Unidad: Transformada de Laplace Profesora: Yessennia Martínez Martínez 2o Semestre de 2018 Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 1 / 17 Aprendizaje Esperado Determina la transformada de Laplace de distintas funciones, según los distintos métodos, a través de solución de ejercicios y problemas. Competencia Genérica Resolución de problemas Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 2 / 17 Transformada de Laplace Estudiaremos un operador lineal L conocido con el nombre de Transformada de Laplace, el cual es uno de los operadores más eficientes para resolver ciertas EDO. Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 3 / 17 Definiciones Previas Definición Sea una función f : [a, b] → R, x 7→ y = f (x ), se dice que f es continua por tramos (o seccionalmente continua) en [a, b] si: 1 f es continua, salvo en un número finito de puntos, 2 los límites laterales existen para cada x0 ∈ [a, b], esto es f (x0− ) = l«ım− f (x0 +h) = l«ım− f (x ) f (x0+ ) = l«ım+ f (x0 +h) = l«ım+ f (x ) h→x0 x →x0 x →x0 h→x0 Ejemplo 1 2 x f (x ) = 2 − x 3x − 12 x f (x ) = e Yessennia Martínez M. (INACAP) ,x <1 ,1≤x ≤2 ,x >2 3 1 1 f (x ) = x x ,x ≤0 ,0<x ≤2 ,x >2 2o Semestre de 2018 4 / 17 Si f es continua por tramos en [a, b], con discontinuidades en x0 , x1 , x2 , ..., xn y posiblemente también a y b, entonces se tiene la integral definida: Z b Z x0 +h Z x1 +h Z x2 +h f (t)dt = l«ım f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt+ h→0 a a+h x0 +h x1 +h ! Z b+h ... + f (t)dt xn +h Ejemplo ( f (x ) = x2 1−x ,0≤x ≤1 ,1<x ≤2 Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 5 / 17 Definición En particular, si f y g son funciones idénticas en todos los puntos de [a, b], excepto en sus puntos de discontinuidad, entonces diremos que f y g son iguales casi en todas partes. Además, si f y g son iguales casi en todas partes, entonces Z b Z f (x )dx = a b g(x )dx a Ejemplo 2 x − 4 ,x= 6 2 f (x ) = x − 2 1 ,x =2 g(x ) = x + 2, x ∈ R Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 6 / 17 Definición Sea f una función a valores reales definida en el intervalo [0, +∞[ y, consideramos Z +∞ la integral impropia e −st f (t)dt, s variable real. Si en tal caso existe 0 (converge), entonces se dice que f tiene Transformada de Laplace L(f ) ó L(f )(s) ó F (s), así Z L(f )(s) = F (s) = +∞ e −st f (t)dt 0 Z +∞ Recordemos que divergente. e −st f (t)dt = l«ım e −st f (t)dt puede ser convergente o 0 b→+∞ Ejemplos 1 Si f (t) = e 2t 2 Si f (t) = e at , a ∈ R Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 7 / 17 Definición Se dice que L(f ) es una función de Orden Exponencial si existen constantes c y α, c > 0, tales que |f (t)| ≤ ce αt , t > 0. Ejemplo 1 f (t) = cos(t), t > 0 Teorema Si f Zes seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces existe α ∈ R tal +∞ e −st f (t)dt = L(f ) es convergente, ∀s > α, es decir, existe que 0 Transformada de Laplace de f . Observación Con este criterio sabemos que las funciones de orden exponencial: t n , t n e at , t n e at cos(bt), t n e at sen(bt), cos(bt), sen(bt), e at , ..., entre otras, tienen Transformada de Laplace. Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 8 / 17 Algunas T. de L. a ,s>0 s 2 + a2 s L(cos(at)) = 2 ,s>0 s + a2 1 L(1) = , s > 0 s 1 L(t) = 2 , s > 0 s n! L(t n ) = n+1 , s > 0 s 1 L(e at ) = ,s>a s −a L(sen(at)) = Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 9 / 17 Definición Siempre que una ecuación L(y ) = ϕ(s) con incógnita y = y (t) se puede resolver, la solución es esencialmente única, y se llama Transformada Inversa de Laplace y = y (t) o y = L−1 (ϕ(s)). Se tiene L−1 (ϕ) = y si y sólo si ϕ = L(y ) Ejemplo 1 2 3 1 L s2 2 L−1 s3 s −1 L s 2 + 16 −1 Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 10 / 17 Teorema Si f es seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces l«ım L(f ) = 0 s→+∞ Observaciones El contrarrecíproco del teorema anterior es: si l«ım L(f ) 6= 0, entonces no s→+∞ existe transformada inversa de Laplace de f . La observación anterior permite decir inmediatamente que funciones, tales s2 + 4 como , s, s 2 , sen(s), etc., no tienen transformada inversa. s +1 Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 11 / 17 Propiedades de Transformada de Laplace Teorema (Linealidad de T. de L.) Si f y g son funciones continuas por tramos y de orden exponencial, α y β números reales, entonces L (αf (t) + βg(t)) = αL(f ) + βL(g), α, β ∈ R Corolario αL−1 (F ) + βL−1 (G) = αf + βg ó L−1 (αF + βG) = αL−1 (F ) + βL−1 (G), α, β ∈ R Ejemplos 1 2 Evalúe la T. de L. de f (t) = 3t 6 − t 7 + 6 − 5e 2t + 3cos(6t) 1 12 Encuentre la Transformada inversa, si existe, de F (s) = + 2 s s + 16 Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 12 / 17 Teorema (Primera Propiedad de Traslación) Si L(f (t)) = F (s), entonces L(e bt f (t)) = F (s − b), s >a+b Corolario Se tiene que: L−1 (F (s − a)) = e at L−1 (F (s)) Ejemplos 1 Evalúe la T. de L. de f (t) = e 3t cos(5t) 2 Encuentre la Transformada inversa, si existe, de F (s) = Yessennia Martínez M. (INACAP) 4 (s − 1)2 2o Semestre de 2018 13 / 17 Teorema (Propiedad de la Derivada) L(f 0 ) = sL(f ) − f (0+ ) L(f 00 ) = s 2 L(f ) − sf (0+ ) − f 0 (0+ ) En general: L f (n) = s n L(f ) − s (n−1) f (0+ ) − s (n−2) f 0 (0+ ) + ... + f (n−1) (0+ ) Ejemplo Calcule L(sen2 (at)) Teorema (Propiedad de la Integral) Z t Z 1 1 a f (x )dx = L(f ) − L f (x )dx s s 0 a Esta propiedad se usa para resolver ecuaciones diferenciales integrales (que contienen integrales) y para evaluar T. de L. de ciertas funciones. Ejemplo Evalúe L(te t ) Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 14 / 17 Ejemplo La transformada de Laplace se puede usar para resolver EDO, por ejemplo ( y 00 − 4y = 0 y (0) = 1, y 0 (0) = 2 El ejemplo muestra las siguientes etapas: Aplicar T. de L. a la EDO Encontrar una ecuación en Y Aplicar T. Inversa en la solución Y (s) para obtener y (t) = L−1 (Y (s)) Ejemplo Resuelva el PVI Yessennia Martínez M. (INACAP) ( y 00 − 3y 0 + 2y = 4t − 6 y (0) = 1, y 0 (0) = 3 2o Semestre de 2018 15 / 17 Teorema Si L(f ) = F (s), entonces L[t n f (t)] = (−1)n Además, L −1 dn (F (s)) ds n dn (F (s)) = (−1)n t n L−1 (F ) ds n Ejemplo 1 2 Evalúe L[t · cos(4t)] s −a −1 Evalúe L ln s −b Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 16 / 17 Propiedad de Convolución Para f y g funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial se define el Producto de Convolución entre f y g como Z t (f ∗ g)(t) = f (t − u) · g(u) du 0 Ejemplo Calcule 1 ∗ sen(t) Teorema de Convolución Si L[f (t)] = F (s) y L[g(t)] = G(s), entonces L[f ∗g] = L[f ]·L[g] ⇔ L[f (t)∗g(t)] = F (s)·G(s) ⇔ L−1 [F (s)·G(s)] = f (t)∗g(t) Ejemplo −1 Calcule L 1 2 s(s + 1) Yessennia Martínez M. (INACAP) 2o Semestre de 2018 17 / 17