el conjunto de los números enteros, z

MUNICIPIO DE SANTIAGO DE CALI
SECRETARIA DE EDUCACION MUNICIPAL
“INSTITUCION EDUCATIVA SANTO TOMAS”
RESOLUCIÓN Nº 1670 DE JUNIO 20 DE 2003
RESOLUCIÓN Nº 4143.2.21.7627 DEL 14 DE SEPTIEMBRE DE 2009
CODIGO DEL DANE: Nº 176001040079
NIT: 805009471-7
1
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES N
El conjunto de los números naturales N, está compuesto por todos aquellos números que determinan cuántos
elementos tiene un conjunto de objetos.
Hay algunas discusiones entre los teóricos sobre si el cero pertenece o no al conjunto de los números naturales,
para nuestro caso se considerará el cero como número natural.
𝑁 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …
… ,1458747, … }
… ,45789, …
PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES









Tiene infinita cantidad de elementos
Tiene un primer elemento, el cero ( 0 )
No tiene último elemento
Todos sus elementos tienen un sucesor o consecutivo
A excepción del cero, todos sus elementos tienen un antecesor
Todos sus elementos tienen antecesor
Entre dos números naturales no consecutivos hay finitos números naturales
Entre dos números naturales consecutivos NO hay ningún número natural
Entre dos números naturales A y B, se cumple alguna de las siguientes situaciones: 𝐴 > 𝐵;
𝐴 < 𝐵;
𝐴=𝐵
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS, Z
El conjunto de los números enteros está conformado por los enteros negativos 𝒁− , el cero y los enteros positivos
𝒁+
𝒁 = 𝒁− ∪ {𝟎} ∪ 𝒁+
𝒁 = {… , −𝟐𝟐𝟏𝟓, … , −𝟒𝟔𝟐, … , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … , 𝟒𝟓𝟕𝟖𝟗, … , 𝟏𝟒𝟖𝟕𝟒𝟕, … }
RECTA NUMÉRICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
ENTEROS NEGATIVOS
…
-87
…
…
-5
-4
-3
ENTEROS POSITIVOS
CERO
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
…
…
+1238
…
OPERACIONES EN Z
2
En el conjunto de los números enteros es posible realizar las operaciones de suma (adición),
resta (sustracción o diferencia), multiplicación (producto) y la potenciación siempre y cuando la
base sea un número entero y el exponente un número natural.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN N y Z
CLAUSURATIVA
CONMUTATIVA
ASOCIATIVA
MODULATIVA
N
Suma
Multiplicación
Suma
Multiplicación
Suma
Multiplicación
Suma
Multiplicación
Z
Suma
Resta
Multiplicación
Suma
Resta
Multiplicación
Suma
Multiplicación
Suma
Resta
Multiplicación
División
INVERTIVA
DISTRIBUTIVA
Multiplicación
en la suma y
resta
Suma
resta
Multiplicación
en la suma y
resta
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El valor absoluto de un número entero es la cantidad de unidades (distancia) que hay, en la recta numérica, desde
el cero hasta dicho número. Siempre es positivo
Si 𝒂 es un número entero entonces su valor absoluto es:
|𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0 }
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Ejemplos:
|+𝟐𝟒| = 𝟐𝟒
|−𝟑𝟓| = 𝟑𝟓
PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS











Tiene infinita cantidad de elementos
No tiene un primer elemento
No tiene último elemento
Todos sus elementos tienen un sucesor o consecutivo
Todos sus elementos tienen un antecesor
Todos sus elementos tienen antecesor
Entre dos números enteros no consecutivos hay finitos números enteros
Entre dos números enteros consecutivos NO hay ningún número entero
Entre dos números enteros A y B, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: 𝑨 > 𝑩;
𝑨<
𝑩; 𝑨 = 𝑩
Si A y B son dos números enteros se dice que es mayor aquel que en la recta numérica se ubique a la derecha
del otro
El cero es mayor que todos los números enteros negativos y menor que todos los enteros positivos
3

Entre dos números enteros negativos es mayor aquel que tenga mayor valor absoluto
ACTIVIDAD 1
1. Escribe el sucesor de cada uno de los siguientes números enteros
a. 58
c. −501
b. 0
d. +48
e. −25
f. −1
2. Escribe el antecesor de cada uno de los siguiente números enteros
a. 36
c. 0
b. −48
d. −999
e. 8769
f. −3
3. Escribe los números enteros que se encuentran entre los números
a. +58 𝑦 + 61
c. 0 𝑦 + 8
b. −58 𝑦 − 61
d. −4 𝑦 + 4
e. −437 𝑦 − 431
f. +578 𝑦 + 586
4. En cada caso escribe el número que se pide
a. |+254| =
b. |−36| =
c. |0| =
d. |+20| =
e. |−2457| =
f. |+1|
5. En medio de cada par de números escribe >, <, 𝑜 = según sea el caso
a. +18 − 18
b. −25 + 14
c. +78 − 79
d. 147 + 147
e. −516 − 31
f. −93 + 1
6. Escribe descendentemente (de mayor a menor) los siguientes números enteros
−𝟏𝟐; +𝟔; −𝟒𝟖𝟕; +𝟐; −𝟒; −𝟓𝟖; +𝟑; −𝟑𝟕
7. Escribe ascendentemente (de menor a mayor) los siguientes números enteros
𝟑; −𝟏𝟏; +𝟐𝟎; 𝟎; −𝟗; +𝟓𝟗; −𝟏𝟖; −𝟏𝟗; +𝟏𝟗; −𝟖𝟏𝟓; −𝟐𝟎𝟔
8. Realiza las siguientes operaciones
a. (+12) + (+8) + (+5) + (+7) =
b. (−10) + (−6) + (−10) =
4
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
+(−18) − (+1) + (+15) − (−7) =
(−5)(+2)(−1)(−3)(+6) =
(+1)(−5)(−4)(+2)(+3)(−7)(+6) =
(−4)(+3) + (−5)(−2) =
−(−18) − (−8)(+11) + (−20) =
+46 − [(−4 × 7) − (+7 − 10)] =
(+85)0
(−47)1
(−1)151
(−10)8 =
(−3)2 (−2)3 + (3)3 (−5)2 − 145 =
(−2 + 5)5 + (−3 − 4)3 =
(−1)524 + (−1)84 =
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES, Q
El conjunto de los números racionales está conformado por todos aquellos números
que se pueden expresar como el cociente entre dos números enteros, es decir, se
pueden expresar de la forma a/b donde a y b son enteros y b no es cero
Ejemplos:
5
9
4
14
− ;
;−
10
47
; −
471
589
;
Todo número racional de la forma
7
49
𝒂
𝒃
son números racionales
representa una fracción donde 𝒂 es el numerador y 𝒃 es el denominador
PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES





Tiene infinita cantidad de elementos
No tiene primero ni último elemento
Ninguno de sus elementos tiene sucesor ni consecutivo
Entre dos números racionales existe infinitas cantidad de números racionales
Entre dos números racionales 𝑨 y 𝑩, se da una y solo una de las siguientes relaciones
𝑨 > 𝑩;

𝑨 < 𝑩;
𝑨=𝑩
Con los números racionales no se completa totalmente la recta numérica
RECTA NUMÉRICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
5
…
-3
−
𝟗
𝟒
-2
-1
0
𝟏
𝟐
+1
+2
+3
…
…
+12
38
…
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS RACIONALES
En los números racionales se pueden realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división siempre y
cuando el denominador no sea cero y la potenciación de números racionales con índice entero
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Propiedad
Adición
Muliplicación
𝒂 𝒄
𝒂 𝒄
+ ∊𝑸
× ∊𝑸
𝒃 𝒄
𝒃 𝒅
𝒂 𝒄 𝒄 𝒂
𝒂 𝒄 𝒄 𝒂
+ = +
× = ×
𝒃 𝒅 𝒅 𝒃
𝒃 𝒅 𝒅 𝒃
𝒂 𝒄
𝒆 𝒂
𝒄 𝒆
𝒂 𝒄
𝒆 𝒂
𝒄 𝒆
( + )+ = +( + )
( × )× = ×( × )
𝒃 𝒅
𝒇 𝒃
𝒅 𝒇
𝒃 𝒅
𝒇 𝒃
𝒅 𝒇
𝒂 𝟎 𝟎 𝒂 𝒂
𝒂 𝟏 𝟏 𝒂 𝒂
+ = + =
× = × =
𝒃 𝟏 𝟏 𝒃 𝒃
𝒃 𝟏 𝟏 𝒃 𝒃
𝒂
−𝒂
−𝒂 𝒂 𝟎
𝒂
𝒃
𝒃 𝒂 𝟏
+( )=
+ =
×( )= × =
𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎
𝒃
𝒃
𝒃
𝒃 𝟏
𝒃
𝒂
𝒂 𝒃 𝟏
𝒂
𝒄 𝒆
𝒂 𝒄 𝒂 𝒆
×( + )= × + ×
𝒃
𝒅 𝒇
𝒃 𝒅 𝒃 𝒇
Clausurativa
Conmutaiva
Asociativa
Modulativa
Invertiva
Distributiva
EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL
Todo número racional se puede expresar como un número decimal, para ello se divide el
numerador entre el denominador, el resultado que se obtienes puede ser un:
 Decimal finito, sus cifras decimales son limitadas, ejemplo: 2,89
 Decimal infinito periódico puro, sus cifras decimales son infinitas y además se repiten
̂
por periodos, ejemplo: 83,58585858 … = 83, 58
 Decimal infinito periódico mixto, algunas de sus cifras decimales son periódicas
̂
infinitamente, ejemplo: 26,521734734734 … = 26.521734
ACTIVIDAD 2
1. En medio de cada pareja de números racionales escribe el símbolo >, < 𝑜 = , según sea el caso
8
17
5
5
D.
+
+
A.
+3
+2
5
10
9
2
3
E.
0
−
B.
−
+
5
C.
−
7
8
5
−
10
17
10
F.
0
20
+
15
11
6
2. Resuelve las siguientes operaciones entre números racionales y simplifica hasta la mínima expresión.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
3
7
5
2
− 15 =
1
+ 12 + 8 + 6 =
4
9
8
8
10
−5 +
2
3
7
9
7
9
1
2
+ 6 − 10 − 2 + 15 =
25
× 4 × 5 × 14 =
3
36
75
2
3
24
÷ 100 =
5
9
× (8 + 12) =
35
60
8
7
4
5
G.
(36 × 25) ÷ (− 9 + 3 + 6 − 12) =
H.
( −
I.
− 3 {− 4 + [15 − (− 5 + 10) + 6] − 3} =
J.
+ 2 − {4 + [− 8 + (− 4 + 3 − 6) + 12] −
7
5
8
2
12
5
7
5
)+(
8
15
8
×
36
30
9
×
35
)=
16
7
3
3
1
8
1
8
5
11
1
} − 24 =
8
3. Encuentra la expresión decimal equivalente de cada una de los siguientes números racionales y
clasifica cada resultado.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
3
5
5
6
10
9
9
10
7
12
6
11
20
7
39
1000
4. En cada caso halla la expresión racional (o facción generatriz) simplificada en su mínima forma, de los
siguientes números decimales
A. 0,45
B. 32,4
C. 0,000625
D. 56,444 …
̅̅̅̅
E. 257, 21
̅̅̅̅̅
F. 0,003
G. 1,23̅
̅̅̅̅
H. 71,0041
I. 0,514232323…
5. Problemas
𝟑
A. El largo de un rectángulo mide 𝟒 de metro de y su ancho mide 0.32 metros, calcula su
perímetro y el área
𝟑
B. Un padre tiene 45años, si su hijo tiene 𝟓 de esta edad, cuántos años tiene el hijo?
7
𝟑
C. Dos hombres pintan una pared de 40 metros de largo, si uno de ellos pinta 𝟖, cuantos
metros de pared pinta cada uno?
D. Un cerrajero tiene una varilla de 3,5 metros de largo y desea obtener tozos de 0,15 metros.
Cuántos trozos obtiene?
8
2° PERIODO
NÚMEROS REALES
Operaciones con radicales y exponentes
Recuerda las siguientes propiedades de la potenciación de los números reales
POTENCIACIÓN
RADICACIÓN
𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝒏
√𝒂𝒎
𝒏
𝒏
= ( √𝒂) =
𝒏
(𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎×𝒏
𝒎
𝒏
𝒎
𝒂𝒏
𝒏
𝒏
√𝒂 × 𝒃 = √𝒂 × √𝒃
(𝒂 × 𝒃) = 𝒂 × 𝒃
𝒏
𝒂 √𝒂
√ =𝒏
𝒃 √𝒃
𝒏
𝒏
𝒂𝒎
= 𝒂𝒎−𝒏
𝒏
𝒂
En particular
𝒂 𝒏 𝒂𝒏
( ) = 𝒏
𝒃
𝒃
𝒏
√𝒂𝒏 = 𝒂
PARA TENER EN CUENTA
𝟐
√𝒙 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒃𝒊𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒐 √𝒙
𝒏
𝒏
𝟏 √𝒂 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒃𝒊𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒐 √𝒂
𝒏
𝒏
𝒏
√𝒂 + √𝒃 ≠ √𝒂 + 𝒃
9
¿CÓMO SIMPLIFICAR RADICALES?
Ejemplos:

√𝟖 = √𝟐𝟐 × 𝟐
= √𝟐𝟐 × √𝟐
= 𝟐 √𝟐

= √𝟐𝟐 × 𝟓
√𝟐𝟎
= √𝟐𝟐 × √𝟓
= 𝟐√𝟓

𝟑
𝟗 √𝟐𝟓𝟔
𝟑
= 𝟗 × √𝟐𝟖
𝟑
= 𝟗 × √𝟐𝟔 × 𝟐𝟐
𝟑
𝟑
= 𝟗 × √𝟐𝟔 × √𝟐𝟐
𝟑
= 𝟗 × 𝟐𝟐 × √𝟒
𝟑
= 𝟗 × 𝟒 × √𝟒
𝟑
= 𝟑𝟔 √𝟒

√𝟕𝟓 = √𝟓𝟐 × 𝟑
= √𝟓𝟐 × √𝟑
= 𝟓√𝟑

√𝟕𝟐 = √𝟑𝟐 × 𝟐𝟐 × 𝟐
= √𝟑𝟐 × √𝟐𝟐 × √𝟐
= 𝟑 × 𝟐 × √𝟐 = 𝟔√𝟐
RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos que tienen la misma parte radical.
Ejemplos:
𝟓
𝟓

𝟐 √𝟕 𝒚 𝟗 √𝟕 𝒔𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

𝟑
𝟑
√𝟓 𝒚 𝟖 √𝟓 𝒔𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒔𝒊
10
𝟒√𝟑 − 𝟏𝟐√𝟑 𝒔𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒔𝒊

SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para sumar o restar radicales éstos deben ser semejantes, de no serlos se pueden reducir a
radicales semejantes mediante la descomposición en números primos:
𝒏
𝒏
𝒏
𝒂 √𝒙 + 𝒃 √𝒙 = (𝒂 + 𝒃) √𝒙
Ejemplos:
1.
√𝟓 + √𝟓 =
(𝟏 + 𝟏)√𝟓 =
𝟐√𝟓
2.
−𝟕√𝟑 + 𝟓√𝟑 − 𝟏𝟎√𝟑 + √𝟑 =
(−𝟕 + 𝟓 − 𝟏𝟎 + 𝟏)√𝟑 = −𝟏𝟏√𝟑
3.
√𝟏𝟐 + √𝟕𝟓 − √𝟐𝟕 = 𝟐√𝟑 + 𝟓√𝟑 − 𝟑√𝟑
= (𝟐 + 𝟓 − 𝟑)√𝟑
=
𝟒√𝟑
11
TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos,
es igual al cuadrado de la hipotenusa
𝑎2
𝟐
𝒃
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
Ejemplos:
1. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 5cm?
52 + 122 = 𝑥 2
25 + 144 = 𝑥 2
169 = 𝑥
5cm
2
𝑥 = √169
12cm
𝑥 = 13𝑐𝑚
12
2. ¿Cuánto mide el cateto del triángulo?
𝑥 2 = 172 − 82
𝑥 2 = 289 − 64
𝑥 2 = 225
8cm
𝑥 = √225
𝑥 = 15𝑐𝑚
x
3. Calcula la medida del lado 𝑥 en el siguiente triángulo rectángulo
2
2
𝑥 2 = (√6) + (3√5)
𝑥 2 = 6 + 9(5)
x
𝑥 2 = 6 + 45
√6
𝑥 2 = 51
𝑥 = √51
3√5
ACTIVIDAD 3
1. Simplifica cada de los siguientes radicales hasta su mínima expresión
A.
√324 =
G.
B.
√2025 =
H.
C.
√10000 =
I.
√252 =
D.
√2500 =
J.
√405 =
E.
F.
3
√12 =
5
√625 =
K.
L.
√20 =
4
√80 =
10
√1024 =
√864 =
13
M.
N.
O.
3
√8640 =
P.
√5832 =
Q.
5
√100000 =
R.
6
√960 =
5
√243 =
√8820 =
2. Reduce a radicales semejantes y resuelve cada una de las operaciones que se indican a continuación:
A.
5 √3 − 2 √3 + 9 √3 − 3 √3 =
B.
−7√5 − 2√7 − 3√7 − √7
C.
√2 + 3√2 + 8√2 + √2 =
D.
√3 − √12 + √48 =
E.
5√7 + 2√63 − 5√112 =
F.
3√252 + √343 + √448 + √700 =
G.
√5 + √20 + √45 + √80 =
H.
−√125 + √180 + √245 + √320 =
I.
−√405 + √500 − √720 + 2√5 =
J.
3
3
3
3
3
√10000 + 2 √270 − √1250 − 6 √80 + √2160 =
14
3. Usa el TEOREMA DE PITÁGORAS para hallar el valor del lado 𝑥 del triángulo que se muestra en la
gráfica, teniendo en cuenta los datos que se le asignan a los lados en la tabla que se muestra a
continuación:
𝑏
𝑐
𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑎
𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑏
𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑐
A.
𝑥
6
8
B.
26
𝑥
24
C.
𝑥
7
10
D.
√7
2
𝑥
E.
𝑥
5√2
4√3
F.
√2
𝑥
1
G.
𝑥
4√5
2√5
H.
5√6
5√3
𝑥
15
4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS:
Representa cada problema en un triángulo rectángulo y luego aplica el TEOREMA DE PITÁGORAS
para encontrar la solución.
A. Los lados de un rectángulo miden 12 cm y 16 cm. ¿Cuánto mide la diagonal de este rectángulo?
B. Un poste de alumbrado público está sostenido por un cable de 10 metros de largo. Si la
distancia entre el poste y el pie del poste es de 6 metros, ¿cuál es la altura del poste?
C. Un parque de forma rectangular mide 40 metros de largo por 30 de ancho. En todo su centro se
encuentra un frondoso árbol de guayacán. ¿Qué distancia hay desde el árbol hasta las esquinas
del parque?
D. Para llegar desde su casa hasta el colegio un estudiante debe pedalear 12 kilómetros hacia el
norte y luego 9 kilómetros hacia el oeste. ¿Cuántos kilómetros se ahorraría si el viaje lo pudiera
hacer en línea recta sin tener que voltear?
16
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El Algebra es la parte de la matemática que se encarga de estudiar las cantidades
matemáticas en su expresiones general.
Una expresión algebraica es la combinación de símbolos alfanuméricos mediante
operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
 En las expresiones algebraicas las letras son variables, es decir que pueden tomar
cualquier valor numérico.
 Un término es una expresión algebraica compuesta solo por factores; es decir por
símbolos numéricos y literales que se multiplican entre si.
 El producto 𝒂 × 𝒃 se escribe 𝒂𝒃; y el producto 𝟔 × 𝒂 × 𝒃 se escribe 𝟔𝒂𝒃; la
expresión 𝟏𝐱 𝟏 se escribe 𝐱
 Los términos constan de signo, coeficiente, parte literal y exponentes de la parte
literal
 En una expresión algebraica los términos están separados por signos mas (+) o
menos (−)
 Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos que tengan
o Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término
o Un polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término.
o Un binomio es un polinomio que consta de dos términos
o Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos
o Si tiene n términos (𝒏 > 𝟏)se dice polinomio de n términos
 El grado relativo de un monomio se refiere al exponente de la variable que se
indique.
 El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de las variables
que hay en el monomio
 El grado relativo de un polinomio es el máximo exponente que tenga la variable
que se indique entre todos los términos que conforman el polinomio
17
 El grado absoluto de un polinomio es el máximo grado absoluto de los términos
que tenga el polinomio.
 Los polinomios se ordenan ascendentemente o descendentemente de acuerdo a
los exponentes que tenga la variable que se escoja, por lo general se toma como
referencia la primera según el orden alfabético. Si no se dice lo contrario el
polinomio se ordenará ascendentemente.
 Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica se reemplaza el valor
numérico que se le haya asignado previamente a cada una de las letras y se
resuelve la operación que indique cada uno de sus términos. Recuerde la jerarquía
de las operaciones (primero las potencias, luego los productos y por último las
adiciones o sustracciones)
 Dos o más termino son términos semejantes si tienen idéntica las parte literal con
sus respectivos exponentes
 Para simplificar términos semejantes se simplifican los coeficientes entre si y se
deja intacta la parte literal
Ejemplo 1.
De la expresión algebraica −𝟗𝐚𝟖 𝐛𝟓 podemos decir:

Tiene un solo término, por lo tanto es un monomio

Signo: negativo

Coeficiente: 𝟗

Parte literal: 𝐚𝟖 𝐛𝟓

Grado relativo: 𝟖 para la variable 𝐚, y 𝟓 para la variable 𝐛.

Grado absoluto: 𝟖 + 𝟓 = 𝟏𝟑
Ejemplo 2.
De la expresión algebraica 𝟕𝐱 𝟑 𝐲 𝟐 − 𝟓𝐱 𝟒 𝐲 𝟓 − 𝟏𝟑 + 𝐱𝐲 𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 podemos decir que;

Es un polinomio de cinco términos.

