n −1 Π sin( k =1 kπ n ) = n −1 n 2 證明:考慮圓內接正 n 邊形,圓心為 (0, 0) ,且頂點分別為 z1 , z2 ,..., zn 即可視為考慮 x n = 1 之 n 個根; 不失一般性,令 z1 = 1 ,則 f ( x) = x n − 1 = ( x − 1)( x n −1 + x n − 2 + ... + 1) ( x − z2 )( x − z3 )...( x − zn ) = x n −1 + x n − 2 + ... + 1 且 則 z1 z2 × z1 z3 × ... × z1 zn =| z1 − z2 | × | z1 − z3 | ×...× | z1 − zn | =|1 − z2 | × |1 − z3 | ×...× |1 − zn | =| (1 − z2 ) × (1 − z3 ) × ... × (1 − zn ) | =|1n −1 + 1n − 2 + ... + 1| =n 2(k − 1)π 又 z1 zk = 2 − 2 cos =2 n n −1 1 n −1 Π sin( 則得 Sol: sin 2(k − 1)π (k − 1)π n = 2 sin 2 n n = z1 z2 × z1 z3 × ... × z1 zn = 2n −1 Π sin( 故 例:求 sin 1 − cos k =1 π 13 π 13 × sin × sin kπ n ) = n −1 n 2 2π 6π × ... × sin =? 13 13 2π 12π 13 × ... × sin = 13 13 212 2π 6π 13 13 × ... × sin = 12 = 6 13 13 13 2 2 o o o o 例:求 sin1 sin 3 sin 5 ...sin 89 = ? 則 sin π kπ ) n × sin 179 kπ 180 90 Sol: sin1o sin 2o sin 3o...sin179o = Π sin( ) = 179 = 178 k =1 180 2 2 90 90 = 89 178 2 2 89 kπ 90 45 又 sin 2o sin 4o sin 6o...sin178o = Π sin( ) = 89 = 88 k =1 90 2 2 則 sin1o sin 2o sin 3o...sin 89o = 則 sin 2o sin 4o sin 6o...sin 88o = 故 sin1o sin 3o sin 5o...sin 89o = 45 45 = 44 88 2 2 sin1o sin 2o sin 3o...sin 89o 2 = 45 o o o o sin 2 sin 4 sin 6 ...sin 88 2 【淵智】