2°EMT- ITS Conjuntos, Relaciones y Funciones 1. 1 Sea f (3, 0), ( , 2), (5, 1), (0,5) , determine: 2 i) D ( f ) . ii) x / f (x) =5 e y / f (3)=y. iii) Grafique f en ejes coordenados. Sea g (4, 2),(5, 2.5),(0,0),(6, 3), 3, 1.5 , determine: 2. i) D ( g ) . ii) Escriba una expresión genérica para g (x) . iii) Grafique g. 3. Observando los gráficos distinga cuales son funciones en los dominios establecidos para cada caso: D (f) D ( y) A x; x / 0 x 2 4. i) ii) D (g) D (k ) a, b, c B x; x /1 x 4 Exprese como intervalos los conjuntos A y B. Determine A B y A B. D (h) x; x / 1 x 1 D (m) a, b, c, d C x; x / 1 x 3 2°EMT- ITS x 3 ; R ( x, y) / y x 1 Sea A 2, 1, 0,1, 2 , R : A 5. Determinar R por extensión. ¿R es función de A en ? Justificar. i) ii) Sea A 4,5,10 , B 10,12 .R : A B ; R ( x, y) / x y ( y x) 6. Determinar R por extensión. ¿R es función de A en B ? Justificar. i) ii) 7. Sea A 2, 1, 0,1, 2 , B 5, 2, 4 .R : A B ; R x2 4 ( x, y) / y 2 x 2 Determinar R por extensión. ¿R es función de A en B ? Justificar. Hay cuatro subconjuntos de R que son funciones biyectivas de codominio B. Determínelas. i) ii) iii) 3 1 1 3 3 1 1 8. Dados A , , 1, 2, 0, , B , , , , 5,1 . 2 2 2 2 2 3 4 4x 1 R : A B ; R ( x, y ) / y 2x 3 i) Determinar R por extensión. 4x 1 Hallar A para que f : A B sea función biyectiva con f x, y ; y 2x 3 ii) 9. Sean A ; / 3 3 , B ; / 2 6 . R i) ii) : A B ; R ( , ); 2 4 si 0 , 2 1 si 0 Hallar R por extensión. Clasificarla. 10. a) A partir de los siguientes datos de la función f : sgn f + + -3 -1 + 3 , esboce un gráfico. crec.f x -3 -2 2 x 2°EMT- ITS Corte con Oy (0,-1) b) Resuelva f(x)<0. 11. A) Observando el gráfico de la función f: D (f) =…………. i. D(f) , completar: raíces:…..…….. Signo de f……………………………. ii. R (f) =…….. iii. Máx. abs:………. Mín. abs:.………. Max relativos:………………….. Mín. relativos:…………………. crecimiento de f……………………… Función Lineal y Cuadrática 12. Dadas las siguientes funciones definidas en R : a) estudia raíz, ordenada en el origen, sig.de f(x) , crecimiento, decrecimiento y grafica. a) f : f (x)=2x-6 b) f : f(x)=3(x+2) c) f : f(x)= - 1 x4 2 En cada caso, justifica crecimiento-decrecimiento, según i) coeficiente principal, ii) definición. 13. Dada j: la función h: ; h( x) 2 x 4 y ,dada por el gráfico: a) Grafique las dos funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos. b) Hallar el correspondiente de x según j (la fórmula de j). c) Encontrar gráficamente y analíticamente gr (h) gr ( j ) . d) Resolver en R j(x)>h(x). 2°EMT- ITS 14. Sea p, una función lineal de la cual se sabe que su corte con Oy es (0,-6) y el ángulo que forma su gráfico con el eje Ox es de 71,5 grados: a) Hallar p(x) b) Hallar el signo de p(x). 15. En la primera fila aparecen tres gráficos de funciones cuadráticas y a continuación una lista de funciones: Determinar que función le corresponde a cada gráfico. 1) 2) 3) 1 1 1 j(x)=- x 2 2 ; k( x) ( x 2)2 ; l(x)=- x 2 2 ; m( x) ( x 2)2 ; p(x)= x 2 2 2 2 2 2 q( x) 3( x 2)( x 1) ; r( x) ( x 2) ; s( x) 3( x 2)( x 1) ; t( x) 3( x 2)( x 1) 16. Resolver las siguientes ecuaciones en : 1) 9 x 30 x 25 (3x 5)(2 x 1) 2 17. Dada la función f : 18. Sea g : ; 2) ( x 1)(2 x2 x 3) x2 -1 ; f ( x) 2 x2 4 x 6 , realizar E.A. y R.G. dada por el siguiente gráfico: a) Hallar el correspondiente de x según g (la fórmula) b) Considere la función f del ejercicio anterior, hallar el punto de corte del gráfico de f con el gráfico de g. c) Resolver en R; f(x) > g(x) 2°EMT- ITS 19. 