PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1.1 Conceptos básicos
Estadística
descriptiva
Teoría de
decisión
Población
Muestra
aleatoria
Es la técnica que se va a encargar de la recopilación,
resentación, tratamiento y análisis de los datos, con el
objeto de resumir, describir las características de un
conjunto de datos y por lo general toman forma de
tablas y gráficas.
Implica “escoger” o “seleccionar" una alternativa o curso de
acción entre un conjunto de ellas. La teoría de la decisión se
enfoca como una técnica cuantitativa que sirve de apoyo a
la toma de decisiones.
"Una población es un conjunto de todos los
elementos que estamos estudiando, acerca de los
cuales intentamos sacar conclusiones". Levan &
Rubin (1996).
Muestra elegida independientemente de todas las
demás, con la misma probabilidad que cualquier
otra y cuyos elementos están elegidos
independientemente unos de otros y con la misma
probabilidad.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1.2 Datos no agrupados
Los datos no agrupados es un conjunto de información sin ningún orden que no nos
establece relación clara con lo que se pretende desarrollar a lo largo de un problema, esto
se soluciona mediante una tabulación que nos conduce a una tabla de frecuencia
1.2.1 Medidas de Tendencia Central
Existen tres medidas comunes para identificar el centro de un conjunto de datos: la media,
mediana y moda. En cada caso, se ubican alrededor del punto en donde se aglomeran los
datos.
Media
Medida de tendencia central usualmente llamada promedio, se define como la división de
la suma de todos los valores entre el número de datos.
Ejemplo:
Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1° año, a saber: 28,23, 27,34,
25, para calcular la media aritmética (promedio de las edades), se tiene que:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
𝑋̅ =
28 + 23 + 27 + 34 + 25 137
=
= 27.4 𝑎ñ𝑜𝑠
5
5
Mediana
La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una
vez que éstos están ordenados de menor a mayor.7 Por ejemplo, la mediana del número de
hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1,
2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el
que ocupa la posición central es 2:
En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la
variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos
valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:
Se toma como mediana
Ejercicio: Dados los siguientes 8 datos ordenados de manera ascendente calcula la
mediana:
5, 8, 8, 11, 11,11, 14,16
(me) = (11+11) / 2 = 11
Por lo que la mediana está ubicada entre el dato 4 y 5; el valor del dato 4 es “11” y del dato
5 es “11”, por lo que al sacar el promedio, da que la mediana de la muestra estudiada es 11
Moda
Es el dato que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de elementos estudiados. Del
ejemplo anterior donde los datos recopilados son:
5, 8, 8, 11, 11, 11, 14,16;
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
El dato que ocurre con mayor frecuencia es el valor 11, siendo este valor la moda.
Ejercicios unidad 1
Calcula la madia aritmética, mediana y moda
Media: Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar
el peso medio
. 𝑥̅ =
84+91+72+68+87+78
6
= 80 𝐾𝑔
Mediana: 68, 72, 78, 84, 87, 91
(𝑀𝑒) =
(78 + 84) 162
=
= 81
2
2
Moda: no hay moda
Calcula la media, mediana y la moda de las siguientes series:
* 2, 3 , 4, 4 , 5 , 5, 5 , 6, 6
Me= 5
* 7, 8 , 9, 1 0, 1 1, 1 2
Me = 9 . 5
1.2.2 Medidas de Dispersión
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
También llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución,
indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están
muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, y cuanto
menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o
varían mucho entre ellos.
Las medidas de dispersión son:
Rango:
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Se define como la diferencia que existe
entre el valor mayor y el valor menor de una distribución, Se indica como R. Se calcula de la
siguiente forma:
R = Valor Mayor – Valor Menor
Varianza:
Específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca, o que tan lejos están los
diferentes valores de su propia media aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia
media aritmética, mayor es la varianza; cuando más cerca estén las Xi a su medio menos es
la varianza. La denotaremos por S2x o también por σ2.
Fórmulas
Varianza muestral
2
𝑆 =
𝑥𝑖 − 𝑋̅
𝑛−1
Varianza poblacional
2
σ2 =
𝑥𝑖 − 𝑋̅
𝑁
2
Xi = Es el valor de las observaciones en la muestra o de la población.
= Media aritmética
ƒi = Es la frecuencia absoluta de los intervalos de clase.
N = Es el número de observaciones en la población.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
n = Es el número de observaciones en la muestra.
Desviación Estándar o típica
Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren de
la media.
Se calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza, por cuanto que es la raíz cuadrada
positiva de esta. A la desviación se le representa por la letra minúscula griega "sigma" (σ) o
por la letra S mayúscula, según otros analistas.
Desviación Estándar
𝑆=
𝑥−𝑋
2
𝑛−1
Ejemplo:
Las ventas diarias de un almacén durante una semana cualquiera son las siguientes (en
millones de pesos). Hallar el promedio de las venta y la desviación estándar
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Total
600
800
880
980
1.060
1.200
5520
*Media
5520
6
= 920
Solución.
Elaboramos una tabla para facilitar los cálculos.