El grado relativo con respecto a 𝒙 𝒆𝒔 𝟒, con respecto a 𝒚 𝒆𝒔 𝟓

El grado absoluto del polinomio es 𝟗
18

Su orden descendente es −𝟓𝒙𝟒 𝒚𝟓 + 𝟕𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 − 𝟏𝟑

Su orden ascendente es −𝟏𝟑 + 𝒙𝒚𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟕𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝟓𝒙𝟒 𝒚𝟓
Ejemplo 3.
Si 𝒙 = 𝟐; 𝒚 = 𝟏; 𝒛 = 𝟑 hallar el valor numérico de la expresión 𝟓𝒙 + 𝟕𝒙𝒛 − 𝟒𝒚𝟑 𝒛𝟐 − 𝟏𝟓
Reemplazando cada valor numérico en la expresión algebraica
Se resuelven las potencias indicadas
Se resuelven los productos en cada término
𝟑
𝟐
𝟓(𝟐) + 𝟕(𝟐)(𝟑) − 𝟒(𝟏) (𝟑) − 𝟏𝟓 =
𝟓(𝟐) + 𝟕(𝟐)(𝟑) − 𝟒(𝟏)(𝟗) − 𝟏𝟓 =
𝟏𝟎 +
+𝟓𝟐
Se simplifica la expresión obtenida
𝟒𝟐
−
𝟑𝟔
−
− 𝟏𝟓 =
𝟓𝟏
= +𝟏
Ejemplo 4.
Si 𝒙 = −𝟐;
𝒚 = 𝟏;
𝒛 = 𝟓; hallar el valor numérico de la expresión algebraica:
𝟑𝒙𝒚𝟔 + 𝟒𝒚𝒛𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 𝒚 − 𝟕𝟑
𝟑(−𝟐)(𝟏)𝟔 + 𝟒(𝟏)(𝟓)𝟐 − 𝟔(−𝟐)𝟑 (𝟏) − 𝟕𝟑 =
Se reemplazaron las variables por sus
𝟑(−𝟐)(𝟏) + 𝟒(𝟏)(𝟐𝟓) − 𝟔(−𝟖)(𝟏) − 𝟕𝟑 =
Se resolvieron las potencias
respectivos valores numéricos
−𝟔 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟒𝟖 − 𝟕𝟑 =
Se realizaron los productos
+𝟏𝟎𝟎 − 𝟕𝟗 = 𝟐𝟏
Se simplificaron los números enteros
Ejemplo 5.