20. En el partido Uruguay-Venezuela, el PICHICHI uruguayo efectuó un tiro-libre cuya x2 trayectoria se corresponde con el gráfico de la función f ( x) 2 x , la barrera se 10 encuentra a 10m: a) Cuanto tiene que medir el hombre de la barrera para detener el tiro-libre. b) Determinar a qué distancia debe estar el arco para que sea GOL si el arco mide 2,5m. Los organizadores de un recital encargarán la construcción de un escenario rectangular, que tendrá una franja de 2 m de ancho en todo su contorno. Toda la superficie, incluida la franja, estará cercada por una valla de seguridad. Los artistas solicitaron que el escenario tenga un área de 240 m2, y los encargados de seguridad requieren que el largo del rectángulo sea el doble de su ancho. Calcula la longitud que deberá tener la valla de seguridad. Función Exponencial y Logarítmica 21. Matías recibió un sms donde aparecía lo siguiente: “Si reenvías este mensaje a 3 personas en la siguiente hora, tendrás 24 horas de buena suerte; si se lo envías a 5 personas tendrás una semana de buena suerte…”: a) Completa la siguiente tabla, suponiendo que todos los que recibieron el mensaje, decidieron tener un día de buena suerte. 1h 2 hs 3hs ….. Mensajes enviados Representa la información gráficamente. …. 1día t hs b) Completa la siguiente tabla, suponiendo que todos los que recibieron el mensaje, decidieron tener una semana de buena suerte. 1h 2 hs 3hs ….. 1día …. t hs Mensajes enviados Representa la información gráficamente. c) Si todos envían el mensaje a 5 personas, en cuanto tiempo las empresas de telefonía móvil recaudan aproximadamente u$s12.000.000 . 22. Completar las siguientes tablas a) Representar los resultados en sendos sistemas de coordenadas cartesianos. ¿Qué observa? b) De acuerdo a los gráficos realizados, escribe el dominio, el recorrido, el signo y el crecimiento de cada una de las funciones. x 1 2 3 10 100 -1 -2 -10 -100 x 1 2 3 10 100 -1 -2 -10 -100 2°EMT- ITS 23. Resolver en (,,·, ) : i) 3 x 9 2 x 3 ii) 5 3x 2 iv) 3 2. 3 3 0 2x x 25. 26. iii) 3 2x x v) 10 10 2 0 2 x 1 1 0 viii) e 2 x 1 4 vii) 4 24. 1 0 25 2x x vi) e 3.e 2 0 x x x) 4 6.2 8 0 Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia radiactiva que va quedando al pasar un tiempo t viene dada por: M M 0 .a t con M 0 la cantidad de sustancia inicial y a una constante (0 a 1) que depende de la sustancia en cuestión y de la unidad de tiempo que tomemos. Sabiendo que el período de semi-desintegración del radio es de 1620 años (período de tiempo en el cual su masa inicial se reduce a la mitad) y partiendo de una muestra de 1 gramo de radio en el año 1900: i) ¿Qué cantidad de radio quedará en el año 2000? ¿Y en el 3000? ii) ¿Cuándo quedará 0,8 g de radio? ¿Cuando había 1,5 g de radio? ¿En algún momento la sustancia desaparece completamente? Calcular: i)log 2 8 ii)log10 1000000 iii)log 4 2 iv)log b 1 v)log a a vi)log b b Completar las siguientes tablas x 1 2 3 10 100 1/2 1/4 1/10 1/100 x 1 2 3 10 100 1/2 1/4 1/10 1/100 log2x log1/2x Considera las siguientes funciones: f: f(x)= 5.3x y g: g(x)= log (x+1) cuyos dominios son (f)= ℝ y (g) = (-1,+∞) a) Calcula si es posible : i) f(0) ii) g(0) iii) f(-3) iv) g(-3) b) Indica cuando sea posible , para qué valor aproximado de x se cumple que: i) f(x)=8 ii) g(x)=5 iii) f(x)=0 iv) g(x)=0 D 28. 