Xi
fi
𝒙𝒊 − 𝑿
𝟐
𝒇𝒊
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
600
0
(600-920)2=102,400
800
0
(800-920)2=14,400
880
0
(880-920)2=1,600
980
0
(980-920)2=3,600
1060
0
(1060-920)2=19,600
1200
0
(1200-920)2=78,400
Total
220,000
Varianza
𝑆2 =
220,000
6−1
= 44000
Desviación estándar
𝑆=
44000=209.76
• Primero calculamos la media
aritmética
(promedio)
El promedio de las ventas semanales es
de $920.000.000
• Segundo, hallamos la desviación
estándar
La desviación estándar de las ventas es
de $191.48
xi
600
(600920)2=102.400
800
(800920)2=14.400
880
(880920)2=1.600
980
(980920)2=3.600
1.060 (1.060920)2=19.600
1.200 (1.200920)2=78.400
5.520 220.000
Sumatoria, Σ =
Ejercicio
Calcula la varianza y desviación estándar de los siguientes valores
* 3, 10, 2, 8, 7
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
* 1, 2, 4, 5, 8, 10
1.2.3 Medidas de Posición
También conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras medidas o métodos que
resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la
variación o dispersión en un conjunto de datos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén
ordenados de menor a mayor .
Cuartiles
Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro
partes porcentualmente iguales.
Q 1 , Q 2 y Q 3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al
75% de los datos.
Q 2 coincide con la mediana.
Ejemplo
Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión
𝑘⋅𝑁
4
, 𝐾=
1,2,3
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Deciles (Di)
Son los valores de la variable que dividen a la distribución en las partes iguales, cada una de
las cuales engloba el 10 % de los datos. En total habrá 9 deciles. (Q2 = D5 = Me).
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3... Xn, se localiza mediante las siguientes formulas:
Cuando n es par.
Cuando n es impar.
1.2.4 Representaciones Graficas
1. Diagrama de barras:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Consiste en levantar, para cada valor de la variable, una barra cuya altura sea su frecuencia
absoluta o relativa, dependiendo de la distribución de frecuencias que estemos
representando.
Así, la representación gráfica de la distribución de frecuencias del ejemplo del nº de
hijos será:
2. Diagrama de frecuencias acumuladas:
Esta representación gráfica se corresponde con la de una función constante entre cada dos
valores de la variable a representar, e igual en cada tramo a la frecuencia relativa acumulada
(o absoluta acumulada si se trata de representar una distribución de frecuencias absolutas)
hasta el menor de los dos valores de la variable que construyen el tramo en el que es
constante.
También para el ejemplo del Número de Hijos, se tendrá un diagrama de frecuencias
acumuladas como el del siguiente gráfico:
Representaciones Gráficas
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Tras la recogida de datos, su ordenación y cuantificación, es útil la representación gráfica,
ésta nos permite con un simple vistazo obtener información relevante de la población o la
muestra.
Hay distintos tipos de representación de datos, dependiendo de qué tipo de carácter
estemos estudiando (cualitativo, cuantitativo discreto o continuo) e incluso dentro de un
tipo hay representaciones que resumen mejor un determinado concepto que otro.
En el siguiente cuadro resumiremos los distintos tipos de representación gráfica y a qué tipo
de carácter se aplica.
Gráfica
Diagrama de sectores
Diagrama de barras
Diagrama de barras acumulado
Histograma
Poligonal de frecuencias
Pictograma
Cartograma
Tipo de datos
Caracteres cualitativos y cuantitativos
Caracteres cualitativos y cuantitavos discretos
Caracteres cuantitativos discretos
Caracteres cuantitativos continuos
Caracteres cuantitativos discretos y continuos
Caracteres cualitativos y cuantitativos
Caracteres cualitativos y cuantitativos
Diagrama de sectores.
Se toma un círculo y se divide en tantos sectores como clases tengamos, siendo el arco del
círculo proporcional a las frecuencias absolutas (también lo podemos hacer con las
frecuencias relativas o porcentajes).
Para determinar el arco circular que corresponde a cada clase relacionamos el total de
observaciones con los 360º grados de la circunferencia. Los grados de cada clase vendrán
dados por
Ejemplo
Los resultados en la primera evaluación de un curso de Bachillerato son los siguientes:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
aprobados 1 suspenso
2 suspensos 3 suspensos 4 o más
7
8
9
5
3
Polígono de frecuencias
Se obtiene uniendo con segmento los puntos de coordenadas (xi, ni) en el caso en que
tomemos las frecuencias absolutas, si fuesen las relativas cambiaríamos n i por f i.
El número de habitantes por vivienda en Andalucía en 2001, según el Instituto Andaluz de
Estadística, es el que se adjunta en la tabla, vamos a representar un polígono de frecuencias.
Nº Residentes
Viviendas
1 persona
444.390
2 personas
551.618
3 personas
477.622
4 personas
573.254
5 personas
244.544
6 personas
81.973
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
7 personas
26.793
8 personas
9.989
9 personas
3.712
10 o más personas
3.284
1.3 Datos agrupados
Los datos agrupados son como lo indica su nombre, una cantidad dada de datos que puede
clasificarse, ya sea por sus cualidades cualitativas o cuantitativas, y por tal agruparse para
su análisis.
