo de Matemática para
1º año
2016
Prof. Guadalupe Villa del Prat
1
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Contenidos:
Aritmética:
Números Naturales
Números primos y no primos. Factores. Múltiplos de un número. Múltiplos comunes de varios
números. Mínimo común múltiplo. Criterios de divisibilidad. Divisores comunes de varios
números. Máximo común divisor.
Números enteros
Propiedad asociativa y conmutativa de la suma y la multiplicación.
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
Representación de números enteros en la recta numérica. Orden. Adición y sustracción.
Multiplicación y división de números enteros. Potenciación y radicación de números enteros.
Propiedades de las operaciones. Cálculos combinados. Orden algebraico.
Números racionales
El orden en Q. Relación entre escritura fraccionaria y escritura decimal. Expresión decimal finita
y periódica de un número racional. Operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y
división.
Álgebra:
Uso de las letras
Lenguaje coloquial y algebraico. Fórmulas en N: Producción de fórmulas que permitan calcular
el paso n de un proceso que cumple una cierta regularidad
Fórmulas y Ecuaciones
Equivalencia entre las diferentes escrituras de las fórmulas. Propiedad asociativa y conmutativa
de la suma y la multiplicación. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma. Ecuaciones.
Gráficos cartesianos: Lectura, interpretación y producción de gráficos cartesianos. Ubicación
de puntos en el plano. Tablas y pares ordenados.
Geometría:
Perímetro y área.
Perímetro. Longitud de la circunferencia.
Figuras equivalentes. Áreas de triángulos y cuadriláteros. Área del círculo y de las figuras
circulares. Áreas laterales y totales de prismas, cilindros y pirámides. Volumen
Ángulos
Clasificación de ángulos según su amplitud.
Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y ángulos adyacentes.
Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos entre paralelas cortados por una transversal.
Sistema de medición de ángulos. Suma y resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
Triángulos
Suma de ángulos interiores de un triángulo. Propiedad del ángulo exterior de un triángulo.
Relación entre los ángulos de un triángulo y el lado opuesto.
Teorema de Pitágoras. Relación entre los lados y la diagonal de un rectángulo.
Rectas y puntos notables del triángulo.
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Matemática – 1º año
Aritmética
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Matemática – 1º año
NÚMEROS NATURALES
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Elementos de la multiplicación:
Elementos de la división entera
División exacta: Una división es exacta cuando su resto es cero.
6
2
6
3
0
3
0
2
Un número es divisor de otro cuando al hacer la división, el resto es cero.
23=6
2 “es divisor de” 6
3 “es divisor de” 6
6 “es múltiplo de” 2
6 “es múltiplo de” 3
2 “divide a” 6
3 “divide a” 6
6 “es divisible por” 2
6 “es divisible por” 3
Actividad 1: Encontrar al menos dos divisores para cada número. Para ello,
Escribirlos como producto entre otros dos:
Ejemplo: 36 = 9 x 4  9 es divisor de 36 y 4 es divisor de 36
a) 72
b) 28
c) 150
d) 143
e) 12
f) 120
g) 1024
h) 75
i) 73
j) 459
k) 17
l) 16
Divisores
Para encontrar todos los divisores de un número, hay que escribir todas las
multiplicaciones posibles. Ejemplo:
70 = 1 . 70
2 . 35
5 . 14
7 . 10
Los divisores de 70 son: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35 y 70
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Matemática – 1º año
Actividad 2: Encontrar todos los divisores de:
a) 12
b) 18
c) 35
d) 67
Todo número es divisible por 1
Todo número es divisible por sí mismo (salvo el 0)
Números primos y compuestos
 Si un número natural tiene sólo dos divisores, ese número es primo.
 Si un número natural tiene más de dos divisores, ese número es compuesto.
 El 1 no es ni primo ni compuesto.
Actividad 3: Encontrá multiplicaciones, con la mayor cantidad posible de factores, que den:
a) 24
b) 44
c) 45
d) 60
e) 36
f) 14
g) 13
h) 130
i) 1
j) 12
k) 17
FACTOREO
Factorear un número es escribirlo como producto entre factores primos.
28
14
7
1
2
2
7
36 2
18 2
9 3
3 3
1
36 = 22  32
28 = 22  7
Actividad 4: Descomponer los siguientes números como producto entre factores
primos:
a) 25
b) 144
c) 225
d) 75
e) 29
f) 245
g) 113
h) 735
i) 84
j) 495
k) 35
l) 27
Propiedad fundamental de la aritmética: Todo número natural puede
escribirse de manera UNICA como producto entre factores primos (salvo por
el órden)
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Algunos criterios de divisibilidad
 Un número es divisible por 2 cuando la última cifra es par
 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3, 6 o 9
 Un número es divisible por 4 cuando las dos últimas cifras son múltiplo de 4
 Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5
 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3
 Un número es divisible por 7 cuando el resultado de separar la última cifra, multiplicarla por dos
y restarla al resto del número, da como resultado un múltiplo de 7
 Un número es divisible por 9, cuando la suma de sus cifras es 9
 Un número es divisible por 10 cuando termina en 0
Actividad 5: Criba de Eratóstenes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
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Matemática – 1º año
Actividad 6: Encontrar la mayor cantidad de divisores de:
a) 72 =
b) 100 =
c) 54 =
d) 48 =
e) 135 =
Actividad 7: Indicar V o F
Es divisible por…
273
1.540
210
385
474.747
2
3
5
7
Problema 8: Encontrá todos los divisores de 210
Problema 9: Encontrá todos los divisores de los siguientes números:
a) 144
c)64
e) 280
b) 61
d)625
f) 120
Problema 10: Encontrar los divisores comunes para cada par de números:
c) 84 y 105
c)80 y 72
e) 40 y 63
d) 36 y 84
d) 180 y 216
f) 256 y 56
Múltiplos y divisores comunes
Para encontrar el DCM (divisor común mayor) entre dos números, hay que
multiplicar los factores que aparecen en ambas descomposiciones.
Ejemplo
72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
60 = 6 x 10 = 2 x 3 x 2 x 5
El divisor común mayor entre 72 y 60 es 2 x 2 x 3 = 12
Para encontrar el MCM (múltiplo común menor) entre dos números, hay que
multiplicar todos los factores que aparecen en alguna de las dos
descomposiciones.
Ejemplo
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
60 = 2 x 3 x 2 x 5
El múltiplo común menor entre 72 y 60 es 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360
Problema 11: Para su cumpleaños María compró dos tipos de caramelos: 48 de frutilla y 54 de
ananá. Quiere repartirlos en bolsitas de la siguiente manera:
Todas las bolsitas deben contener la misma cantidad de caramelos de frutilla.
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T odas las bolsitas deben contener la misma cantidad de caramelos de ananá.
No es necesario que en cada bolsita haya la misma cantidad de caramelos de cada gusto.
¿Cuántas bolsitas necesita y cuántos caramelos de cada gusto podría poner en cada uno? ¿Hay
una única respuesta?
Problema 12: José tiene en su colección, 56 monedas nacionales y 32 monedas importadas. Las
quiere acomodar en cajitas por separado, y que en cada cajita haya la misma cantidad de
monedas ¿Cuántas monedas debe poner en cada cajita para que no quede ninguna afuera y que
cada caja tenga la mayor cantidad de monedas posible? ¿Cuántas cajitas necesita?
Propiedad: La suma de un múltiplo de un número A, es múltiplo de A
Propiedad: Si se multiplica un múltiplo de B por un número natural, el
resultado es múltiplo de B
Actividad 13: Sin hacer la cuenta, indicá cuales de las siguientes divisiones tienen resto
cero. Justificá tu respuesta.
a) 33.334.621 : 3
b) (15 x 8 + 2) : 3
c) 66.344.120 : 6
d) 1.350 : 3
e) 89.977 : 5
f) 3.234 : 6
Actividad 14: Sin hacer los cálculos, averiguá cuál será el resto al dividir por 5 el resultado de
los siguientes cálculos:
a) 34 x 5 =
b) 34 x 5 + 1 =
c) 34 x 5 + 5 =
d) 34 x 5 + 10 =
e) 34 x 5 + 11 =
f) 34 x 5 + 15 =
g) 34 x 5 + 17 =
h) 34 x 5 + 12 x 5 =
i) 3 x 15 + 10 x 11=
Actividad 15: Sin hacer los cálculos, averiguá cuál será el resto de las siguientes divisiones:
a) (18 x 20 + 15) : 3
d) (18 x 20 + 15) : 6
g) (18 x 20 + 15) : 10
b) (18 x 20 + 15) : 4
e) (18 x 20 + 15) : 8
h) (18 x 20 + 15) : 12
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c) (18 x 20 + 15) : 5
f) (18 x 20 + 15) : 9
i) (18 x 20 + 15) : 15
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NÚMEROS ENTEROS.
Problema 1:
Completá el siguiente cuadro de modo que la suma de los números de cada fila,
columna o diagonal sea siempre la misma.
19
8
6
14
10
7
16
11
9
18
4
Problema 2:
Melisa fue a la librería. Compró 3 marcadores que costaban $2 cada uno, 2 cajas de
hojas de $20 y 4 mapas de $1. Vio que la docena de lápices costaba $10, y decidió llevar
media. Al llegar a la caja presentó 2 cupones que decían “$5 de descuento en tu
próxima compra”
Siempre muy ordenada con su economía, en su casa quiso revisar la cuenta. Para esto
planteó sus gastos en un cálculo. Lo que escribió fue:
3 . 2 + 2 . 20 + 4 . 1 + 10 : 2 – 5 . 2 =
Hizo la cuenta con su celular y le dio…
a) ¿Es posible este resultado?
b) ¿Cuál fue el error?
En general, cuando hay que resolver cálculos donde aparecen varias operaciones sin tener la
referencia de un problema, se resuelve en el siguiente orden
En el caso en que se necesite modificar este orden, se utilizan paréntesis y lo que está dentro de
éstos se debe resolver primero.
Por ejemplo, para indicar que a 2 se le suma 3 y el resultado se multiplica por 4, se escribe (2 +
3) x 4, que es igual a 20.
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Matemática – 1º año
Problema 3: Resolver los siguientes problemas planteando un solo cálculo en
cada caso
a) Marcos recibió $ 500. Le dio la mitad a su hermano y luego compró 2 libros
que costaban $15 cada uno ¿Cuánto dinero le queda?
b) Facundo colecciona revistas de historieta. Tenía 45. Luego su abuela le
regaló una cantidad igual a la tercera parte de las que tenía. Como algunas
estaba repetidas, decidió regalárselas a dos de sus amigos (les dio 4 a cada
uno) ¿Cuántas revistas tiene ahora?
c) Después de cobrar una deuda, Nico utilizó ese dinero para comprarse ropa.
Vio pantalones a $50 y compró 2. Las remeras costaban $12 y eligió 3. A la
vuelta viajó en taxi y pagó $14. Al llegar a su casa todavía tenía $135
¿Cuánto dinero había cobrado?
Problema 4: Uno solo de estos cálculos da como resultado 900. ¿Cuál es? ¿Cuál
es el resultado de los otros cálculos?
a) 99 - 9 x 4 + 6
b) (99 - 9) x (4 + 6)
c) 99 - 9 x (4 + 6)
d) (99 - 9) x 4 +
Problema 5: Colocá paréntesis donde sean necesarios para que la igualdad sea
verdadera en cada caso
a) 36 + 4: 4 - 5 = 5
b) 7-7 x 15 + 6 = 0
c) 36 + 4 : 4 – 5 = 32
d) 12 : 3 x 2 = 8
e) 49 + 7: 7 -7 = 1
Actividad 6: Resolvé:
A:
B:
C:
D:
E:
(25 – 13 ) : 2 + 4 . 2 =
7. 2 – 2 . ( 8 – 2 . 3 ) + 9 : ( 5 – 2) =
16 : 4 : 2 + 16 : 4 . 2 – 16 : ( 2 + 2 ) : 2 =
18 . ( 7 – 3 . 2 ) – 6 . ( 5 – 1 ) : 8 =
9+3.(4.3–6.2)+2.9:3=
Actividad 7: Coloca paréntesis en el lugar indicado para que dé el resultado
exacto.

