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Sistemas numéricos
Momento para Aplicar
1.
a.
b.
c.
d.
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique completamente su respuesta:
13
23
4
11
+
3
-
4
5 25
3 12
5 4
12
15
20
÷
4
En los puntos 2 al 5 encontrar el resultado de la operación indicada
2. 3 x 5 – 9 ÷ 3 + 8 – 32 ÷ 4
a.
-5
5
b. -22/4
3
2
3. {2 + 2 x (2 ÷ 2 ) ÷ 2} ÷ 2 - 2
a.
24
c. 12
22
b.
d.
-12
0
c. 82
d.
c. 9
d. 16
c. 87/42
d. 3/7
0
4. 3 x 5 +7 -6 +2 ÷ 2
a.
15
b. 17
2
5. ((3 + 3) + 6 ) ÷ 6 ÷ 7
a.
1
b. 36
6. Una fábrica de refrescos vende cada refresco a $500 y cada refresco tiene un
costo de producción de $200. Además la empresa tiene gastos de sostenimiento
fijos mensuales de $15.000.000
Para que la empresa no tenga perdida el mínimo número de refrescos que debe
vender al mes es
a.
7.
25.000
b. 50.000
c. 75.000
d. 100.000
Se tienen n números “m”, todos iguales, que al sumarlos dan como resultado un
número impar, de esto se puede concluir que:
a.
n es par y m es impar
b. n es impar y m es par
c.
n es impar y m es impar
d. n es par y m es par
8. Andrés, Pablo y Claudia compraron cada uno bolsas idénticas de bizcochos. Andrés
compra 35 bizcochos, Pablo 49 y Claudia 63. El total de las bolsas compradas por
los tres es
a.
21
b. 18
c. 7
d. 14
9. Con los números -3, 6, 7, -8 ¿cuál es la mayor fracción que se puede formar?
a.
−8
b.
−3
7
6
c.
7
−3
d.
−8
6
10. Según el ejercicio anterior, la menor fracción que se puede formar es
a.
−8
−3
b.
7
6
c.
7
−3
d.
−8
6
En los siguientes ejercicios resolver las operaciones indicadas
11.
12.
2
3
+
5
6
-
2
5
=
a.
11/10
2
3
6
a.
x
6
b. 5/14
c. 15/19
d. -24/75
b. 1/6
c. 1/36
d. 6 1/6
1
x6=
1
13. El 25% de 2000
a.
¼
b. 500
c. 1000
d. 8000
14. El 90% de un número es 54, el número es
a.
9
b.
6
c. 60
d. 72
Responda las preguntas 15 y 16 con la siguiente información
x
7/9 x
15.
----12cm---
Según la gráfica anterior, la fracción de X que le falta a la segunda barra para
ser igual a la primera es
a.
12/9
b. 2/9
c. 1/8
d. 2/7
c. 48cm
d. 54cm
16. La primera barra mide en total
a.
24cm
b. 50cm
17. Cierta ciudad tiene 4.000.000 de habitantes, 3/5 de su población son mujeres y los
6/8 de los hombres son niños y anciano, entonces la cantidad de la población que
son hombres adultos pero no ancianos es
a.
1.600.000
b. 800.000
c. 400.000
d. 3.000.000
18. Las dos quintas partes del personal de un banco son mujeres, 18 de los hombres son
solteros y la cuarta parte de los hombres son casados. El total de mujeres que hay
en el banco es
a.
12
b. 16
c. 24
d. 36
19. Cinco números suman 23412. El primero de ellos es 512 y cada uno de los tres
siguientes se obtiene sumando 416 al que le precede. Se pide el quinto número.
20. Un tercio de la suma de dos números es 8. Si uno de los números es 15, ¿cuál es el
otro número?
Bibliografía
Instruimos, Preuniversitario Razonamiento Lógico, Libro 1. Medellín 2012
Caro M Víctor E. y otros, Matemáticas 1. Pime Ltda Editores, Cali 1982
Operaciones con expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de constantes (números) y
variables (elementos genéricos de un conjunto numérico, representados por
letras), mediante suma, resta, multiplicación, división y potenciación con
exponentes enteros o racionales.
Por lo general las variables se representan con las últimas letras del alfabeto.
Por ejemplo u; v; w; x;...
Las expresiones
3𝑥 2 + 4𝑥 − 5,
𝑥+𝑦
𝑦 2 −𝑧
√𝑦+4𝑥
1 2
𝑥
3
Son ejemplos de expresiones algebraicas
Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica de la forma:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Donde a0, a1,…, an son números reales, llamados coeficientes del polinomio y n
es un entero no negativo, el grado de un polinomio corresponde al mayor
exponente de la variable que aparece en el polinomio.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Sumar dos o más polinomios da como resultado otro polinomio formado por la
suma de los términos de cada polinomio, si hay términos semejantes se hace
reducción de dichos términos.
La diferencia de dos polinomios equivale a sumar un polinomio con el opuesto
del segundo polinomio (sustraendo), es decir cada término del segundo
polinomio cambia de signo y después se reducen términos semejantes.
