Solucionario Variable aleatoria, función de probabilidad y

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Programa Entrenamiento
MT-22
SOLUCIONARIO
Guía de ejercitación
avanzada
SGUICEN037MT22-A16V1
Variable aleatoria,
función de
probabilidad y función
de distribución
TABLA DE CORRECCIÓN
Guía de ejercitación Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución
ÍTEM
ALTERNATIVA
HABILIDAD
1
B
Comprensión
2
E
Comprensión
3
C
Aplicación
4
A
Aplicación
5
C
ASE
6
E
Comprensión
7
A
ASE
8
B
ASE
9
D
Aplicación
10
D
ASE
11
E
Aplicación
12
A
Aplicación
13
E
Aplicación
14
A
ASE
15
D
Comprensión
16
D
ASE
17
C
ASE
18
D
Comprensión
19
D
Aplicación
20
C
Aplicación
21
D
ASE
22
A
Comprensión
23
D
Comprensión
24
E
Aplicación
25
A
Aplicación
26
A
Aplicación
27
C
ASE
28
D
ASE
29
E
ASE
30
C
ASE
1. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Comprensión
Las fichas son {T, R, E, S, U, N, O}, conjunto que corresponde al espacio muestral. Este
conjunto posee siete elementos.
2. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
I)
Azar
Comprensión
Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los
come, entonces quedaran solo los dulces de menta dentro de la bolsa.
II) Verdadera, ya que si en 25 de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los come, y en
las otras 25 extracciones saca dulces de menta y los devuelve a la bolsa, entonces le
quedaran 25 dulces de piña y 50 dulces de menta.
III) Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de menta y los
devuelve a la bolsa, entonces le quedaran todos los dulces de la bolsa, que son 100.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Si en la moneda sale cara, el resultado del experimento es igual al resultado del dado azul.
Luego, en este caso, los resultados son 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.
Si en la moneda sale sello, el resultado del experimento es igual al doble del resultado del
dado rojo. Luego, en este caso, los resultados son 2, 4, 6, 8, 10 ó 12.
El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados
distintos de dicho experimento. En este caso, dichos resultados serían
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}.
Por lo tanto, el espacio muestral del experimento tiene 9 elementos.
4. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Al realizar el
experimento resulta:
Primera
extracción
Segunda
extracción
Operación
Resultado
1
2
Suma
3
1
3
Multiplicación
3
2
1
Suma
3
2
3
Suma
5
3
1
Multiplicación
3
3
2
Suma
5
El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados
distintos de dicho experimento. En este caso, el resultado del experimento puede ser 3 ó 5.
Por lo tanto, el espacio muestral del experimento es {3, 5}.
5. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
I) Verdadera, ya que el espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de
todos los resultados distintos de dicho experimento. Como este experimento termina
cuando sale cara en la moneda, entonces todos los resultados tendrán inicialmente S una
cierta cantidad de veces y finalmente una C, considerando además el caso que salga cara
en el primer lanzamiento y el experimento termine. Luego, el espacio muestral del
experimento será {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC,…}. Como no existe un límite para los
sellos que pueden aparecer antes que salga cara, entonces no existe un límite para los
posibles resultados del experimento. Es decir, el espacio muestral del experimento tiene
infinitos elementos.
II) Falsa, ya que el resultado SCSC indica que salió cara en el segundo lanzamiento y sello
en el tercero, lo que indicaría que el experimento continuó después de haber salido cara.
Eso contradice el procedimiento descrito en el enunciado.
III) Verdadera, ya que si el experimento se realiza muchas veces, teóricamente en el primer
lanzamiento la mitad de las veces saldrá cara y la mitad de las veces saldrá sello. Como
el experimento termina cuando sale cara, entonces si el experimento se realiza muchas
veces, teóricamente la mitad de las veces el experimento terminará en el primer
lanzamiento.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
6. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Comprensión
El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los posibles
resultados que tenga el experimento. Al realizar el experimento de lanzar 2 monedas, en cada
una de ellas puede salir cara o sello.
Por lo tanto, el espacio muestral de este experimento es:
{(cara - cara), (cara - sello), (sello - cara), (sello - sello)}
7. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
Eventos independientes son aquellos que no tienen elementos en común. Si se escoge al azar
un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número par” corresponde al conjunto
{10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}. Luego:
I)
Es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento
“que salga un número primo” corresponde al conjunto {11, 13, 17, 19, 23}, por lo tanto,
no tiene elementos en común con el evento “que salga un número par”.
II) NO es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento
“que salga un número múltiplo de 11” corresponde al conjunto {11, 22}, por lo tanto,
tiene un elemento en común con el evento “que salga un número par”.
III) NO es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento
“que salga un número mayor que 15” corresponde al conjunto {16, 17, 18, 19, 20, 21,
22, 23, 24, 25}, por lo tanto, tiene cinco elementos en común con el evento “que salga
un número par”.
Por lo tanto, solo I corresponde a un evento independiente del evento “que salga un número
par”.
8. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
Al lanzar simultáneamente una moneda de $ 50 y una moneda de $ 100, existen cuatro
posibles resultados equiprobables: que salga cara en ambas monedas, que salga cara en la
moneda de $ 50 y sello en la moneda de $ 100, que salga sello en la moneda de $ 50 y cara
en la moneda de $ 100, o que salga sello en ambas monedas. Luego:
I)
Falsa, ya que lanzar monedas es un experimento aleatorio, o sea, no se puede predecir
con exactitud el resultado.
II) Verdadera, ya que como los cuatro resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir,
entonces teóricamente cada uno de ellos ocurre la cuarta parte de las veces. Es decir, si
las monedas se lanzan cuatro millones de veces, teóricamente un millón de veces saldrá
cara en ambas monedas.
III) Falsa, ya que existe solo un caso en que no sale cara en ninguna de las monedas. Como
los cuatro resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces teóricamente
cada uno de ellos ocurre la cuarta parte de las veces. Es decir, si las monedas se lanzan
cuatro millones de veces, teóricamente un millón de veces no saldrá cara en ninguna de
las monedas.
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
9. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y
3
su respectiva probabilidad. En este caso, la probabilidad del 2 es , la probabilidad del 3 es
6
1
2
y la probabilidad del 6 es .
6
6
Luego, el valor esperado de X es 2 
3
2
1 6  6  6 18
 3  6 
 3
6
6
6
6
6
10. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y
su respectiva probabilidad. En este caso, X puede valer 0, 1 o 2, luego:
10 10 2 2 4
.

