Solución de la ecuación de Schödinger para una particula libre.

Solución de la ecuación de Schödinger para una partícula
libre.
Vamos a analizar la evolución temporal de la función de onda de una partícula libre con
un ejemplo concreto. Partimos de la siguiente condición inicial:
(x; 0) =
2
a2
1=4
eik0 x e
x2 =a2
donde a y k0 son dos constantes reales. Lo que pretendemos es, por un lado, analizar las
propiedades de la partícula en el instante inicial y por otro, obtener la función de onda en
el instante t.
En primer lugar podemos calcular el valor medio de la posición y la dispersión en el
instante inicial. La densidad de probabilidad para la posición en el instante inicial es:
r
2
2
2x2 =a2
e
(x; 0) = j (x; 0)j = (x; 0) (x; 0) =
a2
El valor medio de la posición en el instante inicial es:
Z 1
Z 1 r
2
hxi (0) =
e
x (x; 0) dx =
x
a2
1
1
2x2 =a2
dx = 0
La integral anterior es nula puesto que el integrando es una función impar de x. Para
calcular la dispersión, necesitamos conocer el valor medio de x2 :
r
Z 1
Z 1 r
Z 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2x =a
x (0) =
x (x; 0) dx =
x
e
dx =
2
x2 e 2x =a dx
2
2
a
a
1
1
0
Vamos a hacer el siguiente cambio de variable:
p
2x2
4x
a2 1
a 2 1=2
s = 2 ds = 2 dx dx =
ds =
s
ds
a
a
4 x
4
La integral queda:
r
p
Z 1 2
2
a
2
s a 2
2
se
s 1=2 ds =
x (0) =
2
a
2
4
0
2 Z
a2
3
a
a2 1
1
a2 1 p
a2
= p
s1=2 e s ds = p
= p
= p
=
2
2
2
2
4
2
2
2
2
Por tanto, la dispersión en t = 0 vale:
x(0) =
q
hx2 i (0)
2
hxi (0) =
r
a2
4
0=
a
2
Vamos a obtener ahora información sobre el momento de la partícula en el instante inicial, para lo cual necesitamos conocer la función de onda en la representación de momentos.
1
Calculamos en primer lugar la transformada de Fourier de la función (x; 0):
Z
~ (k; 0) = p1
2
1
= p
2
1
Z
1
e
(x; 0) dx = p
2
1
1=4 Z 1
2
[x2 =a2 +ikx
e
a2
1
ikx
1
2
a2
ikx
e
1
ik0 x]
1=4
eik0 x e
x2 =a2
dx =
dx
Para calcular la integral, escribimos el argumento de la exponencial como un cuadrado
perfecto:
x2
+ ikx
a2
La integral queda:
x
a
+ i (k
a
2
ik0 x =
~ (k; 0) = p1
2
2
a2
1=4
1
= p
2
2
a2
1=4
Z
1
1
e
+
2
x
a
e ( a +i 2 (k
a2
(k
4
a2
(k
4
2
k0 )
k 0 )2
Z
k 0 ))
1
a2
(k
4
x
a
e ( a +i 2 (k
k0 )2
k 0 )2
dx =
2
k 0 ))
dx
1
Hacemos el cambio de variable
s=
x
a
+ i (k
a
2
1
ds = dx
a
Z 1
1=4
2
a2
(k
k
)
0
e 4
e
k0 )
2
s2
~ (k; 0) = p1
a ds
2
a
2
1
La integral que queda se puede convertir en una Gamma de Euler realizando el cambio:
s2 = t
Z
1
e
s2
ds = 2
1
Z
1
ds = t
2
2sds = dt
1
e
s2
ds = 2
0
Z
1
0
1
t
2
1=2
t
e
1=2
dt
1
2
dt =
=
p
Por tanto, la transformada de Fourier en el instante inicial queda:
~ (k; 0) =
1=4
a2
2
e
a2
(k
4
k 0 )2
A partir de esta función podemos obtener directamente la función de onda en la representación de momentos, (p; 0), y la densidad de probabilidad para el momento en el
instante inicial, p (p; 0):
p
1
;0 =
(p; 0) = p ~
}
}
r
p (p; 0) =
(p; 0)
2
=
a2
2 }2
a2
e
2 }2
2
1=4
e
a2
(p
2}2
a2
(p
4}2
}k0 )2
}k0 )2
Utilizando esta densidad de probabilidad vamos a calcular el valor medio del momento
y la dispersión del momento en el instante inicial. La distribución de probabilidades para
el momento es una distribución Gaussiana. La distribución Gaussiana para una variable
aleatoria s tiene la siguiente forma:
s (s)
A partir de la distribución
=p
p (p; 0)
1
2
s2
e
(s hsi)2 =2 s2
podemos deducir lo siguiente:
hpi (0) = }k0
p(0) =
}
a
A partir de la función de onda en el instante inicial hemos obtenido información, tanto
sobre la posición de la partícula como sobre su momento, en particular los valores medios
y dispersiones que hemos obtenido para estas magnitudes son:
hxi (0) = 0
x(0) =
a
2
hpi (0) = }k0
p(0) =
}
a
Podemos dar por tanto una interpretación a las constantes a y k0 que aparecen en la
función de onda inicial. La constante a está relacionada con la dispersión en la posición,
mientras que la constante k0 está relacionada con el valor medio del momento en el instante
inicial. Por último, la dispersión en el momento veri…ca el principio de indeterminación,
ya que x(0) p(0) = }=2.
