Exponenciales y logaritmos a partir de ecuaciones diferenciales

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Exponenciales y logaritmos a partir de ecuaciones
diferenciales
Prociencia - grupo 3
Índice general
Capítulo 1.
Introducción
5
Capítulo 2.
Ecuación del movimiento de Newton
7
Capítulo 3.
Caída libre con resistencia
9
Capítulo 4. Problemas modelados por ecuaciones de la forma x0 = ax
1. Caída libre en un medio viscoso
2. Un modelo simplificado para la presión atmosférica
3. Descarga de un condensador
4. Crecimiento de poblaciones y decaimiento radioactivo
5. Enfriamiento de cuerpos
15
15
17
18
19
20
Capítulo 5. La ecuación x0 = x y la función exponencial
1. Multiplicidad de soluciones y problemas de valores iniciales
2. Invariancia en el tiempo y propiedad de grupo
3. Solución de problemas iniciales cualesquiera para x0 = ax
4. Propiedades notables de la exponencial
23
24
26
28
30
Capítulo 6. Intuiciones acerca del número e
1. Derivadas de funciones exponenciales
2. Discretización de la ecuación y número e
33
33
34
Capítulo 7. Aplicaciones de la función exponencial
1. Análisis de los problemas con ecuaciones del tipo x0 = ax
2. Interés continuo
3. Distribución exponencial en probabilidades
39
39
43
45
Capítulo 8. Los logaritmos
1. Algunos problemas que conducen a invertir la exponencial
2. Definición y propiedades del logaritmo en base e
3. Logaritmos y proporcionalidad inversa
4. El papel del número e
5. Aplicaciones
49
50
51
52
55
56
Capítulo 9. Refinamiento y aplicaciones de los modelos de caída libre
1. El modelo sin resistencia del aire
2. El modelo con resistencia lineal
3. El modelo con resistencia cuadrática
4. Introduciendo algunas simplificaciones crudas
5. Comentarios finales
59
59
60
61
62
62
3
CAPíTULO 1
Introducción
Estas notas apuntan a la presentación de la función exponencial
x(t) = et
a partir del problema de valores iniciales
0
x = x,
(1)
x(0) = 1,
y a mostrar que esta aproximación permite derivar todas sus propiedades. De hecho, si se
recurre a argumentos generales de la teoría de las ecuaciones diferencias para mostrar la
existencia de soluciones del problema (1), es posible hacer una presentación completa y
rigurosa de la función exponencial por esta vía. No incluimos en este material los resultados
de existencia, pero están disponibles en muchos lugares de la literatura. De todos modos,
nuestra princial intención no es la de ofrecer un tratamiento riguroso completo, sino la de
recorrer una visión alternativa a la predominante en los cursos de cálculo, que habilite a
establecer conexiones con otros temas de la matemática y sus aplicaciones, enriqueciendo
así la visión sobre estos temas.
La consideración de problemas como (1) estará motivada por la modelizació de diversas situaciones, fundamentalmente de problemas físicos. Discutiremos también por qué
el número e es natural como base para las potencias y los logaritmos y presentaremos argumentos heurísticos que llevan a conjeturar algunas de las posibles definiciones de esta
constante fundamental de la matemática.
5
CAPíTULO 2
Ecuación del movimiento de Newton
Cuando un cuerpo se mueve en el espacio son las fuerzas que actúan sobre él las que
determinan su estado de movimiento. Pero no lo hacen afectando directamente la posición
ni la velocidad, sino modificando el valor de la aceleración. Esto se corresponde directamente con algunos hechos de nuestra experiencia: por ejemplo, cuando empujamos un
automóvil usando toda nuestra fuerza, al comienzo apenas conseguimos que se mueva
muy lentamente. Si perseveramos, poco a poco lo veremos ganar velocidad. Pero, por más
fuerza que hagamos, no podemos conseguir dotar inmediatamente al coche de una velocidad prodigiosa. De hecho, el tiempo que demoran en alcanzar los cien kilómetros por hora
es uno de los parámetros que los fabricante de autos deportivos comunican al público: ni
siquiera un motor potentísimo puede acelerar instantáneamente un vehículo. También es
imposible conseguir que la posición del vehículo se modifique instantáneamente apareciendo de súbito en la otra esquina.
La ley de Newton tiene un enunciado notablemente simple
FUERZA = MASA ×ACELERACIÓN .
Esta ecuación es vectorial, tanto las fuerzas como las aceleraciones tienen una dirección
y un sentido en el espacio, además de un módulo que mide su intensidad. Pero cuando el
movimiento es rectilíneo la descripción de posiciones, velocidades, aceleraciones y fuerzas
puede reducirse a números que hacen referencia a un eje orientado. Por ejemplo, la dirección de las fuerzas actuantes estará dada por la dirección de la recta sobre la que estemos
trabajando. Con un número real f basta entonces para caracterizar el módulo y el sentido
de una fuerza F. El módulo es simplemente el módulo | f | del número, y el sentido irá en la
dirección positiva del eje si f > 0, y en la negativa cuando f < 0. La posición del móvil en
cada tiempo t puede describirse por una función p(t) que a cada instante t le asocia la abcisa del punto en el eje en el que el móvil se encuentra. La velocidad v(t) en el instante t es
la derivada p0 (t) de p(t), y la aceleración a(t) su derivada segunda p00 (t). En algunos casos
usaremos x(t) o y(t), el cambio de nombre en las variables es completamente irrelevante.
E JEMPLO 2.1. C AÍDA LIBRE SIN RESISTENCIA .
Cerca de la superficie de la Tierra la atracción gravitatoria es esencialmente constante,
y se caracteriza por un constante g, cuyo valor es de aproximadamente 10m/s2 . Si despreciamos la resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre un cuerpo que está cayendo
es su peso. Para una caída vertical podemos describir todo el movimiento con la ayuda de
una única coordenada: la altura y(t). Si adoptamos la convenciòn habitual de orientar el eje
y de modo que y crezca cuando la altura aumenta, el peso de un cuerpo de masa m es −mg.
El signo de menos nos recuerda que el peso tiende a llevar el cuerpo hacia abajo. La ley de
Newton toma la forma
my00 = −mg,
7
8
2. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
que se simplifica cancelando la constante positiva m en
(2)
y00 = −g.
La aceleración es constante, de modo que la velocidad y0 (t) satisface
(3)
y0 (t) = v0 − g(t − t0 ),
donde t0 es el instante inicial del movimiento, y v0 la velocidad del cuerpo en el tiempo t0 . El conocimiento de la velocidad (3) y la altura inicial y0 en el tiempo t0 determina el
movimiento posterior, que debe obededer la ley horaria
g
(4)
y(t) = y0 + v0 (t − t0 ) − (t − t0 )2 ,
2
En el ejemplo de un cuerpo en caída libre la aceleración del cuerpo es constante,
porque la fuerza que actúa sobre el cuerpo lo es. En general las fuerzas dependen del tiempo, frecuentemente a través de la posición y la velocidad. Esto hace que el planteamiento
de la ley del movimiento de Newton concuzca a establecer relaciones entre la posición y
sus derivadas que reciben el nombre de ecuaciones diferenciales.
CAPíTULO 3
Caída libre con resistencia
La versión inglesa de wikipedia reporta el notable caso de Ivan Mikhailovich Chisov,
subteniente de la antigua Unión Soviética, que sobrevivió a una caída libre de casi siete
kilómetros de altura.
Esta fuente relata que el piloto volaba su Ilyushin II-4 en un día de enero de 1942
cuando fue atacado por aviones alemanes que lo forzaron a eyectarse. Según el testimonio
de otro miembro de la tripulación, Chisov abandonó su nave a unos 7000 metros de altura.
Con la batalla aún ardiendo a su alrededor, temió ser un blanco fácil para los aviadores
enemigos mientras colgaba de su paracaídas, por lo que decidió dejarse caer libremente
hasta salir de la zona de combate. Su plan de abrir el paracaídas cerca del suelo se frustró
porque perdió la conciencia antes de poder ejecutarlo.
Finalmente Chisov aterrizó en una ladera cubierta de nieve, a una velocidad de entre
190 y 230 kilómetros por hora. Se deslizó, rodó y dejó un gran surco antes de detenerse.
