Transf de Lapl

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Unidad: Transformada de
Laplace
Profesora: Yessennia Martínez Martínez
2o Semestre de 2018
Yessennia Martínez M. (INACAP)
2o Semestre de 2018
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Aprendizaje Esperado
Determina la transformada de Laplace de distintas
funciones, según los distintos métodos, a través de
solución de ejercicios y problemas.
Competencia Genérica
Resolución de problemas
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Transformada de Laplace
Estudiaremos un operador lineal L conocido con el nombre de Transformada de
Laplace, el cual es uno de los operadores más eficientes para resolver ciertas EDO.
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Definiciones Previas
Definición
Sea una función f : [a, b] → R, x 7→ y = f (x ), se dice que f es continua por
tramos (o seccionalmente continua) en [a, b] si:
1
f es continua, salvo en un número finito de puntos,
2
los límites laterales existen para cada x0 ∈ [a, b], esto es
f (x0− ) = l«ım− f (x0 +h) = l«ım− f (x )
f (x0+ ) = l«ım+ f (x0 +h) = l«ım+ f (x )
h→x0
x →x0
x →x0
h→x0
Ejemplo
1
2


x
f (x ) = 2 − x


3x − 12
x
f (x ) = e
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,x <1
,1≤x ≤2
,x >2
3


1


1
f (x ) =

x


x
,x ≤0
,0<x ≤2
,x >2
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Si f es continua por tramos en [a, b], con discontinuidades en x0 , x1 , x2 , ..., xn y
posiblemente también a y b, entonces se tiene la integral definida:
Z b
Z x0 +h
Z x1 +h
Z x2 +h
f (t)dt = l«ım
f (t)dt +
f (t)dt +
f (t)dt+
h→0
a
a+h
x0 +h
x1 +h
!
Z
b+h
... +
f (t)dt
xn +h
Ejemplo
(
f (x ) =
x2
1−x
,0≤x ≤1
,1<x ≤2
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Definición
En particular, si f y g son funciones idénticas en todos los puntos de [a, b],
excepto en sus puntos de discontinuidad, entonces diremos que f y g son iguales
casi en todas partes.
Además, si f y g son iguales casi en todas partes, entonces
Z
b
Z
f (x )dx =
a
b
g(x )dx
a
Ejemplo
 2
x − 4
,x=
6 2
f (x ) = x − 2

