UVA %22Cuaderno de Pitácora%22

Universidad de Valladolid
Facultad de Educación
y Trabajo Social
1º Grado en Educación Primaria. Grupo 2. Curso 2016/17. Mayo 2017.
Fundamentos Numéricos y Estrategias Didácticas para su Enseñanza.
Departamento de Didáctica de las CC. Experimentales, Sociales y de la Matemática.
“Cuaderno de Pitácora”
Autor
Díaz Arranz, Francisco Boris
Índice
Introducción ................................................................................................. 3
Sección académica personal ......................................................................... 3
Actividades propuestas por el docente ......................................................... 4
P1.- Un viaje en metro .............................................................................. 4
Clase teórica A ........................................................................................ 10
P3.- El batido de rana .............................................................................. 10
P5.- El huerto .......................................................................................... 16
C1.- Hilbert_el hotel ............................................................................... 19
P7.- El vendedor de libros....................................................................... 22
C2.- Sistemas de numeración.................................................................. 26
Clase teórica B ........................................................................................ 28
P9.- Patrones ........................................................................................... 28
C3.- Sucesiones ....................................................................................... 32
P11.- Divide y vencerás .......................................................................... 35
P12.- Diagramas, tablas y figuras ........................................................... 39
Entradas predeterminadas por el estudiante ............................................... 46
Comentarios finales y autoevaluación general ........................................... 46
Autoevaluación del aprendizaje y autocalificación .................................... 46
Registro de incidencias, tutorías y anécdotas ............................................. 47
2 Introducción
Trabajo propuesto por el docente en didáctica matemática del grupo G2 del grado de
educación primaria en el Campus Universitario Miguel Delibes, para la asimilación y
clarificación de conceptos además de un estudio exhaustivo de los diferentes métodos
que hay para llegar a una solución.
Sección académica personal
En este cuaderno lo que he tratado de plasmar ha sido todos los conocimientos que ido
incorporando a lo largo de este cuatrimestre en esta asignatura, he aprendido a que las
matemáticas no son tal y como las conocemos, como es que hay cosas mas allá, que es
la didáctica matemática y como por medio de esta ser capaces de entender esta ciencia y
el ser capaces de transmitirla a mis futuros alumnos, he aprendido muchas cosas de las
cuales destacare las mas importantes que son: como hay a veces que no existe un único
resultado, sino que se pueden dar varios resultados, también los tipos de estrategias que
hay, la del ensayo-error, la de la elaboración de fórmulas, y uno de los métodos mas
importantes que resume casi todo, y es una herramienta que pocos de nosotros tenemos,
pero no nos damos cuenta de que la tenemos y luego cuando queremos saber como se
usa, no lo sabemos, y es lo que se conoce como el Método Poyla con sus cuatro pasos.
También a modo de conclusión he aprendido que a la hora de afrontarte un problema y
lo fallas, y lo intentas de diversas maneras, no implica que lo sepas, lo que pasa es que
tus razonamientos y tu pensamiento están un paso atrás, lo cual provoca este
impedimento, pero esto por medio de la gran herramienta de Poyla y una clara
aclaración de conceptos uno es capaz de seguir adelante.
3 Actividades propuestas por el docente
P1.- Un viaje en metro
En la primera clase (Práctica) que tuvimos en la que ya nos enseñaron el
funcionamiento y nos orientaron a cómo hacer nuestro cuaderno procederé a explicarlo,
su nombre:
Un viaje en metro:, en el que se nos presentaban una serie de problemas que teníamos
que resolver, hacer frente a hacer un recorrido y pasar por ciertas paradas obligatorias, y
las preguntas que se nos formulaban y debíamos de elaborar una respuesta eran tales
como “ Parar en unas estaciones determinadas“ “Optimizar el trayecto”… a la hora de
resolver estas cuestiones y otras mas, nos dimos cuenta que dependiendo en cuenta que
tengamos de ciertos términos (p.ejem. Optimización) varían las cosas, debido a que
algunos lo conciben como menor número de paradas, otros como menor tiempo y un
largo etc.
Al final todo esto traduciéndolo al lenguaje matemático guardaba una gran relación con
los grafos, los nodos y las aristas que estos poseen, y cómo dependiendo de estos se
puede hacer un recorrido de A -> B sin repetir arista, o sin repetir nodo, y es lo que da
lugar a los circuitos Eulerianos y Hamiltonianos.
4 Cuestiones para “calentar motores”
1. ¿Eres capaz de trazar un itinerario que cumpla con las premisas anteriores?
Descríbelo.
5 Según nuestro quipo decidimos hacer este recorrido debido a que nos basamos
en la variable del tiempo.
2. ¿Se te ocurren itinerarios alternativos que cumplan las mismas condiciones?
Aquí adjuntamos uno de los recorridos que se nos ocurrió, en el cual nos
basamos en el menor número de transbordos posibles y tratando de que fuera
también por menos paradas.
6 3. ¿Qué sentido has dado al término “optimizar”?
- A nivel de grupo dimos el sentido de optimizar el menos número de paradas
posible, ya que si tenía menos paradas, el tren tardaría menos tiempo.
- A nivel personal, para mi optimizar fuel el menos número de transbordos
posible, debido a que al no ser un recorrido monótono, hay que cambiar vías y
de tren, provoca una ralentización en el tiempo e incrementa la posibilidad de
que se diera un atraso.
4. ¿Cómo has encontrado la respuesta?
- A nivel de grupo, no había una respuesta común como tal, no hay una fórmula
mágica, porque todo tenía que ver cómo interpretáramos el concepto de
optimización.
- A nivel individual, no he encontrado ninguna respuesta, solo que esta varía en
función del recorrido que se haga.
7 5.
¿Has utilizado alguna estrategia o técnica?
A nivel de grupo, la estrategia que llevamos a cabo fue la del ensayo-error, el ir
probando y viendo a ver cual era la ruta mas corta, el problema que se nos
presentaba eran dos, el de hacer los emparejamientos, debido a que como eran
grandes, nos perdíamos, y el recordar por donde habíamos pasado.
A nivel individual, fue exactamente la misma estrategia que la llevada en grupo.
6.
¿Has empleado algún tipo de material o representación auxiliar?
Tanto a nivel de grupo como a nivel individual, el único material que hicimos
fue el uso de colores para hacer los trazos y diferenciar las variables unas de
otras ( tiempo, menor número de paradas)
7. Imagina ahora que has llegado a Madrid en un cercanías o en autocar y que tu
punto de partida sólo puede ser una de las siguientes paradas: Chamartín,
Avenida de América o Sol. ¿Sigue siendo posible encontrar un itinerario en las
condiciones marcadas inicialmente?
El itinerario podía ser posible, pero dependía del número de transbordos que se
realizaran y el número de paradas, ya que en función de esto, incrementaba el
tiempo.
8. ¿Es posible iniciar y terminar el recorrido en el mismo punto?
Ir por el mismo trayecto por el que habíamos vuelto, pero con la parada de
Chamartín
9. Siguiendo con la situación hipotética anterior, ¿podemos encontrar el itinerario
deseado si están en obras y, por tanto, cerrados, los tramos Colombia-Nuevos
Ministerios (línea 8) y Avenida de América – Nuevos Ministerios (línea 6)?
