GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Ecuación de la recta, paralelismo y perpendicularidad Matemática Programa Entrenamiento Desafío En un sistema de ejes coordenados, las rectas L1: 2y + x = 14 y L2: 2x – y = 3 son los ejes de simetría de un rombo. Si uno de los lados del rombo se encuentra sobre el eje de las ordenadas, entonces el área del rombo es A) 40 B) 48 C) 60 D) 80 E)96 Mis observaciones GUICEN030MT22-A16V1 Resolución 1 Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Elementos del plano cartesiano y Eje de las ordenadas 5 4 Segundo cuadrante 3 Primer cuadrante 2 Origen (0, 0) 1 x –5 –4 –3 –2 Tercer cuadrante –1 –1 –2 –3 1 3 2 4 Eje de las abscisas 5 Cuarto cuadrante –4 –5 La medida de AB es �(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 Sea un segmento AB en el plano tal que A(x1, y1) y B(x2, y2) El punto medio de AB es x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 ( ) La pendiente de AB es y2 – y1 =m x2 – x1 2 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Ecuación de la recta Toda recta de la forma x = a (a ∈ IR) corresponde a una recta vertical (pendiente infinita) que intersecta al eje X en (a, 0). Toda expresión de la forma y = mx + n representa una recta en el plano. m es la pendiente y se asocia a la inclinación de la recta. Si m > 0, la recta es creciente. Si m = 0, la recta es horizontal. Si m < 0, la recta es decreciente. n es el coeficiente de posición y corresponde a la intersección de la recta con el eje Y. La intersección de la recta con el eje X corresponde –n al punto m , 0 ( Si n = 0, entonces la recta pasa por el origen. ). ¿Cómo determinar la ecuación de una recta? Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) pertenecientes a la recta y = mx + n La pendiente es y2 – y1 m= x2 – x1 El coeficiente de posición es n = y1 – m • x1 La ecuación de la recta es y = m • (x – x1) + y1 3 Programa Entrenamiento - Matemática Relaciones entre rectas Se dice que las rectas son … Sean L1 : y = m1 ⋅ x + n1 L2 : y = m2 ⋅ x + n2 Paralelas (L1 // L2), si m1 = m2 y n1 ≠ n2 No tiene solución Coincidentes, si m1 = m2 y n1 = n2 Infinitas soluciones Perpendiculares (L1 ⊥ L2), si m1 ⋅ m2 = – 1 Solución única Oblicuas, si m1 ⋅ m2 ≠ – 1 4 La intersección de las rectas es la solución del sistema… y = m1·x + n1 y = m2·x + n2 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Ejercicios PSU 1. En la figura, el área del triángulo PQR es y A) 4 B) 3�2 C) 6 D) 8 E)12 3 2 1 –3 –2 –1 P –1 –2 R 1 2 3 x Q –3 2. Un triángulo ABC está formado por los vértices A(– 3, 3), B(– 1, 1) y C(1, 3). La longitud de la transversal de gravedad del triángulo que cae sobre el lado AB es A) �3 B)2 C)2�2 D) �10 E)2�3 3.Sea ABC un triángulo rectángulo en A tal que B(6, 9) y C(– 2, – 6). Si P es el punto medio del segmento BC, entonces AP mide A) 12 5 B) 5 2 5 C) 120 D) 17 E) 17 2 5 Programa Entrenamiento - Matemática 4. x Una circunferencia tiene su centro en el punto A(10, 0) y es tangente a la recta L1: y = . El radio 3 de la circunferencia es A) 3 B) �10 C) 10 3 D) 5 E) 6 5. Sea el segmento AB definido por los puntos A(2p, – p) y B p, ( ) afirmar que 6 I) el punto medio de AB es II) la longitud de AB es III) la pendiente de AB es Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) solo I. solo II. solo III. solo I y III. solo II y III. ( p�13 . 2 3 . 