𝟏𝟎𝒎𝟓 𝒏𝟒 𝒑𝟐

−𝟑𝟓𝒂𝟓 𝒃𝟐
y
y
−𝟐𝟓𝒎𝟓 𝒏𝟒 𝒑𝟐 son términos semejantes
𝟏𝟒𝒂𝟓 𝒃𝟐 son términos semejantes
Ejemplo 6.
Ordenar descendentemente el polinomio:−𝟏𝟓𝒂𝒃 + 𝟏𝟗𝒂𝟒 𝒃𝟐 + 𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟕 − 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝒂𝟑 𝒃𝟓 + 𝟔𝒂𝟒 𝒃𝟖 + 𝟏𝟕𝒃𝟐 +
𝟗𝒂𝟐 𝒃𝟐
19
Solución:
+𝟔𝒂𝟒 𝒃𝟖 + 𝟏𝟗𝒂𝟒 𝒃𝟐 − 𝟏𝟎𝒂𝟑 𝒃𝟓 + 𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟕 + 𝟗𝒂𝟐 𝒃𝟐 − 𝟏𝟓𝒂𝒃 + 𝟏𝟕𝒃𝟐 − 𝟐𝟓
Ejemplo 7.
Simplificar los términos semejantes
 𝒂 + 𝒂 = 𝟐𝒂
 𝟐𝒂 + 𝒂 = 𝟑𝒂
 −𝟒𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝟏𝟕𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 𝒚𝟐 =
(−𝟒 + 𝟏𝟕 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟎)𝒙𝟑 𝒚𝟐
Simplificación de expresiones algebraicas
Para simplificar expresiones algebraicas, se simplifican los términos semejantes que
haya en ella y luego se escribe ordenadamente el polinomio resultante.
Ejemplo 8
Simplificar la siguiente expresión algebraica
𝟒𝒂𝒃 − 𝟕𝒂𝒄 + 𝟗𝒃𝒄 + 𝟏𝟎 − 𝟐𝟓𝒂𝒄 + 𝟏𝟏𝒂𝒃 − 𝟐𝟏 − 𝟑𝒃𝒄
Simplificando los términos semejantes se obtienen los siguientes resultados
𝟒𝒂𝒃 + 𝟏𝟏𝒂𝒃 = 𝟏𝟓𝒂𝒃
−𝟕𝒂𝒄 − 𝟐𝟓𝒂𝒄 = −𝟑𝟐𝒂𝒄
−𝟑𝒃𝒄 + 𝟗𝒃𝒄 = +𝟔𝒃𝒄
+𝟏𝟎 − 𝟐𝟏 = −𝟏𝟏
Por lo tanto el resultado es: 𝟏𝟓𝒂𝒃 − 𝟏𝟏 + 𝟔𝒃𝒄 − 𝟑𝟐𝒂𝒄
20
ACTIVIDADES GENERALES
1. Completa la siguiente tabla para cada uno de las expresiones algebraicas que se dan en la columna
de la izquierda.
TÉRMINO
SIGNO
COEFICIENTE
PARTE
LITERAL
EXPONENTES
−𝟓𝒙𝟐
𝟏𝟐𝒎𝟑 𝒏𝟖
𝟔
− 𝒙𝒚𝟐
𝟕
𝒙 𝟐 𝒚𝟓
2. Clasifica cada expresión algebraica según el número de términos, el grado absoluto y el grado
relativo
CLASIFICACIÓN SEGÚN EL
NÚMERO DE TÉRMINOS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
GRADO
ABSOLUTO
GRADO RELATIVO CON RESPECTO
A CADA UNA DE SUS VARIABLES
−𝟒𝒎𝟑 𝒏𝟓
−𝟔𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝟖𝒙𝒚 − 𝟐𝒙𝟓 𝒚𝟐
𝟕𝒂𝟗 − 𝟏𝟏𝒂𝟕 𝒃𝟐
𝟏𝟒𝒂𝟒 𝒃𝟔 + 𝟏𝟓𝒂𝒃𝟓 − 𝟏𝟎𝒂𝟑 𝒃𝟐
+ 𝟐𝟏
𝟐 𝟒 𝟒 𝟑 𝟕 𝟐 𝟕
𝟏𝟑
− 𝒙 − 𝒙 + 𝒙 − 𝒙−
𝟕
𝟓
𝟑
𝟔
𝟏𝟎
𝟕
𝟔𝒙𝟒 𝒚𝟓 − 𝒙𝟔 𝒚𝟐
𝟐
𝟖 𝟕 𝟓 𝟗 𝟏𝟏
−𝟐𝟒𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒆
3. Ordena los siguiente polinomios en forma ascendente
a. −𝟓𝒎𝟒 𝒏𝟖 − 𝟕𝒎𝟓 𝒏𝟒
b. 𝟏𝟐𝒂𝟐 𝒙𝟓 − 𝒂𝟓 𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒂𝟒 𝒙𝟑 − 𝟏𝟏𝒂𝟑 𝒙𝟔 − 𝟏𝟎𝒂𝒙𝟒 + 𝟒𝒂𝟔 − 𝟏
𝟏
c. − 𝟑 𝒎𝟗 𝒏𝟑 + 𝟏𝟏𝒎𝒏𝟐 −
𝟏𝟒
𝟓
𝟒
𝟑
𝟕
𝟗
𝒎𝟓 𝒏 + 𝟒 𝒎𝒏𝟓 + 𝟒𝒎𝟑 𝒏 − 𝟔 𝒎𝟐 𝒏𝟒 − 𝟏𝟎 𝒏𝟏𝟑
d. −𝟖𝒃𝟒 𝒏𝟐 + 𝟏𝟏𝒃𝒏𝟓 − 𝒃 𝒏 + 𝟒𝟓𝒃𝒏𝟕 + 𝟒𝒃𝟑 𝒏 − 𝟓𝒃𝟐 𝒏𝟒 − 𝟖𝒃𝟓 𝒏𝟓
𝟏
e. − 𝟑 𝒙𝟗 𝒚𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝒚𝟐 −
𝟏𝟒
𝟓
𝟑
𝟕
𝟗
𝒙𝟓 𝒚 + 𝟒 𝒙𝟕 𝒚𝟓 + 𝟒𝒙𝟑 𝒚 − 𝟔 𝒙𝟐 𝒚𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝒚𝒛𝟑
21
4. Ordena los siguientes polinomios en forma descendente
𝟕
𝟐
𝟔
𝟖
𝟑
𝟕
𝟏
a. − 𝟑 𝒏𝟑 + 𝟕 𝒏𝟐 − 𝟏𝟏 𝒏 + 𝟓 𝒏𝟓 + 𝟒 𝒏 + 𝟔 𝒏𝟒 − 𝟖 𝒏𝟗
𝟑
𝟕
b. −𝟏𝟎𝑨𝟑 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝟒 𝑩𝟑 − 𝟗𝑨𝟓 𝑩 + 𝟒 𝑨𝑩𝟓 + 𝟒𝑨𝟑 𝑩 − 𝟔 𝑨𝟒 𝑩𝟒 − 𝑨𝟐
c. +𝟏𝟐𝒂𝟏𝟓 𝒎𝟑 − 𝟏𝟏𝒂𝟔 𝒎𝟐 −
𝟏𝟒
𝟓
𝟑
𝟕
𝟗
𝒂𝒎𝟏𝟏 + 𝟒 𝒂𝒎𝟓 + 𝟒𝒂𝟖 𝒎 − 𝟔 𝒂𝟏𝟎 𝒎𝟒 − 𝟏𝟎 𝒂𝟓 + 𝟏𝟗
d. −𝒎𝟗 𝒏𝟑 + 𝟑𝒎𝒏𝟐 − 𝟐𝒎𝟓 𝒏 + 𝟓𝒎𝒏𝟓 + 𝟑𝒎𝟑 𝒏 + 𝒎𝟐 𝒏𝟒 − 𝟕𝒏𝟐
e. 𝟐𝟓𝒙𝟗 𝒚𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝒚𝟐 − 𝒙𝟓 𝒚 − 𝟑𝟐𝒙𝒚𝟓 + 𝟐𝟒𝒙𝟑 𝒚 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 𝒚𝟒 − 𝟐𝟐𝒙𝒚𝟑
5. Dados los valores para las siguientes variables:
𝒂 = 𝟑;
𝒃 = −𝟐;
𝒄 = −𝟏;
𝒎 = 𝟎;
𝒏 = −𝟓;
Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:
