energia condiciones contorno bomba ariete gea utfsm

CONDICIONES DE CONTORNO BOMBA DE ARIETE.
Autor: Cand. Ingeniero Civil Mecánico Alberto Hidalgo.
Departamento de Mecánica UTFSM
Universidad Técnica Federico Santa María.
www.gea.usm.cl
INTRODUCCION
Para resolver el problema del golpe de ariete, y con esto determinar el comportamiento
de la bomba de ariete UTFSM, es necesario conocer las funciones que manejan las
condiciones de contorno en los extremos de la tubería y las condiciones iniciales (t=0) para
el caudal y la presión en el sistema. A continuación se presentarán las expresiones que se
utilizarán en la modelación.
DESARROLLO.
El sistema a tratar consta de varios
problemas, el primero es la condición de
contorno en el extremo superior. Por
simplicidad se asumirá que la variación
en la altura será sinusoidal y variará desde
la altura Ho mostrada en el diagrama 1.
amplitud de la altura, y si además
sabemos que cuando el pulso recorre una
distancia de 4L se cumple un ciclo, por lo
4L
. Con esto se diseñó el
tanto Τ =
a
primer programa para la resolución de la
condición de contorno en el extremo
superior. En la siguiente figura se muestra
la interfaz grafica de entrada de datos.
Figura 1. Esquema bomba de ariete.
La variación de la altura será entonces
Ho(t ) = Ho + A * sen( wt )
con
2π
w=
a donde a es la velocidad con
4L
que se mueve el pulso de presión y A es la
Figura 2. interfaz extremo superior.
Al programa se le entregará la
profundidad del agua en el estanque
además de la amplitud de la oscilación.
La altura de que hay entre la base del
estanque y el suelo esta determinado. El
resultado se muestra en la figura 3.
Figura 3. Grafico altura-tiempo.
En la figura 3 se observa la variación de
altura con respecto al tiempo en el
estanque de descarga para una altura de
2,1 [m] una amplitud de 0.01 [m] y un
intervalo de tiempo de 0.1 [s]. El
programa se muestra a continuación.
% --------------------------------------------% velocidad del sonido en el agua [m/s]
a=sqrt(K/(Ro*(1+(K*De/(E*e)))));
% intervalo de tiempo [s]
deltaT=deltaX/a;
% vector tiempo [s]
t=[0:deltaT:2];
% frecuencia angular
w=2*pi*a/(4*L);
% ---------------------------------------------% altura [m]
H1=Ho+Hob+Ao*sin(w*t);
J=[deltaT;a];
% ---------------------------------------------% archivo de salida H
save CCES.out H1 -ASCII;
% archivo de salida J
save RESULTADOS1.out J -ASCII;
% ----------------------------------------------
Los
archivos
CCES.out
y
RESULTADOS1.out son los archivos en
los cuales se guardarán el vector de
alturas y en vector con propiedades a
ocupar
en
forma
posterior,
respectivamente.
En el caso del extremo inferior de la
tubería se tienen dos casos importantes
para analizar. En primer lugar se tiene el
caso en que el tiempo de cierre y la
velocidad antes del cierre en la tubería
son ingresados. En segundo lugar se tiene
el caso en que se quiere determinar tanto
el tiempo de cierre como la velocidad
antes del cierre. A continuación se verá el
primer caso.
Tanto el tiempo de cierre como la
velocidad del flujo se ingresarán mediante
la interfaz grafica mostrada en la
siguiente figura.
Figura 4. Interfaz grafica tiempo velocidad.
La ecuación con la que se modelará el
cierre es la siguiente.
Q(t ) = Q0 e − kt
Q0 = AV0 A es el área de la
Donde
tubería y Vo es la velocidad ingresada
mediante la interfaz. K es el factor de que
determina la rapidez con que decae el
caudal. Dado que la exponencial no llega
nunca a cero se consideró un valor final
para el caudal de 10-4. Luego
K=
log(10 −4 )
Tc
En el caso en que se tiene que determinar
el caudal de cierre y el tiempo de cierre el
proceso es el mismo, con la salvedad de
que se tienen que encontrar los valores
que anteriormente fueron ingresados
mediante la interfaz grafica. El calcula a
realizar se muestra a continuación.
De la ecuación
movimiento
save CCEI.out T -ASCII;
save RESULTADOS2.out J -ASCII;
La salida del programa es guardada en los
archivos CCEI.out para el caudal y el
tiempo, y RESULTADOS2.out para datos
que se utilizarán posteriormente.
Figura 5. Grafico Q(t).
cantidad
de

LV 2  γAL ∂V
=
γA Ho − f
2 gD 
g ∂t

Te
∫ dt =
0
El programa se muestra a continuación.