Estos datos por lo general son aconsejable agruparles cuando su población cuenta con
alrededor de 20 o más elementos que comparten una característica y caben dentro de una
categorización (repeticiones de un valor).
Tablas
de
frecuencia:
http://www.portaleducativo.net/pais/es/octavo-
basico/791/Tablas-de-frecuencias-con-datos-agrupados
1.3.1 Medidas de tendencia central
Media
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Ejemplo:
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que
muestra la tabla. Calcula la media.
Xi
fi
fi Xi
(10, 20)
15
1
15
(20, 30)
25
8
200
(30, 40)
35
10
350
(40, 50)
45
9
405
(50, 60)
55
8
440
(60, 70)
65
4
260
(70, 80)
75
2
150
42
1820
𝑋̅ =
1820
= 43.33
42
Mediana
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la
mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2
Luego calculamos según la siguiente fórmula:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Li-1 :es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N / 2 :es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 :es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
fi : es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.
ti :es la amplitud de los intervalos.
Moda
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. La moda se representa por Mo
Li: Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta).
fi : Frecuencia absoluta del intervalo modal.
fi-1 : Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.
fi+1 : Frecuencia absoluta del intervalo posterior al modal.
t : amplitud de los intervalos.
EJEMPLO
En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de personas.
1°Calculemos la media aritmética:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
2°Ahora calculemos la mediana (Me)
N / 2 = 31 / 2 ⇒ 15,5
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el
valor obtenido (15,5).
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
3° Calculemos la moda Mo :
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1.3.2 Medidas de dispersión
Varianza
2
𝑆 =
𝑛
̅ 2
𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 𝑋 )
𝑛−1
Desviación estándar
𝑆=
𝑛
̅ 2
𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 𝑋 )
𝑛−1
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1.3.3 Medidas de posición
Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos
analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de
importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible.
Las más usadas son: los cuartiles (cuartas partes), los deciles (decimas partes) y los centiles
o percentiles (centésimas partes).
Cuartiles
El cálculo para los cuartiles se determina a través de la siguiente expresión:
Donde
k
Orden del cuartil
Límite inferior del intervalo que contiene al cuartil
Frecuencia acumulada considerada al intervalo donde se encuentra
Frecuencia del intervalo que contiene el cuartil
n
A
Número de mediciones
Amplitud del intervalo
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Considere el siguiente ejemplo:
Un reporte de laboratorio indica el número de pacientes que en los primeros 100 días del
año recibieron peticiones por parte de una clínica, de reportes clínicos para realizar
estudios de glucosa.
Intervalos
Promedio
de días
Número de
pacientes
Frecuencia
acumulada
1 día a 9 días
5
5
5
10 día a 19 días
14.5
6
11
20 día a 29 días
24.5
8
19
30 día a 39 días
34.5
8
27
40 día a 49 días
44.5
4
31
50 día a 59 días
54.5
5
36
60 día a 69 días
64.5
7
43
70 día a 79 días
74.5
8
51
80 día a 89 días
84.5
4
55
90día a 100 días
94.5
8
63
Nota:
La clase donde se ubica el segundo cuartil está marcado por
El tercer cuartil está marcado por
El número de datos a considerar son 63 pacientes.
Para la obtención del primer cuartil tenemos k=1, obteniendo:
Lo que representa que el primer cuartil se encuentre en la tercera clase, sus datos están
dados como
por lo que el primer cuartil es igual a
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Lo que indica que 25 % de los pacientes fueron mandados a valoración de glucosa en 25.34
días y el 75% de los pacientes atendidos lo hicieron después de 25.34 días.
*Nótese que la consideración para elegir la consideración del primer cuartil se hizo
considerando la frecuencia acumulada y de esta manera se utilizara para el resto.
Para la obtención del segundo cuartil consideraremos k=2 por lo que
Deciles
Representación para los deciles
La ecuación para el cálculo de los deciles se modifica ligeramente, en la fórmula empleada
para los cuartiles se cambia
por
y en la expresión se cambia el cuatro por 10,
quedando:
Para el caso del cuarto decil realicemos:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Intervalos
Promedio
de días
Número de
pacientes
Frecuencia
acumulada
1 día a 9 días
5
5
5
10 día a 19 días
14.5
6
11
20 día a 29 días
24.5
8
19
30 día a 39 días
34.5
8
27
40 día a 49 días
44.5
4
31
50 día a 59 días
54.5
5
36
60 día a 69 días
64.5
7
43
70 día a 79 días
74.5
8
51
80 día a 89 días
84.5
4
55
90día a 100 días
94.5
8
63
Nota:
El cuarto decil se localiza en la clase marcada con
El quinto decil que corresponde a la mediana o segundo cuartil es marcado por
Considerando
Sustituyendo en la fórmula tenemos:
Lo que indica que el 40% de los pacientes atendidos a petición de la clínica, para análisis de
glucosa, se realizó en 36.975 días.