Si que se podría llegar a ejecutar, pero se vería el incremento de la mayoría de
las variables, ya que al estar cerradas estas paradas, son tramos neurálgicos
(Colombia-Nuevos Ministerios) y hay que dar un rodeo para poder llegar a estas
paradas, por (Cuatro caminos), (Avenida de América) etc.
P1.1 Cuestiones complementarias
Haz, si no lo hiciste ya, una representación abstracta del problema planteado en la
Cuestión 7 basada en puntos y líneas. ¿Cómo se llama el objeto matemático resultante?
El objeto matemático resultante es un grafo.
8 Enuncia ahora el problema en términos matemáticos o, al menos, descontextualizados
del problema concreto del metro. ¿Recuerdas problemas similares a los que te hayas
enfrentado alguna vez?
No los recuerdo, pero recuerdo en ingeniería informática que nos ponían problemas de
este tipo pero también añadiéndoles grafos dirigidos y con bucles.
¿Por qué crees que no es posible realizar el itinerario solicitado? Dibuja distintos grafos
y elabora conjeturas que te permitan aventurar en qué casos es posible realizar
recorridos de un solo trazo sin dejar aristas sin recorrer y sin recorrer una misma arista
dos o más veces. Ve poniendo a prueba tus conjeturas (refútalas con contraejemplos o
busca argumentos que las avalen o refuercen) hasta dar con una respuesta
“convincente”.
Como he tratado de plasmar en la imagen siguiente, lo hice por medio del ensayo-error,
pero luego me di cuenta de que contando el número de nodos, había dos tipos de
camino, el camino Euleriano, en el cual se podía dibujar el grafo sin levantar el lápiz, y
tiene vértices de grado par, todos, a diferencia del camino hamiltoniano, si tiene mas de
dos vértices de grado impar.
P1.1 Cuestiones complementarias
9 Busca información sobre el problema de Los Puentes de Königsberg y relaciona la
misma con el trabajo realizado. ¿Qué matemáticas hay detrás y qué aplicaciones pueden
tener en tu vida cotidiana?
Después de una búsqueda exhaustiva Euler lo que quería era saber si se podía pasar por
todos los puentes sin repetir ninguno, pero al final nos hemos dado cuenta de que era
imposible debido a que el número de nodos al haber mas de dos nodos impares no te
sale camino eulerioano, sino hamiltoniano.
Las aplicaciones son infinitas, en una de ellas son por ejemplo en los sistemas de
navegación GPS (Global Position Satellite) para calcular la ruta mas corta, y que
quieres ir, si autopista, autovía, carretera convencional…. También aplicado en las
plataformas de redes sociales como “Facebook” para ver amigos de amigos y las
recomendaciones.
Clase teórica A
En la segunda clase (Teórica), nos enseñaron el triángulo didáctico, formado por los
elementos Alumno, Docente y Contenido; en los cuales el Alumno es el elemento
psicológico, el Docente es el polo profesional y el contenido es el Currículo.
También nos explicaron como el Autor Shulman dio la explicación del docente en que
donde convergían la ciencia del conocimiento y la ciencia de la pedagogía daba lugar al
conocimiento pedagógico del contenido (CPC); y cómo posteriormente el Autor Bill y
Hill desarrolla el CPC, que esta conformado por seis elementos.
También se habló del currículo y cómo este puede ser propositivo, que no es legislativo
y es mas vocacional a diferencia del currículo legal, que es mas prescriptivo; no nos
podemos salir de el. Lo cual esto da a lugar la importancia que tienen estos tres
elementos, y que cada uno de estos estar relacionados entre si, cada elemento tiene
como una pequeña definición, el alumnado es elemento psicológico, el docente es el
polo profesional y luego están los contenidos, y como esto junto con el currículo como
propuesta de acción educativa y los 3 elementos básicos que se deben saber en
matemáticas es todo lo que conforma el análisis de la didáctica matemática y los
elementos que la conforman.
P3.- El batido de rana
En la tercera clase (Práctica), nos plantearon el problema de La bruja y el batido de
rana, en el que nos daban una serie de datos y teníamos que responder a una sencilla y
completa pregunta, “¿ Mayor número de ranas que la bruja no podrá comprar?”
Este problema se le podía hacer frente de diversas maneras, pero la que era mas
adecuada a este tipo de problema era la de ensayo error, en ir probando cada uno de los
resultados hasta dar con el acertado, y todo esto se hacía por medio de una tabla en la
que al final, mediante acierto error, nos salía 27.
10 En un primer momento no supimos como hacer frente al problema, pero solo bastó con
la recogida de los datos que eran esenciales y eliminando aquellos que no eran
necesarios, por lo que luego después procedimos como primera técnica de resolución
mediante el ensayo error, pero sin el uso de tabla, solo basándonos en la recogida de
aquellos números que creíamos que eran esenciales, es decir, aquellos números que
valían, las combinaciones de 5 y 8, aquellos términos que eran comunes, pero nos dimos
cuenta de que conducía a error, debido a que nuestro sistema era limitado y nos llegaba
hasta 12, pero posteriormente cuando el profesor paso a la explicación del problema,
por medio ce la tabla que abarcaba los números del 1 al 50 ( porque hasta el 100, pues
era mas de lo mismo, a partir del 50, se tachaban todos), y por ensayo-error, el resultado
correcto era 27 (se muestra después de la imagen con explicación).
Subrayaremos de verde los números que podamos conseguir y de rojo aquellos que no
podamos o que no cumplan las condiciones;
Primero
11 -
1
11
21
31
41
Los números menores que 4 no les podemos conseguir ni tampoco el 6, 7 y 9,
por lo que les subrayamos de verde.
El 10 ( 5 + 5 ) lo subrayamos de rojo, y al hacer esto, también sus múltiplos ( 20,
30, 40 y 50 )
Exactamente pasa lo mismo con el 5 que con el 10 ( 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,
45 y 50 )
Del mismo modo y razón tenemos cubierto el 8 y todos los números que acaben
en 8 ( 8, 18, 28, 38 y 48 )
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Segundo
- El número 11 es especial, debido a que no se puede conseguir con paquetes de 5
y 8, por lo que también entra (subrayado verde)
- El número 12 es especial, debido a que nos pasa exactamente lo mismo que con
el 11
- Con el 13, salta a la vista que si que se puede hacer con un grupo de 5 y otro de
8, por lo que “va fuera” (subrayado rojo)
- Tomando como base el número 13, nos damos cuenta de que al tener 13 y 10
también tendremos todos aquellos que acaban en 3 a partir del 13 ( 23, 43 y 33)
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Tercero
Se hace exactamente lo mismo con los números que no hemos subrayado de rojo y
empezando desde el mas pequeño de todos
-
El menor de todos es el 14, por lo que como no se puede conseguir como
combinación de 5 y 8, se subraya de verde
El 16, es especial porque es la suma de 8 + 8 por lo que “va fuera” al igual que
todos aquellos que en 6 a partir de él: 26, 36, 46
Con el 17 no se puede conseguir por lo que los subrayamos de verde
Con el 19 pasa exactamente que con el 17, no es combinación de 5 y 8
Con el 21, es combinación de 5 y 8 ( 8 + 8 + 5 ) igual que el 31 y 41
El 22 al no ser combinación, pues se subraya de verde
El 24 es combinación de 5 y 8 ( 8 * 3 ) y lo mismo pasa con el 34 y 44
El número 27 es especial porque tampoco es combinación de 5 y 8
Con el número 29, pasa lo mismo que con el 22, 24… es combinación al igual
que el 39 y el 49, por lo que “va fuera”
12 1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Cuarto
Se hace exactamente lo mismo que en el apartado tercero
-
1
11
21
31
41
Con el 32 es combinación de 8 y 5 ( 8 * 4 ), como el los demás, el 42 también lo
es por lo que lo tachamos de rojo
Con el 37 es igual que el 32, combinación ( 8 * 3 +5 ), y como en lo demás otra
vez mas, el 47 también los por lo que “va fuera”
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Al final el número mas grande es el 27, por lo que este es el número mas grande de
ranas que la bruja no puede conseguir sin que sobre nada
¿Hay algún término o frase en el planteamiento del problema que no comprendas?