a. 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 =
b. −𝟖𝒎 + 𝟒𝒏 =
c. −𝟑𝒃𝟑 + 𝟐𝒄𝟓𝟑 𝒏𝟐 + 𝟓𝒂𝒃 − 𝟏𝟎𝒄𝟐𝟏 𝒚𝟏𝟐 =
d. −𝟕𝒙𝒚 + 𝟒𝒂𝒙 − 𝟔𝒃𝒎 + 𝟐𝒂𝒄𝒙 =
e. −𝟐𝒂𝟐 𝒃 − 𝟒𝒂𝒃𝟐 + 𝟏𝟓 =
f. 𝟐𝒂𝟒 – 𝒏𝟐 + 𝟑𝒃𝟐 − 𝒃𝒏𝟐 =
g. −𝟒𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟕𝒂𝒃𝟒 𝒄 − 𝒄 =
h.
𝟐
𝟕
𝟑
𝒂𝟐 − 𝟒 𝒃𝟑 + 𝟐 𝒄𝒏 +
𝟓
𝟐𝟑
𝟕
𝒙 = 𝟐;
𝒚 = 𝟏;
𝟏
𝒎𝟓𝟑 − 𝟖 =
i. −𝟐𝒂𝟐 𝒃 − 𝟒𝒂𝒃𝟐 + 𝟏𝟓𝒄𝟏𝟏 𝒎𝟐 − 𝒏𝟑 =
j. 𝒄𝒙𝟔 − 𝒂𝟓 𝒄𝟐𝟏𝟑 − 𝟑𝒙𝟒 𝒚𝟕𝟗 + 𝟏𝟓𝒂𝒙𝟐 =
6. Escribe cuatro términos semejantes para cada uno de los siguientes términos que se dan:
a. −𝟏𝟐𝒂𝟓
b. 𝟔𝒎𝟒 𝒏𝟓
c. 𝟏, 𝟖𝒙𝟏𝟎 𝒚𝟕 𝒛𝟑
𝟒
d. − 𝟕 𝒂𝟑 𝒃𝟐
e. 𝟑√𝟓𝒙𝟒 𝒃𝟕
7. En cada caso simplifica los términos semejantes:
a. +𝟕𝒂 + 𝟒𝒂 + 𝟏𝟏𝒂 + 𝟗𝒂 + 𝟑𝒂 =
b. – 𝒎 − 𝟑𝒎 − 𝟓𝒎 − 𝟐𝒎 − 𝟒𝒎 =
c. +𝟏𝟎𝒂𝒄 − 𝟖𝒂𝒄 + 𝟔𝒂𝒄 − 𝟐𝟓𝒂𝒄 + 𝒂𝒄 − 𝟕𝒂𝒄 + 𝟏𝟏𝒂𝒄 =
d. −𝟖𝒂𝒙𝟑 + 𝟕𝒂𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝒂𝒙𝟑 − 𝟔𝒂𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒂𝒙𝟑 + 𝟑𝒂𝒙𝟑 − 𝟒𝒂𝒙𝟑 =
e. −𝟑𝟓𝒙𝟑 𝒚𝟓𝒛𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟓𝒛𝟐 − 𝟐𝟑𝒙𝟑𝒚𝟓 𝒛𝟐 + 𝟓𝟔𝒙𝟑 𝒚𝟓𝒛𝟐 + 𝟒𝟏𝒙𝟑𝒚𝟓 𝒛𝟐 + 𝒙𝟑 𝒚𝟓𝒛𝟐 − 𝒙𝟑 𝒚𝟓𝒛𝟐 − 𝟏𝟎𝒙𝟑𝒚𝟓𝒛𝟐 + 𝟐𝟗𝒙𝟑 𝒚𝟓𝒛𝟐 − 𝟐𝒙𝟑𝒚𝟓 𝒛𝟐 =
22
8. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y ordena cada resultado en forma descendente
a. 𝟑𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝒚 − 𝟖𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 =
b. 𝟑𝒎𝟑 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒎𝟐 𝒙 − 𝟏𝟒𝒎𝟑 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟑𝒎𝟑 𝒙𝟐 + 𝟖𝒎𝟐 𝒙 − 𝟒𝒎𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐𝟎 =
c. −𝟏𝟕𝒂𝟒 𝒃𝟑 𝒄𝟒 + 𝟏𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟒 𝒄𝟕 − 𝟏𝟒𝒂𝟔 𝒃𝟐 𝒄 + 𝟏𝟐𝒃𝟓 𝒄𝟏𝟎 + 𝟒𝒂𝟒 𝒃𝟑 𝒄𝟒 + 𝟏𝟐𝒃𝟓 𝒄𝟏𝟎 − 𝟐𝟑 − 𝟏𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟒 𝒄𝟕 + 𝟏𝟏 =
d. +𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛𝟒 + 𝟐𝒙𝟓 𝒚𝟒 𝒛𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛𝟒 + 𝟑𝟑𝒙𝟓 𝒚𝟒 𝒛𝟑 + 𝟏𝟕𝒙𝟒 𝒚𝟑 𝒛𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟓 𝒚𝟒 𝒛𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟒 𝒚𝟑 𝒛𝟒 + 𝟒𝟎𝒙𝒚 =
e. −𝟒𝟓𝒎𝒏𝟐 + 𝟐𝟑𝒎𝟑 𝒏𝟓 + 𝟑𝟕𝒎𝟒 𝒏𝟔 − 𝟐𝟎𝒎𝟐 𝒏𝟒 − 𝟑𝟓𝒎𝟑 𝒏𝟓 + 𝟏𝟖𝒎𝒏𝟐 + 𝟑𝟎𝒎𝟐 𝒏𝟒 − 𝟔𝒎𝟑 𝒏𝟓 + 𝟒𝟓𝒎𝒏𝟐 − 𝟔𝟐𝒎𝟒 𝒏𝟔 =
9. Sumar 3x  y con  7 x  8
10. Sumar 6x 2  4xy  y 2 con  x 2  9 xy  16y 2
11. Sumar los polinomios  8m  5n  12 p ;  5m  17 p  12n ;  6m  9n  3 p
12. Restar  7a  8b  10c de  3a  10b  7c
13. De 10m  14n  5 p  8q restar  9m  2n  5 p  4q  19
14. Dados los siguientes polinomios:
𝑷𝟏 = 𝟓𝐱 𝟏𝟐 𝐲 𝟖 + 𝟏𝟓𝐱 𝟏𝟔 𝐲 𝟏𝟐 − 𝟐𝐱 𝟏𝟑 𝐲 𝟏𝟎 + 𝟏𝟕𝐱 𝟏𝟒 𝐲 𝟗 − 𝟑𝟏𝐱 𝟏𝟎 𝐲 𝟔 − 𝐱 𝟏𝟏 𝐲
𝑷𝟐 = 𝟏𝟐𝐱 𝟏𝟎 𝐲 𝟔 + 𝟔𝐱 𝟏𝟑 𝐲 𝟏𝟎 − 𝟗𝐱 𝟏𝟏 𝐲 − 𝟐𝟓𝐱 𝟏𝟓 𝐲 𝟐 + 𝟏𝟗𝐱 𝟏𝟐 𝐲 𝟖 − 𝟐𝟎𝐱 𝟏𝟒 𝐲 𝟗
𝑷𝟑 = −𝟖𝐱 𝟏𝟒 𝐲 𝟗 − 𝟑𝟐𝐱 𝟏𝟔 𝐲 𝟏𝟐 − 𝟐𝐱 𝟏𝟐 𝐲 𝟖 + 𝟐𝟓𝐱 𝟏𝟓 𝐲 𝟐 − 𝟑𝟗𝐱 𝟏𝟎 𝐲 𝟔 − 𝟏𝟒𝐱 𝟏𝟑 𝐲 𝟏𝟎
𝑷𝟒 = −𝟒𝟏𝐱 𝟏𝟏 𝐲 − 𝟑𝟗𝐱 𝟏𝟒 𝐲 𝟗 − 𝟏𝟑𝐱 𝟏𝟑 𝐲 𝟏𝟎 − 𝐱 𝟏𝟔 𝐲 𝟏𝟐 + 𝟏𝟕𝐱 𝟏𝟐 𝐲 𝟖 − 𝟏𝟔𝐱 𝟏𝟓 𝐲 𝟐
Hallar:
a. 𝑷𝟐 + 𝐏𝟒
b. 𝑷𝟏 + 𝐏𝟑
c. 𝑷𝟐 − 𝐏𝟏
d. 𝑷𝟑 − 𝐏𝟒
e. 𝑷𝟏 + 𝐏𝟑 + 𝐏𝟐
f. 𝑷𝟐 + 𝐏𝟒 + 𝐏𝟑
g. 𝑷𝟏 + 𝐏𝟑 + 𝐏𝟐 +𝑷𝟒
𝒉. −𝑷𝟒 + 𝐏𝟐 − 𝐏𝟏 + 𝐏𝟑
15. Para cada figura encuentra una expresión que represente su perímetro
𝑎 + 3𝑎2
2𝑎 − 𝑎2 +4
Pentágono regular
23
4𝑥 3 − 𝑥 2 + 6𝑥 − 1
𝑥 + 3𝑦 + 4
16. Resuelve los siguientes productos entre monomios:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
(6x 7 y 2 )  (12x 5 y 4 )
(20a 6 )  (3a 5 )
15m8 n 3 p 2  12n 4 p 7
 41a 5   7a 7 b10
6mn4 p 3   2m7 p 5   10n 4 p 3
 18a 4 c 8   5b8 c 5   a12 b 5 c14