Percentiles
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
La generalización para m divisiones de la información de puede dar como:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
2.1 Teoría de conjuntos
2.1.1Definición y operaciones básicas con conjuntos
Conjunto: Es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras,
figuras, etc.
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos,
similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada
elemento que está por lo menos en uno de ellos.
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene
todos los elementos comunes de A y B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q P={ a, b, o, r, s, y }
Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos
los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
Diferencia
simétrica La diferencia
simétrica de
dos
conjuntos A y B es
el
conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no
a ambos a la vez.
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no
estén en B. Si la operación fuera B – A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
Producto
cartesiano. El producto
conjunto A × B que
contiene
cartesiano de
todos
los pares
dos
conjuntos A y B es
ordenados (a, b) cuyo
el
primer
elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1.2.2 Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones)
Principio multiplicativo:
El principio multiplicativo es aplicable cuando el experimento se puede
descomponer en un conjunto de acciones secuenciales o independientes, de modo
que cada resultado del experimento se conforma con una posibilidad de cada una
de esas acciones.
Diagramas de árbol:
Es una herramienta gráfica que permite enumerar todas las posibles maneras de
realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes.
Ejemplo:
MONEDAS. Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces
consecutivas y observar, cada vez, la cara que queda hacia arriba. La primera vez
que se lanza la moneda, la cara que queda hacia arriba puede ser águila o sol; la
segunda vez que se lanza, también la cara que queda hacia arriba puede ser águila
o sol, sin importar lo que haya caído la primera vez; lo mismo puede ocurrir la tercera
vez que se lanza la moneda. Entonces, el diagrama de árbol correspondiente es:
El número de maneras en que puede caer la moneda tres veces consecutivas es:
222 = 8
Factorial de un número
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Es el producto consecutivo de todos los números enteros, desde el uno hasta el
número dado n, inclusive. Notación: n!
Ejemplo:
Permutación:
Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden
ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n
elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos.
Notación: P (el orden importa)
𝒏𝑷𝒓 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
Donde:
n= es el número de cosas que puedes elegir
r= es el número de cosas que eliges de n
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16!
16!
=
(16-3)!
20,922,789,888,000
=
13!
= 3360
6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
10!
10!
3,628,800
=
=
(10-2)!
= 90
8!
40,320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Combinación:
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
Combinaciones sin repetición
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16!
16!
=
3!(16-3)!
20,922,789,888,000
=
= 560
3!×13!
6×6,227,020,800
O lo puedes hacer así:
16×15×14
3360
=
3×2×1
= 560
6
da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
16!
16!
=
3!(16-3)!
16!
=
13!(16-13)!
= 560
3!×13!
2.2 Teoría elemental de la probabilidad de eventos
2.2.1 Conceptos de probabilidad, espacio muestral, eventos.
Probabilidad
(http://www.jfinternational.com/mf/ejercicios-
probabilidades.html)
El concepto de probabilidad proviene del término latino probabilĭtas. Se entiende por
probabilidad como aquella posibilidad que hay entre diversas posibilidades de que un
determinado hecho suceda. Es decir que es aquello que puede suceder o pasar.
Espacio muestral
Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los
resultados posibles de dicho experimento.
Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} o E = {c, s}.
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es:
E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} o E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.
Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es:
E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}
Eventos
Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el
espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:
1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}
2.2.2 Axiomas y teoremas
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que
una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus
probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.
Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σálgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores
reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una
probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.
[P1]Primer axioma
La probabilidad de un suceso
es un número real mayor o igual que 0.
[P2]Segundo axioma
La probabilidad del total,
, es igual a 1, es decir,
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
[P3]Tercer axioma
Si
son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o
de intersección vacía dos a dos), entonces:
.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias
alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
Los siguientes teoremas se deducen directamente de los axiomas anteriores.
Teorema 1: Si P(Ø)=0
Demostración: Sea A un conjunto, entonces A y Ø son disyuntos y AUØ = A
Por [P3], P(A)= P(AUØ)= P(A)+P(Ø), restando P(A) de ambos lados obtenemos el resultado.
Teorema 2: Si Ac es el complemento de un evento A, entonces P(Ac)= 1 – P(A)
Demostración: El espacio muestral S se puede descomponer en los eventos A y
Ac mutuamente exclusivos, esto es, S= A U Ac. Por [P2] y [P3] se obtiene: 1 = P(S) = P(A U Ac)
= P(A) + P(Ac) de lo cual se desprende el resultado.
Teorema 3: Si A C B , entonces B se puede descomponer en los eventos A y B\A
mutuamente exclusivos.
Así: P(B) = P(A) + P(B\A), con lo cual se comprueba el enunciado puesto que P(B\A) ≥ 0.
Teorema 4: Si A y B son dos eventos, entonces P(A\B) = P(A) – P(A ∩ B)
Demostración: A se puede descomponer en los eventos mutuamente exclusivos A\B y A ∩
B: esto es, A= (A\B) U (A ∩ B). Por consiguiente, por
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
[P3], P(A) = P (A\B) + P(A∩ B) de lo cual se obtiene el resultado.