Ae=pi*De^2/4;
Qo=Ae*V;
t=[0:deltaT:Tc];
K=-log(1e-4)/Tc;
Q=Qo*exp(-K*t);
T(1,:)=t;
T(2,:)=Q;
J=[Tc;V;Qo];
de
t=
LV02 V dV
2 gHo ∫0 V02 − V 2
LV0  V0 + V
ln
2 gHo  V0 − V



Ec.
14
Donde
t: Tiempo [s]
Vo: Velocidad en el estado estacionario
[m/s]
L: Largo de la tubería [m]
g: Aceleración de gravedad [m/s2]
Ho: Altura de agua [m]
V: Velocidad en un instante [m/s2]
LV0  V0 + V 
 donde
ln
2 gHo  V0 − V 
L es la longitud de la tubería Ho es la
altura de la descarga, g es la aceleración
de gravedad, Vo es la velocidad en el
estado estable (Torricelli) V es una
velocidad cualquiera y t es el instante en
que se encuentra esta velocidad.
Se tiene que t =
V0 = 2 gHo
La pregunta a resolver es ¿Cuál es la
velocidad necesaria para el cierre? La
velocidad de cierre es la necesaria para
superar la presión ejercida por la válvula
de cierre, ésta es
Donde Mv es la masa de la válvula, ρ es
la densidad del agua y Kv es una constan
de perdida que se determinará de forma
empírica mediante un ensayo. Ahora bien,
para cerrar la válvula se resolverá la
suma de fuerzas sobre el plato de la
válvula. Como se muestra en la siguiente
figura.
Figura6. DCL plato válvula.
∑F
y
= M va
Pv Ae − M v g = M v a
a=
Pv Ae
−g
Mv
a=
k v ρAe 2
U −g
2M v
a=
k v ρAe 2
U −g
2M v
Y=
1 2
at
2
Si la velocidad varía en función del
tiempo como
2 gHo
α=
LVo
( − 1)
V = Vo e
(e + 1)
αt
αt
Entonces lo que se hará es dar
incrementos de tiempo calculando la
velocidad V con la cual se calculará la
aceleración a para obtener el recorrido Y,
Uo =
2M v g
ρAe k v
cuando Y sea igua a la carrera de la
válvula se habrá obtenido el tiempo de
cierre de la válvula Tc.
Para el cálculo del tiempo de cierre se
construyó
la
función
CIERREVALVULA.m que se muestra a
continuación.
function [X]=CIERREVALVULA(carr,X1)
%X1=[Ro,Uo,L,g,Mv,Ae,kv,Ho];
g=X1(1,4);
L=X1(1,3);
Uo=X1(1,2);
kv=X1(1,7);
Ro=X1(1,1);
Ae=X1(1,6);
Mv=X1(1,5);
Ho=X1(1,8);
Vo=sqrt(2*g*Ho);
alfa=2*g*Ho/(L*Vo);
Te=L*Vo*log((Vo+Uo)/(Vo-Uo))/(2*g*Ho);
tol=1;
t=0;
i=1;
while tol>1E-6,
t=t+0.00001;
U=Vo*(exp(alfa*(t+Te))1)/(exp(alfa*(t+Te))+1);
av=(kv*Ro*Ae*U^2/2-Mv*g)/Mv;
ca=av*t^2/2;
tol=carr-ca;
end
X=[Te,t,U];
La entrada al programa es la carrera de la
válvula y un vector de propiedades. Estas
son,
respectivamente,
[densidad,
velocidad
de cierre, longitud de la
tubería, aceleración de gravedad, masa de
la válvula, área de la tubería, factor de
pérdida, altura de descarga]. La salida del
programa es el tiempo de establecimiento
de flujo (tiempo para lograr la velocidad
de cierre), el tiempo de cierre y la
velocidad final en el cierre.
La interfaz grafica para el ingreso de
datos se muestra en la figura 7.
En este caso, además de ingresar los datos
de la válvula de impulso, se ingresarán los
datos del tanque de acumulación. El
proceso de cierre de la válvula es
independiente del tanque por lo que se
realizará el mismo cálculo hecho
anteriormente para obtener el tiempo de
cierre. Ahora bien, el decaimiento del
flujo en la válvula se verá influenciado
por el ingreso de flujo al estanque de
acumulación, por lo que se asumirá
superposición y ambos caudales se
sumarán. El caudal en la válvula de
impulso viene dado por Q(t ) = Q0 e − kt ,
determinada anteriormente, y la función
que gobierna el ingreso de flujo se
obtendrá mediante ensayo siendo el
modelo como sigue.
Q(t ) =
A
t
Figura7. DCL plato válvula
M es la masa de la válvula y X es la
carrera de apertura de la válvula.
Igualmente al caso anterior la salida del
programa será guardada en los archivos
CCEI.out y RESULTADOS2.out.
