estudio de flujos bipolares en el uv producidos durante rafagas

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juan pablo torres papaqui
ESTUDIO DE FLUJOS BIPOLARES EN EL UV
P R O D U C I D O S D U R A N T E R A FA G A S S O L A R E S .
INSTITUTO NACIONAL DE ASTROFÍSICA, ÓPTICA Y
ELECTRÓNICA
D E PA R TA M E N T O D E A S T R O F Í S I C A
ESTUDIO DE FLUJOS BIPOLARES EN EL UV PRODUCIDOS
D U R A N T E R A FA G A S S O L A R E S .
Tesis presentada al
departamento de astrofísica
como requisito para la obtencion del grado de
maestro en ciencias
por
juan pablo torres papaqui
asesorado por
dr. eduardo mendoza torres
Puebla, Pue. - Mayo 2002
Juan Pablo Torres Papaqui: ESTUDIO DE FLUJOS BIPOLARES EN
EL UV PRODUCIDOS DURANTE RAFAGAS SOLARES., Ráfagas Solares, Mayo 2002
Ohana means family.
Family means nobody gets left behind, or forgotten.
— Lilo & Stitch
Dedicated to all my family
RESUMEN
Se analizaron las observaciones realizadas por el telescopio SUMER
(Solar Ultraviolet Measurements of Emitted Radiation) a bordo del satélite SoHO (Solar and Heliospheric Observatory), hechas los días 14,
15 y 16 de Noviembre de 1996. Las observaciones se encuentran en
un rango de longitud de onda de 749 a 789Å (extremo ultravioleta
(UV)). Estas observaciones incluyen líneas Cromosféricas y de la Región de Transición Cromósfera-Corona. Uno de los objetivos de esta
tesis es saber si los eventos explosivos (EE) en el UV se inician en
una línea dada o indistintamente en cualquier línea en el rango de
temperatura entre 0.8 y 6.3×105 K. Esto nos daría la posibilidad de
saber si las explosiones se inician preferentemente a una cierta altura
sobre la atmósfera solar. Esto nos llevaría a un mejor entendimiento
de la Física Solar y de las atmósferas estelares ya que las explosiones
se han presupuesto como un mecanismo para el calentamiento de la
Corona. Sin embargo, en la literatura se encuentran modelos y datos
observacionales que dan preferencia a la idea de que las explosiones
se originan en la Corona por lo cual las explosiones no podrían ser
un factor importante en el calentamiento coronal.
De entre los EE se seleccionaron aquellos en los que, al menos en
una línea, se distinguían tres componentes espectrales. Las componentes roja y azul denotan la presencia de flujos de plasma que se
originan en la región de la explosión. Estas componentes laterales
(roja y azul) se caracterizan por un corrimiento Doppler de 48 a 74
km/s, un tiempo de vida de 1 minuto y un tamaño de aproximadamente 2100 km. Encontramos que los EE se originan preferentemente
a una temperatura de 1.5×105 K, es decir en la parte baja de la Región de Transición. Aunque algunos EE se originan a alturas mayores
esto indica que los EE pueden, efectivamente, dar una aportación importante para el calentamiento de la Corona. Los EE representan la
forma en la que la energía magnética de las capas bajas (la cual es
muy alta) puede transformarse en la alta energía térmica de las capas altas. De datos del telescopio Michelson Doppler Imager (MDI) a
bordo de SoHO encontramos que estos EE ocurren en regiones con
campos magnéticos de ∼ 30 gauss. Los cálculos de la energía liberada
por estos eventos dan ∼ 2×1024 erg para la energía cinética de los
flujos de plasma y de ∼ 4×1025 erg por pérdidas radiativas. Por otro
lado la energía magnética que se libera por reconexión de un campo
magnético de ∼ 30 gauss es de ∼ 1026 erg. Estos resultados no concuerdan con lo esperado del modelo de reconexión de Sweet-Parker.
vii
ABSTRACT
The observations analyzed in this work were carried out by the
SUMER (Solar Ultraviolet Measurements of Emitted Radiation) telescope on board of the SoHO (Solar and Heliospheric Observatory)
satellite, during 1996 November 14, 15 and 16. The observations cover a wavelength range from 749 to 789Å (extreme ultraviolet (UV)).
This range includes Chromospheric and Chromosphere-Corona Transition Region spectral lines. One of the goals of this thesis is to study
whether the explosive events (EE) tend to begin in a given line or indistinctly in any line in the range of temperatures between 0.8 and
6.3×105 K. This would give us the possibility to know if the explosions begin preferably at a certain height on the solar atmosphere.
This has a lot of implications for a better understanding of the Solar
Physics and of the stellar atmospheres since the explosions have been
proposed as a mechanism for the heating of the Corona. However, some models and observational results give preference to the idea that
the explosions originate in the Corona. Consequently the explosions
could not represent an important energy input for coronal heating.
Among the EE we selected those where the three spectral components were clearly distinguished. The red and blue components denote the presence of plasma flows which originate in the region of
the explosion. The lateral spectral components (red and blue) were
characterized by Doppler shifts from 48 to 74 km/s, a time life of 1
minute and a size of approximately 2100 km. We find that the EE
originate preferably at temperature of 1.5×105 K, which corresponds
to the low part of the Transition Region. Although some EE originate
at higher heights, the fact that most of them originate at 1.5×105 K
indicates that they really give an important contribution to the heating of the Corona. The EE represent one of the forms in which the
magnetic energy of the low layers (which is very large) can be transformed into the high thermal energy of the higher layers. From data
of the Michelson Doppler Imager (MDI) telescope on board SoHO
we find that these EE happen in regions with magnetic fields of ∼ 30
gauss. The calculations of the energy released by these events give ∼
2×1024 erg for the kinetic energy of the plasma flows and ∼ 4×1025
erg for radiative losses. On the other hand, the magnetic energy stored in a magnetic field of ∼ 30 gauss is of ∼ 1026 erg. These results
do not agree with those expected from the Sweet-Parker’s model of
magnetic reconnection.
viii
P U B L I C AT I O N S
Some ideas and figures have appear into the future in the follow
publication:
Explosive events in the solar atmosphere seen in extreme-ultraviolet
emission lines.
Mendoza-Torres, J. E.; Torres-Papaqui, J. P.; Wilhelm, K.
Astronomy and Astrophysics, v.431, p.339-344 (2005).
We present observations of explosive events (EEs) in the
solar atmosphere obtained with the Solar Ultraviolet Measurements of Emitted Radiation (SUMER) spectrometer
on the Solar and Heliospheric Observatory (SOHO) in
the wavelength range from about 750Å to 790ÅṖrominent
spectral lines in this range are emitted by ions which have temperatures of maximum ionic abundances between
1.0×105 K and 6.3×105 K in ionization equilibrium, and
are therefore expected to be formed in the transition region (TR) and in the low corona. The aim of this work
is to investigate whether the EEs originate in a limited
range of temperatures or in a wide interval. We analyzed
the behaviour of several emission lines during 114 EEs. In
many events, the radiance increased first in lines with formation temperatures near 1.5×105 K. A number of events
produced profiles that clearly revealed blue and red components, in addition to the central line. In general, both the
radiance and the line-of-sight (LOS) velocity of the blue
component are larger than those of the red one. From an
inspection of the profiles that did not show all three spectral components, we found, in all the cases, that the lowest
temperature line showed a red shift whereas the highest
temperature was characterized by a blue shift. The inverse
situation was not observed. We interpret these results as
an indication that most of the EEs originate at intermediate temperatures of the TR as fast reconnection jets.
ix
AGRADECIMIENTOS
Esta tesis fue realizada gracias al apoyo otorgado por el CONACyT
con número de registro 127441, durante mis estudios de posgrado,
para obtener el grado de maestro en ciencias en la especialidad de
Astrofísica.
Many thanks to everybody.
xi
ÍNDICE GENERAL
i introducción
1 introducción
1
3
ii física de plasmas
7
2 física de plasmas
9
2.1 Definición de Plasma
9
2.1.1 Primer Criterio
9
2.1.2 Segundo Criterio
11
2.1.3 Tercer Criterio
11
2.1.4 Aproximaciones Teóricas
11
2.2 Parámetros de un Plasma
13
2.2.1 Presión del Plasma
13
2.2.2 Frecuencia de Plasma
13
2.2.3 Longitud de Debye
15
2.2.4 Logaritmo de Coulomb
16
2.2.5 γ de un Plasma
17
2.3 Magnetohidrodinámica
18
2.3.1 Las Cuatro Aproximaciones de la MHD
18
2.3.2 Las Ecuaciones de Campo de la MHD
23
2.3.3 La Influencia en la Materia
24
2.4 Calentamiento Ohmico
26
2.5 Flujo Conductivo Térmico
28
2.5.1 Enfriamiento Conductivo
30
2.6 Pérdidas Radiativas
31
2.7 Campos Magnéticos Congelados
31
2.7.1 Número Magnético de Reynolds
33
2.8 Linealización de Perturbaciones Hidromagnéticas
34
2.8.1 Ondas de Alfvén
36
2.8.2 Ondas Magnetosónicas Rápida y Lenta
38
2.8.3 Diagrama de Propagación de Onda
39
2.9 β de un Plasma
40
2.10 Ondas de Choque
41
2.10.1 Choques Hidrodinámicos
41
2.10.2 Choque Perpendicular Magnético
43
2.10.3 Choque Oblicuo Magnético
44
2.11 Reconexión Magnética
48
2.11.1 Introducción
48
2.11.2 Aniquilación Magnética
49
2.11.3 Efectos Cualitativos de Reconexión
51
xiii
xiv
índice general
2.11.4 Formación de una Hoja de Corriente
2.11.5 Reconexión Lineal
53
2.11.6 Reconexión Rápida en Estado Estable
2.12 Emisión UV de Plasmas
60
2.12.1 Balance de ionización
63
2.12.2 Temperatura de Máxima Abundancia
52
54
64
iii atmósfera solar y eventos explosivos
65
3 atmósfera solar y eventos explosivos
67
3.1 Estructura Solar
67
3.1.1 El interior del Sol
67
3.1.2 La Fotósfera
70
3.1.3 La Cromósfera
70
3.1.4 La Corona
70
3.2 Formaciones en la Fotósfera, la Cromósfera y la Corona
71
3.2.1 Formaciones en la Fotósfera
71
3.2.2 Formaciones en la Corona
72
3.3 Regiones Activas
73
3.4 Ráfagas Solares y Eventos Explosivos
75
3.4.1 Microrráfagas y Nanorráfagas
76
3.5 Mecanismos de Calentamiento Coronal
76
iv solar and heliospheric observatory
83
4 solar and heliospheric observatory
85
4.1 SoHO
85
4.1.1 Instrumentos de SOHO
86
4.2 SUMER
88
4.2.1 El dise no óptico en números
91
4.2.2 Telemetría de los datos desde SUMER
92
4.2.3 Correcciones y Calibraciones
92
4.2.4 Calibración Radiométrica Absoluta
94
4.3 MDI
97
4.3.1 Banda de longitud de onda
98
4.3.2 Polarización
98
4.3.3 Filtros
98
4.3.4 Profundidad de la línea
98
4.3.5 Intensidad del continuo
98
4.3.6 Corrimiento Doppler (Velocidad)
99
4.3.7 Desdoblamiento Zeeman
99
v resultados observacionales
5 resultados observacionales
5.1 Datos Observacionales 103
101
103
índice general
5.2
5.3
Líneas Detectadas en las Observaciones 103
Análisis de las Observaciones 108
5.3.1 Estudio de Eventos Explosivos 108
5.3.2 Estudio de los Cocientes de Iones 114
5.3.3 Estudio de Jets 120
vi discusión y conclusiones
6 discusión y conclusiones
6.1 Discusión 127
6.2 Conclusiones 133
125
127
vii apéndice
135
a programas
137
a.1 Ajuste de una Gaussiana 137
a.2 Búsqueda de Incrementos 140
a.3 Ajuste de Tres Gaussianas 142
bibliografía
147
xv
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 6
Figura 7
Figura 8
Figura 9
Figura 10
Figura 11
Figura 12
Figura 13
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Figura 17
Figura 18
Figura 19
Figura 20
Figura 21
Figura 22
Figura 23
Figura 24
Figura 25
Figura 26
Figura 27
Figura 28
Figura 29
xvi
El giro-movimiento de la colección de electrones
22
La tensión magnética
25
Geometría para la propagación de una onda
plana de Alfvén
37
El campo magnético total, no perturbado mas
el perturbado
37
Distribución de intensidad del campo magnético
39
Diagrama de propagación de onda
40
Notación para un choque hidrodinámico
42
Notación para un choque perpendicular
43
Notación para un choque oblicuo
45
Líneas del campo magnéticas para ondas especiales oblicuas
46
Notación para los choques Switch-off y Switchon
47
Difusión de líneas de campo dirigidas opuestamente
49
Flujo de punto de estancamiento
49
Rompimiento y reconexión de líneas del campo magnético
52
Colapso de líneas cerca de un punto x
52
Reconexión Sweet-Parker
54
Notación para regímenes rápidos
58
Modelo Petschek
59
Diagrama de la estructura del Sol
68
Ciclos de actividad solar
74
Diagramas de mariposa
75
Orbita de SoHO
86
Instrumentos en SoHO
88
Dise no óptico de SUMER
90
Curvas de Respuesta de los fotocátodos de SUMER
95
Magnetograma solar hecho por el MDI 104
Espectro ultravioleta obtenido en una observacion por SUMER 106
Histograma de 2D, para la intensidad (30 s) 111
Histograma de 2D, para la intensidad (570 s)
112
Figura 30
Figura 31
Figura 32
Figura 33
Figura 34
Figura 35
Figura 36
Figura 37
Figura 38
Figura 39
Histograma de 2D, para el ancho equivalente 113
Histograma de 2D, para el desplazamiento doppler 115
Cociente I(OIVλ787.74)/I(OVλ760.45) 116
Cociente I(SIVλ750.225)/I(SVλ786.17) 117
Cociente I(SIVλ750.225)/I(NeVIIIλ780.324) 118
Cociente I(NIVλ765.17)/I(SVλ786.47) 119
Cociente I(NeVIIIλ770.409)/I(NeVIIIλ780.324) 120
Flujos Bipolares 122
Velocidad y Flujo de las Componentes Bipolares 129
Corrimientos de las líneas hacia el azul y el
rojo 132
Í N D I C E D E TA B L A S
Tabla 1
Tabla 2
Tabla 3
Tabla 4
Tabla 5
Mecanismos de Calentamiento Mecánico
78
Bitácora Observaciones 105
Líneas Observadas en el rango de longitud de
onda de 749 a 789 Å
107
Referencia de las Líneas en Regiones Quietas 109
Resultados del diagnóstico del plasma para los
jets
123
ACRÓNIMOS
CA
Corriente Alterna
CD
Corriente Directa
MDI
Michelson Doppler Imager
MHD
Magnetohydrodynamics
RA
SoHO
Región Activa
Solar and Heliospheric Observatory
xvii
xviii
acronyms
SUMER
UV
Solar Ultraviolet Measurements of Emitted Radiation
Ultra-Violeta
Parte I
INTRODUCCIÓN
1
INTRODUCCIÓN
En el Sol ocurren diversos fenómenos explosivos que liberan energía súbitamente (en escalas de tiempo desde decenas de segundos
hasta horas). La atmósfera del Sol está constituida por una serie de
capas dentro de las que están: la Fotósfera, la Cromósfera y la Corona. Además existe una región de transición entre la Cromósfera y la
Corona. En dicha región de transición se han detectado un gran número de ráfagas. Sin embargo aún no se ha podido determinar dónde
se originan la mayoría de éstas, si en la Cromósfera, en la región de
transición o en la Corona.
La región de transición Cromósfera-Corona de la atmósfera solar
está dominada por dos regímenes de temperaturas (104 y 106 K). El
gas a temperaturas intermedias se enfría rápidamente y las líneas
de emisión de iones formados a esas temperaturas son muy variables, los eventos explosivos son un ejemplo de esa variabilidad (Innes
1998). Esta región de transición es muy importante, dado que tiene
gran variación de temperatura con la altura. En aproximadamente
1 000 km la temperatura de la atmósfera solar va desde 104 a 106
K, por lo que es claro que esta región de transición juega un papel
fundamental en el proceso de calentamiento coronal. Una manera de
estudiar esta región es la detección de una serie de líneas de emisión
de iones cuya temperatura de máxima abundancia vaya de 104 a 106
K.
Las ráfagas solares se producen dentro de una región activa, las
cuales liberan una energía de ∼ 1033 erg, por lo que comparadas con
los eventos explosivos, estos son de menor escala, del orden de 1024
a 1027 erg. A diferencia de las ráfagas solares los eventos explosivos
son vistos en regiones quietas del Sol. Algunos eventos explosivos
son acompañados por flujos de plasmas que producen corrimientos
Doppler de aproximadamente 100 km/s. El número de corrimientos
al azul sobrepasa, el número de corrimientos al rojo por un factor
de aproximadamente 2, (Innes 1997a). Observaciones con una alta
resolución espacial del espectro solar en el UV, revelan eventos explosivos de alta energía en regiones quietas del Sol. Estos pueden ser
clasificados como eventos turbulentos y jets. Los jets son detectados
en diversas líneas, con una energía cinética de ∼ 1027 erg (Brueckner
3
4
introducción
& Bartoe 1983).
Si la fuente de un jet está a 1000 km sobre la Fotósfera, el jet dirigido
hacia el Sol será detenido por la alta densidad del material, mientras
que el jet dirigido hacia afuera del Sol encontrará regiones que no
presentan un obstáculo para su propagación. Por lo tanto, estos jets
(con corrimientos al azul) serán de mayor duración y se observarán
con mayor frecuencia.
Fuertes ondas de choque son generadas por estos jets. Estas ondas
de choque pueden calentar la Corona. Para satisfacer las cantidades
observadas en el Sol se necesitan un promedio de 24 eventos explosivos por segundo para producir 6×1027 erg/s (Brueckner & Bartoe
1983). Observaciones en el UV de eventos explosivos en la Cromósfera
solar revelan la presencia de jets de plasma bidireccionales eyectados
desde pequeños sitios sobre la superficie solar, la presencia de estos
jets es predicha por modelos teóricos de reconexión magnética (Innes
1997b).
La reconexión magnética es el proceso por el cual las líneas magnéticas pasan de una configuración magnética a otra de menor energía.
Este proceso es considerado como el proceso fundamental por el cual
la energía magnética es convertida en energía cinética. La reconexión
magnética puede explicar eventos a gran escala como las ráfagas solares, eyecciones de masa coronal y también fenómenos a menor escala
como las microrráfagas y nanorráfagas, que posiblemente calientan
la Corona y aceleran el viento solar.
Se han realizado simulaciones numéricas de jets, en las cuales se ha
encontrado que cuando se considera el enfriamiento radiativo, la emisión de líneas a altas temperaturas desaparece (106 K) y los perfiles a
menor temperatura (104 K) son observados debido a la formación de
jets fríos. Esto indicaría que una onda de choque se mueve hacia afuera del Sol, por lo que las líneas de temperaturas frías se incrementan,
(Innes 1998). Estás ondas de choque pueden ser producidas por jets.
En la literatura más reciente, se ha reportado que los eventos explosivos tienen escalas del orden de 2000 km, tiempos de vida de entre
1 y 4 minutos y corrimientos Doppler en un rango de 50 a 80 km/s
(Landi et al. 2000). La intensidad asociada con la componente de línea
en el azul es mayor con respecto a la componente en el rojo en casi
todos los casos (Landi et al. 2000).
introducción
El estudio de los eventos explosivos en el espectro UV solar nos
puede permitir determinar a qué altura sobre la Fotósfera solar se
producen éstos. Este es un punto muy importante ya que de ocurrir
en la región de transición, estos eventos explosivos podrían explicar
el calentamiento de la Corona.
En esta tesis se incluye, en el segundo capítulo, toda la física de
plasmas básica, debido a que no se lleva ésta como materia dentro
del programa de astrofísica. En el tercer capítulo se da una descripción general del Sol. En el cuarto capítulo se hace una descripción
del satélite SoHO, y de los instrumentos utilizados (SUMER y MDI). En
el quinto capítulo se muestran los resultados obtenidos de nuestros
análisis. En el sexto capítulo se discuten los resultados obtenidos, y
se presentan las conclusiones.
5
Parte II
FÍSICA DE PLASMAS
2
FÍSICA DE PLASMAS
2.1
definición de plasma
Un plasma es un gas de partículas cargadas, el cual consiste de un
igual número de cargas positivas y negativas. Teniendo aproximadamente el mismo número de cargas con diferente signo en el mismo
elemento de volumen, hace que el plasma se comporte cuasineutral,
en un estado estacionario. En promedio el plasma es eléctricamente
neutro en el exterior, por lo tanto, la distribución aleatoria de los campos eléctricos de las partículas eléctricamente cargadas se cancelan
mutuamente.
Para que una partícula sea considerada una partícula libre, su energía potencial típica debido a sus vecinos más cercanos debe ser mucho menor que su energía cinética aleatoria (térmica). Solo entonces
el movimiento de la partícula está prácticamente libre de la influencia
de otras partículas cargadas en su vecindad, ya que las colisiones no
directas toman lugar (dispersión coulombiana).
Por lo tanto, las partículas en un plasma tienen que superar el acoplamiento con sus iones, ya que tienen energías térmicas por encima
de algunos electrovolts. De tal manera, un plasma típico es un gas caliente y altamente ionizado. Existe plasma abundante en el universo,
tal que 99 % de toda la materia bariónica conocida está en un estado
de plasma.
2.1.1 Primer Criterio
Para que un plasma que se comporta cuasi-neutral en un estado
estacionario, es necesario tener el mismo número de cargas positivas y negativas por elemento de volumen. Tal que, un elemento de
volumen puede ser lo suficientemente grande para contener un número suficiente de partículas, pero deberá ser lo bastante peque no
comparado con la longitud característica del sistema para variaciones
de parámetros microscópicos tales como la densidad y la temperatura. En cada elemento de volumen el espacio microscópico del campo
eléctrico de las cargas individuales pueden cancelarse, para suminis-
9
10
física de plasmas
trar cargas macroscópicas neutrales. Lo que permite que el plasma
parezca eléctricamente neutro, el potencial eléctrico de Coulomb de
cada carga q es
φC =
q
4πo r
(1)
donde o es la permitividad en el vacío. Pero este potencial debe ser
apantallado por otras cargas en el plasma, para que sea neutro. Por
lo que, asumimos que el potencial eléctrico de la carga debe ser de la
forma del potencial de Debye
φD
q
r
=
exp −
4πo r
λD
(2)
en el cual la función exponencial corta el potencial a distancias r >
λD . La longitud de escala característica, λD , es llamada longitud de
Debye. Está es la distancia sobre la cual se tiene un equilibrio entre
la energía de la partícula térmica (la cual tiende a perturbar la neutralidad eléctrica) y la energía potencial electrostática, resultando en
una separación de carga, la cual tiende a restaurar la neutralidad de
la carga. Mostraremos que la longitud de Debye es función de la temperatura electrónica e iónica, Te , Ti , y la densidad de plasma ne , será
ne ≈ ni (asumiendo simplemente que los iones son cargas)
λD =
o κB Te
ne e2
1/2
(3)
donde asumimos también que Te ≈ Ti y κB la constante de Boltzmann y e la carga del electrón.
Por lo tanto, para que un plasma sea cuasi-neutral, la dimensión
física del sistema L debe ser mucho mayor comparado con λD , es
decir
λD << L
(4)
Caso contrario, cuando no hay suficiente espacio para que el efecto
de apantallamiento colectivo ocurra tenemos un gas ionizado. Este
requerimiento es a menudo llamado el primer criterio de un plasma.
2.1 definición de plasma
2.1.2 Segundo Criterio
Entonces el efecto de apantallamiento es el resultado del comportamiento colectivo de cargas dentro de una esfera de Debye de radio
λD , es necesario que esta esfera contenga las suficientes partículas. El
3
número de partículas dentro de una esfera de Debye es 4π
3 ne λD este
es frecuentemente llamado parámetro del plasma, Λ y es el segundo
criterio para un plasma
Λ = ne λ3D >> 1
(5)
2.1.3 Tercer Criterio
La frecuencia de oscilación típica en un plasma completamente ionizado, es la frecuencia de plasma ωp . Si la cuasi-neutralidad del plasma es perturbada por alguna fuerza externa, siendo los electrones
más móviles que los iones (puesto que son mucho más pesados), los
electrones son acelerados en un intento de restaurar la neutralidad
de la carga. Debido a su inercia estos se moverán alrededor de su
posición de equilibrio, resultando en oscilaciones rápidas colectivas
alrededor de un ion más masivo. Mostraremos que la frecuencia de
plasma depende de la raíz cuadrada de la densidad del plasma. Con
me la masa del electrón, ωp puede ser escrita como
ωp =
ne e2
me o
1/2
(6)
Para que los electrones no sean afectados por las colisiones, el tiempo promedio entre colisiones, τn , debe ser mucho más grande que el
recíproco de la frecuencia del plasma
ωp τn >> 1
(7)
Este es el tercer criterio para que un medio ionizado sea considerado un plasma.
2.1.4 Aproximaciones Teóricas
La dinámica de un plasma esta gobernada por la interacción de
cargas con campos eléctricos y magnéticos. Si todo los campos fueran de origen externo, la física puede ser relativamente simple. Sin
embargo, como las partículas se encuentran en movimiento, estás
11
12
física de plasmas
pueden crear concentraciones de carga locales y así producir campos
eléctricos. Además, su movimiento puede también generar corrientes
eléctricas y así campos magnéticos. Estos campos internos y su retroacción dentro de los movimientos de las partículas de plasma hace la
física de plasmas difícil.
En general la dinámica de un plasma puede ser descrita por la solución de las ecuaciones de movimiento para cada partícula. Entonces
los campos eléctricos y magnéticos aparecerán en cada ecuación que
incluya los campos internos generados por cualquier movimiento de
la partícula, todas las ecuaciones deben ser completas y tienen que
resolverse simultáneamente. Tal solución no sólo es difícil de obtener,
sino que también no tiene un uso práctico, puesto que uno está interesado en conocer cantidades como la densidad y la temperatura,
más que la velocidad individual de cada partícula. Por lo tanto, uno
usualmente hace ciertas aproximaciones para estudiar el problema,
éste estudio es turnado a cuatro diferentes aproximaciones.
La aproximación más sencilla es la descripción del movimiento de
una partícula simple. Está describe el movimiento de una partícula bajo la influencia de campos eléctricos y magnéticos. Está aproximación
no es válida para una conducta colectiva del plasma, pero es útil cuando se está estudiando un plasma de densidad muy baja.
La aproximación magnetohidrodinámica es el otro extremo y no es
válida para aspectos de partícula simple. El plasma es tratado como
un simple fluido conductor con variables macroscópicas como la densidad, velocidad, y temperatura. Está aproximación supone que el
plasma es capaz de mantener un equilibrio local y es compatible con
el estudio de fenómenos de ondas de baja frecuencia en fluidos altamente conductores inmersos en un campo magnético.
La aproximación de multi-fluidos es similar a la aproximación magnetohidrodinámica, pero actuando para diferentes especies de partículas y asume que cada especie se comporta como un fluido separado.
Está puede conducir a la separación de campos y propagación de ondas de alta frecuencia.
La teoría cinética es la más desarrollada teoría de plasmas. Está
adopta una aproximación estadística. En lugar de resolver la ecuación de movimiento para cada partícula individual, está observa el
desarrollo de la función de distribución para el sistema de partículas
bajo consideración, en el espacio fase.
2.2 parámetros de un plasma
2.2
parámetros de un plasma
Primero presentaremos una breve introducción de algunos parámetros básicos de un plasma. La particular combinación de temperatura
y densidad de partículas de un gas a ser tratado como un plasma. El
término de plasma es usado para el estado de la materia en la cual
los átomos neutros son separados dentro de componentes cargadas
y a sus relativas fuerzas electromagnéticas entre estás componentes
que deben tomarse en cuenta.
