Estructuras algebráicas parala computación

E. T. S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
INGENIERO EN INFORMÁTICA
Estructuras Algebraicas para la Computación
Curso 2000/2001
Relación 1: Conceptos fundamentales
1. Establece si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) ∅ ⊆ {∅}
(c) {∅} ⊆ ∅
(e) {a, b} ∈ {a, {a, b}}
(b) ∅ ∈ {∅}
(d) {∅} ∈ {∅}
(f ) {a, b} ⊆ {a, {a, b}}
2. Sean A, B y C subconjuntos de un universo U. Determina la veracidad de los siguientes enunciados,
demostrando los que sean verdaderos y dando un contraejemplo para los falsos.
(a) Si
A ∪ B = A ∪ C, entonces B = C.
(b) Si
A ∩ B = A ∩ C, entonces B = C.
(c) A ⊆ B ⇐⇒ P(A) ⊆ P(B)
(d) Si
A∪B =A∪C
y
A ∩ B = A ∩ C,
entonces B = C.
3. Especifica todas las posibles particiones del conjunto A = {a, b, c, d, e}.
4. Simplifica la expresión (A ∪ B) ∩ C ∪ B
5. Los empleados de una fábrica están clasificados por
(a) su estado civil (solteros o casados)
(b) su nacionalidad (españoles o extranjeros)
(c) su color de pelo (rubios o no rubios)
Un jefe de personal averigua que un empleado que está buscando es “soltero o no español rubio”. Otro
jefe de personal averigua que ese mismo individuo es “o soltero o extranjero o no rubio” ¿Cuál de los dos
jefes de personal tiene más información sobre el individuo?
6. Estudia si son ciertas las siguientes igualdades. Cuando no lo sean, compara por inclusión ambos miembros:
(a) A ∩ (B − C) = A ∩ B) − (A ∩ C)
(b) A − (B ∩ C) = (A − B) ∩ (A − C)
(c) P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)
(d) P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
7. Dado el alfabeto Σ = {0, 1}, escribe los elementos del conjunto S3 que contiene todas las palabras de
longitud menor o igual a 3 que se pueden formar con sı́mbolos de Σ.
8. Para el alfabeto Σ = {a, b, c} determina S2 .
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9. Se consideran las relaciones R ⊆ N × R y S ⊆ R × N, definidas por
n R x ⇔ n = x2
y S m ⇔ y2 = m − 1
Encuentra, si es posible, una expresión para las relaciones R ◦ S , S ◦ R , (R ◦ S)−1 y (S ◦ R)−1 .
De cada una de estas relaciones describe el dominio y la imagen (o codominio).
10. Sean R1 y R2 relaciones binarias definidas sobre un conjunto A. Estudia las relaciones R1 ∪ R2 ,
R1 ∩ R2 y R1 ◦ R2 cuando:
(a) R1 y R2 son relaciones de equivalencia.
(b) R1 y R2 son relaciones de orden.
11. Utiliza el algoritmo de Warshall para determinar la mı́nima relación de equivalencia que contiene a
la relación R = {(x, y), (x, v), (y, z), (z, x), (z, u), (u, v), (v, y)} definida sobre el conjunto {x, y, z, u, v}.
Describe la partición determinada por dicha relación.
12. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 5)}. Prueba que S = R∪R2 es una relación transitiva.
Halla la mı́nima relación de equivalencia que contiene a S y determina las clases de equivalencia.
13. Se consideran los conjuntos parcialmente ordenados (A, 1 ) y (B, 2 ). En el conjunto A × B se define
la relación
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) ⇐⇒ a1 1 a2 ∧ a2 2 b2
Demuestra que (A × B, 4) es un conjunto parcialmente ordenado.
14. Sea A = {a, b, c, d} y π1 la siguiente partición de A:
π1 = {{a, b, c}, {d}}
(a) Especifica la relación de equivalencia inducida por π1 .
(b) Haz lo mismo para las particiones
π2 = {{a}, {b}, {c}}, {d}}
π3 = {{a, b, c, d}}
(c) Dibuja un diagrama del conjunto parcialmente ordenado (P, 4), donde P = {π1 , π2 , π3 } y la
relación 4 viene definida por
πi 4 πj
⇐⇒
πi es un refinamiento de πj
15. Dado el entero positivo m, denotamos por πm la partición correspondiente a la relación de congruencia(mod.m)
definida en el conjunto Z. Demuestra que
πk
⇐⇒
es un refinamiento de πj
k
es un múltiplo de j.
16. Se define la función f : [0, 1] → (0, 1) de la siguiente manera:
1
f (0) = ,
2
1
1
f( ) =
,
n
n+2
1 1
1
f (x) = x ∀x ∈ [0, 1] − 0, 1, , , . . . , , . . .
2 3
n
2
(a) Estudia qué propiedades verifica f .
(b) Deduce qué relación hay entre el cardinal de [0, 1] y el de (0, 1).
17. Determina si los siguientes enunciados son Verdaderos o Falsos (demostrando los que sean V y poniendo
un contraejemplo de los F).
(a) Si A y B son conjuntos numerables, entonces A ∪ B es numerable.
(b) Si A y B son conjuntos no numerables, entonces A ∩ B es no numerable.
(c) Si A y B son conjuntos numerables, entonces A − B es numerable.
(d) Si A y B son conjuntos no numerables, entonces A − B es no numerable.
(e) Si A es no numerable y B es numerable, entonces A ∩ B es no numerable.
(f) Si A es no numerable y B es numerable, entonces A − B es numerable.
18. En el conjunto de los números naturales se definen:
(a) a ∗ x = ax
(b) a ∗ b = a
(c) x ∗ y = m.c.m.(x, y)
(d) x · y = m.c.d.(x, y)
Determina si son leyes de composición interna y, en el caso que lo sean, estudia qué propiedades verifican.
19. Estudia si las siguientes funciones f : Z × Z → Z son operaciones
b) f (x, y) = xy
a) f (x, y) = x + y − xy
En caso afirmativo determina sus propiedades.
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