2 ) 3p – p . , 2 2 p , con p ≠ 0. Siempre es correcto 2 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 6. Una recta L pasa por el punto (– 6, 5) y su pendiente es dos unidades menor que su coeficiente de posición. La pendiente de la recta L es – 11 A) 2 B) –4 3 C) –3 5 D) E) 7. 1 7 5 En un cuadrado ABCD de diagonales AC y BD, se conocen los puntos A(3, – 6) y C( – 7, 8). La pendiente de BD es –7 A) 5 –5 B) 7 C) 5 7 1 D) E) 7 5 7 Programa Entrenamiento - Matemática 8. Si (4, − 3) es un punto de la recta de ecuación 5x + ky = 25, entonces k es igual a A) 10 B) 8 C) 2 −3 D) 5 −5 E) 3 9. La ecuación de la recta cuya pendiente es – 5 y pasa por el punto (– 4, 1) es A) y = – 5x + 21 B) y = – 5x + 5 C) y = – 5x – 3 D) y = – 5x – 5 E) y = – 5x – 19 10. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (– 3, 2) y (3, – 10) es A) y= –1 x–4 2 B) y= –1 x+5 2 C) y = – 2x – 4 D) y = – 2x + 5 8 E) ninguna de las ecuaciones anteriores. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 11. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B es A) B) C) D) E) y = – 4x – 12 y = – 4x + 12 y = 4x – 12 y = 4x + 12 ninguna de las ecuaciones anteriores. y B –3 x – 12 A 12.Sea AB un segmento tal que A(5, 2) y B(9, – 4). Si L1 corresponde a la simetral de AB , entonces la ecuación de la recta L1 es A) y= – 2x + 11 3 B) y= 2x – 17 3 C) y= 2x + 23 3 D) y= – 3x + 19 2 E) y= 3x – 23 2 13. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) La pendiente de la recta es igual a 2. El punto (3, 12) pertenece a la recta. La ecuación de la recta es y = 2x − 4. A) B) C) D) E) Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III y 4 −2 x 9 Programa Entrenamiento - Matemática 14. Una circunferencia tiene un diámetro AB tal que A(– 3, – 6) y B(5, 2). Si L es una recta que pasa por el centro de la circunferencia e intersecta al eje X en el punto (9, 0), entonces la ecuación de la recta de L es A) y= 1 • (x – 9) 4 B) y= x +9 4 C) y= 1 • (– x + 9) 4 D) y= –x +9 4 E) ninguna de las ecuaciones anteriores. 15. El gráfico que mejor representa a la recta de ecuación 3x + 4y = 5 es A)y y B) 5 4 3 y D) –3 4 5 4 x –3 x y E) 5 4 y 5 4 x 3 10 C) 5 3 x x GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 16. En la recta L de la figura, ¿cuál es el valor numérico de p? y 3 A) 5 B) L 5 1 2 5 C) 4 1 4 D) 3 –1 p 2 x 11 E) 4 3 x – 6 intersecta al eje X en el punto A y al eje Y en el punto B. Si O es 4 el origen del sistema de ejes coordenados, entonces ¿qué punto representa al circuncentro del 17. La recta de ecuación y = triángulo OAB? A) (0, 0) B) (2, – 2) C) (4, – 3) ( ) 16 D) , – 4 3 E) Ninguno de los puntos anteriores. 18. Sea un triángulo ABC tal que A(a, 0), B(0, b) y C(0, 0), con a y b números reales positivos. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos del triángulo ABC pertenece(n) siempre a la recta y = x? I)Incentro. II) Centro de gravedad. III)Ortocentro. A) B) C) D) E) Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III 11 Programa Entrenamiento - Matemática 19. Con respecto a la recta y − x − 1 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0, 1). II) La recta intersecta al eje X en el punto (1, 0). III) La pendiente de la recta es positiva. A) B) C) D) E) Solo I Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III 20. En la figura, L1 ⊥ L2. Entonces la ecuación de la recta L2 es A) y= –4 (x – 1) 3 B) y= 4 x–1 3 C) y= 4 (x – 1) 3 D) y= 3 (x – 1) 4 E) y L1 3 1 L2 ninguna de las ecuaciones anteriores. 