12 – 2 . 2 + 3 =
23

12 – 2 . 2 + 3 =
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12 – 2 . 2 + 3 = 50
12 – 2 . 2 + 3 = 2
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El hombre que Calculaba
El Hombre que Calculaba es una novela de Malba Taham que cuenta la historia
de dos beduinos que, camino a Bagdad, se enfrentan con diferentes problemas.
En el capítulo 7, llama la atención de Beremis Samir, El Hombre que Calculaba,
el nombre de una tienda: “Los Cuatro Cuatros”
Beremis observa que, con cuatro cuatros, haciendo operaciones sencillas se
pueden obtener todos los números del 0 al 10
Acá te presentamos un fragmento de ese capítulo.
Leelo y resolvé la actividad propuesta:
CAPÍTULO VII (fragmento)
En el cual vamos a la calle de los mercaderes. Beremís y el turbante azul.
El caso de los cuatro cuatros. El problema del mercader sirio. Beremís
explica todo y es generosamente recompensado. Historia de la “prueba
real” del rey de Yemen.
Algunos días después, terminados los trabajos que diariamente hacíamos en el
palacio del visir, fuimos a pasear por el suque de los mercaderes.
Aquella tarde, la ciudad presentaba un aspecto febril, fuera de lo común. Era que
por la mañana habían llegado dos grandes caravanas de Damasco.
Los bazares aparecían llenos de gente; los patios de los almacenes estaban
atestados de mercaderías; los fieles rezaban en las puertas de las mezquitas. Por
todas las calles se veían los turbantes blancos de los forasteros, y no eran solo los
turbantes los que nos parecían blancos, sino que todo se nos presentaba de ese
color; daba la impresión de que la gente caminara en puntas de pies. Todo estaba
impregnado de un fuerte aroma de áloe, de especias, de incienso, de mirra; parecía
que se anduviera por una inmensa droguería.
Los vendedores pregonaban sus mercaderías, aumentando su valor con elogios
exagerados, para los que es tan fértil la imaginación árabe.
- ¡Este rico tejido, es digno del profeta!
- Amigo. ¡Es un delicioso perfume, que aumentará el cariño de vuestra esposa!
- Reparad, oh sheik, en estas chinelas y en este lindo “cafetán” que los dijins
recomiendan a los ángeles.
Se interesó Beremís por un elegante y armonioso turbante azul claro, que un
sirio, medio jorobado, ofrecía por 4 dracmas. La tienda de ese mercader era muy
original, pues todo allí (turbantes, cajas, pulseras, puñales, etc.) se vendía por 4
dracmas. Había un letrero que, en caracteres árabes decía: Los cuatro cuatros
Al ver a Beremís interesado en adquirir el turbante azul, objeté:
- Juzgo una locura el comprar ese lujo. Tenemos poco dinero y no hemos pagado
aún el hospedaje.
- No es el turbante lo que me interesa –retrucó Beremís-; observo que la tienda de
este mercader se llama “Los cuatro cuatros”. Hay en ello una gran coincidencia,
digna de mi atención.
- ¿Coincidencia? ¿Por qué?
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Matemática – 1º año
- En este momento, “bagdalí” –replicó Beremís- la leyenda que figura en ese
letrero me recuerda una de las maravillas del cálculo. Podemos formar un
número cualquiera, empleando solamente cuatro cuatros, ligados por signos
matemáticos.
Y antes de que le interrogase sobre aquel enigma, Beremís explicó, dibujando en
la fina arena que cubría el piso:
- Quiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir: 44  44  0
Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero. Pasamos ahora
al número 1. Esta es la forma más cómoda: 44  44  1
- ¿Quiere ver ahora el número 2? Fácilmente se usan los cuatro cuatros
escribiendo: 4  4  4  4  2
- El 3 es más fácil todavía. Basta escribir la expresión: 4  4  4  4  3
Repare en que la suma de 12 dividida por 4, da un cociente 3. Resulta así el
número 3 formado por cuatro cuatros.
- ¿Cómo formareis el número 4? –pregunté.
- Muy fácilmente –dijo Beremís-. El número cuatro puede formarse de varias
maneras; una de ellas sería la siguiente: 4  4  4  4  4
En la que el segundo sumando vale cero, y su suma, por lo tanto, vale 4.
Noté entonces que el mercader sirio seguía atento, sin perder palabra, la
explicación de Beremís, como si mucho le interesasen las expresiones aritméticas
formadas por los cuatro cuatros. Beremís continuó:
- Para formar el número 5, por ejemplo, no hay dificultad. Escribimos:
4x4  4  4  5
En seguida pasamos al 6: 4  4  4  4  6
Una pequeña alteración de la expresión anterior la convierte en 7: 44  4  4  7
Y de manera más simple logramos el 8: 4  4  4  4  8
El nueve no deja de ser interesante: 4  4  4  4  9
Y ahora una expresión igual a 10 formada por los cuatro cuatros: 44  4  4  10
Actividad 8: Escribí los números del 0 al 10 con cinco cincos
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OPERACIONES EN Z:
Números opuestos:
Se encuentran a la misma distancia respecto del cero
La suma de dos números opuestos da cero, es decir que al resolver una suma en la que hay
números opuestos, se puede cancelar
Ejemplo:
a  a  b  c  b  b  c 
a  a  b  c  b  b  c  b
Actividad 1: Resolvé:
a) – 4 + 8 – 5 + 3 + 5 – 8 =
b) 2 + 37 + 5 – 15 +12 – 17 + 15 – 36 =
Recuerda… Si el opuesto de a es – a,
entonces el opuesto de – a es –(-a) = a
+ delante del ( ) confirma su interior
– delante del ( ) es el opuesto del interior
Ejemplo:
8– ( 2 – 5 ) =
8– (– 3) =
8+3
O lo que es lo mismo…
8– ( 2 – 5 ) =
8–2+5=
8+3=
El opuesto de 2 es – 2 y
el opuesto de – 5 es + 5
VALOR ABSOLUTO: El VALOR ABSOLUTO de un número, o MÓDULO es la
distancia desde ese número a cero
3  3
3 3
Todo número que se encuentre a la derecha de otro en la recta numérica es MAYOR que
ese otro:
 1  2
32
1 0
 2  3
Actividad 3: En el hall de un edificio (planta baja) dos personas llaman
simultáneamente respectivos ascensores, el de la izquierda (A) se encuentra en el
séptimo subsuelo (piso -7) y el de la derecha (B) en el tercer piso (piso 3).
a) ¿Cuál de ellos llegará antes?
b) ¿Cómo puedes justificarlo?
c) Si el ascensor A se encuentra en el quinto subsuelo (-5) y el de la derecha (B) en
el 5º piso. ¿Cuál llega antes? Justificarlo.
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Suma Algebraica
Observa el corte de la siguiente costa: Parte del terreno se encuentra sobre el nivel del
mar y parte debajo de él. El nivel del mar es origen de medición.

Si trepamos veinte metros de la colina y luego 30 metros llegaremos al metro 50.

Si descendemos diez metros y luego descendemos otros 30 metros llegaremos a los
40 metros por debajo del nivel del mar.
* 0  3050 
Dos números con igual signo se suman y el resultado lleva el mismo signo
*  10 30 40
Si trepamos 50 m. y descendemos 20 m., llegaremos a los 30m por sobre el nivel del
mar.
Si descendemos 60 m. y luego trepamos 25 metros, llegaremos a los 35m por debajo del
nivel del mar.
Si trepamos 20 m. y descendemos 60 m., llegaremos a los 40m por debajo del nivel del
mar.
* 50 - 20  30 
 Dos números con diferente signo se restan y el resultado lleva el signo
* -60  25  -35 
del de mayor valor absoluto
* 20 - 60  -40