En el caso en que se considera el tanque
de acumulación se tiene la siguiente
interfaz.
Donde Q es el caudal en m3/s, A es un
coeficiente determinado en el ensayo y t
es el tiempo. Esta ecuación es valida si y
solo si t es distinto de cero, por lo cual en
la interfaz se pide la altura de descarga
deseada para estimar el instante en que el
sistema está funcionando, con esto se
hace un desplazamiento para que la
ecuación del tanque y la ecuación de la
válvula (que se evalúa desde t=0 hasta t=
tiempo de cierre) ocurran en un tiempo
equivalente.
De acuerdo a los valores obtenidos en el
ensayo se aproximó la siguiente ecuación
t = 0.0427 * H ^ 2 + 0.47 * H − 10.208
Luego conocido t se correrá a un intervalo
t-Tc donde Tc es el tiempo de cierre y con
esto las ecuaciones son compatibles.
La grafica obtenida para el decaimiento
del caudal se aprecia en el siguiente
grafico.
H i = H ob + H 1 − hi
H 1 = H 0 − H ob −
Como se aprecia en la curva el caudal de
ingreso al tanque no afecta prácticamente
en nada al caudal de cierre. Esto se
explica por que como se ve en la figura el
caudal de cierre es del orden de 10-3 y el
caudal de ingreso es del orden de 10-5 por
lo tanto hay dos ordenes de magnitud de
diferencia (ver ensayo). Por ultimo, para
la resolución del problema del ariete es
necesario, además de conocer las
condiciones de contorno inferior y
superior, conocer las condiciones
iniciales del sistema, esto es, la presión y
el caudal en t=0.
La condición inicial para el caudal se
conoce a partir de la condición de
contorno en el extremo inferior, debido a
que la compresibilidad no se produce
hasta que se produce el golpe.
En el caso de la condición inicial para la
altura de presión, se calculará a partir de
la ecuación de energía o Bernoulli como
sigue.
hi = H ob −
U2
2g
H ob
∆x
L
Reemplazando y despejando para Hi se
obtiene la altura de presión inicial del
sistema. Las presiones son manométricas.
El caudal en la tubería es el mismo a lo
largo de la misma puesto que los efectos
de la compresibilidad no se presentan
hasta después del golpe.
CONCLUSIONES.
La primera conclusión importante es que
la utilización de ensayos para la
aproximación de las condiciones de
contorno simplificó de sobremanera el
cálculo, puesto que estas, las condiciones
de contorno, son funciones implícitas ya
que dependen de la presión y caudal que
se genera en la tubería producto del golpe
de ariete.
Otro aspecto importante es el hecho de
que la variación de las propiedades en la
válvula de impulso son las mas relevantes
en el problema del ariete, puesto que por
una parte nos indican la presión máxima
teórica que se puede alcanzar, con esto
podemos ver que factores disminuyen la
eficiencia de la bomba. Se puede decir
con esto que la válvula antirretorno
ubicada en la base del tanque de
acumulación no trabaja de forma deseable
puesto que es debida a esta que no se
alcanzan las presiones teóricas. Si
comparamos las graficas de altura de
sobre presión con las graficas obtenidas
en el ensayo nos daremos cuenta que la
presión
teórica
sobrepasa
por
aproximadamente 20 [m] la presión
obtenida, lo que eventualmente podría ser
mejorado.
Por ultimo se puede decir que en el
funcionamiento de la bomba no existe
relación alguna entre el cierre de la
válvula de impulso y el tanque de
acumulación, esto es, no es posible
apreciar una variación importante entre
un cambio de masa en la válvula de
impulso y el caudal de entrada al estanque
de acumulación, por lo que en términos
generales no debiera reflejarse un
aumento de eficiencia en el equipo.
Distinto es el caso de una variación en la
altura de descarga a la cual trabaja la
bomba; no es lo mismo hacer trabajar la
bomba a 10 [m] que a 40[m], esto
provoca una disminución en el caudal de
descarga, aprovechable, lo que además
provoca una disminución en la eficiencia
de la misma.
Se propondrá a los constructores del
equipo
probar
nuevas
válvulas
antirretorno para mejorar el hermetismo
que debe existir entre el tanque de
acumulación, el cual contiene agua a
presión) y la tubería de descarga del
sistema, que es la que mueve la válvula
de impulso. Otro punto de mejora podría
ser el cambio de la geometría del tanque
de acumulación, pero el problema es
potencialmente mas complicado puesto
que habría que probar, esto significa,
construir y ensayar cada uno de los
modelos a desarrollar, lo que implicaría
un costo tanto en materiales, mano de
obra y tiempo que supera por mucho el
costo de probar distintas válvulas
antirretorno, que es un dispositivo barato,
simple y fácil de modificar.
Más información:
www.gea.usm.cl
www.usm.cl
www.mec.usm.cl
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