Simulación dinámica

Curso de Postgrado de Actualización
MODELADO, SIMULACIÓN Y
SINTESIS DE PROCESOS
S. Benz, A. Santa Cruz, N. Scenna
Centro de Aplicaciones Informáticas en el Modelado de
Ingeniería
UTN - Facultad Regional Rosario
2008
Simulación
dinámica
1
¾Conceptos básicos de la simulación digital de
sistemas continuos
¾Distinguir un algoritmo de integración explícito
de uno implícito
¾Distinguir un algoritmo de integración de paso
fijo de uno de paso variable
¾Reconocer un sistema “stiff” y
problemática en tiempo de simulación
su
¾Sistemas DAEs implícitas. Reconocer un
lazo algebraico y como tratarlo
¾Modelado de eventos en un programa de
simulación continua.
2
Aunque la naturaleza de los modelos matemáticos
puede ser muy variada las ecuaciones que forman el
modelo se pueden catalogar:
¾ ODEs (ordinary differential equations) o EDOs
(ecuaciones diferenciales ordinarias)
¾Ecuaciones explícitas y causales, de la forma:
y’ = f(x, y, t)
x = g(y, t)
DAEs (differential algebraic equations)
¾Ecuaciones implícitas y no causales, de la forma:
f(y’, x, y, t) = 0
g(x,y,t) = 0
Métodos numéricos de resolución de ODEs:
Métodos explícitos
¾Métodos implícitos
¾Métodos de predicción-corrección
¾Mejoras en la estimación: extrapolación
¾Métodos de paso variable
¾Estabilidad y Errores
Modelado de discontinuidades: eventos
3
Los simuladores modulares secuenciales disponen de una
lógica central que permite realizar los pasos necesarios a
los efectos de articular los modelos parciales (módulos)
para encadenarlos secuencialmente para resolver el
problema total (particionado, rasgado y ordenamiento)
OBJETIVO
Minimizar el número de
iteraciones para resolver el
sistema de ecuaciones que
representa
la
planta
completa.
Se logra así mayor
FLEXIBILIDAD
¾La filosofía de simulación que enfoca el
problema tomando un sistema de ecuaciones
único, representando a toda la planta es
llamada global u orientada a ecuaciones.
¾En simulación dinámica, se debe utilizar este
enfoque al resolver las ecuaciones
diferenciales involucradas para modelar la
planta.
4
Ecs.
Diferenciales
Asociadas a la
Planta
Vinculación
totalmente
diferente
Para resolver un sistema de ecuaciones
diferenciales, a partir de las condiciones
iniciales, deben obtenerse las variables
diferenciales (miembro izquierdo) en el
instante posterior, lo cual implica la resolución
de un sistema de ecuaciones algebraico. Esto
además implica, que el miembro derecho sea
calculable en función de los datos disponibles.
Problema
Calcular, para cada instante, el
miembro derecho a partir de
los valores de las variables
diferenciales (las que figuran
en el miembro izquierdo) y
demás datos
Para problemas “implícitos”
esto
implica
resolver
iterativamente un Sist. de Ecs.
algebraico en cada paso de
integración
5
Analizaremos el problema de construir el
modelo asociado a diversos equipos que
existen por lo general en los simuladores
comerciales
Se plantearán Modelos Dinámicos de
equipos sencillos y se discutirá su
estrategia de resolución
¾Los problemas de simulación dinámica en los
cuales se adopta la hipótesis de parámetros
concentrados involucran la solución de un
sistema de ecuaciones dif. ordinarias.
¾Exploraremos metodologías para lograr
modelos de simulación dinámica de equipos
sencillos.
6
SIMULACIÓN DINÁMICA DE
EQUIPOS SENCILLOS DE
PROCESO
Tanque abierto con flujo de salida
gravitatorio
7
Hipótesis asumida:
¾ Sistema adiabático
¾ Densidad constante, igual para ambas corrientes de
entrada, y por lo tanto para la corriente de salida.
¾ No hay reacción química
¾ Se desprecia la evaporación
Balance. de Materia:
¾E1 y E2 caudales volumétricos.
¾S caudal volumétrico de salida
¾ AT el área transversal del tanque, supuesto
cilíndrico
AT
d
h ( t ) = E1 + E2 − S
dt
(1)
8
¾Dado que la densidad del líquido es constante se
han divido ambos miembros por la misma a los
efectos de plantear la acumulación volumétrica
de fluido.
