ESTRUCTURES ARQUITECTÒNIQUES II Examen Final Data: 14/01/2002 SOLUCIÓ

ESTRUCTURES ARQUITECTÒNIQUES II
Examen Final
Data: 14/01/2002
SOLUCIÓ
1. Contesta a les següents preguntes relatives a la definició de les dades de les dues estructures
dibuixades, per tal de calcular-les amb el programa Wineva.
2
1
4
3
2
1
5
4
3
5
BIGA CONTÍNUA
PÒRTIC
6
7
1.1. Posa una creu en la definició correcte del tipus de nus
Tipus de nus
Fix, encastat
Només gira, articulació
Es mou en l’eix Y i gira
Es mou però no gira
Només es mou en l’eix Y
Només es mou en l’eix X
Es mou en l’eix X i gira
Lliure
1
X
Nusos del PÒRTIC
2
3
4
5
6
X
X
X
X
(0,5p)
7
X
Nusos de la BIGA
1
2
3
4
5
X
X
X
X
X
(0,5p)
1.2. Posa una creu en la definició correcte del tipus de barra
Tipus de barra
Rígida
Articulada dreta
Articulada esquerra
Biarticulada
Voladís dreta
Voladís esquerra
X
Barres del PÒRTIC
Barres de la BIGA
1-2 3-4 4-5 1-4 2-5 4-6 5-7 1-2 2-3 3-4 4-5
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1.3. Posa una creu en la definició correcte de la secció de les barres del pòrtic:
(0,5p)
Dades: - Les bigues són IPE-270
- Els pilars són HEB-200
- Els pilars 1-4 i 4-6, estan disposats de manera que l’eix Y de la secció coincideix
amb el pla del pòrtic.
- Els pilars 2-5 i 5-7, estan disposats de manera que l’eix X de la secció coincideix
amb el pla del pòrtic.
Definició de la secció
IPE-MAX 270
IPE-MIN 270
HEB-MAX 200
HEB-MIN 200
1-2
X
Barres del PÒRTIC
3-4 4-5 1-4 2-5 4-6
X
X
X
X
X
5-7
X
2.
Calcula els moments finals en extrem de barra de la biga contínua dibuixada.
2,7 T
(2,5p)
1T
3T
1,4 T/m
1
4m
Dades:
4
3
2
2m
3m
3m
6m
1m
La secció de la biga és un IPE-220 d’acer A-42
Com que una biga contínua és una estructura hiperestàtica, la resoldrem utilitzant el mètode
matricial de les deformacions.
El número de incògnites són 2: El gir del nus 2 (θ2) i el gir del nus 3 (θ3).
L’equació matricial d’equilibri de la biga contínua tindrà el següent format:
M2
=
M3
23
K 12
GG + K GG
K 23
GG '
23
θ
K GG
'
x 2
23
34
θ3
K GG + K GG
Càlcul del vector d’accions equivalents sobre els nusos de l’estructura:
El vector d’accions equivalents està format pels esforços que reben els nusos per l’efecte de les
accions aplicades sobre l’estructura i suposant impedits els moviments incògnita.