-
A nivel de grupo, no entendíamos la pregunta ¿cuál es el mayor número de ranas
que la bruja NO podría comprar?
A nivel individual, exactamente lo mismo
Identifica los datos, las condiciones y lo que aún se desconoce.
-
A nivel de grupo, los paquetes de 5 y 8 ranas, la cantidad tiene que se exacta y lo
que se desconoce es el mayor número de ranas que no puede comprar
A nivel individual, exactamente los mismo que a nivel grupal
Señala la información irrelevante.
-
A nivel de grupo, “así es que se dirige al mercado de la magia donde”, “ni una
más ni una menos”
A nivel individual, exactamente lo mismo que a nivel grupal
13 ¿Qué tipo de respuesta ha de darse al problema?
Tanto a nivel grupal como a nivel individual, se trata de una respuesta única, no se trata
de un problema el cual tiene múltiple solución, porque es muy exacto, nos pide el
máximo de ranas que no puede comprar
Reformula el problema con tus propias palabras.
Tanto a nivel grupal como a nivel individual, “Una rana necesita hacer un batido y hay
dos tipos de paquetes, el de 5 ranas y el de 8 ranas, y queremos saber cuantas ranas
como máximo puede comprar, y no se pueden dejar ranas sueltas”
¿Puedes realizar una representación abstracta del problema?
Esta representación se da en la hoja X
¿Conocías la existencia de este problema? ¿Has visto algo similar antes?
Tanto a nivel grupal como a nivel individual, no se conocía la existencia de tal
problema, y de algo similar, a lo mejor, pero no nos acordamos.
P3.1 Cuestiones complementarias
¿Cuáles son las ventajas de los sistemas de numeración posicionales?
Las ventajas son grandes, debido a que da una mayor facilidad a la hora de resolución
de cierto tipo de problemas matemáticos ya que es muy eficiente y no solo eso, sino que
si da lugar a error, es fácil de localizar y modificar el dato.
¿Qué ventajas presenta la base 12 frente a la base 10?
La primera es que podríamos contar con los dedos de las manos con este sistema hasta
140; bromas a parte, el diez se puede dividir por 1, 2, 5 y 10, mientras que el doce se
puede dividir en 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Al tener más factores, se puede dividir con mucha
más facilidad. Es fácil dividir una docena de huevos en tres, o cuatro, o dos, mientras
que dividir una decena de huevos en tres es imposible sin romper un huevo. Es por el
pragmatismo del sistema duodecimal que se ha usado en el comercio a través de la
historia, independientemente del sistema numérico que se use para contar. Pero también
hay que tener en cuenta que el número doce también se usa para contar los menes, ya
que hace mas fácil dividir el año en cuatro ( Cuatro estaciones), en dos (Dos semestres),
en seis (Seis bimestres)…
14 ¿Puedes escribir tu edad en los sistemas de numeración posicional que utilizan como
base 2, 3, 4,…,11 y 12 respectivamente?
Para averiguar mi edad y para hacer el cambio de base, realizaré el cambio de base de
mi edad a base dos, y luego con ese procedimiento será el mismo que emplearé para los
restantes.
Mi edad es de 20 años, nací en 1997
Por lo que mi edad en base dos sería de 10100
Mi edad en base tres es: 202
Mi edad en base cuatro es: 110
Mi edad en base cinco es: 40
Mi edad en base seis es: 32
Mi edad en base siete es: 26
Mi edad en base ocho es: 24
Mi edad en base nueve es: 22
Mi edad en base diez es: 20
Mi edad en base once es: 19
Mi edad en base doce es: 18
¿Qué sistema de numeración utilizan los ordenadores y por qué?
Los ordenadores utilizan un sistema en base dos, es decir, un sistema binario que se
representa todo el lenguaje matemático y demás en ceros y en unos, debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración
natural es binario, 1 encendido 0 apagado.
¿Qué ocurriría si en lugar de paquetes de 5 y 8 ranas hubiésemos partido de paquetes de
tamaños 3 y 12? ¿Y de paquetes de tamaños N y M?
15 Habría que haber hecho el mismo procedimiento pero sería mas extenso y largo debido
a que no había tanta variación y la tabla que tendríamos que hacer habría que extenderla
mas, no solo hasta 100.
P5.- El huerto
En la Cuarta clase (Práctica), nos plantearon el problema de El Huerto, en el que un
señor con los materiales que tenía quería conseguir el mayor espacio de huerto posible;
Otro problema el cual e podía resolver a base de acierto error, y era bastante bueno, lo
que consistía era en hacer una tabla, e ir jugando con las dimensiones de este, muy
ancho y poco largo y así hasta que fuese muy largo y muy poco ancho, y nos dimo que
había un punto de inflexión, y cómo de esto al final salía una ecuación, exactamente una
ecuación cuadrática, y ese punto intermedio en el que volvía a bajar las medidas era el
punto intermedio de la gráfica que salía, que era una parábola. Aquí se adjunta una foto
del método de resolución llevado.
¿Hay algún término o frase en el planteamiento del problema que no
comprendas o que te haya resultado ambiguo o poco claro?
Imagen 2 16 A nivel de grupo, nos resulto al principio un elemento del problema que era la
colocación de la valla, ya que en función de cómo la colocaríamos, nos podría
complicar la asistencia o no;
A nivel individual, me resulto complicado la manera de enfrentarme al problema,
debido a que no lo hice con tablas al principio, empezaba a hacer las operaciones y las
cuentas por suelto, hasta llegar al punto de darme cuenta de que si lo montaba en una
tabla era muchísimo mas eficiente y mas directo visualmente ( se muestra en la foto
adjuntada)
Identifica los datos, las condiciones y aquello que se trata de determinar.
Tanto a nivel de grupo como individual los datos eran las dimensiones que nos daban,
las condiciones era que solo teníamos que construir 3 “cachos” lados de la valla ya que
la otra parte, la que la completaba, era el muro que se decidía aprovechar, eso y que nos
pedía que quería que fuera lo mas grande posible, independientemente de la forma que
tuviera.
Señala la información irrelevante así como los términos clave.
La información irrelevante es toda aquella que no fuera: “Vamos a construir un huerto”
“hemos comprado 30m de valla y una puerta de acceso al huerto de 2m de anchura”
“hemos decidido aprovechar el muro de piedra que delimita las tierras como uno de los
lados del huerto” y “¿Qué dimensiones hemos de darle al huerto para que abarque la
mayor cantidad de terreno posible?”
¿Qué tipo de respuesta ha de darse al problema?
El tipo de respuesta es único, debido a que nos piden cual es la máxima longitud posible
que se puede hacer
¿Puedes o pudiste anticipar una solución -acertada o no- sin realizar cálculos?