¾El caudal de salida depende de la altura, a partir
de la ec. de Bernoulli. La velocidad de salida la
expresamos como:
S ( t ) = A Sv s ( t )
v S (t ) =
2 gh (t )
Donde g es la aceleración de la gravedad, h(t) la altura del líquido
por encima del orificio de salida y AS , es el área del orificio de
salida.
Dadas las expresiones para el cálculo
del miembro derecho en función de la
variable diferencial h(t), la solución de la
Ecuación (1) es directa por cualquier
método explícito, por ejemplo Euler,
luego de especificar la condición inicial
h = h0 en t = t0 .
9
Tanque abierto con descarga
regulada por una válvula
A continuación se supone que el tanque
anterior ahora descarga por gravedad, pero
regulado por la acción de una válvula, según
se indica en la figura.
Hipótesis asumida:
¾ Sistema adiabático
¾ La densidad es constante
¾ Evaporación despreciable
¾ No hay reacción química
10
¾ Balance de materia:
d
AT h ( t ) = E − S
dt
(2)
donde E y S son el caudal volumétrico de entrada y
salida, respectivamente y AT el área de la base del
tanque (supuesta constante con la altura del mismo).
Si suponemos que E es constante y conocido, sólo
resta calcular S(t) y h(t).
¾ Para resolver este sistema, al igual que el caso
anterior, se debe asumir una condición inicial:
t = to, h = h(to).
Si el estado inicial es estacionario, la altura h(to) es
tal que genera una corriente de salida S(to) igual a
la entrada E. De lo contrario, la altura y caudal de
salida evolucionarán hasta el nuevo estado
estacionario.
11
¾ Podemos suponer una relación genérica del flujo y la
constante característica de la válvula, Cv, según la
expresión generalizada:
S = Cv ∆p = Cv
(P − P )
f
S
(3)
¾ Dado que el tanque se supone abierto, y descarga a la
atmósfera, la caída de presión entre ambos puntos es
simplemente la altura h de líquido. Por lo tanto:
S = C v f h (t )
(4)
donde f es un factor dimensional que homogeneiza la
ecuación.
¾ dada la condición inicial, instante a instante, se puede
determinar S(t), y por lo tanto h(t), para el intervalo de
tiempo dado. En efecto, dado un valor h(t0) y aplicando
el método de Euler por ejemplo, pueden calcularse la
altura h(t) y el caudal S(t) para el intervalo de tiempo
especificado, a partir de la Ecuación Diferencial (2) y la
ecuación algebraica (4).
¾ Nótese que puede complicarse el problema si la salida
no está a la altura h = 0. Para ser genéricos,
deberíamos asumir un número general de entradas y
salidas con sus respectivas alturas. Además del
balance de energía, si cambian las hipótesis.
12
¾Tanque abierto
¾Ahora suponemos un tanque al cual se lo
alimenta desde la base, según el esquema,
indicado en la Figura. Asumimos conocidas
la presión de entrada, Pe, y la presión de
salida, Ps, supuestas constantes.
¾El conjunto de hipótesis es similar al caso
anterior.
13
¾Balance de materia:
AT
d
h (t ) = E − S
dt
(5)
¾E y S pueden calcularse según:
E = Cv1 f
S = Cv 2 f
(P − P )
e
(P
f
(6)
f
− PS )
PF = P0 + ρl g h ( t )
(7)
(8)
¾con Pf presión en el fondo del tanque, ρl
densidad del fluido y g aceleración gravitatoria.
¾Conocido h(t) en cualquier instante podemos
calcular Pf, y por lo tanto S(t).
¾Luego, a partir de la Ecuación diferencial (5)
puede calcularse h(t) y S(t).
¾Asumimos que se utiliza un método explícito
para resolver la ecuación diferencial que
describe el comportamiento del sistema, que
para casos sencillos como estos resulta lo más
adecuado.
14
¾Tanque cerrado.
Hipótesis:
¾ Sistema adiabático
¾ La densidad es constante
¾ Evaporación despreciable
¾ No hay reacción química
¾ Datos: corriente E, igual temperatura en el tanque,
corriente E y S.
15
¾Se plantean 2 opciones:
9Equilibrio
9No equilibrio, con una masa de gas no
despreciable, y por lo tanto, la presión surge
de aplicar una ecuación de estado (ya sea la
ley de los gases ideales o bien otra más
realista)
Equilibrio
¾Debe evaluarse la presión de vapor. Por
equilibrio, la temperatura del vapor, es igual
a la del líquido
¾Por lo tanto, dado la temperatura del líquido,
la presión de vapor de equilibrio puede
calcularse utilizando cualquiera de las
correlaciones disponibles, por ejemplo,
Antoine. Pvs = f(T),
16
¾Una vez disponible la presión en la fase
vapor, los cálculos a realizar son
equivalentes al ejemplo anterior. En efecto,
sólo nos resta evaluar, para cada instante,
dada la presión en el fondo del tanque, los
caudales correspondientes.