21. Sean las rectas L1: x + y = 1 ; L2: x – 2y = 2. Es correcto afirmar que L1 y L2 12 A) B) C) D) E) son paralelas. se intersectan en el segundo cuadrante, en un ángulo de 90°. se intersectan en el segundo cuadrante, en un ángulo distinto de 90°. se intersectan en el cuarto cuadrante, en un ángulo de 90°. se intersectan en el cuarto cuadrante, en un ángulo distinto de 90°. 4 x GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 22.Sea ABCD un paralelógramo de diagonales AC y BD . Si la pendiente de AC corresponde al inverso multiplicativo de la pendiente de BD, entonces ABCD podría ser un I)rombo. II)romboide. III)rectángulo. Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) solo I. solo III. solo I y II. solo II y III. ninguna de ellas. 23. Sean dos rectas L1: y = m • x + n y L2: y = a • x + b, con a, b, m y n números reales tales que b • n < 0, b • m > 0 y a • n < 0. Entonces, L1 y L2 NO podrían ser I)paralelas. II)perpendiculares. III)coincidentes. Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) solo II. solo I y II. solo II y III. I, II y III. ninguna de ellas. 24. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones está representado en el gráfico adjunto? A)– x – 2y = 0 ; B) x – 2y = – 1 ; C)2x + y = 2 ; D) x + 2y = – 2 ; E) – 2x + y = – 1 ; y x + 2y = 0 x + 2y = 1 x + 2y = – 1 2x + y = 2 x+y=2 2 –2 –1 1 x 13 Programa Entrenamiento - Matemática 25. Según la figura, el punto de intersección de ambas rectas es A) B) C) D) E) y (– 3, 2) (– 2, – 3) (– 2, 3) (2, – 3) ninguno de los puntos anteriores. 1 1 2 x 8 –4 26. Respecto a la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) La recta L1 es perpendicular a la recta L2. La ecuación de la recta L2 es y = x + 3. Las rectas L1 y L2 se intersectan en el punto (1, 2). A) B) C) D) E) Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III y L1 L2 3 1 –1 27. Se puede determinar el valor numérico de la pendiente de la recta y = mx + 3 si: (1) (2) La recta pasa por el punto (10, 9). La recta corta al eje de las abscisas en − 5. A) B) C) D) E) (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. 28. Se puede determinar la ecuación de la recta L si: 14 (1) (2) La recta L pasa por el punto (2, – 6). El coeficiente de posición de la recta L es 10. A) B) C) D) E) (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. x 3 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 29. En la ecuación de la recta y = a • (x – 1), con a ≠ 0, se puede determinar el valor numérico de a si: (1) (2) La recta intersecta al eje X en el punto (1, 0). La recta intersecta al eje Y en el punto (0, – 3). A) B) C) D) E) (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. 30. Se puede determinar que las rectas L1 y L2 NO se intersectan si: (1) L1 tiene pendiente – 2 y pasa por el punto (3, 2). (2) L2 es paralela a L1 y pasa por el origen. A)(1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 15 Programa Entrenamiento - Matemática Tabla de corrección Item Alternativa Habilidad 1 ASE 2 ASE 3 ASE 4 ASE 5 Aplicación 6 Aplicación 7 Aplicación 8 Aplicación 9 Aplicación 10 Aplicación 11 Aplicación 12 Aplicación 13 Aplicación 14 ASE 15 Aplicación 16 Aplicación 17 ASE 18 ASE 19 ASE 20 Aplicación 21 Aplicación 22 ASE 23 ASE 24 ASE 25 Aplicación 26 ASE 27 ASE 28 ASE 29 ASE 30 ASE Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial. 16