Al ver el incidente, hombres de las tropas de caballería al mando del General Belov, que
observaban la batalla aérea, acudieron tan rápido como pudieron al sitio en que Chisov
había tocado tierra. Para su sorpresa, lo encontraron vivo, con el paracaídas aún sin
desplegar e inconciente. Poco tiempo después, Chisov recuperó el conocimiento. Tenía
la pelvis rota y la columna vertebral afectada, pero había sobrevivido, y tres meses más
tarde podría volver a volar. A pesar de su pedido para volver al combate, fue designado
entrenador de navegación.
Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Ivan_Chisov
En el ejemplo 2.1, página 7, hemos visto un modelo para la caída libre de los cuerpos
hacia la superficie de la Tierra que no tiene en cuenta la resistencia del aire. Nuestra experiencia cotidiana indica que en algunas situaciones este modelo no da lugar a una buena
descripción de la realidad. Este es el caso para plumas y paracaidistas, que caen relativamente despacio porque, en relación con su masa, tienen una gran superficie. También para
un paracaidistas cuando su paracaidas no se abre, porque al aumentar su velocidad también
crece la resistencia a la caída, hasta valores en los que ya no puede despreciarse. Veamos
qué nos dice sobre este fenómeno el caso de Chisov, contrastando las predicciones del
modelo de caída libre sin resistencia con los datos que tenemos acerca del piloto soviético,
al que no nos atrevemos a calificar de afortunado ni desafortunado.
E JERCICIO 1. ¿Qué velocidad de impacto con la tierra predice el modelo de caída
libre sin resistencia para un salto desde 7,000 metros, como el de Chisov? Expresar la
respuesta en kilómetros por hora. ¿El modelo de caída libre sin resistencia es compatible
con estos datos?
E JERCICIO 2. Seguramente la altura estimada para el salto de Chisov tenga un buen
margen de error. De hecho, la misma nota de Wikipedia que citamos antes menciona que
otros observadores establecen en 6700 la altura desde la que saltó.
1. ¿Es compatible este nuevo número con el modelo de caída libre sin resistencia?
9
10
3. CAÍDA LIBRE CON RESISTENCIA
2. La velocidad de impacto de Chisov con la superficie se estimó entre 190 y 230
kilómetros por hora. ¿Cuál es el rango de alturas para el salto que, según el
modelo de caída libre sin resistencia, correponde a este rango de velocidades de
impacto?
El caso de Chisov confirma que no es posible despreciar la resistencia del aire cuando
la velocidad con la que se está moviendo un móvil es alta. Tal vez la experiencia de sentir
la fuerza del viento un día de tormenta, de viajar rápido en un vehículo abierto, o la de
ver cómo aumenta rápidamente el consumo de combustible de un automóvil cuando se
sobrepasa la velocidad de crucero, aporten otros indicios en el mismo sentido. La próxima
actividad nos invita a elaborar un poco más estas ideas.
ACTIVIDAD 1. Para esta actividad hacen falta algunos objetos de diferente densidad
(puede ser adecuado tener pelotas de distintos tamaños y materiales), entre ellos alguno
suficientemente pesado como para que la resistencia del aire sea despreciable en una caída
corta, y filtros de café.
1. Dejar caer hacie el suelo los diferentes cuerpos que se han recolectado, observando los patrones de movimiento. Prestar especial atención a la manera en que
va cambiando la velocidad de caída de cada uno de ellos.
2. Comparar la caída de objetos de masa similar y de forma diferente.
3. Para comparar la caída de objetos de la misma forma y diferentes masas recurrir
al siguiente método: tirar primero un filtro de café; luego encajar dos y repetir la
operación; hacerlo con tres, cuatro, etcétera.
4. Dibujar un diagrama que represente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cuando está cayendo con velocidad constante, cómo es el caso de un paracaidista en
su aproximación al suelo, y seguramente sea el caso de algunos de los movimientos observados en clase, al realizar los pasos anteriores de esta actividad. ¿Cuál
es la resultante de fuerzas?
Vamos a modificar ahora nuestro modelo del movimiento de un cuerpo en caída, basado en la segunda Ley de Newton, para tener en cuenta la resistencia del aire. El punto
crucial es identificar qué fuerzas de las que actúan sobre el móvil. Vamos a incluirlas en
el modelo a travès de una descripción matemática adecuada que nos permita reescribir las
ecuaciones del movimiento. Consideraremos que sobre un cuerpo de masa m actúan dos
fuerzas:
1. su peso, igual a −mg. Esta fuerza ya la habíamos tenido en cuenta en nuestro
modelo original. El signo de menos nos recuerda que el peso apunta hacia abajo;
2. una fuerza R de resistencia del aire. Predominan en la literatura dos modelos
diferentes para R:
R ESISTENCIA CUADRÁTICA. Para movimientos a una velociadad relativamente alta, en los que los efectos de la turbulencia no pueden despreciarse,
la resistencia es, aproximadamente,
(5)
R = CAv2 ,
donde C es una constante que depende del objeto y el fluido en que se desplaza, A es el área de la sección sobre la que el fluido ejerce resistencia, y
v la velocidad relativa al fluido. Naturalmente, el número R, tal como esta
escrito, es positivo. Corresponde al módulo de la resistencia, y habrá que
colocar el signo adecuado para distinguir el caso en que el cuerpo va subiendo del caso en que va cayendo. Cuando el cuerpo cae la resistencia del
3. CAÍDA LIBRE CON RESISTENCIA
11
aire lo frena, y ejerce una fuerza hacia arriba. Con las convenciones de signo
que hemos hecho la fuerza es positiva en este caso, coincide con su módulo,
y admite la expresión (5) sin ninguna modificación. Cuando el cuerpo va
subiendo, la resistencia del aire va hacia abajo, y es entonces
R = −CAv2 .
(6)
R ESISTENCIA LINEAL . Cuando el efecto de la viscosidad del fluido es importante no se desarrolla turbulencia, y la resistencia puede modelarse por
una expresión de la forma
R = −Cv,
(7)
donde C es una constante positiva. En este caso, la fórmula (7) es adecuada
tanto para el movimiento ascendente como para el descendente, porque el
signo de menos en el miembro de la derecha implica que R siempre tendrá
un sentido opuesto al de la velocidad.
E JERCICIO 3.
1. Mostrar que las dos expresiones (5) y (6) pueden resumirse en la única expresión
R = −CA|v|v,
donde |v| representa el valor absoluto o módulo de la velocidad v.
2. Graficar la función f : R → R que queda definida por la fórmula
f (v) = −|v|v,
Calcular la derivada de f en los puntos en que sea derivable y graficarla. Calcular
la derivada segunda en los puntos en que exista.
3. Comparar el grafico de f (v) con el de −v.
4. Generalizar la parte anterior, comparando los gráficos de −Cv y −D|v|v, como
funciones de v, para valores positivos cualesquiera de las constantes C y D. ¿Qué
implica lo observado respecto a la forma en que los dos tipos de fuerza R afectan
un movimiento de caída?
Un concepto clave para entender fenómenos como la caída de Chisov y los que hemos
observado al desarrollar la Actividad 1 es el de velocidad límite o velocidad terminal: cuando un cuerpo en caída libre se acelera desde el reposo, la resistencia del aire va aumentando
y tiende a equilibrar la fuerza del peso. Existe una velocidad en la que ambas fuerzas se
compensan exactamente y el cuerpo cae hacia tierra sin frenarse ni acelerarse, esta es su
velocidad límite. Si arrojamos el cuerpo violentamente a Tierra, a una velocidad superior a
la velocidad límite el cuerpo se irá frenando, y su velocidad también tenderá a la velocidad
límite.
La velocidad límite vl es el valor de la velocidad en el que la resultante de fuerzas
actuando sobre el cuerpo se anula, por lo tanto no sufre aceleración ninguna. Para el valor vl de la velocidad debe satisfacerse entonces
0 = −mg + R.
El caso lineal correspondiente a la fórmula (7) será estudiado con detalle en la sección 1
del capítulo 4. En el caso cuadrático nuestra última ecuación se traduce en
mg = CAv2 ,
12
3. CAÍDA LIBRE CON RESISTENCIA
de la que despejamos
r
(8)
v=
mg
.