Ejemplos.
1. Hallar la suma de los siguientes polinomios
5ab2x – 3a2bx2 + 6xy – 7abc; -5ab2x + 4ab2x2 + 2xy – 5abc
Agrupamos los términos semejantes
(5ab2x – 5ab2x) – 3a2bx2 + (6xy + 2xy) + (-7abc – 5abc)
-3a2bx2 + 8xy – 12abc
2. Hallar la diferencia entre los siguientes polinomios
3mn + 9n2 + 5m2; -5mn – 17n2 + 3m2
Cambiamos los signos de los términos del segundo polinomio
3mn + 9n2 + 5m2 + 5mn + 17n2 – 3m2
Agrupamos términos semejantes
(3 + 5) mn + (9 + 17)n2 + (5 – 3)m2
8mn + 26n2 -2m2
PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios usamos las propiedades de la suma y el producto
de números reales y las leyes de los exponentes. Factorizar un polinomio
significa expresarlos como el producto de por lo menos dos polinomios
llamados factores, cada uno de grado mayor o igual a uno.
Ejemplos (3ab – a + 8b) (3a – 9b)
= 3ab(3a) + 3ab(-9b) – a(3a) –a(-9b) + 8b(3a) +8b(-9b)
= 9a 2b – 27ab2 – 3a2 + 9ab + 24ab -72b2
= 9a2b – 27ab2 – 3a2 + 33ab -72b2
semejantes
Reducción de términos
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Recordar que para dividir potencias de bases iguales, se deja la base y se
restan los exponenetes
am ÷ an = am-n
División entre Monomios
Para dividir dos monomios se simplifican sus coeficientes, si es posible y luego
se aplica la propiedad anterior en la parte literal
Ejemplo
72x7 ÷ 8x3 =
72𝑥 7
8𝑥 3
= 9x7-3 = 9x4
División de Polinomio entre Monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los términos
del polinomio entre el monomio
Ejemplo (8x3 – 15x2 + 3x) ÷ 3x
8𝑥 3 15𝑥 2 3𝑥 8 2
−
+
= 𝑥 − 5𝑥 + 1
3𝑥
3𝑥
3𝑥 3
División de Polinomio entre Polinomio
Se utiliza el mismo algorítmo empleado para dividir números enteros,
escribiendo la resta, los pasos son los siguientes:

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en orden
descendente, si el polinomio no es completo se dejan los espacios de
los términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del
dividendo entre el primer miembro del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del
divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del
dividendo.

El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término
del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer
término del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del
divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta
del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo
parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término
del divisor.
Ejemplos
PRODUCTOS NOTABLES
Algunos productos se usan frecuentemente y por ello es fácil recordar su
resultado. Sean a y b números reales o expresiones algebraicas
-
(a + b) (a –b) = a2 – b2
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b3) = a3 – b3
Estos resultados se demuestran realizando los productos indicados.
Ejemplos
(√𝑎 – b)( √𝑎 + b) = a – b2
(1 – 2y)3 = 13 – 3(1)22y + 3(1)(2y)2 – (2y)3
= 1 – 6y + 12y2 – 8y3
𝑎
𝑎2
𝑏
𝑏2
( – b)2 =
– 2a + b2
Momento para Aplicar
Escribe el área de la zona coloreada en cada una de las siguientes figuras:
Encontrar una expresión para el perímetro de las siguientes figuras
X2 + 4x-1
X
2x + 1
5-4x2
2x2 – x + 7
4x3
Efectuar las siguientes operaciones
a.
b.
c.
d.
e.
f.
4ab2 + 2bc – 3a2c + abc; - (5abc – 2ac2 + 3bc – 11ab2)
2x3y4 + x4y - 6x2y2 – 5; - (2x4y + 7x2y2 – 2x3y4)
-9x4y3 + x3y2 – 6x2 – 12xy; - (-2x3y2 – 9x4y3 – 5xy + 10)
5x3 – 2x + 1 ÷ x + 1
x4 – x3 + 5 ÷ x – 2
x5 – 2x3 + 2x -4 ÷ x – 5
Considere los polinomios
P(x) = 4x2 – 1
S(x) =
1
2
Q(x) = x3 – 3x2 + 6x -2
x2 + 4
T(x) =
3
2
R(x) = 6x2 + x + 1
x2 + 5
Calcular los siguientes polinomios
a.Q(x) + S(x)
b. P(x) – R(x)
c. T(x) S(x)
d. S(x) S(x) – 3Q
Utilice los productos notables para hallar los siguientes productos
(x + y)(x2 + y2)(x – y)
(√3𝑥 + √2𝑥)( √3𝑥 − √2𝑥)
(a3 + b3)(a6 – a3b3 + b6)
Bibliografía
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3es
o/algebra/simbolizacion/simbolizacion.htm
Arbeláez P. Hugo Javier y otros. Lecciones de Precálculo. Escuela de
Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Medellín.