Estimación de Intervalos

ESTIMACIÓN DE INTERVALOS
INDICE
PAGINA
1
Introducción...............................................................................................
2
2
Intervalos de confianza..............................................................................
3
3
Intervalo de confianza para la media, varianza conocida..........................
5
4 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias, varianzas conocidas...........................................................................................................
8
5 Intervalo de confianza para la media de una distribución normal, varianza.........................................................................................................
11
6 Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones normales, varianzas desconocidas ......................................................
14
7
Intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal.........
18
8 Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos distribuciones normales ...........................................................................................
20
9
Intervalo de confianza para una proporción..............................................
23
10 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones.................
27
11 Tabla resumen de procedimientos para obtener intervalos de confianza................................................................................................................
29
12 Tablas.........................................................................................................
30
13 Bibliografía................................................................................................
34
1 INTRODUCCIÓN
En muchas situaciones, una estimación puntual no proporciona información
suficiente sobre un parámetro.
La estimación por intervalos presenta la ventaja de que es posible cuantificar los
errores
El intervalo en el que se afirma que se encuentra el parámetro de denomina
intervalo de confianza.
La probabilidad de que el parámetro pertenezca a dicho intervalo se denomina
grado de confianza y se suele representar como 1 - .
De manera específica, se muestra cómo encontrar intervalos de confianza para
medias, varianzas y proporciones. También se indica cómo encontrar intervalos que
contengan una parte específica de las observaciones de una población; estos tipos de
intervalos se conocen como intervalos de tolerancia.
Para determinar el intervalo de confianza utilizaremos los estadísticos que se dan
a continuación y determinaremos una región que contenga al estadístico con
probabilidad 1 - , de modo que deje a cada lado una región con probabilidad /2.
En los siguientes puntos se estudian intervalos de confianza y otros problemas
de estimación por intervalos.
2 INTERVALOS DE CONFIANZA
Una estimación por intervalos de un parámetro desconocido  es un intervalo de
la forma l    u, donde los puntos extremos l y u dependen del valor numérico de el
estadístico ^ para una muestra en particular, y de la distribución de muestreo ^.
Puesto que muestras diferentes producen valores distintos de ^ y, en consecuencia,
valores diferentes de los puntos extremos l y u, estos puntos son valores de variables
aleatorias, por ejemplo, L y U, respectivamente. De la distribución de muestreo de ^
es posible determinar los valores de L y U tales que la siguiente proposición de
probabilidad es verdadera:
P(L    U) = 1 - 
(2-1)
donde 0 <  < 1. Por tanto, se tiene una probabilidad de 1 -  de seleccionar una
muestra que produzca un intervalo que contiene el valor verdadero de .
El intervalo resultante
lu
(2-2)
se conoce como intervalo de confianza del 100(1 - ) por ciento para el parámetro
desconocido . Las cantidades l y u reciben el nombre de límites de confianza inferior
y superior, respectivamente, y 1 -  es el coeficiente de confianza. La interpretación
de un intervalo de confianza es que, si se recopila un número infinito de muestras
aleatorias y se calcula un intervalo de confianza del 100(1 - ) por ciento para , para
cada una de las muestras, entonces el 100 (1- ) por ciento de esos intervalos contienen
el valor verdadero de .
El intervalo de confianza de la ecuación (2-2) recibe el nombre más apropiado
de intervalo de confianza bilateral, ya que especifica los límites inferior y superior de
. En ocasiones, puede resultar más apropiado un intervalo de confianza unilateral.
Un intervalo de confianza unilateral inferior del 100 (1 - ) por ciento para  está dado
por el intervalo
l
(2-3)
donde el límite de confianza l se elige de modo que
P(L  ) = 1 - 
(1-4)
De manera similar, un intervalo de confianza unilateral superior del 100(1-) por ciento
para  está dado por el intervalo
u
(2-5)
donde el límite de confianza superior u se coge de modo que
P(   U) = 1 - 
(2-6)
La longitud de u-l del intervalo de confianza observado es una medida
importante de la calidad de la información obtenida de la muestra. el semiintervalo  - l
o u -  se conoce como precisión del estimador. Entre más grande sea el intervalo de
confianza, mayor es la seguridad de que el intervalo en realidad contenga el valor
verdadero de . Por otra parte entre más grande sea el intervalo, menor información se
tiene acerca del valor verdadero de . En una situación ideal, se tiene un intervalo
relativamente pequeño con una confianza grande.
Los siguientes apartados presentan métodos para encontrar intervalos de
confianza para medias, varianzas y proporciones. Las aplicaciones e estos tipos de
intervalos de confianza se encuentran con frecuencia en la ingeniería, en la ciencia y en
la administración.
3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA,
VARIANZA CONOCIDA
Supóngase que se tiene una población con media desconocida  y varianza
conocida 2. De esta población se toma una muestra aleatoria X1, X2, ... , Xn de tamaño
n. La media muestral X es un estimador puntual razonable de la media desconocida .
Puede obtenerse un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para  al considerar
la distribución de muestreo de la media muestral X. La distribución de muestreo X es
norma si la población es normal, y aproximadamente normas si se satisfacen las
condiciones del teorema del límite central. El valor esperado o media de X es ,
mientras que el de la varianza es 2/n. Por consiguiente, la distribución de el estadístico
X-
Z=
/n
es una distribución normal estándar.