CA
La velocidad es pequeña cuando A es grande. Este principio es explotado en la fabricación
de paracaídas: teóricamente la velocidad límite puede hacerse tan chica como se desee con
tal de aumentar lo suficiente A. El diseño del paracaídas apunta a colocar una gran área que
resista la caída, de modo de conseguir un valor de la velocidad límte vl que esté por debajo
de un cierto umbral que protege al paracaidista de riesgos.
E JERCICIO 4. Asumiendo que la velocidad de caída libre de un ser humano está entre
los valores entre los que se estima que Chisov impactó el suelo y aceptando que para un
paracaídas se puede usar el mismo valor de C que para la caída libre de Chisov, ¿cuál es
el orden de magnitud que prediríamos para el área de un paracaídas? ¿Se corresponde esta
estimación con los datos a nuestro alcance sobre paracaídas reales?
E JERCICIO 5. La ecuación (8) permite hacer una primera comparación de la velocidad
límite de caida en el aire para animales diferentes, siempre que asumamos que su densidad
es comparable y que para todos se puede aplicar el mismo coeficiente C.
1. Si l es una longitud típica para un animal, su área es proporcional a l 2 y su masa
proporcional a l 3 . Determinar cómo predice la fórmula (8) que variará con l su
velocidad límite.
2. Usando la fórmula hallada, comparar la velocidad límite de caída en el aire de
una hombre, un gato, un ratón y una araña.
3. Asumiendo que Chisov llegó al suelo a una velocidad del orden de magnitud de
la velocidad límite para un humano, estimar la velocidad límite para los animales
del item anterior.
ACTIVIDAD 2. El objetivo de esta actividad es sistematizar la observación de la caída
de cuerpos de igual forma y diferente masa. Requiere unos cuantos filtros de café y algún
dispositivo para capturar el movimiento.
1. Dejar caer un filtro de café y capturar su movimiento. Hacerlo colocando el filtro en la misma posición que en la cafetera: con la boca hacia arriba. Repetir
para dos, tres, etcétera filtros encajados. Puede ocurrir que los primeros intentos
sufran mucho balanceo hasta los costados. En ese caso practicar hasta conseguir
que la caída sea casi vertical, y luego repetir la medición.
2. Analizar los movimientos registrados y tratar de identificar la velocidad límite
de cada uno de ellos.
3. Graficar las velocidades límite contra la cantidad filtros encajados y estudiar
qué tan bien describen los datos obtenidos los modelos de resistencia lineal y
cuadrática. Estudiar si alguno de los modelos es aceptable, y en caso de que lo
sea determinar la mejor constante.
4. Si en el paso anterior se llega a concluir que alguno de los modelos describe bien
la situación, emplearlo para predecir la velocidad límite de caida de de dos filtros
y medio y de tres filtros y medio, y luego contrastar las predicciones haciendo
nuevos experimentos.
5. Si los datos no sostienen ninguno de los modelos propuestos probar con las siguientes alternativas: una fuerza de resistencia de la forma av + bv2 , en que los
3. CAÍDA LIBRE CON RESISTENCIA
13
efectos de la turbulencia y de la viscosidad del aire aparecen combinados; resistencias proporcionales a una potencia de la velocidad, de la forma Cvγ , admitiendo valores diferentes de 1 y 2 para el exponente γ (muchos fenómenos
naturales están gobernados por leyes exponenciales de este tipo).
CAPíTULO 4
Problemas modelados por ecuaciones de la forma x0 = ax
Una característica notable de la modelización matemática es que en muchos casos
las mismas ecuaciones gobiernan fenómenos absolutamente diferentes. Por ejemplo, las
funciones lineales describen el movimiento con velocidad constante y el valor de la factura
de gas en función del consumo. En general, aparecen en cualquier fenómeno gobernado
por alguna ley de proporcionalidad. En otros campos, la misma ecuación que gobierna la
distribución de temperaturas de un cuerpo en equilibrio térmico también permite describir
la forma que adopta una membrana elástica sujeta a un bastidor, las tensiones en cada
sección de una barra sujeta a torsión y el campo de velocidades de algunos fluidos cuando
escurren alrededor de un obstáculo. En este capítulo mostraremos diversas situaciones que
llevan a considerar una ecuación diferencial de la forma x0 = ax, donde a es una constante
que puede ser positiva o negativa. Las soluciones de este tipo de ecuaciones son funciones
que tienen la propiedad de que su derivada es igual a la función multiplicada por una
constante. Este tipo de ecuaciones aparecen en diversidad de problemas y su estudio lleva
a introducir una clase especialmente importante de funciones: las funciones exponenciales.
1.
Caída libre en un medio viscoso
En el capítulo anterior estudiamos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que cae en
el campo gravitatorio de la Tierra en un medio que le ofrece resistencia, y vimos cómo en
esta situación –para diferentes modelos de la fuerza de resistencia– aparece una velocidad
crítica de caída, en la que el cuerpo cae sin aceleración porque la gravedad y la resistencia
se compensan exactamente. Dimos en llamar velocidad límite a esta velocidad crítica. En
esta sección vamos a plantear las ecuaciones que permiten describir el movimiento de caída
a partir de cualquier condición inicial, en el caso en que la caída se produzca en un medio
viscoso que ejerce una resitencia de la forma
R = −bv,
donde b > 0 es una constante y v la velocidad. La nueva constante b es proporcional a
la viscosidad del fluido en el que se desplaza el cuerpo, y establece la relación entre la
velocidad del desplazamiento y la fuerza que se resiste a él.
Escribiremos entonces la altura como una función y(t) del tiempo t y plantearemos la
Ley de Newton F = ma en este escenario. La velocidad y la aceleración son, respectivamente,
v(t) = y0 (t), a(t) = y00 (t).
Las fuerza F que actua es la suma del peso y la resistencia R, de modo que
F = −mg − bv = −mg − by0 (t).
Como siempre, m es la masa del cuerpo y g la aceleración de la gravedad en la superficie
de la Tierra. En resumen, la ecuación que gobierna la caída de un cuerpo en el campo
15
16
4. PROBLEMAS MODELADOS POR ECUACIONES DE LA FORMA x0 = ax
gravitatorio de la Tierra en un medio viscoso que le ofrece resistencia es
(9)
my00 (t) = −mg − by0 (t)
Es interesante observar que la altura y no aparece directamente en la ecuación: lo hace a
través de sus derivadas y0 e y00 . La primera derivada y0 es justamente la velocidad, lo que
nos permite usar
v(t) = y0 (t),
una variable con mucho sentido físico, como variable principal para escribir (9). En términos de v(t) obtenemos la ecuación
(10)
−mv0 (t) = −mg − bv(t).
Esta ecuación tiene una solución en la que v(t) es igual a una constante vl , la velocidad
límite. En esta situación la aceleración a(t) = v0 (t) es nula. Sustituyendo en la ecuación
resulta
0 = −mg − bvl ,
de lo que concluimos que
mg
.
b
La velocidad límite vl es negativa, lo que es consistente con nuestras convenciones de
signo y con que esta velocidad se alcanza en la caida. Un movimiento uniforme con esta
velocidad tiene la ley horaria,
(11)
(12)
vl = −
y(t) = y0 + vl (t − t0 )
donde y0 es la altura inicial del móvil, en un tiempo de referencia que hemos dado en
llamar t0 .
E JERCICIO 6. Mostrar si vl toma el valor dado por (11), entonces para cualquier
elección de los valores y0 y t0 una función de la forma (12) es una solución de la ecuación
diferencial (9).
La fórmula (12) es la ley horaria de un movimiento en que la condición inicial de la
velocidad es exactamente igual a vl . Cuando la velocidad inicial es diferente de vl prevemos
que durante la caída el cuerpo se acelerará o frenará, de modo que su velocidad se aproxime
a vl . Trataremos entonces de ver cómo evoluciona la diferencia v(t) − vl . El primer paso es
observar que esta diferencia aparece naturalmente cuando los dos miembros de la ecuación
(10) se dividen entre b:
m
− v0 (t) = vl − v(t).
b
Al tomar como nueva variable a
u(t) = v(t) − vl ,
la diferencia entre la velocidad en el instante t y la velocidad límite, observamos que
u0 (t) = v0 (t),
por lo tanto
(13)
u0 (t) = −ku(t),
donde k = b/m es una constante positiva, que mide el balance entre la resistencia del medio
y la masa del objeto.