1
,x =2
g(x ) = x + 2, x ∈ R
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Definición
Sea f una función a valores reales definida en el intervalo [0, +∞[ y, consideramos
Z +∞
la integral impropia
e −st f (t)dt, s variable real. Si en tal caso existe
0
(converge), entonces se dice que f tiene Transformada de Laplace L(f ) ó
L(f )(s) ó F (s), así
Z
L(f )(s) = F (s) =
+∞
e −st f (t)dt
0
Z
+∞
Recordemos que
divergente.
e −st f (t)dt = l«ım e −st f (t)dt puede ser convergente o
0
b→+∞
Ejemplos
1
Si f (t) = e 2t
2
Si f (t) = e at , a ∈ R
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Definición
Se dice que L(f ) es una función de Orden Exponencial si existen constantes c y
α, c > 0, tales que |f (t)| ≤ ce αt , t > 0.
Ejemplo
1
f (t) = cos(t), t > 0
Teorema
Si f Zes seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces existe α ∈ R tal
+∞
e −st f (t)dt = L(f ) es convergente, ∀s > α, es decir, existe
que
0
Transformada de Laplace de f .
Observación
Con este criterio sabemos que las funciones de orden exponencial: t n , t n e at ,
t n e at cos(bt), t n e at sen(bt), cos(bt), sen(bt), e at , ..., entre otras, tienen
Transformada de Laplace.
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Algunas T. de L.
a
,s>0
s 2 + a2
s
L(cos(at)) = 2
,s>0
s + a2
1
L(1) = , s > 0
s
1
L(t) = 2 , s > 0
s
n!
L(t n ) = n+1 , s > 0
s
1
L(e at ) =
,s>a
s −a
L(sen(at)) =
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Definición
Siempre que una ecuación L(y ) = ϕ(s) con incógnita y = y (t) se puede resolver,
la solución es esencialmente única, y se llama Transformada Inversa de Laplace
y = y (t) o y = L−1 (ϕ(s)). Se tiene
L−1 (ϕ) = y si y sólo si ϕ = L(y )
Ejemplo
1
2
3
1
L
s2
2
L−1
s3
s
−1
L
s 2 + 16
−1
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Teorema
Si f es seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces
l«ım L(f ) = 0
s→+∞
Observaciones
El contrarrecíproco del teorema anterior es: si l«ım L(f ) 6= 0, entonces no
s→+∞
existe transformada inversa de Laplace de f .
La observación anterior permite decir inmediatamente que funciones, tales
s2 + 4
como
, s, s 2 , sen(s), etc., no tienen transformada inversa.
s +1
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Propiedades de Transformada de Laplace
Teorema (Linealidad de T. de L.)
Si f y g son funciones continuas por tramos y de orden exponencial, α y β
números reales, entonces
L (αf (t) + βg(t)) = αL(f ) + βL(g),
α, β ∈ R
Corolario
αL−1 (F ) + βL−1 (G) = αf + βg
ó L−1 (αF + βG) = αL−1 (F ) + βL−1 (G),
α, β ∈ R
Ejemplos
1
2
Evalúe la T. de L. de f (t) = 3t 6 − t 7 + 6 − 5e 2t + 3cos(6t)
1
12
Encuentre la Transformada inversa, si existe, de F (s) = + 2
s
s + 16
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Teorema (Primera Propiedad de Traslación)
Si L(f (t)) = F (s), entonces
L(e bt f (t)) = F (s − b),
s >a+b
Corolario
Se tiene que:
L−1 (F (s − a)) = e at L−1 (F (s))
Ejemplos
1
Evalúe la T. de L. de f (t) = e 3t cos(5t)
2
Encuentre la Transformada inversa, si existe, de F (s) =
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4
(s − 1)2
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Teorema (Propiedad de la Derivada)
L(f 0 ) = sL(f ) − f (0+ )
L(f 00 ) = s 2 L(f ) − sf (0+ ) − f 0 (0+ )
En general:
L f (n) = s n L(f ) − s (n−1) f (0+ ) − s (n−2) f 0 (0+ ) + ... + f (n−1) (0+ )
Ejemplo
Calcule L(sen2 (at))
Teorema (Propiedad de la Integral)
Z t
Z
1
1 a
f (x )dx = L(f ) −
L
f (x )dx
s
s 0
a
Esta propiedad se usa para resolver ecuaciones diferenciales integrales (que
contienen integrales) y para evaluar T. de L. de ciertas funciones.
Ejemplo
Evalúe L(te t )
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Ejemplo
La transformada de Laplace se puede usar para resolver EDO, por ejemplo
(
y 00 − 4y = 0
y (0) = 1, y 0 (0) = 2
El ejemplo muestra las siguientes etapas:
Aplicar T. de L. a la EDO
Encontrar una ecuación en Y
Aplicar T. Inversa en la solución Y (s) para obtener y (t) = L−1 (Y (s))
Ejemplo
Resuelva el PVI
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(
y 00 − 3y 0 + 2y = 4t − 6
y (0) = 1, y 0 (0) = 3
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Teorema
Si L(f ) = F (s), entonces
L[t n f (t)] = (−1)n
Además, L
−1
dn
(F (s))
ds n
dn
(F (s)) = (−1)n t n L−1 (F )
ds n
Ejemplo
1
2
Evalúe L[t · cos(4t)]
s −a
−1
Evalúe L
ln
s −b
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Propiedad de Convolución
Para f y g funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial se define el
Producto de Convolución entre f y g como
Z t
(f ∗ g)(t) =
f (t − u) · g(u) du
0
Ejemplo
Calcule 1 ∗ sen(t)
Teorema de Convolución
Si L[f (t)] = F (s) y L[g(t)] = G(s), entonces
L[f ∗g] = L[f ]·L[g] ⇔ L[f (t)∗g(t)] = F (s)·G(s) ⇔ L−1 [F (s)·G(s)] = f (t)∗g(t)
Ejemplo
−1
Calcule L
1
2
s(s + 1)
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