A continuación vamos a obtener la función de onda en el instante t, lo que nos permitirá
encontrar las características de la partícula en dicho instante. La función de onda (x; t)
se obtiene resolviendo la ecuación de Schrödinger, que para el caso de una partícula libre
que se mueve a lo largo del eje x es:
i}
}2 @ 2 (x; t)
2m @x2
@ (x; t)
=
@t
Ahora bien, dicha función de onda también se puede obtener a partir de la transformada
de Fourier en el instante inicial:
Z 1
1
~ (k; 0)ei(kx !t) dk
(x; t) = p
2
1
Aplicamos esta ecuación a nuestro caso:
Z 1 p
a
1
e
(x; t) = p
1=4
2
1 (2 )
p
Z 1 h 2
a
a
(k
e 4
=
3=4
(2 )
1
3
a2
(k
4
k0 )2 i(kx !t)
e
dk =
k0 )2 i(kx }k2 t=2m)
i
dk
Para calcular la integral anterior, completamos el cuadrado de la exponencial como una
función de k:
a2
}k 2 t
(k k0 )2 i kx
4
2m
2
a
}t
a2
a2
=
+i
k2
ix + k0 k + k02 =
4
2m
2
4
0r
= @
12
2
}k0
t
x
m
2}t
a2 + i
m
1 ix + a2 k0 A
q
+
2 a2 + i }t
4
2m
a2
}t
+i
k
4
2m
2
ik0 x + i
}k02 t
2m
La integral queda:
p
a
(x; t) =
(2 )3=4
Z
1
p
e
2 k =2
0
a2 +i2}t=m
pix+a
a2 =4+i}t=2mk
2
ik0 x i}k02 t=2m
e
(x }k0 t=m)2
a2 +i2}t=m
e
dk
1
Podemos sacar fuera todo lo que no depende de k:
p
a ik0 x
(x; t) =
e
(2 )3=4
i}k02 t=2m
e
(x }k0 t=m)2
a2 +i2}t=m
Z
1
e
p
2
2 k =2
0
a2 +i2}t=m
pix+a
a2 =4+i}t=2mk
dk
1
A continuación hacemos el cambio de variable:
s=
p
a2 =4 + i}t=2mk
y queda:
p
a ik0 x
(x; t) =
e
(2 )3=4
ix + a2 k0 =2
p
a2 + i2}t=m
i}k02 t=2m
e
(x }k0 t=m)2
a2 +i2}t=m
2
a2
1=4
1+i
2}t
ma2
p
1
+ i}t=2m
, de modo que:
8
>
>
>
1=2
<
2
ik0 x i}k0 t=2m
e
exp
>
>
>
:
La integral que queda vale como siempre
(x; t) =
a2 =4 + i}t=2m
a2 =4
p
1
dk = p
Z
1
e
ds
s2
ds
1
}k0
x
t
m
2}t
a2 + i
m
2
9
>
>
>
=
>
>
>
;
Por último, a partir de la función de onda, podemos calcular la densidad de probabilidad
de encontrar a la partícula en la posición x, para el instante t:
2
(x; t) = j (x; t)j =
(x; t) (x; t) =
2
a2
1=2
4
4}2 t2
1+ 2 4
ma
1=2
exp
8
>
>
2
>
< 2a x
>
>
>
:
}k0
t
m
4}2 t2
a4 +
m2
2
9
>
>
>
=
>
>
>
;
Esta función resulta ser de nuevo una distribución Gaussiana, de la que podemos extraer
el valor medio del momento y la dispersión para la posición.
r
}k0
a
4}2 t2
hxi (t) =
t
x(t) =
1+ 2 4
m
2
ma
Por tanto, el centro de la distribución se desplaza a una velocidad }k0 =m = hpi (0)=m,
al igual que en el movimiento rectilíneo y uniforme de la mecánica clásica. Por otro lado, la
dispersión aumenta debido a que en el instante inicial la partícula no tiene una velocidad
bien de…nida.
Podemos comparar también el resultado de la dispersión con la mecánica clásica. La
dispersión en la velocidad vale:
p
}
v=
=
m
ma
Esta dispersión en la velocidad produce una dispersión en la posición en el instante t:
x=
vt =)
x=
}t
ma
Podemos comprobar que este resultado coincide con el de la mecánica cuántica para
tiempos grandes.
5