243 2 x 3 e0 ix) e c) Representar los resultados en sendos sistemas de coordenadas cartesianos. ¿Qué observa? d) De acuerdo a los gráficos realizados, escribe el dominio, el recorrido, el signo y el crecimiento de cada una de las funciones. 27. x D Resolver en (,,·, ) : ( ) i) iii) ( ) ( v) √ vii) √ ii) ) iv) vi) ( ) viii) ( iii) ( ) ( ) ) 2°EMT- ITS Función Racional 29. El siguiente es un bosquejo de g: D ( g ) / g ( x) ax b , determinar: cx d i)D ( g ) ii) Raíces de g iii) Signo de g iv) Asíntotas v) Corte con Oy vi) Signo de g(-9) 30. Dada la función f: D ( f ) / f ( x) x2 12 6 x a) E.A y R.G. de f(x.) b) Resolver: f ( x) 0 c) Sea g : ; g ( x) 5 2x , hallar gráficamente y analíticamente gr ( f ) gr ( g ) . 6 d) Resolver gráficamente f(x)>g(x). 31. Hallar el dominio y las raíces de las siguientes funciones: x2 4 12 3 b ( x ) 2 x 1 a ( x) x 1 ( x 4)2 ( x 4) x 1 x 32. Resolver en R: i ) 5 x x 1 x 1 2 0 ii ) x4 x2 x 1 x 4 iii ) 6 3x 2 x 6 3x 2°EMT- ITS Función Cuadrática ( con derivada) 33. Estudio analítico ( EA ): Dominio. Ceros. Signo. Ordenada en el Origen. Calculo de “Función Asociada”. Máximos y mínimos. Ramas Infinitas Representación gráfica (RG). f1(x) = x2 -5x + 6 f2(x) = x2 – 1 f4(x) = (x-5) (x+3) f5(x) = (x -2)2 f7(x) = ½ x2 f8(x) = -x2 + x – 1 f10(x) = (x-1)(x+2)-2(x-1) 34. f3(x) = -2x2 – 4 f6(x) = -2x2 - 3x f9(x) = 3x2 - x Sea la función g / g ( x) 2 x 2 bx c a) halla b y c reales / g(1)=-12 y g( 3)=0 b) para b y c hallados EA y RG de g(x). 35. Sea g:ℝ→ℝ dada por el siguiente gráfico: a) b) c) 36. Hallar el correspondiente de x según g (la fórmula). Dada la función f:R→R; f(x)=-2x+7 hallar el punto de corte del gráfico de f con el gráfico de g. Resolver en R; f(x) > g(x) Resolver las siguientes Inecuaciones: (x - 3)2 - (2x - 5)2 ≤ 0 2x + ½ < 0 2x2 ≤ 1 - 12x+11 2 2x2 -1 - x2 -1 ≥ 12x + 3 – 2x 3 2 6 -3x + 15 ≤ 0 -x2/3 ≥ x-8 (4x2 - 8x) . (1- 2x) ≤ 0 Polinomios (Identidad, Operaciones elementales, Ruffini, teroema del resto, Descartes y descomposición factorial) Función Polinómica de tercer grado 2°EMT- ITS 37. Estudio analítico ( EA ): Dominio. Ceros. Signo. Ordenada en el Origen. Calculo de “Función Asociada”. Máximos y mínimos. Ramas Infinitas y Representación gráfica (RG). h1(x) = (x-2) (x-1) 2 h2(x) = x . (x2 -8/3 x -1) h3(x) = (x – 1)2 ( x + ½) h4(x) = (x-3)3 h5(x) = (x+3)(x–4)( x + 2) h6(x)= -2(x-2) 2(x+1) h7(x)= -x ( x2 -2x + 3) 3 2 h8(x)= -x +2x +5x+1 38. 39. Dado P(x) = 2 x 3 a 1x 2 3a bx 2a 3b hallar a y b sabiendo que P(x) dividido entre (x-2) da resto 2 y que P(x) dividido entre (3x+3) da resto 5. Sea el polinomio P(x) = 2x3 + ax 2 -10x + b i)Hallar a y b sabiendo que P(x) es divisible entre (x+3) y que P(x) dividido entre ( x+2) da resto 8. ii)Con a y b hallados expresar P(x) descompuesto factorialmente, estudiar signo y bosquejar. iii) halla cociente y resto de dividir ( P( x) entre (2 x 2 x 2) 40. 3 2 Sea P(x) = x 5 x 2 x 8 cuyo signo es: Se pide calcular los extremos relativos. 41. Dada la función polinómica f: f(x) = 2x3 + ax2 -23x + b+2 , i) hallar a y b sabiendo que f(x) dividido (x – 2) da resto -30 y que 3 es raíz, ii) escribe la descomposición factorial de f(x). iii) Resuelve f(x) >0 42. a) Estudia signo de la función g: g(x) = (-x+ 1) (x2 -16). b) Realiza su bosquejo. c) Desarrolla y halla sus extremos relativos. 