2,7 T
1T
3T
1,4 T/m
1
m 21
m 32
m 23
2
1,4 T/m
2
m 21
4m
m12 = 0
m 21 =
2m
1,4 ⋅ 6 2 2,7 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ (6 + 4 )
+
= 6,3 + 3 = 9,3 mT
8
2 ⋅ 62
3T
1,4 T/m
2
3
m 23
m23 = −m32 =
m 32
3m
1,4 ⋅ 6 2 3 ⋅ 6
+
= 4,2 + 2,25 = 6,45 mT
12
8
3m
m 43 = −m 4 − vol = 1,7 mT
4
3
m 43
m 34
m34 =
1,4 ⋅ 6 2 1,7
−
= 6,3 − 0,85 = 5,45 mT
8
2
6m
1T
m 4 − vol = 1 ⋅ 1 + 1,4 ⋅ 1 ⋅ 0,5 = 1 + 0,7 = 1,7 mT
4
m 4-vol
1m
Moment equivalent en el nus 2:
Moment equivalent en el nus 3:
M2 = −(m 21 + m 23 ) = −(− 9,3 + 6,45 ) = +2,85 mT
M3 = −(m 32 + m34 ) = −(− 6,45 + 5,45 ) = +1 mT
m 4-vol
m 43
Càlcul dels moments d’encastament perfecte:
2,7 T
1
m 34
3
4
Càlcul de les rigideses de les barres:
Com que totes les barres tenen la mateixa secció, treballarem en funció de E· I
Les barres 1-2 i 3-4 tenen un extrem articulat, per tant:
34
K12
GG = K GG =
3 ⋅E ⋅I 3
= ⋅ E ⋅ I = 0,5 ⋅ E ⋅ I
L
6
34
K 12
GG '= K GG ' = 0
La barra 23 té els dos extrems encastats, per tant:
23
K GG
=
4 ⋅E ⋅I 4
= ⋅ E ⋅ I = 0,6 ⋅ E ⋅ I
L
6
23
K GG
'=
23
K GG
0,6
=
⋅ E ⋅ I = 0,3 ⋅ E ⋅ I
2
2
Equació matricial d’equilibri de la biga contínua:
1,16 0,3  θ 2 
+ 2,85 
⋅ 
 1  = E ⋅I⋅ 
 + 
 0,3 1,16 θ3 
Resolució del sistema d’equacions:
Multiplicant la segona equació per (-3,5) i sumant-la a la primera obtindrem el gir del nus 3.
+ 2,85 = 1,16 ⋅ θ'
2 +0,3 ⋅ θ'
3
− 3,5 = −1,16 ⋅ θ'
2 −4,083 ⋅ θ'
3
− 0,65 = 0 ⋅ θ'
2 −3,75 ⋅ θ'
3
0,65
= 0,173
3,75
1 − 1,16 ⋅ θ'
1 − 1,16 ⋅ 0,173
3
θ'
=
= +2,393
2 =
0,3
0,3
0,173
E ⋅I
2,393
θ2 = +
E ⋅I
θ'
3 =
θ3 = +
Càlcul dels moments finals en extrem de barra:
M12 = 0
M21 = m 21 + K 12
GG ⋅ θ 2 = −9,3 + 0,5 ⋅ (+ 2,393 ) = −8,103 mT
23
23
M23 = m 23 + K GG
⋅ θ 2 + K GG
'⋅ θ3 = +6,45 + 0,6 ⋅ (+ 2,393 ) + 0,3 ⋅ (+ 0,173 ) = +8,103 mT
23
23
M32 = m32 + K GG
⋅ θ3 + K GG
'⋅ θ 2 = −6,45 + 0,6 ⋅ (+ 0,173 ) + 0,3 ⋅ (+ 2,393 ) = −5,537 mT
M34 = m34 + K 34
GG ⋅ θ3 = +5,45 + 0,5 ⋅ (+ 0,173 ) = +5,537 mT
M43 = −1,7 mT
M4 − vol = +1,7 mT
Resultat: (poseu signes d’estructures)
M12 = 0
mT. M23 = + 8,103
M21 = - 8,103 mT. M32 = - 5,537
mT. M34 = + 5,537 mT. M4-vol = + 1,7
mT. M43 = - 1,7
mT.
mT.
3.
La biga contínua dibuixada ha estat calculada mitjançant el mètode matricial simplificat, amb
el que s’han obtingut els següents moments finals en extrem de barra (signes d’estructures):
1,2 T
2,7 T
M12 = 0
M21 = - 7,325 mT
M23 = + 7,325 mT
M32 = - 1,9 mT
M3-vol = + 1,9 mT
1,4 T/m
1
2
6m
3
2m
4m
1m
(1,0p)
