Estudio y representación de funciones.

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
I ) DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN:
Es el conjunto de puntos donde tiene sentido realizar las operaciones indicadas en el criterio de
definición de la función. Los casos más típicos:
• Dominios de funciones en las que aparecen cocientes : No están definidas en los valores que
anulan el denominador.
• Dominios de funciones en las que aparecen raíces : No están definidas las raíces pares de
radicandos negativos.
• Dominios de funciones en las que aparecen logaritmos : No están definidos los logaritmos de
números negativos ni de cero.
• Dominios de funciones en las que aparecen tangentes : No están definidas las tangentes en los
π
valores + kπ (k ∈ ] )
2
• Las funciones polinómicas, la exponencial y el seno y coseno están definidas en toda la recta
real.
II ) PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES.
•
•
Corte con OX : Se hace y = 0 y calculamos los correspondientes valores de x.
Corte con OY : Se hace x = 0 y calculamos los correspondientes valores de y.
III ) SIMETRÍAS.
Si f es función par, f (x) = f (−x), entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY.
Si f es función impar, f (x) = − f (−x), entonces su gráfica es simétrica respecto del origen de
coordenadas.
Nos permite dibujar la gráfica de una función en un segmento del dominio y reproducir el resto
por simetría.
•
•
IV ) PERIODICIDAD.
f es periódica de período P, se existe un número real P > 0 tal que f (x + P) = f (x) para todo x.
Nos permite dibujar la gráfica de la función en un intervalo [a, a + P) y reproducir el resto por
translación. Es interesante cuando la función viene definida por medio de funciones
trigonométricas, como por ejemplo y = f (x) = sen x, que es periódica de período 2π.
V ) MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Creciente
estrictamente creciente
f (x) es
Decreciente
estrictamente decreciente
en un intervalo I si para cualquier par de puntos del
intervalo, x1 < x2 se verifica
f (x1) ≤ f (x2)
f (x1) < f (x2)
f (x1) ≥ f (x2)
f (x1) > f (x2)
creciente
estrictamente creciente
f (x) es
decreciente
estrictamente decreciente
En un punto x0
si existe un entorno de x0 ,(x0 − δ, x0 + δ)
con δ > 0, en el que f (x) es
creciente
estrictamente creciente
decreciente
estrictamente decreciente
DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE MONOTONÍA:
Teorema:
Si f es una función derivable en un intervalo y f ‘ > 0 en ese intervalo entonces f es
estrictamente creciente en el intervalo.
Teorema:
Si f es una función derivable en un intervalo y f ‘ < 0 en ese intervalo entonces f es
estrictamente decreciente en el intervalo.
Estos resultados nos permiten determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una
función.
VI ) EXTREMOS RELATIVOS (MÁXIMOS Y MÍNIMOS):
f (x) tiene un máximo relativo (local) en x0 si existe un entorno de x0, (x0 − δ, x0 + δ), tal
que ∀ x ≠ x0 del entorno se verifica f (x) < f (x0).
f (x) tiene un mínimo relativo (local) en x0 si existe un entorno de x0, (x0 − δ, x0 + δ), tal
que ∀ x ≠ x0 del entorno se verifica f (x) > f (x0).
DETERMINACIÓN DE LOS EXTREMOS RELATIVOS:
Teorema:
Si una función f tiene en un punto x0 un extremo relativo, y es derivable en ese punto
entonces
f ‘ (x0) = 0.
Este teorema nos permiten determinar los puntos donde puede haber máximos o mínimos,
pero es una condición necesaria pero no es suficiente ya que por ejemplo f (x) = x3; f ‘ (x) = 3x2 se
anula en x = 0, pero x = 0 no es ni mínimo ni máximo sino que será un punto de inflexión.
El punto de partida será, entonces localizar los puntos donde se anula la derivada primera
(puntos críticos) y usar uno de los cuatro criterios siguientes para decidir si alguno de esos puntos
son máximo o mínimo
• Criterio 1: Variación de la función.
Si x0 es un punto crítico y f ( x 0 ± h) < f ( x 0 ) para un h lo suficientemente pequeño, entonces f
tiene un máximo relativo en x0.
Si x0 es un punto crítico y f ( x 0 ± h) > f ( x 0 ) para un h lo suficientemente pequeño, entonces f
tiene un mínimo relativo en x0.
• Criterio 2: Variación de la derivada primera.
Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada f ’ es positiva y en los puntos
mayores que x0 es negativa, entonces f tiene un máximo relativo en x0.
Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada f ‘ es negativa y en los puntos
mayores que x0 es positiva, entonces f tiene un mínimo relativo en x0.
• Criterio 3: Derivada segunda.
 f ′′ (x0 ) < 0
Si f (x) tiene derivada segunda en un entorno de un punto x0 y f ‘ (x0) = 0 y 
 f ′′ (x0 ) > 0
máximo
entonces f tiene un 
relativo en x0.
mínimo
El criterio 3 basta para la mayoría de los ejercicios. Si f ‘’(x0) = 0 entonces hay que usar
alguno de los anteriores o el Criterio General de Taylor enunciado más adelante.
VII ) CURVATURA: INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.