  
25 25 5 5 25
Si se escogen dos hombres, entonces X = 0 y su probabilidad es
Si se escoge primero una mujer y luego un hombre, entonces X = 1 y su probabilidad es
15 10 3 2 6
.

  
25 25 5 5 25
Si se escoge primero un hombre y luego una mujer, entonces X = 1 y su probabilidad es
10 15 2 3 6
.

  
25 25 5 5 25
Si se escogen dos mujeres, entonces X = 2 y su probabilidad es
Luego, el valor esperado de X es 0 
4
25
 1
6
25
 1
6
25
 2
9
25
15 15 3 3 9
.

  
25 25 5 5 25

6  6  18
25

30
 1,2
25
11. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y
su probabilidad. En este ejercicio existen diez posibles selecciones que se agrupan en tres
casos:
Las combinaciones {R, E, A} {E, S, A} {E, T, A} tienen una consonante. Luego, el valor de
3
X es 1 y su probabilidad es
= 0,3.
10
Las combinaciones {R, E, S} {R, E, T} {R, S, A} {R, T, A} {E, S, T} {S, T, A} tienen dos
6
consonantes. Luego, el valor de X es 2 y su probabilidad es
= 0,6.
10
La combinación {R, S, T} tiene tres consonantes. Luego, el valor de X es 3 y su probabilidad
1
es
= 0,1.
10
Por lo tanto, el valor esperado de X es (1·0,3 + 2·0,6 + 3·0,1) = (0,3 + 1,2 + 0,3) = 1,8.
12. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y
su respectiva probabilidad. En este caso existen dos situaciones:
* Si ocurre el evento A, el valor de X es (m – 1) y su probabilidad es p.
* Si no ocurre el evento A, el valor de X es m y su probabilidad es (1 – p).
Por lo tanto, el valor esperado de X es (m – 1)·p + m·(1 – p) = mp – p + m – mp = m – p
13. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Al realizar el experimento, existen seis combinaciones posibles: {blanca, negra},
{blanca, verde}, {negra, blanca}, {negra, verde}, {verde, blanca} y {verde, negra}
Los casos en que X = 1 son cuatro: {blanca, verde}, {negra, verde}, {verde, blanca} y
4 2
{verde, negra}. Por lo tanto, P(X = 1) es igual a  .
6 3
14. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
Al lanzar dos dados hay 36 combinaciones posibles. Luego:
I)
Verdadera, ya que los casos en que el promedio es mayor que 5 son {5, 6}, {6, 5}
3
1
(promedio 5,5) y {6, 6} (promedio 6). Entonces, P(X > 5) =
 .
36 12
II) Falsa, ya que hay 3 casos en que el promedio es 2 ({1, 3}, {2, 2}, {3, 1}) y 5 casos en
que el promedio es 3 ({1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}). Entonces,
P(X = 2) < P(X = 3).
III) Falsa, ya que por ser un promedio, X puede tomar valores decimales. Por ejemplo, para
la combinación {1, 2}, X toma el valor 1,5.
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
15. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Comprensión
En total hay 18 casillas, de las cuales:
3
3 tienen el número 6 P(X = 6) =
18
5 tienen el número 10 P(X = 10) =
4 tienen el número 8 P(X = 8) =
4
18
5
18
6
6 tienen el número 12 P(X = 12) =
18
Por lo tanto, la función de probabilidad P(X = a) está representada por la expresión
a 1
a
.
 