Teorema 5: Si A y B son dos eventos, entonces P(A U B) = P(A)+ P(B) – P(A∩ B)
Demostración: Obsérvese que AUB se puede descomponer en los eventos A\B y B
mutuamente exclusivos; esto es, AUB= (A\B)UB. Entonces por [P3] y el teorema 4,
P(AUB)= P(A\B)+ P(B)
=P(A) – P(A∩ B) + P(B)
= P(A) + P(B) – P(A∩ B) , que es el resultado buscado.
Aplicando el teorema anterior por segunda vez obtenemos el Corolario 6: Para los eventos
A,B y C.
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A∩B)-P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)
2.2.3 Regla de adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de
cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es
que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo
tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B
son mutuamente excluyente.
son no excluyentes.
Siendo:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A.
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B.
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
2.2.4 Regla de multiplicación
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente
independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.
P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A)xP(B) si A y B
son independientes.
P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A)xP(B|A) si A y B
son dependientes.
Ejemplo: Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos
son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos
objetos son seleccionados sin reemplazamiento (significa que el objeto que se selecciona al
azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos
seleccionados sean defectuosos?
Solución: Sea los eventos
A1 = {primer objeto defectuoso}, A2 {segundo objeto defectuoso}
Entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2
que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:
P(A1) = 20/100 ; P(A2/A1) = 19/99
así probabilidad de que los dos objetos seleccionados
sean defectuosos es
P(A1 ∩ A2) = P(A1) P(A2/A1)
(20/100)(19/99)
19/495 = 0.038
Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres
objetos seleccionados sean defectuosos es
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1∩A2)
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
(20/100)(19/99)(18/98)
19/2695 = 0.007
2.2.5 Probabilidad condicional
“Probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado a que el suceso B haya ocurrido ya”
Sean dos sucesos A y B ∈ β, con P ( B ) > 0
Si P ( A ) > 0
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
2.2.6 Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, Aj ,
condicionado a que el suceso B ya ha ocurrido.
Las probabilidades P( Aj ) se designan probabilidades a “priori”, o probabilidades de las
causas. Las probabilidades P ( Aj / B ) se designan probabilidades a “posteriori”, si el suceso
B ya ha ocurrido, probabilidad de que sea debido a la causa.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Ejemplo. Una empresa farmacéutica tiene tres delegaciones, Madrid, Barcelona y Granada.
De un determinado fármaco se produce el 45% en la delegación de Madrid, el 30% en
Barcelona, y el 25% en Granada. Del total de los fármacos, son defectuosos el 5% de los
producidos en Madrid, el 3% en Barcelona y el 4% en Granada. Calcular:
1. Probabilidad de que un fármaco sea defectuoso
2. Si un fármaco es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la
delegación de Granada?
A1 : “Producido Madrid”, A2 : “Producido Barcelona” A3 : “Producido Granada”, B :
“Defectuoso” P( A1) = 0.45; P( A2 ) = 0.30; P( A3) = 0.25 P(B/A1 ) = 0.05; P(B /A2 ) = 0.03;
P(B /A3 ) = 0.04
1.-
2.-
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Ejemplo. En una población el 51% de las personas son mujeres, el 18% tienen la tensión alta
y el 10% ambas cosas. Obtener:
1. Probabilidad de que una persona tenga la tensión alta si es mujer
2. Probabilidad de ser hombre si se tiene la tensión alta
3. Probabilidad de ser mujer si no se tiene la tensión alta A : “Ser Mujer”, B : “Tener la
tensión alta” P ( A ) = 0.51; P ( B ) = 0.18; P ( A ® B ) = 0.10
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
3.1 Definición de variable aleatoria (v.a.)
Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento
aleatorio, es decir, una función real en el espacio muestral.
Variable Aleatoria Discreta. Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo
puede tomar valores enteros.
Ejemplos:
- El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.
Variable Aleatoria Continua Es aquella que puede tomar todos los valores posibles
dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplos:
- La altura de los alumnos de una clase
-Las horas de duración de una pila.
3.2 Propiedades de la variable aleatoria
3.2.1 Valor esperado.
La esperanza matemática o valor esperado es la suma del producto de la
probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.
La esperanza también se suele simbolizar con
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
3.2.2 Varianza.
3.2.3 Desviación estándar
3.3 Distribución Binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que
cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes
entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Su función de probabilidad es
donde
Siendo
de
en
las combinaciones de
en
( elementos
tomados
)
Ejemplo
Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la
probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y
la probabilidad sería P(X=20):
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Propiedades de la distribución:
𝑬[𝒙] = 𝝁 = 𝑛 ⋅ 𝑝
𝝈𝟐 = 𝑛 ⋅ 𝑝 ∙ 𝑞
𝝈=
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑞 = (1 − 𝑝)
𝑛⋅𝑝∙𝑞
3.4 Distribución Hipergeométrica
Es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.