3.1. Calcula les reaccions en els recolzaments de la biga contínua.
Càlcul de l’esforç tallant en els extrems de les barres:
1,2 T
2,7 T
1,4 T/m
1
2
1,4 T/m
2
7,325 mT
6m
2m
T12
3
T21
3
1,9 mT
7,325 mT
1,9 mT
4m
1m
T23
T32
T3-vol
1,4 ⋅ 6 7,325
−
= 4,2 − 1,221 = 2,979 T
2
6
1,4 ⋅ 6 7,325
+
= 4,2 + 1,221 = 5,421 T
T21 =
2
6
1,4 ⋅ 6 2,7 ⋅ 4 7,325 − 1,9
+
+
= 4,2 + 1,8 + 0,904 = 6,904 T
T23 =
2
6
6
1,4 ⋅ 6 2,7 ⋅ 2 7,325 − 1,9
+
−
= 4,2 + 0,9 − 0,904 = 4,196 T
T32 =
2
6
6
T3 −vol = 1,2 + 1,4 ⋅ 1 = 1,2 + 1,4 = 2,6 T
T12 =
Càlcul de les reaccions de la biga:
R1 = T12 = 2,979 T
R 2 = T21 + T23 = 5,421 + 6,904 = 12,325 T
R 3 = T32 + T3 − vol = 4,196 + 2,6 = 6,796 T
Resultat:
R1 = 2,979 T. R2 = 12,325 T. R3 = 6,796
3.2. Calcula el moment flector màxim positiu del tram 2-3 de la biga contínua.
1,4 T/m
3
1,9 mT
7,325 mT
2m
6,904 T
4m
4,196 T
La posició exacte d’aquesta secció és:
4,196 − 1,4 ⋅ x = 0
x=
4,196
= 2,997 m
1,4
El moment flector màxim positiu és:
+
Mmàx
= 4,196 ⋅ 2,997 − 1,9 − 1,4 ⋅
Resultat:
(1,0p)
L’esforç tallant nul es produeix en una secció entre el punt
d’aplicació de la càrrega puntual i el recolzament 3.
2,7 T
2
T.
2,997 2
= 12,575 − 1,9 − 6,287 = 4,388 mT
2
Moment Flector Màxim Positiu del tram 2-3
Mmàx = 4,388 mT
Secció on es produeix:
x = 2,997 m. de l’extrem
3
Examen Final
ESTRUCTURES ARQUITECTÒNIQUES II
Cognoms
Data: 14/01/2002
Nom
Grup
4. A partir del llistat de dades i de resultats adjunt, obtinguts després de processar un pòrtic amb
el programa Wineva, respon a les següents preguntes:
1T
(0,5p)
4.1. Completa el croquis del pòrtic afegint:
a)
Numeració dels nusos
b)
Numeració de les barres
c)
Cotes
d)
Càrregues aplicades
e)
2,6 T/m
1
1
1T
2
2
5
3
6
3m
2,6 T/m
4
3
Condicions de contorn (moviments
4
5
6
Impedits dels nusos)
Nusos:
1
Barres:
1
7
8
7
8
1,5 m
4,5 m
5m
(0,5p)
4.2. Tenint en compte el llistat de dades, com estan disposats els pilars?
(posa una creu en la resposta correcta)
L’eix X de la secció coincideix amb el pla del pòrtic
L’eix Y de la secció coincideix amb el pla del pòrtic
X
(1,0p)
4.3. Calcula l’esveltesa mecànica del pilar 7 en el pla del pòrtic.
Dades: En el pla del pòrtic l’estructura no té requadres arriostrats
Grau d’encastament dels nusos superior i inferior del pilar 7:
5790
11,58
500
=
= 0,352
k sup =
5790 3831 3831 11,58 + 8,513 + 12,77
+
+
500
450
300
k inf = 1
A la taula 3.2.4.4.B trobarem el coeficient β:
kinf
1
ksup
0,3 0,4
1,31 1,22
Interpolant, per ksup = 0,352
L P = 4,5 ⋅ 1,27 = 5,715 m
Resultat:
Longitud de Pandeig
LP = 5,715
⇒
β = 1,27
λ=
571,5
= 74,61
7,66
m. Esveltesa mecànica del pilar 7
λ = 74,61
4.4. Calcula l’esveltesa mecànica del pilar 7 en el pla perpendicular al pòrtic
(0,5p)
Dades: En el pla perpendicular al pòrtic l’estructura sí té requadres arriostrats.