En la distribución de Z= ( X – ) / (/n) se observa que
P{ -z/2  Z  z/2 } = 1 - 
de modo que
P { -z/2  ( X – ) / (/n)  z/2 } = 1 - 
La expresión anterior se puede escribir como :
P{ X -z/2 (/n)    X + z/2 (/n) } = 1 - 
(3-1)
A partir de la consideración de la ecuación 2-1, los límites inferior y superior de
las desigualdades de la ecuación 3-1, son los límites de confianza inferior y superior, L
U, respectivamente. Esto conduce a la siguiente definición:
Definición: Intervalo de confianza para la media con varianza conocida.
Si x es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con
varianza conocida 2, un intervalo de confianza par a del 100(1 - ) por ciento está
dado por
x - z/2 (/n)    x + z/2 (/n)
(3-2)
donde z/2 es el punto crítico de la distribución normal estándar que corresponde al
porcentaje /2.
Para muestras tomadas de una población normal, o para muestras de tamaño n 
30, sin importar la forma que tenga la población, el intervalo de confianza dado por la
ecuación 3-2 proporciona buenos resultados. Sin embargo, para muestras pequeñas
tomadas de poblaciones que no son normales, no es posible esperar que el nivel de
confianza 1 - sea exacto.
Ejemplo
Una empresa fabrica focos que tienen una duración distribuida aproximada de forma
normal con una desviación típica de 40 horas.
Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas, obtenga un intervalo
de confianza del 96% para la media de población de todos los focos.
Solución
datos:  = 40 horas ; n=30 ; x=780 ; 1 -  = 1 – 0.96 = 0.04 y /2 = 0.02
z/2= 2.06 (mirar tabla 1)
Se aplica la fórmula : x - z/2 ( /n )    x + z/2 ( / n )
780 – 2.06 (40 / 30)    780 + 2.06 (40 / 30)
(764.95 , 795.04)
La estimación puntual de =780 con dispersión de 40 horas es alta.
Selección del tamaño de la muestra
La precisión del intervalo de confianza de la ecuación 1-8 es z/2(/n ). Esto
significa que al utilizar x para estimar , el error E= |x - | es menor o igual que z/2
(/n) con una confianza del 100(1-) por ciento. En situaciones donde puede
controlarse el tamaño de la muestra, es posible elegir n de forma que se tenga una
confianza del 100(1-) por ciento de que el error al estimar  sea menor que el error
especificado E. El tamaño apropiado de la muestra se obtiene al seleccionar n de modo
que z/2(/n) = E. La solución de esta ecuación proporciona la fórmula siguiente para
n.
Definición:
Si x se utiliza como estimación de , entonces puede tenerse una confianza del
100(1- ) por ciento de que el error |x - | no será mayor que una cantidad específica E
cuando el tamaño de la muestra sea
n = ( (z/2  ) / E ) 2
(3-3)
Si el miembro derecho de la ecuación anterior no es un entero, entonces el
resultado debe redondearse. Esto asegura que el nivel de confianza no sea menor que
100(1 - ) por ciento.
Ejemplo
¿De qué tamaño debiera ser la muestra anterior si se desea tener una confianza del 96%
de que la diferencia de  con x fuese menor de 3 horas?
Solución
n = ( (z/2
n = ( ( 2. 06
)/ E)2
40 ) / 3 ) 2 = 754,4 focos.
Intervalos de confianza unilaterales.
También es posible obtener intervalos de confianza unilaterales para  haciendo
l = -  o u= + , y remplazando z/2 por z. El intervalo de confianza superior de 100(1) por ciento para  es:
  u = x + z /n
(3-4)
y el intervalo de confianza inferior del 100(1 - ) por ciento para  es:
x + z /n
=l
(3-5)
4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA
DE DOS MEDIAS, VARIANZAS CONOCIDAS
Supóngase que se tienen dos poblaciones independientes con medias
desconocidas 1 y 2, y varianzas conocidas 12 y 22, respectivamente. Se desea
encontrar un intervalo de confianza del 100(1 - ) por ciento para la diferencia de las
medias 1 - 2.
Sean X11, X12,...,X1n1 una muestra aleatoria de n1 observaciones tomadas de la
primera población y X21, X22,...,X2n2 una muestra aleatoria de n2 observaciones tomadas
de la segunda población. Si X1 y X2 son las medias muéstrales, el estadístico X1 - X2 es
un estimador puntual de 1 - 2. La variable aleatoria
X1 - X2 –( 1 - 2)
Z=
(12/ n1)+ (22/ n2)
tiene una distribución normal estándar si las dos poblaciones son normales, o es
aproximadamente normal estándar si se cumplen las condiciones del teorema del límite
central, respectivamente. Esto implica que
P(-z/2  Z  z/2) = 1 - 
o
P(-z/2 
X1 - X2 –( 1 - 2)
 z/2) = 1 - 
(1 / n1)+ (2 / n2)
2
2
La expresión anterior puede reacomodarse de la siguiente manera
P(X1-X2 -z/2(12/n1)+(22/n2)1-2  X1-X2 -z/2 (12/ n1)+(22/ n2) )=1-
(4-1)
Al comparar las ecuaciones 2-1 y 4-1, puede desarrollarse la siguiente definición
para un intervalo de confianza del 100(1-) por ciento para 1-2.
Definición: Intervalo de confianza para la diferencia
de dos medias, varianzas conocidas.