Actividad 4: Resolver:
a) 7 – 5 =
d) 30 – 40 =
b) 1 – 10 =
e)30 – 10 =
c) 20 + 20 =
f) 4 – 20 =
g) 5 – 5 =
h) 1 + 3 – 1 =
i) 8 + 3 – 2 =
j) 12 – 12 =
k) 5 – 20 =
l) 20 + 30 =
m) 30 – 20 =
n) 20 – 20 =
Actividad 5: Completar con >, < o = resolviendo previamente cada cálculo
–8+2
Siguiente de 2
|–2|
5 – (– 2 + 5)
Anterior de – 8
Opuesto de 4
5 – (–2)
Siguiente de – 2
|2|
5 + (– 2 + 5)
–7
|–4|
Actividad 6: Resolver:
a) |3| =
c) 5 – (– 2 + 4) =
b) | – 8 + 2| =
d) – ( 3 – 5) + (– 2 – 3) =
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e)5 + (– 2) – (– 2) =
f) Anterior de – 4 =
14
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Actividad 7: Resolver:
a) 13 – ( – 5 ) + ( – 16 + 3 ) =
b) 27 – ( – 8 – 8 ) + ( 15 – 16) =
c) 27 – ( – 8) + ( – 8 ) – ( + 8 ) =
d) 27 – ( 8 – 15 – 16 ) =
e)27 – [ 8 – ( 15 – 16) ] =
f) – 14 – [ – 3 + (– 8 + 3 ) – 2] + 4 =
g) – ( 4 – 5 ) – [ – 9 – (– 3 + 6 ) – 1] + 2 =
h) – [ 30 – ( 4 + 16 ) – 1 ] – (– 36 + 96) =
Actividad 8: Resolver:
a) – 3 + ( - 2) – (- 4) =
b) (- 17) + (- 6) – 5 =
c) (- 4) – 5 + ( -3) =
d) 25 + (-9)- (-3) =
e) – 12 – (-15) – 18 =
f) (-21) - 37 + 18 =
Multiplicación y división con números enteros
Regla de los signos para la multiplicación
Si se multiplican dos números positivos, el producto es positivo
Ejemplo: 5 . 8 = 40
+.+=+
Si se multiplican dos números negativos, el producto es positivo
Ejemplo: –3 . (–5) = 15
–.–=+
Si se multiplica un número positivo con un número negativo, el
producto es negativo. Ejemplo: –3 . 4 = –12
–.+=–
+.–=–
Actividad 9: Completar con el número entero negativo o positivo que falta
a) (– 4) . ____= –8
b) ____ . (–2) = 0
c) ____ . (–10) = 20
d) ____ . (–6) = –24
e)___ . 8 = –32
f) 5 . ____ = –15
División
La regla de los signos para la multiplicación de números enteros, es la misma que para
la división.
Actividad 10: Completar:
a) (–20) : (–5) = ____
b) 22 : ____ = – 11
c) 40 : (–4) = ____
d) 30 : (–6) = ____
e) 15 : ____ = –5
f) 33 : 3 = ____
Actividad 11: Resolver los siguientes cálculos combinados:
a)
b)
c)
d)
e)
5 . (– 3) – 7 + 1 0 : 2 + 3 =
30 – 22 + 5 . (– 4) =
– 18 : 3 - √4 + 0 . 8 =
4.9:3+1.2.5=
2 + 33 . 2 – 1 5 : (– 3) =
Prof. Guadalupe Villa del Prat
f)
g)
h)
i)
5 . (10 – 7) – 1 0 : (– 2 – 3) =
30: (– 2) – (22 + 5) . (– 4) =
18 : (3 - √4) + 0 . 8 =
(2 + 33) . 2 – 1 5 : 3 =
15
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Potenciación y radicación con números enteros
Potenciación
Si en una multiplicación todos los factores son iguales, se puede escribir en forma
abreviada utilizando la potenciación.
Ejemplo: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
Signos de las potencias:
5 4  5.5.5.5  625
(3) 4  (3)·(3)·(3)·(3)  81







Propiedad: Si en una potencia el exponente es par, el resultado es siempre positivo
4 3  4.4.4  64
(2) 5  (2)·(2)·(2)·(2)·(2)  32

 



Propiedad: Si en una potencia el exponente es impar, el resultado tiene el mismo signo
que tiene la base
Actividad 14: Resolver
a) (-3)5 =
b) 44 =
c) (-2)6 =
d) 53 =
Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación
3
64  4 porque 43 = 64
Ejemplos:
64  4 porque 43 = 64
2) 3  125  5 porque (-5)³ = -125
3) 4 16  2 porque 24  16
1)
3
4) 4  81   no existe porque 34 = 81 y (-3)4 = 81
No hay ningún número que elevado a la cuarta dé 81
Prof. Guadalupe Villa del Prat
16
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Actividad 15: Resolver
a)
81 
e)
3
 27 
i)
169 
400 
b)
3
125 
f)
4 
j)
c)
3
 64 
g)
121 
k)
10.000 
h)
1 
l)
d)
4
3
4
625 
36  81 
Propiedades de la potenciación
1)
Todo número elevado a la 1, da el mismo número
a1  a
2)
Todo número (que no sea cero) elevado a la 0, da 1
a 0  1 con a  0
00  
3) Distributividad
3·24
=
12 : 42
34 ·2 4
=
12 2 : 4 2
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división
(3  2) 3

6  22
33  23

62  22
La potenciación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta
Actividad 16: Resolver
a) 5 · 3 – 2 · (1 – 3)0 – 1 =
b) (17 – 5 + 8)² : 2 =
c) (27 : 32) : 3 + 5 + 3 – 7 =
d) (12 · 2 : 8)4 – (5 – 2)³ =
4) Producto de potencias de igual base.
7
Ejemplo: 3² · 35 = 3·3
 ·3·3·3·3·3

3
2 veces
5 veces
En el producto de potencias de igual base, se suman los exponentes
5) Cociente de potencias de igual base.
48
:
43
48 4·4·4·4·4·4 ·4 ·4
 45
= 3 
4 ·4 ·4
4
En el cociente de potencias de igual base, se restan los exponentes
Prof. Guadalupe Villa del Prat
17
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
   5·5
6) Potencia de potencia: 52
3
3
5·53  
5·5·
5·5·
5·5  56

2 veces 2 veces 2 veces




3veces
En la potencia de potencias se multiplican los exponentes.
Potencia
Producto
Exponentes
Se suman
Ejemplo
Cociente
Potencia
Se restan
Se multiplican
34 ·32  36
57 : 54  53
2 
2 4
Actividad 17: Expresar como una sola potencia
a) (2 2.2 3 ) 2 : 2 6 
10 6.10 4
d)

2
2
10 2
b) 53 .56 : 56 
c)
 
 
32.35.34
a 4 .a 2

a3
3 
3 2

e)
Actividad 18: Resolver
a) (12 : 6.2) 3  (5  2) 3
b)
c)
 2.(3)  38 : 35  (2 2 ) 2 
 2.(3)  8 : (4)  5.(2) 
 28
 25 · 23
 27 :  23
f)

(2) 5
 (4 2 : 2 3 ) 2 
(2) 2
27 : (35 : 32 )  4.(5) : (2) 
(2).(3).(5)  23.2 2 
d)
e)
f)
Actividad 19: Resolver
2 ·3 
5 2
2
a)
3
7

b)
 3 · 5 · 2
c)
 25  2 4 : 23 2 
 22
2
  : 6 
d) 94 : 35 
2
5
g) 6 4
5 ·2 
e)
2
3 3

h)
22
 23 · 25 · 27 
f)
2
 23


3
2 5

24 ·22  65 : 63 

Propiedades de la radicación
1) Distributividad
36  64

36  64
25  16

25  16
La redicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta.
25·9
=
25· 9
36 : 9
=
36 : 9
La redicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.
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18
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
El producto y el cociente entre raíces de igual índice es asociativo
Recíproco:
Ejemplo: 12. 3  12·3  36
20 : 5  20 : 5  4
2) Raíz de raíz
256  8 256
4
En la raíz de raíz, se multiplican los índices
Actividad 20: Resolver
a)
5 2  32
b)
81
d)
20·5  9·4
45 : 9·3  1
e)
7·3  2 2
c)
f)
g)
h)
i)
3
4·3  4·5
3
 30  17·2
9· 16  9·16 
j)
k)
l)
25·16 : 100
9  16  9  16 
50 : 2
12 · 3 
Actividad 21: Resolver

a)  3· 2  32  25 :  5  16

b) 5  1  42 :  2  -24
3
c)
49  2 : 16  34  -2
d)
6 · 24  3  60  4
e)
3· 3   4 :  2   5  40
f)
62  82  8 :  2  14
j)
22  21·4  27 : 3·2  23
5
3
2 · 8   6  3 : 9   2  -9
g)
i)
0
3
3
h) 4· 3 
2
 27 : 3  1   3  8  6  -8
3
k)  4  9 : 25   1  2  5  9
3
2
16  1 : 3·5  -7
 
2
 66
2
l) 11  62 :  3  80   16
· 8  10  72
2
2
m)  5
·  2   6 : 18   2  4
2
n)  5 :  5  3  27 :  1  2  26
50
48


o)  5  4  53 ·3  125  2· 8 = -600
0
 
p) 5· 2  2  5  52  32 ·4  23
3
2
 85
q) 100  7.3·7  10  (8).(5)  7
r)  1  2· 3 :  2  5  15 : 3  125  4
2
2

 15 :  3   20 : 5  1  6·  13  22 3  58
t)
u)

64· 1  2  100  64 :  6 · 2  74
s)
 2  9·3 :  2  1  3 5·3 25  4  5·2 :  3  12
2

v)  7

4 ..0
 9 · 3· 3   4 :  4  8
11
x) 12  62  3.(15) : 5  33
z)
   (3  2)  24
9
y)
4
2