En una primera instancia creí que si, pero no era muy acertado, pero si que supe hacer
desde el principio la forma no iba a ser un cuadrado, debido a que tiene todos los lados
iguales y el área de un rectángulo sería mucho mayor, pero hasta cierto punto de
inflexión, porque a partir de ese punto de inflexión si se superaba, daba lugar a que el
área en vez de aumentar, volvía a descender.
Utiliza representaciones y notación adecuadas para ayudar en la comprensión y
resolución del problema.
Esta pregunta se responde en la imagen adjuntada, y la forma de representación gráfica
es la de una parábola decreciente, en forma convexa (∩)
17 Realiza un primer intento/ensayo de solución y ve refinando secuencialmente nuevos
intentos a partir de los resultados obtenidos hasta alcanzar una solución del problema
mediante la técnica ensayo-error.
Este apartado se muestra en la imagen adjuntada (imagen 2)
P5.1 Preguntas para una reflexión ulterior y profunda
Infórmate sobre el popular juego conocido como ¿Quien es quien? o sobre alguna de
sus variantes
El juego de quien es quien es un juego de que se trata de adivinar el personaje escogido
por tu adversario por medio de preguntas que le vas haciendo, si tiene el pelo rojo, ojos
azules…
Encuentra un contrincante al que enfrentarte y juega hasta que comprendas bien las
reglas y la esencia del juego.
La regla esencial, tener una buena superstición y ser muy ágil y escoger bien las
preguntas que hago.
¿Qué conexión tiene este juego con la estrategia heurística del ensayo-error?
Muy fácil, las estrategias heurísticas son reglas muy generales que consiguen
transformar el problema en una situación más sencilla.
¿Puedes decir cual es el primer intento óptimo en el marco de este juego? ¿Y una
estrategia óptima?
Lo primero sería decir que si es hombre o mujer, así te descartas de una bastante gran
mayoría, y la estrategia sería la siguiente:
< Preguntar si es hombre o mujer:
If mujer: Preguntar si tiene pelo largo o corto, después el color de ojos y si sonríe o no
Else hombre: Preguntar si tiene barba, pelo largo o corto y el color de
ojos
> Enumera al menos 10 juegos y situaciones de la vida cotidiana en los que la estrategia
ensayo-error sea adecuada.
18 Cuando mueves un mueble de sitio y lo vas moviendo poco a poco para que no
de, y si no entra, desplazas los demás.
Cuando haces un bizcocho en el horno y no sabes qué cantidad echar de
levadura
Cuando vas al mercadora y compras palomitas y no sabes cuanto tiempo tienen
que estar, si te pasa, reduce el tiempo y si faltan muchas por hacer, pues añades
tiempo poco a poco
El juego del pay-day
El juego de Who is Who
El juego del Tres en raya
El juego de los Barquitos ( el de que vas diciendo coordenadas y tratas de hundir
a flota enemiga, “tocado” si atinas, y cuando atinas muchas veces “hundido”
El juego del buscaminas
El juego del Give Up, que eso si que es puro ensayo error
El juego de Scrabble
C1.- Hilbert el hotel
Ya conocía la existencia de este problema, pero es muy curioso, ya que analizaré
cuando no lo entendía, y pensé que no se podía demostrar ni nada, debido a que ¿Cómo
se podía demostrar el infinito? Pero luego posteriormente con un análisis, investigación,
aplicando el método Poyla también como estrategia, fui capaz de entenderlo, y su
esencia no era mas que otra que ser capaz de agrupar y de tener presente los números,
las series y nuestros amigos olvidados los números primos.
Un nuevo cliente llega a la recepción. ¿Es posible darle una habitación?
Si, debido a que no hay últimas habitaciones. Por eso podemos siempre desplazar a los
clientes a dichas habitaciones.
Veinte clientes llegan a la recepción y piden habitaciones. ¿Es posible alojarlos en el
hotel?
Si, debido a lo mismo que en la primera pregunta, no hay últimas habitaciones. Por eso
podemos siempre desplazar a los clientes a dichas habitaciones
19 Sería una cosa así…
Habitaciones antiguas de
los clientes
1
→
Habitaciones nuevas de los
clientes
4
2
→
5
3
→
6
4
→
7
5
→
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Al hotel llega un autobús que contiene un número infinito de personas, numerados así:
1, 2, 3, …. Los huéspedes se acumulan y se agolpan en recepción exigiendo
habitaciones. ¿Es posible alojarlos a todos?
Si, debido a que con un grupo infinito, el recepcionista les dirá a sus clientes que
multipliquen por 2 el número de su habitación y se desplacen a ella, ocupando así las
habitaciones pares y dejando libres las impares para el nuevo grupo de turistas.
Sería una cosa así….
Habitaciones antiguas de
los clientes
1
→
Habitaciones nuevas de los
clientes
2
2
→
4
3
→
6
4
→
8
5
→
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20 Un número infinito de autobuses, cada uno con un número infinito de huéspedes como
en el caso anterior, llega al hotel. Todos los huéspedes piden habitaciones. ¿Se puede
encontrar espacio para ellos?
Como en los otros dos casos anteriores, por su puesto que si, (el conjunto de los
números impares y el de los números primos distintos de 2 son infinitos entonces se
puede alojar infinitos grupos de infinitos huéspedes dentro de un hotel con infinitas
habitaciones), lo único que hay que hacer es que el recepcionista dirá a cada uno de sus
clientes, que si su número de habitación es un número primo o alguna potencia de un
número primo, tienen que elevar 2 al número de habitación y cambiarse a esa
habitación. Y los demás clientes que se queden donde están, serían una cosa así…
Habitaciones antiguas de
los clientes
1
→
Habitaciones nuevas de los
clientes
1
2
→
2^2
3
→
2^3
4
→
2^4
5
→
2^5
6
→
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pero también hay que tener en cuenta que por otro lado, nuestro recepcionista asignará
un número primo “p” distinto a cada excursión y un número impar “t” a cada turista que
venga. Luego lo que se hace es que cada turista deberá elevar el número de su excursión
el número que le han asociado en dicha excursión, por lo que así un turista “t” en una
excursión “p” le corresponderá la habitación “p^t”.
¿Conocías la existencia de este problema? ¿Has visto algo similar antes?
Si que lo conocía, en ingeniería informática en nuestros tiempos libres nos hacíamos
retos con los de la competencia “Teleco” y una vez salió.
La primera vez que me lo plantearon, pensé que no se podía, debido a que no sabia
como se podría demostrar el infinito, pero una vez que le preste mas atención y lo
investigué fue capaz de entenderlo.
¿Qué relación encuentras a este problema -si es que hay alguna- con el trabajo que se
lleva a cabo con el número y la numeración en Primaria?.
21 En que no es necesario el escribir todos los números, sino que con una simple estrategia
de agrupación y un poco de imaginación y concepción de los números primos
encontramos la clave y la solución a este problema que se nos plantea.
P7.- El vendedor de libros
En la quinta clase ( Práctica) nos plantearon el problema de el vendedor de libros, el
cual consistía en que un librero partía de una cantidad definida de libros y se los iba
vendiendo a los clientes, cuatro para ser exactos, pero no nos decía que cantidad de
libros tenía ni vendía porque de esos se trataba el problema, trataba de saber cuantos
libros había vendido el librero, es decir, con cuantos había partido.