•
Una función es convexa en un intervalo I si para cualquier par de puntos a, b de ese intervalo, el
segmento rectilíneo que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) queda por encima de la gráfica de f
(x).
Una función es cóncava si el segmento queda por debajo de la gráfica de f (x).
O sea, la gráfica de y = f(x) = x2 es convexa. (Es la definición más habitual)
•
Una función derivable en un intervalo es convexa (cóncava) en un punto a del intervalo si la
gráfica de la función queda por encima (debajo) de la recta tangente en ese punto.
DETERMINACIÓN:
Teorema:
Sea f dos veces derivable en un intervalo;






si f ‘’(x) > 0 en un intervalo entonces f es convexa
en ese intervalo.
si f ‘’ (x) < 0 en un intervalo entonces f es cóncava
en ese intervalo.
VIII ) PUNTOS DE INFLEXIÓN
•
Se llama punto de inflexión de una función a el punto en el que cambia el carácter de cóncavo
a convexo o de convexo a cóncavo. Si la función es derivable, la recta tangente en el punto de
inflexión corta a la gráfica.
DETERMINACIÓN:
Si una función tiene un punto de inflexión en x0 y existe f ‘’(x0) entonces f ‘’(x0) = 0.
La condición es necesaria pero no suficiente ya que por ejemplo f (x) = x4 cumple que f ‘’(0) =
0 tiene un mínimo y la función es convexa.
El punto de partida será, entonces localizar los puntos donde se anula la derivada segunda
y usar un de los criterios siguientes para decidir si son puntos de inflexión.
• Criterio 1: Variación de la derivada segunda.
Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada segunda f ‘’ es positiva y en
los puntos mayores que x0 es negativa, entonces f tiene un punto de inflexión convexo-cóncavo
en x0.
Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada segunda f ‘’ es negativa y en
los puntos mayores que x0 es positiva, entonces f tiene un punto de inflexión cóncavo-convexo
en x0.
• Criterio 2: Derivada tercera.
 f ′′′ (x0 ) < 0
entonces f
Si f tiene derivada tercera en un entorno de un punto x0 y f ‘’(x0) = 0 y 
 f ′′′ (x0 ) > 0
convexo - cóncavo
tiene en x0 un punto de inflexión 
cóncavo - convexo
Si f ‘’’(x0) = 0 hay que usar el criterio 1.
IX ) ASÍNTOTAS
•
Asíntotas horizontales. La recta y = k es asíntota horizontal de la función y = f (x) si existe
alguno de los límites:
Lim f ( x) = k
o
Lim f ( x) = k
x→ − ∞
x →+ ∞
Como mucho la función tendrá dos asíntotas horizontales.
La gráfica puede cortar a la asíntota horizontal pero en la mayoría de los casos a partir de un
punto permanece por encima o por debajo de ella.
Conviene estudiar si la gráfica de la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo,
mirando los valores que toma la función para x grandes.
•
Asíntotas verticales. La recta x = a es una asíntota vertical de la función y = f (x) si en el
punto x = a la función tiene una discontinuidad infinita o de salto infinito, o sea, se verifican
alguno de los siguientes límites:
Lim f ( x) = ±∞ o
Lim+ f ( x) = ±∞
Lim− f ( x) = ±∞
o
x→ a
x→ a
x→ a
Puede haber infinitas asíntotas verticales.
En los cocientes de funciones las asíntotas verticales están en los ceros del denominador que no
anulan el numerador.
• Asíntotas oblicuas. La recta y = m x +n , con m ≠ 0, es una asíntota oblicua de y = f (x) siendo
f ( x)
y
n = Lim[ f ( x) − mx ]
m = Lim
x→ ∞
x→ ∞
x
Las asíntotas existirán si existen estos límites y son números reales.
Si una función tiene asíntotas oblicuas en +∞ o –∞ entonces no puede tener horizontales y
recíprocamente.
La gráfica de la función puede cortar a la asíntota oblicua.
Conviene estudiar si la gráfica de la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo
observando el signo de [f (x) – (mx + n)].
Una función racional tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es una unidad mayor que
el grado del denominador.
Criterio General de Taylor. (Para máximos, mínimos y puntos de inflexión con tangente
horizontal)
Sea f (x) una función con derivada de orden n continua en un entorno de un punto x0 y tal que:
f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) = f ′′′( x 0 ) = ... = f ( n −1) ( x 0 ) = 0 pero f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0
ENTONCES
máximo
si f ( n ) ( x 0 ) < 0
Si n es par, f tiene en x0 un máximo o un mínimo relativos
mínimo
si f ( n ) ( x 0 ) > 0
Si n es impar, f tiene en x0 un punto de inflexión con tangente horizontal
convexo-cóncavo
si f ( n ) ( x 0 ) < 0
cóncavo-convexo
si f ( n ) ( x 0 ) > 0
Para rematar:
• Si la función presenta discontinuidades, deben ser analizadas. (Las asíntotas verticales son
discontinuidades infinitas).
•
Si en el criterio de definición de la función aparece el valor absoluto, debe redefinirse la función
en dos partes.
•
Debe hacerse una pequeña tabla de valores para una buena representación.