2. UN MODELO SIMPLIFICADO PARA LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA
17
El análisis genérico de las ecuaciones x0 = ax, de las que (13) es una instancia particular, nos llevará a desarrollar las herramientas para determinar completamente la ley
horaria y(t) que satisface la ecuación diferencial (9) y condiciones iniciales
y(t0 ) = y0 ,
v(t0 ) = y0 (t0 ) = v0
cualesquiera. El primer paso será determinar la evolución de la velocidad v(t) a partir
de (13). Al hacerlo encontraremos que efectivamente v(t) aproxima asintóticamente a vl y
podremos describir detalladamente la forma en que esto ocurre.
2.
Un modelo simplificado para la presión atmosférica
En esta sección vamos a introducir un modelo muy simplicado para determinar cómo
cambia con la altura la presión atmósferica. Asumiremos la hipótesis de que el aire se comporta como un gas ideal, y que tiene una temperatura constante. Esta última simplificación
ofrece una aproximación válida para variaciones moderadas de altura.
La presión del aire en estado de equilibrio debe ser una función continua: una discontinuidad en la presión sólo puede observarse en un frente de onda o algún fenómeno
similar, en el que las párticulas del gas están en rápido movimiento.
Consideraremos la columna de aire sobre una cierta región de superficie S. La variación
de presión p entre una altura h y una altura mayor h + ∆h es
P
,
S
donde P es el peso del aire contenido en el cilindro de base S y altura ∆h. Este peso es igual
a la integral de la densidad de aire en el volúmen del cilindro, de modo que
(14)
∆p = p(h) − p(h + ∆h) =
Z h+∆h
P=S
ρ(s)ds.
h
El teorema del valor medio para las integrales permite expresar el peso P en una forma más
sencilla, como
P = S∆hρ(θ),
porque la integral es igual a la longitud ∆h del intervalo de integración, por el valor del
integrando ρ en algún punto intermedio θ, entre h y h + ∆h. El modelo del gas ideal para
el aire implica que la relación
(15)
ρ=
1
p.
Ra T
entre la densidad y la presión. Una es proporcional a la otra, con una constante en la que
intervienen
Ra = 287,058J/(kg K),
la constante de los gases ideales específica para el aire, y la temperatura T del aire, expresada en grados Kelvin. La constante Ra se relaciona con la constante R de los gases ideales
a través de la masa de un mol de aire, que es un promedio de los pesos moleculares de los
distintos gases presentes en el aire, ponderado según la abundancia de cada uno de estos
gases. Para una temperatura del aire de 22 grados Celsius se tiene
1
s2
' 1, 18 × 10−5 2 .
Ra T
m
18
4. PROBLEMAS MODELADOS POR ECUACIONES DE LA FORMA x0 = ax
La ley de estado (15) permite expresar el peso del cilindro de aire de altura ∆h sobre
la región de superficie S como
g
(16)
P=
S∆hp(θ),
Ra T
donde g es la aceleración de la gravedad. Combinando las ecuaciones (14) y (16) concluimos que
p(h + ∆h) − p(h)
g
=−
p(θ).
∆h
Ra T
Cuando ∆h se aproxima a 0, en el miembro de la derecha la altura θ aproxima a h, por lo
que este término de la igualdad se aproxima a Cp(h). Esto implica que el límite del término
de la izquierda, la derivada p0 (h) existe, y que p debe satisfacer la ecuación
g
(17)
p0 = −
p.
Ra T
Aceptando el valor de 10m/s2 para g y a una temperatura de 22 grados Celsius, el valor de
la constante en el miembro de la derecha es aproximadamente igual a 1, 18 × 10−4 m−1 .
O BSERVACIÓN 4.1. También es posible hacer la derivación de la ecuación sin recurrir
al teorema del valor medio para el cálculo integral, simplemente estimando el valor de la
densidad en el cilindro de base S y altura ∆h. Al evaluar la densidad ρ en los puntos del
cilindro observaremos el valor p(h) más una pequeña correción necesaria para tener en
cuenta que no estamos midiendo en un punto entre h y ∆h. El error se aproxima uniformemente a 0 cuando ∆h tiende a 0, por lo que podemos escribir para cualquier valor de s entre
h y h + ∆h
p(s) = p(h) + ε,
donde ε se aproxima a 0 cuando h se aproxima a 0. Introduciendo la constante positiva de
proporcionalidad entre densidad y presión, que llamaremos simplemente C por brevedad,
escribimos
∆p = C(p(h) + ε)∆h,
De modo que
∆p
= Cp + ε.
∆h
Haciendo ∆h tender a cero se obtiene nuevamente la ecuación diferencial (17). Este procedimiento es algo más informal que el anterior, pero no requiere el uso de resultados de
cálculo integral. Por otra parte, puede hacerse completamente riguroso tratando con mayor
cuidado la estimación de los valores de la densidad y la presión dentro del cilindro.
−
3.
Descarga de un condensador
Un condensador almacena una cierta cantidad de carga Q que es proporcional al voltaje V entre sus bornes. La constante que relaciona ambas magnitudes es la capacidad µ del
condensador, habitualmente medida en Faradios o algunos de sus submúltiplos. La carga
es igual a
Q = µV.
Cuando el condensador se conecta con una resistencia R, de acuerdo con la Ley de Ohm se
produce una corriente eléctrica que se opone a la diferencia de potencial y tiene una cierta
intensidad
V
I=− .
R
4. CRECIMIENTO DE POBLACIONES Y DECAIMIENTO RADIOACTIVO
19
La intensidad I es igual a la variación dQ/dt de la carga en el capacitor, de modo que
durante la descarga del condensador se satisface la ecuación
dQ
V
1
= − = − Q,
dt
R
µR
que gobierna la evolución de la carga a partir de una carga Q0 en el instante inicial en que
se cierra el circuito. Este es otro ejemplo de una ecuación diferencial de la forma x0 = ax.
4.
Crecimiento de poblaciones y decaimiento radioactivo
Las poblaciones de cualquier especie se reproducen y mueren. Si las condiciones en
las que una población se desarrolla son relativamente homogéneas y constantes, el número
de nacimientos y de muertes en un cierto intervalo de tiempo son esencialmente proporcionales al tamaño de la población y a la longitud del intervalo de tiempo observado. A
grandes rasgos, esto viene a decirnos que en una ciudad de 1.000.000 de habitantes habrá
aproximadamente 20 veces más nacimientos que en una de 50.000, y que cada semestre
del año observaremos una cantidad de fallecimientos que no difiere demasiado de un doceavo de la mitad del total de fallecimientos en un año. Naturalmente, estas son hipótesis
simplificadoras, pero aún así son suficientemente útiles como para que las tasa de natalidad y de mortalidad estén entre los datos demogràficos básicos de una población. Suelen
expresarse, respectivamente, como el número de nacimientos y de muertes cada mil habitantes, en un período de un año. Para el Uruguay, según una consulta realizada a la página
del Instituto Nacional de Estadísticas en marzo de 2012, esos valores son, respectivamente,
de 14, 42 y 9, 39. Un tercer guarismo, la tasa de crecimiento natural, es la diferencia entre
la tasa de natalidad y la de mortalidad. Generalmente es un número positivo que mide el
incremento de la población año a año, cada mil habitantes. Naturalmente, todas estas tasas
pueden expresarse por individuo en vez de hacerlo cada 1.000 individuos –o cada 100, que
es otra opción frecuente– y respecto a cualquier unidad de tiempo que se escoja.
Supondremos entonces que seguimos la evolución del número de individuos de una
cierta población a lo largo del tiempo, y observamos que en un instante t dado hay un cierto
número x(t) de individuos. Si la población tiene una tasa de crecimiento natural constante
de a de nacimientos por individuo y por unidad de tiempo, entonces esperamos observar
en el instante t + ∆t aproximadamente
x(t) + ax(t)∆t
individuos. Esto no es completamente exacto, porque entre t y ∆t ha habido un cambio
en el tamaño de la población. Para s entre t y t + ∆t, el error de aproximar x(s) por x(t)
es pequeño mientras ∆t sea pequeño, de modo que el error es de la forma ε(∆), con ε
tendiendo a 0 cuando ∆t se aproxima a 0. Para tener en cuenta este efecto escribimos
entonces
x(t + ∆t) = x(t) + a(x(t) + ε)∆t,
de modo que
x(t + ∆t) − x(t)
= ax(t) + ε.