w) ( 121  100 ).2  (8  10)3  6


 3  1  4 · 32  42 : 7  4
74 0
36·5  2
Prof. Guadalupe Villa del Prat
19
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Números Racionales
Trabajo Práctico:
Problema 1: Escribí fracciones equivalentes a las dadas en las que el denominador sea 10, 100 o
1.000
a) 3/8
b) 33/40
c) 6/20
d) 5/4
e) 7/5
f) 7/2
g) 3/25
Problema 2:
a) Escribí dos fracciones que estén entre 1/5 y 6/5 ¿hay más? ¿Por qué? ¿Cuántas hay?
b) Escribí dos fracciones que estén entre 2/3 y 1 ¿Cuántas hay? ¿Por qué?
c) Escribí dos fracciones que estén entre ½ y 2/3 ¿Cuántas hay? ¿Por qué?
d) Escribí dos números decimales que estén entre 3,4 y 3,5 ¿Cuántos hay? ¿Por qué?
e) Escribí dos números decimales que estén entre 5,2 y 5,21 ¿Cuántos hay? ¿Por qué?
Problema 3: Ordená de menor a mayor las siguientes fracciones:
3/4
3/5
2/5
1/2
5/9
3/7
6/5
Problema 4: Ordená de menor a mayor los siguientes números decimales:
1,5
1,05
1,50
1,51
5,1
1,501
1,55
4/5
1,005
Problema 5: Una hormiga camina sobre esta recta. Para ir del 1 al 2, da 3 pasos.
a) Si está parada en el 3 y da un solo paso hacia a la derecha ¿a qué punto llega?
b) Si está parada en el 7 y da 2 pasos hacia la izquierda ¿A qué punto llega?
c) ¿Cuántos pasos dará para ir del 0 a 7/3?
Problema 6: Ubicá en la siguiente recta los números: ½, 9/10 y ¼
Problema 7: Ubicá en la siguiente recta los números 5/3, 7/6, 10/3, 11/6 y 3
Problema 8: Estos números se encuentran entre 0 y 3, colocalos en la columna que corresponda:
3 8 4 11 21 5 9 17 14 11
; ; ;
;
;1 ; ;
;
y
7 3 5 4 35 7 5 7 5
9
Entre 0 y 1
Entre 1 y 2
Entre 2 y 3
Problema 9: ¿Entre qué números enteros se encuentran las siguientes fracciones?
47 28 33 84 9 85 125
;
;
;
; ;
y
4 3 7 9 5 12
10
Problema 10: Indicá con el signo mayor (>); menor (<) o igual (=)
18
25
47
b)
48
16
c)
32
25
10
34
35
a)
40
80
Prof. Guadalupe Villa del Prat
15
45
35
e)
100
8
16
25
10
d)
f)
11
18
11
20
20
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Elementos de las fracciones
2 .  numerador
3  denominador
Fracciones equivalentes:
En una fracción, si se multiplica (o divide) el numerador y el denominador
por el mismo número, se obtiene una fracción equivalente.
Ejemplo:
Actividad 1: Simplificar:
125
10
4
b)
10
15
c)
10
2
100
30
e)
5
14
f)
4
a)
21
14
21
h)
28
12
i)
18
d)
g)
Actividad 2: Para cada par de fracciones, encontrar otras equivalentes que tengan igual
denominador.
a)
2 3
y
3 2
b)
2 5
y
6 2
c)
4 3
y
7 5
d)
2 2
y
5 3
Suma y resta de fracciones
Si las fracciones tienen igual denominador, se suman o se restan los numeradores:
Ejemplo:
2 1 3
 
5 5 5
5 3 2
 
7 7 7
Si las fracciones tienen diferente denominador hay que buscar fracciones equivalentes
que tengan igual denominador:
2 3 10 9 19
   
3 5 15 15 15
El nuevo denominador debe ser un múltiplo de los otros denominadores
Actividad 3: Resolver:
5 1

3 3
1 5 3
 
b)
2 2 2
3 7

c)
5 5
a)
Prof. Guadalupe Villa del Prat
4 1 3
 
5 5 5
4 1

e)
3 6
1 2 1
 
f)
3 5 2
d)
7 1 1
 
3 2 6
3 1 1
 
h)
10 5 2
g)
21
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones se multiplica el numerador con el numerador y el
denominador con el denominador.
Ejemplo:
Actividad 4: Resolver los siguientes cálculos:
13
· 
25
5 1 3
b)
 . 
8 2 2
32
· 
55
17 1 1
d) ·  . 
23 4 3
a)
1 15
 · 
4 23
12
2
f) ·  2· 
43
3
c)
e)
División de fracciones
Se invierte la segunda fracción y se multiplica derecho
Ejemplo:
Actividad 5: Resolver los siguientes cálculos:
 6 1 3

 5 2 2

2 4
 2
   3  : 5 
f)
15  3
 3
1 2
3
g)   ·  1    1 
6 3
2
15 2 2
2
·  :  2· 
23 9 3
3
2
4
3

 
: 2    : 2   1 
b)
5
4
 3 
1 15 1
c)   ·    4 
3 53 2
 3 2 1
d) 1  ·    : 4 
 4 3 3
e) 3 :      ·  2  
a)
Potenciación y radicación de fracciones
Recordamos…
Se distribuye la potencia o la raíz, entre el numerador y el denominador de la fracción.
2
Ejemplos:
4 2 16
4
   2 
9
3
3
3
3
8

27
3
8
27

2
3
Actividad 6: Resolver los siguientes cálculos:
2
a)  2  
3
9

100
b)
c)
3
d)
3
2
2
i)  3  1   3 : 1  3 7  1 
f)
j)
4
54

16
125

8
3
e)  3    5  
2
8 18
.

20 5
g)
h)
5  7
1

 
4  10 2 

2
3 7
4  9

5 10
8
3
 2 
:    
 3 
2
k) 2 . 1   1  : 3 
3 2
2
4
25

9
4  9
1

 
9  10 2 
Prof. Guadalupe Villa del Prat
22
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Fracciones y números decimales
1
 0,3
2

¿Cómo se resuelve?
Cuando en un cálculo combinado aparecen números decimales y fracciones, hay que
expresar todos los números del mismo modo para resolvelo.
1 3 5  3 8 4
 
1
  
 0,3 2 10 10 10 5
2

0,5  0,3  0,8
Para pasar de fracción a decimal…
Hay que dividir el numerador de la fracción por el denominador.
Ej:
3
8
hago
Actividad 7: Escribir como número decimal las siguientes fracciones
3
4
5
b)
2
8
c)
10
16
d)
50
a)
7
8
21
f)
125
21
g)
14
13
h)
20
e)
i)
j)
15
12
36
25
Números periódicos
2
11
entonces
2
 0,1818...
11
Cuando una cifra o un conjunto de números se repite infinitamente
después de la coma, se indica con un arco sobre los números que se
repiten
Actividad 8: Encontrar la expresión decimal de
5
6
38
b)
9
a)
Prof. Guadalupe Villa del Prat
23
33
22
d)
15
c)
e)
f)
25
99
39
18
23
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Expresión decimal de números racionales
Un número racional puede tener una expresión decimal:
a) FINITA: Cuando el número NO es periódico. Ejemplo:
3
 1,5
2
b) PERIÓDICA PURA: Tiene infinitas cifras que se repiten después de la coma. Ejemplos:

5
 1,6666  1,6
3
c) PERIÓDICA MIXTA: Tiene una parte periódica y una no periódica. Ejemplo:

5
 0,8333...  0,83
6
Actividad 9: Hallar la expresión decimal de las siguientes fracciones e indicar de qué tipo es
16
11
4
b)
3
2
3
7
d)
8
a)
c)
e)
f)
7
6
8
11
Transformación de expresiones decimales en fracción
Transformación de expresiones decimales Finitas
Para pasar un número decimal finito a fracción, se escribe en el numerador, el
número completo (sin la coma) y en el denominador un 1 con tantos ceros como
lugares hay después de la coma.
Ejemplos: * 0,25 
25
100
* 2,5 
25
10
* 0,025 
25
1.000
Actividad 10: Pasar a fracción y simplificar
a) 0,24 =
b) 2,05 =
c) 0,025 =
d) 1,5 =
e) 3,43 =
f) 1,125 =
Actividad 11: Pasar a fracción y resolver
a) 0,3 
1 1
 
4 2
1 1
  0,5 
4 4
2
c) 0,4   0,8 
5
2 1
3
  0,5· 
d)
3 4
2
2
·3  0,2·1,5 
e)
5
b)
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1

4
1
g) 2·0,2  3· 
2
1

h) 2,5·  0,75  
2

1 1 1 1
i)     : 
2 3 4 5
f)
0,2 : 0,5 
24
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Transformaciones de expresiones periódicas puras
Ejemplo:
=
45 5

99 11
Para pasar una expresión decimal periódica pura a fracción se coloca el un
período completo en el numerador y en el denominador tantos nueves como
cifras tiene el período.
Si el número decimal tiene una parte entera, primero se escribe como suma entre la
parte entera y la parte decimal y luego se pasa a fracción.


Ejemplo: 2,7  2  0,7  2 
7 18  7 25


9
9
9
Actividad 12: Expresar como fracción los siguientes números decimales:

a) 2,02
g) 0,01
d) 0,35

b) 0,02
h) 0,0 1
e) 0,103
c) 0,35
f) 0,50
i) 3,001
Actividad 13: Pasar a fracción y resolver
a)
b)
0,3  0,3: 2,5 


3
0,64 : 4  0,3. 1   0,7 
4

2 
0,5  0,5  .0,6 
3


d) 1  0,3  0,5  1,25 
c)
Transformaciones de expresiones periódicas mixtas
Para pasar una expresión periódica mixta hay que escribir:
En el numerador  El número completo, restándole la parte No periódica
En el denominador  un 9 por cada cifra periódica y un cero por cada cifra
decimal NO periódica.
Ejemplos:
 125  12 113

90
90
** 1,25 
Resumiendo…
Expresión
Numerador
FINITA
Todo el número
sin la coma
PERIÓDIC
A PURA
PERIÓDIC
A MIXTA
Un período
completo
Todo el número
restando la parte
No periódica
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
* 0,06 
60 1

90 15
Denominador
Un 1 con tantos ceros como
lugares haya después de la
coma
Un 9 por cada cifra del
período
Un 9 por cada cifra decimal
periódica y un cero por
cada cifra decimal No
periódica
Ejemplo
38
0,38
100
  32
0,32 
99
 213  21 192
2,13 

90
90
25
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Matemática – 1º año
Actividad 14: Pasar a fracción y simplificar si es posible:

a) 3,48 

b) 0,38 

e) 0,16 

f) 0,016 

c) 0,448 

d) 5,08 
Actividad 15: Pasar a Fracción y resolver:
 1
a) 2,3   1,25 
3
e)
 3  2 2 5
b) 2,8  .   
4 3 6
f)
c)

2


 
2 
0,4.0,3  : 0,3  2,3.0,6 
5




g) 0,7  0,5 .1,5  0,26 



0,4  0,4 .2  0,32 


 13

1,25.  0,5   2,4 : 0,15 
 16

d)
0,7  0,7: 0,2  1,6 
h)

1  0,75  2,6.0,5 
i)
0,3  2,5.0,22  2,4 
Trabajo Práctico
1) Pasar a fracción y simplificar si es posible:

b) 0, 25 
a) 0,25 

c) 2,5 

d) 0, 25 
e) 2,5 
2) Pasar a fracción y resolver:



2
a) 0,5  0,5 : 0,2  1,5 
2

2
b) 1,8  0,25.   0,5 
3



c) 0,7  0,3 .0,3  0,6 
 

d) 0.25 : 0,09.2  0,6  0,4 


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Álgebra
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Producción de fórmulas
Actividad 1: Se tiene diseños para umbrales de distintas puertas, con baldosas blancas
y grises como las siguientes:
El ancho de la puerta puede ocupar 2, 3, 4, 5, etc. baldosas grises y se rodean con baldosas
blancas como lo muestran las figuras.
1.- Averiguar la cantidad de baldosas blancas si hay 11 baldosas grises.
2.- Si se conoce que hay 25 baldosas blancas ¿Se puede conocer la cantidad de baldosas grises?
3.- Encontrar una fórmula que permita conocer la cantidad de baldosas blancas si se conoce la
cantidad de baldosas grises.4.- ¿Es posible que un diseño tenga 10 baldosas blancas? ¿Cuál sería el ancho de la puerta?
5.- ¿Y para 4 baldosas blancas?
Actividad 2: Con fósforos se construye la siguiente secuencia:
a) ¿Cuántos fósforos serán necesarios para construir la figura que ocupa el sexto lugar?
b) Y para la figura que ocupa el lugar 100?
c) Buscá una forma de calcular la cantidad necesaria de fósforos para cualquier
cantidad de cuadraditos.
Una Fórmula o expresión algebraica es una expresión que contiene números y letras,
vinculados mediante las operaciones aritméticas.
Expresiones algebraicas equivalentes: Al expresar una situación mediante una fórmula
pueden surgir expresiones que parecen diferentes, pero que no lo son.
Dos o más expresiones son equivalentes cuando al reemplazar la letra por un mismo
número, se obtiene el mismo resultado.
Para demostrar que dos expresiones algebraicas son equivalentes, pueden utilizarse las
definiciones y las propiedades de las operaciones.
Actividad 3:
Dada la siguiente secuencia construida con fósforos:
Completá la tabla:
Cantidad de
Cantidad de fósforos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
50
100
¿Cómo calcularías la cantidad de fósforos necesarios para n triángulos?
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Matemática – 1º año
Actividad 4:
a) Calcular el área de la siguiente figura, formada por un cuadrado y un rectángulo:
15 cm 3 cm
b) ¿Qué cuentas se pueden hacer para calcular el área de una figura similar a la
anterior si el lado del cuadrado es de 56 cm?
c)
Dar una fórmula que sirva para calcular el área de la figura para cualquier
longitud del lado del cuadrado:
d) ¿Cuál será el valor del área si a vale 8?
a 3
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta:
La multiplicación es distributiva con respecto de la suma.
La multiplicación es distributiva con respecto a la resta.
a)
b)
c)
d)
e)
Actividad 12: Separar en términos y resolver:
(3 + a)  4 + (5 + 2 a)  3 =
(a - b)  3 + 4 (a + b) + 7 (a + b + c) =
(3 + 4  a) 2 + (a - 2  2)  3 =
5 (m + 1) + 8 (-2 - m) - 3 (-m - 1) =
4 . ( a + 5 + 3.a – 2.a ) + 2 . (a – 3) =
Actividad 13: Aplicar la propiedad distributiva.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(10 + b + c) 5 =
(m + n + p) 3 =
(m + 8) (2 - x) =
2 a - (c - 4) 2 - 5 a x =
(-5 + a - m) (-3) =
- (7 - x + d - e) 4 =
g)
h)
i)
j)
k)
l)
(- 5 a + 3 m - 4 h - c) (-2) =
- (3 x - 2 + 5 a) (-3) =
(5 a - 2 m) (4 x - 2) =
(3 a - 2) (5 m - 4 + 3 m) =
(-5 + a) (- 3 - m - 2) =
(- 2 a + 6 m) (- 4 - 5 h) =
Actividad 5:
a) ¿Cuáles de las siguientes fórmulas sirven para calcular el área de la figura?
Justificá. A1= 36 + b2
A2 = 36 + 6. b
A3 = 6 . (6+b) A4 = 6 b + b2
6
b) ¿Cuál será el valor del área si b toma el valor 5?
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29
b
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c) ¿Puede ser que el área de la figura sea 105? En caso que sea posible ¿cuánto deberá valer
b para que el área sea 105?
Actividad 6:
a) En la actividad 4 analizar el perímetro de la figura; para eso resolver nuevamente todos
los ítems, pero en donde dice área cambiar por perímetro.
Actividad 7:
Para la actividad 5, ¿cuáles de las siguientes fórmulas sirven para calcular el perímetro de
la figura? Justificá tu respuesta.
P1= 30 + 2.b
P2 = 2 .(6+b) + 12
P3= 6+2b +18
P4= 2b +24
Actividad 8:
1) Dada la siguiente figura, averiguar qué cantidad de cuadraditos están sombreados:
2) ¿Cuántos cuadraditos se pintarán en un cuadrado de 37 x 37?
3) ¿Cuántos cuadraditos sombreados tendrá un cuadrado de 512 x 512?
¿Es posible que un cuadrado tengo 1321 cuadraditos sombreados? ¿y 326? ¿y 512? Si es
posible indicá las dimensiones del cuadrado, si no es posible explicá por qué
Actividad 9:
Para separar un patio de un lavadero, se colocan en línea canteros cuadrados rodeados de
baldosas de la misma forma como indica el dibujo:
1.- ¿Cuántas baldosas serán necesarias si se colocan 8 canteros?
2.- ¿Cuántas baldosas se necesitarán para 30 canteros?
3.- Escribí una fórmula que relacione la cantidad de canteros con la cantidad de baldosas.
El uso de las letras para representar situaciones
Actividad 11:
1.- ¿Cuál deberá ser el valor del número a para que 3 . (a + 2) sea múltiplo de 5?
2.- ¿Cuánto debe valer c para que 4 . (c + 3) sea múltiplo de 4?
3.- ¿Cuánto debe valer n para que 4 . (n + 4) + 3 sea múltiplo de 4?
4.- Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificá tus respuestas.
* La suma de tres números consecutivos siempre es múltiplo de 3.
* Si se suma un número más su doble, más su triple, más su cuádruple, el resultado es un
número terminado en cero.
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30
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Matemática – 1º año
Actividad 12:
1.- Si b es un número natural ¿cuáles son los valores de b que verifiquen que el número 5 x (
2 x b + 1 ) sea un número par?
2.- Indiquen si es posible valores de n para los cuales el número 8 x n + 8 sea múltiplo de 2,
4, 5 y 8
3.- ¿Cuáles son los valores de n para los cuales 4 x n + 8 es múltiplo de 8?
4.- Es cierto que la expresión 5 x t + 5 nunca es múltiplo de 4? Explicá tu respuesta.
Algunas claves para escribir fórmulas
En forma Coloquial
El doble del número n
El numero siguiente de n
La mitad de n
El triple de n
El número anterior a n
El doble del siguiente de n
El siguiente del doble de n
En forma simbólica
2xn
n+1
n:2
3xn
n–1
2 x (n + 1)
2xn+1
Actividad 13: Con la ayuda de los ejemplos de la tabla, resolvé
Si s es la edad de Ramiro, expresá simbólicamente:
a) La edad de Ramiro dentro de 6 años
b) La edad de Ramiro hace dos años
c) La mitad de la edad de Ramiro
Actividad 14: Uní con flechas
El doble de un número
La mitad de un número
El siguiente de un número
El número aumentado en cinco unidades
El quíntuplo de un número
Un número menos cinco
Cinco menos un número
Un número que supera en dos a cinco
La edad de Noelia es cinco años
La edad de Noelia dentro de cinco años será como la de Mara
La suma entre cinco y dos veces un número
La suma entre un número y otro distinto
La diferencia entre cinco y un número
El doble del siguiente de un número
El producto de dos números iguales
La altura de Natalia es menor que el doble de la de Malena
La resta de las edades de Noemí y Malen da cinco
Un número menor que cinco
Cinco veces el peso de Nancy más cinco kilos
Cinco veces, el peso de Nancy más cinco kilos
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N–M=5
5–N
5 + 2.N
N–5
N+1
5.N
2.N
N+5=M
N=5
5–N
2 . (N + 1)
N<2.M
5.N+5
N<5
5 . (N + 5)
½N
N.N
N+M
N+5
N=5+2
31
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Actividad 15: Uní con flechas las fórmulas equivalentes (Anotá los cálculos que hacés y las
propiedades que utilizás)
A = 3 . (M + 1) + M
A = 4 . (M – 1)
A = 4 . (M + 3) – 4
A = 4 . M – (M + 3)
A=4.M+8
A=4.M+3
A=3.M–3
A=4.M–4
Actividad 16: Uní con flechas las fórmulas equivalentes (Anotá los cálculos que hacés y las
propiedades que utilizás)
B = 2.(x+1) – x
B = x+ 3.(x – 2)
B = 2.(2.x – 2) + 6
B = 3.(x+1) + 1
B = 3.(x+1) + x
B = 4.x+2
B = 4.x – 6
B = x+2
B = 4.x+3
B = 3.x+4
Actividad 17: Para calcular el sueldo de los empleados de una empresa, el contador escribió
una fórmula. Cada empleado cobra un sueldo básico de $ 3500 y $ 80 por cada hora extra.
a) Escribir una fórmula que calcule el sueldo de cada empleado según la cantidad de
horas extras que realizó.
b) Si un empleado realiza 21 horas extra ¿Cuánto cobrará?
c) Un empleado cobró $ 4220 ¿Cuántas horas extras realizó?
d) ¿Cuántas horas extras trabajó un empleado que cobró $ 5100?
Actividad 18: Entre triciclos y bicicletas hay 100 ruedas ¿Cuántos hay de cada uno?
Actividad 19: Marcela tiene monedas de 10 c y de 50 c. Si en total tiene $20 ¿Cuántas
monedas de cada una tiene?
Actividad 20: Traducir al lenguaje simbólico los siguientes enunciados y resolver:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Si a un número k se le suma 6, se obtiene como resultado 10 ¿Cuánto vale k?
Si a un número t se le resta 6, se obtiene como resultado 10 ¿Cuánto vale t?
Si a un número l se le suma 10, se obtiene como resultado 6 ¿Cuánto vale l?
Si a un número m se lo multiplica por 4, el resultado es 24 ¿Cuánto vale m?
Si a un número p se lo divide por 3, el resultado es 18 ¿Cuánto vale p?
Si al doble del número n se le suma 7, se obtiene como resultado 15 ¿Cuánto vale n?
Si a la suma del número r más 2 se la duplica, el resultado es 10 ¿Cuál es el valor de r?
Para cada caso, explicá cómo encontraste el valor que lo verifica.
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32
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Matemática – 1º año
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad en la que uno de los valores (representado por una
letra) es variable.
3 + x – 8  no es una ecuación.
2 . a – 1 = 5  sí es una ecuación.
Resolver una ecuación, es encontrar el valor de la variable para el cual la
igualdad se hace verdadera.
Por ejemplo: ¿Para qué valores de M se cumple que M+3 =8?
Esta igualdad se cumple cuando M vale 5
Para resolver una ecuación hay que despejar (dejar sola) la variable deshaciendo
los cálculos que se hicieron con las operaciones inversas.
Ejemplo 1: Si al número A se le suma 3, se obtiene como resultado 8 ¿Cuánto vale A?
Este enunciado se puede representar por la ecuación:
A+3=8
Para saber cuánto vale A, despejo:
A=8–3
A=5
¿Es verdad? Verifico (reemplazando A por el valor encontrado)
5 + 3 = 8  el valor 5 verifica la igualdad
Los números que están sumando, se despejan restando
+–
Ejemplo 2: Si al número B se le resta 3, se obtiene como resultado 11 ¿Cuánto vale B?
Este enunciado se puede representar por la ecuación:
B – 3 = 11
Para saber cuánto vale B, despejo:
Verifico:
B = 11 + 3
B = 14
14 – 3 = 11  el valor 14 verifica la igualdad
Los números que están restando, se despejan sumando
–+
Actividad 1: Resolver las siguientes ecuaciones y verificar:
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Matemática – 1º año
a) M + 15 = 26
b) S + 12 = 6
c) T – 10 = 8
d) R – 7 = – 1
e) V + 312 = 500
f) X – 38 = 620
Ejemplo 3: Si al número M se lo multiplica por 4, el resultado es 28 ¿Cuánto vale M?
Este enunciado se puede representar por la ecuación:
M · 4 = 28
Para saber cuánto vale M, despejo:
M = 28 : 4
M=7
Verifico:
7 . 4= 28  el valor 7 verifica la igualdad
Los números que están multiplicando, se despejan dividiendo
·:
Actividad 2: Planteá una fórmula para cada enunciado:
a) Si al doble de un número se le resta 325 se obtiene 205 ¿De qué número se trata?
b) Marina compró para su oficina una resma de hojas a un precio de $ 16; una
abrochadora por $ 27 y tres cajas de biromes. Si en total gastó $ 70 ¿Qué precio pagó
por cada caja de birome?
c) La abuela tiene 59 años. Su edad es igual a la suma de las edades de sus cuatro
nietos. El nieto mayor tiene 20 años, el del medio tiene 15 y luego vienen los
mellizos ¿Cuántos años tienen cada uno de los mellizos?
d) Si al triple de un número n se le suma 18 el resultado es 180 ¿De qué número se
trata?
e) Si al triple del siguiente de un número natural n, se le suma 18 se obtiene 291.
Calculá el número n
¡ATENCIÓN! Cuando un número negativo está multiplicando o dividiendo a la
x, se realiza el pasaje del número con su signo.
Ejemplo: – 2 · x = 8  x = 8 : (– 2)  x = – 4
Ejemplo 4: Si al número X se lo divide 3, el resultado es 5 ¿Cuánto vale X?
Representando:
X:3=5
Para saber cuánto vale A, despejo:
Verifico:
X=5·3