Si x1-x2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2
tomadas de poblaciones que tienen varianzas conocidas 12 y 22 , respectivamente,
entonces un intervalo de confianza del 100(1 - ) por ciento para 1- 2 es
x1-x2 - z/2 (12/n1) + (22/n2)  1-2  x1-x2 + z/2 (12/ n1) + (22/ n2)
(4-2)
donde z/2 es el punto crítico superior que corresponde al porcentaje /2 de la
distribución normal estándar.
El nivel de confianza 1 -  es exacto cuando las poblaciones son normales. Para
poblaciones que no lo son, el nivel de confianza es aproximadamente válido para
tamaños grandes de muestras.
Ejemplo
Se prueban dos fórmulas diferentes de un combustible oxigenado para motor en cuanto
al octanaje. La varianza del octanaje para la fórmula 1 es 12=1.5, mientras que para la
fórmula 2 es 22=1.2. Se prueban dos muestras aleatorias de tamaño n1=15 y n2=20. Los
octanajes promedio observados son x1= 89.6 y x2= 92.5. Construya un intervalo de
confianza bilateral del 95% para la diferencia en el octanaje promedio.
Solución:
95%, 1 – 0.95 = 0.05 ; 0.05/2 = 0.025 z0.025 = 1.96
X1 - X2 - z/2 (12/n1) + (22/n2)  1-2  X1 - X2 + z/2 (12/ n1) + (22/ n2)
89.6 – 92.5 – 1.96 1.5/15 + 1.2/20
 1-2  89.6 – 92.5 + 1.96 1.5/15 + 1.2/20
-2.9 – 1.96 x 0.04  1-2  -2.9 + 1.96 x 0.04
-3.684  1-2  -2.116
Selección del tamaño de la muestra.
Si se conocen las desviaciones estándar 1 y 2 y los tamaño de las dos muestras son
iguales ( n1 = n2 = n, por ejemplo), entonces puede determinarse el tamaño requerido de
la muestra de modo que se tenga una confianza del 100(1 - ) por ciento en que el error
den la estimación de 1 - 2 por x1 – x2 sea menor que E. El tamaño requerido para la
muestra de cada población
n = ( z/2 / E )2 (12 + 22)
(4-3)
Recuérdese que es necesario redondear n si éste no es un entero. Con esto se asegura
que el nivel de confianza no sea menor que 100( 1 - ) por ciento.
Intervalos de confianza unilaterales.
También es posible obtener intervalos de confianza unilaterales para 1 - 2. Un
intervalo unilateral superior del 100(1 - ) por ciento de confianza para 1 - 2 es
1-2  x1 - x2 + z/2 (12/ n1) + (22/ n2)
(4-4)
mientras que un intervalo unilateral inferior del 100(1 - ) por ciento de confianza es
x1 - x2 - z/2 (12/ n1) + (22/ n2)  1-2
(4-4)
5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA
DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDA
Supóngase que se desea encontrar un intervalo de confianza para la media de una
distribución, pero que la varianza no es conocida. De manera específica, supóngase que
se tiene una muestra aleatoria de tamaño n, X1, X2,...,Xn y que X y S2 son la media y la
varianza muéstrales, respectivamente. Una posibilidad sería remplazar  en las fórmulas
del intervalo de confianza para  con varianza conocida (ecuaciones 3-1, 3-3 y 3-4) con
el valor calculado de la desviación muestral s. Si el tamaño de la muestra, n, es
relativamente grande (por ejemplo, n >30), entonces éste es un procedimiento aceptable.
En consecuencia, a menudo los intervalos de confianza de las secciones 3 y 4 reciben el
nombre de intervalos de confianza para muestras grandes, debido a que son
aproximadamente válidos incluso si las varianzas no conocidas de la población se
reemplazan con las varianzas muéstrales correspondientes. Nótese que en el problema
de dos muestras, sección 4, tanto n1 como n2 debes ser mayores que 30.
Cuando el tamaño de las muestras es pequeño, el enfoque anterior no funciona, y
entonces debe emplearse otro procedimiento. Para producir un intervalo de confianza
válido, debe hacerse una hipótesis más fuerte con respecto a la población de interés. La
hipótesis usual es que la población está distribuida de manera normal. Esto conduce a
intervalos de confianza basados en distribuciones t. De manera específica, sea X1,
X2,...,X3 una muestra aleatoria tomada de una distribución normal con media  y
varianza 2 desconocidas.
La distribución de muestreo de el estadístico
X-
T=
S/n
es la distribución t con n-1 grado de libertad. A continuación se indica cómo obtener el
intervalo de confianza para .
Sea t/2,n-1 el punto crítico superior que corresponde al porcentaje /2 de la
distribución t con n-1 grado de libertad. Se tiene que:
P( -t/2,n-1  T  t/2,n-1 ) = 1 - 
o
X-
P( -t/2,n-1 
 t/2,n-1 ) = 1 - 
S/n
Después de reacomodar la ecuación anterior, se tiene que
P( X - t/2,n-1 S/n    X + t/2,n-1 S/n ) = 1 - 
(5-1)
La comparación entre las ecuaciones 5-1 y 2-1 conduce a la siguiente definición
del intervalo de confianza bilateral del 100(1 - ) por ciento para .
Definición: Intervalo de confianza para la media de
una distribución normal, varianza desconocida.
