Estudio de la integrabilidad de la función Sinc

ESTUDIO DE LA INTEGRABILIDAD DE LA
FUNCIÓN SINC
Francisco Cubillo Cáceres, David Casas García-Minguillán
Enunciado:
La integral impropia
Z
1
0
sen(x)
dx
x
es:
1) Integrable en el sentido de Riemann
2) No integrable según Lebesgue
1.
Demostración de la integrabilidad en el sentido
de Riemann
La demostración la vamos a hacer en tres
R a pasos:
1.1) Vamos a ver cual es la integral de 0 senx(x) dx
1.2) Calculamos el límite cuando a ! 1, usando una aproximación tabulada.
R1
1.3) Por último, sabiendo que 0 senx(x) dx = 2 , construimos una demostración
menos rigurosa, aunque más grá…ca, basada en el límite de una serie formada
por integrales positivas que tienden a cero.
1.1.
Integral de
Ra
0
sen(x)
dx
x
Ra
La integral 0 senx(x) dx no es una función elemental. Para calcularla desarrollamos
el integrando en una serie:
sen(x) = x
sen(x)
x
=
1
x3
x5
+
3!
5!
x2
x4
+
3!
5!
x7
+ :::
7!
x6
+ :::
7!
(1)
(2)
A continuación calculamos la integral de (2):
Tenemos que asegurarnos que podemos intercambiar integral y serie, es decir,
que se puede poner como una serie de integrales. Dentro de la teoría de las series
funcionales existe un teorema que asegura:
Teorema 1: Dada una serie de funciones continuas
1
u1 (x) + u2 (x) + ::: + un (x) + :::
(3)
mayorante en el segmento [a; b]. Sea S(x) la suma de esta serie.
Entonces, la integral de S(x) entre los límites desde hasta x, pertenecientes
al intervalo [a; b] es igual a la suma de semejantes integrales de los términos de
la serie dada, es decir:
Z x
Z x
Z x
Z x
S(x)dx =
u1 (x)dx +
u2 (x) + ::: +
un (x)dx + :::
(4)
De…nición: La serie de funciones
u1 (x) + u2 (x) + ::: + un (x) + :::
(5)
se llama mayorante en cierto dominio de variación de x, si existe una serie
numérica convergente
1
+
2
+ ::: +
n
+ :::
(6)
con términos positivos tal que para todos los valores de x del dominio dado
se cumple:
ju1 (x)j
1 ; ju2 (x)j
2 ; :::; jun (x)j
n ; :::
(7)
En otras palabras, una serie se llama mayorante, si cada uno de sus términos
no es mayor, en valor absoluto, que el término correspondiente de cierta serie
numérica convergente con términos positivos.
Nota: Si una serie es mayorante entonces es uniformente convergente (lo
contrario no tiene por qué veri…carse)
Vemos que la serie (2) es convergente para todo valor de x, es decir, que
su radio de convergencia es in…nito. Utilizando el criterio de D’Alembert, para
sucesiones funcionales:
lm
n!1
un+1 (x)
x2n+1 =(2n + 2)!
x
= lm
= lm
= 0 < 1; (8x) (8)
n!1
n!1 2n + 2
un (x)
x2n =(2n + 1)!
Luego
Z
a
0
sen(x)
dx = a
x
a3
a5
+
3!3 5!5
1
X
a7
a2n+1
n
+ ::: =
( 1)
(9)
7!7
(2n + 1)!(2n + 1)
n=0
Es una serie alternada, representada por
1
X
n
( 1) un
(10)
n=0
donde
un =
a2n+1
(2n + 1)!(2n + 1)
2
(11)
y tal que
u1 > u2 > ::: > un > :::; l m un = 0
(12)
n!1
ya que el denominador crece mucho más rápidamente con n que el numerador.
Por tanto, aplicando el Teorema de Leibnitz, la serie alternada converge para
todo valor de a, su suma es positiva y no supera el primer término.