La diferencia más simple con la binomial es la forma de aplicar el muestreo. En efecto, en:
Binomial: Muestreo con reemplazamiento e independencia de pruebas ó ensayos.
Hipergeométrica: Muestreo sin reemplazamiento y sin independencia entre pruebas
o ensayos.
Sus aplicaciones están en áreas con uso considerable de muestreo de aceptación, pruebas
electrónicas y de aseguramiento de la calidad, fabricación de piezas, etc.
Propiedades de la distribución:
𝒂
Media de X = 𝜇 = (𝒏) (𝒏)
𝑉𝑎𝑟. 𝑑𝑒 𝑋 = 𝜎 2 =
(𝒏)(𝒂)(𝑵 − 𝒂)(𝑵 − 𝒏)
(𝑵𝟐 )(𝑵 − 𝟏)
𝐷𝑒𝑠𝑣. 𝐸𝑠𝑡. = 𝝈 = √𝑽𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝑿
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Ejemplo:
Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si
de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?
Solución:
N = 10 objetos en total
a = 3 objetos defectuosos
n = 4 objetos seleccionados en muestra
x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra
Donde:
Probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con
lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes
Formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados =
muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar
que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar
sería:
Ejemplos:
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico
en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el
oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la
probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la
probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de
narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas
seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las
tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
3.5 Distribución Poisson
Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de
ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos
durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de
ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es
donde
k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra
el fenómeno durante un intervalo dado.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Propiedades de la distribución:
Media: λ
Var(x): λ
Desv. Est: 𝛌
3.6 Distribución Uniforme
Ejemplo:
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para
obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan
encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso
concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por
lo tanto, la probabilidad buscada es
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
3.6 Distribución Geométrica
La distribución Geométrica también está relacionada con una secuencia de ensayos
de Bernoulli, excepto que el número de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribución
geométrica hereda las características de la distribución binomial, a excepción del concepto
del cual se quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de interés,
denotada mediante X, se define como el número de ensayos requeridos para lograr el
primer éxito. Es obvio que para obtener el primer éxito se debe realizar el experimento
cuando menos una vez, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son
1, 2, 3, ... , n, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que (X = x) si y
sólo si los primeros (x – 1) ensayos son fracasos (q) y el x-ésimoensayo es éxito (p), por lo
que:
P(X = x) =
Ejemplo. Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad de que
el número de lanzamientos sean 3?
Solución.
En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el
número 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular
la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:
P(X = 3) = ( )3-1 ( ) = ( )2 ( ) = 0.1157
Ejemplo.
La probabilidad de que cierto análisis clínico dé una reacción positiva es 0.4. Los resultados
de los análisis son independientes unos de otros ¿Cuál es la probabilidad de que la primera
reacción positiva ocurra antes del tercer análisis?
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Solución.
Aquí el éxito es que salga una reacción positiva, por lo que p = 0.4 y q = 0.6. Si la primera
reacción positiva debe aparecer antes del tercer análisis, entonces:
P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = (0.6) 1-1 (0.4) + (0.6)2-1 (0.4) = 0.64
Ejemplo
Se tienen 4 llaves de las cuales sólo una abre un candado. Se prueban las llaves una tras
otra, con reemplazo, hasta encontrar la que abre el candado. Calcular la probabilidad de
que el candado se abra después del segundo intento.
Solución.
Si seleccionamos una llave al azar, la probabilidad de que éste abra el candado es ¼ y como
el éxito es que se abra el candado, entonces p = ¼ = 0.25 y q = 0.75. Deseamos encontrar
P(X>2).
Sabemos que P(X>2) = 1 – P(X 2) y que:
P(X 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = [(0.75) 1-1 (0.25) + (0.75)2-1(0.25)] = 0.4375
Por lo tanto:
P(X>2) = 1 – 0.4375 = 0.5625
Ejemplo Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga el café. Si los tres resultados
son iguales, las monedas se lanzan nuevamente. Encontrar la probabilidad de que se
necesiten menos de 4 intentos para saber quién paga el café.
Solución.
En este problema el éxito consiste en sacar el disparejo. Lo primero que debemos hacer
para resolver el problema, es encontrar el espacio muetral correspondiente al lanzamiento
de 3 monedas:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
S = {(c, c, c) (c, c, +) (c, +, c) (+, c, c) (c, +, +) (+, c, +) (+, +, c) (+, +, +)}
Podemos apreciar que la magnitud del espacio muestral es 8 y que es un
espacio equiprobable. El número de resultados en que aparece el disparejo es 6, por lo
que p = 6/8 = 0.75 y q = 0.25.
Si queremos obtener la probabilidad de que se necesiten menos de 4 intentos para saber
quién paga el café, entonces:
P(x<4) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = (0.25)1-0 (0.75) + (0.25)2-1 (0.75) + (0.25)3-1 (0.75) =
0.9844
Media y Variancia
La media y la variancia de la distribución Geométrica se obtiene en la forma siguiente:
Ejemplo
Se lanzan 2 dados hasta que la suma de los números que aparecen sea 7.