∆t
Haciendo ∆t tender a 0 encontramos que las hipótesis que hemos asumido para nuestro
modelo implican que x(t) es una función derivable que además satisface la ecuación diferencial
x0 = ax.
20
4. PROBLEMAS MODELADOS POR ECUACIONES DE LA FORMA x0 = ax
E JERCICIO 7. Es habitual que los seres humanos exploten poblaciones de animales o
vegetales con distintos propósitos.
1. Mostar que la ecuación
x0 = ax − b,
donde a y b son dos constantes positivas, es un posible modelo para describir
la evolución del número de individuos de una población cuando es explotada.
¿Cómo es el ritmo de extracción de individuos de la población en este modelo?
2. Mostrar que la ecuación tiene una solución constante. ¿Qué significado tiene esa
solución?
3. Introducir las variables adecuadas para reducir la ecuación a una ecuación de la
forma y0 = ay. Discutir el significado de la nueva variable.
Argumentos análogos a los que hemos desarrollado para modelar el crecimiento de
una población permiten estudiar el decaimiento radioativo, lo dejamos planteado como un
ejercicio.
E JERCICIO 8. Llamemos x(t) al número de átomos de una muestra de material radioactivo en el instante t, y supongamos que al cabo de ∆t unidades de tiempo se han
desintegrado un número de átomos que es proporcional a ∆t y a la cantidad inicial de átomos x(t). Mostrar que si modelamos x(t) como una variable continua, el modelo predice
que x(t) satisace una ecuación diferencial de la forma x0 = −ax, donde a es una constante
positiva.
5.
Enfriamiento de cuerpos
Estudiaremos ahora la evolución de la temperatura de un cuerpo en un ambiente de
temperatura constante θ0 , bajo algunas hipótesis sencillas sobre el flujo de calor entre el
cuerpo y el ambiente. Supongamos que observamos que en un cierto instante inicial t0 el
objeto está a una temperatura T0 . A medida que el tiempo transcurre habrá un flujo de calor
entre el cuerpo y el ambiente, que produce una transferencia de energía de uno a otro y la
correspondiente evolución de la temperatura del cuerpo, que irá tomando en cada instante
t un valor T (t). Si el cuerpo estuviera inicialmente a temperatura θ0 se mantendrìa así, y
T (t) sería la función constante
T (t) = θ0 ,
t ≥ t0 .
Veremos que también este caso particular, en que la evolución es trivial, también queda
descrito por el modelo.
Haremos dos hipótesis:
1. el flujo de calor Q̇ es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo
y el ambiente, pero de signo contrario (se produce del más caliente al más frío).
Por lo tanto existe una constante k1 tal que
(18)
Q̇ = −k1 (T − θ0 ).
2. el calor específico del cuerpo es constante, lo que es equivalente a postular que
en ausencia de otras causas, las variaciones de temperaturas del cuerpo son proporcionales al calor que recibe. Hay entonces una segunda constante k2 tal que
(19)
T 0 (t) = k2 Q̇.
5. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
21
Combinando las dos ecuaciones (18) y (19) que contienen la expresión cuantitativa de
nuestras dos hipótesis básicas, resulta que
T 0 (t) = k2 Q̇ = −k2 k1 (T − θ0 ).
Si en vez de usar T como variable usamos una temperatura τ = T − θ0 , que toma como
referencia la temperatura ambiente, encontramos la ecuación
τ0 = −kτ,
donde k es una constante positiva.
CAPíTULO 5
La ecuación x0 = x y la función exponencial
En el capítulo anterior vimos algunas situaciones que conducen al estudio de ecuaciones de la forma
(20)
x0 = ax
donde a es una constante diferente de cero. El caso a = 0 es mucho más sencillo y no
lo consideraremos aquí. En este capítulo vamos a abordar el estudio sistemático de las
ecuaciones (20), comenzando por reducirlas a todas al caso modelo en que a = 1. Para ello
pensaremos que x es una función de la variable t, que interpretaremos como el tiempo, de
modo que x0 es una medida de la velocidad de la variación de x.
Si cambiamos la unidad de medida que estamos empleando para t obtendremos distintos valores para la velocidad. Por ejemplo, si una persona logra correr a 10 metros por
segundos su velocidad es de 36000 metros por hora: la misma tasa de variación de la posición respecto al tiempo da lugar a dos números diferentes cuando se cambia la escala de
tiempo. Aparece una constante en juego, que relaciona una medida de velocidad con la
otra. Esto es justamente lo que haremos con la ecuación x0 = ax, en vez de expresar x como
una función de t lo haremos como función de un tiempo
s = αt,
medido con un reloj más lento o más rápido, que cuenta α unidades de s por cada unidad
de t, y ajustaremos la constante α de modo de absorber en la ecuación la constante a.
Hacemos entonces
dx dx ds
dx
=
=α .
ds
ds dt
dt
Usando la ecuación diferencial obtenemos
dx
dx
= α = αax.
ds
dt
Escogiendo
α = 1/a
resulta
dx
= x.
ds
Notemos que cuando a es negativo se invierte además el sentido en que se mide el tiempo,
de modo que además de usar un relojes más rápidos o más lentos para medir el tiempo
también estamos cambiando el pasado por el futuro y el futuro por el pasado.
E JERCICIO 9. Cambiar la unidad con la que se mide x, introduciendo una nueva variable y = αx también introduce una constante que afecta también la velocidad con la que
los valores de x van cambiando. ¿Por qué este procedimiento no nos sirve para reducir la
ecuación x0 = ax a x0 = x?
23
5. LA ECUACIÓN x0 = x Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
24
A la luz de lo que hemos aprendido en esta sección introductoria, nos concentraremos
en el estudio de la ecuación x0 = x. Para los demás simplemente vamos a deshacer el cambio
de variables en la escala temporal, cuando sea necesario.
El estudio de la ecuación x0 = x nos llevará directamente a la introducción de la funciones exponenciales y del número e. En este capítulo asumiremos los resultados de existencia de soluciones necesarios para seguir adelante, que pueden demostrarse por argumentos completamente independientes de los que aquí se presentan. Independientemente
de esto, dado los distintos significados que puede tomar la ecuación, los resultados de
existencia son aceptables sobre bases puramente heurísticas. Además, si la función exponencial se introduce por cualquier otro camino entonces no hay que demostrar la existencia
de soluciones, porque basta con exhibir las funciones exponenciales.
1.
Multiplicidad de soluciones y problemas de valores iniciales
La ecuación
x0 = x
(21)
tiene una solución trivial
x(t) = 0,
t ∈ R.
Nos interesará estudiar si hay soluciones no nulas, algo que parece natural a la luz de las
distintas situaciones modeladas por la ecuación.
La primera observación que haremos es que no esperamos que la ecuación (21) tenga
solución única, porque como es homogénea en x al multiplicar una solución por cualquier
constante se obtiene una nueva solución. Si x(t) es una solución y a una constante definamos entonces la nueva función
y(t) = ax(t).
Al derivar y encontramos
y0 (t) = ax0 (t).
Como x0 es solución de (21) tenemos que
y0 (t) = ax0 (t) = ax(t) = y(t),
de modo que también y es una solución de (21).
El siguiente ejercicio muestra cómo conseguir nuevas soluciones de (21) a partir de
soluciones conocidas.
E JERCICIO 10. Mostrar que la suma de dos soluciones cualesquiera de la ecuación
diferencial (21) es una solución de la ecuación. Concluir que cualquier combinación lineal
de soluciones de la ecuación es una solución.
Hemos visto que al multiplicar una solución por un constante se obtiene otra solución
de la ecuación. Vale una resultado aún más fuerte. Dos soluciones diferentes de la ecuación
siempre están en esta relación, en el sentido de que puede pasarse de una de ella a la otra
simplemente multiplicando por una constante. Para mostrarlo estudiaremos como evoluciona el cociente de dos soluciones x e y de (21). Para evitar complicaciones técnicas que
tampoco aportan nada a la discusión, asumiremos que x e y están definidas para todo t ∈ R.
Una herramienta estándar para estudiar la variación de cualquier cantidad es analizar
el comportamiento de su derivada. En el contexto que estamos trabajando es además muy
1. MULTIPLICIDAD DE SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
25
natural, porque la ecuación diferencial justamente nos da información acerca de derivadas.