2.2.1 Presión del Plasma
Considerando un gas de puro hidrógeno completamente ionizado,
ne
tenemos que la fracción de ionización x = np +n
= 1, entonces ne =
HI
np y la presión debida a los electrones será igual a la debida por los
iones. Por lo tanto,
Pe = Pi = ne κB T = ni κB T
Entonces la presión total es
P = 2ne κB T
donde la densidad numérica total es igual a dos veces la densidad
numérica electrónica.
2.2.2 Frecuencia de Plasma
Considerando un plasma donde los iones están fijos, los electrones
pueden experimentar peque nas transiciones debido a estos iones. Tal
suposición es razonable si el tiempo de escala de transición de los electrones es peque na. Por lo tanto, el ion no puede seguir el movimiento
del electrón debido a que su inercia es mayor. En otras palabras consideramos oscilaciones de electrones a altas frecuencias en las cuales
los iones no participan.
Si ahora tomamos una columna de electrones y desplazamos esta
columna con respecto a los iones una corta distancia, δx , en la dirección x. Tal desplazamiento causa un campo eléctrico δE , también en
la dirección x, y ejerciendo una fuerza −eδE , la cual tratará de jalar
al electrón de regreso para preservar la cuasi-neutralidad. Para una
13
14
física de plasmas
columna de densidad ne , la densidad promedio en el tiempo de variación de la distorsión es δn , dada por la ecuación de continuidad
de un fluido de electrones
∂δve,x
∂δn
= −n
∂t
∂x
(8)
donde δve,i es la derivada espacial de la velocidad del electrón perturbada. La distorsión de la velocidad es encontrada de la conservación
del momento como
∂(me δve,x )
= −δF = −eδE
∂t
(9)
y el campo eléctrico causado por todos los electrones desplazados
satisface la ley de Poisson
e
∂δE
= − δn
∂x
o
(10)
Esta es ahora una simple derivada, es decir una ecuación para la
perturbación de la densidad. Derivando por el tiempo la ecuación
(2.8), obtenemos
∂2 δve,x
∂2 δn
∂ ∂δve,x
=
−n
= −ne
e
2
∂t
∂t∂x
∂x ∂t
(11)
y reemplazando la derivada del tiempo de la velocidad perturbada
en la ecuación (2.9), obtenemos
∂
∂ ∂δve,x
=
∂x ∂t
∂x
e
−
δE
me
(12)
Sustituyendo el lado derecho de la ecuación (2.11) en la ecuación
(2.12), obtenemos
∂2 δn
ne e ∂δE
=
∂t2
me ∂x
Sustituyendo
∂δE
∂x
de la ecuación (2.10), tenemos
∂2 δn
ne e2
+
δn = 0
∂t2
me o
(13)
2.2 parámetros de un plasma
Esta es una ecuación para la variación de la densidad, la cual tiene
la forma de una ecuación de oscilador lineal. Claramente, el coeficiente del segundo término debe tener dimensiones del inverso del tiempo al cuadrado. Este tiempo es proporcional al periodo característico
de la oscilación de la columna de electrones alrededor de la posición
de equilibrio de la columna de iones. La solución de la ecuación es
encontrada tomando δn ∝ exp(iωt), donde ω = ωp , es la frecuencia
de oscilación o frecuencia de plasma (ver Golub & Pasachoff 1997),
ω2 = ω2p =
ne e2
me o
(14)
2.2.3 Longitud de Debye
Una de las propiedades más importantes de un plasma es su tendencia a permanecer eléctricamente neutro, es decir, a equilibrar la
carga espacial positiva y negativa en cada elemento de volumen. Un
ligero desequilibrio en las densidades de carga espacial da origen a
fuerzas electrostáticas intensas que actúan, siempre que sea posible,
con el fin de restaurar la neutralidad.
En condiciones de equilibrio, la probabilidad de encontrar un electrón en una región determinada de energía potencial U es proporcional al factor de Boltzmann, exp(−U/κB Te ). Por lo tanto, la densidad
de electrones ne está dada por
eφ
ne = no exp −
κB Te
(15)
donde φ es el potencial local. Para un potencial débil eφ << κB Te
debido a las altas temperaturas detectadas en la Corona solar, esta
expresión puede ser expandida en una serie de Taylor, obteniendo
que
eφ
eφ
exp −
' 1−
κB Te
κB Te
y sustituyendo está expansión en la ecuación (2.15), obtenemos
no − ne '
no e φ
κB Te
(16)
La densidad de iones es igual a la densidad neutra del plasma, es
decir ni = no , mientras que la densidad electrónica incluye la distorsión por la presencia de un ion prueba. El potencial OE se obtiene
15
16
física de plasmas
de la solución de la ecuación de Poisson, para un plasma protónelectrón:
∇2 φ = −
e
(ni − ne )
o
Sustituyendo no − ne de la ecuación (2.16) por ni − ne obtenemos
que
∇2 φ =
e2 no φ
o κB Te
(17)
Dimensionalmente el lado derecho de la ultima ecuación es igual
a el potencial electrostático dividido por una longitud al cuadrado
φ/λ2D , entonces
∇2 φ =
φ
λ2D
Comparando el lado derecho de la ecuación (2.17) con el lado derecho de la ultima expresión nos da la siguiente longitud
λD =
o κB Te
no e2
1/2
(18)
la cual es llamada longitud de Debye. La longitud de Debye es la
distancia a la cual se apantalla el campo electrostático de un ion en
un plasma cuasi neutral por electrones de temperatura Te (ver Golub
& Pasachoff 1997).
2.2.4 Logaritmo de Coulomb
La relación entre el máximo y mínimo parámetro de impacto y
posible en una interacción coulombiana esta dado como
Λ=
bmax
bmin
(19)
donde bmax = λD , pues es la distancia máxima en la que un electrón
sufrirá la fuerza de atracción coulombiana de un ion. Por otro lado
bmin entre un electrón y un ion está dada por la siguiente relación
bmin =
q1 q2
4πo me v2e
(20)
2.2 parámetros de un plasma
Sustituyendo bmax y bmin , obtenemos que
Λ=
λD
q1 q2
4πo me v2e
=
4πo me v2e λD
q1 q2
(21)
para un plasma térmico se cumple que me v2e = κB Te , entonces
4πo κB Te λD
e2
donde se uso que q1 = q2 = e. Por otro lado, la longitud de Debye es
Λ=
λ2D =
o κB Te
ne e2
entonces
o κB Te
e2
Por lo tanto,
ne λ2D =
∇ = 4πne λ3D
(22)
A ln Λ se le llama logaritmo de Coulomb. Para el Sol se tienen
valores entre 10 y 30.
2.2.5 γ de un Plasma
El cociente entre las capacidades caloríficas se denota por γ
Cp
Cv
donde Cp es igual a la capacidad calorífica a presión constante y Cv
a volumen constante. Para un plasma completamente ionizado γ = 53 .
Para un gas ideal se cumple que
γ=
Cp = Cv + nR
donde n, es el número de moles en un volumen V y R la constante
universal de los gases, es decir, la capacidad calorífica de un gas a
presión constante siempre es mayor que a volumen constante. La capacidad calorífica es el cociente del calor que tiene que absorber un
sistema y el cambio de temperatura que sufre el mismo. Entonces a
presión constante un sistema absorbe más calor que a volumen constante para tener el mismo incremento en su temperatura. Para un gas
monoatómico γ = 35 (también).
17
18
física de plasmas
2.3
magnetohidrodinámica
La magnetohidrodinámica (MHD) es el estudio de la dinámica de
un fluido eléctricamente conductor en la presencia de campos magnéticos. Pero las cargas eléctricas constituyen una fuente práctica para los campos magnéticos. Las cargas magnéticas no constituyen los
mismos campos magnéticos. Aunque esto es formalmente posible, la
construcción de una teoría electromagnética que tenga una completa simetría entre cargas eléctricas y magnéticas, de hecho todas las
evidencias empíricas llegan a la conclusión que las cargas libres magnéticas están ausentes en el universo presente.
Los campos eléctricos a grandes escalas son raros en el cosmos,
porque cargas libres de ambos signos eléctricos existen de igual magnitud. Sólo en inventos tales como las baterías puede ser facíl crear
campos eléctricos, en tales inventos, el flujo de cargas negativas al
ánodo y las cargas positivas al cátodo inexorablemente causan a la batería un agotamiento. Como una regla general, entonces, los campos
eléctricos macroscópicos existen en el universo presente solo donde
hay variación en el tiempo de campos magnéticos.
En contraste, no existen cargas libres magnéticas en los campos
magnéticos. En el universo estos campos magnéticos son generados
a través de corrientes eléctricas. Aunque cargas negativas y positivas tienen una igual abundancia macroscópica en un volumen del
espacio, estás no se mueven idénticamente. En el régimen magnetohidrodinámico, donde nos conciernen los cambios macroscópicos, tales
como la conducción de la corriente, generalmente dominada por campos eléctricos como fuentes para campos magnéticos cósmicos. Ahora
procederemos a dar expresiones matemáticas a estás ideas físicas.
2.3.1 Las Cuatro Aproximaciones de la MHD
En está sección, vamos a derivar las aproximaciones MHD que nos
permite colapsar las ecuaciones de la teoría electrodinámica de Maxwell a un grupo más manejable
∇ · ~E = 4πρ
∇ × ~E = −
~
1 ∂B
c ∂t
~ = 0
∇·B
~ =
∇×B
4π~ 1 ∂~E
J+
c
c ∂t
(23)
(24)
(25)
(26)
2.3 magnetohidrodinámica
donde ρ y ~J son respectivamente la densidad de carga y corriente. Debido a que la divergencia del rotacional de cualquier vector es igual a
cero, la divergencia en la ley de Ampere modificada por Maxwell incluye una corriente desplazada c−1 ∂~E/∂t, en la ecuación (2.26), combinada con la derivada temporal de la ley de Coulomb, en la ecuación
(2.23), nos da la conservación de la carga eléctrica
∂ρ
+ ∇ · ~J = 0
∂t
(27)
Similarmente, si tomamos la divergencia de la ley de inducción de
Faraday, en la ecuación (2.24), obtenemos
∂
~ =0
(∇ · B)
∂t
la cual demuestra el descubrimiento de Gilbert de la ausencia de monopolos magnéticos, la ecuación (2.25).
Para simplificar el grupo de ecuaciones, procedemos en cuatro pasos. Primero, suponemos una lenta variación de los campos en el
tiempo, para que la corriente desplazada c−1 ∂~E/∂t sea insignificante
~ o con (4π/c)~J de la ecuación (2.26). A prien comparación con ∇ × B
mera vista, podemos pensar que podemos ser capaces de descartar el
~
término c−1 ∂B/∂t
en la ecuación (2.24), pero una peque na reflexión
demuestra la ilegitimidad de tal tratamiento, entonces no tendremos
nada con que comparar ∇ × ~E. Cuando se verifica directamente que
debe pasar, si ~E tiene una magnitud la cual sea igual a un factor de
~ y que c−1 ∂/partialt esta operando en ~E o en B,
~ esencialu/c veces B,
mente a escalas u/c veces la derivada espacial de la misma cantidad.
Aquí, para pequeñas u/c, podemos ignorar el término c−1 ∂~E/∂t en
~ en la ecuación (2.26), dando la forma original
comparación con ∇ × B
de la ley de Ampere
~ = 4π~J
∇×B
c
(28)
La ecuación (2.28) nos muestra que efectivamente la corriente eléctrica constituye la principal fuente de campos magnéticos. El segundo
paso de nuestro análisis envuelve, una realización de que cualquier
peque no cambio de velocidades entre electrones e iones, pueden explicar los campos magnéticos observados en el cosmos. Para hacer
está estimación, adoptamos un modelo de un medio continuo con un
19
20
física de plasmas
balance entre electrones libres, con densidad numérica ne , y iones
positivos con densidad numérica ni ,
ρ ≡ Z e ni − e ne = 0
(29)
donde Z e es igual a la carga de cada ion. El gas puede también contener una componente eléctricamente neutra de átomos o moléculas,
las cuales contribuyen a la densidad de masa ρ, pero no en la densidad de carga. La condición de neutralidad de cargas no impide al
medio tener propiedades electromagnéticas, en particular, portar una
corriente eléctrica ~J, sí la velocidad media de los electrones u~e difiere
de los iones u~i ,
~J = Z e ni u~i − e ne u~e = e ne v~e 0
(30)
donde hemos hecho uso de la ecuación (2.29) para eliminar Z ni , y
donde hemos definido la velocidad de electrones relativa a los iones
como
0
v~e ≡ u~e − u~i
(31)
Como un ejemplo numérico, consideremos el caso del campo magnético solar, el cual tiene dimensiones de L ∼ 2 × 1010 cm, conteniendo un promedio de densidad de electrones de ne ∼ 1023 cm−3 . El
cambio en velocidad de los electrones relativo a los iones necesita
suponer un campo magnético de gran intensidad, B ∼ 103 G, puede
entonces ser estimada de las ecuaciones (2.28) y (2.30) como
ve ∼ cB/4πene L ∼ 10−12
cm s−1
Esta representa una diferencia de velocidad absurdamente peque na,
la fórmula puede resistir muchos cambios del orden de magnitud de
las variables del problema, ne , B y L, y podemos concluir que, excepto para un simple propósito de cálculo de la conducción de la corriente, la diferencia entre los movimientos de los electrones y iones
son normalmente insignificantes en circunstancias reales astrofísicas.
Esto simplifica grandemente el resultado al problema dinámico. Una
vez que hayamos calculando la conducción de la corriente, no haremos distinción entre el movimiento de electrones, iones, y elementos
neutros, pero asumiremos que las colisiones ocurren con bastante frecuencia, para considerar al gas con una bien definida velocidad media
del fluido ~u.
2.3 magnetohidrodinámica
Para cálculos teóricos que involucren las ecuaciones (2.28) y (2.30),
debemos usar las leyes de la dinámica para descubrir una fórmula
0
para el cambio de velocidad de electrones relativo a los iones v~e .
Equivalentemente, el tercer paso para el cálculo de la conducción de
corriente ~J en términos de otras variables del problema. Así nos turnamos en la práctica a la derivación de la ley de Ohm para este problema.
En el sistema de referencia de los iones, la ecuación de movimiento
para un fluido de electrones puede ser escrito, como
0
0
0
dv~e
v~e
~0
me
= −e ~E +
×B
dt
c
+
términos
!
gravitacionales
e
inerciales
(32)
donde hemos incluido la posibilidad de términos inerciales, porque los iones en reposo generalmente no corresponden a un sistema
inercial de referencia, y donde νc es igual a la frecuencia media de colisión asociada con la transferencia de momento (arrastrado) entre los
electrones e iones. Para un gas ionizado incompletamente, debemos
incluir un término del lado derecho igual a la fuerza media externa
de arrastre por elementos neutros y electrones,
(n)
−me νc (u~e − u~n )
donde u~n es la velocidad del fluido neutral. En la ecuación (2.32),
suponemos que podemos ignorar la inercia de los electrones, esto es,
que en promedio los electrones rápidamente alcanzan un equilibrio
entre las fuerzas de arrastre y electromagnéticas, en la cual podemos
obtener poco del lado izquierdo y de los términos atribuidos esquemáticamente a la gravedad y la inercia. Esto implícitamente supone
que el giro-movimiento del electrón no contribuye en promedio a la
conducción de la corriente. La Figura 2.1 ilustra que este sigue intuitivamente la colección de electrones residentes en una región cuasiuniforme espacialmente.
Gradientes espaciales intensos en el campo megnético pueden hacer una diferencia a está conclusión. Por ahora meramente sacaremos
0
~0
fuera de la ecuación (2.32) la parte de la fuerza de Lorentz (v~e /c) × B
que contribuye al giro-movimiento. El problema es demostrar que
los términos adheridos no son nada nuevos cualitativamente, si estos
21
22
física de plasmas
Figura 1: El giro-movimiento de la colección de electrones tiende a cancelar
su contribución neta de corriente.
también no son incluidos en el balance con la fuerza de fricción.
Con las aproximaciones hechas, la ecuación (2.32) no da la velocidad terminal
0
0
v~e = −e~E /me νc
(33)
La conducción de la corriente en un sistema de referencia, los iones
ahora se convierte en
~J0 = −e ne v~e 0 = σ~E0
(34)
la cual representa la ley de Ohm en el sistema de referencia de los
iones. La constante de proporcionalidad entre la conducción de la
corriente y el campo eléctrico es igual a la conductividad eléctrica σ,
dada por
σ = ne e2 /me νc
(35)
El cuarto paso de nuestro análisis envuelve las relaciones de transformación no relativistas entre el sistema de referencia del ion y el de
laboratorio. Para la invariancia Galileana con velocidades relativas se
0
tiene que ~J = ~J, visto que las transformaciones de Lorentz para los
campos eléctricos y magnéticos, especialmente para el caso ui /c <<
1, da
~0
B
0
~E
~
= B
(36)
u~i ~
= ~E +
×B
c
(37)
2.3 magnetohidrodinámica
Para recordar el segundo término de la ecuación (2.37), consideremos las siguientes condiciones. Si tenemos solo un campo magnético
~ en el sistema del laboratorio, pero no campo eléctrico ~E = 0, saB
bemos que a la distancia de una translación uniforme, desciende la
~ un simple ion girará con una velocidad angular ωLi
longitud de B,
~
= −Z eB/mi c y con una velocidad circular v~i = ωLi × r~i . En el sistema de referencia rotado, el ion siente una fuerza centrífuga igual
~ En cambio el ion no tiene
a −mi ωLi × (ωLi × r~i ) = −Ze(v~i /c) × B.
movimiento en su propio sistema de referencia; está fuerza centrífuga no puede ser balanceada por la fuerza de Lorentz asociada con
~ 0 = B.
~ En cambio, el ion puede permanecer en
el campo magnético B
reposo en el sistema rotado sólo porque este sistema contiene un cam0
0
po eléctrico ~E y una fuerza de Lorentz asociada Ze~E . Para la que la
0
fuerza eléctrica mas la fuerza centrífuga sea cero, requerimos que ~E
~ el cual da un caso especial de la formula más general,
= v~i /c) × B,
la ecuación (2.37), que es obtenida de aplicar transformaciones de
Lorentz no relativistas.
2.3.2 Las Ecuaciones de Campo de la MHD
Ahora derivaremos la ecuación evolucionaría para el campo magnético en MHD. Iniciamos resolviendo la ecuación (2.37) para ~E
~E = 1 ~J − u~i × B
~
σ
c
0
donde hemos usado la ecuación (2.34) para eliminar ~E y la expresión
0
~J como ~J. Para eliminar ~J usaremos la ecuación (2.28), tal que
~E =
c
~ − u~i × B
~
∇×B
4πσ
c
Si sustituimos en la expresión de arriba dentro de la ley de inducción de Faraday, obtenemos la relación deseada
~
∂B
~ × u~i ) = −∇ × (η∇ × B)
~
+ ∇ × (B
∂t
(38)
donde hemos denotado la resistividad eléctrica η por
η≡
c2
4πσ
(39)
23
24
física de plasmas
Cuando la conductividad σ tiene la expresión (2.35), η toma la siguiente forma
η=
c2 νc
c2 me νc
=
4πne e2
ω2p
(40)
donde ω2p ≡ 4πne e2 /me es el cuadrado de la frecuencia del plasma.
De la ecuación (2.40), vemos explícitamente que η tiene las unidades
de una longitud entre velocidad, característico para una difusión.
~ en el
La ecuación (2.38) nos permite encontrar la evolución de B
tiempo dada cualquier configuración inicial, sí especificamos η y u~i .
Estas últimas son encontradas por la solución de las ecuaciones dinámicas para el fluido. De ahora en adelante, ignoraremos la diferencia
entre la velocidad media de los iones y la del fluido ~u. Con esto tenemos cuidado de asociarnos con la ecuación (2.38), con la condición
inicial
~ =0
∇·B
la cual se satisface para todos los tiempos si esta se satisface inicialmente.
2.3.3 La Influencia en la Materia
La descripción anterior concluye formalmente nuestra derivación
de las ecuaciones relevantes para el campo magnético. Ahora incluiremos los efectos de los campos electromagéticos en la materia. La
fuerza de Lorentz actúa en una carga q moviéndose a una velocidad
~v
~v ~
~
~
FL = q E + × B
c
la cual demuestra que la fuerza eléctrica puede tener una magnitud
comparable a la fuerza magnética si |~E| es sólo del orden de u/c com~ donde u es igual a la velocidad total del fluido. Por
parado con |B|,
unidad de volumen, la fuerza media de Lorentz que actúa en la colección de iones y electrones es igual a
u
~
u
~
e
i
~ − ene ~E +
~
F~L = Zeni ~E +
×B
×B
c
c
2.3 magnetohidrodinámica
Figura 2: La tensión magnética tiende aparecer, sí el campo de líneas tienden
a curvarse, y la presión magnética, sí el campo magnético tiene un
gradiente.
Si hacemos uso de la condición de neutralidad de las cargas, la
ecuación (2.29), y la definición de la conducción de corriente, la ecuación (2.30), obtenemos
1
~ = 1 (∇ × B)
~ ×B
~
F~L = ~J × B
c
4π
(41)
donde hemos hecho uso de la ecuación (2.28) para obtener la forma
final de la ecuación (2.41). De la ecuación (2.41) se concluye que un
medio eléctricamente neutro pero conductor siente sólo los efectos de
fuerzas magnéticas, y no fuerzas eléctricas.
Si usamos la formula para la expansión del triple producto del
vector, podemos escribir la ecuación (2.41) en una forma alternativa
1 ~
~ − 1 ∇(|B|
~ 2)
F~L =
(B · ∇)B
4π
8π
(42)
El segundo término del lado derecho representa la contribución a
la fuerza de Lorentz del gradiente negativo de la presión magnética
~ 2 /8π; el primer término del lado derecho, la contribución
Pmag ≡ |B|
de la tensión magnética, ver Figura 2.2.
Note que la fuerza externa por tensión magnética desaparece, por
~ En contraste, la presión magnética
líneas de campo rectas, entonces B.
puede tener variaciones para una configuración de líneas de campo
rectas, debido a que el campo no tiene una intensidad uniforme. La
presión magnética se extiende, tal que, las líneas de fuerza estén mas
uniformes (ver Shu, The Physics of Astrophysics, Volume II ).
25
26
física de plasmas
2.4
calentamiento ohmico
Un campo magnético estático actúa sobre partículas cargadas en
movimiento con una fuerza perpendicular a su velocidad y por eso
no ejerce trabajo sobre ellas. Sin embargo, si el campo varía, produce
un campo eléctrico el cual cambia la energía de las partículas.
El trabajo ejercido sobre las partículas por el campo magnético es
F~m
W~m = P~m V =
V
~
A
(43)
~ el área. El trabajo por
con P~m la presión magnética, V el volumen y A
unidad de tiempo es
W~m ∆t =
=
=
Z ~2
∂ B
dV
∂t 8π
Z
Z
~
1
∂ ~2
1
~ ∂B dV
(B )dV =
2B
8π ∂t
8π
∂t
Z
~
1 ~ ∂B
B dV
4π
∂t
(44)
~
Usando la ecuación de Faraday (∇ × ~E = − 1c ∂∂tB ) tenemos que
Z
c ~
W~m ∆t = −
B(∇ × ~E)dV
4π
a partir de la igualdad vectorial
~ × B)
~ =B
~ · (∇ × A)
~ −A
~ · (r × B)
~
∇ · (A
entonces,
~ · (∇ × A)
~ = ∇ · (A
~ × B)
~ +A
~ · (∇ × B)
~
B
~ tenemos
y para ~E y B
~ · (∇ × ~E) = ∇ · (~E × B)
~ + ~E · (∇ × B)
~
B
Por lo tanto,
Z
c
~ + ~E · (∇ × B)]dV
~
W~m ∆t = −
[∇ · (~E × B)
4π
(45)
2.4 calentamiento ohmico
~ =
de la ecuación de Ampere ∇ × B
c~
4π J,
tenemos que
Z
1 ~2
c
c
4π
~
B dV = −
∇ · (~E × B)dV
− ~E · ~JdV
8π
4π
4π
c
Z
Z
c
~
= −
∇ · (~E × B)dV
− ~E · ~JdV
4π
R
H
~ · dS, entonces
~
del teorema de Gauss tenemos que V ∇ · AdV
= SA
el primer término del lado derecho es
∂
∂t
=−
Z
I
c
~ · dS
(~E × B)
4π
o bien
I
c
~ n dS
=−
(~E × B)
4π
donde el subíndice “n” indica que se toma la componente normal a
dS. Entonces
∂
∂t
Z
I
Z
c
1 ~2
~
~
B dV = −
(E × B)n dS − ~E · ~JdV
8π
4π
(46)
El primer sumando del lado derecho es el vector de Poynting, es
decir es el flujo de energía electromagnética que sale del volumen V
~ Entonces las variaciones del campo B
~ es la
en el que esta el campo B.
suma del flujo del mismo a través de las fronteras de la región y del
trabajo ~E · ~J sobre la corriente. Para un sistema cerrado o infinito el
primer miembro es cero.
El trabajo del campo es sólo la suma de un trabajo mecánico de
~ y de la liberación de calor Q.
~ Para determinar
la fuerza ~F = 1c~J × B
3
éste por cm debemos restar el trabajo hecho por ~F hasta llegar a la
velocidad ~v a ~E · ~J es decir
~ · ~v
~ = ~E · ~J − 1 (~J × B)
Q
c
1
~ · ~J
= ~E · ~J + (~v × B)
c
1 v~ ~
~
=
E+
B ·J
c×
~ = ~E0 · ~J
Q
(47)
27
28
física de plasmas
0
con ~E el campo eléctrico en el sistema de referencia del sistema en
0
~ entonces
movimiento. Si ~E ||B,
~
~ = σ~E0 2 = 1 ~J2
Q
σ
(48)
~ se le llama pérdidas Ohmicas o calentacon σ la conductividad, a Q
miento de Joule.
2.5
flujo conductivo térmico
En presencia de un gradiente de temperatura ∇~T no solo habrá un
~ si no también de corriente electrónica, J. El gradienflujo de calor, Q,
te de temperatura deforma la distribución de velocidades y entonces
aparece un flujo neto de electrones (Spitzer 1962).
En ausencia de campo magnético podemos escribir, para un estado
estacionario,
1~
E + α∇~T
η
~ = −β~E − κ∇~T
Q
~J =
Los cuatro coeficientes están relacionados por
β = αT +
5κT
2eη
Los efectos termo eléctricos reducen el coeficiente efectivo de conductividad térmica. En un estado estacionario no fluye una corriente
en la dirección del gradiente de temperatura, ya que resultaría una
divergencia de ~J y los campos eléctricos crecerían sin límite. Lo que
ocurre es que se produce un campo eléctrico secundario, de tal manera que, la corriente producida por el gradiente de temperatura se
cancela. Este campo eléctrico secundario reduce el flujo de calor.
El coeficiente efectivo de conductividad se reduce a κ donde
= 1−
βαη
κ
Para un gas de Lorentz1 el valor de κ es
1 Es un gas completamente ionizado, en el cual los electrones no interactuan entre sí
electricamente, y los iones están en reposo.
2.5 flujo conductivo térmico
3/2
2
(κt)5/2 κ
κ = 20
1/2
π
me e4 Z ln Λ
T 5/2
cal s−1 K−1 cm−1
= 4.67 × 10−12
Z ln Λ
haciendo κ = κ0 T 5/2 con κ0 = coeficiente de conductividad térmica y
usando que 1 cal = 4.182 Joules, tenemos que
= 1.953 × 10
−11
1
Z ln Λ
Joule
sec K7/2 cm
2
= 103 grs, 104
como 1 Joule = 1 kg m
s2
κ = 1.953 × 10−4
1
Z ln Λ
cm2
s2
= 107 erg, entonces
erg
sec K7/2 cm
Para la corona
erg
secK7/2 cm
κ0 ≈ 8 × 10−7
es decir Z ln Λ ≈ 240 - 250. El flujo conductivo térmico es
Fc = −
dT
dr
es decir,
Fc = −κ0 T 5/2
dT
dr
Para la región de transición tenemos que
dT
(2 × 106 − 104 )K
=
= 2 × 10−2
dr
103 km
K
cm
Entonces el flujo conductivo térmico es
F = 9.1 × 107
erg
cm2 s
con T = 2 × 106 K. El flujo va desde la base de la corona hacia abajo.