Calcular:
a)
La esperanza del número de lanzamientos que se necesiten.
b)
La variancia del número de lanzamientos que se necesiten.
Solución.
El éxito en este experimento es que la suma de los números que aparecen sea 7, por lo que
el primer paso es el cálculo de su probabilidad.
En problemas anteriores hemos visto que la magnitud del espacio muestral de este
experimento es 36. Ahora calculemos el número de formas posibles en que aparece el 7.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Los posibles resultados son: {(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)} y aplicando la función de
conjunto aditivo vemos que son 6 resultados, por lo que p = 6/36 = 1/6 y q = 5/6.
a) Sabemos que para calcular el valor esperado utilizamos el modelo matemático que
dice
y sustituyendo valores
b) La variancia del número de lanzamientos se calcula con:
3.7 Distribución Uniforme
La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde
al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos
extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b))
tienen la misma probabilidad. También puede expresarse como el modelo probabilístico
correspondiente a tomar un número al azar dentro de un intervalo (a, b).
De la anterior definición se desprende que la función de densidad debe tomar el mismo
valor para todos los puntos dentro del intervalo (a, b) (y cero fuera del intervalo). Es decir:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Propiedades de la distribución:
Ejemplo.. Se sabe que el peso X de ciertos bloques de acero, es una variable aleatoria
continua distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas. Encontrar:
a)
La función de densidad de la variable.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
4.1 Definición de variable continua
Variable Continua
Una variable continua es una variable cuantitativa que puede tomar valores comprendidos
entre dos números.
Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de una variable discreta,
nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado depende en gran medida de la
precisión de los instrumentos de medición. Con una variable continua hay inevitablemente
un error de medida. Como ejemplo, la estatura de una persona (1.71m, 1.719m,
1.7154m....)
4.2 Propiedades de la variable aleatoria continua
4.2.1 Valor esperado.
La esperanza matemática o valor esperado es la suma del producto de la
probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.
La esperanza también se suele simbolizar con
4.2.2 Varianza.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
4.2.3 Desviación estándar
4.3 Distribuciones
4.3.1 Distribución uniforme
Una de las distribuciones continuas más simples en Estadística es la Distribución Uniforme
Continua. Esta se caracteriza por una función de densidad que es plana, y por esto la
probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado [A,B].
La función de densidad de la v.a.c. X en el intervalo [A,B] es
Esta densidad forma un rectángulo con base B-A y altura 1/(B-A). A esta distribución a
menudo se llama distribución rectangular.
La media y la varianza de la distribución uniforme son
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
4.3.2 Distribución normal
La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables
aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de
sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad,
tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones.
La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las
siguientes características:
La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la
distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de
la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo
la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está
a la izquierda de dicho punto.
La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.
La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del
valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada
vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se
extienden de manera indefinida en ambas direcciones.
t
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
4.3.3 Distribución normal estándar
(ejercicios http://www.academia.edu/4948120/EJERCICIOS_DISTRIBUCI%C3%93N_NORMAL_ESTANDAR)
Si X tiene distribución normal con parámetros m y s, entonces:
Z
X
Ejemplos:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
4.3.4 Aproximación de la binomial a la normal
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
4.3.5 Aproximación de la poisson a la normal
La distribución Poisson es aplicable a variables aleatorias discretas. Cuando el parámetro 𝜆
es mayor de 10, se puede aproximar a una distribución normal con 𝜇 = 𝜆 𝑦 𝜎 = √𝜆 .
Teniendo en cuenta que la variable aleatoria X es discreta, al realizar la aproximación a la
normal debe hacerse la corrección por continuidad.
Ejemplo: En un hospital el número medio de pacientes con dolor abdominal atenidos por
día es 16.
Calcula la probabilidad de que un día determinado haya más de 25 pacientes con dolor
abdominal.
El número de pacientes con dolor abdominal puede considerarse un suceso de Poisson con
𝜆 = 16, teniendo en cuenta que 𝜆 > 10 se puede hacer una aproximación a una normal
con 𝜇 = 16 𝑦 𝜎 = 4.
La Probabilidad pedida es:
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Al realizar la aproximación a la normal hay que hacer la corrección por continuidad, por lo
tanto, la probabilidad anterior queda de la siguiente manera:
4.3.6 Distribución exponencial
Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro
cuya función de
densidad es:
Su función de distribución acumulada es:
Donde
representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:
La distribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además
la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una
variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.
4.3.7 Teorema de chebysheff
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Si X ∼ N(µ,σ) , entonces
i.e., el 68% (aproximadamente) de los valores que tome la v.a. X estarán situados a una
distancia de la media inferior a una desviación estándar. Análogamente, el 95% de los
valores estarán situados a menos de 2 veces la desviación estándar, y un 99,7% de dichos
valores se encontrarán dentro un radio de 3 sigma. Por lo tanto, para una distribución
normal, la mayor parte de todos los valores yacen a tres desviaciones standard de la media.