X = 15
15 : 3 = 5  el valor 15 verifica la igualdad
Los números que están dividiendo, se despejan multiplicando
:·
ATENCIÓN: Si el que está, es la variable, es necesario despejarlo en dos pasos:
Ejemplo:
20 : y = 4
20 = 4 . y
Verifico:
20 : 4 = y
20 : 5 = 4
5=y
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E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Ejemplo 5: Si al número K se lo eleva al cubo el resultado es 27 ¿Cuál es el número K?
Representando:
K3 = 27
Para saber cuánto vale K, despejo:
Verifico:
K=
3
27

K=3
33 = 27  el valor 3 verifica la igualdad
Los números que están como potencia, se despejan como raíz
pot 
¡ATENCIÓN! Como toda potencia de exponente par, tiene resultado positivo, al despejarla
como raíz, lo que obtenemos es el valor absoluto del número que lo verifica.
Por ejemplo: L4  81 , hay dos números que verifican esta igualdad, uno positivo y otro
negativo.
L  4 81

L 3

L  3 ó L  3
Pues 34  81 y (3) 4  81
Ejemplo 6: la raíz cuadrada de M es 7 ¿Cuánto vale M?
M 7
Representando:
Para saber cuánto vale M, despejo:
Verifico:
M = 72

M = 49
49  7 el valor 49 verifica la igualdad
Los números que están como raíz, se despejan como potencia
 pot
Un ejemplo combinando lo que vimos

Si al doble de un número K se le suma 36 se obtiene 50 ¿Cuánto vale K?
Tenemos: 2 . K + 36 = 50
Analicemos la fórmula…
¿Qué número teníamos antes de sumarle 36?
Es decir ¿Cómo podemos averiguar cual es el doble del número sin sumarle 36?
2 . K = 50 – 36
2 . K = 14
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Matemática – 1º año
Si el doble del número K es 14 ¿Cuál es ese número?
K = 14 : 2
Entonces, K = 7
Verifiquemos…
¿Es verdad que si al doble de 7, se le suma 36, se obtiene 50?
El doble de 7 es 14
A 14 le sumo 36  14 + 36 = 50
Para averiguar el valor de un número que verifique la igualdad, hay que
deshacer las operaciones que se hicieron despejándolas.
Lo que está sumando  se despeja restando
Lo que está restando  se despeja sumando
Lo que está multiplicando se despeja dividiendo
Lo que está dividiendo se deshace multiplicando
Lo que está como potencia  se despeja con raíz
Lo que está como raíz  se despeja con potencia
Actividad 3:
Escribe en lenguaje simbólico y resuelve:
a)
Si al triple de un número M se le resta 10 se obtiene 23 ¿Cuánto vale M?
b)
Si al doble del siguiente de un número P se le suma 8 se obtiene 14 ¿Cuánto vale P?
c)
Si a la mitad de un número S se le suma 5 se obtiene 8 ¿Cuánto vale S?
d)
Si al doble del anterior de un número N se le resta 2 se obtiene 6 ¿Cuánto vale N?
e)
Si a un número R se le suma 4 y luego se lo multiplica por 5, se obtiene 30 ¿Cuánto
vale R?
Algo más sobre ecuaciones
Traducir los siguientes enunciados a lenguaje simbólico y hallar el valor que lo verifica.

Si al doble de un número M, se le suma el triple de M y luego se el suma 18, se
obtiene como resultado 33
2.M + 3.M + 18 = 33
primero hay que “acumular” todas las letras
5.M + 18 = 33

Si al cuádruplo de un número N se le suma 3, se obtiene el mismo resultado que
sumando 11 al doble de N
4.N + 3 = 2.N + 11
hay que pasar todas las letras al mismo miembro
Para eso, se pasa todo el término que la contiene
4.N – 2.N + 3 = 11
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Actividad 4:
Resolver las siguientes ecuaciones:





3.s – s + 15 = 31
3.n  5  2  5.n  20  2.n  1
4.x  4  2  5  3.x  9
6. y  10  4  10. y  40  4. y  2
3.z  24  z  30  2.z  6
Rta: s = 8
Rta: n  3
Rta: x  16
Rta: y  3
Rta: z  12
A veces, al resolver una ecuación, es necesario aplicar la propiedad distributiva
Ejemplo:
2·x  3  5·x
2·x  2·3  5·x
6  5·x  2·x
6  3·x
6:3  x
x2
Actividad 5: Hallar el valor de x y verificar
a)  8.x  33  x  5.x  7 2  25  5
b) 6.x  10  4  10.x  40  4.x  2
2·(5  1)
2·x
 2
x
3  2(4)
d) 3.x  5  2  5.x  20  2.x  1
e) 3.x  24  x  30  2.x  6
c)
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x 1
4
2
g) 5  x  25  10
2  x  1
h)
 169
5
3 x  6 x
i)