2 18 36
16. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Como P(X = m) =
Azar
ASE
k
, con m ∈{1, 2, 3}  P(X = 1) =
m
k
, P(X = 2) =
1
k
y P(X = 3) =
k
3
2
Como X solo toma esos tres valores, entonces se cumple:
P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 
k
1
Por lo tanto, el valor de k es
6
+
k
2
+
k
3
=1 
11  k
6
=1 k=
6
11
.
11
17. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
I)
Azar
ASE
Verdadera, ya que el recorrido de la variable aleatoria X corresponde al dominio de la
función de probabilidad.
II) Verdadera, ya que la suma de las probabilidades debe dar 1. Se tienen
0,15 + 0,2 + 0,35 + 0,15 = 0,85; por lo que falta 0,15 para completar la unidad.
Entonces, el valor de n es 0,15.
III) Falsa, ya que la probabilidad de x = 3 según la tabla es 0,35; lo que es equivalente a la
7
fracción
20
Por lo tanto, solo I y II son verdaderas.
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Comprensión
La variable aleatoria X hace referencia a la cantidad de bolitas que tiene número par, como se
extraen 5 bolitas los posibles casos (en cantidad de bolitas) son, obtener:
Caso
Impar
Par
1
5
0
2
4
1
3
3
2
4
2
3
5
1
4
6
0
5
Por lo que el recorrido de la variable aleatoria X es {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
19. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Como P es la función de probabilidad y F es la función de distribución (probabilidad
acumulada), entonces se cumple que:
P(2 ≤ X ≤ 3) = F(X = 3) – F(X = 1) =
5

2

25  4
6 15

30
21
30

7
10
20. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Como P es la función de probabilidad y F es la función de distribución (probabilidad
acumulada), entonces se cumple que:
P(X = 4) = F(4) – F(3) =
42
25

32
25

16  9
25

7
25
21. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
I)
Azar
ASE
Verdadera, ya que las barras x = 0 y x = 12 tienen la misma altura, por lo tanto poseen la
misma probabilidad.
II) Falsa, ya que la probabilidad de obtener a lo más 4 es igual a la suma de las
probabilidades de obtener 0, 1, 2, 3 y 4, esto se calcula se la siguiente manera:
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,04 + 0,05 + 0,07 + 0,07+ 0,1;
lo que da como resultado 0,33, equivalente a un 33% y no a un 10%.
III) Verdadera, ya que la probabilidad de obtener a lo menos 10 es igual a la suma de las
probabilidades de obtener 10, 11 y 12, esto se calcula de la siguiente manera:
P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) = 0,07 + 0,05 + 0,04; lo que da como resultado 0,16,
equivalente a un 16%.
Por lo tanto, I y III son verdaderas.
22. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Con la información de la tabla es posible comprobar inmediatamente que D y E son
verdaderas, ya que la tabla muestra las probabilidades acumuladas.
Como las otras opciones apuntan a la probabilidad de obtener solo 1 valor de la variable
aleatoria X se hace necesario determinar la función de probabilidad, la cual es de la siguiente
forma:
X
f(x)
0
F(0)
0,1
1
F(1)-F(0)
0,1
2
F(2)-F(1)
0,2
3
F(3)-F(2)
0,2
4
F(4)-F(3)
0,4
Por lo tanto, la probabilidad de obtener 2 es del 40% es la afirmación falsa.
23. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
I)
Azar
Comprensión
Verdadera, ya que la función de probabilidad binomial se utiliza en experimentos en
donde la variable aleatoria toma solo dos valores, fracaso o éxito.
II) Falsa, ya que al ser sin reposición, la probabilidad de un determinado evento varía a
medida que se repite el experimento. La probabilidad de éxito y fracaso debe ser
constante.
III) Verdadera, ya que el recorrido de la variable aleatoria en un experimento dicotómico
tiene dos elementos, por lo tanto se pueden enumerar (elementos contables).
Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.
24. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Para este problema utilizaremos la función de probabilidad binomial, ya que son dos posibles
casos, que salga cara (éxito) o que salga sello (fracaso). Se tiene que:
1
X: número de caras, p = q = , n = 10
2
Luego, la probabilidad de obtener a lo más 2 caras se expresa como
P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2) =
10   1   1 
       