29
30
física de plasmas
2.5.1 Enfriamiento Conductivo
Oster & Sofia (1966), describen dos modelos de flujo de energía.
~ con coeficientes de conUno de ellos es el de un flujo a lo largo de B
~ con coeficientes de conducción
ducción κk y otro flujo a través de B
κ⊥ . Siguiendo a Oster & Sofia (1966) se obtiene de Spitzer (1962) que
κk = 8.8 × 10−7 T 5/2
(erg s−1 cm−1 K−1 )
y
κ⊥ = 3.6 × 10−16 n2e T −1/2 B−2
(erg s−1 cm−1 K−1 )
Valores típicos de la región de transición son T ∼ 106 K, ne = 1010
cm−3 y B = 50 gauss, conducen a un valor de κk /κ⊥ ≈ 1011 . Es
~ es más fuertemente. Por
fácil ver que la conducción a lo largo de B
lo tanto, se puede despreciar la conducción a través de las paredes
~ 00 a
de los cilindros magnéticos y considerar solo “el flujo térmico” Q
través de las áreas circulares en los extremos. En este caso
d~E
~ × 2A
~ = −κ∇ × 2A
~
=Q
dt
(erg s−1 )
(49)
donde ~E es la energía térmica contenida en la región emisora, es decir,
~E = 3 (ne + ni )κB~T V = 3ne κB~T V.
2
Suponiendo el gradiente de temperatura ∇~T igual a T/(l/2) y sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos
2
dT
= − αT 7/2
dt
5
(50)
5/2+αt
−2 .
cuya solución es T = (Tp
)2/5 con α ≈ 2 × 1010 n−1
e l
2
Si A, α y la medida de la emisión EM = ne V se conocen, entonces
l (es decir V) se puede determinar como
l ≈ 8 × 106 (A/α2 EM)1/2
ne ≈ 4 × 10−4 (EM2 α/A2 )1/2
Suponiendo A ≈ 4 × 1017 cm2 que corresponde a un diámetro de
7 × 103 km (10 arcsec) se obtiene ne ∼ 1010 cm−3 , l ' 2 × 1010 y
V ∼ 7 × 1027 .
2.6 pérdidas radiativas
2.6
pérdidas radiativas
∆λ
Para una longitud de onda dada λ y en el intervalo λ − ∆λ
2 , λ+ 2
la potencia emitida por unidad de volumen y por unidad de longitud
de onda es
Wr (λ, T ) = ne np P(λ, T )
[erg cm−3 s−1 Å−1 ]
(51)
La suma de P(λ, T ) sobre todas las longitudes de onda da la taza
de pérdidas radiativas con P(T ) la función de pérdidas radiativas
Wr (λ, T ) = ne np P(T )
[erg cm−3 s−1 ]
(52)
Suponiendo ne ≈ np la potencia radiada por unidad de volumen
es
Wr (T ) = n2e P(T )
(53)
de Brueckner & Bartoe (1983), P(T ) = 7 × 10−22 , a una temperatura
de 105 K.
2.7
campos magnéticos congelados
Las dos ecuaciones de Maxwell que relacionan las derivadas tem~ son la Ley de Inducción de Faraday y la ley de
porales del ~E y B,
Ampere, estás pueden ser combinadas con la ley de Ohm relacionando la densidad de corriente ~J, dando una ecuación que relaciona la
~ para un fluido de velocidad V
~ y
razón de tiempo de cambio del B
la conductividad eléctrica oe del medio, la cual es uniforme. Si ignoramos términos del orden v2 /c2 entonces puede ser insignificante el
término de la corriente desplazada en la ley de Ampere. Esto entonces toma la siguiente forma
~J = c ∇ × B
~ = σ ~E + 1 (V
~ × B)
~
4π
c
(54)
donde la segunda igualdad es la ley de Ohm. La ley de Faraday puede
ser escrita como
~
∂B
= −c∇ × ~E
∂t
31
32
física de plasmas
y del lado derecho de esta ecuación puede ser obtenida tomando el
rotacional de ambos lados de la ecuación (2.54)
c
~ = ∇ × ~E + 1 ∇ × (V
~ × B)
~
∇ × (∇ × B)
4πσ
c
Sustituyendo ∇ × ~E dentro de la ultima ecuación, uno obtiene la
ecuación de inducción
2
~
∂B
~ × B)
~ − c ∇ × (∇ × B)
~
= ∇ × (V
∂t
4πσ
ó
2
~
∂B
~ × B)
~ + c ∇2 B
~
= ∇ × (V
∂t
4πσ
(55)
Es recomendable analizar los dos casos extremos en cual uno u otro
término del lado derecho dominan.
Caso I. Para un fluido en reposo (o uno con una muy baja conductividad oe), el primer término de la ecuación (2.55) es peque no
comparado con el segundo, y la razón de tiempo de cambio del campo magnético es dado por
~
∂B
c2 2 ~
~
=
∇ B ≡ η∇2 B
∂t
4πσ
La ecuación previa es una ecuación de difusión estándar e implica
que una concentración inicial de campo magnético contenido dentro
de un área de tama no típico L se difundirá lejos, en un tiempo constante τd dado por
τd =
4πσL2
L2
=
c2
η
La escala de tiempo τd puede ser muy grande en el Sol. El tiempo
de difusión ohmico para una mancha solar, que tiene un tama no en
su diámetro de L ≈ 2 × 109 cm y T ≈ 4 × 103 K, es > 1011 s. Pero una
mancha solar vive sólo unos pocos meses a lo más, es claro que su
destrucción es causada por algún otro proceso.
2.7 campos magnéticos congelados
Caso II. Sí, en el otro caso, la conductividad del medio es muy grande, entonces el término de difusión es comparablemente peque no, y
~ está dado por
la razón de tiempo de cambio del B
~
∂B
~
= ∇ × (∇ × B)
∂t
La ecuación anterior es equivalente a declarar que la cantidad total
de flujo magnético pasando a través de cualquier circuito cerrado moviéndose con una velocidad de fluido local es constante en el tiempo.
Mostramos esta relación, probando que la razón de tiempo de cambio
del flujo magnético a través de tal circuito es cero. Este punto puede
ser visto notando que el flujo a través de un circuito puede cambiar si
uno u otro campo de fuerza en algún punto encerrado por el circuito
cambia o el movimiento de los limites resultantes es un cambio en la
cantidad del campo encerrado.
2.7.1 Número Magnético de Reynolds
El número magnético de Reynolds está dado por
RM = τd /τv
con τd el tiempo característico de difusión dado por
τd =
4πσL2
L2
=
2
c
η
con L el tama no lineal del sistema, σ la conductividad y c la velocidad
de la luz, τv es el tiempo para movimientos significativos del fluido
y está dado por
τv =
L
v
con v la velocidad de los movimientos. Entonces
RM =
L2 v
Lv
=
ηL
η
Si RM es muy grande, entonces domina el movimiento de las líneas
por movimiento del fluido, es decir el campo está congelado y se puede decir que no hay difusión del mismo.
33
34
física de plasmas
La aproximación RM >> 1 se aplica en astrofísica, no porque oe
sea muy grande en comparación con materiales comunes sino porque los sistemas típicos tienen grandes dimensiones, por lo que este
se expresa en términos de su tama no característico Lv.
Si RM es peque no los tiempos de difusión Ohmica son cortos y
el campo se extiende en el fluido y se difunde antes de que haya
habido un transporte significativo del campo debido a movimientos
del fluido.
2.8
linealización de perturbaciones hidromagnéticas
Ignorando los efectos de gravitación e interacciones radiativas donde ∇ν, frad , y Γ − Λ son igual a 0, podemos entonces tomar un estado
no perturbado del medio para estar estático y homogéneo:
u~o = 0,
ρo = cte,
Po = cte,
Bo = cte ≡ Bo n̂
Considerando peque nas perturbaciones de este sistema:
ρ = ρo (1 + α1 ),
~u = u~1 ,
P = Po (1 + p1 ),
~ = Bo (n̂ + b~1 )
B
(56)
Sustituyendo las ecuaciones (2.56) dentro de las ecuaciones de MHD,
con ν, frad , Γ − Λ, π
~ , Fcond , Ψ, y η son igual a cero. Sobre la linealización, las ecuaciones perturbadas resultan ser
∂α1
+ ∇ · u~1 = 0
∂t
∂u~1
B2
ρo
= −Po ∇p1 + o (∇ × b~1 ) × n̂
∂t
4π
∂α1
∂p1
= γ
∂t
∂t
∂b1
+ ∇ × (n̂ × u~1 ) = 0
∂t
(57)
(58)
(59)
(60)
Para derivar la ecuación (2.59) de perturbación adiabática, tenemos
que usar la siguiente expresión
s = cv ln(Pρ−γ )
2.8 linealización de perturbaciones hidromagnéticas
35
Entonces las ecuaciones (2.57) a la (2.60) contienen solamente coeficientes constantes, podemos observar que la solución tiene una dependencia de Fourier
ei(ωt−~κ·x)
con ω y ~κ inicialmente constantes reales. Con está forma, las opera∂
ciones por ∂t
y ∇ son equivalentes a la multiplicación por iω y −i~k,
así las ecuaciones (2.57) a la (2.60) se convierten en
iωα1 − i~κ · u~1 = 0
Po
B2
iωu~1 =
i~κp1 − o (i~κ × b~1 ) × n̂
ρo
4πρo
iωp1 = iωγα1
iωb~1 − i~κ × (n̂ × u~1 ) = 0
(61)
(62)
(63)
(64)
Definiendo las velocidades adiabáticas cuadradas del sonido y de
Alfvén como
a2s =
γPo
ρo
v2A =
B2o
4πρo
(65)
y usando las ecuaciones de la (2.61) a la (2.64) para eliminar α1 y
b~1 del resto del sistema, nos permite escribir la ecuación (2.62) como
ω2 u~1 + v2A {~κ × [~κ × (n̂ × u~1 )]} × n̂ − ~κc2s~κ · u~1 = 0
Expandiendo el producto cruz del vector, obtenemos
[ω2 − (n̂ ·~κ)2 v2A ]u1 +~κ[−(v2A + c2s ) ~κ · u~1 + v2A (n̂ ·~κ)n̂ · u~1 ] + n̂v2A (n̂ ·~κ)~κ · u~1 = 0
(66)
Para hacer un progreso más, necesitamos introducir un sistema de
coordenadas. Definiendo el plano xy tal que ~κ = keˆx , y n̂ = eˆx cosψ +
c
ážate
κ y n̂. La ecuación (2.66) ahora se
y senψ, con el ángulo entre ~
convierte en
[ω2 − k2 v2A cos2 ψ]u~1 + eˆx [−κ2 (v2A + c2s )]u1x
+κ2 v2A cosψ(u1x cosψ + u1y senψ) + κ2 v2A cos2 u1x ]
+ eˆy [κ2 v2A senψcosψu1x ] = 0
(67)
36
física de plasmas
Observamos que la ecuación (2.67) dividida dentro de sus modos
tienen a u1z 6= 0 y a su vez tienen u1z = 0, esto quiere decir, que dentro de su modo contienen y no contienen movimientos perpendiculares en el plano de propagación de la onda ~κ, y del campo magnético
B~o .
2.8.1 Ondas de Alfvén
Para u1z 6= 0, requiere que u1x = u1y = 0 tal que
ω2 − k2 v2A cos2 ψ = 0
ó
ω2
= v2A cos2 ψ
κ2
(68)
Si el frente de onda fuera perpendicular a Bo (κ k n̂) tal que ψ = 0,
la velocidad de la onda será igual a la velocidad de Alfvén. Consecuentemente, la ecuación (2.68) representa la onda de Alfvén con un
frente de onda inclinado. Con esta interpretación, el factor cosψ en el
signo de la velocidad meramente representa un factor geométrico desde el hecho que escogemos la proyección de la velocidad natural de
propagación vA a lo largo de la línea del campo dentro de una onda
correspondiente a un frente de onda inclinado (ver Figura 2.3).
Nótese también que las ondas de Alfvén representan ondas transversales, entonces el desplazamiento del fluido u~1 = u1z eˆz es perpendicular a ~κ y a B~o . De acuerdo con la ecuación (2.64), la fracción
n̂
de campo magnético perturbado b1 = −(~κ · ω
)u1 se opone al desplazamiento del fluido para este modo, sea una línea magnética dada,
observamos como una cuerda, ver Figura 2.4.
2
Bo 1/2
La fórmula para la velocidad de Alfvén vA = ( 4πρ
) , refuerza
o
2
o
la analogía de la cuerda, entonces B
4π es igual a la tensión del campo
magnético, aeo es su densidad de masa, y la velocidad de la onda de
una cuerda es igual a la raíz cuadrada de la tensión dividida por la
densidad de masa.
2.8 linealización de perturbaciones hidromagnéticas
Figura 3: Geometría para la propagación de una onda plana de Alfvén con
un frente onda inclinado a un ángulo OE con respecto al campo
magnético no perturbado B~o .
Figura 4: El campo magnético total, no perturbado mas el perturbado, en
una onda de Alfvén observada como una cuerda vibrando para
cualquier línea de campo.
37
38
física de plasmas
2.8.2 Ondas Magnetosónicas Rápida y Lenta
Para los modos donde se tiene u1z = 0, la ecuación (2.67) con
u~1 = u1x eˆx + u1y eˆy da una matriz de ecuaciones:
ω2 + κ2 v2A cos2 ψ − κ2 (v2A + c2s )
κ2 v2A senψcosψ
κ2 v2A senψcosψ
ω2 − κ2 v2A cos2 ψ
!
u1x
!
=
u1y
0
(69)
Para poder resolver la matriz, observamos que tiene una solución
no Trivial, debemos entonces encontrar el determinante de los coeficientes de la matriz iguales a cero. Está condición nos da la siguiente
relación de dispersión
ω4 − κ2 (v2A + c2s )ω2 + κ4 v2A c2s cos2 ψ = 0
La solución de está ecuación cuadrática para
(70)
ω2
κ2
es
1
ω2
= {(v2A + c2s ) ± [(v2A + c2s )2 − 4v2A c2s cos2 ψ]1/2 }
2
κ
2
(71)
El signo positivo, el cual da una gran velocidad de la onda, dando
la onda magnetosónica rápida, el signo negativo, la onda magnetosónica lenta.
Para obtener un mejor sentido para las propiedades de estás ondas,
consideremos una dirección de propagación especial: cos2 ψ = 1(~κ k
B~o ) y cos2 ψ = 0(~κ ⊥ B~o ).
~κ k B~o (cos2 ψ = 1):
ω2
1
= [(v2A + c2s ) ± |v2A − c2s |] = v2A
2
κ
2
ó
c2s
En este caso, el modo rápido es la onda magnetosónica rápida
o una onda de Alfvén.
κ ⊥ B~o (cos2 ψ = 0):
ω2
= v2A + c2s
κ2
ó
0
0
!
2.8 linealización de perturbaciones hidromagnéticas
Figura 5: Distribución de intensidad del campo en una onda magnetosónica
muestra regiones alteradas de compresión y rarefacción.
El modo lento tiende a desaparecer; el modo rápido es una onda magnetosónica, la cual representa alternación de compresión
y rarefacción del gas y el campo (ver Figura 2.5: La distribución
de intensidad del campo en una onda magnetosónica muestra
regiones alternadas de compresión y rarefacción.
Entonces las líneas del campo no se tuercen en una onda magnetosónica, sólo la presión magnética contribuye a la fuerza de
restauración. Reconciliando está interpretación con la formula
para el cuadrado de la velocidad de propagación de la onda,
c2s + v2A = γ
Pmag
Po
+2
ρo
ρo
2
o
donde Pmag ≡ B
8π , podemos identificar una efectiva γmag = 2
para la compresiónen una dimensión de un campo magnético.
Está identificación tiene sentido, para los campos congelados
para tal compresión de 1D, esto implica que B ∝ ρ, esto es
B2
2
8π ∝ ρ .
2.8.3 Diagrama de Propagación de Onda
Resumiendo, tenemos tres especies de ondas: de Alfvén, con u~1 ∝
~κ × n̂; rápida y lenta, con u~1 · (~κ × n̂) = 0. Una grafica polar de velocidad de fase para el caso de interés cuando las fuerzas magnéticas
dominan, vA > cs , y cuando vA < cs , son mostradas en la Figura
2.6a y 2.6b.
39
40
física de plasmas
Figura 6: Diagrama de propagación de onda desplegada en una grafica polar para las tres ondas magnetohidrodinámicas: (a) vA > cs y (b)
vA < cs .
Este diagrama tiene la siguiente interpretación pictórica. Imagine
un emisor de las tres ondas en el origen, en una región, con campo
magnético no perturbado B~o en la dirección vertical. A t = 0 las ondas son emitidas, después de una unidad de tiempo, los frentes de
onda rápida, Alfvén y lenta estarán localizadas como muestran las
graficas, paralela o antiparalela al campo magnético no perturbado
(ψ = 0 ó π), la onda rápida y de Alfvén tienen la misma velocidad
de propagación, para el caso de la Figura 2.6a, pero de polarización
ortogonal, perpendicular al campo magnético no perturbado (ψ = π
2
ó 3π
2 ), el modo rápido viaja a una velocidad magnetosónica mientras
la lenta y la de Alfvén tienen propagación lejos del origen en esas
direcciones. En ángulos intermedios de la onda de propagación, la información llevada por el modo rápido siempre alcanza al observador
primero, que en el modo lento.
2.9
β de un plasma
Al cociente entre la presión térmica y la presión magnética se le
conoce como β del plasma
β=
P
B2
8π
2.10 ondas de choque
k
Como β = PPM
con P k igual a la presión cinética y P M igual a la
presión magnética, entonces podemos escribir β en función de c s y
vA
c 2s = γ
Pk
v2 ρ
⇒ Pk = s
ρ
γ
por otro lado
v2A =
v2 ρ
B2
B2
⇒ PM =
= A
4πρ
8π
2
Por lo que tenemos
β=
2.10
2.10.1
2 c2s
γ v2A
ondas de choque
Choques Hidrodinámicos
Las peque nas amplitudes de ondas de sonido se pueden propagar
sin cambio de forma, pero cuando la amplitud es finita la cresta puede moverse más rápido que su medio, causando un encumbramiento
progresivo. Los gradientes llegan a ser más grandes, por tanto las disipaciones llegan a ser importantes y la forma de un choque de onda
estático puede permanecer en equilibrio entre el efecto de encumbramiento del término convectivo nolineal y el efecto de ensanchamiento
de la disipación. La disipación dentro del frente de choque convierte
la energía acarreada por la onda en calor. El efecto del paso del choque es comprimir y calentar el gas.
Nosotros modelamos un choque como un plano discontinuo, aunque este está en una región de transición delgada, ver Figura 2.7. El
choque viaja a una velocidad U, es decir, dentro de un gas en reposo
y el gas chocado es acelerado a una velocidad U2 . En un sistema de
referencia moviéndose con el fluido de choque, el fluido delante tiene
una velocidad v1 = U, una densidad ρ1 y presión p1 , mientras que
las correspondientes variables detrás del choque son, v2 = U − U2 , ρ2
y p2 es decir.
La conservación de masa, momento y energía entonces son
41
42
física de plasmas
Figura 7: Notación para un choque hidrodinámico.
ρ2 v2 = ρ1 v1
p2 + ρ2 v22
p1 + ρ1 v21
=
1
1
2
2
p2 v2 + ρ2 e2 + ρ2 v2
= p1 v1 + ρ1 e1 + ρ1 v1
2
2
(72)
(73)
(74)
donde e = p = [(γ − 1)ρ] es la energía interna. Esto puede ser un
resultado para dar las Relaciones de Salto de Rankine-Hogoniot:
ρ2
ρ1
=
(γ + 1)M21
2 + (γ − 1)M21
v2
v1
=
2 + (γ − 1)M21
(γ + 1)M21
ρ2
ρ1
=
2γM21 − (γ − 1)
γ+1
(75)
las cuales son suplementadas para la condición de un sistema aislado desde la segunda ley de termodinámica, la entropía es igual a
s = cv log ρpγ y puede incrementarse, s2 > s1 donde cv es el calor
especifico a volumen constante y M1 = v1 /cs1 es el número de Mach,
llamada la razón de la velocidad de choque con respecto a la velocidad del sonido.
Consecuencias de estás ecuaciones son:
M1 > 1, implica que la velocidad de choque (v1 ) exceda la
velocidad del sonido delante del choque;
v2 6 cs2 , en el sistema del choque el fluido es subsónico detrás
del choque (y supersónico delante de él);
2.10 ondas de choque
43
Figura 8: Notación para un choque perpendicular.
p2 > p1 , y ρ2 > ρ1 , el choque es compresivo;
v2 > v1 y T2 > T1 , el choque es más lento que el gas y más
caliente;
1 6 ρρ21 < γ+1
γ−1 , la razón máxima de densidad es (γ + 1)/(γ − 1),
mientras que la razón de presión incrementa con M1 como M21
2.10.2
Choque Perpendicular Magnético
En la presencia de un campo magnético nosotros abarcaremos tres
modos de onda, y cuando sus amplitudes son mayores que la onda
de Alfvén pueden propagarse sin encumbramiento, mientras que los
modos lento y rápido magnetosónicos pueden formar choques. La
derivación de las relaciones de salto es más complicada, si hay una
~ B
~ y ~v puede ser inclinada lejos del choque normal,
variable extra (B),
ver Figura 2.8; y la condición de entropía es remplazada por una condición evolucionaría.
Las relaciones de masa, momento, energía y flujo son ahora
ρ2 v 2
B2
p2 + ρ2 v22 + 2
2µ
2
2
B
B
1
p2 + 2 v2 + ρ2 e2 + ρ2 v22 + 2 v2
2µ
2
2µ
B2 v2
la cual implica que
= ρ1 v1
B2
= p1 + ρ1 v21 + 1
2µ
2
B1
B21
1
2
=
p1 +
v1 + ρ1 e1 + ρ1 v1 +
v1
2µ
2
2µ
= B1 v1
(76)
44
física de plasmas
v2
v1
B2
B1
p2
p1
=
1
X
= X
=
γM21
1
1 − X2
1−
−
X
β1
donde β1 = 2µp1 /B21 y X = ρ2 /ρ1 es la razón de densidad, la cual es
la solución positiva de
2(2 − X)X2 + [2β1 + (γ − 1)β1 M21 + 2]γX − γ(γ + 1)β1 M21 = 0 (77)
Las consecuencias de estas relaciones de salto junto con la condición evolucionaría (las perturbaciones provocadas por una peque na
perturbación pueden ser peque nas y únicas) son:
La ecuación (2.77), tiene sólo una raíz donde 1 < γ < 2;
el efecto del campo magnético es reducir X debajo de su valor
hidrodinámico;
el choque es compresivo cuando X 6 1;
la velocidad de q
choque (v1 ) puede exceder la velocidad rápida
magnetosónica (c2s1 + v2A1 ) delante del choque;
la compresión magnética esta limitada en el rango 1 < B2 /B1 <
(γ + 1)/(γ − 1) donde γ = 5/3 y el limite superior es de 4.
2.10.3
Choque Oblicuo Magnético
Colocando un sistema de referencia en un sistema que se esta mo~ estan situado en
viendo junto con el choque, y asumiendo que ~v y B
el plano xy (ver Figura 2.9). Entonces las relaciones de salto para la
masa, momentos, y el flujo magnético pueden ser escritos como
ρ2 v2x
2
2
p2 + B2 /(2µ) − B2x /µ + ρ2 v22x
= ρ1 v1x
= p1 + B21 /(2µ) − B21x /µ + ρ1 v21x
ρ2 v2x v2y − B2x B2y /µ = ρ1 v1x v1y − B1x B1y /µ
1
(p2 + B22 /(2µ))v2x − B2x (B~2 · v~2 )/µ + (ρ2 e2 + ρ2 v22 + B22 /(2µ))v2x =
2
1
2
(p1 + B1 /(2µ))v1x − B1x (B~1 · v~1 )/µ + (ρ1 e1 + ρ1 v21 + B21 ((2µ))v1x
2
B2x = B1x
v2x B2x − v2y B2y = v1x B1x − v1y B1y
2.10 ondas de choque
Figura 9: Notación para un choque oblicuo.
Ahora si nosotros cambiamos los ejes moviéndolos paralelamente
con el choque a una velocidad
v1y = v1x
B1y
B1x
~ las ecuaciones se simplifican y pueden ser
así que ~v es paralelo a B,
resueltas, por lo cual, tenemos
v2x
v1x
v2x
v1x
B2x
B1x
B2x
B1x
p2
p1
=
=
1
X
v21 − v2A1
v21 − XvA
= 1
=
(v21 − v2A1 )X
v21 − XvA1
γ − 1)Xv21
= X+
2c2s1
donde la razón de compresión es
v22
1− 2
v1
(78)
45
46
física de plasmas
Figura 10: Líneas del campo magnéticas para ondas especiales oblicuas.
X = ρ2 ρ1
γp1
c2s1 =
ρ1
B21
v2A1 =
µρ1
v1x
cos θ =
v1
(79)
y X es una solución de
1
(v21 − Xv2A1 )2 {Xc2s1 + v21 cos2 θ[X(γ − 1) − (γ + 1)]}
2
1 2 2
+
v v sen2 θ{[γ + X(2 − γ)]v21 − Xv2A1 [(γ + 1) − (γ − 1)]}(80)
2 A1 1
La ecuación (2.80) tiene tres soluciones, las cuales nos dan el choque lento, la onda de Alfvén y el choque rápido, las formas de las
líneas del campo resultante son mostradas en la Figura 2.10.
El choque rápido y lento tienen las siguientes propiedades:
son compresibles con X > 1 y p2 > p1 ;
conservan el signo de By tal que B2y /B1y > 0;
~ se refracte hacia el choque
en el choque lento B2 < B1 , tal que B
normal y B decrece con el paso del choque;
para que en el choque rápido B2 > B1 , tal que el choque hace
~ se refracte lejos de la normal y B se incrementa;
que B
2.10 ondas de choque
Figura 11: Notación para los choques Switch-off y Switch-on.
La velocidad de flujo (v1x ) delante del choque excede la velocidad de onda apropiada, mientras que la velocidad (v2x ) detrás,
es mucho más peque na que la velocidad de onda;
el flujo normal hacia el choque es más lento (v2x < v1x );
en el limite cuando Bx → 0, el choque llega a ser un choque
perpendicular, mientras que el choque lento llega ser una discontinuidad tangencial, para la cual vx y Bx se desvanecen y hay
saltos arbitrarios en vy y By , sujetos sólo a un balance de presión total (p2 + B22 /(2µ) = p1 + B21 /(2µ)).
En el límite cuando v1 = vA1 y X 6= 1, la ecuación (2.80) implica que
B2y = 0 y nosotros tenemos un choque switch-off (ver Figura 2.11a),
Entonces v~1 y B~1 son paralelos, esto implica que
B1x
v1x = p
(µρ)
(81)
tal que el choque se propaga a una velocidad de Alfvén sobre la componente normal del campo magnético.
Para un choque propagado a lo largo de B~1 , la solución del choque
rápido X = v21 /v2A1 para un choque switch-on, ver Figura 2.11b.
Cuando v1 = vA1 , la conservación del flujo implica que v2y /v1y =
B2y /B1y , mientras que las ecuaciones para la conservación del mo-
47
48
física de plasmas
mento y energía se reduce, para p1 = p2 y B22y = B21y . Así, en resumen la solución trivial (B~2 = B~1 , v~2 = v~1 ) tenemos que
B2y = B1y
B2x = −B1x
v2y
v2x
= v1y
= −v1x
para una amplitud finita de onda de Alfvén, algunas veces llamada
una onda intermediaria o discontinuidad rotacional. La componente
tangencial es invertida por la onda, pero no hay cambio en la presión
o densidad.
