Ejercicios de Funciones y Derivada de la PAU

IES.Villa de Firgas
Departamento de Matemáticas
Ejercicios de Funciones y Derivada de la PAU.
1. PAU Jun2007.- Determinar el dominio, recorrido, puntos de cortes con lo ejes coordenados,
asíntotas, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de crecimiento,
decrecimiento, concavidad y convexidad (concavidad hacia arriba y hacia abajo) de la siguiente
función:
2. PAU Jun2005.- Representar una función que cumpla las condiciones:
i) Dominio (f ) = IR-{1}
ii) Puntos de corte: P(0, 0)
iii) Crecimiento: (-∞, 0]U(2, +∞); Máximo en (0, 0)
Decrecimiento: (0, 1)U(1, 2] ; Mínimo en (2, 4)
iv) Asíntota vertical: x = 1 lim f ( x) = +∞ lim f ( x) = −∞
x →1+
x →1−
Asíntota oblicua: y = x+1
3. PAU Jun2004.- Representa gráficamente una función que satisfaga las siguientes condiciones:
a) f(0)=0; f’(0)=0.
b) Asíntota vertical la recta x = -3.
c) Creciente en (-∞, -3) ∪ (-3, 0).
d) lim f ( x) = −∞
x →1−
e)
lim f ( x) = 0
lim f ( x) = 0
x → +∞
x → −∞
f) Decreciente en (0,1) ∪ (1,+∞)
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4. PAU Jun2002.- Hacer un esquema de la gráfica de una función f (x) que cumpla las siguientes
propiedades:
a) Tiene dos asíntotas verticales, x = 1 y x = −1.
b) Para x → ±∞ , se cumple f (x) → 1.
c) f (−2) = f (2) = 0 .
d) Es creciente en (−∞,−1) ∪ (−1,0) y es creciente en (0,1) ∪ (−1,0) .
e) f (0) = 4 y f '(0) = 0 .
5. PAU Jun2001.- Trazar la gráfica de una función f(x) que satisface las siguientes propiedades:
a) Su dominio es ℜ-{-1}
b) f(0)=0
c) No tiene máximos ni mínimos.
→ +∞
d) f ( x) x
→ 5 ,
→ −∞
f ( x) x
→ 0 ,
−
+
→ −1
→ −1
f ( x ) x
→ ∞ , f ( x ) x
→ −∞
e) Tiene una discontinuidad evitable en x=1.
6. PAU Jun2003.- Se pide trazar razonadamente la gráfica de una cierta función f(x) sabiendo que
tiene las siguientes propiedades:
a) Está definida para todo valor de x excepto y . x = -4 y x =4
b) Es decreciente cuando x < 0 y creciente cuando x>0.
c) La gráfica pedida es simétrica respecto del eje vertical.
7. PAU Sept2003.-Hacer un esquema de la gráfica de una función f(x) que cumpla las siguientes
propiedades:
a) Tiene dos asíntotas verticales, x=-3 y x=3.
b) Para x→ ±∞ se cumple que f(x)→0.
c) f(-4)=f(4)=25/16.
d) Es creciente en (−∞,-3)U(-3,0) y es decreciente en (0,3)U(3,+∞).
e) f(0)=0 y f ’(0)=0.
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2 x 2 − 3x
ex
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f.
b) Calcula los máximos y mínimos relativos de f.
8. PAU Sept2007.- Dada la función f ( x) =
9. PAU Sept2005.- Dada la función f ( x) =
2
, determinar razonadamente:
x −1
2
a) El Dominio.
b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si es que las tiene.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
e) Su representación gráfica.
10. PAU Jun2004.-
11. PAU Jun2006.-Sea la función real de variable real:
 1 − x 2 2 _____ si _ x ≤ 2

f ( x) =  36
_______ si _ x > 2

2 + x
(
)
a) Razonar si la función es continua en toda la recta real.
b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real.
12. PAU Sept2004.- Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función según los valores
de m:
3 − mx 2 ___ si _ x ≤ 1

f ( x) =  2
_____ si _ x ≥ 1

 mx
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3x − 4
x + bx 2 + 8 x − 4
es discontinua en x=2, calcula b y justifica razonadamente el
comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad.
13. PAU Sept2007.- Sabiendo que la función f ( x) =
3
14. PAU Jun2006.- Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en
todos sus puntos:

bx 2 + ax ____ si _ x ≤ −1

a
f ( x) =  ________ si _ − 1 < x ≤ 1
x
 x 2 + ax + 1
____ si _ x > 1

 x +1
15. PAU Sept2003.-
16. PAU Jun2003.-
Describir a partir de ella los intervalos de concavidad y convexidad de , así como sus puntos de
inflexión y máximos y mínimos.
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17. PAU Jun2007.- Hallar una función polinómica de tercer grado tal que tenga un extremo
relativo en (1,1) y un punto de inflexión en (0,3).
¿Es (1,1) el único extremo de la función? Determinar los máximos y mínimos relativos de f.
18. PAU Jun2007.- Dada la función f(x)= x 2 − 2 x + 2
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3.
b) Calcula el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el
apartado a) y el eje OY.
19. PAU Sept2002.- Dada la función f(x)= ax 2 + bx + c , determinar los valores de a, b y c, sabiendo
que la gráfica de pasa por los puntos (0,3) y (1,4) y que la recta y=4 es tangente a dicha gráfica
cuando x=1.
20. PAU Sept2006.- ¿Para qué valor de a la recta ax+y =Ln(3) es tangente a la curva
 x+ 2
f ( x) = ln

 x +1 
el punto de abscisa x = 0?
21. PAU Sept2005.- a) Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la
 x +1
función dada f ( x) = ln
 es paralela a la recta de ecuación 2x + 3y = 4.
 x −1
b) Obtener la ecuación de la recta tangente a la función dada en el apartado anterior en el punto
de abscisa x = 3.
22. PAU Sept2007.- Se sabe que la gráfica de la función f(x)= x 3 + ax 2 + bx + c es la que aparece en
el dibujo.
a) Determina la función.
b) Calcula el área de la región sombreada.
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23. PAU Sept2005.- Dada la gráfica de h’(x), deduce la monotonía y extremos relativos de h(x),
así como la curvatura y sus puntos de inflexión, explicando cómo lo haces.
24. PAU Sept2004.- La siguiente gráfica corresponde a la función f’(x), derivada de la función f(x).
Estudiar la monotonía, concavidad-convexidad, extremos relativos y puntos de inflexión de la
función f(x) interpretando dicha gráfica.
25. PAU Sept2002.-
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26. PAU Junio 2008
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