Si x y s con la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria tomada de una
distribución normal con varianza 2 desconocida, entonces un intervalo de confianza del
100( 1 - ) por ciento para  está dado por
x – t/2,n-1 s/n    x + t/2,n-1 s/n
(5-2)
donde t/2,n-1 es el punto crítico superior que corresponde al porcentaje /2 de la
distribución t con n –1 grado de libertad.
Recuérdese que este intervalo de confianza supone que el muestreo se hace
sobre una población normal. Esta hipótesis tiene una importancia moderada para
muestras pequeñas. Por fortuna, la hipótesis de normalidad es válida en muchas
situaciones prácticas. Cuando no es éste el caso, entonces deben emplearse intervalos de
confianza independientes de la distribución, o no paramétricos.
Cuando la población es normal, los intervalos de la distribución t son los
intervalos e conformidad del 100(1-) por ciento más pequeños posible, también son
superiores a los proporcionados por los métodos no paramétricos.
Ejemplo
Se han estudiado 20 mediciones de tiempo el tiempo de combustión residual de
especímenes tratados de ropa de dormir para niños (en segundos)
9.85
9.83
9.93
9.92
9.75
9.74
9.77
9.99
9.67
9388
9.87
9.95
9.67
9.95
9.94
9.93
9.85
9.92
9.75
9.89
Se desea encontrar un intervalo de confianza del 95% para el tiempo de combustión
residual. Supóngase que sigue una distribución normal.
Solución
Se calcula la media y la desviación estándar.
x= 9.8525
s=0.0965
t/2, n-1 = t 0.05/2,20-1 = t0.025,19 = 2.023 (mirar tabla 2)
x
- t/2,n-1 s
/ n   
x + t/2,n-1 s
/ n
9.8525 – 2.023 (0.0965/ 20)    9.8525 + 2.023 (0.0965/ 20)
0.8073    9.8977
Selección del tamaño de la muestra
La selección del tamaño n de la muestra necesario para proporcionar un intervalo de
confianza de la longitud requerida no es tan fácil como en el caso donde se conoce 
debido a que la longitud del intervalo depende tanto del valor de  (el cual no se conoce
antes de recopilar los datos), como del tamaño n de la muestra. Por otra parte, n ingresa
al intervalo de confianza a través de los términos 1/n y t/2,n-1. En consecuencia, el
tamaño n de la muestra debe obtenerse a partir de un procedimiento de prueba y error,
utilizando una estimación previa de  (la cual puede basarse en la experiencia). Otra
posibilidad es tomar una muestra preliminar de n observaciones para obtener una
estimación de . Luego, utilizando el valor es calculado a partir de esta muestra como
aproximación e , puede emplearse la ecuación 3-2 para calcular el valor requerido de n
que proporciona la exactitud y nivel de confianza deseados.
Intervalos de confianza unilaterales
Es fácil encontrar intervalos de confianza unilaterales para la media de una distribución
normal done la varianza no es conocida. El intervalo de confianza inferior del 100(1 ) por ciento para  está dado por
x - t/2,n-1 s/n  
(4-3)
y el intervalo de confianza del 100(1-) por ciento para  es
  x - t/2,n-1 s/n
(4-4)
6 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES,
VARIANZAS DESCONOCIDAS.
En esta sección se extienden los resultados e la sección 5 al caso de dos
poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar intervalos de
confianza par la diferencia entre medias 1 - 2. Si los tamaños de la muestras n1 y n2
son mayores que 30, entonces puede emplearse el intervalo de la distribución normal de
la sección3. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeñas se supone que las
poblaciones de interés están distribuidas de manera normal, y los intervalos de
confianza se basan en la distribución t.
Considérense dos variables aleatorias normales independientes, X1 con media 1
y varianza 12 y X2 con media 2 y varianza 22 , por ejemplo. Tanto las medias 1 y 2
como las varianzas 12 y 22 son desconocidas. Sin embargo, considérese que es
razonable suponer que las dos varianzas son iguales; esto es, 12= 22= . Se desea
encontrar un intervalo de confianza del 100(1 - ) por ciento para la diferencia entre
medias 1 y 2.
Se toman muestras aleatorias de tamaño n1 y n2 de las dos poblaciones
representadas por X1 y X2, respectivamente; sean X1 y X2 las medias muéstrales, y S12 y
S22 las varianzas muéstrales. Puesto que S12 y S22 son estimadores de la varianza común
2, entonces puede obtenerse un estimador combinado de 2, mejor que S12 o S22 por
separado. Este estimador es
Sp2
(n1 – 1) S12 + (n2 – 1) S22
=
n1 + n2 – 2
(6-1)
Para desarrollar el intervalo de confianza para 1- 2, nótese que la distribución del a
estadística
X1 - X2 – (1- 2)
T=
Sp  1/n1 + 1/n2
es la distribución t con n1 + n2 – 2 grados de libertad. Por tanto:
P( -t/2, n1+n2–2  T  + t/2, n1+n2–2) = 1 - 
o
P( -t/2, n1+n2–2 
X1 - X2 – (1- 2)
Sp  1/n1 + 1/n2
 + t/2, n1+n2–2) = 1 - 
La expresión anterior puede escribirse como
P(X1-X2 -t/2, n1+n2–2Sp1/n1+1/n2 1-2 X1-X2 +/2, n1+n2–2 Sp1/n1+1/n2 ) =1-
(6-2)
El examen de la ecuación 6-2 conduce a la siguiente definición de intervalo de
confianza del 100(1 - ) por ciento para 1-2.