Formamos entonces el cociente
y(t)
c(t) =
.
x(t)
Su derivada es
0
c (t) =
y(t)
x(t)
0
=
y0 (t)x(t) − y(t)x0 (t)
.
x2 (t)
Usando que tanto x como y son soluciones de la ecuación concluimos
y(t) 0 y(t)x(t) − y(t)x(t)
=
= 0, t ∈ R.
x(t)
x2 (t)
La derivada del cociente siempre se anula para todos los valores de t, por lo tanto es constante.
Para hacer nuestro argumento completamente riguroso falta asegurarse de que x(t) no
se anule. Ahora un pequeño truco, usando la ecuación, viene a mostrarnos que si x no se
anula en el origen, entonces nunca puede hacerlo. Consideramos la función auxiliar
v(t) = x(t)x(−t),
t ∈ R.
Entonces
v0 (t) = x0 (t)x(−t) − x(t)x0 (−t) = x(t)x(−t) − x(t)x(−t) = 0,
t ∈ R,
por lo tanto v(t) es constante y igual a su valor en 0,
v(0) = x(0)x(0) = x2 (0).
Concluimos que para todos los valores de t
(22)
x(t)x(−t) = x2 (0),
t ∈ R,
lo que implica que si x(0) 6= 0 entonces x(t) jamás puede anularse. Por lo tanto, si x(t) no
es la solución nula de (21) e y(t) es cualquier solución de la ecuación, el cociente y(t)/x(t)
está definido para todos los valores de t y define una función constante de t.
Del mismo modo que el conocimiento de la derivada de una función no la determina completamente, y hay constantes arbitrarias en juego, las ecuaciones diferenciales en
general no tienen soluciones únicas. Otra forma de entender por qué esto ocurre es pensar que cada ecuación describe la ley de evolución de un fenómeno que admite distintas
realizaciones a partir de diferentes condiciones iniciales. Por ejemplo, todos los movimientos de proyectil sobre la superficie de la Tierra están goberandos por la misma ecuación,
pero no hay un único movimiento posible. Sin embargo, cuando se establece cuáles son
la posición y velocidad iniciales del proyectil, el movimiento posterior queda determinado. Este fenómeno es común a todas las ecuaciones diferenciales: información sobre la
solución en algún instante la determina completamente. En el caso de la ecuación lineal
(21), el conocimiento del valor de la solución en t = 0 la determina completamente. Por
eso es especialmente interesante considerar lo que hemos dado en llamar problemas de
valores iniciales, que consisten en buscar soluciones de la ecuación tales que ellas, o ellas
y algunas de sus derivadas, toman valores dados en un cierto punto.
Lo que hemos aprendido sobre la ecuación (21) indica que sus soluciones están determinadas a menos una única constante, que queda fijada una vez conocido el valor x(t0 ) de
5. LA ECUACIÓN x0 = x Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
26
la solución en un tiempo cualquiera. Los problemas de valores iniciales que tiene sentido
resolver para esta ecuación toman entonces la forma
0
x = x,
(23)
x(t0 ) = x0 .
Nuestra siguiente proposición recoge la discusión previa en términos de problemas de
valores iniciales para la ecuación x0 = x, con la condición inicial puesta en el tiempo t = 0.
P ROPOSICIÓN 5.1. Si el problema de valores iniciales
ẋ = x,
(24)
x(0) = 1,
tiene una solución x : R → R, entonces esta solución es única y cualquier otro problema
de valores iniciales
ẏ = y,
(25)
y(0) = y0 ,
tiene como única solución
y(t) = y0 x(t).
E JEMPLO 5.1. La solución idénticamente nula
x(t) = 0,
t ∈ R,
es la única solución del problema de valores iniciales (25) para el dato inicial x(0) = 0.
Los resultados previos a la proposición (5.1) todavía permiten extraer con poco esfuerzo alguna conclusión interesante más, que proponemos probar en nuestro proximo
ejercicio.
E JERCICIO 11. Mostrar que la solución x del problema de valores iniciales (24) tiene
la propiedad de que x(−t) es el inverso 1/x(t) de x(t).
O BSERVACIÓN 5.1. Para establecer la igualdad (22) hemos utilizado un tipo de argumento que es estándar cuando se trabaja con soluciones de una ecuación diferencial: extraer
información del hecho que satisfacen la ecuación, aunque desconozcamos una fórmula explícita. Si tenemos en cuenta que para estudiar una función f definida por una fórmula
es usual calcular su derivada f 0 , esta aproximación no resulta tan sorprendente porque la
propia ecuación diferencial nos ofrece directamente información sobre la derivada de su
solución. El siguiente ejercicio también puede resolverse usando este tipo de ideas.
E JERCICIO 12. Mostrar que si una solución de x0 = x es positiva entonces es estrictamente creciente.
2.
Invariancia en el tiempo y propiedad de grupo
Hay otra forma natural de producir nuevas soluciones de (21) a partir de soluciones
conocidas: hacer una traslación en el tiempo. Si x(t) es una solución, s un número cualquiera y definimos
y(t) = x(t + s)
entonces
y0 (t) = x0 (t + s) = x(t + s) = y(t),
por lo que y es una nueva solución de la ecuación.
2. INVARIANCIA EN EL TIEMPO Y PROPIEDAD DE GRUPO
27
E JERCICIO 13. Mostrar que si x(t) es una solución de (21) y s un número cualquiera,
entonces
z(t) = x(t − s),
es también solución.
El hecho de que trasladar en el tiempo una solución de (21) produzca nuevas soluciones es una consecuencia de que el tiempo t no aparece explícitamente en la ecuación,
sólo lo hace a través de la dependencia de x y x0 en t. Una ecuación diferencial en el que la
variable independiente no aparece explícitamente, como es (21) o más en general cualquier
ecuación de la forma (26), recibe el nombre de ecuación diferencial autónoma. El ejercicio
14 llama la atención sobre el hecho de que todas estas ecuaciones comparten la propiedad
que acabamos de establecer para ((21).
E JERCICIO 14. Mostrar que si f : R → R es una función cualquiera, x : R → R es una
solución de la ecuación diferencial
x0 = f (x)
(26)
y s un número real cualquiera, entonces y(s) = x(t + s) también es una solución de (26).
El resultado del ejercicio 14 es la expresión de algo que experimentamos a diario: si un
fenómeno está gobernado por una cierta ley que no depende explícitamente en el tiempo,
ocurre de la misma manera independientemente del momento en que empiece a ocurrir. Si
comenzamos la experiencia en un cierto instante, y la repetimos luego s unidades de tiempo
más tarde, simplemente observaremos la misma evolución con un retraso de s unidades de
tiempo.
Volvamos ahora a la construcción de una solución
y(t) = x(t + s),
(27)
obtenida por medio de una traslación en el tiempo de s unidades a partir de la solución x(t)
del problema de valores iniciales
ẋ = x,
(28)
x(0) = 1,
El valor que y toma en t = 0 es
(29)
y(0) = x(s).
De modo que y(t) es la solución del problema de valores iniciales
ẏ = y,
y(0) = x(s),
En virtud de la proposición 5.1 la función y(t) debe ser igual al producto de su condición
inicial (29) por x(t). Concluimos entonces que
(30)
y(t) = x(s)x(t).
Las dos expresiones (27) y (30) para y(t) implican la notable igualdad
(31)
x(t + s) = x(s)x(t),
t, s ∈ R.
La fórmula (31) implica que x tiene una propiedad característica de las funciones exponenciales: transforma la suma s + t en su argumento en el producto x(s)x(t) de sus valores
funcionales. Por su construcción, x satisace además que x(0) = 1. A partir de estos hechos,
5. LA ECUACIÓN x0 = x Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
28
es directo mostrar por un argumento inductivo que para cualquier valor real de t y cualquier
número natural n se satisface
x(nt) = x(t)n .
(32)
Por otra parte, escogiendo s = −t en (31) se deduce inmediatamente que
x(t)x(−t) = 1,
lo que implica que
x(−t) = x(t)−1 .
(33)
Reencontramos de este modo un resultado que ya habíamos establecido en el ejercicio (11)
La combinación de (32) y (33) implica que la primera fórmula es válida también para
todos los valores enteros de n, no sólo para los naturales.