2.11
2.11.1
reconexión magnética
Introducción
La ecuación de inducción
~
∂B
~ + η∇2 B
~
= ∇ × (~v × B)
∂t
(82)
muestra los cambios del campo magnético debido a la difusión. La
escala de tiempo para la difusión es τd = L2 /η, la cual como hemos
visto es muy grande para escalas típicas de la longitud global, y la
velocidad de difusón es vd = η/L.
Por ejemplo encontramos que una hoja de corriente se difunde y
convierte la energía magnética en calor ohmico (ver Figura 2.12a). Las
líneas del campo se difunden a través del plasma y se cancelan, por
lo tanto, la región de las propagaciones del campo difundido a una
vd , como es mostrado por las flechas en la Figura 2.12b. Por lo tanto
en un estado estable pueden ser producidas, si el flujo magnético es
acarreado al mismo promedio como el que está tratando de difundirse. Sin embargo, para realizar esto necesitamos crear una escala
de longitud extremadamente peque na L. Además, aunque el campo magnético puede ser destruido por cancelación, el plasma por si
mismo no puede ser destruido y necesita seguir a los lados, como es
ilustrado en el siguiente modelo.
2.11 reconexión magnética
Figura 12: Difusión de líneas de campo dirigidas opuestamente.
Figura 13: (a) Un flujo de punto de estancamiento creado en una hoja de
corriente estable, (b) Perfil del campo magnético.
2.11.2
Aniquilación Magnética
Suponemos que tenemos un flujo en estado estable
vx = −
Vo x
a
vy =
Vo y
a
(83)
por lo que las líneas de flujo son hipérbolas rectangulares (xy = constante). Una propiedad de la ecuación (2.83) es que ∇ ·~v = 0, por tanto
la ecuación de continuidad del estado estable (~v · ∇)ρ + ρ(∇ ·~v) = 0 se
reduce a (~v · ∇)ρ = 0, la cual implica que la densidad (ρ) es uniforme.
El flujo se desvanece en el origen y por lo tanto representamos una
incompresibilidad, un flujo de punto de estancamiento (ver Figura
2.13a).
49
50
física de plasmas
Suponemos, ahora que las líneas del campo magnético son rectas
~ = B(x)ŷ y de signo contrario en x = 0. Entonces en la Ley de
con B
Ohm
~E + ~v × B
~ = η∇ × B
~
(84)
~ y ∇×B
~ obtenemos que ~E está dirigido en la dirección z. De
de ~v × B
tal manera que para un estado estable con ~E = E(x; y)ẑ, la ecuación
∇ × ~E = 0 implica que ∂E/∂y = ∂E/∂x = 0, por lo tanto
E = constante
(85)
Verdaderamente la ecuación (2.85) es esencialmente una integral de
la ecuación de inducción y en el presente caso se reduce a
E−
Vo x
dB
B=η
a
dx
(86)
Ahora, cuando x es suficientemente grande, el lado derecho de la
ecuación (2.86) es insignificante y B ≈ E/(Vox), mientras que cuando
x es muy peque na el segundo término es insignificante B ≈ Ex/η. Estas soluciones aproximadas son indicadas por curvas dibujadas en la
Figura 2.13b. Cuando x es grande, las líneas del campo magnético son
congelados para el plasma y son acarreadas hacia dentro, mientras
que cuando x es peque na, el campo se difunde a través del plasma.
La división entre estos dos extremos, es decir, la mitad de la amplitud de la hoja de corriente resultante, ocurre cuando x = (aη/Vo )1/2 .
La solución completa de la ecuación (2.86) es mostrada en la Figura
2.13b. La ecuación del estado estable de movimiento, sin embargo,
es también satisfecha y entonces la solución anterior representa una
solución exacta de las ecuaciones no lineales MHD, una de las muy
pocas que existen.
La ecuación (2.85) estable de movimiento para las líneas de campo
electrico rectas llegan a ser
B2
ρ(~v · ∇)~v = −∇ p +
2µ
(87)
1 2
B2
ρ −~v × (∇ × ~v) + ∇
v
= −∇ p +
2
2µ
(88)
ó
2.11 reconexión magnética
Pero el flujo (2.83) tiene un punto cero (nabla × ~v = 0) y ae es
constante, así que el primer término en (2.88) se desvanece y el resto
implica que
B2 1 2
∇ p+
+ ρv
=0
2µ 2
(89)
por lo tanto
B2
1
p = constante − ρv2 −
2
2µ
(90)
el cual sólo determina la presión del plasma. Este modelo ha sido
generalizado para incluir un flujo de punto de estancamiento tridi~
mensional, con un campo rotando (B(x))
y también incluir efectos
dependientes del tiempo.
2.11.3
Efectos Cualitativos de Reconexión
En la mayoría del universo el número de Reynolds RM es mucho
mayor que la unidad y entonces el campo magnético es congelado
por el plasma, pero en regiones muy peque nas, puede difundirse a
través del plasma. Así por ejemplo, una línea de campo inicialmente uniéndose en un elemento de plasma de A a B (ver Figura 2.14a)
puede dirigirse hacia otra opuestamente dirigida en una región extremadamente estrecha de gradiente magnético muy intenso (y conteniendo en un punto x de tipo neutral) puede ser formado entre ellas
(ver Figura 2.14b). Entonces las líneas pueden difundirse, romperse y
reconectarse, por tanto el elemento A llega a ser enlazado con el elemento C (ver Figura 2.14c). Hay varios procesos importantes de este
proceso local:
cambios de la topología global y conectividad de las líneas de
campo, las cuales afectan las rutas y el calor de las partículas
rápidas entonces estás viajan principalmente a lo largo de las
líneas de campo;
conversión de la energá magnética a calor, energía cinética y
energía de partículas rápidas;
creación de corrientes eléctricas grandes, campos eléctricos grandes, choques de ondas y filamentación, las cuales pueden ayudar a acelerar partículas rápidas.
51
52
física de plasmas
Figura 14: Rompimiento y reconexión de líneas del campo magnético.
Figura 15: Colapso de líneas cerca de un punto x.
2.11.4
Formación de una Hoja de Corriente
Colapso tipo X: hay varias maneras de formar hojas de corrientes.
Una es a través del colapso de una campo cerca de un punto neutral
x tal que
Bx = y
By = x
(91)
el cual tiene líneas y2 − x2 = constante. El campo está en equilibrio
entonces la corriente eléctrica µ−1 (∂By /∂x − ∂Bx /∂y) se desvanece y
entonces hay un equilibrio en donde quiera, entre la presión magnética actuando hacia dentro y la tensión magnética actuando hacia fuera
(ver Figura 2.15a).
2.11 reconexión magnética
Suponemos ahora que el campo es distorsionado hacia Bx = y;
By = α2 x, donde α2 > 1, con líneas de campo y2 − α2 x2 = constante,
como esbozado en la Figura 2.15b, y la corriente eléctrica J = (α2 −
1)/µ.
Físicamente, esperamos una fuerza hacia dentro sobre los ejes x,
entonces la fuerza de tensión es mucho menor y la presión magnética
es mucho mayor, mientras que a lo largo de los ejes y, esperamos una
fuerza hacia fuera entonces la fuerza de tensión es incrementada por
una curvatura más grande. Matemáticamente, la fuerza magnética
tiene componentes
2
2
2
~J × B
~ = − (α − 1)α x x̂ + (α − 1)y ŷ
µ
µ
(92)
Estás actúan en el sentido de incrementar la perturbación y encontrar el equilibrio inicial e inestable. La inestabilidad puede ser formalmente mostranda de la linealización de las ecuaciones ideales de
MHD
~
∂B
~
= ∇ × (~v × B)
∂t
ρ
d~v ~ ~
= J×B
dt
dρ
= −ρ∇ · ~v
dt
(93)
estas poseen soluciones de la forma
Bx = Bo (1 − eωt )
vx = −vo eωt
x
t
y
L
x
L
(94)
ρ = ρo
(95)
By = Bo (1 + eωt )
vy = −vo eωt
y
L
√
donde Bo , L, ρo , vo = Bo / µρ, ( << 1) son constantes y ω = 2vo /L.
2.11.5
Reconexión Lineal
¿En un estado estable bidimensional (2D) es posible una reconexión?. Necesitariamos primero resolver las ecuaciones
~J
σ
~
ρ(~v · ∇~v = −∇~p + ~J × B
~E + ~v × B
~ =
~ = 0 y ~J = ∇ × B/µ.
~
donde ∇ · ~v = 0, ∇ · B
(96)
(97)
53
54
física de plasmas
Figura 16: Reconexión Sweet-Parker.
Para flujos estables en 2D y campos magnéticos como los de la
ecuación (2.96) implican que ~E = Ez (x, y)ẑ y que ∇ × ~E = 0, es decir que la ∂Ez /∂y = 0 y por lo tanto Ez es constante. También si
la velocidad del flujo es mucho menor que la velocidad de Alfvén
√
(v << vA = B/ µρ), la ecuación (2.83) se reduce a
~
0 = −∇~p + ~J × B
(98)
La respuestá a la pregunta anterior ha sido dada por Kirk et al.
(1994) en términos de un Teorema Anti-reconexión. La reconexión estable en 2D (con un plasma a través de separatrises) es imposible si
v << vA en cualquier lugar (y la viscosidad es insignificante y la difusión magnética j es uniforme).
2.11.6
2.11.6.1
Reconexión Rápida en Estado Estable
Modelo Sweet-Parker
El modelo Sweet-Parker consiste de una región simple de difusión
de longitud 2L y un ancho 2l entre campos dirigidos opuestamente
para el cual, un análisis en orden de magnitud es conducido. Primero,
suponemos que la velocidad de entrada del flujo y un campo magnético son vi y Bi , respectivamente (ver Figura 2.16) y nos preguntamos:
¿Cuál es la velocidad del flujo afuera?
La corriente eléctrica en orden de magnitud es J ≈ Bi /(µl) y la
~ x ≈ JBo = Bi Bo /(µl).
fuerza de Lorentz a lo largo de la hoja es (~J × B)
Esta fuerza acelera el plasma desde el reposo a un punto neutral a vo
2.11 reconexión magnética
sobre una distancia L y por tanto igualando la magnitud de ρ(~v · ∇)vx
sobre la fuerza de Lorentz, tenemos
ρ
v2o
Bi Bo
≈
L
µl
(99)
~ =0
Sin embargo, tenemos que ∇ · B
Bi
Bo
≈
l
L
(100)
y por tanto del lado derecho de la ecuación (2.99) puede ser rescrita
como B2i /(µL) y tenemos
B2i
≡ v2Ai
µρ
v2o =
(101)
donde v2Ai es la velocidad de Alfvén en el flujo interior. No es sorprendente, por lo tanto, la fuerza magnética acelera el plasma a la
velocidad de Alfvén.
La siguiente pregunta es: ¿Qué tan rápido pueden las líneas de
campo y el plasma entrar en la región de difusión (a vi )? Primero,
note que en un estado estable el plasma puede acarrear las líneas
del campo a una misma velocidad con la que estás estén tratando de
difundirse, tal que
vi =
η
l
(102)
También la conservación de masa implica que el promedio (4ρLvi )
en el cual la masa está entrando en la hoja de corriente debe ser igual
al promedio (4ρlvi ) en el cual se está dejando, tal que
Lvi = lvAi
(103)
El ancho l puede ser eliminado entre estás dos ecuaciones, lo cual
nos da v2i = ηvAi /L en formas adimensionales
Mi =
1
R1/2 Mi
(104)
noindent en términos del número de Mach Alfvén
M=
v
vA
(105)
55
56
física de plasmas
y el número magnético de Reynolds
RM =
LvA
η
(106)
basados en la velocidad de Alfvén.
Es interesante considerar la energía del proceso de reconexión en
una capa de difusión Sweet-Parker la cual es larga y delgada (l << L).
Una implicación de la ecuación (2.103) es que vi << vAi tal que la
velocidad del flujo interior es mucho más peque no que la velocidad
de Alfvén. Ahora el promedio de la energía electromagnética del flujo
~ por unidad de área) o desde
interior es el flujo de Poynting (~E × H
E = vi Bi en magnitud,
E=
B2
Bi
L = vi i L
µ
µ
(107)
Por lo tanto, de la ecuación (2.105) de la razón de energía cinética
y electromagnética del flujo interior es
1
ρv2
v3
Inflow K.E.
= 2 2 i = 3i << 1
Inflow e.m.
Bi /µ
2vAi
(108)
En otras palabras, la mayor energía del flujo entrante es magnética,
considerando la energía fuera del flujo. Por conservación de flujo
vo Bo = vi BI
(109)
(la cual es consistente con la ecuación (2.100) y (2.103)) y Bo << Bi .
También la energía electromagnética del flujo externo es EBo l/µ, el
cual es mucho menor que la energía electromagnética del flujo interior, entonces ambos Bo << Bi y l << L. ¿Qué esta sucediendo con
la energía magnética del flujo entrante? Bueno, la razón de la energía
cinética saliente con respecto a la energía magnética entrante es
1
1 2
ρv2 (vo l)
v
Outflow K.E.
1
= 2 o2
= 22 o =
Inflow e.m.
2
vi Bi L/µ
vAi
De tal manera que la mitad de la energía magnética entrante es
convertida a energía cinética, mientras que la mitad restante es convertida a energía térmica. En otras palabras, el efecto de la reconexión
es crear un rápido torrente caliente de plasma.
2.11 reconexión magnética
~ de la ley
En está conexión es útil recordar, que sustituyendo ∇ × H
~
de Ampere y por ∇ × E de la ley de Faraday, podemos escribir
~ = ~E · ∇ × H
~ −H
~ ·∇×H
~
−∇ · (~E × H)
ó
~ = ~E · ~J + ∂
−∇ · (~E × H)
∂t
B2
2µ
las cuales implican que, una energía electromagnética del flujo interior puede producir energía eléctrica (~E · ~J) para el plasma y un aumento en la energía magnética. Además, tomando el producto escalar
~ obtenemos
de ~J con la ley de Ohm ~E = ~J/ρ~v × B,
2
~E · ~J = J + ~v · ~J × B
~
σ
tal que la energía eléctrica aparece parcialmente como calor ohmico y
parcialmente como el trabajo hecho por la fuerza de Lorentz (es decir,
acelerando el plasma). En nuestro caso la energía electromagnética
del flujo interior va dentro de energía eléctrica, una mitad aparece
como calor y la otra mitad como energía cinética.
Los rápidos regímenes de reconexión que consideraremos contienen una peque na región de difusión Sweet-Parker alrededor del
punto x, y la velocidad del flujo y el campo magnético a distancias
grandes Le desde el punto x son denotadas por ve y Be , ver Figura 2.17. Las propiedades de los modelos de reconexión dependen de
dos parámetros adimensionales, denominados el promedio de reconexión (Me = ve=vAe) y el número magnético global de Reynolds
(RM = LvAe /η).
La reconexión es “rápida” cuando el promedio de reconexión (Me )
es mucho más grande que el promedio Sweet-Parker, de la ecuación
(2.104). Las propiedades en el flujo interior de la región de difusión
(denotada por el subíndice ‘i’) puede ser relacionada para los valores
“externos” a largas distancias (denotado por el subíndice ‘e’). Así la
conservación del flujo (viBi = veBe) puede ser escrita en forma adimensional como
Mi
B2
= 2e
Me
Bi
(110)
57
58
física de plasmas
Figura 17: Notación para regímenes rápidos.
Además, las relaciones Sweet-Parker (2.102) y (2.103) pueden ser
rescritas en forma adimensional como
L
1
1
1
=
3/2
Le
RMe Me M1/2
(111)
l
1
1
1
=
1/2
Le
RMe Me M1/2
(112)
i
i
Así, una vez Bi /Be es determinada desde un módelo de una región
externa fuera de la región de difusión, la ecuación (2.110) determina
Mi=Me y las ecuaciones (2.111) y (2.112) dan las dimensiones de la
región de difusión en términos de Me y RMe.
2.11.6.2
Modelo de Petschek
El régimen Petschek es “casi uniforme” en el sentido de que el campo en la región del flujo interno es una peque na perturbación a un
campo uniforme Be . La mayoría de la energía convertida toma lugar
en modos lentos de choques permanentes, los cuales son casi switchoff en natural (ver Figura 2.18a). Estas ondas de choque aceleran y
calientan el plasma, con 25 de la energía magnética entrante, siendo
cambiada a calor y 53 a energía cinética.
El análisis Petschek es directo, la región de flujo consiste de una
escasez de líneas de campos curvadas y el campo magnético es un
2.11 reconexión magnética
Figura 18: (a) Modelo Petschek, (b) Notación para la región de flujo entrante.
campo uniforme horizontal (Be x̂), más una solución de la ecuación
de la Laplace de la cual se desvanece a grandes distancias y la cual
tiene una componente normal de BN en las ondas de choque y cero
en la región de difusión. Para ordenes menores, la inclinación de los
choques puede ser insignificante y por tanto el problema es encontrar
una solución en la mitad del plano superior, el cual se desvanece en
el infinito el cual es igual a 2BN entre L y Le sobre el eje x y por
simetría −2BN entre −Le y −L, ver Figura 2.18b. Ahora, podemos
considerar la componente normal sobre el eje x siendo producidas
por una serie continua de polos. Si cada polo produce un campo
m/r a una distancia r, entonces el flujo producido en la mitad del
plano superior, por lo que el polo será πm; pero, sí el polo ocupa una
distancia dx del eje x, el flujo es también 2BN dx, tal que m = 2BN /π
e integrando a lo largo del eje x obtenemos el campo en el origen
producido por los polos como
1
=
π
ZL
Le
2BN
dx −
x
Z Le
L
2BN
dx
x
(113)
Sumando esto a el campo (Be ) en el infinito tenemos
Bi = Be −
4BN
Le
log
π
L
(114)
59
60
física de plasmas
Pero en las ondas de choque, recordando de la ecuación (2.110) que
los choques lentos viajan a una velocidad de Alfvén, basado sobre el
√
campo normal, BN / µρ = ve , por lo que la ecuación (2.114) es
Le
4Me
Bi = Be 1 −
log
π
L
(115)
la cual es una expresión para Bi que hemos estado solicitando.
Entonces Me << 1 y Bi ≈ Be , por lo que las ecuaciones (2.111) y
(2.112) se convierten en
L
Le
l
Le
≈
≈
1
RMe M2e
1
RMe Me
(116)
lo cual muestra que las dimensiones de la región central decrece como el número de Reynolds RM o incrementa con el promedio de
reconexión Me . Petschek sugiere que el mecanismo de choques por
si mismo acaba cuando Bi llegue a ser peque no, y el estima un promedio máximo de reconexión M∗e , colocando Bi = 12 Be en la ecuación
(2.115) obteniendo
M∗e ≈
π
8 log RMe
(117)
El valor típico es de 0.01, entonces el log RM está lentamente variando, y vemos que para valores de RM este varía mucho más que
el promedio Sweet-Parker (ver Kirk et al. 1994).
2.12
emisión uv de plasmas
Plasmas calientes, tales como el gas coronal, radian efectivamente
energía, especialmente si el gas contiene cualquier fracción apreciable de elementos pesados tales como el Oxigeno o Fierro. En algunas
condiciones los elementos pesados tienen todos sus electrones externos retirados, pero las capas internas de electrones requieren de una
mayor energía para ser retirados del átomo, y estos procesos de ionización no son alcanzados a temperaturas coronales.
Dada una mezcla partícular de elementos a una temperatura específica, podemos calcular el número de átomos por unidad de volumen
2.12 emisión uv de plasmas
del gas, el cual está en un estado partícular de ionización. Determinando las líneas de emisión emitidas por átomos y por otros constituyentes del gas. La suma total de estás emisiones de ligado-ligado,
más ligado-libre y libre-libre la cual es especialmente importante a
altas temperaturas, estas emisiones producen el espectro coronal.
En la práctica, estos cálculos son una complicada tarea. Para cada
elemento hay una constante competencia entre los varios mecanismos los cuales remueven electrones de un átomo o los cuales en que
el electrón ligado sube a un nivel superior y procesos los cuales son
causados por un electrón libre que es recombinado con un ion y los
cuales en que los electrones en niveles superiores se mueven a niveles
menores en un átomo. Cada elemento puede ser encontrado en uno o
diferentes estados de ionización en cualquier temperatura de plasma
dada.
En resumen es frecuentemente necesario asumir que el plasma está
en equilibrio, para poder emplear ecuaciones las cuales balancean los
varios procesos ascendentes y descendentes. Esta suposición es cuestionable en situaciones donde la energía producida en el gas coronal
es trascendente o de variación rápida, tales como en ráfagas o posiblemente en procesos de calentamientos impulsivos para estructuras
coronales ordinarias.
Con estos huecos, podemos iniciar la discusión de cómo la emisión
coronal es calculada iniciando con métodos para determinar la emisión de una simple transición en un elemento. Las abundancias de
todos los elementos más pesados que el helio en la atmósfera solar
son muy peque nas relativas a el hidrógeno, en el rango de 104 −
106 a temperaturas y densidades encontradas en la Corona y los elementos que dominan la emisión radiativa son Fe, Si, S y O, los cuales
juntos hacen sólo el 0.03 % de los átomos en el gas coronal.
La emisión de una línea espectral de algún elemento X ocurre por
la transición del nivel j al nivel i
X+m
→ X+m
+ hνij
j
i
donde X+m indica un átomo de elemento X con m electrones retirados. Este proceso es frecuentemente llamado emisión ligado-ligado,
ya que ocurre de un nivel ligado a otro. El fotón es emitido a un
frecuencia * correspondiente a la diferencia entre los niveles i y j,
∆Eij = hνij .
61
62
física de plasmas
Si una medida es hecha a una particular frecuencia, entonces necesitamos tomar en cuenta el hecho de que la forma de la línea espectral
no es una función δ, pero mucho de los fotones son emitidos sobre
un peque no rango de longitud de onda. Esta extensión es llamada
perfil de emisión, designada por ψν . La emisividad del plasma a una
longitud de onda ν por unidad de volumen de plasma, está dada en
erg cm−3 s−1 Hz−1 , es obtenida por multiplicar la densidad numérica
de átomos en un nivel superior, la probabilidad de transición, el perfil
de emisión y la energía por fotón. Esta es dada por
Pν = Nj (X+m )Aij hνij ψν
donde Nj (X+m ) es la densidad numérica de átomos de un grado
de iones X+m los cuales están en el nivel j, y Aij es el coeficiente
de Einstein espontáneo. Note que ψν está normalizado a la unidad
cuando integramos sobre ν:
Z
ψν dν = 1
Frecuentemente estamos interesados en la intensidad de la línea
sin tomar en cuenta en detalle la forma de la línea. La potencia total,
está dada en erg cm−3 s−1 , emitido en esta transición por volumen
de plasma coronal es
Pij = Nj (X+m )Aij
hc
λij
(118)
donde λij es la longitud de onda del fotón, obtenida de sustituir
λij = c/νij . Aquí Pij es Pν integrada sobre todas las frecuencias.
El flujo detectado en la Tierra en la línea de emisión es entonces
obtenido integrando la ecuación anterior sobre un elemento de volumen ∆V de interés en la Corona y entonces extendiendo la potencia
sobre un área 4πR2 , donde R es 1 UA:
1
Fij =
4πR2
Z
Pij dV
∆V
Las unidades de F son erg cm−2 s−1 . En principio, el espectro coronal a una temperatura y densidad dada es determinado por la suma
de todas las contribuciones de Fij por todos los elementos de la Corona.
2.12 emisión uv de plasmas
Para la ecuación (2.118) la cantidad desconocida es la densidad numérica Nj (X+m ). Este valor es obtenido a partir de una serie de pasos
mas fáciles de determinar, la densidad electrónica Ne . Los pasos involucrados son:
determinación de la abundancia de hidrógeno relativa a la densidad electrónica, esto es N(H)/Ne ;
determinación de la abundancia del elemento X relativo al hidrógeno N(X)/N(H);
determinación de la fracción del elemento X en el estado ionizado +m, N(X+m )/N(X); y
determinación de la fracción de átomos del elemento X en el estado ionizado +m los cuales están en el nivel j, Nj (X+m )/N(X+m ).
Así
Nj (X+m ) =
Nj (X+m ) N(X+m ) N(X) N(H)
Ne
N(X+m ) N(X) N(H) Ne
El término N(H)/Ne puede ser estimado a ser ≈ 0.8, la densidad
numérica de electrones libres es determinada por la completa ionización del Hidrógeno y el Helio en la Corona.
2.12.1
Balance de ionización
El término N(H)/N(X) da la fracción del elemento X el cual está m
veces ionizado. Para un volumen de plasma el cual está en equilibrio
a una temperatura T , el grado de ionización depende del balance
entre procesos, los cuales causan que un átomo tenga un partícular
número m de electrones retirados, y todos estos procesos decrecen
el número de átomos que tengan exactamente m electrones retirados.
Para un partícular estado de ionización, el balance puede cambiar de
cuatro maneras:
El ion puede ser formado por ionización desde un estado inferior.
El ion puede ser retirado por ionización a un estado superior.
El ion puede ser formado por recombinación desde un estado
superior.
El ion puede ser retirado por recombinación un estado inferior.
63
64
física de plasmas
Las excitaciones ascendentes a grados superiores de ionización son
balanceados por procesos de recombinacón a grados inferiores de
ionización. Hay dos grandes procesos de recombinación: recombinación radiativa y recombinación dieléctrica. La recombinación radiativa es simplemente la captura de un electrón libre por el ion, típicamente en niveles superiores, con la emisión de un fotón representando el exceso de energía del electrón capturado.
2.12.2
Temperatura de Máxima Abundancia
Cuando consideramos un gas en equilibrio, suponemos que los diferentes procesos de competencia están en balance, de tal manera que
la densidad numérica de una especie iónica en cuestión no cambia
con el tiempo. En un plasma de alta temperatura y baja densidad, tal
como la Corona solar, la ionización ocurre generalmente por colisiones con electrones libres. Estos procesos requieren que los electrones
tengan una energía térmica comparable al electrón ligado, el cual se
supone retirarón del átomo. Por lo tanto el proceso de ionzación ocurre en el punto en el cual la energía de amarre para ionizar, es comparable con la energía térmica del electrón. Por lo que los electrones
internos tiene progresivamente mayor energía de amarre, los altos
estados de ionización de una especie son producidos en plasmas calientes. Las especies de menor ionización tienden a desaparecer por
excitación ascendente a especies más ionizadas. Así la curva de abundancia para cualquier especie iónica como función de la temperatura
tiene un mínimo a bajas temperaturas, debido a que el gas no es lo
suficientemente caliente para producir el grado de ionización, y está función de nuevo un mínimo a muy altas temperaturas, donde
en promedio el grado de ionización es mucho mayor que el grado
de ionización en cuestión. Teniendo entonces un máximo a alguna
temperatura, la cual llamaremos “La Temperatura de Máxima Abundancia”.
Parte III
AT M Ó S F E R A S O L A R Y E V E N T O S E X P L O S I V O S
3
AT M Ó S F E R A S O L A R Y E V E N T O S E X P L O S I V O S
3.1
estructura solar
El Sol está formado por capas concéntricas de diferentes propiedades. En este capítulo explicaremos las propiedades de cada una de las
capas, así como, los tipos de estructuras que se forman en cada capa.
Estas estructuras se forman en la Fotósfera, Cromósfera y Corona. El
seguimiento en el tiempo de este tipo de estructuras, principalmente
de las manchas solares, ha permitido encontrar una variación periódica en el Sol.
A mediados del siglo XIX se creía que el Sol estaba compuesto
enteramente de hidrógeno. En realidad ésta no es una mala aproximación, dado que el Sol está compuesto de un 75 % de hidrógeno,
24 % de helio, y 1 % de elementos pesados (ver Smith 1967). Debido a
su estructura diferenciada en capas concéntricas, comenzaremos del
centro del Sol hacia fuera con la descripción, deteniéndonos a estudiar con detalle las capas como se muestra en la Figura 3.1.