Es el primer problema en el que el método de resolución de acierto error no era muy
eficaz debido a que al final y al cabo se hacía muy extenso y si se hubiera tratado de
unidades con decimales… no hubiera sido de gran uso, por lo que había otros métodos
de resolución tales como las ecuaciones, o las tablas. Yo lo resolví mediante funciones,
pero para la gente que nos había se podía sacar el problema a partir de la interpretación
de los datos y elaboración de una tabla.
Aquí está mi método de resolución, el cual yo lo hice en forma de ecuaciones, pero que
dentro de estas esta claro que se trataba de razonamiento regresivo, que de cómo desde
el último dato de todos, se iban sacando todos los demás, era como deshacer algo que ya
estaba hecho; y no como la mayoría de las veces que desde el dato inicial que se parte
tienes que averiguar el final.
22 Imagen 3 Imagen 4 23 Imagen 5 (Todo lo que se explicara a continuación será a nivel individual, debido a que no tenía
grupo, por lo que procedí a la realización del ejercicio de manera individual)
¿Hay algún término o frase en el planteamiento del problema que no comprendas?
La verdad es que no me resulto de gran complejidad el resolver este problema, debido a
que ya estaba bastante familiarizado con este tipo de problemas y con los sistemas de
ecuaciones.
Identifica los datos, las condiciones y lo que aún se desconoce
Los datos son:
- Al primer cliente le vendió la mitad de los libros que tenía mas uno
- Al segundo cliente le vendió la mitad de los libros que le quedaban mas uno
- Al tercer cliente le vendió la mitad de los libros que le quedaban mas uno
- Al cuarto cliente le vendió la mitad de los libros que le quedaban mas uno
- ¿ Cuántos libros comenzó la jornada?
Señala la información irrelevante.
“ambulante”, “mas tarde”, “apareció poco después” y “finalmente”
¿Qué tipo de respuesta ha de darse al problema?
La respuesta que ha de darse a este problema es única, y es 30, debido a que tenemos
uno parámetros que están ya establecidos y que tiene un principio y un fin, aunque
partamos del fin para conseguir el principio
24 Utiliza un diagrama y notación adecuada para representar el problema
En la imagen 3 se muestra mi método de resolución; en las imágenes 4 y 5 es el método
de resolución llevado a cabo por el profesor.
Intenta ahora resolver el problema a través de procedimientos algebraicos comparando
las soluciones obtenidas de esta forma y de la anterior así como los correspondientes
procedimientos empleados.
Se muestra en la imagen 3
P7.- Preguntas para una reflexión ulterior y profunda
El juego se practica por parejas. Cada jugador intenta decir el primero “20” añadiendo 1
ó 2 al numero dado previamente por su contrincante. Uno de ellos ha de empezar
diciendo “1” o “2”; el otro continua añadiendo 1 ó 2 al númeroante ri oryasí́
sucesivamente de manera alternada hasta que alguno de los dos alcance el número 20.
Encuentra a alguien con quien jugar a este juego hasta que comprendas la esencia del
mismo y sus reglas.
Creo que he comprendido su esencia, es la esencia de poder encontrar una estrategia, la
estrategia de que hay que decir lo contrario que dice el contrincante, si dice un numero,
pues responderle con dos y viceversa, para así asegurarte la victoria.
¿Qué conexión tiene este juego con la estrategia heurística del razonamiento regresivo?
Se trata de adelantarse al contrincante y en función del número que diga, saber nosotros
como vamos a actuar, y en reducir este problema en si en otros mas pequeños para irlo
resolviendo poco a poco para posteriormente.
¿Eres capaz de describir una estrategia ganadora?
Lo mas adecuado es ir viendo si el otro sabe a que esta jugando y tener que ir haciendo
lo contrario de lo que diga el contrincante, es decir, si el dice un numero, solo uno,
nosotros responderle con dos, y a la inversa, si el dice dos, nosotros responder con lo
contrario, para así asegurarnos la victoria.
25 C2.- Sistemas de numeración
Se trataba de un problema de mate magia, en la cual, se nos planteaba un truco de
magia, que era un procedimiento con conexión con el medio, de lo que constaba el
truco, era de que primero tenías que encontrar a alguien con quien poder llevarlo a cabo,
posteriormente que mirara en su bolsillo la cantidad de dinero que tenía y que se
olvidara de los céntimos “no decimales” y que hiciera mentalmente lo siguiente:
• Que multiplique esa cifra x 10
• Que le sume 25
• Que le sume el número de hermanas que tiene
• Que lo multiplique x 10
• Después que sume el número de hermanos que tiene
• Que le reste 250.
Ese resultado, la cifra que le dará, estará contemplado el número de hermanos que esta
en las unidades, el número de hermanas que está en las decenas y el resto es el dinero
que lleva en el bolsillo.
Problema, el cual cuando empezamos a ejecutarlo en clase, era de fácil comprensión y
de llevarlo a cabo, pero el problema empezaba cuando su el número de hermanos
superaba las unidades, y el de hermanas las decenas.
Lleva a cabo el truco con varias personas (reales o imaginarias) para disponer de una
serie de ensayos con los que poner a prueba la eficacia del truco descrito. ¿Ha
funcionado siempre?
Con el grupo llevamos el problema a su ejecución y en una primera instancia nos llamo
bastante la atención debido a que funcionaba siempre, pero hasta que se nos ocurrió la
brillante idea de suponer que yo tenía 11 hermanos, a partir de ahí ya el resultado que
nos salía no cumplía las normas.
Para un análisis de casos sistemático, ¿qué tipo de situaciones conviene analizar? ¿Hay
casos especiales que es mejor estudiar por separado?
Hablaré tanto a nivel individual como grupal, debido a que pensamos y seguimos en
mayor parte lo explicado a continuación: en la primera situación empezamos ha hacer el
muestreo con situaciones reales, a probar con el número verdadero que teníamos de
hermanos y de hermanas, y como cumplía lo dicho, pues en primera instancia lo dimos
por válido. En segundo lugar fue donde no decidimos quedarnos ahí y en la búsqueda y
captura d en contraejemplo para ver si se cumplía siempre, solo bastó con pensar que
uno de mostros tenía 10 hermanos, y 3 hermanas, y ya el truco empezó a fallar, pero no
nos quedamos, seguimos probando de la misma manera con las hermanas, pero en vez
26 de decir que teníamos 3 hermanas, de que teníamos 300 hermanas, ahí fue cuando
llegamos a la conclusión de que el truco está limitado.
¿Puedes justificar su funcionamiento utilizando argumentos matemáticos o mostrar su
debilidad con algún contraejemplo?
Es muy sencillo de demostrar, al transponer la unidades y las decenas, nos dimos cuenta
de que lo que decía se incumplía, debido a que es un truco que está limitado, es decir,
tiene unos parámetros fijos, de los cuales, si te sales de ellos, no se cumple la afirmación
y tiende a error, esta limitación va, de 0-9 con respecto a los hermanos (unidades) y de
10-99 con respecto a las hermanas (decena), por lo cual, cuando se transpones, es decir,
superan estos límites, pues la afirmación es falsa.
El contraejemplo es muy sencillo, decir que tengo 8 euros, 50 hermanos y 300
hermanas, al rebosar los límites de los parámetros, y al producir esto, al transponerse, el
resultado que sale, es erróneo y no cumple la afirmación de “la cifra que le dará, estará
contemplado el número de hermanos que esta en las unidades, el número de hermanas
que está en las decenas y el resto es el dinero que lleva en el bolsillo” .