En aquest pla, el pilar es considera articulat en el seu extrem superior i encastat en
el seu extrem inferior.
Grau d’encastament dels nusos superior i inferior del pilar 7:
Ksup = 0 (articulat)
Kinf = 1 (encastat)
A la taula 3.2.4.4.A trobarem el coeficient β:
β = 0,7
LP = 4,5 ⋅ 0,7 = 3,15 m
Resultat:
Longitud de Pandeig
LP =
3,15
m.
λ=
315
= 68,93
4,57
Esveltesa mecànica del pilar 7
λ = 68,93
4.5. Comprova el dimensionat del pilar 7 i respon a les qüestions relatives a la comprovació
(1,0p)
realitzada.
Dades: El material és acer A-42 amb límit elàstic garantit
Coeficient de majoració de les accions:
γ = 1,5
Comprovació de resistència:
La secció més desfavorable és l’extrem inferior del pilar:
N∗ = 24,466 ⋅ 1,5 = 36,699 T
M∗ = 0,63 ⋅ 1,5 = 0,945 mT
σ ∗màx =
36699 0,945 ⋅ 10 5
+
= 562,01 + 221,83 = 783,84 Kp / cm 2 < 2600 Kp / cm 2
65,3
426
Comprovació a pandeig:
Com que l’estructura és traslacional en el pla del pòrtic, comprovarem la secció de moment flector
màxim, en lloc de la secció de tensió màxima dintre del 40% central de la longitud de la barra.
Atenent a les condicions de pandeig del pilar 7, descrites en les dues preguntes anteriors,
l’esveltesa més gran es produeix en el pla del pòrtic:
λ = 74,61
Per aquesta esveltesa, a la taula de coeficients omega trobem:
ω = 1,41
36699
0,945 ⋅ 10 5
⋅ 1,41 +
= 792,43 + 221,83 = 1014,26 Kp / cm 2 < 2600 Kp / cm 2
65,3
426
NOTA: Els resultats expressats en aquest exercici poden variar en funció de quina sigui la
secció del pilar comprovada a pandeig.
Resultat:
La tensió màxima de càlcul en el pilar 7 és:
1014,26 Kp/cm2
- aquesta tensió correspon a la comprovació de:
Pandeig
- amb un esforç axial de:
24,466 T (característic)
- i amb un moment flector de:
0,63 mT (característic)
El predimensionat és correcte?
Si; Es prodria reduir la secció
σ∗màx =
4.6. Per comprovar el dimensionat de les bigues del pòrtic,
¿quina o quines barres cal comprovar? (comprovació de tensions)
Barra
4
2
Secció
Nus 5
Nus 2
Moment Flector (mT)
6,917 (màx.)
6,747
Esforç Tallan (T)
7,297
7,369 (màx)
(0,5p)
DADES EXERCICI 4.
Examen final 14 de gener 2002.
pàgina 1
DADES GENERALS DE L’ESTRUCTURA
DADES DELS NUSOS
Nus
1
2
3
4
5
6
7
8
Coord.X
m.
0.000
1.500
6.500
0.000
1.500
6.500
1.500
6.500
Coord.Y
m.
7.500
7.500
7.500
4.500
4.500
4.500
0.000
0.000
Tipus
000
000
000
000
000
000
111
111
(Lliure)
(Lliure)
(Lliure)
(Lliure)
(Lliure)
(Lliure)
(Fix, encastat)
(Fix, encastat)
DADES DE LES BARRES
Barra
1
2
3
4
5
6
7
8
Nusos
1-2
1 2
2 3
4 5
5 6
5 2
6 3
7 5
8 6
Tipus
20-Voladís esquerra
00-Rígida
20-Voladís esquerra
00-Rígida
00-Rígida
00-Rígida
00-Rígida
00-Rígida
DADES DELS MATERIALS
Longitud
m
1.500
5.000
1.500
5.000
3.000
3.000
4.500
4.500
Àrea
m²
0.00459
0.00459
0.00459
0.00459
0.00653
0.00653
0.00653
0.00653
Inèrcia
m4
Mat.