En realidad, el Sol no tiene una frontera bien definida tanto entre
sus capas como en su superficie. La densidad disminuye continuamente desde su centro hacia afuera. Aunque no se sabe con exactitud
dónde termina su última capa, se ha llegado a detectar ésta hasta una
distancia de 12 R (R = 6.95 × 108 m), (Zhelenznyakov 1970).
3.1.1 El interior del Sol
La estructura interna del Sol no puede observarse en forma directa, y es por esto que, se desarrollo la Heliosismología. Esta ciencia
estudia las oscilaciones de ondas producidas por el Sol, las cuales
indican las condiciones del interior solar, del mismo modo que los
sismólogos aprenden sobre el interior de la Tierra supervisando ondas causadas por terremotos. Por tanto, los científicos solares pueden
aprender sobre el interior del Sol estudiando oscilaciones de ondas.
De esta manera, se ha estimado que su interior está diferenciado en
tres zonas. La más interna, que va desde el centro hasta una distancia
de aproximadamente dos décimas del radio del Sol, es el núcleo, donde se produce de forma constante una enorme cantidad de energía.
67
68
atmósfera solar y eventos explosivos
Figura 19: La imagen representa un diagrama de la estructura del Sol, en la
cual los límites han sido modificados para una mejor apreciación
de las capas solares.
3.1 estructura solar
La región central del Sol es, en un sentido muy real, la sala de calderas de nuestro sistema solar. Aquí hallamos las reacciones de fusión.
Se estima que la materia próxima al centro del Sol tiene una temperatura de 14 millones de grados kelvin y una densidad de 130 g/cm3 .
Bajo estas condiciones extremas son frecuentes las interacciones entre
los átomos, que son desprovistos de sus capas protectoras de electrones. Las circunstancias son favorables para la producción de reacciones nucleares. El Sol obtiene su energía de la conversión de hidrógeno
a helio, lo que se llama una reacción por fusión. La transmutación
básica implica la combinación de cuatro núcleos de hidrógeno, o protones, para formar un solo núcleo de helio, el defecto de masa es de
4.7 × 10−26 g menos que el combinado de los cuatro protones originales, y esta materia perdida reaparece como energía de acuerdo con
la relación
E = m c2 = (4.7 × 10−26 g)(3 × 1010 cm/s)2 = 4.2 × 10−5 erg (119)
Dado que es extremadamente improbable que cuatro protones choquen simultáneamente, es necesario formular una cadena de sucesos.
Conforme a las condiciones existentes en las regiones centrales del
Sol, la llamada cadena protón-protón genera la mayor parte de la energía. Otra fuente de energía por medio de reacciones de fusión es el
ciclo CNO, para el cual, al igual que para la cadena protón-protón,
la energía proviene de la formación de núcleos de helio a partir de
núcleos de hidrógeno.
Existe una segunda zona interior distinta al núcleo, por la cual la
energía es transportada hacia la superficie del Sol, primero en forma
radiativa (los fotones viajan a través del material, sufriendo fenómenos como son la absorción y dispersión) y posteriormente en forma
convectiva1 (donde la energía es transportada por movimiento de elementos de masa), para que exista convección se debe de cumplir el
criterio de inestabilidad de Schwarschild que dice; sí dT
dr excede un
cierto múltiplo de dP
entonces
ocurrirá
convección.
La
primera redr
gión es llamada zona radiativa, que se extiende desde dos décimas
hasta seis décimas del radio del Sol, y la segunda es la zona convectiva,
que va desde seis u ocho décimas del radio del Sol hasta la superficie
visible.
1 El movimiento ascendente de materia caliente y descenso de materia fría es llamado
convección
69
70
atmósfera solar y eventos explosivos
3.1.2 La Fotósfera
La mayor parte de la energía solar que se recibe en la Tierra proviene de la Fotósfera, que emite un continuo de radiación electromagnética, casi toda en el visible. Las capas superiores de la Fotósfera
también absorben radiación, produciendo el espectro de líneas de absorción que se superpone al espectro continuo de emisión. La capa
baja de la Fotósfera está compuesta por material parcialmente ionizado, en su mayor parte de hidrógeno mientras que en las capas altas
el hidrógeno es principalmente neutro. La densidad de la Fotósfera
es aproximadamente de 1015 partículas por centímetro cúbico (ver
Allen 1973) y la temperatura disminuye del interior al exterior del
Sol, desde 8 500 K en su base hasta 4 500 K en su parte superior, y su
temperatura media es de alrededor de 5 770 K.
3.1.3 La Cromósfera
Hasta antes de la invención del coronógrafo, la Cromósfera sólo
podía ser observada durante un eclipse total de Sol, cuando por unos
breves instantes, el resplandor irresistible de la Fotósfera es ocultado
por la Luna. Entonces, el Sol se ve rodeado de un estrecho anillo de
luz rojiza que brota de una capa de la atmósfera solar acertadamente
llamada Cromósfera o “esfera de color”. Se localiza inmediatamente
encima de la Fotósfera con un grosor muy variable, entre 1 000 y 8
000 kilómetros. En la parte inferior de la Cromósfera, la temperatura
es de unos 4 500 K y sus primeros 3 000 kilómetros están compuestos
principalmente por átomos neutros de hidrógeno, con una densidad
del orden de 1012 partículas por centímetro cúbico (ver Allen 1973).
Cerca de los 3 000 kilómetros de altura, la temperatura empieza a subir rápidamente, alcanzando un valor de un millón de grados kelvin.
A esta altura la densidad ha bajado hasta unas 109 partículas por centímetro cúbico y todo el material está ionizado. Esta región es la parte
más alta de la Cromósfera y se conoce como la región de transición.
3.1.4 La Corona
El hermoso espectáculo proporcionado por la atmósfera exterior
del Sol en el momento de un eclipse total, conocida adecuadamente, como la Corona, se extiende en el espacio mucho más allá de 12
radios solares. La Corona tiene una temperatura de un millón de grados y es una de las regiones más calientes del Sol. A la temperatura
de un millón de grados kelvin, los electrones se mueven tan rápidamente que al chocar con violencia, las moléculas no pueden existir y
3.2 formaciones en la fotósfera, la cromósfera y la corona
los átomos son desprendidos, al menos parcialmente, de sus electrones. Al pasar de la Cromósfera a la Corona, la densidad de partículas
baja rápidamente, siendo del orden de 106 partículas por centímetro
cúbico (ver Allen 1973).
3.2
3.2.1
formaciones en la fotósfera, la cromósfera y la corona
Formaciones en la Fotósfera
Cuando se observa en detalle a través de los filtros de un telescopio,
la Fotósfera presenta un aspecto granulado, la superficie del Sol está
cubierta por un sin número de peque nas celdas brillantes separadas
por delgadas líneas oscuras. Estas celdas, llamadas gránulos tienen
un tama no promedio de 2 000 km y son de vida muy corta; cada
gránulo individual tiene una vida media de 10 minutos después de
los cuales se desvanece, por lo que el aspecto granular de la superficie solar cambia de forma continua (ver Zhelenznyakov 1970). Este
fenómeno es interpretado como el resultado de la convección, es decir estos gránulos son una manifestación del transporte de la energía
producida en la parte interna del Sol. La granulación ocurre en cualquier lugar de la superficie del Sol y no necesariamente está asociada
con la actividad solar.
La característica más notable de la Fotósfera son las llamadas manchas solares, enormes regiones oscuras con tama nos entre 1 000 y 100
000 kilómetros que rotan con el Sol y cuyo número aumenta y disminuye siguiendo un ciclo de aproximadamente 11 a nos. Las manchas
solares son el resultado de campos magnéticos locales muy intensos,
que impiden la convección, causando que la temperatura sea menor.
Una mancha solar consiste de un núcleo oscuro “la umbra”, con una
temperatura de 4 500 K, la cual está rodeada por un borde filamentoso menos oscuro llamado “penumbra”, que es la zona entre la umbra
y la Fotósfera. El diámetro de la umbra está entre 2 000 y 20 000 km
y el de la penumbra entre 4 000 y 50 000 km.
En la Fotósfera solar aparecen también las fáculas fotosféricas, que
son regiones más brillantes y más calientes que el resto de la Fotósfera y que suelen estar asociadas a las manchas solares. El exceso de
temperatura en una fácula es de 250 grados respecto a la temperatura
promedio de la Fotósfera. Las fáculas sólo pueden ser observadas en
luz monocromática coherente, cerca del limbo (borde del disco solar).
71
72
atmósfera solar y eventos explosivos
3.2.1.1
Formaciones en la Cromósfera
Vista desde el limbo solar, la Cromósfera presenta un aspecto de
una llameante pradera de la cual surgen enormes lengüetas individuales. El aspecto de pradera llameante lo constituye una gran cantidad de peque nos chorros de material llamados espículas que se
levantan y se desvanecen entre 5 y 10 minutos (ver Zhelenznyakov
1970). Las espículas aparecen como peque nas y brillantes oleadas, algunas muy delgadas y otras hasta de unos 500 kilómetros de grueso.
Emergen a partir de los 1 500 kilómetros de altura y se levantan hasta
una altura aproximada de 8 000 kilómetros, aunque algunas sobrepasan los 15 000 kilómetros de altura sobre la Fotósfera; el material
en el chorro alcanza una velocidad de entre 20 y 30 kilómetros por
segundo. Las espículas no se encuentran dispersas, sino en grupos;
con frecuencia se encuentran en la base de zonas brillantes llamadas
regiones activas que generalmente están cerca de las manchas solares y constituyen la extensión cromosférica de las fáculas fotosféricas.
Sobre las espículas, y adentrándose en la Corona, surgen de vez en
cuando inmensos arcos de material. Estos arcos son enormes volúmenes de hidrógeno más denso y frío que el gas circundante, que se
alzan hasta unos 50 000 kilómetros o más sobre la superficie del Sol,
y que pueden permanecer durante semanas o aun meses sin desvanecerse. Estos inmensos arcos, llamados protuberancias estacionarias,
se observan sobre el disco en la línea Hff (transición de la serie de
Balmer del nivel cuántico n = 3 al n = 2 para el átomo de hidrógeno) como largos filamentos oscuros a lo largo de cientos de miles
de kilómetros.
3.2.2 Formaciones en la Corona
Durante mucho tiempo se pensó que la Corona era una extensión
homogénea de gas solar. Sin embargo, las imágenes de la Corona han
mostrado que esto no es así. En la parte baja, la Corona o Corona
interna, está constituida por flujos de material en forma de anillos estrechamente tramados, arcos grandes y peque nos. También muestra
algunos otros abiertos que se extienden hacia la parte más alta de la
Corona, y ahí se desvanecen. Estas configuraciones arqueadas son el
trazo que hace el material coronal de las líneas del campo magnético
solar que surgen de la Fotósfera. Como el material de la Corona está
completamente ionizado, sus movimientos van a ser controlados en
parte por la configuración magnética local; en la baja Corona, donde
el campo magnético es más fuerte y el gas menos caliente, la estructura magnética domina y organiza el material a lo largo de los arcos
magnéticos. Por encima de estos arcos y rizos se extienden los lar-
3.3 regiones activas
gos haces filamentosos y “bulbos” que forman la Corona externa y
que son los que han sugerido las plumas y pétalos de dalia con que
se ha descrito a la Corona observada durante un eclipse. La formación de estas estructuras es el resultado del juego entre dos efectos
en competencia; la configuración de las líneas del campo magnético
y las fuerzas expulsivas (viento solar) que sobre este material surgen
como resultado de su alta temperatura. Otro descubrimiento importante, proporcionado por las imágenes del disco solar en rayos X, son
los hoyos coronales. Esparcidos en el bosque intrincado de los anillos
de la baja Corona se observan algunos “claros”, regiones sin anillos,
cuya imagen en rayos X es oscura y por eso fueron llamados “hoyos”.
En estas regiones no hay arcos magnéticos que restrinjan el material
corónal y éste puede fluir en forma libre hacia el espacio; por eso
son regiones oscuras en rayos X, pues éstos son emitidos por las partículas confinadas en los arcos magnéticos. En un hoyo coronal, el
material fluye velozmente hacia afuera desde la base misma de la Corona y las líneas de campo, en vez de curvarse en rizos, se alargan
hacia el medio interplanetario. En los hoyos coronales la temperatura
es por lo menos de unos 6 000 grados kelvin menor que en el resto
de la Corona y la densidad de partículas puede ser hasta de un tercio
del valor normal.
3.3
regiones activas
Las manchas solares son el síntoma más visible de cambios radicales en el Sol que todavía no son bien comprendidos. Casi invariablemente, las manchas solares se forman en áreas perturbadas conocidas
como regiones activas, que son el origen de una gran diversidad de
otros fenómenos. Como muchos de estos fenómenos tienen que observarse con instrumentos altamente especializados, ha sido sólo recientemente cuando se ha podido prestárles atención. El nacimiento
de una región activa es anunciado habitualmente por la aparición de
zonas brillantes en la Fotósfera y en la Cromósfera antes de que haya
llegado a ser visible mancha alguna. Casi siempre, esa brillantez llama la atención, ante la presencia de una mancha caliente en los gases
de la atmósfera solar. Conocidos como fáculas, estos parches fotosféricos pueden verse en luz blanca con un telescopio ordinario cuando
se aproximan al borde del disco solar, donde la luz de la Fotósfera
circundante ha sido suavizada por el oscurecimiento del limbo. Por
otra parte, las fulguraciones cromosféricas superficiales pueden captarse solamente en luz monocromática.
73
74
atmósfera solar y eventos explosivos
Figura 20: La curva muestra los dos últimos ciclos de actividad solar. El próximo máximo ocurrirá en el a no 2002. Los datos fueron tomados
del reporte del Solar-Gheophysical Data.
La observación de las manchas solares permitió distinguir notables
fluctuaciones en su número, encontrandose que la variación del número de manchas es periódica, por lo que el Sol tiene un ciclo de
“actividad solar”. El ciclo de actividad solar consta de aproximadamente 11 a nos, la Figura 3.2 muestra los dos últimos ciclos solares.
De la Figura 3.2 notamos que nuestra observación se efectuó cerca del
mínimo de actividad solar (en 1996). Una manera de observar dicho
ciclo es con el número de manchas solares M, o número de Wolf (ver
Waldemeier & Müler 1950), que se define de la forma
M = 10 g + f
(120)
donde f es el número de manchas solares individuales y g es el número de grupos de manchas solares. Típicamente 0 < M < 200. El
área de las manchas solares se mide directamente de su proyección
en el disco solar aparente (A ), y el área común de la suma de las
manchas solares es de 10−6 A en el máximo solar (ver Kruger 1979).
Una mancha solar puede permanecer menos de un día, o alrededor
de entre 3 y 4 rotaciones del Sol (la rotación del Sol es de 27 días). Con
la observación de las manchas solares, también empezaron a registrarse las posiciones en las que aparecían. Las manchas solares tienden a
presentarse en zonas a cada lado del ecuador solar. Durante un ciclo
solar las manchas solares varían en su localización en forma considerable. Como muestra la Figura 3.3 las manchas solares que aparecen
primero en el ciclo lo hacen a unos 400 Norte y Sur del ecuador solar.
Las manchas solares siguientes tienden a formarse en latitudes cada
vez más bajas a medida que avanza el ciclo, hasta que las dos zonas
3.4 ráfagas solares y eventos explosivos
Figura 21: El diagrama muestra los dos últimos diagramas de mariposa. Los
datos fueron tomados del reporte del Solar-Gheophysical Data.
de actividad se encuentran dentro de 70 del ecuador.
Finalmente, la iniciación de un nuevo ciclo es indicada por la aparición de manchas solares en latitudes altas, quizá cuando algunas
manchas solares pertenecientes al ciclo anterior pueden verse todavía
cerca del ecuador. Cuando hacemos el diagrama de la posición de las
manchas solares con el tiempo, observamos una similitud con una
mariposa. Por tanto, a este tipo de diagrama mostrado en la Figura
3.3 se le llama “Diagrama Mariposa”.
Las manchas solares han sido muy estudiadas hasta nuestros días
por la relación que tienen con la actividad solar. Las manchas solares
de gran duración muestran cambios tanto en su estructura como en
su posición en el disco solar. Debido a que la Fotósfera se encuentra
en un constante movimiento, sus estructuras de peque nas dimensiones asociadas a las manchas solares se ven muy afectadas. Sin embargo sólo podemos hablar de un movimiento propio en latitud y no
en longitud, debido a la rotación del Sol. Este movimiento es hacia
latitudes menores. Es decir, que las manchas solares se mueven hacia
el ecuador del Sol, como se observa en el diagrama Mariposa.
3.4
ráfagas solares y eventos explosivos
Las ráfagas solares son aumentos súbitos de la emisión del Sol que
se registran en diferentes frecuencias del espectro electromagnético
(en rayos X, UV, radioondas, el visible, etc.). La duración de una ráfaga puede ser de entre unos cuantos segundos hasta unas cuantas
horas. Las ráfagas se han clasificado por el tiempo de duración de la
emisión, ver Smith 1967. Unas sólo muestran un máximo, mientras
75
76
atmósfera solar y eventos explosivos
que otras tienen varios máximos. Algunas son de aumento y decaimiento lento, mientras que otras son de variación rápida. Durante las
ráfagas también se aceleran partículas, que en ocasiones llegan hasta la Tierra, produciendo auroras boreales. Las ráfagas generalmente
ocurren en las llamadas Regiones Activas (RA), pero también se han
llegado a registrar en Regiones Quietas del Sol (lugares donde no hay
presencia de actividad solar aparente).
Debido a que los campos magnéticos de las RA son muy complicados y variables en el tiempo, se considera que el proceso de reconexión del campo magnético es una de las causas principales de
las ráfagas solares (ver Heyvaerts et al. 1977). El calentamiento del
plasma también se considera como otra causa de la producción de
ráfagas (de variación lenta, ver Kundu 1985). Durante una ráfaga se
mezclan diversos procesos de emisión de radioondas. En particular
las variaciones en radioondas parecen ser de los fenómenos ligados
a la liberación de energía inicial en una ráfaga. Es por eso que el
Sol se observa diariamente con los mas diversos radiotelescopios en
muchos países.
3.4.1 Microrráfagas y Nanorráfagas
Los términos “micro” y “nano” se refieren respectivamente a eventos relacionados con 10−6 y 10−9 veces el valor de una referencia de
1033 erg para una ráfaga típica. Las microrráfagas fueron detectadas
en rayos X duros por Lin & Schwartz (1984), y las nanorráfagas fueron
propuestas por Parker (1988), como un mecanismo del calentamiento
coronal.
3.5
mecanismos de calentamiento coronal
Las mas simples de las teorías para el calentamiento coronal, no
han podido explicar este fenómeno durante las pasadas décadas. Este
calentamiento representa una peque na fracción de la luminosidad total solar para energizar la Corona. La potencia total emitida en rayos
X por la Corona es solamente ≈ 10−6 de la luminosidad bolométrica
del Sol, mientras que tomando en cuenta todos los mecanismos de
pérdida de energía coronal (radiación sobre todas las longitudes de
onda, el viento solar y otros flujos de masa, conducciones de calor,
hacia fuera del espacio interplanetario y hacia dentro en lugares más
bajos de la atmósfera), la energía presupuesta total que sale es sólo
≈ 10−4 de la producción total que sale del Sol.
3.5 mecanismos de calentamiento coronal
Ha sido relativamente fácil para los teóricos proponer mecanismos,
que podrían desvíar el 0.01 % de la producción total del Sol dentro
de la potencia coronal, pero los argumentos basados solamente en
la energía total son insuficientes para decidir, que mecanismo está
realmente operando. Los posibles mecanismos de calentamiento que
están actualmente siendo explorados, se dan en la siguiente lista, que
es una sección de una revisión reciente de Narain & Ulmschneider
(1996)
calentamiento por ondas acústicas,
calentamiento por ondas de volumen magnetosónicas rápidas y
lentas,
calentamiento por ondas de volumen de Alfvén,
calentamiento por ondas de superficie magnetosónicas rápidas
y lentas,
calentamiento por disipación de corriente,
calentamiento por microrráfagas transitorias.
Estos procesos pueden ser clasificados como hidrodinámicos versus magnéticos, los magnéticos están subdividido dentro de mecanismos de corriente alterna (CA) y corriente directa (CD). Las posibilidades se listan en la Tabla 3.1, de Ulmschneider (1996).
El proceso de calentamiento coronal puede dividirse en tres elementos básicos: la generación de energía mecánica, el transporte de
esta energía, y la disipación de la energía. Hay un acuerdo casi universal en que la energía necesaria para calentar la Corona es producida
por la turbulencia del movimiento de fluidos de la zona exterior convectiva del Sol. Estos movimientos son energizados por el transporte
de la energía hacia afuera desde el interior solar, manejado últimamente por el quemado nuclear en el centro del Sol. Sin embargo el
número de procesos por el cual estos movimientos convectivos generan energía mecánica es muy grande, extendiéndose desde la energía
acústica generada sobre la Fotósfera para la produción de un campo
magnético a la salida de flujos desde la base de la zona convectiva.
La Corona podría calentarse por disipación ohmica de corrientes
coronales o por disipación viscosa de ondas MHD y turbulencia. El ca~
lentamiento promedio ohmico es proporcional a ηj2 , donde j ∝ ∇ × B,
de modo que este calentamiento depende del rotacional del campo
magnético. Similarmente, el promedio del calentamiento viscoso es
proporcional a la viscosidad y al gradiente de la velocidad. En un
77
78
atmósfera solar y eventos explosivos
Tabla 1: Mecanismos de Calentamiento Mecánico para Cromósferas y Coronas Estelares.
Transporte de Energía
Disipación de Energía
Mecanismos de Calentamiento Hidrodinámico
P es el periodo de la onda y PA es el periodo acústico de salida
ondas acústicas P < PA
disipación por choque
ondas de pulsos P > PA
disipación por choque
Mecanismos de Calentamiento Magnético
1. corriente alterna (CA) u ondas mecánicas
onda MHD lenta,
tubo de onda MHD longitudinal
disipación por choque
onda MHD rápida
Landau damping
ondas de Alfvén
calentamiento por resonancia
calentamiento por compresión
calentamiento por turbulencia
ondas de superficie magnetosónicas
fase de mezclado
absorción resonante
2. mecanismos de corriente directa (CD)
hojas de corriente
reconexión
3.5 mecanismos de calentamiento coronal
plasma tenue caliente como la Corona, la resistividad es extremadamente peque na debido a que las partículas están ligadas a las líneas
del campo magnético. Para explicar el calentamiento observado en
términos de la resistencia o disipación viscosa, los gradientes de los
campos magnéticos y/o velocidades tendrían que ser muy grandes,
con variaciones ocurriendo sobre escalas transversales de 1 km o menos.
Como notamos en la sección 2.8 de enfriamiento conductivo, el
coeficiente para la conducción térmica perpendicular al campo magnético es varios ordenes de magnitud menor que para la conducción
paralela. Por lo tanto, localmente el calor puede depositarse fácilmente a lo largo de las líneas del campo magnético, pero no puede ser
eficientemente transportado hacia las vecindades del mismo. La conducción térmica a lo largo del campo magnético conduce a la “evaporación” de material cromósferico, por lo que aumenta la densidad del
plasma a lo largo de estás líneas del campo magnético, las cuales han
sido energizadas en la Corona. La anisotropía de la conducción térmica y el confinamiento del plasma a lo largo de las líneas del campo
magnético producen estructuras a fina escala. Los choques, los cuales
son relevantes para la reconexión magnética, representan una manera
en que el plasma forma peque nas escalas espaciales. Esta es la razón
por la cual la reconexión puede ser importante para el calentamiento
coronal.
La fuente primaria de energía para el calentamiento coronal es la
zona convectiva, debajo de la superficie solar. Las mediciones del campo magnético en la Fotósfera muestran que el campo es altamente
intermitente; el flujo mayor está en “tubos de flujo” con campos intensos del orden de 1 kG, con un campo de gas libre entre ellos. Entonces el campo magnético está congelado dentro del plasma, y los
tubos de flujo son empujados hacia los alrededores por los flujos de
la subsuperficie convectiva. Este proceso causa dos tipos de perturbaciones: (1) movimientos periódicos de tubos de flujo que generan
ondas MHD las cuales se propagan hacia arriba y pueden disipar su
energía en la Corona, (2) la propagación aleatoria y lenta de los tubos
de flujo produce corrientes eléctricas CD por alineamiento de campos
magnéticos, las cuales pueden disipar resistividad. Estas últimas se
aplican en modelos, sólo para cancelar las estructuras magnéticas.
De acuerdo con el modelo de la onda de calentamiento coronal, el
campo magnético actúa como una guía de onda para generar perturbaciones MHD en la zona de convección: las ondas de Alfvén u otras
perturbaciones MHD propagadas a lo largo de las líneas de campo
79
80
atmósfera solar y eventos explosivos
que sobresalen a través de la superficie solar y disipan su energía en
la Corona. La disipación generalmente implica una fase de mezclado.
El desarrollo de estructuras de escala fina en el campo de velocidad
de las ondas dependen de la densidad y/o de las inhomogeneidades
del campo magnético en la Corona.
En estructuras cerradas tales como los arcos coronales, el cambio
aleatorio del flujo en los tubos de flujo fotósfericos causa enrollamiento y entrenzamiento del campo magnético coronal, lo que genera corrientes eléctricas por alineamiento del campo magnético. Parker (1972, 1983) propuso que estos movimientos aleatorios conducen
naturalmente a la formación de “discontinuidades tangenciales”, las
cuales corresponden a delgadas hojas de corrientes; van Ballegooijen (1985, 1986) describió este proceso en términos de una cascada
de energía magnética para escalas espaciales peque nas. Las hojas de
corriente pueden distribuirse más o menos aleatoriamente dentro de
la Corona o pueden localizarse preferentemte en las interfases entre
los tubos de flujo. La disipación resistiva de estas corrientes y de los
campos magnéticos transversales asociados puede explicar el calentamiento de la Corona proveniente de las hojas de corriente menores a
1 km.
Podemos dividir los modelos de calentamiento en dos amplias clases basadas sobre la frecuencia de excitación. La diferencia entre las
dos clases de modelos de calentamiento coronal, está principalmente
en la escala de tiempo del campo de velocidades fotósferico, el cual
maneja el movimiento de las líneas de campo magnético coronal. El
manejo de la escala de tiempo puede de una u otra manera ser supuesto a ser mayor que el tránsito del tiempo de una onda de Alfvén
a través de una estructura coronal. Si las deformaciones del campo
magnético tienen escalas de tiempo comparables o menores que, el
tiempo requerido para que una onda de Alfvén viaje a través de un
arco coronal, entonces el comportamiento del campo es descrito en
términos de ondas. Los movimientos turbulentos en la zona convectiva producen ondas que se propagan a través de la Cromósfera y la
Corona. Bajo estas condiciones, estas ondas pueden entonces depositar una porción de su energía al plasma cromósferico o coronal.
Hollweg (1978, 1981, 1982) consideró la propagación de las ondas
de Alfvén a través de la atmósfera solar. Ionson (1977) notó, que la
Corona activa está estructurada y sugirió que las ondas pueden ser
esencialmente ondas de superficie. Hollweg (1981) y Ionson (1982)
proponen que los arcos coronales pueden actuar como cavidades resonantes, en las cuales las ondas pueden ser atrapadas. En resonancia,
3.5 mecanismos de calentamiento coronal
la transmisión de energía dentro de la Corona es aumentada. La Corona podría contener una potencia aumentada por periodos resonantes
dados por Pres = 2L/(mvph ) s, donde L es la longitud del arco, vph
es la velocidad de fase en la Corona, y m = 1, 2, 3, etc. Sobre arcos cortos (L ≈ 10000 km) con un campo magnético B ≈ 100 gauss,
vph ≈ vA ≈ 4000 km s−1 , tenemos Pres ≈ 5 m/s. Arcos más largos
o más densos o campos más débiles, producen periodos resonantes
más largos.