Tomando t = s/n en (32) encontramos que
x(s) = x(s/n)n ,
lo que implica
x(s/n) = x(s)1/n .
(34)
Al combinar (32) con (34) concluimos que para cualquier racional q = m/n, con m
entero y n un natural distinto de cero, se tiene que
x(q) = x(1)q ,
(35)
q ∈ Q.
Las funciones exponenciales se definen para valores reales cualquiera a partir de sus valores para números racionales, de modo que sean continuas. Por su construcción, x(t) ya lo
es. De modo que coincide con la exponencial.
x(t) = x(1)t ,
t ∈ R.
Llegados a este punto, sólo resta poner nombre a la enigmática constante que se esconde
bajo el nombre de x(1). Esa constante es el número e, de modo que la función x(t) es, nada
más ni nada menos que
x(t) = et .
(36)
3.
Solución de problemas iniciales cualesquiera para x0 = ax
Si repasamos el capítulo 4, que nos sirvió de motivación para estudiar la ecuación
x0 = x, observaremos que en la mayoría de las situaciones es una ecuación de la forma
y0 = ay lo que nos interesa estudiar, donde a es una constante que depende del contexto
específico. Por lo que, en general, nos interesará resolver cualquier problema de valores
iniciales de la forma
0
y = ay,
(37)
y(t0 ) = y0 ,
Fue a través de un cambio de variables
t = as,
s = t/a,
e introduciendo
x(s) = y(s/a), s ∈ R
que redujimos cualquier ecuación y0 = ay a la ecuación x0 = x, con a = 1. Observemos que
y(t) = x(at),
t ∈ R.
3. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS INICIALES CUALESQUIERA PARA x0 = ax
29
Comenzaremos usando el cambio de variables en el tiempo para resolver el caso en
que la condición inicial se da en t0 = 0. Es decir, el problema de valores iniciales
0
y = ay,
(38)
y(0) = y0 ,
Tenemos que
x(0) = y(0/a) = y(0) = y0 ,
por lo que debemos resolver para x el problema de valores iniciales
0
x = x,
x(0) = y0 .
Ya sabemos que su solución es
x(s) = x0 es .
Deshaciendo el cambio de variables encontramos que
y(t) = x0 eat
(39)
es la solución del problema de valores iniciales (38).
Para abordar el caso general (37) simplemente trasladamos el tiempo t0 unidades, considerando un tiempo
s = t − t0
medido a partir de t0 , y la función
x(s) = y(t0 + s).
Observemos que
y(t) = x(t − t0 ).
La función x es una nueva solución de la ecuación y0 = ay, porque se obtiene de y simplemente haciendo una traslación en el tiempo, y toma en s = 0 la condición inicial
x(0) = y(t0 ) = y0 .
Por lo tanto
x(s) = y0 eas .
Deshaciendo el cambio de variable en el tiempo encontramos
y(t) = x0 ea(t−t0 )
(40)
Los resultados que hemos encontrado pueden resumirse en el siguiente teorema.
T EOREMA 5.2. El problema de valores iniciales
0
x = ax,
(41)
x(t0 ) = x0 ,
tiene una única solución
x:R→R
definida por la fórmula entonces
(42)
x(t) = x0 ea(t−t0 ) ,
t ∈ R,
5. LA ECUACIÓN x0 = x Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
30
El enunciado del teorema 5.2 establece la existencia y unicidad de soluciones para el
problema (41). Aunque no hemos establecido aquí la parte de existencia puede demostrarse
por argumentos generales aplicables a una amplia clase de ecuaciones autónomas x0 = f (x).
Observamos también que cualquier procedimento alternativo de construcción de la exponencial et que conduzca a mostrar la identidad entre esta función y su derivada, permite
completar la demostración del resultado de existencia de soluciones contenido en el teorema 5.2.
4.
Propiedades notables de la exponencial
Con el enfoque que hemos adoptado, la propiedad de que la derivada de et es et es
inmediata. También lo es el límite tipo
et − 1
= 1,
t→0
t
porque este límite no es más que la expresión de que la derivada de la exponencial en t = 0
existe y toma el valor 1. Es interesante reescribir esta expresión usando la notación o para
los infinitésimos:
et − 1
= 1 + o,
t
que implica
et = 1 + t + o × t.
Esto implica que 1 + t es una muy buena aproximación de la exponencial cuando t se
aproxima a cero. En efecto, el error que se comete es de la forma de un infinitésimo o por
t, que es despreciable frente a t para t próximo a 0.
Ya hemos observado que
et e−t = 1, t ∈ R.
Esto implica que la exponencial jamás puede anularse. Dado que es una función continua
conserva el mismo signo que tiene en t = 0, donde es positiva porque toma el valor 1.
Como la derivada con la exponencial es la propia exponencial concluimos que su derivada
es positiva, por lo tanto la exponencial es estrictamente creciente. Reiterando el argumento
para la derivada segunda, concluimos que la exponencial es una función convexa.
lı́m
E JERCICIO 15. Mostrar que
et ≥ 1 + t,
(43)
t ∈ R,
y que hay igualdad en (43) sólo para t = 0.
E JERCICIO 16. Mostrar que
lı́m et = +∞
t→∞
y que
lı́m et = 0.
t→−∞
Un argumento que recurre a la ecuación diferencial, del mismo tipo de los que hemos
destacado en la observación 5.1, permite demostrar que el crecimiento de la exponencial
es más rápido que el de cualquier polinomio. Consideremos el cociente de la exponencial
con una potencia genérica t k :
v(t) = et t −k , t > 1.
Derivando
k
k
0
t −k
t −k−1
t −k
v (t) = e t − ke tt
=et
1−
= v(t) 1 −
.
t
t
4. PROPIEDADES NOTABLES DE LA EXPONENCIAL
31
Concluimos que existe un cierto valor t0 tal que para t ≥ t0 se tiene que
1
(44)
v0 (t) > v(t).
2
Esta desigualdad sugiere que podremos comparar v con las soluciones de
1
v0 = v,
2
y que
v(t) > v(t0 )e(t−t0 )/2 , t > t0 .
En efecto, esto es así. A continuación desarrollamos un argumento para probarlo. El ejercicio 27, página 57, sugiere un procedimiento alternativo.
Consideremos la función
u(t) = v(t0 )e(t−t0 )/2 .
Por la construcción de u y la elección de t0 tenemos que
u(t0 ) = v(t0 ),
v0 (t0 ) > u0 (t0 ).
Esto implica que para t > t0 , pero próximo a t0 , la función v es estrictamente mayor que u.
Supongamos que existe algún t > t0 tal que u(t) = v(t) y sea T el mínimo de estos valores.
Entonces debe existir s ∈ (t0 , T ) en el que la derivada de ambas funciones tome el mismo
valor. En ese punto tendremos
1
v0 (s) = u0 (s) = u(s).
2
Por otra parte, como s es interior a (0, T ) se tiene allí que
v(s) > u(s).
Esta desigualdad y la igualdad anterior implican
1
v0 (s) < v(s),
2
en contradicción con el hecho de que (44) se satisface para todo t ≥ t0 .
CAPíTULO 6
Intuiciones acerca del número e
El número e aparece naturalmente en el cálculo porque es la base adecuada para que
la función exponencial coincida con su derivada. Es usual introducirlo en cursos de cálculo
a partir del paso al límite, cuando h → +∞, en expresiones del tipo
1 h
.
(45)
1+
h
En este capítulo recorreremos algunos argumentos heurísticos basados en la relación entre la exponencial et y su derivada, que llevan a conjeturar que expresiones como (45)
deben tener a e como su límite. Omitiremos la discusión de los detalles técnicos, como
la desigualdad de Bernoulli u otros similares, necesarios para completar la teoría y efectivamente mostrar que hay un límite, o que este límite es e. El lector interesado puede
encontrarlos en muchos lugares de la literatura, pero no aquí. Porque la principal intención
de este capítulo es la de motivar, no la de hacer un desarrollo teórico completo,
1.