Holdup de vapor no despreciable
¾
La presió
presión en el cuerpo de gas se puede calcular
dado que conocemos la temperatura y el volumen
PV
=
n R T
V G
G
VG = VT − AT h(t )
17
¾Determinado Pv, a partir de los moles iniciales
de gas en el recipiente (que se asume
permanecen constantes en el tiempo) todos los
cálculos que deben realizarse son similares a
los ya vistos en los ejemplos anteriores.
Evaporacion en tanque cerrado.
(con camisa de calefaccion)
18
Hipótesis:
¾ ∆P en líquido a través de la válvula no
genera cambio de propiedades apreciables
en el mismo.
¾Líquido perfectamente mezclado.
¾densidad de líquido constante
¾Sin pérdidas calóricas a través de las
paredes del recipiente y/o cañerías.
¾Se supone un control perfecto de la presión
de vapor de calefacción, Ps, a la cual le
corresponde la temperatura Ts.
¾Se supone que no existe reacción química.
¾ Asumimos equilibrio térmico entre el líquido y el vapor.
A partir de estas hipótesis se plantean los balances de
energía y materia:
¾ Balance de energía:
d
( M l H L ) = Q + ρ l EH L − VH V
dt
(9)
¾ donde Ml es el holdup de líquido, HL la entalpía
específica del líquido, E caudal volumétrico V caudal
másico de vapor y HV la entalpía específica del vapor
19
¾ Realizando la derivada del producto en la ec. 9,
operando algebraicamente y considerando la dHL/dt
igual a Cp*dT/dt nos queda:
dT Q −V (HV − HL) Q −V ( HV − HL)
=
=
(13)
dt
Cp ML
Cp ρl AT h(t)
¾
Balance de Materia
ρ l AT
d
h (t ) = ρ l E − V
dt
¾Consideramos despreciable el holdup de vapor
¾Para resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales, deben utilizarse las siguientes
relaciones:
Q = U Ah
¾
(T S
− TL
)
Ts es la temperatura de condensación del vapor
y TL la temperatura del líquido.
20
¾La masa de líquido retenida en cada
tiempo resulta:
M
l
= ρ l AT h (t )
¾El caudal de entrada E puede calcularse como en los
ejemplos anteriores; por ej., conocida la presión en el
fondo del tanque, Pf, tenemos:
E = C
v
f
(P
e
− P
f
)
P f = Pv + ρ l g h ( t )
¾El caudal másico de vapor que abandona el
tanque (V) puede calcularse a través de la
funcionalidad que vincula a éste con la caída de
presión a través de la válvula según el tipo
especificado, por ejemplo:
V = Cv
( Pv − P0 )
ρv
21
Reactor tanque agitado con intercambio de
calor.
Hipótesis:
¾ Reactor tanque ideal mezcla perfecta.
¾ Densidad del líquido constante.
¾ No existen pérdidas calóricas a través de las
paredes.
¾ Líquido de enfriamiento perfectamente mezclado en
camisa.
¾ Área y coeficientes de transferencia de calor
constantes.
22
¾
Solo estamos interesados en seguir la
evolución del componente A, que debido
a la reacción se transforma en productos
volátiles que se pierden a la atmósfera. La
reacción es elemental, con cinética
proporcional a la concentración de A
Balance de materia
d V
d t
l
=
E
− S
donde Vl es el volumen de líquido retenido en el
reactor.
Balance de materia para el reactante A:
d
(VlCaS ) = E Cae − S CaS − Vl k CaS
dt
donde k es la constante cinética, función de la
temperatura de líquido según:
 −∆H r 
k = k 0 exp 

 R TL 
donde ∆Hr representa el calor de reacción.
23
¾Balance de energía
ρl
d
(VHLs
) = ρl EHLe −ρlSHLS −(Vl kCas )∆Hr −Q
l
dt
conocemos las presiones de contorno, por lo cual son
calculables los caudales E y S, a partir de los
dispositivos que correspondan, según ya vimos.
Ae se supone conocida.
Para el cálculo de la concentración Cas debemos
conocer la temperatura del líquido (ya que k es función
de la misma). Ésta surge de la ecuación diferencial del
balance de energía.