1.2.
Límite de la integral cuando a ! 1
Ra
El valor de la integral 0 senx(x) dx se calcula a partir de la serie dada en (9).
Sin embargo, ¿como calculamos la expresión cuando a ! 1? El cálculo directo
del límite es muy complicado. Nos hemos visto obligados a recurir a tablas. En
un caso viene tabulado cual es el valor de la transformación integral de Fourier
en seno1 para una función x 1 . Es decir
Z 1
FS ( ) =
f (x)sen xdx
(13)
0
1
que para f (x) = x y = 1 es exactamente nuestro caso. Dicha integral
vale 2 .
Hemos usado una aproximación para la función integral de sinc, que también
viene tabulada2 y que es:
Z
0
a
sen(x)
dx
x
2
sen(a)
a
1
a
3!
5!
+ 5
3
a
a
cos(a)
a
:::
1
2!
4!
+ 4
2
a
a
:::
(14)
Si tomamos límites cuando a ! 1, como está en todos los términos en el
denominador, su límite será 2 , porque el resto de términos se harán cero.
1.3.
Límite de suma de integrales positivas decrecientes
Ra
Si representamos la función integral y = 0 senx(x) dx, observamos que tiende
asintóticamente a 2 , oscilando en torno a ese valor:
1 .7 5
1 .5
1 .2 5
1
0 .7 5
0 .5
0 .2 5
0
0
5
10
15
20
25
30
Construimos una tabla con valores de a múltiplos de 2 , tendremos integrales
que se aproximen a 2 (numéricamente 2 ' 1: 570 8), con valores inferiores a éste.
1 Spiegel, Liu y Abellanas, Fórmulas y tablas de matemáticas aplicadas, McGrawHill, 2 a
edición (2000), 329
2 Spiegel, Liu y Abellanas, Fórmulas y tablas de matemáticas aplicadas, McGrawHill, 2 a
edición (2000), 193
3
Por consiguiente si tomamos a, como: a = 2 n con n = 1; 2; 3::: construimos
una sucesión de integrales, cuando a ! 1, que están acotadas superiormente
por 2 . Igualmente si construimos una serie cuyos términos sean las integrales:
R2 n
sen (x)
dx I(n), estos términos tenderán a cero y su suma parcial será
x
2 (n 1)
n
1
X
X
R 2 n sen (x)
R1
I(n)
dx
e
igualmente
se
veri…cará:
I(n) = 0 senx(x) dx
x
0
n=1
n=1
n
1
2
3
4
5
6
100
valor de la integral
1: 418 2
1: 492 2
1: 518
1: 531 1
1: 539
1: 544 3
1: 569 2
Vemos como decrecen las integrales I(n):
I(n)
1
2
3
4
5
6
100
valor de
1: 418 2
7: 401 0
2: 587 3
1: 309 7
7: 897 8
5: 278 4
1: 607 6
la integral
10
10
10
10
10
10
2
2
2
3
3
5
Aunque no sea una demostración muy rigurosa, se ve numéricamente la
convergencia.
2.
Demostración de la no integrabilidad según
Lebesgue
Para demostrarlo, recurriremos a una importante propiedad de la teoría
de Lebesgue, según la cual, f es integrable sí y solo si jf j también lo es. A
continuación veremos que la integral de jf j será mayor que la integral sobre el
conjunto que es unión de los intervalos 4 + 2k ; 2 + 2k . En esos intervalos
la función seno está acotada inferiormente por el seno de 4 y x1 se acota
1
inferiormente por +2
k . Por consiguiente la integral será mayor que una serie
4
armónica divergente. La integral toma un valor in…nito, por lo tanto, según la
de…nición de Lebesgue, f no es integrable.
Z
0
1
1
X
sen(x)
dx >
x
k=1
Z
2
4
+2k
+2k
1
X
p
sen(x)
1
dx >
+ 2
x
2
k=1
4
4
1
=1
+2 k
(15)