0   2   2 
0
10 0
10   1   1 
        
1   2   2 
1
101
10   1   1 
        
2   2   2 
2
10 2

1
10
45
56



1024 1024 1024 1024
25. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Como la probabilidad de acierto y no acierto es la misma, entonces la probabilidad se
determina a partir de la fórmula de distribución binomial con eventos equiprobables, es
n  1 
decir: P(X = a) =     
a  2 
n
Donde n es la cantidad de veces que se realiza el experimento (en este caso el número de
preguntas de la prueba) y ael número de resultados de un cierto tipo (en este caso el número
de respuestas buenas que se desean). Luego:
15   1 
15!
15  14  13  12! 1
15  14  13 1
1
P(X = 12) =      
  
 15
 15 
(15  12)!  12!  2 
3!  12!
3!
2
2
12   2 
455
 15
2
15
15
26. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Existen dos posibilidades, que el estudiante acierte o falle, por lo tanto el experimento es
dicotómico, pudiendo resolverse mediante el uso de la función de probabilidad binomial.
Como cada pregunta tiene 5 alternativas consideremos las siguientes probabilidades:
1
Probabilidad de éxito (acertar): p  .
5
4
Probabilidad de fracaso (no acertar): 1  p  q  .
5
Número de preguntas: n = 20, lo que corresponde al número de ensayos de Bernoulli.
Se define la variable aleatoria X: número de preguntas que responde correctamente, entonces
x = 20 (obtener el puntaje máximo).
Luego se reemplazan los valores anteriores en la función de probabilidad binomial.
20 20
 20   1   1   4 
f ( x)  P( X  20)            
 20   2   5   5 
15
20
20
1
1
 1    1   
5
5
20
27. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
(1) El valor de p. Con esta información, no se puede determinar el recorrido de X, ya que la
cantidad de tarjetas rojas que hay en la bolsa no determina la cantidad de tarjetas rojas
que pueden ser extraídas.
(2) El valor de n. Con esta información, no se puede determinar el recorrido de X, ya que si
p < n, entonces es necesario conocer el valor de p.
Con ambas informaciones, sí se puede determinar el recorrido de X, ya que si p < n, entonces
el recorrido será {0, 1, 2,…, p – 1, p}, y si p > n, entonces el recorrido será
{0, 1, 2, …, n – 1, n}
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
28. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
(1) n = 6. Con esta información sí es posible conocer el valor de P(X = 4), ya que al
interpretar dicha expresión, corresponde a la probabilidad de obtener cuatro caras al
lanzar seis veces una moneda. Utilizando el triángulo de Pascal, la probabilidad de
15
obtener cuatro caras al lanzar seis veces una moneda, es decir, P(X = 4) =
.
64
(2) Los valores que puede tomar x es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Con esta información sí es posible
conocer el valor de P(X = 4), ya que los valores que puede tomar x corresponde al
experimento de lanzar seis veces una moneda, es decir, P(X = 4) es igual a la
probabilidad de obtener cuatro caras al lanzar seis veces una moneda.
Por lo tanto, la respuesta correcta es: Cada una por sí sola.
29. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
Como P es la función de probabilidad y F es la función de distribución (probabilidad
acumulada), entonces se cumple que F(3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). Luego:
(1) P(X = 2) =
1
. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de
7
F(3), ya que no se conoce el valor de P(X = 1) ni de P(X = 3).
(2) P(X = 3) =
3
. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de
7
F(3), ya que no se conoce el valor de P(X = 1) ni de P(X = 2).
Con ambas informaciones, no es posible determinar el valor numérico de F(3), ya que no se
conoce el valor de P(X = 1).
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
30. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
(1) La prueba tiene 30 preguntas. Con esta información, no es posible determinar la
probabilidad de que el estudiante responda correctamente la mitad de la prueba, ya que
no se conoce la cantidad de alternativas que tiene cada pregunta.
(2) Cada pregunta tiene 5 alternativas de las cuales solo una es la correcta. Con esta
información, no es posible determinar la probabilidad de que el estudiante responda
correctamente la mitad de la prueba, ya que no se conoce el total de preguntas que tiene
la prueba.
Con ambas informaciones, sí es posible determinar la probabilidad de que el estudiante
responda correctamente la mitad de la prueba, ya que es posible utilizar la función de
distribución binomial al saber que la prueba tiene 30 preguntas de 5 alternativas cada una, en
donde solo una alternativa es la correcta. Para esto, se define la variable aleatoria X como el
número de preguntas correctas. Entonces:
Probabilidad de contestar bien (éxito): p 
1
5
Probabilidad de no contestar bien (fracaso): q 
4
5
Número total de preguntas: n = 30
Número de preguntas correctas (mitad de la prueba): x = 15
Luego se reemplazan los valores en la función de probabilidad binomial
15
1  4
f ( x)  P( X  15)  C15      
5  5
3015
30
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
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