‹ El calor transferido entre camisa y reactor se
calcula según:
Q = U Ah (TL − TaS ) = U Ah ∆Tm
En esta expresión no conocemos Tas, por lo
que deben agregarse nuevas relaciones o
nuevas hipótesis.
24
¾ Planteando la dinámica de la entalpía retenida en la masa
de agua de enfriamiento, se tiene:
ρa Va
d
( HLas ) = U Ah (TL − TaS ) + ρa Ae ( HLae − HLaS )
dt
¾
donde Hlae es la entalpía del agua en la entrada, Hlas
la entalpía en la salida, Ae es el flujo volumétrico y ρa
la densidad del agua (supuesta constante).
¾
Se supone holdup de agua constante y mezcla
perfecta en la camisa.
Tanques en serie.
Suponemos que Pe y P4 son conocidas
y constantes.
25
¾Balance de materia para cada tanque:
AT1
d
h1 ( t ) = E1 − S1
dt
AT2
d
h2 ( t ) = S1 − S 2
dt
AT3
d
h3 ( t ) = S 2 − S3
dt
¾Nuevamente, dados los valores de h1, h2 y h3 se
deberán calcular todas las demás variables.
E 1 = C v1 f
(P
− Pf 1 )
e
Pfi = Pvi + ρ l g hi
; i = 1 , 2, 3
S1 = Cv1 f
(P
S 2 = Cv3 f
(P
S3 = Cv4 f
(P
− Pf 2
f1
f2
f3
)
− Pf 3
)
− Pf 4
)
26
¾Faltan las ecuaciones que describan el
comportamiento del cuerpo de vapor, por
ejemplo asumiendo equilibrio, presencia de
inertes, etc.
¾ Conclusiones:
¾El número de ecuaciones se incrementa
rápidamente, al aumentar el número de
elementos del arreglo.
¾para sistemas muy grandes el tiempo de
cómputo es importante: Minimizar el esfuerzo
de cálculo al resolver el miembro derecho
resulta imperioso.
Controladores convencionales
¾
Controladores proporcionales,
derivativos e integrales
AC = AP + AI + AD
27
¾ El proporcional, se basa en el simple principio de
actuar mediante una señal enviada a la válvula de
control (de tal manera que la misma actúe operando
sobre el caudal) en una magnitud proporcional al error
(diferencia entre el valor deseado set point y el actual o
real). la acción de control proporcional, Acp, resulta:
Acp = K p ε
¾ donde ε = (h (t) - h set) y Kp es la constante de acción
proporcional del controlador (dato). A partir del valor
de Acp y dado el tipo de válvula de control (lineal, igual
porcentaje, etc.), se dispondrá de la ecuación que en
función de Acp y la caída de presión entre el sistema y
la descarga, nos brinde el caudal líquido de salida, L.
¾ Si en cambio utilizamos un controlador derivativo,
cuya acción del controlador es la derivada del error en
el instante t. La expresión del controlador derivativo
resulta de la siguiente expresión:
A cd = K d
d ε (t )
dt
¾ Si se utiliza un controlador integral o una combinación
que contenga una parte integral,
aparece la necesidad
t
de incorporar una nueva
diferencial. La ec.
ACI = Kecuación
I ∫ ε (t ) dt
que liga la acción de control0 con el error en este caso
responde a la forma:
28
¾ Si derivamos ambos miembros respecto del tiempo se
obtiene:
dACI
= ε (t )
dt
¾ De esta forma, se evita resolver ecuaciones integrodiferenciales, pero se agrega una ecuación diferencial
más al problema, por cada controlador con acción
integral.
¾ Los controladores con parte proporcional, en general
agregan la complejidad de introducir nuevas derivadas
en el miembro derecho, lo cual implica la utilización de
métodos numéricos implícitos
Modelado dinámico.
Tanque con nivel controlado.
29
Hipótesis:
¾Las presiones P0 y Ps son conocidas y
constantes.