Los arcos coronales pueden también producir ondas de volumen,
las cuales son guiadas a lo largo del campo magnético, en analogía
con el acarreo de la luz en fibras ópticas. Para acarrear cuerpos rápidos de onda, el periodo debe ser menor que 2.6 a/vA , donde a es
el radio del arco y vA es la velocidad de Alfvén dentro del arco. Si
tomamos el diámetro de un arco de 2000 km, un campo de 50 gauss
y una densidad de 5 × 10−15 g cm3 , encontramos periodos menores
que 1.3 s.
Ulrich (1996), muestra que hay ondas de Alfvén propagándose ascendentemente, en la atmósfera baja con periodos del orden de 300
s. La posibilidad que la atmósfera sea calentada por un flujo de onda
mecánica ha sido investigada por muchos autores. Mientras que la
teoría favorece a ondas de periodo corto del orden de 0.5 minutos,
las observaciones favorecen ondas de periodo largo, con periodos de
aproximadamente 3 minutos.
El calentamiento acústico tiene un nivel mínimo, el cual puede ser
responsable de un nivel “base” de calentamiento. Sin embargo, no es
claro que el mínimo nivel indique calentamiento acústico. La examinación de imágenes de hoyos coronales y de la Corona en el mínimo
solar, muestran que siempre hay puntos de rayos X brillantes (PrXB)
presentes en grandes números. Ellos son esencialmente visibles en hoyos coronales, donde las plumas de emisión pueden ser vistas porque
están radiando sobre los PrXB. Esto no está del todo establecido, que
alguna otra emisión en hoyos coronales haya sido detectada. De tal
manera el nivel “base” puede ser debido a características coronales
de menor escala, las cuales están siempre presentes y las cuales son
producidas por el dinamo magnético, operando en conjunción con la
superficie de convección.
Los modelos de disipación de corriente que llegan desde un trabajo
reciente de Berger & Title (1996), quienes han estudiado la dinámica
del campo magnético fotósferico en peque nas escalas, utilizando observaciones en la “banda G” en el Swedish Vacuum Tower Telescope.
81
82
atmósfera solar y eventos explosivos
Ellos han estudiado los puntos brillantes fotósfericos, los cuales están
asociados con sitios de flujos magnéticos de peque na escala. Estos
puntos brillantes de la “banda G” son encontrados moviéndose entre
el espacio intergranular a velocidades de 0.5 − 5 km s−1 en respuesta
al flujo granular local convectivo.
Lo más importante para un campo magnético relacionado con los
modelos de calentamiento coronal es la observación que el modelo
fundamental evolucionario, de estos elementos de flujo magnético,
están en una fragmentación continua y fusionados con una escala
de tiempo de 6-8 minutos. El fusionamiento puede a menudo envolver una combinación de elementos. Cualquier elemento magnético individual típicamente experimenta fragmentación, fusión, elongación,
rotación y dividiéndose dentro de elementos más peque nos y fusionandose de varios elementos dentro de uno más grande. El comportamiento observado del campo magnético fotósferico a peque na escala
es de tal manera similar al enrollamiento y entrenzado propuesto por
Parker (1972, 1985), aunque con el enrollamiento adicional de elementos magnético individuales, los cuales pueden dividirse e intercombinarse con otros a nivel fotósferico. Esto es exactamente lo requerido
en el modelo de van Ballegooijen (1985, 1986), el cual coloca discontinuidades iniciales a nivel fotósferico.
Un modelo que explica la formación coronal sin adición aun de calor local ha sido propuesto por Scudder (1992). La alta temperatura
coronal es explicada suponiendo que hay una significante alta velocidad no térmica, para la distribución de velocidad particular en la
región de transición. El incremento de temperatura con la altitud es
entonces debida por una velocidad de filtración, en la cual las partículas con velocidad más alta, son capaces de extenderse más allá, por
encima de la superficie solar. Aunque este modelo ha sido considerado improbable por muchos investigadores solares, Scudder (1994)
predice en base a este modelo, que una distribución de velocidad
puede ser observada para partículas coronales, y Kohl et al. (1996),
reporto altas temperaturas cinéticas de protones a una altura de varios radios solares, usando las observaciones UVCS de Spartan-201.
Actualmente los experimento UVCS a bordo de SoHO tienen reportadas temperaturas efectivas de 108 K para iones de O VI. Sin Embargo,
todavía hay muchas posibles interpretaciones de estos datos por lo
cual es difícil decidir para estar en contra de uno de estos modelos
de calentamiento.
Parte IV
S O L A R A N D H E L I O S P H E R I C O B S E R VAT O R Y
4
S O L A R A N D H E L I O S P H E R I C O B S E R VAT O R Y
El proyecto Solar and Heliospheric Observatory (SoHO) fue llevando a cabo por la European Space Agency (ESA) y la US National
Aeronautics and Space Administration (NASA) como un esfuerzo
cooperativo entre las dos agencias para la contrucción del Solar Terrestrial Science Program (STSP), y el International Solar Terrestrial
Physics Program (ISTP).
4.1
soho
El satélite SoHO fue dise nado para estudiar la estructura interna
del Sol, su atmósfera exterior, el viento solar, y los chorros de gas
ionizado que van continuamente al exterior a través del sistema solar.
Su legado puede permitirle a los científicos resolver algunos de los
enigmas sobre el Sol, incluso el calentamiento de la Corona solar.
El satélite se lanzó el 2 de diciembre de 1995. SoHO se construyó en Europa por una compa nía industrial llamada MATRA, y los
instrumentos fueron proporcionados por cientifícos europeos y americanos. La NASA fue responsable del lanzamiento y funcionamiento
de la misión.
Dado que SoHO fue dise nado para observar el Sol continuamente,
fue puesto en una órbita alrededor del punto Lagrangiano L1 (debido
a que todas las observaciones solares que tienen órbitas alrededor del
la Tierra son periódicamente interrumpidas por eclipses de Sol producidos por nuestro planeta). En la Figura 4.1, se muestra la órbita
esquemática del satélite alrededor del punto Lagrangiano L1.
SoHO es operado desde el Goddard Space Flight Center (GSFC) en
Greenbelt, Maryland (EUA). Sus datos son recuperados por la NASA
Deep Space Network (DSN) y reenviados a la Experimenters Operations Facility (EOF) localizada en GSFC. SoHO envía los datos a 40
kilobits/s, que pueden transmitirse continuamente a las estaciones
del DSN de Goldstone (EUA), Canberra (Australia) y Madrid (Espa na), cuando cada uno sea visible a SoHO, debido a la rotación
diaria de la Tierra. Cuando se necesita un mayor envío se los datos
se utiliza telemetría en tiempo real, que puede enviar los datos a 200
85
86
solar and heliospheric observatory
Figura 22: Orbita de SoHO alrededor del Punto Lagrangiano L1.
kilobits/s.
SoHO se compone de dos módulos, el módulo de servicio, que forma la parte baja del satélite y proporciona la energía, el apuntado de
las fuentes y las telecomunicaciones, y el módulo de Payload donde
se alojan todos los instrumentos científicos.
4.1.1 Instrumentos de SOHO
Esta es una lista sobre los instrumentos y equipos que los construyeron y operan:
CDS (Coronal Diagnostics Spectrometer), por el Rutherford Appleton Laboratory en el Reino Unido y el GSFC en EUA.
CELIAS (Charge, Element, and Isotope Analysis System), por la
University Bern en Suiza.
COSTEP (Comprehensive Supra thermal and Energetic Particle
Analyzer), por la University of Kiel en Alemania.
EIT (Extreme ultraviolet Imaging Telescope), por el GSFC en EUA.
4.1 soho
87
ERNE (Energetic and Relativistic Nuclei and Electron experiment),
por la University of Turkey en Finlandia.
GOLF (Global Oscillations at Low Frequencies), por el Institute of
the Astrophysics Spatial en Francia.
LASCO (Large Angle and Spectrometric Coronagraph), por el Naval Research Laboratory en EUA y el Max-Planck Institute of the Astronomy en Alemania.
MDI/SOI (Michelson Doppler Imager/Solar Oscillations Investigation), por la Stanford University en EUA.
SUMER (Solar Ultraviolet Measurements of Emitted Radiation) por
el GSFC en EUA y el Max-Planck Institute of the Astronomy en Alemania.
SWAN (Solar Wind Anisotropies), por el Service of the Astronomy
en Francia.
UVCS (Ultraviolet Coronagraph Spectrometer), por el Harvard-Smithsonian
Center for Astrophysics en EUA.
VIRGO (Variability of Solar Irradiance and Gravity Oscillations)
por el ESTEC.
La Figura 4.2 muestra la posición de los instrumentos en SoHO.
Cada instrumento está encargado de estudiar una región del Sol en
particular:
4.1.1.1 El interior solar
Los instrumentos GOLF y VIRGO realizan observaciones continuas
de las oscilaciones del disco solar. De esta manera, se obtiene información sobre el núcleo solar. El instrumento SOI/MDI mide oscilaciones
en la superficie del Sol con una alta resolución angular y también realiza mediciones del campo magnético por desplazamientos Doppler.
Esto permitirá obtener información precisa sobre la zona de la transmisión de la energía del Sol, es decir la capa externa del interior solar.
4.1.1.2 La atmósfera solar
Los instrumentos SUMER, CDS, EIT, UVCS, y LASCO constituyen
una combinación de telescopios, espectrómetros y coronógrafos que
88
solar and heliospheric observatory
Figura 23: Diagrama de SoHO mostrando la localización de todos instrumentos a bordo.
observan la atmósfera caliente del Sol, es decir la Corona. Los instrumentos SUMER, CDS y EIT tienen la capacidad de observar la Corona
interna. Los instrumentos UVCS y LASCO observan tanto la Corona
interna como la externa. Estos instrumentos permiten obtener medidas de la temperatura, densidad, composición química y velocidades
en la Corona, y siguen la evolución de las estructuras coronales con
una alta resolución.
4.1.1.3
El viento solar
Los instrumentos CELIAS, COSTEP y ERNE analizan la composición de iones del viento solar, y la composición de partículas generadas por el Sol. El SWAN hace mapas de la densidad de hidrógeno a
una distancia de diez diámetros solares de la Fotósfera. El SWAN es
sensible a una longitud de onda particular del hidrógeno, permitiendo medir la estructura de los vientos solares.
4.2
sumer
SUMER es un telescopio para el UV que se dise nó, y se construyó
en cooperación internacional entre el Max-Planck Institut Aeronomie
(MPAe) y el GSFC desde 1987 a 1995. SUMER se encarga de estudiar
4.2 sumer
la atmósfera solar, la temperatura del plasma, su densidad y características de flujos. Además permite estudiar estructuras complejas,
como las regiones activas, prominencias, arcos magnéticos, puntos
brillantes, y eventos explosivos y turbulentos, que influyen en la estructura de la atmósfera.
Específicamente, SUMER mide los perfiles e intensidades en el extremo ultravioleta (EUV) de líneas que se emiten en la atmósfera solar;
determinando ensanchamientos de la línea, posiciones espectrales y
corrimientos Doppler con una alta precisión, que van desde la alta
Cromósfera a la baja Corona; proporcionando imágenes de áreas seleccionadas del Sol con una alta resolución espacial, temporal y espectral. También puede obtener imágenes completas del Sol en diferentes
líneas, que corresponden a un rango de temperatura que va desde 10
000 a 2 000 000 K.
El telescopio consta de un espejo parabólico, el apuntado y rastreo
de la fuente es realizado por un mecanismo del espejo, el cual hace
un rastreo bidimensional de ± 32 arcmin, cada paso es equivalente
a 0.76 arcsec. La compensación de la rotación puede ser empleada
sin restricción, pero en algunos casos no es necesario debido al corto
tiempo de la observación. Dada la incidencia normal del espectrógrafo con la rejilla en una montura Wadsworth, los rastreos pueden ser
realizados en 21 s, en un rango de longitud de onda de 500 a 1610 Å.
Los detectores contienen una placas bidimensionales con dos tipos de
fotocátodos, los de KBr y los bare microchannel plate (bare MCP). La
resolución espacial es de 1.2 a 1.5 arcsec, el tama no del pixel corresponde de aproximadamente 1 arcsec. La resolución espectral λ/dλ =
19 000 a 40 000, donde dλ corresponde al tama no del pixel. Las velocidades Doppler pueden medirse por debajo de 1 km/s.
El dise no óptico se muestra en la Figura 4.3; consta de dos espejos
parabólicos, un espejo plano y una rejilla esférica, hechos de carburo
de silicio. El primer telescopio parábolico refleja el Sol en la rendija de
entrada del espectrómetro. El segundo espejo colima el haz que pasa
por la rendija. Este haz es desviado por el espejo plano hacia la rejilla.
Los detectores localizados en el plano focal de la rejilla, registran las
imágenes monocromáticas.
89
90
solar and heliospheric observatory
Figura 24: Dise no óptico de SUMER.
4.2 sumer
4.2.1 El dise no óptico en números
4.2.1.1 El Telescopio:
Distancia focal 1302.77 mm a 75o C
Angulo fuera del eje 4.5o
número-f 10.67
Escala de placa en el plano de la rendija 6.316 µm/arcsec
Campo de visión 64 × 64 arcmin2
4.2.1.2 Las rendijas:
1 × 300,
1 × 120,
0.3 × 120,
4 × 300 arcsec2
4.2.1.3 El Espectrómetro:
Rangos de longitud de onda
Detector A 390 - 805 Å (2do orden)
780 - 1610 Å (1er orden)
Detector B 330 - 750 Å (2do orden)
660 - 1500 Å (1er orden)
Distancia focal del colimador 399.60 mm
Angulo Fuera del eje 7o
Radio de la rejilla 3200.78 mm
Líneas del grating 3600.42 lines/mm
Factor de amplificación 4.092 a 800 Å
en el plano del detector 4.407 a 1600 Å
4.2.1.4 Los Detectores:
Tama no del arreglo, 1024 (espectral) × 360 (espacial) pixeles
Tama no del pixel 26.5 × 26.5 µm2
Escala angular 1.03 arcsec/pix a 800 Å
0.95 arcsec/pix a 1600 Å
Escala espectral 22.3 mÅ/pix a 500 Å(2do orden)
21.0 mÅ/pix a 800 Å
45.2 mÅ/pix a 800 Å (1er orden)
41.9 mÅ/pix a 1600 Å
91
92
solar and heliospheric observatory
4.2.2
Telemetría de los datos desde SUMER
Existen dos maneras de recuperar datos de SUMER de la telemetría
original. Una es que los archivos FITS que se producen de la telemetría en tiempo real se reelaboran subsiguientemente de CD-ROMS de
calibración, y la otra es la restauración de los archivos de datos por
IDL. La calidad será finalmente la misma, excepto por peque nas diferencias que existen en la información del encabezado. Los archivos
FITS se almacenan en los archivos de SoHO en GSFC, mientras los
restaurados por IDL son archivados en la máquina LINSU1 en MPAe
(en Alemania) donde los datos se guardan en CD-ROM. Estos datos
son almacenados en archivos binarios.
Cada imagen tomada por SUMER y restaurada, contiene un encabezado de la imagen (HEADER_DATA) y la imagen forma un arreglo
de datos (IMAGE_DATA) los cuales pueden restaurarse como variables dentro de IDL. Ambos tipos de datos, los archivos FITS y los
archivos restaurados, no están calibrados o convertidos a unidades físicas, ni corregidos por las limitaciones del hardware del instrumento
de SUMER.
Cuando los archivos restaurados son utilizados, las imágenes pueden desplegarse desde la variable IMAGE_DATA. La información del
encabezado puede leerse desde la variable HEADER DATA aplicando varias funciones (* .PRO) para cada punto de los datos.
4.2.3 Correcciones y Calibraciones
La aplicación de varias correcciones y procedimientos de la calibración tienen que seguir un cierto orden. El primer encuentro de la
radiación solar con el instrumento tiene un efecto en el rendimiento
final, que ocurre en la apertura, seguido por la reflexión del espejo primario, la rendija, etc. Hasta la respuesta global del detector y
el tama no promedio del pixel. El programa de calibración, radiometry.pro, tiene cuidado de todos estos efectos instrumentales.
Luego, los fotocátodos no lineales del CCD entran en juego. Su
corrección será hecha por el programa de campos planos, sum flatfield.pro. Las altas cuentas en algunos pixeles causan una saturación
del CCD que puede corregirse por el programa local gain corr.pro. La
siguiente lista nos indican en detalle las calibraciones y correcciones
a realizar:
4.2 sumer
4.2.3.1 Descompresión
La intensidad del arreglo de datos de la imagen es comprimido a
bordo del satélite. Por lo que una descompresión es necesaria. La rutina DECOMPRESSION.PRO es usada para determinar los parámetros
del tipo de compresión y luego entonces podemos descomprimir las
imágenes.
4.2.3.2 Reversión
En cualquiera de los dos detectores, la longitud de onda más alta está en el pixel 0, y la más baja en el pixel 1023; la longitud de
onda se declara en el encabezado del archivo y se sitúa el pixel de referencia PIXPOS(HEADER_DATA). Por consiguiente, las longitudes
de onda están descendiendo de izquierda a derecha. Por compatibilidad con las convenciones de SoHO y las rutinas de corrección de
imagen siguientes, las imágenes deben invertirse. Para colocar los
datos en esta orientación se usa la rutina siguiente, la rutina IMAGE_DATA=REVERSE(IMAGE_DATA). La rutina DECOMP_R.PRO hace la descompresión y la inversión de varios archivos en un directorio. Debido a la posición final de observación de SoHO, la dirección
norte-sur de SUMER se encuentra invertida con respecto a la dirección norte-sur del Sol. Así que lo que vemos .arriba"del CCD es el sur
del Sol, por lo que se realiza un cambio de orientación del norte y el
sur en las imágenes.
4.2.3.3 Campos Planos
La cuentas del detector son corregidas por una matriz de corrección
de campos planos. Varias matrices de correcciones de campos planos
están disponibles en los directorios de calibración. El patrón de campos planos cambia ligeramente con el tiempo debido al cambio de la
ganancia del CCD con el uso.
4.2.3.4 Distorsión
La imagen del detector se encuentra distorsionada por efectos de
la dispersión y necesita una corrección geométrica tal que la posición de referencia del perfil de la línea se situé en el pixel espectral
correcto. Además, debido a una diferencia en la orientación del dispersor y el detector, las líneas espectrales están inclinadas con respecto a las líneas verticales del detector. Para esto se usa la rutina
DESTR_BILIN.PRO para corregir la distorsión geométrica de la imagen y la inclinación de las líneas.
93
94
solar and heliospheric observatory
4.2.3.5
Saturación Local
El conteo local promedio en una línea espectral puede ser tan alto,
tal que la saturación local del detector reduce su eficiencia. En este caso una corrección de saturación puede aplicarse: LOCAL_GAIN_CORR.PRO.
4.2.3.6
Radiometría
La intensidad detectada se da en cuentas por el pixel en un intervalo tiempo. Una calibración radiométrica convierte estas cuentas a
unidades físicas.
4.2.4 Calibración Radiométrica Absoluta
La calibración radiométrica del espectrógrafo SUMER se realizó
por primera vez en el laboratorio de MPAe. Después la calibración
fue refinada en órbita con la observación de estrellas estándar y se
supervisaron las estabilidades de ambos detectores durante su fase
operacional. Por tanto, el espectrógafo fue supervisado continuamente hasta antes de la pérdida de actividad de SoHO (de aproximadamente dos meses) en junio de 1998. Después de esto, se encontró una
pérdida de respuesta del 43 % (en promedio).
Basados en estos resultados, se derivaron curvas de calibración para ambos fotocátodos, el KBr y el bare MCP, respectivamente. Las
curvas de respuesta utilizadas en la calibración de los datos usados
se muestran en la Figura 4.4, las cuales muestran la longitud de onda
en unidades de nm, mientras que la rutina RADIOMETRY.PRO trabaja en Angstrom (Å).
Después de la recuperación del SoHO, la calibración del detector A
no requirió de correcciones (por lo menos hasta antes de la pérdida
de actividad en el a no de 1998). Después de la pérdida, la calibración sí requirió correcciones. Así que en la calibración de los datos
debe aplicarse la más reciente calibración. La curva de respuesta del
detector B tiene una historia ligeramente diferente. El detector B se
usó primero en dos ocasiones (en febrero y agosto de 1996) principalmente para calibración. Después se decidió usar el detector B para las
observaciones científicas a partir del 24 de septiembre de 1996.
Desde entonces las curvas de respuesta de los detectores A y B
en primer y segundo orden para ambos fotocátodos han sido puestas al día como se requiere. El programa que convierte las cuentas
de SUMER (cuentas/s/pix) en unidades físicas (W sr−1 m−2 Å−1 ) es
4.2 sumer
Figura 25: Curvas de Respuesta para ambos fotocátodos y ambos órdenes.
95
96
solar and heliospheric observatory
una rutina de IDL cuyo nombre es RADIOMETRY.PRO. El programa
contiene comentarios que explican lo que se necesita como entrada y
como puede llamársele dentro de IDL.
El programa en IDL requiere de varios archivos que contienen
las curvas de calibración. Estos archivos se pueden obtener vía FTP
a linsu2.mpae.gwdg.de dentro del directorio de SOHO/SUMER. Si
usted quiere ejecutar la más reciente calibración, sólo los archivos
*_4_99.RST se requieren para el detector A y *_5_99.RST para el detector B. Pueden usarse varias etiquetas para controlar la función, su
entrada y parámetros de rendimiento.
Estas son:
Etiquetas de entrada:
bare - los datos en la parte del bare del detector
KBr - Default
Px - Default
Línea
Sun line
arcsec
det_a - (Detector A) Default
det_b - (Detector B)
Epoch x - Default (reciente calibración)
antes de después de - la pérdida de actividad
Etiquetas de rendimiento:
Watts - Default
Fotones Parámetros de la entrada:
1. Rendija (ancho y longitud en arcsec)
Número de rendija
1: anchura de 4.122 ± 0.5 %
2: anchura de 0.986 ± 1.6 %
3 - 5: anchura de 0.993 ± 1.6 %
6 - 8: anchura de 0.278 ± 4.5 %
4.3 mdi
1: longitud de 299.2 ± 0.3 %
2: longitud de 299.2 ± 0.3 %
3 - 5: longitud de 119.6 ± 0.5 %
6 - 8: longitud de 119.6 ± 0.5 %
2. Longitud de onda en Angstrom
3. Orden de difracción
4. Número de cuentas
rate spec en cuentas/(s px spat px spec)
(Defautl)
rate line en cuentas/(s px spat line)
(Etiqueta LINEAN)
rate mean (promedio) en cuentas/(s arcsec2 line)
(Etiqueta ARCSEC)
Salida:
(Default) en W/(m2 sr Å)
o en W/(m2 sr línea)
(Etiqueta FOTONES) en photon/(s m2 sr Å)
o en photon/(s m2 sr línea)
4.3
mdi
MDI es un proyecto del Stanford-Lockheed Institute para la investigación espacial y junto con la Solar Oscillations Investigation (SOI)
fueron creados en el Laboratorio de Física Experimental de la Universidad de Stanford. Los proyectos SOI y MDI forman una colaboración
internacional para estudiar la estructura interior y dinámica del Sol.
El Michelson Doppler Imager es capaz de crear una amplia gama
de observaciones dentro de los constricciones impuestas por el dise no del instrumento, a través de la disponibilidad de la telemetría,
y por los límites asociados con el funcionamiento de los programas
de observación.
MDI puede registrar la intensidad en cada pixel de la cámara CCD
(1024 × 1024 pixeles) durante una exposición mayor a 3 s. Cada exposición puede hacerse con la selección de los parámetros siguientes:
97
98
solar and heliospheric observatory
4.3.1 Banda de longitud de onda
El centro de banda puede cambiarse en pasos de aproximadamente
8 mÅsobre un rango de 377 mÅ, centrado en la línea fotosférica de
absorción NiI a 6767.8 Å. El ancho de banda es de 94 mÅ.
4.3.2 Polarización
La luz incidente puede ser registrada en cualquiera de los cuatro
estados de polarización: onda s, onda p, circular derecha y izquierda.
4.3.3 Filtros
Los filtros individuales generalmente no son de mucho interés; porque el ancho de banda de la telemetría limita la cantidad de datos
que pueden recuperarse. Virtualmente todas los observaciones están
basadas en grupos múltiples de filtros. Todos estos grupos de filtros
involucran cinco longitudes de onda fijas, separadas por 75 mÅ, denotadas por I0, I1, I2, I3, y I4. Los filtros se combinan a bordo con un
procesador de imágenes secundario, dependiendo del tipo de observación.
4.3.4 Profundidad de la línea
La profundidad de la línea de absorción NiI se calcula como:
Idepth =
q
(2 · ((I1 − I3)2 + (I2 − I4)2 ))
La incertidumbre por pixel debida al ruido para una medida de un
minuto que involucra 20 filtros es 0.7 %.
4.3.5 Intensidad del continuo
La intensidad del continuo cerca de la línea de absorción NiI se
calcula a partir de cinco filtros estándar según la ecuación:
Icont = 2 · I0 + Idepth /2 + (I1 + I2 + I3 + I4)/2
La incertidumbre por pixel para una medida de un minuto es del
0.3 %.
4.3 mdi
4.3.6
Corrimiento Doppler (Velocidad)
El corrimiento de Doppler se calcula como una función casi lineal
a partir de las razones de diferencias de los filtros:
(I1 + I2 − I3 − I4) / (I1Γ I3)
(I1 + I2 − I3 − I4) / (I4Γ I2)
La incertidumbre por pixel para una medida de un minuto es de
20 m/s.
4.3.7 Desdoblamiento Zeeman
El desdoblamiento Zeeman se determinaa partir de la diferencia
entre los corrimientos Doppler calculando separadamente la luz polarizada circular derecha e izquierda que pasa a través de los filtros.
La incertidumbre por pixel para una medida de dos minutos es de 20
gauss. De esta manera se realizan los magnetogramas solares.
99
Parte V
R E S U LTA D O S O B S E R VA C I O N A L E S
5
R E S U LTA D O S O B S E R VA C I O N A L E S
5.1
datos observacionales
Los datos tomados por SUMER y MDI ambos a bordo de SoHO,
los días 14, 15 y 16 de noviembre de 1996 fueron proporcionados por
el Dr. Wilhelm K. del Instituto Max Planck.
La resolución espacial en la dirección Norte-Sur (NS) de la rendija,
en todos los casos, es de 1" mientras que en la dirección Este-Oeste depende del ancho del campo de visión de la rendija usada (ver Tabla
5.1). A la distancia a la que se encontraba SoHO durante las observaciones el radio del Sol es de 980" (por lo que 1" = 715 km). Las
posiciones de la rendija también se dan en la Tabla 5.1 y en la Figura
5.1 se muestra un magnetograma en el que se denota la posición de la
rendija (las coordenadas x, y del centro de la rendija con referencia al
centro del Sol son 0, 810" ). En la Tabla 5.1, se muestra el intervalo de
tiempo (TU) de la observación, el tiempo de integración, la posición
(x, y) de la rendija y el campo de visión. Todas las imágenes obtenidas de las observaciones tienen un tama no de 360 × 1024 pixeles
(los 360 pixeles los llamaremos pixeles espaciales y a los 1024 pixeles
espectrales). La Figura 5.2 muestra una de estas observaciones.
La resolución espectral es de ∼ 0.045 Å/pixel en todas las observaciones las cuales cubrieron un rango de 749 a 789 Å. Los datos
originales fueron decodificados y calibrados usando programas de
Wilhelm & Lemaire (1997), como se describió en el capítulo anterior.
5.2
líneas detectadas en las observaciones
En la Tabla 5.2, se muestra una lista de líneas de emisión en el rango de 749 a 789 Å. Estas líneas son observadas en la Cromósfera y la
región de transición solar. Las columnas 1-6 de la Tabla 5.2 corresponden respectivamente a: columna 1: la longitud de onda observada de
las líneas; columna 2: la longitud de onda encontrada en la literatura
(Feldman et al. 1997 y Mendoza-Torres & Wilhelm 2000, enviado a
A&A); columna 3: la especie iónica; columna 4-5: niveles de transición; y la columna 6: temperatura de máxima abundancia iónica.