En el caso de que creas que funciona siempre, ¿eres capaz de dar una demostración
rigurosa de tu afirmación?
No soy capaz de contestar a esta pregunta debido a que como he explicado
anteriormente, no se cumple siempre debido a que está limitado y los parámetros
establecidos están bien definidos, por lo cual no se puede dar una “rigurosa·
demostración de tu afirmación” pero eso si, funcionaría siempre si se mantiene a carde
en la realidad, es decir, a excepción de algunos casos, no hay familias que superen por
separado, no en conjunto, los 9 hermanos y las 99 hermanas como máximo para
demostrar que la afirmación es falsa (si se diera el caso).
Busca otros trucos similares y explica por qué funcionan
El siguiente truco es un truco en el cual hay que escoger un número del 1 al 9, y luego
lo que hacer posteriormente es escribir en un papel el número 12345679, pero sin el 8,
luego a ese número que hayamos escogido multiplicarlo por 9, y que nos diga el
resultado. ¿Sorprendente verdad?
En este truco lo que se hace es escoger un número, multiplicarlo por 9, y el resultado
multiplicarlo por el número inicial, que es lo que pasa, que al tratarse de un número de 8
cifras y al omitirse el dígito 8, nos va a dar como resultado ese número escogido pero
con ocho dígitos. También hay que destacar que este número es muy característico,
debido a que una propiedad muy conocida del número 12345679 es que al multiplicarlo
por cualquier dígito da un producto que se escribe con una sola cifra. Por lo tanto al
multiplicarlo por 9, se escribe 111.111.111, al hacerlo por 18 (que es 9x2), pues nos sale
222.222.222… lo que me quiero referir a esto, es que estos números que se salen de la
variable, siempre vuelve al principio, 1,2,3,4,5..
27 Clase teórica B
En la sexta clase (Teórica) nos han introducido en como las matemáticas se basan en lo
deducible, y no en aquello que no se puede demostrar, y posteriormente, ver los dos
tipos de aprendizaje que hay, el empirismo y constructivismo; hay modelos en los que
las cosas funcionan y en otros no, son conflictos, por eso se procede a comparar y
demás. El aprendizaje por adaptación al medio, porque hay un problema, unos niños
aprenden y estudian de distinta manera, por lo que nosotros tratamos de averiguar (
hipótesis de aprendizaje) como estudiarlo para luego nosotros saber cómo poder actuar.
También se puede aprender por medio de juegos, y nosotros tenemos el control, les
vamos metiendo variables y cambiando las reglas ( “- Vale, pero ahora no podéis tocar
los vasos y no podéis utilizar los vasos blancos”) saber que conjuntos podemos tocar y
que no tocar, utilizar el abanico del día a día…. La segunda parte es decirles el orden
que hay, las pautas que tienen que seguir y posteriormente ir rizando. Todo se traduce.
A las variables de aprendizaje, que la finalidad es potenciar y superar.
P9.- Patrones
En la séptima clase (Práctica), Clase en la que se pone en práctica la identificación de
patrones, en este caso, se nos presenta el problema del “Patrones” en el cual tenemos
que sacar conjeturas de que cuando la niña podrá recorrerlo todo y cambiar de pierna y
es satisfactorio; al final nos hemos dado cuenta de que tienen dos cosas fundamentales
que tienen en común, que es el Máximo Común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo
(La primera vez donde se encuentran dos elementos distintos), en los cuales con estos
datos y la imagen que adjuntamos sabemos llegar a una conclusión final; en la que
cuando tienen algo en común, no sale, y cuando no lo tienen si que sale, como es por
ejemplo con el 5, 3… si tienen algún divisor común, no saldría. En definitiva, cuando el
MCD de entre dos números es 1, si sale, y cuando no lo es, no. Luego al final de todo
esto se puede sacar una ecuación a base de ir estudiando los patrones, y estas ecuaciones
pueden ser tanto implícitas como explícitas. (Se puede ver claramente el razonamiento
seguido y la estrategia empleada en la imagen 6)
Identifica los datos, las condiciones y lo que aún se desconoce.
Tanto a nivel grupal como a nivel individual nos dimos cuenta de que los datos
importantes es que una niña salta a la pata coja y cada 3 saltos, cambia de pierna, y
cuando da tres vueltas al círculo, ha parado ya en todas la piedras para cambiar de
pierna, luego hace exactamente lo mismo pero en vez de cada 3 saltos, cada 4 saltos,
pero no consigue cambiar en todas las piedras, y tenemos que buscar la solución, el por
qué de este problema y elaborar una conjetura.
28 Imagen 6 29 ¿Qué tipo de respuesta ha de darse al problema?
El tipo que se tendría que dar a este problema no será una respuesta acertada como tal,
debido a que lo que estamos haciendo, para entender este problema, es la elaboración de
una conjetura para poder ser capaces de explicar que es lo que sucede, y tratar de
explicar, por qué si hace el cambio de pierna cada cuatro saltos, no pasa por todas la
piedras; no hay resultado concreto como tal, pero si que hay una fórmula, tanto genera,
como explícita como implícita que tratará de aproximarse.
Utiliza figuras y notación adecuadas para representar el problema.
Se muestra en la imagen 7 , se ha representado mediante una representación gráfica con
los datos del “rosco” y posteriormente, con la tabla de resolución, hay dos, la de lógica
imagen 8 que me ayudó a comprender el problema y la de resolución imagen 9
Imagen 7 Imagen 8 Organiza la información relevante, observando y describiendo una pauta
Aquí lo que se ha realizado es a la ordenación de los datos y colocarlos en su posición
adecuada para posteriormente ser capaces de analizarlos y usarlos para establecer las
bases de la conjetura y su método de empleo. (imagen 6)
30 Realiza un primer intento de solución y ve refinando secuencialmente nuevos intentos a
partir de los resultados obtenidos hasta alcanzar una solución del problema
Aquí a lo que se procedió es a la recogida todos los datos, para su posterior análisis y
uso, el procedimiento a seguir se describe en la imagen 6
Explica los resultados obtenidos
Si es par no sale, por si es impar y los divisores del 14, no sale; todo esto tiene que ver
con los divisores del 14, todo aquello que no condicionan los divisores que son
comunes, por lo cual se llega a la siguiente conclusión y resultado:
“Si que sale con el 5 por ejemplo debido a que no tiene nada que ver con el 14, todos
aquellos casos que no tengan nada que ver con el 14, sale, es decir, cuando el m.c.d.
(a,b) = 1, sale, y cuando el m.c.d. (a,b) ≠ 1 no sale
P9.1 Preguntas
para una reflexión ulterior y profunda
¿Qué conceptos matemáticos has encontrado ligados al problema de la niña y los saltos?
El concepto matemático de los patrones y conjeturas
¿Qué sabes sobre su historia?
Que hay una conjetura que es muy importante y que forma parte de nuestro día a día,
esta siempre presente y es la conjetura de Goldbach, la cual es un teorema que afirma
que: Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números
primos, y que sabemos que es verdad, pero que no lo podemos demostrar.
¿Y sobre sus aplicaciones?