¾Sin reacción química
¾Sistema isotérmico
¾Densidad constante
¾Controlador PID
Datos :
¾ A en flujo másico
¾ HT, altura del tanque
¾ AT, área del tanque
¾ Conductividad de la válvula
¾ KP, KI y KD, constantes proporcionales,
¾ integrales y diferenciales del controlador
¾ S expresado en flujo másico
¾ características de la válvula
¾ hSP es el set point de la altura, esto es el valor
deseado de la misma
30
Sistema de ecuaciones:
¾Balance de materia:
dM
= A− S
dt
d V
d t
ρ
ρ AT
=
d h (t )
= A−S
dt
d h (t )
=
dt
¾Válvula:
A − S
S = Cv α AC
(A
− S
ρ AT
)
PF − PS
ρ
ε = ( h ( t ) − hSP )
PF = P0 + ρ g h ( t )
AC = AP + AI + AD
AP = K Pε = K P ( h ( t ) − hSP )
t
AI = K I ∫ d ε
0
dAI
= K I ε = K I ( h ( t ) − hSP )
dt
31
dh ( t )
dε
= KD
AD = K D
dt
dt
Luego, tenemos el siguiente sistema
de ecuaciones diferenciales:
dA I ( t )
= K I  h ( t ) − h SP 
dt

P0 + ρ g h ( t ) − PS 
AC
 A − Cvα

ρ
dh ( t ) 

=
dt
( AT ρ )
Algoritmo de resolución
¾ Supondremos las condiciones iniciales conocidas.
¾ No obstante, en este caso la presencia de una derivada
en el miembro derecho nos obliga a la utilización de un
método implícito, para resolver numéricamente la
ecuación diferencial.
¾ Esto implica, instante a instante, durante la
integración, utilizar un método iterativo.
¾ En este caso, en general, al discretizar las ecuaciones
diferenciales, se plantea el problema de resolver un
sistema de ecuaciones algebraicas no lineales,
instante a instante, que debe resolverse en forma
iterativa.
32
MODELO PARA LA SIMULACIÓN
DINÁMICA DE UN
SEPARADOR FLASH
Hipótesis:
¾El vapor y el líquido en equilibrio
¾Existe solo una fase líquida y otra vapor.
¾No existen reacciones químicas.
¾Sistema adiabático.
33
¾Pv es la presión en el cuerpo de vapor, h es
la altura líquido, Pset y hset los valores
deseados o set points, P1 y P2 las presiones
de descarga (conocidas y constantes).
¾V caudal de vapor y L caudal de líquido, x e y
composiciones de líquido y vapor
¾ recurrimos a los balances de materia y energía, pero
ahora considerando el término de acumulación
Balance de materia por componente (i = 1,.., NC):
dMi
= F zi − V yi − L xi
dt
57
Balance de energía:
d ( HE )
= F HF − V HV − L HL
dt
58
donde los Mi representan el holdup de materia por
componente en la fase líquida y HE la acumulación de
contenido energético total, respectivamente.
34
¾ Para resolver el miembro derecho debemos calcular los
contenidos entálpicos y las constantes de equilibrio F:(T,P,
xi,yi) .
¾ Debemos conocer los valores de los caudales de líquido y
vapor
¾ Suponemos que conocemos el caudal de entrada, F, que se
supone constante, al igual que el vector de composiciones,
z, la temperatura y la presión de la alimentación.
¾ Las fracciones molares se calculan, por definición, según
la siguiente expresión:
x
i
=
M
N C
∑
i = 1
i
M
i
¾ Relación de equilibrio
yi = K i ( x, y , T , P ) xi
Para realizar el cálculo, debemos conocer T, P, ya las
xi son ahora conocidas.
Dado que es variable diferencial, conocemos en todo
instante el contenido HL.
A partir de HE (entalpía específica HL por holdup
líquido Ml) obtenemos HL
H L = H L ( x, , T , P )
35
¾ De la entalpía del líquido, podemos calcular la
temperatura, si tenemos la presión.
¾ La presión de vapor la calculamos a partir del
equilibrio, por la correlación de Antoine por ejemplo,
pero necesitamos la Temperatura del líquido.
¾ Debemos conocer los valores de los caudales molares
del vapor y líquido (V y L, respectivamente).
¾ Las relaciones que necesitamos en este caso surgen
de relacionar la caída de presión con el caudal.
Conocidas las presiones de a las cuales descarga
nuestro sistema y la presión de operación.
¾Tenemos controladores que regulan el caudal
de salida, L, en función del nivel y la presión Pv
del cuerpo vapor en función del caudal de salida
de vapor V
¾La introducción de tales ecuaciones es similar a
lo realizado en el ejemplo del tanque controlado.
Dependerá del tipo y los parámetros de los
controladores seleccionados.
36
¾Resumiendo, tendremos ecuaciones en un
formato general:
V =( f ( Pv − Pset ) , Pv , válvula, algoritmodecontrol)
L =( f ( h − hset ) , Pv , válvula, algoritmodecontrol)
¾Despreciamos la columna líquida para la
presión en el fondo del tanque.
37