Definición: Intervalo de confianza para la diferencia entre medias de dos
distribuciones normales, varianzas desconocidas pero iguales.
Si x1, x2 s12 y s22 son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaños n1
y n2 respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con
varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100(1 - )
por ciento para la diferencia de medias 1-2 es
x1-x2 -t/2, n1+n2–2 sp1/n1+1/n2  1-2  x1-x2 + t/2, n1+n2–2 sp1/n1+1/n2
(6-3)
donde sp =  [(n1 – 1) S12 + (n2 – 1) S22] / (n1 + n2 – 2 ) es el estimador combinado de la
desviación estándar común de la población, y t/2, n1+n2–2 es el punto crítico superior que
corresponde al porcentaje /2 de la distribución t con n1 + n2 – 2 grados de libertad.
Ejemplo:
Al tomar 10 muestras de cemento estándar se encontró que el peso promedio de calcio
es x1=90.0, con una desviación estándar muestral de s1=5.0; los resultados obtenidos
con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron x2=87.0 y s2=4.0.
Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal.
Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias 1-2 de
los dos tipos de cemento. Supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma
desviación estándar.
Solución
sp =  [(n1 – 1) S12
+ (n2 – 1) S22 ] / (n1 + n2 – 2 )
sp =  [(10 – 1) (5.0)2 + (15 – 1)(4.0)2 ] / (10 + 15 – 2 )
sp= 19.52 = 4.4
t/2, n1+n2–2 = t 0.05/2 , 10+15–2 = 2.069
x1 - x2 –t0.025,23 sp 1/n1+1/n2
 1-2  x1 - x2 + t0.025,23 sp
1/n1+1/n2
90.0–87.0 -2.069(4.4)  1/10 + 1/15  1-2  90.0–87.0 +2.069 (4.4)  1/10 + 1/15
-0.72  1-2  6.72
medias.
Como incluye el 0 no se puede decir que haya diferencia de
Intervalos de confianza unilaterales
Es sencillo construir intervalos de confianza unilaterales para la diferencia entre
medias con varianzas desconocidas pero iguales. El intervalo de confianza inferior del
100(1-) por ciento para 1-2 es
x1- x2 - t/2, n1+n2–2 sp1/n1+1/n2  1 - 2
(6-4)
mientras que el intervalo de confianza superior del 100(1-) por ciento para 1 - 2 es
1 - 2  x1- x2 - t/2, n1+n2–2 sp1/n1+1/n2
(6-5)
Varianzas desiguales
En muchas situaciones no es razonable supones que 21 = 22. Aún cuando no
pueda garantizarse esta hipótesis, puede hallarse un intervalo de confianza del 100(1-)
por ciento para 1 - 2 utilizando el hecho de que el estadístico
X1 - X2 – (1- 2)
T* =
 (S12/n1) + (S22/n2)2
tiene, de manera aproximada, una distribución t con grados de libertad dados por
(S12/n1 + S22/n2)2
v=
-2
2
2
(S1 /n1)
n1 + 1
(S22/n2)2
n2 + 1
Por tanto
P( - t/2,v  T*  t/2,v )  1 - 
(6-6)
El intervalo de confianza para 1- 2 puede obtenerse si se sustituir T* en esta expresión
y se despeja el término 1- 2 entre las desigualdades.
Definición: Intervalo de confianza para la diferencia entre medias
de dos distribuciones normales, varianzas desconocidas y desiguales.
Si x1 , x2 , s12 y s22 son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaños
n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con
varianzas desconocidas y desiguales, entonces un intervalo de confianza aproximada del
100(1 - ) por ciento para la diferencia entre medias 1 - 2 es
x1 - x2 - t/2,v  s12/n1 + s22/n2  1 - 2  x1 - x2 + t/2,v  s12/n1 + s22/n2
(6-7)
donde v está dada por la ecuación 6-6 y t/2,v es el punto crítico superior que
corresponde al porcentaje /2 de la distribución t con v grados de libertad.
Los límites de confianza unilaterales superior e inferior puede obtenerse al
remplazar el límite de confianza inferior (superior ) con -  () y cambiando /2 por .
7 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA
DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Supóngase que se desea encontrar una estimación del intervalo de confianza para la
varianza 2 de una población normal. Si X1,X2,...,Xn es una muestra aleatoria de
tamaño n tomada de esta población normal, y se S2 se utiliza para encontrar el intervalo
de confianza de 2.
Como la distribución de
( n – 1) S2
X=
2
es ji-cuadrada con n – 1 grado de libertad. Se nota que:
P( 21-/2,n-1  X  2/2,n-1) = 1 - 
de modo que
( n – 1) S2
P(21-/2,n-1 
 2/2,n-1) = 1 - 

2
La expresión anterior puede escribirse como
( n – 1) S2
( n – 1) S2
 2 
P(

2
)=1-

1-/2,n-1
2
(7-1)
/2,n-1
La comparación de la ecuación 7-1 con la 2-1 conduce a la siguiente definición
del intervalo de confianza para 2.
Definición: Intervalo de confianza para la varianza
de una distribución normal.
Si s2 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de
una distribución normal con varianza desconocida 2, entonces un intervalo de
confianza del 100(1 - ) por ciento para 2
( n – 1) S2

( n – 1) S2
 2 
2
1-/2,n-1
2/2,n-1
(7-2)
donde 21-/2,n-1 y 2/2,n-1 son los puntos críticos superior e inferior que corresponden al
porcentaje /2 de la distribución ji-cuadrada con n-1 grado de libertad, respectivamente.