103
104
resultados observacionales
Figura 26: La figura muestra el magnetograma solar hecho por el MDI, en
el cual se observan regiones activas cerca del ecuador solar, así
como también la posición de la rendija sobre una región quieta
del disco solar.
5.2 líneas detectadas en las observaciones
105
Tabla 2: Bitácora Observaciones
No.
Tiempo (TU)
Tiempo de
Y(SUMER)
Z(SUMER)
Rendija
HH:MM:SS
Integración (s)
=X(SUN)
=-Y(SUN)
"
Para el día 14 de Noviembre
0- 2
11:58:31-12:08:31
300
0
810
1 × 300
3-15
12:13:48-12:19:48
30
0
810
4 × 300
16-28
12:20:34-14:14:34
570
0
810
1 × 300
29-31
14:25:09-14:35:09
300
0
560.25
1 × 300
32-38
14:40:25-14:43:25
30
0
560.25
4 × 300
39-45
14:44:11-15:41:11
570
0
560.25
1 × 300
Para el día 15 de Noviembre
0- 2
11:49:40-11:59:40
300
0
-810
1 × 300
3-15
12:04:57-12:10:57
30
0
-810
4 × 300
16-28
12:11:43-14:05:43
570
0
-810
1 × 300
Para el día 16 de Noviembre
0- 2
6:32:56- 6:42:56
300
0
-560.25
1 × 300
3-15
6:48:11- 6:54:11
30
0
-560.25
4 × 300
16-28
6:54:58- 8:48:58
570
0
-560.25
1 × 300
29-31
8:59:27- 9:09:27
300
0
-560.25
1 × 300
32-44
9:14:43- 9:20:13
30
0
-560.25
4 × 300
45-57
9:21:30-11:15:30
570
0
-560.25
1 × 300
58-60
11:25:58-11:35:58
300
0
-560.25
1 × 300
61-73
11:41:15-11:47:16
30
0
-560.25
4 × 300
74-86
11:48:02-13:42:02
570
0
-560.25
1 × 300
106
resultados observacionales
Figura 27: La figura muestra el espectro ultravioleta obtenido en una observacion por SUMER, indicando las líneas más intensas.
5.2 líneas detectadas en las observaciones
107
Tabla 3: Líneas Observadas en el rango de longitud de onda de 749 a 789 *A
con sus temperaturas de máxima abundancia.
Longitud de Onda (Å)
Línea
Transición
Temperatura
Tmax (K)
λobs
λlit
750.225
750.225
S IV
3s2 3p2 P3/2
-
3s3p2 2 P3/2
753.740
753.762
S IV
3s2 3p2 P3/2
-
3s3p2 2 P1/2
758.678
758.678
OV
2s2p3 P1
-
2p2 3 P2
759.441
759.441
OV
2s2p3 P0
-
2p2 3 P1
760.230
760.228
OV
2s2p3 P1
-
2p2 3 P1
760.450
760.445
OV
2s2p3 P2
-
2p2 3 P2
761.240
761.120
OV
2s2p3 P1
-
2p2 3 P0
762.020
762.003
OV
2s2p3 P2
-
2p2 3 P1
762.660
762.660
Mg VIII
2s2 2p2 P1/2
-
2s2p2 4 P3/2
7.9 · 105
763.340
763.340
N III
2s2 2p2 P1/2
-
2s2p2 2 S1/2
8.1 · 104
764.390
764.357
N III
2s2 2p2 P3/2
-
2s2p2 2 S1/2
765.170
765.148
N IV
2s2 1 S0
-
2s2p1 P1
1.5 · 105
769.390
769.360
Mg VIII
2s2 2p2 P1/2
-
2s2p2 4 P1/2
7.9 · 105
770.409
770.409
Ne VIII
2s2 2S1/2
-
2p2 P3/2
6.3 · 105
771.870
771.901
N III
2s2 2p4 P3/2
-
2p3 4 S3/2
8.1 · 104
772.220
S VIII
2p4 3s4 P1/2
-
2p4 3p4 S3/2
7.8 · 105
772.280
772.280
Mg VIII
2s2 2p2 P3/2
-
2s2p2 4 P5/2
7.9 · 105
774.530
774.518
OV
2s2p1 P1
-
2p2 1 S0
2.4 · 105
775.410
-
?
775.990
775.965
N II
2s2 2p2 1 D2
-
2s2p2 1 D2
2.8 · 104
776.240
776.370
SX
2s2 2p3 4 S3/2
-
2s2 2p3 2 P3/2
1.4 · 106
779.920
779.912
O IV
2s2p2 2 D5/2
-
2p3 2 D5/2
1.7 · 105
779.970
779.997
O IV
2s2p2 2 D3/2
-
2p3 2 D5/2
780.324
780.324
Ne VIII
2s2 S1/2
-
2p2 P1/2
6.3 · 105
782.320
782.290
Mg VIII
2s2 2p2 P3/2
-
2s2p2 4 P3/2
7.9 · 105
782.910
782.920
S XI
2s2 2p2 3 P1
-
2s2 2p2 1 S0
1.7 · 106
786.470
786.470
SV
3s2 1 S0
-
3s3p1 P1
1.5 · 105
787.740
787.720
O IV
2s2 2p2 P1/2
-
2s2p2 D3/2
1.7 · 105
790.109
O IV
2s2 2p2 P372
-
2s2p2 D3/2
790.199
O IV
2s2 2p2 P1/2
-
2s2p2 D5/2
790.170
8.0 · 104
2.4 · 105
108
resultados observacionales
Los datos obtenidos por SUMER, en particular hacia los extremos
de la rendija con tienen distorsiones espaciales en el detector (ver Wilhelm & Lemaire 1995). Por lo que las longitudes de onda observadas
fueron tomadas de reportes de las líneas por SUMER. Las líneas que
se analizaron fueron aquellas que mostraron una variación en su intensidad respecto al tiempo. Estas líneas se encuentran en el rango
de temperatura de 0.8 a 6.3 × 105 K. La Tabla 5.3, muestra las especies iónicas seleccionadas (cuyas líneas fueron las más intensas) para
los tres días de observación, su longitud de onda, el pixel espectral
promedio de referencia, la desviación estándar del pixel espectral de
referencia, su ancho equivalente promedio, y la desviación estándar
del ancho equivalente promedio, respectivamente.
Dado que los valores de referencia fueron determinados a partir
de la observación de las líneas en regiones quietas del Sol, sus perfiles se acercaban a la forma de una gaussiana. Por lo que se ajustaron gaussianas a todas las líneas seleccionadas. Las posiciones de
los pixeles espectral de referencia, fueron determinados a partir de la
posición central del ajuste de las gaussianas. Una vez determinadas
estas posiciones se encontró el promedio y su desviación estándar de
la posición espectral de referencia. Los anchos equivalentes promedio se obtuvieron también a partir de las mediciones de los anchos
equivalentes de las gaussianas. Con estas mediciones determinamos
un ancho equivalente promedio y su respectiva desviación estándar.
5.3
análisis de las observaciones
5.3.1 Estudio de Eventos Explosivos
Uno de los objetivos de esta tesis es poder ver si los eventos explosivos se producen preferentemente a una cierta altura sobre la Fotósfera
solar. Una forma de poder determinar esta altura, es encontrando los
inicios de aumento de la emisión para los diferentes iones seleccionados.
Los perfiles de las líneas en regiones de actividad solar se alejaban
de la forma de una gaussiana, por lo que su intensidad fue determinada por la integración de pixel por pixel de la línea, su ancho
equivalente fue determinado por el ancho a potencia media de la línea y su posición fue determinada por el ajuste de una gaussiana.
Para realizar este análisis estudiamos la evolución de la intensidad
para las diferentes líneas seleccionadas. Determinamos los tiempos
en que esta intensidad llegaba a ser de tres y de cinco veces σ (donde
sigma es la desviación estándar de la líneas en intensidad encontrada
5.3 análisis de las observaciones
109
Tabla 4: Referencia de las Líneas en Regiones Quietas.
Línea
λobs
(Å)
Temperatura
(105
K)
Espectral
Pixel de
Desviación
Ancho
Desviación
Referencia
Estándar
Equiv.
Estándar
(pixeles)
(pixeles)
(pixeles)
Para el día 14 de Noviembre
SIV
750.225
0.8
77
0.27
4.07
0.27
OV
760.450
2.4
310
0.22
5.94
0.30
NIV
765.170
1.5
415
0.20
5.42
0.30
NeVIII
770.409
6.3
532
0.24
5.59
0.29
NeVIII
780.324
6.3
753
0.23
5.47
0.30
SV
786.470
1.5
892
0.20
5.49
0.21
OIV
787.740
1.7
919
0.23
5.31
0.22
Para el día 15 de Noviembre
SIV
750.225
0.8
76
0.16
4.57
0.27
OV
760.450
2.4
309
0.12
5.91
0.24
NIV
765.170
1.5
415
0.17
5.53
0.24
NeVIII
770.409
6.3
532
0.15
5.56
0.27
NeVIII
780.324
6.3
752
0.23
5.52
0.29
SV
786.470
1.5
891
0.20
5.59
0.27
OIV
787.740
1.7
919
0.18
5.49
0.23
Para el día 16 de Noviembre
SIV
750.225
0.8
76
0.32
4.37
0.26
OV
760.450
2.4
309
0.28
5.97
0.27
NIV
765.170
1.5
414
0.34
5.59
0.29
NeVIII
770.409
6.3
531
0.33
5.48
0.27
NeVIII
780.324
6.3
752
0.36
5.44
0.26
SV
786.470
1.5
891
0.48
5.59
0.25
OIV
787.740
1.7
918
0.37
5.69
0.26
110
resultados observacionales
en las regiones quietas del Sol). Una vez encontrados estos tiempos
de llegada para las diferentes especies iónicas, los normalizamos a
un tiempo inicial t = 0, el cual corresponde al tiempo de llegada de
la primera especie iónica a tres sigma. Los tiempos de llegada de las
restantes especies iónicas se toman con respecto al tiempo de inicio
t = 0. El resultado de este análisis es graficado en unos histogramas
de dos dimensiones (2D), donde en el eje X tenemos el tiempo de
llegada con respecto al tiempo t = 0 y en el eje Y tenemos la temperatura de máxima abundancia. Los histogramas son representados
en contorno, donde sus niveles nos indican la ocurrencia de eventos
explosivos.
Este mismo análisis se realizó para el ancho equivalente y para el
desplazamiento Doppler, donde sigma son las desviaciones estándar
dadas en la Tabla 5.3. Para el caso del desplazamiento Doppler se
tomaron los tiempos de llegada a tres y cinco sigma, tanto para los
corrimientos al azul como para el rojo. Al igual que en el caso de intensidad se graficaron los histogramas de 2D. Estos procedimientos
se realizaron para los tres diferentes días de observación, con tiempos
de integración de 30 y 570 segundos. Dado que los histogramas de
dos dimensiones para los tres días tienen la misma forma sólo mostraremos los del día 16 de noviembre.
Del análisis descrito anteriormente encontramos que todos los contornos de los histogramas de 2D para la intensidad tienen el máximo
de número de eventos a una temperatura de 1.5 × 105 K. La Figura
5.3, muestra el contorno promedio de todos los histogramas de 2D de
intensidad obtenidos para el día 16 de noviembre para tres y cinco
sigma con un tiempo de integración de 30 s. En el caso de tres sigma, la Figura 5.3 muestra el máximo a la temperatura de 1.5 × 105
K, mientras que los iones de temperatura de 6.3 × 105 K registran
un retraso de una unidad de tiempo. Para el caso de cinco sigma, la
Figura 5.3 muestra el máximo a la misma temperatura de 1.5 × 105 K
que en tres sigma.
La Figura 5.4, corresponde a los contornos promedios de los histogramas de 2D del día 16 de noviembre para un tiempo de integración
de 570 s. En esta figura podemos observar que el máximo se encuentra a una temperatura de 1:5 × 105 K igual que en el caso de 30 s.
Una vez más observamos un retraso de una unidad de tiempo a la
temperatura de 6.3 × 105 K.
En el ancho equivalente, todos los contornos de los histogramas en
2D muestran dos máximos a temperaturas de 1.5 y 6.3 × 105 K. Estos
5.3 análisis de las observaciones
Figura 28: Los contornos muestran el número de eventos explosivos en intensidad, registrados para las diferentes temperaturas de máxima
abundancia con respecto al tiempo de llegada a tres y cinco sigma, con un tiempo de integración de 30 s. Los niveles indican el
número de eventos registrados, para tres sigma son: 6, 9, 12, 15,
y 18; y para cinco sigma son: 4, 6, y 8.
111
112
resultados observacionales
Figura 29: El contorno muestra el número de eventos explosivos registrados, para diferentes temperaturas de máxima abundancia con
respecto al tiempo de llegada para tres sigma, con un tiempo
de integración de 570 s. Los niveles indican el número de eventos
registrados, para tres sigma son: 2, 6, 10, 14, 18, y 22.
5.3 análisis de las observaciones
Figura 30: Los contornos muestran el número de eventos explosivos para el
ancho equivalente, registrados para las diferentes temperaturas
de máxima abundancia con respecto al tiempo de llegada a tres
y cinco sigma, con un tiempo de integración de 30 s. Los niveles
indican el número de eventos registrados, para tres sigma son: 7,
10, 13, 16, 19, 22, y 25; y para cinco sigma son: 3, 6, 9, y 12.
máximos se registraron tanto para los tiempos de integración de 30 s
como para los de 570 s. La Figura 5.5, corresponde al promedio de los
contornos del día 16 de noviembre con un tiempo de integración de
30 s. En la figura se observa que el mayor número de eventos explosivos alcanzan primero los tres sigma a una temperatura de 6.3 × 105 K.
Otro máximo en el histograma de 2D se registró a una temperatura
de 1.5 × 105 K. También se observa un mínimo a una temperatura
intermedia de 1.7 × 105 K. Esto se observa tanto para tres como para
cinco sigma. A diferencia de la intensidad, no existe retraso alguno
en el tiempo de llegada de tres o cinco sigma.
En el desplazamiento Doppler, todos los contornos de los histogramas de 2D muestran dos máximos a temperaturas de 1.5 y 6.3 × 105
113
114
resultados observacionales
K. Estos máximos se registraron tanto para los tiempos de integración
de 30 y 570 s. La Figura 5.6, corresponde a los contornos promedios
del día 16 de noviembre con un tiempo de integración de 30 s. La
figura muestra que el mayor número de eventos explosivos alcanzan
primero los tres sigma en su desplazamiento Doppler a una temperatura de 1.5 × 105 K, y otro máximo en el histograma de 2D se registra
a una temperatura de 6.3 × 105 K, mostrando un mínimo a una temperatura de 1.7 × 105 K. Esto se observa tanto para el caso de tres
como para el de cinco sigma. Los máximos a las temperaturas mencionadas no muestran ningún retraso en el tiempo uno con respecto
al otro.
5.3.2 Estudio de los Cocientes de Iones
El estudio de los cocientes entre las intensidades de los iones a lo
largo de un evento explosivo, nos permite saber la manera en la cual
varió la abundancia de un ion con respecto al otro, variación que es
debida a la diferente temperatura de máxima abundancia que tiene
cada especie iónica (descrita en la sección 2.13.2). Los cocientes a estudiar en un primer caso son aquellos entre distintos iones del mismo
elemento, I(OIVλ787.74)/I(OVλ760.45) y I(SIVλ750.225)/I(SVλ786.47).
En un segundo caso los cocientes de intensidad entre iones con temperaturas de máximas abundancias extremas, como I(SIVλ750.225)/I(NeVIIIλ780.324).
Por último, el caso de los cocientes de intensidad de iones de igual
temperatura de máxima abundancia como I(NIVλ765.17)/I(SVλ786.17)
y I(NeVIIIλ770.409)/I(NeVIIIλ780.324).
5.3.2.1 Caso I(OIVλ787.74)/I(OVλ760.45)
Los cocientes de I(OIVλ787.74)/I(OVλ760.45) obtenidos para todos
los eventos explosivos registrados muestran que el ion de menor grado de ionización O3+ , se produce más que el de mayor ionización.
Esto se observó tanto para los cocientes realizados con un tiempo de
integración de 30 s como de 570 s.
También se observa que el flujo de los iones aumenta aproximadamente de la misma forma como muestran las Figuras 5.7b y d. Otro
hecho observable es que el cociente muestra un aumento a lo largo
del evento explosivo. Este aumento es debido a que el incremento del
flujo es mayor para OIV(λ787.74) que para OV(λ760.45) como se observa en la Figura 5.7a.
5.3 análisis de las observaciones
Figura 31: Los contornos muestran el número eventos explosivos para el
desplazamiento Doppler registrados, para las diferentes temperaturas de máxima abundancia con respecto al tiempo de llegada
a tres y cinco sigma, con un tiempo de integración de 30 s. Los
niveles indican el número de eventos registrados, para tres sigma
son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, y 18; y para cinco sigma son: 2, 3, 4,
5, y 6.
115
116
resultados observacionales
Figura 32: Las figuras muestran dos ejemplos de eventos explosivos en (b) y
en (d) se muestra el flujo de los iones, los asteriscos indican cuando el flujo alcanzó los tres sigma, y en (a) y en (c) el resultado del
cociente de los iones, ambas figuras para el caso de 30 segundos.
La etiqueta NS indica la posición norte-sur del pixel espacial de
la observación.
En el único caso en que se registró un evento completo, observamos
que con el incremento de los flujos el cociente aumenta, pero después
del máximo del evento se observa una disminución en el cociente,
como se muestra en la Figura 5.7c.
5.3.2.2
Caso I(SIVλ750.225)/I(SVλ786.17)
En los cocientes de I(SIVλ750.225)/I(SVλ786.17), observamos que
en todos los eventos explosivos registrados el ion de menor grado de
ionización se produce más que el ion de mayor ionización. Esto se
observó para los dos diferentes tiempos de integración.
Para los dos tiempos de integración se observa que el flujo aumenta
aproximadamente de la misma forma para los dos diferentes grados
de ionización. Sin embargo, se observan diferencias locales en los
incrementos y decrementos a lo largo del aumento general del flujo
como muestra en la Figura 5.8b. El cociente en ambos tiempos de
integración, muestran un aumento debido a que el incremento del
flujo del ion SIV(λ750.225) es mayor que el del ion SV(λ786.47), ver
Figura 5.8a.
5.3 análisis de las observaciones
Figura 33: Las figuras muestran en (b) el flujo de los iones, los asteriscos indican cuándo el flujo alcanzó los tres sigma y en (a) el resultado
del cociente de los iones, ambas figuras para el caso de 30 segundos. La etiqueta NS indica la posición norte-sur del pixel espacial
de la observación.
117
118
resultados observacionales
Figura 34: Las figuras muestran en (b) el flujo de los iones, los asteriscos
indican cuando el flujo alcanzó los tres sigma y en (a) el resultado
del cociente de los iones. La etiqueta NS indica la posición nortesur del pixel espacial de la observación.
5.3.2.3
Caso I(SIVλ750.225)/I(NeVIIIλ780.324)
En los cocientes de I(SIVλ750.225)/I(NeVIIIλ780.324), observamos
que para todos los eventos registrados, el ion de NeVII(λ780.324) se
produce menos que el ion de SIV(λ750.225). Esto se observó tanto para los tiempos de integración de 30 s como para los de 570 s.
En ambos tiempos de integración, se observa que el flujo aumenta
de la misma forma para el SIV(λ750.225) y el NeVIII(λ780.324). Sin
embargo, se observan incrementos y decrementos debido a pérdidas
radiativas, a lo largo del aumento del flujo, ver Figura 5.9b.
También podemos observar que el cociente de I(SIVλ750.225) y de
I(NeVIIIλ780.324) muestra un aumento a lo largo del evento, ver Figura 5.9a.
5.3 análisis de las observaciones
119
Figura 35: Las figuras muestran en (b) el flujo de los iones, los asteriscos
indican cuando el flujo alcanzó los tres sigma y en (a) el resultado
del cociente de los iones. La etiqueta NS indica la posición nortesur del pixel espacial de la observación.
5.3.2.4 Caso I(NIVλ765.17)/I(SVλ786.47)
En ambos tiempos de integración observamos que el flujo del ion
de NIV(λ765.17) aumenta casi de la misma forma que el ion de SV(*786.47)
como muestra la Figura 5.10b. Pero existen peque nas diferencias en
el aumento del flujo de estos iones. Estas peque nas diferencias producen aumentos y decrementos notables en el cociente de dichos iones,
ver figura 5.10a.
Pero si retiramos estos aumentos y decrementos en el cociente, observamos que permanece constante a lo largo del evento, ver Figura
5.10a.
120
resultados observacionales
Figura 36: Las figuras muestran en (b) el flujo de los iones, los asteriscos
indican cuando el flujo alcanzó los tres sigma y en (a) el resultado
del cociente de los iones. La etiqueta NS indica la posición nortesur del pixel espacial de la observación.
5.3.2.5
Caso I(NeVIIIλ770.409)/I(NeVIIIλ780.324)
Se observa que el flujo aumenta aproximadamente de la misma forma para las dos iones. Además se observan diferencias locales a lo
largo del incremento del flujo, ver Figura 5.11b.
A diferencia del caso anterior si retiramos los aumentos y decrementos, el cociente de I(NeVIIIλ770.409)/I(NeVIIIλ780.324) no permanece constante a lo largo del evento explosivo, pero su diferencia del
máximo y mínimo es de solo dos décimas, ver Figura 5.11a.
5.3.3 Estudio de Jets
Al observar una región quieta del Sol podemos ver varios eventos
explosivos entre ellos están la producción de los flujos bipolares o Jets.
5.3 análisis de las observaciones
Como ya habíamos mencionado anteriormente, estos jets se producen
a partir de la reconexión del campo magnético. Esta reconexión hace
que el plasma sea eyectado en ambos lados del campo magnético implicado, de ahí el nombre de flujos bipolares. El estudio de estos jets,
nos permitirá conocer la velocidad de los flujos eyectados. Este análisis comienza con el ajuste de tres gaussianas en las líneas de los iones
seleccionados. Dos de estas gaussianas son ajustadas para las líneas
con corrimientos al azul y al rojo, la tercera gaussiana es ajustada a
la línea que permanece en reposo.
El primer paso de este análisis es pasar de pixeles espectrales a velocidades. Partiendo de que la resolución espectral es de 0.045Å/pixel,
podemos calcular el desplazamiento de la longitud como:
∆λ = ∆p · 0.045
donde ∆p es el corrimiento en pixeles espectrales de la línea. Utilizamos la ecuación del desplazamiento Doppler, Vc = ∆λ
λo , donde λo es
la longitud de onda de la línea y c es la velocidad de la luz. Sustituyendo la expresión para el desplazamiento de la longitud de onda
por el desplazamiento en pixeles espectrales obtenemos el cambio a
velocidades
V=
∆p · 0.045
·c
λo
De este procedimiento se obtuvo la siguiente Tabla 5.4 de resultados. Las columnas 1-8 corresponden respectivamente a: el ion en el
que se detectaron los flujos bipolares, el tiempo de detección, el pixel
espacial, la velocidad de la componente en el azul, la velocidad en la
componente en el rojo, la densidad electrónica del medio y la densidad electrónica del jet.
La razón R1 = I(λ759.441)/I(λ761.24) es un buen indicador de la
densidad electrónica (ver Curdt et al. 1997). A partir de la razón obtenida R1 las densidades electrónicas son calculadas por los programas
de Wilhelm (http://www.linmpi.mpg.de/english/projekte/sumer/).
De los resultados listados en la Tabla 5.4, observamos que solamente en un caso los flujos bipolares fueron detectados en más de una
línea. Cabe mencionar que todos los eventos exceptuando dos son observados con tiempos de integración de 30 segundos, y a su vez estos
fueron detectados en dos unidades de tiempo, es decir que estos jets
tienen un tiempo de vida de 60 segundos. Un ejemplo de este tiempo
121
122
resultados observacionales
Figura 37: Las figuras muestran en asteriscos los datos observados, en las
líneas punteadas las componentes bipolares y la de reposo, y la
línea continua la suma de estas componentes. Las líneas corresponden a tiempo de integración de 30 segundos.
de vida son los dos últimos jets detectados para el día 16 de noviembre, para la línea de NeVIII(λ770.409), ver Tabla 5.4. Los jets de 570
segundos sólo se observaron en una unidad de tiempo. En las Figuras
5.12 se muestran dos ejemplos de la presencia de flujos bipolares.
A partir de este análisis encontramos que los jets tienen un corrimiento Doppler promedio de aproximadamente 56 km/s, un tiempo
de vida de 60 segundos. Estos jets se extienden a lo largo de tres pixeles espaciales teniendo un tama no típico de aproximadamente 2100
km. Cabe mencionar que durante los eventos explosivos la mayoría
de las líneas presentaban perfiles irregulares, es decir perfiles que se
alejaban de lo que es una gaussiana, ver Landi et al. (2000). En la
Figura 6.2 se muestra la forma irregular que presentan estos perfiles.
5.3 análisis de las observaciones
123
Tabla 5: Resultados del diagnóstico del plasma para los jets detectados de
los tres días de observación.
Ion
línea
Tiempo (TU)
NS
Vazul
Vrojo
ne
ne (jet)
(Å)
HH:MM:SS
Pixel
(km/s)
(km/s)
(109 cm−3 )
(1010 cm3 )
Para el día 14 de Noviembre
O IV
787.740
12:18:48
182
-53.78±2.68
50.39±2.51
54.30
49.83
S IV
752.225
12:14:18
230
-51.92±2.59
49.71±2.49
11.19
-
Ne VIII
770.409
12:15:18
252
-57.20±2.86
49.67±2.48
10.12
-
S IV
752.225
12:19:48
230
-63.24±3.16
49.88±2.50
8.61
-
O IV
787.740
14:41:55
182
-51.92±2.59
49.71±2.49
30.84
-
Ne VIII
770.409
14:41:55
252
-60.63±3.03
45.90±2.29
30.84
9.12
OV
760.450
14:42:25
258
-73.29±3.68
72.17±3.60
2.92
5.39
Para el día 15 de Noviembre
Ne VIII
770.409
12:05:57
120
-58.29±2.91
50.66±2.53
7.59
18.52
O IV
787.740
12:06:57
292
-54.80±2.74
52.59±2.62
8.58
-
S IV
752.225
12:07:57
292
-61.64±3.08
52.19±2.60
7.63
-
O IV
787.740
12:08:27
292
-55.65±2.78
51.75±2.58
6.49
-
Para el día 16 de Noviembre
OV
760.450
6:37:56
160
-55.15±2.75
53.44±2.67
28.61
-
S IV
750.225
6:48:41
260
-51.64±2.57
50.06±2.50
9.79
-
O IV
787.740
6:49:41
278
-53.44±2.67
48.19±2.40
32.17
22.08
O IV
787.740
6:50:41
260
-54.70±2.73
48.01±2.40
28.25
36.05
O IV
787.740
6:51:11
260
-49.20±2.46
48.68±2.43
3.94
26.34
OV
760.450
7:23:28
160
-50.70±2.53
49.67±2.48
2.38
-
OV
760.450
9:15:13
278
-59.95±2.99
47.79±2.38
25.56
-
Ne VIII
770.409
9:17:43
160
-57.72±2.88
48.47±2.42
2.26
-
Ne VIII
770.409
9:18:13
160
-52.04±2.59
51.69±2.58
6.49
22.08
S IV
750.225
9:31:00
260
-51.84±2.59
50.06±2.50
9.79
-
Ne VIII
770.409
11:43:45
160
-53.08±2.65
47.19±2.35
24.01
28.27
Ne VIII
770.409
11:44:15
193
-50.48±2.52
50.31±2.51
2.56
-
Parte VI
DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
6
DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
6.1
discusión
Del presente análisis encontramos que en la mayoría de los eventos
explosivos las líneas que alcanzan primero un flujo igual a tres y cinco
sigma de la intensidad en reposo pertenece a iones cuya temperatura
de máxima abundancia es de 1.5 × 105 K. Esto parece indicar que a la
altura de la atmósfera solar correspondiente a dicha temperatura se
producen los eventos explosivos. A partir del uso de modelos numéricos hechos por Teriaca et al. (1999), indican que el origen de estos
eventos explosivos es a la temperatura de 3.0 × 105 K, que a partir de
modelos de atmósferas del Sol la diferencia en altura de estas temperaturas es menor a 100 km. Del análisis también observamos que las
líneas de los iones cuya temperatura de máxima abundancia es de 6.3
× 105 K muestran un retraso en alcanzar un flujo de tres y cinco sigma. Esto puede deberse que a las perturbaciones producidas por el
evento explosivo les lleva un cierto tiempo alcanzar esta temperatura.