Codi
0.000057900 1 IPE-MAX*270#1
0.000057900 1 IPE-MAX*270#1
0.000057900 1 IPE-MAX*270#1
0.000057900 1 IPE-MAX*270#1
0.000038310 1 HEB-MAX*180#1
0.000038310 1 HEB-MAX*180#1
0.000038310 1 HEB-MAX*180#1
0.000038310 1 HEB-MAX*180#1
Mòdul d’elasticitat del material 1 = 21,000,000 T/m²
Coeficient de dilatació del material 1 = 0.000012
Acer A-42
HIPÒTESI NÚMERO 1
ACCIONS EN ELS NUSOS
Nus
1
4
Fx
T.
0.000
0.000
Fy
T.
1.000
1.000
Mz
mT.
0.000
0.000
Dx
m.
0.0000
0.0000
Dy
m.
0.0000
0.0000
Gz
m.
0.0000
0.0000
ACCIONS EN LES BARRES
Barra
Tipus
1
UNIFORME TOTAL (3)
fins a la barra
4
UNIFORME TOTAL (3)
A
2.600
B
0.000
C
0.000
D
0.000
E
0.000
2.600
0.000
0.000
0.000
0.000
RESULTATS
Barra
1
2
3
4
5
6
7
8
0
mT.
0.000
-6.747
0.000
-6.917
2.019
-1.938
0.630
-0.110
Moments
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
mT.
mT.
mT.
mT.
mT.
-0.331 -0.825 -1.481 -2.300 -3.281
-1.509 1.923 3.550 3.371 1.387
-0.331 -0.825 -1.481 -2.300 -3.281
-1.739 1.634 3.201 2.963 0.919
1.296 0.572 -0.151 -0.875 -1.599
-1.214 -0.491 0.233 0.956 1.680
0.446 0.262 0.078 -0.105 -0.289
0.073 0.257 0.441 0.625 0.808
L
mT.
-4.425
-2.403
-4.425
-2.930
-2.322
2.403
-0.473
0.992
Axials
Axial
Axial/àrea
T.
kp/cm²
0.000
0.0
-1.447
-31.5
0.000
0.0
1.202
26.2
-12.269
-187.9
-5.631
-86.2
-24.466
-374.7
-11.334
-173.6
DADES EXERCICI 4.
Barra
1
2
3
4
5
6
7
8
Nus
1
2
3
4
5
6
7
8
0
T.
1.000
-7.369
1.000
-7.297
1.447
-1.447
0.245
-0.245
1/6
T.
1.650
-5.202
1.650
-5.131
1.447
-1.447
0.245
-0.245
Examen final 14 de gener 2002.
2/6
T.
2.300
-3.035
2.300
-2.964
1.447
-1.447
0.245
-0.245
Tallants
3/6
4/6
5/6
L
T.
T.
T.
T.
2.950 3.600 4.250 4.900
-0.869 1.298 3.465 5.631
2.950 3.600 4.250 4.900
-0.797 1.369 3.536 5.703
1.447 1.447 1.447 1.447
-1.447 -1.447 -1.447 -1.447
0.245 0.245 0.245 0.245
-0.245 -0.245 -0.245 -0.245
Desplaçaments
dx
dy
gir
mm.
mm.
Radians
-7.81
-3.16
0.0020
-7.81
-1.07
-0.0001
-7.89
-0.50
0.0033
-3.30
-3.74
0.0026
-3.30
-0.80
0.0004
-3.24
-0.37
0.0025
0.00
0.00
0.0000
0.00
0.00
0.0000
Nus
1
2
3
4
5
6
7
8
TOTALS
pàgina 2
Fletxes
fletxa
mm.
fl/L
-0.37
1/4045
5.64
1/886
-0.37
1/4045
4.75
1/1053
-0.21
1/14163
0.33
1/9221
0.25
1/18242
1.39
1/3244
Reaccions
Fx
Fy
T.
T.
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.245
24.466
-0.245
11.334
0.000
35.800
Fz
mT.
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.630
0.110
-0.519