Intervalos de confianza unilaterales
Para encontrar un intervalo de confianza inferior del 100(1 -) por ciento para
 , se hace el límite de confianza superior de la ecuación 7-2 igual a  y se reemplaza
2/2,n-1 por 2,n-1, con lo que se tiene
2
(n – 1 ) s2
 2
2,n-1
(7-3)
El intervalo de confianza superior del 100( 1 - ) por ciento se obtiene al hacer
el límite de confianza inferior de la ecuación 7-2 igual a cero, y remplazar 21-/2,n-1 con
21-,n-1, lo que da como resultado
(n – 1 ) s2
2 
21-,n-1
(7-4)
8 INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE
VARIANZAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES
Supóngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con
varianzas desconocidas 12 y 22, respectivamente. De este par de poblaciones, se tiene
disponibles dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente; sean S12 y S22
las dos varianzas muéstrales . Se desea encontrar un intervalo de confianza del 100(1-)
por ciento para el cociente de las dos varianzas, 12 / 22.
Para hallar el intervalo de confianza, recuérdese que la distribución de muestreo
de
S22/22
F=
S12/12
es una F con n2 – 1 y n1 – 1 grados de libertad. Y su campana tiene una figura:
P(f 1-/2, n2-1,n1-1  F  f /2, n2-1,n1-1) = 1 - 
de modo que
P(f 1-/2, n2-1,n1-1 
S22/22
 f /2, n2-1,n1-1) = 1 - 
S12/12
Por consiguiente:
P( (S12/ S22 )f 1-/2, n2-1,n1-1 12 / 22  (S12/ S22 )f /2, n2-1,n1-1 ) = 1 - 
(8-1)
La comparación de las ecuaciones 2-1 y 8-1 conduce a la siguiente definición del
intervalo de confianza para 12 / 22
Definición: Intervalo de confianza para el cociente de las varianzas
de dos distribuciones normales
Si s12 y s22 son las varianzas muéstrales de dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2,
respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas
12 y 22 desconocidas, entonces un intervalo de confianza del 100 (1 - ) por ciento
para el cociente 12 / 22 es
(s12/ s22 )f 1-/2, n2-1,n1-1 12 / 22  (s12/ s22 )f /2, n2-1,n1-1
(8-2)
donde f /2, n2-1,n1-1 y f 1-/2, n2-1,n1-1 son los puntos críticos superior e inferior que
corresponden al porcentaje /2 de la distribución F con n2 –1 y n1 – 1 grados de libertad
en el numerador y en el denominador, respectivamente.
En la ecuación 8-2 se requiere el punto que corresponde al porcentaje de la cola
inferior de la distribución F. El punto crítico inferior que corresponde al porcentaje 1 /2 puede calcularse a partir del punto crítico superior que corresponde al porcentaje
/2 con la expresión
f 1-/2, n2-1,n1-1 = 1 / f /2, n2-1,n1-1
(8-3)
Intervalos de confianza unilaterales.
También es posible construir intervalos de confianza unilaterales para el
cociente de las varianzas 12 / 22 . Un límite inferior de confianza del 100(1 - ) por
ciento para 12 / 22 es
(s12/ s22 )f 1-/2, n2-1,n1-1 12 / 22
(8-4)
y un límite superior de confianza del 100(1 - ) por ciento para 12 / 22 es
12 / 22  (s12/ s22 )f /2, n2-1,n1-1
(8-5)
Ejemplo
Una compañía fabrica propulsores. Una de las operaciones consiste en esmerilar el
terminado de una superficie con una aleación de titanio. Pueden emplearse dos
procesos. Para ello se toma una muestra de n1= 12 partes del primer proceso, la cual
tiene una desviación estándar muestral s1= 5.1 micropulgadas, y una muestra aleatoria
de n2= 15 partes del segundo proceso con una desviación estándar muestral s2 = 4.7
micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente
de las dos varianzas.
Solución.
1-0.9 = 0.1 -> 0.1 /2 = 0.05
f /2, n2-1, n1-1 = f0.05 , 15 – 1 , 12 – 1 = f 0.05, 14,11 = 2.57 (mirar tabla3)
usando la ecuación 8-4 se obtiene que f 0.95, 14,11 = 1 - f 0.05, 14,11 = 1 / 2.57
(s12 / s22 )f 1-/2, n2-1,n1-1 12 / 22  (s12 / s22 )f /2, n2-1,n1-1
(5.12 / 4.72 ) 0.39
 12 / 22  (5.12 / 4.72 ) 2.57
(26.01 / 22.09) 0.39  12 / 22  (26.01 / 22.09) 2.57
0.46  12 / 22  3.02
Como el intervalo incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones
estándar dos los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%
9 INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN
A menudo es necesario construir un intervalo de confianza para una proporción.
Por ejemplo, supóngase que se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una
población grande (posiblemente infinita) y que X (  n) observaciones de esta muestra
pertenecen a una clase de interés. Entonces P^= X/n es un estimador puntual de la
proporción de la población p que pertenece a esta clase. Nótese que n y p son los
parámetros de una distribución binomial. Por otra parte, e sabe que la distribución de
muestreo de P^ es aproximadamente normal con media p y varianza p(1 – p)/n, si p no
está muy próximo a 0 o 1 y si n es relativamente grande. Por tanto, la distribución de
P^ - p
Z=
 [p (1 – p)] / n
es aproximadamente una distribución normal estándar.