En el caso del ancho equivalente, y con referencia en la Figura 5.5
observamos que los dos máximos a las temperaturas de 1.5 × 105 y
6.3 × 105 K son los primeros en alcanzar un ancho equivalente igual a
tres y cinco sigma. Esto significa que estos iones a estas temperaturas
aumentan su dispersión de velocidades más que los otros iones. Esto
se puede deber a los flujos eyectados por la reconexión magnética. En
este contexto el mínimo observado a la temperatura de 1.7 × 105 K,
sería debido a que estos flujos son dirigidos hacia la Corona y hacia
la parte inferior de la región de transición, aumentando la dispersión
de velocidades en estas regiones. Los iones a la temperatura de 1.7 ×
105 K no aumentan su dispersión de velocidades ya que se encuentran cerca del origen de estos flujos.
En el caso de desplazamiento Doppler, y con referencia en la Figura 5.6 observamos que los corrimientos Doppler se registraron en dos
diferentes temperaturas a 1.5 × 105 K y a 6.3 × 105 K. Esto puede deberse a que los flujos eyectados son dirigidos hacia la Corona y hacia
la parte baja de la región de transición, por lo que los mayores corrimientos se observan a estas temperaturas. El mínimo que se observa
a la temperatura de 1.7 × 105 K, sería debido una vez mas a que estos
127
128
discusión y conclusiones
flujos son dirigidos hacia regiones lejanas del lugar de origen. Por lo
tanto los iones a esta temperatura no se ven muy afectados por los
flujos eyectados.
El análisis de los cocientes entre las intensidades de las líneas nos
indica una vez más que la temperatura a la cual parecen originarse
estos eventos explosivos es de 1.5 × 105 K. Esto se ve de los diferentes cocientes analizados. El cociente I(OIVλ787.74)/I(OVλ760.45)
se incrementa a lo largo de todos los eventos. El aumento en este
cociente a lo largo del evento explosivo podría deberse a que el plasma está incrementando su temperatura (debido a que el plasma es
eyectado tiene una mayor energía cinética que el plasma de sus alrededores), haciendo que se acerque a 1.7 × 105 K. Una vez terminado
el evento el plasma regresa a sus condiciones anteriores (el plasma
de termaliza), lo cual hace que el cociente decrezca. El cociente de
I(SIVλ750.225)/I(SVλ786.47) se incrementa a lo largo de todos los
eventos explosivos. Observamos que en todos los casos el aumento
del flujo es mayor para el ion de menor grado de ionización. Esto es
debido a que el plasma esta incrementando su temperatura, por lo
que se aleja de lo que fue su temperatura de formación de 1.5 × 105
K. El cociente de I(SIVλ750.225)/I(NeVIIIλ780.47) se incrementa a lo
largo de todos los eventos explosivos. También observamos que en
todos los casos el aumento en flujo es mayor para el ion de S3+ que
para el de Ne7+ . Esto es debido a que cuando se produce la perturbación a una temperatura intermedia alcanza primero a la temperatura
del SIV.
Ahora, para los casos de iones con la misma temperatura de máxima abundancia, uno esperaría que el incremento del flujo fuera el
mismo, pero observamos diferencias en el incremento del flujo entre
ellos. La línea SV(*786.47) tiene su temperatura de máxima pérdida
radiativa en aproximadamente 1.2 × 105 K. Esto explica porque todos
los cocientes de I(NIV×765.17)/I(SV×786.47) muestran un aumento
del flujo mayor para la línea de NIV(×765.17).
Los corrimientos Doppler encontrados en algunos eventos explosivos confirman la existencia de flujos, debido a que se observa una
componente roja y una azul de las líneas espectrales (ver Figura 5.12).
Esto indica la presencia de flujos de plasma en ambas direcciones (hacia la parte baja de la región de transición y hacia la Corona). En total
de 311 eventos explosivos se registraron solo 23 eventos en los que
distinguen las componentes azul y roja de la línea espectral.
6.1 discusión
Figura 38: Las figuras muestran las cantidades de las componentes bipolares, de la velocidad y flujo con respecto a la temperatura de
máxima abundancia de las líneas.
Los flujos medidos (con base en el corrimiento Doppler de las componentes) estuvieron en un rango de velocidades de 48-74 km/s como
se muestra la Figura 6.1 (izquierda). La componente azul es siempre
más intensa que la componente roja (ver Figura 6.1 derecha). Además
encontramos que la componente azul tiene una mayor velocidad que
la componente roja (ver Figura 6.1 izquierda). Esto es debido principalmente a que los flujos encuentran una menor densidad del plasma
en las partes altas de la atmósfera que es hacia donde se desplaza la
componente azul. Las componentes tienen en promedio una velocidad de 56 km/s (azul) y de 52 km/s (roja).
Todos los flujos bipolares encontrados con tiempos de integración
de 30 segundos tuvieron un tiempo de vida de dos unidades de tiempo, es decir el flujo bipolar se detectó solamente durante 60 segundos.
Para el caso de los dos eventos de flujos bipolares detectados con
tiempo de integración de 570 segundos, solamente se detectaron en
una unidad de tiempo. En lo referente a su tama no espacial, todos
los eventos se localizaron dentro de tres pixeles espaciales. Como cada pixel tiene un tama no de 715 km, estos flujos bipolares tienen un
tama no de 2145 km.
129
130
discusión y conclusiones
La densidad electrónica promedio de los jets detectada a partir de
la razón R1 es de ne = 1.5 × 1010 cm−3 . Las pérdidas radiativas de un
evento explosivo se pueden calcular con el uso de la ecuación (2.53)
Wr = 7 × 10−22 n2e
erg s−1 cm−3
El volumen de la región de origen de los eventos explosivos es de 3
× 3 pixeles con un ancho más o menos igual con el ancho de la región
de transición (1000 km), V = 4.6 × 1024 cm3 , por lo que multiplicando
este volumen en la expresión anterior, obtenemos que
Wr = 7.2 × 1023
erg s−1
Multiplicando la expresión anterior por el tiempo de vida de un
evento (60 s), obtenemos que la energía total de pérdida radiativa es
Er = 4.3 × 1025
erg
La energía cinética producida por los flujos bipolares se puede calcular a partir de la siguiente expresión
1
Ek = Mv2
2
donde M = ρV = mp ne V = 1.1 × 1011 g es la masa contenida en
el lugar de origen del evento explosivo. Sustituyendo la masa estimada y la velocidad promedio encontrada en los eventos explosivos,
obtenemos que
Ek = 2 × 1024
erg
Por lo tanto, para poder explicar el calentamiento coronal y su potencia de 6:0 × 1027 erg/s, por medio de la energía encontrada para
los eventos explosivos, necesitaríamos un total de 3000 eventos por
segundo en todo el Sol. Cabe mencionar que solamente hemos usado
valores promedio, pero sí utilizamos los valores mínimos y máximos
detectados de la velocidad y densidad electrónica (ver Tabla 5.4) necesitaríamos 42300 EE/s y 852 EE/s. En nuestra detección de los eventos
explosivos encontramos de los tres días de observación un promedio
de 22 eventos explosivos para las observaciones con un tiempo de integración de 30 s y 20 eventos explosivos para las observaciones con
6.1 discusión
tiempos de integración de 570 s. Por lo que la razón de producción
de eventos explosivos es deducida utilizando la siguiente expresión
R = n A/t a
donde n es el número de eventos explosivos detectados durante un
tiempo t, y a/A es la fracción de área del Sol cubierta por la rendija. Dado que el Sol tiene una rotación diferencial con respecto a la
longitud solar, el área cubierta por la rendija fue calculada utilizando
la expresión de rotación solar deducida en Zirin (1988). Obteniendo
aproximadamente 153 EE/s para las observaciones con tiempos de
integración de 30 s y aproximadamente 4 EE/s para las observaciones con tiempos de integración de 570 s. Una vez mas en este calculo
hemos utilizado un valor promedio, pero utilizando los valores mínimos y máximos detectados (para un tiempo de integración de 30 s
encontramos 16 y 26 eventos explosivos y para un tiempo de integración de 570 s encontramos 12 y 24 eventos explosivos) encontramos
una razón de producción de 112 EE/s mínimo y 182 EE/s máximo,
para tiempos de integración de 30 s, y para tiempos de integración
de 570 s encontramos 2 EE/s mínimo y 5 EE/s máximo.
Por otro lado, a partir de la densidad de energía magnética podemos calcular la energía magnética en el lugar de origen de un evento
explosivo, dada por
UB =
B2
8π
donde B es el campo magnético en gauss. Con los magnetogramas
obtenidos encontramos que en la región correspondiente a 2 pixeles
en la región del evento explosivo existe un campo magnético promedio de 30 gauss. Sustituyendo el campo magnético promedio en la
densidad de energía magnética, obtenemos que
UB = 35.8
erg cm−3
La región con este campo magnético promedio tiene un tama no de
dos pixeles, por lo tanto el volumen es de 2.92 × 1024 cm3 . Multiplicando el volumen por la densidad de energía magnética obtenemos
la energía magnética
EB = 1.05 × 1026
erg
131
132
discusión y conclusiones
Figura 39: La figura muestra los perfiles de las líneas durante un evento
explosivo. El dibujo muestra un corrimiento hacia el rojo de la
línea de SIV (T = 0.8 × 105 K), un corrimiento hacia azul de la
línea NeVIII (T = 6.3 × 105 K). Además se muestra una línea
punteada en el máximo del evento para comparar las líneas con
una línea en una región quieta.
De acuerdo con el modelo de Sweet-Parker en el proceso de reconexión magnética, la mitad de la energía magnética implicada es
transformada en energía cinética. Los cálculos hechos anteriormente
indican que, en los eventos analizados, esto no sucede así. Sin embargo este modelo es el más aceptado para la transformación de energía
magnética a energía cinética. Existen modelos que no concuerdan con
el modelo de Sweet-Parker, pero estos modelos implican un mayor
número de variables no conocidas a partir de las presentes observaciones.
Teriaca et al. (1999) reportó evidencia de corrimientos al azul de
las líneas de temperaturas coronales y corrimientos al rojo de las líneas de temperaturas para la parte baja de la región de transición,
durante un evento explosivo. Estos efectos pueden deberse a que los
eventos explosivos son originados entre estos dos regímenes de temperaturas. Esto apoya la idea de que la región de transición es el lugar
6.2 conclusiones
de producción de estos eventos explosivos. Esto apoya los resultados
encontrados, ya que la mayoría de los eventos explosivos parecen originarse a temperaturas que caen dentro de estos dos regímenes de
temperatura (104 a 106 K).
Otro hecho observable de los datos es que las líneas de emisión a
las temperaturas extremas (es decir a 0.8 × 105 K y a 6.3 × 105 K)
muestran un corrimiento de algunos pixeles con respecto al pixel espectral de referencia. La Figura 6.2 muestra que la línea del ion de
SIV(λ750.225) de temperatura de 0.8 × 105 K está corrida hacia el rojo, mientras que la línea de NeVIII(λ770.409) de temperatura de 6.3
× 105 K está corrida hacia el azul. Este resultado apoya la posibilidad de que la liberación inicial de energía se produjo en una altura
intermedia con una temperatura entre las temperaturas de las líneas
anteriores.
Durante todos los eventos explosivos registrados en este trabajo
todas las líneas cuyas temperaturas de máxima abundancia fueran
mayores a 6.3 × 105 K, no mostraron variaciones en intensidad por
encima de un sigma. Esto podría ser debido a que las perturbaciones
producidas por el evento explosivo no alcanzaron a excitar a los iones
a estas temperaturas, a un nivel en el que el aumento en su emisión
sea detectada con la sensibilidad empleada.
6.2
conclusiones
A partir de los tiempos de llegada del flujo igual a tres y cinco
sigma, deducimos que la mayor ocurrencia de eventos explosivos se
origina preferente a una temperatura de 1.5 × 105 K.
El mínimo de ocurrencia de eventos explosivos detectados a la temperatura de 1.7 × 105 K, tanto para el ancho equivalente como para
el desplazamiento Doppler, podría ser debido a que los flujos son dirigidos hacia la parte baja de la región de transición y la Corona, por
lo que estos iones a esta temperatura no son muy afectados.
El estudio de los cocientes de flujos de diferentes líneas espectrales
apoya la idea de que la temperatura de origen de los eventos explosivos es de 1.5 × 105 K.
Para poder explicar la potencia observada en la Corona (6 × 1027
erg/s), por medio de la energía cinética encontrada de los eventos
explosivos, necesitaríamos un promedio de 3000 eventos explosivos
133
134
discusión y conclusiones
por segundo en todo el Sol. El número de eventos explosivos necesarios podría ser menor si la energía cinética fuese mayor. Por tanto la
dirección que presente el jet con respecto al telescopio SUMER será
importante.
Parte VII
APÉNDICE
A
PROGRAMAS
Para poder realizar el análisis de un gran numero de datos, es necesario seguir una serie de pasos. El primer paso consiste en el análisis
de las observaciones realizadas por SUMER. Es decir la realización de
las correcciones y calibraciones de estas, utilizando los programas de
Wilhelm. El segundo paso consistió en el ajuste de gaussianas en las
líneas de emisión, con fin de obtener los tres principales parámetros
de la cada línea (flujo, ancho equivalente y posición espectral). El tercer paso consistió principalmente en la búsqueda de los incrementos
de estos parámetros en el tiempo.
Otro análisis realizado con dichas observaciones es la localización
de líneas que presentaran tres componentes espectrales. Para esto se
desarrollo un programa capaz de ajustar tres gaussianas a todas las
líneas seleccionadas. Posteriormente se analizan los resultados obtenidos y se procede a estudiar las líneas cuyas posiciones de sus componentes laterales fuesen mayor a cinco pixeles espectrales. Por ultimo
se seleccionan aquellas líneas que muestren claramente las tres componentes espectrales.
Cabe mencionar que todos los programas usados tanto para las
correcciones, calibraciones, ajustes de gaussianas y la búsqueda de
incrementos de los parámetros obtenidos a partir del ajuste de las
gaussianas fueron desarrollados bajo el código de programación de
IDL (Interactive Data Language).
A continuación se detallaran con más cuidado cada uno de los programas usados:
a.1
ajuste de una gaussiana
Este programa consiste en la utilización de una tarea de IDL, la
cual ajusta a una serie de datos con una gaussiana. A continuación el
código:
El comando restore, introduce los datos observacionales dentro del
sistema IDL, produciendo una matriz en tres dimensiones, el eje es-
137
138
programas
pacial, espectral y el tiempo.
restore,’961114 1158 1541.07704’
El comando fltarr, nos produce una matriz, en la cual introduciremos los datos de las líneas de emisión a estudiar. Esta matriz incluye
todo el eje espacial y únicamente la parte espectral donde se encuentra la línea.
profil1=fltarr(23,300)
profil2=fltarr(21,300)
profil3=fltarr(21,300)
profil4=fltarr(21,300)
profil5=fltarr(26,300)
profil6=fltarr(21,300)
Utilizando una vez más el comando fltarr, crearemos una matriz
pero de tres dimensiones, para incluir los resultados obtenidos del
ajuste. Es decir los parámetros obtenidos del ajuste, donde 46 son los
intervalos de tiempo, 18 los para’metros de las seis gaussianas, y 300
los pixeles espaciales.
HH=fltarr(46,18,300)
En el ajuste de gaussianas debemos primero encontrar el nivel del
continuo, por lo que el comando MEAN calcula este.
x1=findgen(23)+298
x2=findgen(21)+405
x3=findgen(21)+520
x4=findgen(21)+740
x5=findgen(26)+880
x6=findgen(21)+910
for j=0,45 do begin
for i=0,299 do begin
profil1=C IM(j,298:320,79:179)
y1=profil1(0,0:22,i)
pro1=MEAN(C IM(j,293:298,i))
pro 1=MEAN(C IM(j,320:325,i))
p1=(pro1+pro 1)/2
A.1 ajuste de una gaussiana
profil2=C IM(j,405:425,79:179)
y2=profil2(0,0:20,i)
pro2=MEAN(C IM(j,400:405,i))
pro 2=MEAN(C IM(j,425:430,i))
p2=(pro2+pro 2)/2
profil3=C IM(j,520:540,79:179)
y3=profil3(0,0:20,i)
pro3=MEAN(C IM(j,515:520,i))
pro 3=MEAN(C IM(j,540:545,i))
p3=(pro3+pro 3)/2
profil4=C IM(j,740:760,79:179)
y4=profil4(0,0:20,i)
pro4=MEAN(C IM(j,735:740,i))
pro 4=MEAN(C IM(j,760:765,i))
p4=(pro4+pro 4)/2
profil5=C IM(j,880:905,79:179)
y5=profil5(0,0:25,i)
pro5=MEAN(C IM(j,875:880,i))
pro 5=MEAN(C IM(j,905:910,i))
p5=(pro5+pro 5)/2
profil6=C IM(j,910:930,79:179)
y6=profil6(0,0:20,i)
pro6=MEAN(C IM(j,905:910,i))
pro 6=MEAN(C IM(j,930:935,i))
p6=(pro6+pro 6)/2
Una vez restado el continuo se procede al ajuste de la gaussiana
con el comando GAUSSFIT, donde la variable A incluye los parámetros deseados.
yfit1 = GAUSSFIT(x1, y1, A)
yfit2 = GAUSSFIT(x2, y2, A)
yfit3 = GAUSSFIT(x3, y3, A)
yfit4 = GAUSSFIT(x4, y4, A)
yfit5 = GAUSSFIT(x5, y5, A)
yfit6 = GAUSSFIT(x6, y6, A)
Con el ajuste de las gaussianas procedemos a guardar los parámetros dentro de nuestra matriz de tres dimensiones para poder sacar
los resultados de IDL.
HH(j,*,i)=[h1,a1/h1,x1(w1),h2,a2/h2,x2(w2),h3,a3/h3,x3(w3),
h4,a4/h4,x4(w4),h5,a5/h5,x5(w5),h6,a6/h6,x6(w6)]
139
140
programas
endfor
endfor
close,1
openw,unit,’14nov.dat’,/get lun
printf,unit,HH
close,unit
end
a.2
búsqueda de incrementos
En la búsqueda de incrementos se desarrollo un programa que calcular el promedio desviación estándar de los parámetros y luego buscara sus incrementos en el tiempo.
Primero introducimos la matriz de resultados de los parámetros
del ajuste.
openr,1,’14nov.dat
HH=fltarr(46,18,300)
readf,1,HH
close,1
Luego con los comandos MEAN y MEANABSDEV, calculamos el
promedio y la desviación estándar respectivamente.
for wi=0,45 do begin
b1(wi)=MEAN(HH(wi,0,*))
b2(wi)=MEAN(HH(wi,3,*))
b3(wi)=MEAN(HH(wi,6,*))
b4(wi)=MEAN(HH(wi,9,*))
b5(wi)=MEAN(HH(wi,12,*))
b6(wi)=MEAN(HH(wi,15,*))
b11(wi)=MEANABSDEV(HH(wi,0,*))
b22(wi)=MEANABSDEV(HH(wi,3,*))
b33(wi)=MEANABSDEV(HH(wi,6,*))
b44(wi)=MEANABSDEV(HH(wi,9,*))
b55(wi)=MEANABSDEV(HH(wi,12,*))
b66(wi)=MEANABSDEV(HH(wi,15,*))
endfor
MM3=fltarr(6,46,300)
MM5=fltarr(6,46,300)
MM10=fltarr(6,46,300)
A.2 búsqueda de incrementos
Una vez calculado los promedios y desviación estándar para las
líneas encontraremos los datos cuyo valores sean mayores que el promedio más tres y cinco veces la desviación estándar.
for j=0,45 do begin
for i=0,299 do begin
if H1(j,i) GT B1(j)+3*B11(j) then MM3(1,j,i)=j
if H2(j,i) GT B2(j)+3*B22(j) then MM3(2,j,i)=j
if H3(j,i) GT B3(j)+3*B33(j) then MM3(3,j,i)=j
if H4(j,i) GT B4(j)+3*B44(j) then MM3(4,j,i)=j
if H5(j,i) GT B5(j)+3*B55(j) then MM3(5,j,i)=j
if H6(j,i) GT B6(j)+3*B66(j) then MM3(6,j,i)=j
endfor
endfor
for j=0,45 do begin
for i=0,299 do begin
if H1(j,i) GT B1(j)+5*B11(j) then MM5(1,j,i)=j
if H2(j,i) GT B2(j)+5*B22(j) then MM5(2,j,i)=j
if H3(j,i) GT B3(j)+5*B33(j) then MM5(3,j,i)=j
if H4(j,i) GT B4(j)+5*B44(j) then MM5(4,j,i)=j
if H5(j,i) GT B5(j)+5*B55(j) then MM5(5,j,i)=j
if H6(j,i) GT B6(j)+5*B66(j) then MM5(6,j,i)=j
endfor
endfor
Ya encontrados los datos cuyos valores sean mayores que la cuota
determinada, procedemos a arreglar estos en el tiempo. Es decir que
haremos una matriz de datos en las cuales nos muestre primero la
línea y después su tiempo en el cual supero la cuota.
openw,unit,’retrazo3.dat’,/get lun
for m=0,299 do begin
for p=0,5 do begin
for n=0,45 do begin
if MM3(p,n,m) GT 0 then printf,unit,p,n,m
endfor
endfor
endfor
close,unit openw,unit,’retrazo5.dat’,/get lun
for m=0,299 do begin
for p=0,5 do begin
141
142
programas
for n=0,45 do begin
if MM5(p,n,m) GT 0 then printf,unit,p,n,m
endfor
endfor
endfor
end
Este mismo proceso se realizo tanto para intensidad como para el
ancho equivalente y su desplazamiento Doppler.
a.3
ajuste de tres gaussianas
En este programa consiste en el ajuste de tres gaussianas en una
línea, para esto se desarrollo el siguiente programa.
La siguiente función se encarga de encontrar el error del ajuste de
las tres gaussianas.
function opti,nprof,hwb,m,fak,px,k,dummy
h=hwb & p=px
error=fltarr(2*m+1)
for i=0,2*m do begin
if dummy then h(k)=hwb(k)+(i-m)*fak else p(k)=px(k)+(i-m)*fak
error(i)=mgauss(nprof,h,p)
endfor
print,min(error)
if dummy then res=hwb(k)+(!c-m)*fak else res=px(k)+(!c-m)*fak
return,res
end
Para iniciar con el ajuste introducimos los datos observacionales
dentro de IDL.
restore,’961114 1158 1541.07704’
Debido a la gran cantidad de resultados que se obtendrán al tratar
de ajustar tres componentes en todas las líneas escogidas. El ajuste
fue realizado línea por línea.
A.3 ajuste de tres gaussianas
profil=fltarr(23)
profil=C IM(46,298:320,300)
c=n elements(profil)
Esta serie de comandos son utilizados para poder emplear colores
para las graficas que nos mostraran el ajuste en el display de IDL.
red=[0,1,1,0,0,1]
green=[0,1,0,1,0,1]
blue=[0,1,0,0,1,0]
tvlct,255*red,255*green,255*blue
La siguiente serie de comandos no solo nos muestra en el display
de IDL la línea de emisión, sino que además hace una distribución de
los espacios para los títulos de esta.
title$=’ ’
if n params() le 3 then offset=0
sz=size(title$) & if sz(1)*sz(2) ne 7 then title$=’ ’
n=n elements(profil)
kanal=indgen(n)
conti=fltarr(n)
nprof=fltarr(n)
z$=[’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’,’9’]
a=findgen(40)*!pi/19.5 & usersym,.3*cos(a),.3*sin(a),/fill
set plot,’x’
Debido a que el programa por sí mismo no es capaz de ajustar las
tres gaussianas, debemos colocar unos valores iniciales para empezar
el ajuste. Estos valores iniciales son la posición central de las gaussianas y su ancho equivalente dentro de los llamados px y hwp (en
pixeles).
redo:
print,’ ’
x device espectro=!d.x size & y device espectro=!d.y size
px=fltarr(3) & hwb=fltarr(3)
plot,profil,title=title$
xs=!x.s & ys=!y.s
x0=!x.crange(0) & x1=!x.crange(1)
143
144
programas
y0=10.^ !y.crange(0) & y1=10.^ !y.crange(1)
px(0)=9 & px(1)=13 & px(2)=17
hwb(0)=2 & hwb(1)=3 & hwb(2)=2
Dentro de las siguientes líneas del código es donde se calcula el
error con la ayuda de la función inicial del programa.
m=12 error=fltarr(2*m+1)
z=findgen(n*10-9)/10.+kanal(0)
zcont=poly(z,c)
l=4*alog(2.)
px=px(0:2) & hwb=hwb(0:2)
En este paso la función MGAUSS se encarga de ajustar las tres
gaussianas en la línea de emisión.
nbl=3
r=mgauss(profil,hwb,px,/full)
endelse
En este paso el programa grafica dentro del display los datos observacionales el ajuste de las gaussianas y la suma de estas, con las
funciones PLOT y OPLOT.
plot,kanal,profil,title=title$,psym=2
xs=!x.s & ys=!y.s
x0=!x.crange(0) & x1=!x.crange(1)
y0=10.^ !y.crange(0) & y1=10.^ !y.crange(1)
a=l/hwb/hwb & b=px
for i=0,nbl-1 do oplot,z,r(i)*exp(-a(i)*(z-b(i))^ 2.)
if nbl ge 2 then begin
fx=0.0*z
for i=0,nbl-1 do fx=fx+r(i)*exp(-a(i)*(z-b(i))^ 2)
oplot,z,fx,linestyle=1
endif
Por ultimo el comando PRINT, se encarga de desplegar los valores
obtenidos del ajuste.
A.3 ajuste de tres gaussianas
145
print,’Final results:’
print,’ ’
for i=0,nbl-1 do begin
print,’Line’,byte(i)
print,’ FWHM: ’,hwb(i)
print,’ espectro:’,px(i)
print,’ peak: ’,r(i)
;print,’ ’area: ’,float(r(nbl+i)),
endfor
print,’ ’
print,’residual error ’,float(r(2*nbl)),
print,’Kontinuum ’,total(profil-nprof),
print,’Total ’,total(profil),
end
A continuación se muestra el código de la función MGAUSS.
function mgauss,y,hwb,pos,full=full
l=4d0*alog(2.) & a=l/hwb/hwb
ny=n elements(y)
x=indgen(ny)-ny/2
b=1d0*pos-ny/2
nl=n elements(pos)
matrix=dblarr(nl,nl)
vector=dblarr(nl)
for j=0,nl-1 do for k=0,nl-1 do for i=0,ny-1 do matrix(j,k)=matrix(j,k) $
+ exp(-a(j)*(x(i)-b(j))^ 2.)*exp(-a(k)*(x(i)-b(k))^ 2.)
for k=0,nl-1 do for i=0,ny-1 do vector(k)=vector(k)+y(i)*exp(-a(k)*(x(i)-b(k))^ 2.)
c=invert(matrix)#vector
fx=dblarr(ny) & for j=0,nl-1 do fx=fx+c(j)*exp(-a(j)*(x-b(j))^ 2)
if keyword set(full) then begin
r=dblarr(2*nl+1) & r(0)=c & r(nl)=c*sqrt(!pi/a)
r(2*nl)=sqrt(total((y-fx)^ 2))
endif else begin & r=sqrt(total((y-fx)^ 2)) & endelse
return,r
end
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