43. Sea F(x) = 2x 3+ (a - b) x2+ ax + 2b Determinar el polinomio F(x) en su forma general sabiendo que: F(3) + F(1) = 120 y que F(x) es divisible entre (x+2) Escribir la descomposición factorial de F(x) 2°EMT- ITS 44. 45. 46. Calcular Q(x) sabiendo que Q(x) = F(x) + (2x - 1)2 Dado P(x)= x3-3x2+ax+3 i) hallar a sabiendo que P(x) es divisible entre (x-1). Dado P(x)= -2x3+6x2+ax+b i) hallar a y b sabiendo que P(x) es divisible entre (x+2) y que dividido entre (x-1) da resto –12. ii)para a y b hallados estudiar signo de la imágenes de P(x) , efectuar DF y bosquejar. iv) resolver P(x)<0 El sig. gráfico corresponde a una función real de tercer grado a. halla la expresión de f(x) b. indicar el signo de f(x) c. indicar el signo de f’(x) 47. Observando el gráfico adjunto halla f(x) sabiendo que es una función de segundo grado y que el coeficiente principal es 3 , ¿ es f (x) divisible entre ( x + 2)? ¿ y entre x? 48. a. Determinar f(x) a partir de su gráfico sabiendo que es de tercer grado. b. Estudiar sg. de f (x). c. ¿ De qué signo son f ( 5/2) , f( -1/4) y f ( 563)? d. Determinar el resto de dividir f (x) entre : i) ( x + 3 ) ; ii) x . e. Resuelve f(x)≤ 0 2°EMT- ITS 49. Dado el gráfico de la función polinómica f de tercer grado : a) hallar la expresión f(x) sabiendo que f(2) = 20. b) Estudia sg. f(x). c) Resuelve f(x) > 0 . 50. Escribir la descomposición factorial de las siguientes funciones polinómicas : A(x) =2x3 - x2 - 7 x + 6 ; B(x)=2x3 - 7 x2 - 7 x + 12 ; C(x) = x3 + 5 x2 - 8 x – 12; D (x) =2 x3 + 9x2 + 10 x + 3 ; E(x) = -7x4 + 12 x2 + 2 x5 - 7x3 ; F(x) =2x4 - x3 -7x2 +6x Funciones definidas por intervalos – Continuidad – Lectura de gráficos 51. Representar gráficamente las siguientes funciones x–1 1. 2. –1 si x < 1 4–x si x ≥ 1 3 si x < 1 3. f(x) = 3 si x ≥ 2 x–1 si x ≤ 3 f(x) = 4. f(x) = 2 52. si x < 2 f(x) = 4–x si x > 3 si x ≥ 1 x 2 1 si x 1 investiga continuidad en x=1 y bosqueja. 2x si x 1 a) Sea g:g(x)= x 2 2x 1 si x 0 si x 0 2x - 1 b) Idem. en x=0 si f:f(x)= 53. 2 x 1 si x 2 a) Sea g : g(x) = representa gráficamente e indica ceros y signo. 2 9 x si x 2 b) Investiga continuidad en x=2. Justifica. c) Observando el grafico indica lim para x . 5 x si x 3 d) Sea g : g(x) = 2 representa gráficamente e indica ceros y signo, investiga x 9 si x 3 continuidad en x=3 Justifica . Observando el grafico indica lim para x . 2°EMT- ITS 54. El siguiente gráfico corresponde a una función real , indica: a) b) c) d) 55. dominio y recorrido ceros y signo crecimiento y extremos relativos lim f(x) lim f(x) lim f(x) + x→ 2 x→ 2 x→ +∞ lim f(x) x→ - ∞ Observa el gráfico adjunto correspondiente a una función f, e indica: a) Dominio de f; b) raíces y signo de f(x); c) crecimiento, decrecimiento y extremos (relativos absolutos); d) lim f(x) lim f(x) x +∞ x +∞ e) lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(x) x 0+ x 0x 7+ x 7– 56. PROPUESTAS DE PARCIALES Primer parcial Matemática 2°EMT turno Matutino 2°EMT- ITS 23 de junio 2014 EJERCICIO 1 Observando El gráfico de la función ( ) ℝ ℝ completar: ( ) i) ii) signo de f(x) iii) Extremos iv) crecimiento EJERCICIO 2 Sea ( ) a) Hallar ℝ, sabiendo que ( ) . b) Hallar todas las raíces de ( ). ( ). c) Hallar EJERCICIO 3 A partir de los siguientes