Las aplicaciones con todo lo relacionado a este tema, son infinitas, pueden ir desde
interacción hasta el diseño
31 Halla el perímetro del copo de n capas
Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas. Expresa el número de
cubos necesario para realizar una de n capas
C3.- Sucesiones
En la séptima clase (Práctica), no hay mucho que explicar debido a que para mi me
resulto una clase un poco compleja, al final de todo esto lo que se trata es que se puede
sacar una ecuación a base de ir estudiando los patrones, y estas ecuaciones pueden ser
tanto implícitas como explícitas.; en esta clase se nos ha dado una hoja en la que hay
diferentes niveles, hasta el ,4 es el que se representa en el portafolio, el de los cuadrados
dentro de ellos mismos y de color verde, yo he empezado desde el primero y la finalidad
que se tratara de ser capaces de reconocer algún que otro patrón, mirar si hay patrones
alternados, si hay alguna razón de constancia etc. aquí se adjunta foto de la actividad
(imagen 9).
32 Imagen 9 C3.1.- Preguntas para una reflexión ulterior y profunda
¿Qué relación tienen los conceptos de sucesión y el de función?
33 Guardan una estrecha relación y se complementas, Una sucesión es una función cuyo
dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}.
¿Qué patrón recursivo sigue la sucesión de Fibonacci? Investiga cómo es la fórmula
explícita para determinar su término n-ésimo?
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" xn = xn-1 + xn-2 donde:
•
•
•
xn es el término en posición "n"
xn-1 es el término anterior (n-1)
xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Pero no nos quedaremos ahí, debido a que esta es la implícita, es decir, que necesitamos
saber los otros dos términos anteriores, a diferencia de la explícita, que se puede
conseguir cualquier término de forma directa, que es la siguiente:
Debido a que Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a
la suma de los dos términos anteriores.
Demuestra que 0,9 = 1
34 Imagen 10 En la octava clase (Teórica), trató de ponerse en clase un ejemplo de ejercicio de
examen, en el que había dos tipos de ejercicio, uno de didáctica y otro de problemas, en
los que se tendrían que poner a exposición como se plantearía la clase, el procedimiento
a seguir, como se enseñaría….
P11.- Divide y vencerás
En la novena clase (Práctica), clase en la que es una continuación de la clase Nº7, a
diferencia en la que será mas interactiva, con bolitas, con gomas, y se pondrá en puesta
los errores que se habían cometido y aquellos ejercicios que nos impedían seguir
adelante, se explicarán para saber cual es el proceso que hay detrás, y también saber
después de detectar el patrón, saber qué hay mas allá de la fórmula.
Ej.: __, __, __, 7, 11,15
|
|
P.A con d=4
a30= a1 + 29 * d = -50 + 116
|
\/
Fórmula implícita: aN = aN-1 +d
-5,-1,3,7,11,15,19,23 …
35 Lo que consiste es en verbalizar lo que estamos viendo y no solo eso, sino que también
ser capaces de escribirlo y ver si coincide. Lo importante es no ir perdiendo información
por el camino.
Luego nos plantearon el problema de “ El solitario inglés” juego en el que ganas si eres
capaz de quedarte con una única ficha y para poder “comer” tienes que se4guir una serie
de reglas. La clave de este problema para resolverlo, esta en pasar el problema a otros
mas sencillos, al final nosotros nos quedamos aquí, una solución casi acertada, y el
máximo al que llegamos Mimi y yo, fueron 3 fichas. (véase imagen 11)
Imagen 11 ¿Puedes dibujar un ejemplo de cada uno de los diferentes tipos de movimientos válidos posibles?
Imagen 12
Imagen 13
36 Imagen 14
¿Puedes ilustrar al menos 5 movimientos no válidos diferentes?
Difícil de ilustrar pero fácil de explicar, esos movimientos son todos aquellos los cuales
cuando no tienes opción de anteponer ficha para poder “comer” la que has pospuesta a
esa ficha, lo cual provoca un estancamiento en el juego y un mal uso de los
movimientos lo cual se deduce que en algún momento se ha cometido algún tipo de
error a la hora de mover ficha.
Crea solitarios más sencillos considerando únicamente un subconjunto de bolitas de
entre las que conforman el solitario original. Aquí tienes un par de ejemplos:
Estos ejemplos a la hora de hacerlos, era una de las pistas para poder completarlo y
hacer que se quedara una única bola en el centro para así poder ganar, pero no fuimos
capaces, ya que empezamos nosotros haciéndolo de afuera a dentro, pero nos dimos
cuento de que llegado a un punto, dejábamos atrás una ficha y no había punto de no
37 retorno, lo cual hacia que esa se quedara aislada, ya que al ir de afuera a dentro, no tenía
ninguna a su lateral para poder anteponerse a esa ficha y poderla quitar de en medio.
P11.1.- Preguntas para el trabajo autónomo (Los cuadrados mágicos)
Dispones de un cuadrado formado por tres filas y tres columnas formando una
cuadrícula de 9 cuadritos pequeñitos. Debes escribir en cada uno de esos cuadritos un
número del 1 al 9 -sin repetir número- de tal manera que la suma cada una de las filas,
diagonales y columnas sea 15. El resultado se denomina cuadrado mágico de orden 3.
8
3
4
1
5
9
6
7
2
Intenta ahora construir un cuadrado mágico de orden 4
2
4
5
3
1
6
No es posible hacerlo, debido a:
a fórmula = [n * (n2 + 1)] / 2, donde n = número de casillas por lado
38 sum = [4 * (42 + 1)] / 2
sum = [4 * (16 + 1)] / 2
sum = (4 * 17) / 2
sum = 68 / 2
La constante mágica de un cuadrado de 4 x 4 es 68/2 o 34.
Al sumar las filas, columnas o diagonales debemos obtener este número. No el número
que nos indican que es 15
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
16
La suma constante de filas, columnas y diagonales de un cuadrado mágico se denomina
constante mágica. Encuentra una fórmula para la constante mágica de un cuadrado
mágico genérico de orden n
La constante mágica de un cuadrado mágico genérico de orden n.
la constante mágica es igual a [n * (n2 + 1)] / 2, donde n = el número de casillas por
lado
P12.- Diagramas, tablas y figuras
En la onceava clase (Práctica), En esta clase lo que se trata de hacer es de tratar agrupar
y ser capaz de responder a las cuestiones que se nos presenta, en este caso es de una
encuesta que se hace en una clase, hay 126 alumnos y se les pregunta que es lo que les
gusta a cada niño, y hay varias posibilidades, una que les gusta solo una cosa, otra, les
gusta dos, y por último que les puede gustar los tres, jugar tanto al balón, como al
carrito como a los videojuegos; se nos ha tratado de entender este problema por medio
de un ejemplo práctico en clase, en el que nos preguntan que gente lleva gafas, cuales
tienen el pelo castaño y cuanta gente somos en total, y la pregunta que se nos ha
39 formulado al final ha sido la de ¿Quien no ha levantado la mano? aquí de lo que se
trataba es de ser capaz de resolverlo, y se hace por medio de los círculos en los que
aquellos elementos que sean comunes, es cuando se juntan y ese espacio que generan es
lo común y luego a la hora de hacer las cuentas es saber que es lo que tienes que sumar,
y que es lo que hay que restar, al final se trataba de hacer la siguiente ecuación, 52-142= 36, que es el total de la gente que ha asistido hoy a clase, y 2 han sido las personas
que no han levantado la mano. A continuación se muestra cómo e la resolución del
problema inicial, se nos pone en cuenta la adición, la disyunción la intersección para
destacar. (véase imagen 15)
Luego se trata de hacer exactamente lo mismo, pero ahora con números, es decir, ver el
porque de cuando haces la suma de una progresión aritmética del 1-10 (S10).