3
2
f)
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Matemática – 1º año
38
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Matemática – 1º año
Lectura e interpretación de gráficos:
Actividad 1: Ana María está engripada. Por suerte, Yoly está a su lado. No deja de tomarle la
temperatura y carga los datos que revela el termómetro en su computadora. De la impresora sale
impreso el siguiente gráfico:
Respondé:
a) ¿En qué momento Ana María tuvo39ºC?
b) ¿Qué temperatura registró Ana María a las 15 hs?
c) ¿En qué momento se registró la mayor temperatura?
d) ¿En qué momentos la temaperatura fue de 37 º C?
e) ¿en qué períodos la temperatura superó los 37º C?
f) ¿En qué períodos la temperatura fue en ascenso?
Actividad 2: El departamento de marketing de la empresa importadora La Marítima” hizo un
estudio de la variación del precio de las latas de caviar de 200 gr que comercializó su
competidora “La Rioplatense” a lo largo de su existencia. Para que el nuevo gerente de
comercialización comprenda la evolución del precio del producto, confeccionaron el siguiente
gráfico:
Escribí 6 preguntas no repetitivas que se puedan responder observando el gráfico.
Puntos en el plano
Para ubicar puntos en un plano los datos pueden estar presentados de diferentes formas,
algunas son:
1.- Con una tabla
2.- Con pares ordenados
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Matemática – 1º año
Con una tabla…
En la tabla se indican los valores de x y de y que se relacionan. Por convención, en el
gráfico se indica con x al eje horizontal y con y al eje vertical.
Ejemplo:
x
A
2
B
4
C
5
D
3
y
3
6
1
5
Con pares ordenados…
Con un par de números entre paréntesis separados por punto y coma, en donde el
primero de los números corresponde al eje x (horizontal) y el segundo corresponde al
eje y (vertical)
¡¡¡OJO!!! (2;5)  (5;2)
Ejemplo:
A = (3; 1)
B = (4; 6)
C = (6; 4)
D = (2; 3)
Actividad 2: Construí un gráfico y ubicá los siguientes puntos:
A= (2; 5)
B= (-3; 2)
C= (3; -2)
D= (2; 3)
E= (-2; 3)
F= (-2; -3)
G= (0; 4)
H= (-4; 0)
I= (0; 0)
J= (3; 3)
K= (6; 0)
L= (0; -6)
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Matemática – 1º año
Geometría
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Matemática – 1º año
Perímetro y área
Recordamos estas definiciones:
Perímetro: Es la suma de las medidas de todos los lados de una figura.
Área: Es la medida de la superficie de una figura.
Volumen: Es el espacio ocupado por un cuerpo.
Magnitudes - SIMELA
Magnitudes: Son aquellas propiedades que pueden medirse (peso, capacidad,
longitud, área, etc)
Una medida de una magnitud está definida por una cantidad (número),
acompañada de una unidad de medida.
La unidad principal para medir longitudes es el metro. Sin embargo, para
algunas ocasiones, otras unidades son más adecuadas.
Por ejemplo, para medir la longitud de una hoja, el largo de una aguja de coser,
etc. se utilizan las siguientes:
1
 decímetro (dm): 0,1 m o m
10
1
 centímetro (cm): 0,01 m o
m
100
1
 milímetro (mm): 0,001m o
m
1.000
Para medir distancias en las rutas, campos, etc. se usan:
 decámetro (dam): 10 m
 hectómetro (hm): 100 m
 kilómetro (km): 1.000 m
Actividad 1: Averiguá el significado de los prefijos: “deci”, “centi”, “mili”,
“deca”, “hecto” y “kilo”
Éstos prefijos se utilizan para los múltiplos y submúltiplos de las diferentes
unidades de medida.
Unidad de longitud: metro
Unidad de capacidad: litro
Unidad de peso: gramo
Así, un kilogramo son mil gramos, un mililitro es la milésima parte de un litro,
etc.
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Matemática – 1º año
Área de un rectángulo
Para calcular la medida del área de un rectángulo hay que
multiplicar la medida de la base por la medida de la altura.
Ej: Éste rectángulo tiene 4 filas con 6 cuadraditos (de 1cm x
1cm) cada fila. En total tiene: 4 cm X 6 cm = 24 cm2
Para calcular la medida de cualquier rectángulo hay que multiplicar la base por la altura
Área del rectángulo B X A
Actividad 2: Calculá el área y el perímetro de los siguientes rectángulos:
a) Base 12 cm, Altura: 3 cm.
b) Base 6 cm, Altura: 6 cm.
c) Base 8 cm, Altura: 4 cm.
Actividad 3: Construí tres rectángulos diferentes que tengan 18 cm2 de área. Hallar el
perímetro de cada uno de ellos
Actividad 4: Construí tres rectángulos diferentes que tengan 14 cm de perímetro.
Hallar el área de cada uno de ellos
Área de un paralelogramo
Consideremos el siguiente paralelogramo:
.
El rectángulo del siguiente dibujo que se obtiene
colocando el triángulo PCD sobre el lado AB del
paralelogramo dado, tiene el mismo lado y la misma
altura que el paralelogramo. Además, tiene la misma
área.
Entonces el área del ABCD = 5 cm x 2 cm = 10 cm 2
Área del paralelogramo
BXA
Actividad 5: sabiendo que P y Q son rectas paralelas indicá cuáles de los siguientes
paralelogramos tiene mayor área y cuál mayor perímetro. Justificá tu respuesta.
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Matemática – 1º año
Área de un triángulo
Si tenemos un triángulo cualquiera:
BD es la altura
Hemos construido un paralelogramo en el cual uno de los lados coincide con la
base AC del triángulo y la altura del paralelogramo correspondiente a ese lado
coincide también con la altura del triángulo. El área del paralelogramo es el
doble que el área del triángulo, entonces:
Área del triángulo
ACxBD
Área del triángulo =
2
Actividad 6: Calculá el área de las siguientes figuras:
Actividad 7: Se sabe que m es punto medio de ab y que las rectas P y Q son
paralelas. ¿Cuál de los triángulos sombreados tiene mayor área? Justificá tu
respuesta.
Actividad 8: Calcular el área de las
siguientes figuras:
MNPQ es un cuadrado de 3 cm de
lado
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Matemática – 1º año
ABCDE
es
un
pentágono regular
de lado 3,6 cm y
apotema (MO) de 5
cm
ACDE
es
un
cuadrado de 4 cm
de lado y la altura
del triángulo BCA
mide 3 cm
ABCD es un cuadrado de 6 cm de
lado. O es el centro del cuadrado
Actividad 9: Una hoja de papel tiene 20 cm de largo y 25 cm de ancho. Si se recorta
alrededor de ella un borde de 0,3 dm ¿En cuánto disminuye el área primitiva?
Actividad 10: La longitud de la circunferencia es: 2    r
¿Cuál será la longitud de una circunferenciade:
a) 3 cm de radio?
b) 8 cm de diámetro?
c) 35 mm de radio?
Actividad 11: Calculá el perímetro de las siguientes figuras:
1)ABCD es un
cuadrado de 4
cm de lado
2) FGH es un triángulo isósceles
rectángulo, JK es un arco de
circunferencia con centro en F, K es
punto medio de FH y J es punto medio
de FG mide 5 cm
Actividad 12: El
Calculá el área
a) 3 cm de
b) 8 cm de
c) 35 mm
área del círculo es:  .r 2
de un círculo de:
radio.
diámetro.
de radio
Actividad 13:
Calculá el área de las siguientes figuras:
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Matemática – 1º año
ÁNGULOS
Dadas dos rectas A y B que se cortan en un mismo plano,
determinan en  4 ángulos: ˆ , ˆ, ˆ  ˆ .
Los ángulos pueden nombrarse con:
 Letras griegas.
 Números.
 ternas de puntos.
Elementos de un ángulo
Clasificación:
Si trazamos en el plano dos rectas que al
cortarse forman cuatro ángulos
congruentes (iguales) dichas rectas son
perpendiculares y cada uno de los ángulos
se los llama recto, cuya amplitud se la
mide en grados y es de 90º
 Se llama ángulo agudo, a todo ángulo
menor que un recto
0º    90º
 Se llama ángulo llano al ángulo determinado
por dos semirrectas opuestas.
Su amplitud equivale a la de dos ángulos rectos,
es decir 180º
 Se llama ángulo obtuso, a todo ángulo
mayor que un recto y menor que un llano
90º    180º