17. Resuelve los siguientes productos de monomios entre polinomios
1)
2)
3)
a   a  b  c  d 
 x

 x 4  x3  x 2  x  4 x3
2m8   3m 4  5m 2  7m3  4m  10
5


24
4)
5)
6)
7)
15a

 8b5  10a 3 n 2  6a 4b5
 5mn4   2m3 n3  8m2 n 2  7mn4
 6m7 x 7  5am3  4a 7 x   9a 5 mx6
 2m8 n 3  9m5 n 5  7m 4 n 3  10mn4  6m7 n 2
7








18. Resuelve los siguientes productos (no olvides ordenar los).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
a  b  ca  x  y 
 x


 x 4  x  1  x5  x 4  x3  x 2  x 1
3a  4b  7c 5a  2b  c
 3m  2m4  2m2  7m3  10  5m 2  8m  4  2m3
 10x 5  8x 2  7 x  x 4  12 5x  4x 3  11x 2  2
 2a 8  5a10  3a 4  5a 2  7  4a 3  5a  5
 30a 4  7a 3b  8a 2b 2  5ab3  7b  4 2a 2b  4ab2  8b 3
3












19. Resuelve los siguientes cocientes entre monomios
1)
2)
3)
a8
a5
30x12
5x 4
 42a15 b10
 12a 6 b 6
7m8 n13 p10
5m8 n12 p 4
4)
 48a 7 b 5 c 11
18b 5 c 7
18x 7 y 3 z 14
24z 9
5)
6)
20. Resuelve los siguientes cocientes de polinomio entre monomio
7)
8)
9)
10)
11)
12)
12m  8m  20m   4m
 20m n  30m n  40m n  10m n  10m n
 24 x y z  18x y z  42 x y z  60 x y z   6 x z
 32a b c  48a b c  16a b c  80a b c  16a
11m n  55m n p  88m n  143m n p  11m n
 35x y  56 x y  77 x y  70 x y   7 x y
7
3
9
5
6
5
4 8
4 6
8
27 18 15
5
12
2
7
25
6 10
5 4
3 7
7
11 5
25 12 20
11 8
18
14
3 5
13
14 10 9
15
6 12
15
6
15
6 4
18 23 11
15
10
3 12
13
4
21
14 10 9
4
4
b c
4
4
25