Para construir el intervalo de confianza para p, nótese que
P( -z/2  Z  z/2)  1 - 
de modo que
P^ - p
P( -z/2 
 z/2)  1 - 
 [p (1 – p)] / n
La expresión anterior puede escribirse como
P( P^ -z/2  [p (1 – p)] / n  p  P^ + z/2  [p (1 – p)] / n
1-
(9-1)
La cantidad  [p (1 – p)] / n de la ecuación 9-1 es el error estándar del estimador
puntual P^. Desafortunadamente, los límites superior e inferior del intervalo de
confianza obtenidos a partir de la ecuación 9-1 contiene el parámetro desconocido p. Sin
embargo, una solución satisfactoria es remplazar p por P^ en el error estándar, lo que da
como resultado
P( P^ -z/2  [P^ (1 – P^)] / n  p  P^ + z/2  [P^ (1 – P^)] / n )  1 - 
(9-2)
La ecuación 9-2 conduce a un intervalo de confianza del 100(1 - ) por ciento
para p.
Definición: Intervalo de confianza de una proporción
Si p^ es la proporción de observaciones de una muestra aleatoria de tamaño n que
pertenece a una clase de interés, entonces un intervalo de confianza aproximado del
100(1 - ) por ciento para la proporción p de la población que pertenece a esta clase es
p^ -z/2  [p^ (1 – p^)] / n  p  p^ + z/2  [p^ (1 – p^)] / n
(9-3)
donde z/2 es el punto crítico superior que corresponde al porcentaje /2 de la
distribución normal estándar.
Este procedimiento requiere que np y n(1-p) sean mayores o iguales que 5. En
situaciones donde esta aproximación es inapropiada (en particular, en casos donde n es
pequeño), deben emplearse otros métodos. Las tablas de distribución binomial también
pueden emplearse para obtener un intervalo de confianza para p. Si n es grande pero p
pequeño, entonces puede utilizarse una aproximación Poisson para la distribución
binomial con la finalidad de construir intervalos de confianza. Sin embargo, los autores
prefieren utilizar métodos numéricos basados en la función de probabilidad binomial.
Ejemplo
En una m.a. de 85 soportes para arreglar el cigüeñal de un automóvil, 10 tienen un
terminado que es más rugoso de los que las especificaciones permiten. Hallar un
intervalo de confianza bilateral del 95%.
Solución
Una estimación puntual de rugosidad es p^= x/n = 10/85 = 0.12
1- 0.95= 0.05 =  -> /2 = 0.025
z0.025 =1.96
p^ - z/2  [p^ (1 – p^)] / n  p  p^ + z/2  [p^ (1 – p^ )] / n
0.12 – 1.06  (0.12 (1 – 0.12) ) / 85  p  0.12 + 1.06  (0.12 (1 – 0.12) ) / 85
0.05  p  0.19
Selección del tamaño de la muestra
Puesto que P^ es el estimador puntual de p, puede definirse el error de estimar p
por P^ como E=|p – P^|. Nótese que se tiene una confianza aproximada del 100 (1 - )
por ciento de que este error es menor que z/2 [p(1 – p)]/n . En el ejercicio anterior se
tiene una confianza del 95% de que la proporción muestral p^= 0.12 difiere de la
proporción verdadera p por una cantidad que no excede 0.07.
En situaciones donde puede seleccionarse el tamaño de la muestra, puede
escogerse a n de modo que exista una confianza del 100( 1 - ) por ciento de que el
error es menor que algún valor especificado E. Si se hace E= z/2 [p(1 – p)]/n y se
resuelve para n, el tamaño apropiado de la muestra es
n = ( z/2 / E) 2 p (1 – p)
(9-4)
Para utilizar la ecuación 9-4 se requiere una estimación de p. Si se tiene una
estimación p^ de alguna muestra anterior, entonces p puede sustituirse por éste en la
ecuación 9-4, o quizás sea posible hacer una estimación subjetiva. Si estas alternativas
no son satisfactorias, entonces puede tomarse una muestra preliminar, calcular p^, y
luego utilizar la ecuación exactitud deseada. Otro enfoque para seleccionar n utiliza el
hecho de que el tamaño de la muestra obtenido en la ecuación 9-4 siempre es máximo
para p= 0.5 [esto es, p(1 – p)  0.25, cumpliéndose la igualdad cuando p=0.5], y esto
puede emplearse para obtener una cota superior sobre n. En otras palabras, al menos se
tiene una confianza del 100(1 - ) por ciento de que el error al estima p con `^ sea
menor que E si el tamaño de la muestra es
n = ( z/2 / E) 2 (0.25)
(9-5)
Ejemplo
Tomando el ejemplo anterior.
¿Cuál grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 95% de que el error
al utilizar p^ como estimación de p sea menor que 0.05?