Y para concluir como todo lo que conocemos, algunas veces se hace de manera
inconsciente es decir, que se puede ver, hacer y resolver de manera visual, antes de
hacerlo de una manera/forma mas simbólica.
40 Imagen 15 41 ¿Has utilizado algún tipo de diagrama, esquema o figura en tu proceso de resolución del
problema? ¿En qué sentido?
Tanto a nivel grupal como a nivel utilizamos los diagramas de Benn, pero de manera
inconsciente, fue algo natural, ya que había que ordenar todos los datos, y nos pareció la
manera mas eficiente y luego posteriormente era las mas fácil de interpretar y de
resolver.
¿Conoces el nombre de los diagramas que figuran en el margen izquierdo de la página?
¿Para qué crees que resultan útiles en un contexto de resolución de problemas?
Este tipo de diagramas, se les llama diagramas de Benn, y son empleados como
estrategia para ser capaces de resolver problemas que tienen diferentes áreas y muchos
datos, y no solo eso, como una manera de interpretar para ayudar a la solución ya que se
escribe el problema de manera gráfica y a la hora de resolverlo y de interprétalo es
directo, ya que visualmente es muy directo, (véase imagen 15)
Resuelve, si no lo hiciste ya, el problema original mediante el uso de diagramas como
los indicados en el apartado anterior
Véase imagen 15
P11.1.- Preguntas para el trabajo autónomo
Lee sobre el modelo de barras (pista: está íntimamente “ligado” al método Singapur) y
su utilidad en los procesos de resolución de problemas.
Lo que nos dice el modelo de barras, se pueden realizar operaciones de manera gráfica,
comprando el tamaño de las barras, lo cual da lugar a su mejor comprensión e
interpretación del problema, y al exigir estas cualidades y este método de resolución da
lugar a que de manera de nivel de conocimientos, nos exija un planteamiento mas
ordenado induciendo así una estrategia mejor.
Practica la resolución de problemas aritméticos elementales a través de los recursos
sobre el método de barras que nos ofrece
42 En esta página nos planteaban problemas de modelo de barras, los cuales exigían su
interpretación gráfica ay su posterior análisis y elaboración de estrategias, debido a que
este tipo de problemas no se podía deducir el resultado omitiendo la parte de la
representación gráfica debido al alto volumen de información y de análisis, o al menos,
yo no era capaz.
Muestra dos o tres ejemplos de problemas de algebra elemental a los que habitualmente
has tenido que enfrentarte y que puedan resolverse a través del método de barras
(incluye su resolución)
Los ejemplos se pueden encontrar en la plataforma virtual Smartick, en la cual fue
inscrito y estuve practicando con ella, por lo que los ejemplos a continuación mostrados
serán de esta plataforma. Se puede aplicar tanto a al suma como a la resta por ejemplo,
Claudia tiene 8 ositos de goma. Sergio tiene 6 ositos de goma. ¿Cuántos ositos de
goma tienen entre los dos?
Luego posteriormente se pasa de lo concreto a lo pictórico, a las barras de Singapur, en
este caso hemos puesto los 8 ositos naranjas de Claudia en ocho partes de la barra de
color naranja, y lo mismo hemos hecho con los 6 de Sergio
43 Se pueden ver las barras como un todo comprendido en dos partes, y el objetivo es unir
las dos partes para encontrar el todo; la suma de dos grupos, objetos, dos cosas…
Una vez completado lo visual y vemos el resultado, se procede a lo abstracto: parte +
parte = todo ----à 8 + 6 = 14 La solución es 14
Las barras de Singapur aplicadas en la resta
Tenemos 2 caramelos más que gominolas. Si hay 6 caramelos, ¿cuántas gominolas
tenemos?
Ahora el paso intermedio entre lo concreto y lo pictórico es muy importante para ser
capaces de visualizar la diferencia
Tenemos 6 caramelos. Hay dos caramelos más que gominolas.
44 Luego como lo explicado anteriormente, se pasa de lo pictórico a lo abstracto
Por lo que… cantidad mayor – diferencia = cantidad menor --à 6 – 2 - = 4
45 Entradas predeterminadas por el estudiante
En esta sección hablare de la plataforma virtual Smartick, en la cual me suscribí a principio de curso y es bastante curioso, ya que debido aunque seamos estudiantes universitarios, nunca viene mal un refuerzo y mucho menos; esta plataforma de lo que trata es la de estudiar matemáticas sin esfuerzo, que es en lo que se basan los métodos de lógica inspirados en los sistemas de cálculo oriental con los que se arrasa, con el que da lugar a que en este trabajo lo haya podido incorporar algunos métodos, y no solo eso, sino también el empleo de ciertas estrategias desarrolladas por este programa la resolución de cierto tipo de problemas que había que hacer frente. Comentarios finales y autoevaluación general
Trabajo completo a nivel de conocimientos adquiridos, progreso y mejora, pendiente de
mejora la presentación, el marco y la transmisión de contenidos, debido a que el
presente trabajo tiene forma, es dotado de gran personalidad, pero el defecto es que es
muy cercano y no debería de serlo, tendría que ser mas formal, a un nivel profesional,
pero en lo que se pide que sea formal lo es, es de lo cual le dota de tal originalidad.
Autoevaluación del aprendizaje y autocalificación
He aprendido, me he dado cuenta de que las matemáticas tiene algo detrás que va mas allá del resultado, que es todo lo que hay detrás de este, la estrategia llevada a cabo, que información es relevante, y cual no, si una estrategia falla, buscar otra, el cómo aquellas cosas que en un primer momento se daban por sabidas, con posterioridad me he dado cuenta d eque había una carencia, la cual ha sido reforzada, y tratado de erradicar. Con lo que respecta a la autoevaluación, me pondría un 7, debido a la falta de profesionalidad, presentación y con respecto a los contenidos, están todos, a excepción de 3 ejercicios, los cuales por falta de tiempo y al resultarme complicado y no haber horas de tutoría disponibles, y por no querer copiar contenido de otros autores, me he visto obligado a dejarlos en blanco. 46 Registro de incidencias, tutorías y anécdotas
Por desgracia me he visto obligado repetir este portafolio de nuevo, debido a que mi
ordenador se colapsó y me vi obligado a reiniciarlo, y al volverlo a inicia, el Word de
Mac Os me recuperó el archivo, pero con el nombre “Autorecovery”, pero yo al ver que
estaba recuperado seguí por donde lo había dejado, pero luego a la hora de guardar, se
guardo en el Autorecovery y cuando quise abrirlo de nuevo para hacer unos últimos
retoques, me salía el mensaje de error “ El formato no coincide con la extensión” lo cual
ha provocado que ciertos ejercicios que para mi me resultaban complicados, que son el
Sp1, el de los algoritmos y el C4, ha hecho que no sea capaz de plantearlos y
solucionarlos de nuevo, eso y que ya no había tutoráis disponibles.
Me quedo como anécdota, que después de investigar mucho, en Mac, si se genera un
Autorecovery y le modificas aunque sea un único carácter, te sale este error, pero solo
cuando cierras el programa, a diferencia de el Office de Windows, para Windows, que
no tiene este fallo.
Otra anécdota es que este trabajo ha hecho que cambie completamente mi forma que
tenía de ver a las “matemáticas” (problemas, ejercicios…) y a la didáctica matemática.
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