Los applets que aparecen a continuación permiten identificar los respectivos
porcentajes del área bajo la curva:
Unidad 5: Técnicas de
Pérez Moreno Rogelio Jesús
Muestreo
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
5.1 Definición de muestreo probabilístico y no probabilístico
Muestreo
Es la rama de la Estadística que se encarga de definir las reglas para tomar muestras de una
población específica, el tamaño de dichas muestras y los parámetros que indicarán la
representatividad de éstas. La primera finalidad del muestreo es obtener muestras
representativas de la población en estudio. Una muestra es representativa si es obtenida
aleatoriamente. Se dice que el Muestreo es Aleatorio si cumple las siguientes
características:
2.
Todos los posibles resultados del experimento deben tener la misma
posibilidad de ocurrir.
3.
Los resultados deben ser independientes entre sí.
4.
Muestreo probabilístico
Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos que se basan en el principio
de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la
misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y,
consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma
probabilidad de ser seleccionadas. Sólo estos métodos de muestreo probabilísticos
nos aseguran la representatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los más
recomendables.
Muestreo no probabilístico
Es aquél para el que no se puede calcular la probabilidad de extracción de una
determinada muestra. Por tal motivo, se busca seleccionar a individuos que tienen
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
un conocimiento profundo del tema bajo estudio y se considera que la información
aportada por esas personas es vital para la toma de decisiones.
5.2 Determinación del tamaño de la muestra
𝜎 = Nivel de confianza.
N = Población.
p = Probabilidad a favor.
q = Probabilidad en contra.
e = Error de estimación.
n= Muestra
5.3 Muestreo aleatorio simple
Cuando se selecciona un grupo de n unidades muestrales de tal manera que cada muestra
de tamaño n tenga la misma posibilidad de ser seleccionada. Este tipo de muestreos se
aplica cuando todos los elementos de la población bajo estudio se encuentran agrupados
de la misma forma, sin distingos de ninguna especie.
Por ejemplo, un lote de artículos agrupados a granel en un solo contenedor.
5.4 Muestreo estratificado
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Consiste en separar los elementos de la población en grupos que no presenten traslapes,
llamados estratos, y la selección posterior de una muestra aleatoria simple de cada estrato.
La estratificación es la separación de los datos en grupos de la misma especie o que tienen
el mismo origen. Se usa el término estratificación por una similitud con la manera en que
las capas terrestres o estratos, forman la corteza de la tierra; por lo que cuando un grupo
de datos con características importantes comunes se separa del total de datos disponibles,
se dice que se estratifica.
Algunos ejemplos de estratificación pueden ser: por turno, por proveedor de materia prima,
por operario, por máquina, por semana, por método de trabajo, por molde, etcétera.
Por ejemplo, los seres humanos pueden ser estratificados por sexo, por edad, por lugar de
origen, etcétera.
El muestreo aleatorio estratificado es aplicable cuando la población bajo estudio se
encuentra agrupada en bloques perfectamente distinguibles y sin traslapes; por ejemplo,
un lote de artículos que llega en m cajas. Un grupo de alumnos en un salón no es
homogéneo, está dividido por el sexo de cada alumno, la carrera que estén estudiando, el
semestre de avance, la edad, etcétera; en este caso, si se va a realizar un estudio con ellos,
conviene estratificarlos.
5.5Muestreo por conglomerados
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Cuando cada unidad de muestreo aleatorio es a su vez una colección o conglomerado de
elementos. Las colonias de la Zona Metropolitana de la Ciudad de México, no pueden
considerarse como estratos, porque las características de los habitantes en cada una de
ellas, no pueden considerarse como semejantes; por ejemplo, el nivel socioeconómico de
las familias no puede analizarse tomando a las colonias como estratos, porque en cada
colonia existen niveles socioeconómicos diversos.
Se utiliza cuando las unidades de la población presentan alguna forma de agrupamiento,
que permite elegir grupos en lugar de individuos.
5.6 Muestreo sistemático
Se obtiene al seleccionar aleatoriamente un elemento de los primeros k elementos en el
marco y después seleccionar cada k-ésimo elemento a partir del primero.
El muestreo sistemático es aplicable cuando la población bajo estudio se encuentra
ordenada de alguna forma sistemática; por ejemplo, si al hacer un experimento, la
característica que se está analizando, depende de la estatura de los miembros, es
conveniente entonces, antes de aplicar el muestreo, ordenar a los miembros de la
población por estatura (puede ser de mayor a menor o de menor a mayor) y aplicar
el muestreo sistemático.
También es aplicable el muestreo sistemático, cuando la población bajo estudio está
surgiendo de una línea de producción; por ejemplo, si están saliendo de la línea de
producción 10000 contactos de plata por hora y deseamos obtener una muestra de
tamaño n=100, que sea representativa de la población producida en todo un turno
Pérez Moreno Rogelio Jesús
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
de trabajo de 8 horas; entonces, tendríamos que sacar un contacto cada 800
producidos, lo cual significa sacar un contacto cada 5 minutos aproximadamente, a
lo largo de todo el turno.
Pérez Moreno Rogelio Jesús