datos de la función f, esboce un posible gráfico de ella. Signo de f (x) - 0 -5 + 0 -3 - - 0 + 0 -2 -1 4 - 0 + 6 x im 𝑓(𝑥) ∞ im 𝑓(𝑥) ∞ im 𝑓(𝑥) ∞ im 𝑓(𝑥) ∞ 𝑥 − + 𝑥 − − Crec. f ( ) M -4 -2 ( ) M 2 m 5 ( ) 𝑥 +∞ x 𝑥 −∞ ( ) EJERCICIO 4 Dados los conjuntos A={0,1,2,3,4} y B={-2,-1,0,1,2,3} a) Hallar por extensión una relación de A→B y una de B→A. b) Sea f: A→B/f(x)=x+a, determinar un valor de a ℝ sabiendo que f es función. Clasificar f en sobreyectiva, inyectiva o biyectiva. c) Hallar por extensión A’, sabiendo que A y que f: A’→B es función biyectiva, siendo f la función definida en la parte b. 2°EMT- ITS 2°EMT- ITS 2°EMT- ITS 2°EMT- ITS 2°EMT- ITS 2°EMT- ITS Examen de Matemática- 7 de julio de 2014 Nombre: 1) Grupo: Se da la función racional ( ) a) b) c) d) e) f) Estudia el dominio de q explicando como lo razonas. Determina la raíz, y la ordenada en el origen de q Calcula f(7) , f(-3) y f(-2) Estudia el signo de las imágenes de f Hallar las ecuaciones de las asíntotas. Representar gráficamente 2) La siguiente es la representación gráfica de la función f(x)=log (x) a) Determina siempre que sea posible: f(-1), f(1), f(x)=3 b) Representa gráficamente en el mismo sistema de ejes coordenados (explicando como lo realizas) la función g : g(x)=log(x+2) , y la función h: h(x)=log(x)+2. c) Indica dominio de g y de h. d) Halla raíz, ordenada en el origen de g. Explica como lo hiciste. 3) Dado ( ) a) Hallar a yb ( sabiendo que ) P x es divisible entre (x+1) y que P(2)=-75 b) Escribe la descomposición factorial de P( x) . c) Hallar cociente y resto de dividir P(x) entre d) (LIBRES) EA y RG del polinomio P(x) 4) ( ) -1 Resuelve en R: a. b. c. d. + ( ( + ) ) ( ) ( ) 2°EMT- ITS Ejercicios de exámenes q : q ( x) 1) Se da la función racional g) h) i) j) k) l) x7 2 x 8 Estudia el dominio de q explicando como lo razonas. Determina la raíz, y la ordenada en el origen de q Calcula q(10) , q(-6) y q(-12) Estudia el signo de las imágenes de q Hallar las ecuaciones de las asíntotas. Representar graficamente 5) La siguiente es la representación gráfica de la función f(x)=2x e) Determina: f(-1), f(3), f(x)=8 , f(x)=1 f) Representa gráficamente en el mismo sistema de ejes coordenados (explicando como lo realizas) la función g : g(x)=2x -1 , y la función h: h(x)= 2x - 2. g) Indica recorrido de f y de h h) Halla raíz, ordenada en el origen de h. Explica como lo hiciste. 6) Dado P x 3x3 ax2 bx 36 a) Hallar a y b sabiendo que P x es divisible entre b) Escribe la descomposición factorial de P( x) . x 3 y que 1 es raíz P x . 2°EMT- ITS c) Determina el polinomio Q x sabiendo que P x Q( x).T ( x) y que T x x 1 7) Dada la representación gráfica de un polinomio de tercer grado Q( x) : a. Escribe la descomposición factorial de Q( x) b. Escribe la expresión desarrollada de la función. c. Realiza diagrama del signo de Q( x) . I. Resuelve en R: 2) log5 x 3 2 3 4) 2 .2 26 3) 27 x x1 2x 5) 4 3.4 2.4 32 x x x 8) A) Indica si los siguientes gráficos corresponden a funciones, indicando su dominio y recorrido: B) Se definen: A={xϵℕ*/ x<5} y B={ -1,0,1,2}. Dada las siguientes relaciones: g: A →B/ g={ (x,y) / x=y2} y h: A→B/ h={(x,y)/y=x-2} a. ¿Son g y h una función? En caso afirmativo clasificarla. Justifica tu respuesta. b. Es posible definir una función de A en B que sea inyectiva pero no sobreyectiva, justifique.