Se llama ángulo nulo, al ángulo de 0º grados,
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Matemática – 1º año
Actividad 1: Medir y clasificar los siguientes ángulos
Actividad 2: Construír con transportador y clasificar los siguientes ángulos
a) 30º
b) 120º
c) 75º
d) 250º
e) 45º
f) 150º
g) 210º
h) 90º
i) 200º
Relaciones entre ángulos:
Ángulos Consecutivos
Dos ángulos son consecutivos cuando poseen sólo el vértice y un lado en común.
Indicar si los siguientes pares de ángulos son consecutivos entre sí.
Ángulos Complementarios
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes coincide con la
amplitud del recto (90º).
Ángulos Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes coincide con la amplitud
de un llano (180º).
Ángulos Adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cuando poseen sólo los puntos de un lado en común y los otros
dos lados son semirrectas opuestas (son consecutivos y suplementarios).
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Matemática – 1º año
Ángulos Opuestos Por El Vértice
 Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas
de los lados del otro.
̂ y ̂ son opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice son
CONGRUENTES
Actividad 3: Dada la siguiente figura en la que las rectas AD y FC son perpendiculares:
Nombrá:
1. Un ángulo obtuso
2. Un ángulo agudo.
3. Un ángulo llano.
4. Un par de ángulos consecutivos.
5. Un par de ángulos adyacentes.
6. Dos ángulos que sean
complementarios.
7. Dos ángulos que sean
suplementarios.
8. Dos ángulos opuestos por el vértice.
9. Dos ángulos complementarios no
consecutivos.
10. Dos ángulos suplementarios no
consecutivos.
Actividad 4: Sabiendo que el ángulo FGE de la figura anterior mide 50º, hallar las siguientes
medidas sin usar transportador. Justificá tus respuestas.
a) EGD
c) AGB
e) EGB
b) FGB
d) EGC
f) FGC
Medición de ángulos – Sistema sexagesimal.
La unidad del sistema de medida de ángulos es el grado sexagesimal que está definido
partiendo de que un ángulo recto tiene 90° y sus submúltiplos son:
 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).
Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.
La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal.
Analicemos el siguiente problema:
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Matemática – 1º año
Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón.
Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo
día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?
Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:
2 h 48 min 35 s
+ 2 h 45 min 30 s
4 h 93 min 65 s
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede
escribir así:
4 h 94 min 5 s
De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
5 h 34 min 5 s
Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
Actividad 5: Resolvé
a. 56º 20' 40" + 37º 42' 15"
b. 125º 15' 30" + 24º 50' 40"
c. 33º 33' 33" + 17º 43' 34"
Resta de ángulos en el sistema sexagesimal
En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón
en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?
Debemos hacer la siguiente operación:
3 h 0 min 0 s
− 2 h 48 min 35 s
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas, los minutos y los segundos,
pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo
transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se
convierten en 2h 59' 60".
2 h 59 min 60 s
− 2 h 48 min 35 s
0 h 11 min 25 s
Actividad 5: Resolvé
a.
b.
c.
56º 20' 40" - 37º 42' 15"
125º 15' 30" - 24º 50' 40"
33º 33' 33" - 17º 43' 34"
Multiplicación de un ángulo por un número natural.
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada
una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de
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Matemática – 1º año
los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden
inmediatamente superior.
18º 26' 35"
X3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
+1' -60''
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
+1º -60'
55º 19' 45"
Actividad 7: Realiza los siguientes productos:
d. 24º 50' 40" x 3
a. 56º 20' 40" x 2
e. 33º 33' 33" x 3
b. 37º 42' 15" x 4
f. 17º 43' 34" x 2
c. 125º 15' 30" x 2
División de un ángulo por un número natural.
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número.
Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a
los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en
segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los
segundos.
Actividad 8: Realiza las siguientes divisiones:
a.
b.
c.
56º 20' 40" : 5
37º 42' 15" : 4
125º 15' 30" : 5
d. 25º 50' 40" : 6
e. 33º 33' 33" : 2
f. 17º 43' 24" : 12
Actividad 9: Si ˆ  65º 48´30´´ y ˆ  30º 20´50´´ , calcular:
a) ˆ  ˆ 
b) ˆ  ˆ 
2.̂ 
d) ̂ : 5 
e) 2.ˆ  ˆ : 5 
c)
Actividad 10: Si ˆ  50º35´48´´ , calcular ˆ que cumpla las siguientes condiciones:
a) Si ̂ y ˆ son complementarios
b)Si ̂ y ˆ son suplementarios
Actividad 11: Dado el ̂ =60º, representar
a) ̂ y su complementario ˆ
c) ̂ y su suplementario ˆ
b) ̂ y su consecutivo ̂ de modo que ˆ  ˆ  150º
Actividad 12: hallar el valor de ̂ y ˆ
a) Si ̂ = ˆ y además ̂ y ˆ son complementarios
b) Si ̂ = ˆ y además ̂ y ˆ son suplementarios
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Matemática – 1º año
c) Si ̂ = 2. ˆ y además ̂ y ˆ son complementarios
d) Si ̂ = 3. ˆ y además ̂ y ˆ son suplementarios
e) Si ̂ = ˆ + 9º 30´ y además ̂ y ˆ son complementarios
f) Si ̂ = ˆ – 9 º 30´ y además ̂ y ˆ son suplementarios
Ángulos determinados por dos paralelas y una transversal
Al trazar en cierto plano dos rectas paralelas entre sí y un tercera recta transversal
(secante) a ellas, quedan determinados ocho ángulos como muestra el siguiente dibujo
geométrico.
Las rectas A y B dividen al plano  en dos
regiones: una interior, formada por los
puntos ubicados entre ambas rectas, y
otra exterior constituida por los puntos
que se encuentran más allá de las
paralelas.
La recta C divide al plano  en dos
semiplanos.
Por lo tanto cada ángulo estará ubicado en una región respecto a las paralelas y
en un semiplano respecto a la transversal.
Los ángulos 1̂ y 5̂, 2̂ y 6̂, 3̂ y 7̂, 4̂ y 8̂ son correspondientes.
Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes entre sí.
Ángulos alternos
Se encuentran en de distinto lado de la transversal y en la misma región respecto a las
paralelas. Para nuestro ejemplo son los siguientes pares:
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Matemática – 1º año
1  7 ,2  8 alternos externos
   6 alternos internos
3  5,4
Los ángulos alternos internos y externos son congruentes entre sí.
Ángulos
conjugad
os
Dos ángulos son conjugados cuando están de un mismo lado con respecto a la
transversal y de una misma región con respecto a las paralelas. Serán conjugados
internos cuando correspondan a la región interior y serán conjugados externos cuando
correspondan ambos ángulos a la región exterior.
Los ángulos conjugados (tanto internos como externos) son suplementarios
entre sí.
1̂  4̂  180 (por ser adyacentes entre si)
1̂ = 5̂ (por ser correspondientes entre A // B y
C transversal)
Por lo tanto :
4̂ + 5̂ = 180
Del mismo modo se puede demostrar para los otros pares de
conjugados.
Actividad 13: Responder, justificando.
a) ¿El complemento de un ángulo cualquiera es siempre un ángulo agudo?
b) ¿El suplemento de un ángulo es siempre un ángulo agudo?
c) Si al suplemento del ángulo nulo se le resta el complemento del ángulo recto qué
clase de ángulo se obtiene?
d) Si al suplemento del ángulo llano se le resta el complemento del ángulo recto ¿Qué
ángulo se obtiene?
e) Un ángulo mide la mitad de su complemento. ¿Cuánto mide ese ángulo?
f) Un ángulo mide la mitad de su suplemento. ¿Cuánto mide ese ángulo?
g) Un ángulo mide la tercera parte de su complemento ¿Cuánto mide ese ángulo?
h) Un ángulo mide la cuarta parte de su suplemento. ¿Cuánto mide ese ángulo?
Actividad 14: Sabiendo que  y  son complementarios: indicar el valor de  en
cada caso.
a)  = 37º =>  =
c)
 =13º 15’ =>  =
b)  = 48º 52’ 30” =>  =
d)
 = 6º 17” =>  =
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Matemática – 1º año
Triángulos
Clasificación de triángulos según sus lados
Escaleno: tiene sus tres lados diferentes.
Isósceles: tiene al menos dos lados iguales.
Equilátero: tiene sus tres lados iguales.
Problema 1:
a) Construí un triángulo con un lado de 6 cm, otro de 4 cm y otro de 5 cm.
b) Indicá los pasos que seguiste para construirlo.
c) ¿con los mismos datos se puede construir un triángulo diferente?
Problema 2:
a) Construí un triángulo con un lado de 7 cm, otro de 3 cm y otro de 4 cm
b) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir?
Propiedad Nº 1: En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Problema 3: Construir los siguientes triángulos:
a) con un lado de 4 cm y los ángulos que se apoyan sobre él de 80º y 40º
b) con un lado de 4 cm y los ángulos que se apoyan sobre él de 110º y 70º
c) un lado de 4 cm y los ángulos que se apoyan sobre él de 120º y 80º
Propiedad Nº 2: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º
a + b + c = 180º
Demostración:
Trazamos una recta paralela a uno de los lados
c + (a + b´) = 180º por ser conjugados internos
y b = b´ por ser alternos internos
Entonces c + a + b = 180º
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Actividad 5: Hallar la medida del ángulo a:
aˆ 
aˆ 
ˆ

a) b  40º
c) bˆ  37 º
cˆ  80º
cˆ  120º


aˆ 
aˆ 
ˆ

b) b  33º
d) bˆ  98º
cˆ  47 º
cˆ  105º


Matemática – 1º año
aˆ 

e) bˆ  95º
cˆ  84º

Actividad 6: En un triángulo un ángulo mide 76º y los otros dos son iguales ¿cuál
es la medida de cada ángulo?
Actividad 7: Hallar la medida de cada ángulo de un triángulo sabiendo que: b mide
el doble que a y c mide el triple que a
Actividad 8: Construír los siguientes triángulos si es posible. Si no es posible
explicá por qué:
a) Con un lado de 10 cm, otro de 3 cm y otro de 9 cm.
b) Con un lado de 7 cm y los otros dos de 3 cm.
c) Con un lado de 5 cm y los ángulos que se apoyan sobre ese lado de 50º y 70º
d) Con un lado de 5 cm y los ángulos que se apoyan sobre ese lado de 90º y 110º
e) Con un lado de 5 cm, otro de 7 cm y el ángulo que forman esos dos lados de 60º
Clasificación de triángulos según sus ángulos
Acutángulo: el ángulo mayor es agudo (<90º)  su tres ángulos son agudos
Rectángulo: El ángulo mayor es recto (90º)  Tiene un ángulo recto y los otros dos
agudos
Obtusángulo: El ángulo mayor es obtuso (>90º)  Tiene un ángulo obtuso y los otros
dos son agudos
Altura de un triángulo
La altura de un triángulo es un segmento que va desde un vértice al lado opuesto y es
perpendicular a ese lado.
Como todo triángulo tiene tres vértices,
también tiene tres alturas:
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Matemática – 1º año
Problema 9: Contruí un triángulo con un lado de 6 cm y los otros dos de 8 cm y tazá
sus alturas.
Problema 10: Contruí un triángulo con un lado de 6 cm otro de 7 cm y otro de 12 cm y
tazá sus alturas.
Problema 11: construí un triángulo con un lado de 5 cm y la altura correspondiente a
ese lado de 7 cm ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir?
Problema 12: Construí un triángulo con un lado de 6 cm y los ángulos que se apoyan
sobre él de 50º y 70º. Marcá sus tres alturas.
Problema 13: Construí un triángulo con in lado de 6 cm, otro lado de 8 cm y la altura
correspondiente a ese lado de 4 cm
Propiedad: las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa y recíprocamente.
Si A y B son los catetos de un triángulo rectángulo y H la hipotenusa, se cumple la
relación:
A 2  B2  H 2
Actividad 14: Averiguá la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes
triángulos rectángulos:
CatetoA  8

a) CatetoB  15
 Hipotenusa 

CatetoA 

b) CatetoB  20
 Hipotenusa  29

CatetoA  12

c) CatetoB  16
 Hipotenusa 

CatetoA 

d) CatetoB  40
 Hipotenusa  41

Prof. Guadalupe Villa del Prat
55
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Actividad 15: Calculá la medida de la altura de un triángulo isósceles cuya base
mide 16 cm y los lados miden 10 cm
Triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos
Sean A, B, y C los lados de un triángulo (C es el lado mayor)
 Si se cumple: C2  A 2  B2 quiere decir que el ángulo opuesto al lado C es de
90º, por lo tanto con esas medidas se forma un triángulo rectángulo.
 Si se cumple: C2  A 2  B2 quiere decir que el ángulo opuesto al lado C es
mayor de 90º, por lo tanto con esas medidas se forma un triángulo obtusángulo.
 Si se cumple: C2  A 2  B2 quiere decir que el ángulo opuesto al lado C es
menor de 90º, por lo tanto con esas medidas se forma un triángulo acutángulo.
Actividad 16: Indicá si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo,
acutángulo u obtusángulo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm
a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m
a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm
a = 15 km, b = 20 km, c = 25 km
a = 11 millas, b = 10 milas, c = 7 millas
a = 21 mm, b = 42 mm, c = 21 mm
a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm
Actividad 17: Se cae un poste de 14,5 m de alto sobre un edificio que se encuentra
a 10 m de él. ¿Cuál es la altura a la que le golpea?
Actividad 18: Calculá el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y
uno de los lados, 4 cm.
Actividad 19: Calculá la medida de los lados de un rombo cuyas diagonales miden
10 cm y 24 cm.
Prof. Guadalupe Villa del Prat
56
E.T. “Cristóbal M. Hicken”
Matemática – 1º año
Cuadriláteros
Cuadrilátero
Cuadrado
Lados
4 iguales
Opuestos
paralelos
Ángulos
Diagonales
4 rectos
Iguales,
perpendiculares y
se cortan en su
punto medio
Rectángulo
Opuestos iguales
4 rectos
y paralelos
Iguales y se cortan
en su punto medio
4 iguales
Opuestos
paralelos
Dos pares
opuestos
iguales
Perpendiculares y
se cortan en su
punto medio
Dos pares
consecutivos
iguales
Un par
opuesto
iguales
Perpendiculares y
una corta a la otra
en su punto medio
Rombo
Romboide
Paralelogramo
Dos pares
Opuestos iguales
opuestos
y paralelos
iguales
Prof. Guadalupe Villa del Prat
Se cortan en su
punto medio
57
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