Solución
Al utilizar p^= 0.12 como estimador inicial de p, se tiene:
n = ( z/2 / E) 2
p^ (1 – p^)
n = (1.96 / 0.05)2 0.12 ( 0.88)  1.63
Intervalos de confianza unilaterales
Pueden encontrarse intervalos de confianza unilaterales para p mediante una
modificación sencilla de la ecuación 9-3. El intervalo de confianza inferior aproximado
del 100( 1 - ) por ciento es
p^ -z/2  [p^ (1 – p^)] / n  p
(9-6)
y el intervalo de confianza superior aproximado del 100 (1 - ) por ciento es
p  p^ -z/2  [p^ (1 – p^)] / n
(9-7)
10 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA
DE DOS PROPORCIONES
Supóngase que existen dos proporciones de interés, p1 y p2, y es necesario obtener un
intervalo de confianza del 100( 1 - ) por ciento para la diferencia de éstas, p1 – p2.
Supóngase que se toman dos muestras independientes de tamaño n1 y n2 de dos
poblaciones infinitamente grandes. En estas dos muestras, sean X1 el número de
observaciones de la primera muestra que pertenece a la clase de interés, y X2 el número
de observaciones en la muestra tomada de la segunda población que pertenecen a la
clase de interés. Entonces, X1 y X2 son variables aleatorias binomiales independientes
con parámetros (n1, p1) y (n2, p2). Ahora bien, P1^ = X1/ n1 y P2^= X2/n2 son estimadores
independientes de p1 y p2, respectivamente. Por otra parte, bajo la hipótesis de que se
aplica la aproximación normal de una distribución binomial, el estadístico
P1^ - P2^ - (p1 – p2)
Z=
 p1(1- p1)/ n1 + p2(1- p2)/ n2
tiene una distribución que es aproximadamente normal estándar. Esto implica que
P( - z/2  Z  z/2 )  1 - 
de modo que puede sustituirse la Z de esta expresión y utilizar entonces un enfoque
similar al empleado en la sección 9 para encontrar un intervalo de confianza
aproximado del 100( 1 - ) por ciento para p1 – p2.
Definición: Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones
Si p1^ y p2^ son las proporciones muéstrales de una observación en dos muestras
aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 que pertenecen a una clase de interés,
entonces un intervalo de confianza aproximado del 100(1 - ) por ciento para la
diferencia de las proporciones verdaderas p1 – p2 es
p1^–p2^ -z/2p1(1- p1)/ n1+p2(1-p2)/n2  p1 – p2  p1^–p2^ -z/2p1(1-p1)/n1+p2(1-p2)/n2
(10-1)
donde z/2 es el punto crítico superior que corresponde al porcentaje /2 de la
distribución normal estándar.
Intervalos de confianza unilaterales
El intervalo de confianza inferior aproximado del 100(1 - ) por ciento para p1 – p2 es
p1^ – p2^ - z/2 p1(1- p1)/ n1 + p2(1-p2)/n2  p1 – p2
(10-2)
y el intervalo de confianza superior aproximado del 100 ( 1 - ) por ciento para p1 – p2
es
p1 – p2  p1^ – p2^ - z/2 p1(1- p1)/ n1 + p2(1-p2)/n2
(10-2)
11 TABLA RESUMEN DE PROCEDIMIENTOS PARA OBTENER
INTERVALOS DE CONFIANZA
Tipo de problema
Media , varianza 2 conocidas
Estimación Intervalo de confianza bilateral del 100(1 - ) por
puntual ciento
x
x - z/2 (/n)    x + z/2 (/n)
Diferencia entre dos medias 1 y 2,
varianzas 12 y 22 conocidas
x1 – x2
x1-x2 - z/2 (12/n1) + (22/n2) 
x1-x2 + z/2 (12/ n1) + (22/ n2)
Media  de una distribución normal,
varianza 2 desconocida
x
x – t/2,n-1 s/n    x + t/2,n-1 s/n
Diferencia entre medias de dos distribuciones normales 1 y 2, varianzas 12 y 22 desconocidas
x1 – x2
Diferencia entre medias de dos distribuciones normales 1 y 2, varianzas 12  22 desconocidas
1-2 
x1-x2 -t/2, n1+n2–2 sp1/n1+1/n2  1-2 
x1-x2 + t/2, n1+n2–2 sp1/n1+1/n2
sp = [(n1 – 1) S12 + (n2 – 1) S22] / (n1 + n2 – 2 )
x1 – x2
x1 - x2 - t/2,v  s12/n1 + s22/n2
x1 - x2 + t/2,v  s12/n1 + s22/n2
 1 - 2 
v=(S12/n1+S22/n2)2/ [(S12/n1)2/ n1+1] +[(S22/n2)2/ n2+1] –2
Varianza 2 de una distribución
normal
s2
( n – 1) S2 / 21-/2,n-1  2 ( n – 1) S2 / 2/2,n-1
Cociente de las varianzas 12 / 22
de dos distribuciones normales
s12/ s22
(s12/ s22 )f 1-/2, n2-1,n1-1 12 / 22  (s12/ s22 )f /2, n2-1,n1-1
Proporción o parámetro de una
distribución binomial p
p^
Diferencia entre dos proporciones o
dos parámetros binomiales p1 – p2
p^ - z/2  [p^(1 – p^)] /n
p
p^ + z/2  [p^ (1 – p^)] / n
p1^ - p2^ p1^–p2^ -z/2p1(1- p1)/ n1+p2(1-p2)/n2  p1 – p2 
p1^–p2^ -z/2p1(1-p1)/n1+p2(1-p2)/n2
BIBLIOGRAFÍA
1.-R.E. Walpole y R.H. Myers. Probabilidad y estadística. McGraw-Hill,1992
2.-Douglas C. Montgomery y George C. Runger Probabilidad y Estadística aplicadas a
la Ingeniería.