Derivadas de funciones exponenciales
Dado un número positivo a es posible definir la función exponencial que a cada t
real le asocia el valor at por el procedimiento de construir primero las potencias de a con
exponente entero. A partir de las potencias con exponente natural se pueden definir las
raíces n-ésimas, o potencias de la forma 1/n, lo que inmediatamente permite construir las
potencias para cualquier exponente racional, de la forma m/n. Hasta aquí hemos definido
la función exponencial sobre Q. La densidad de los racionales en los reales implica que
hay una única extensión continua de esta función a todo R. Hay dos característica que
comparten todas las exponenciales:
1. toman el valor 1 en t = 0;
2. la propiedad de que
(46)
at+s = at as ,
t, s ∈ R.
De estas dos propiedades fundamentales puede derivarse una tercera, relevante para el cálculo diferencial. Tratemos de evaluar la derivada de una exponencial, formamos el cociente
incremental
at+h − at
ah − 1 t
=
a.
h
h
Al extraer at como factor común encontramos el cociente incremental para t = 0, multiplicado por at . Esto implica que una función exponencial es derivable para todo t si y sólo si
es derivable en t = 0, y que su derivada es
Cat ,
donde el valor de la constante es justamente la derivada en t = 0. Es natural preguntarse
entonces cuál es el valor de a que hace que esta constante sea igual a 1. Ese número es
33
34
6. INTUICIONES ACERCA DEL NÚMERO e
justamente el número que estamos dispuestos a llamar e, porque es, desde el punto de vista
del cálculo, una elección natural como base de exponenciación.
De e, pretendemos entonces que
et − 1
= 1.
t→0
t
Esta expresión puede escribirse con la notación de o como
lı́m
et = 1 + t + o × t,
donde o es una cantidad que se aproxima a 0 cuando t lo hace. Despejando e obtenemos
1
e = (1 + t + o × t) t .
(47)
Dentro del paréntesis el término o × t es mucho más pequeño que t cuando t está próximo
de 0, por lo que la velocidad con la que el paréntesis aproxima a 1 es la velocidad con la
que lo hace t. En una expresión de este tipo, con una base que aproxima 1 y un exponente
que aproxima a 0, el valor límite surge del delicado equilibrio entre los comportamientos
de la base y el exponente. Dado que hemos identificado el sumando t como el dominante
en la aproximación a 1, es de esperar que la expresión
1
e = lı́m (1 + t) t .
(48)
t→0
Ese es realmente el caso, algo que podrá establecerse luego, una vez desarrollada la teoría.
Tambien es posible mostrar directamtente, haciendo estimaciones cuidadosas, que si la
expresión (47) tiene límite entonces también lo tiene (48), y que ambos son iguales. De
todos modos, esto es innecesario a los efectos de motivar una expresión como (48) para
introducir el número e.
2.
Discretización de la ecuación y número e
Hemos caracterizado el número e como el valor que toma en t = 1 la solución del
problema de valores iniciales
ẋ = x,
(49)
x(0) = 1.
En esta sección mostraremos como el análisis de este problema sugiere naturalmente un
modo de calcular aproximaciones de e. Para hacerlo, intentaremos aproximar la solución
de (49) en el intervalo [0, 1], usando la condición inicial y la ecuación.
Comencemos por observar que la condición inicial en (49) nos dice que x toma el valor 1 en t = 0, y la ecuación diferencial inmediatamente implica que también x0 toma el
valor 1 en t = 0. Por lo tanto,
x0 (s) = 1 + s
es una buena aproximación de x(s) para valores de s próximos a 0. Un momento de reflexión nos convencerá de que se trata de una aproximación por defecto: la derivada de 1 + s es
siempre igual a 1, pero la de x(s) va creciendo a medida que s crece, lo que hace que x(s)
crezca cada vez más rápido, aumentando su pendiente, a diferencia de lo que ocurre con
x0 (s), que crece con una tasa constante igual a 1.
Si usáramos x0 como aproximación en todo el intervalo [0, 1] cometeríamos un error
importante, por lo que usaremos la estrategia de elegir un número h pequeño, adoptar x0 (s)
como aproximación en [0, h], y a partir de h repetir la idea de usar una aproximación lineal,
pero con los valores calculados en tiempo h a partir de x0 (s). Así, avanzando de h en h,
alcanzaremos el tiempo 1. Comencemos por generalizar a cualquier problema de valores
2. DISCRETIZACIÓN DE LA ECUACIÓN Y NÚMERO e
35
iniciales el razonamiento que hicimos en [0, h] aproximando a x(s) por una función lineal.
Consideramos entonces
ẋ = x,
(50)
x(t0 ) = x0 .
No conocemos su solución, pero sabemos que ella y su derivada toman el valor x0 en t0 ,
por lo que cerca de t0 la función lineal
y(s) = x0 + x0 (s − t0 )
es una buena aproximación a x(s). Cuando avanzamos h unidades de tiempo, hasta t0 + h,
usando la aproximación y evaluándula en t = t0 + h, nos devuelve el valor
y(t0 + h) = x0 + x0 h = x0 (1 + h).
En resumen, al avanzar h unidades de tiempo usando una aproximación lineal a partir de un
valor inicial x0 que hemos supuesto conocido al tiempo t0 , el procedimiento genera como
aproximación para el tiempo t0 + h un valor que se obtiene multiplicando x0 por un factor
1 + h. Si damos otro paso de longitud h, a partir del nuevo valor calculado, aparecerá otro
factor 1 + h.
Una manera estándar de aplicar este procedimiento en el intervalo [0, 1] es dividirlo
en n intervalos de longitud h = 1/n, y razonar en cada subintervalo con el método de la
aproximación lineal. Para llegar hasta t = 1 debemos recorrer los n subintervalos de nuestra
subdivisión, por lo que aparecerán n factores de la forma
1
1+ .
n
La conclusión es que al aplicar nuestro procedimiento a partir de una subdivisión de [0, 1]
en n intervalos se genera para el valor x(1) –la solución de (49) evaluada en 1– la aproximación
1 n
an = 1 + . .
n
E JERCICIO 17. Mostrar que cuando se calculan por este método aproximaciones a la
solución x(t) del problema
ẋ = x,
x(0) = x0 .
se obtiene la sucesión
1 n
E
(51)
xn (t) = x0 1 + . .
n
Hemos empleado un método de discretización que recibe el de método de Euler, de
una forma que utiliza como estimación de la derivada de la solución el valor que la ecuación
nos da en el punto de partida. En esta situación, el cálculo de la derivada es completamente
directo, por lo que es habitual referirse a este método como método de Euler explícito (de
ahí el superíndice E en la fórmula (51)).
Dado que en el intervalo [t0 ,t0 + h] la aproximación lineal adopta un valor constante
para la derivada, es bastante arbitrario elegir el del punto de partida. Podríamos tomar el
valor que la ecuación predice en cualquier punto del recorrido. A continuación mostraremos
cómo hacer esto usando el valor en t0 + h.
Sobre el intervalo [t0 ,t0 + h] tomaremos entonces como aproximación
y(s) = x0 + y(t0 + h)s.
36
6. INTUICIONES ACERCA DEL NÚMERO e
Tenemos un pequeño problema ahora: no sabemos cuanto vale nuestra aproximación en
t0 + h. Pero no es tan grave, porque, independientemente de cuanto valga nuestra expresión
debe ser válida en s = t0 + h, así que debe satisfacerse
y(t0 + h) = x0 + y(t0 + h)h.
Despejando de esta expresión encontramos
y(t0 + h) = x0
1
.
1−h
Ahora en cada paso de longitud h aparece un factor de la forma 1/(1 − h). Concluimos
además que en intervalo [t0 ,t0 + h] estamos sustituyendo el verdadero valor de la solución
x(s) por una función lineal
y(s) = x0 + x0
1
(s − t0 ).
1−h
Esta función coincide en s = t0 con x(t0 ) = x0 , pero cuando hacemos crecer s queda por
debajo de la curva x(s). Observemos que la pendiente de x(s) en t0 es justamente x0 , que
es menor que la pendiente x0 /(1 − h) de la función y. La verdadera solución no puede alcanzar a y(s) mientras su pendiente esté por debajo de x0 /(1 − h). Pero como la ecuación
diferencial asegura que su pendiente es igual a su valor funcional, recién después de alcanzar el valor x0 /(1 − h) tiene chance de descontar la ventaja que le sacó la función lineal.
Pero x0 /(1 − h) es justamente el valor de y(s) en t0 + h, por lo tanto podemos asegurar
que en todos los puntos del intervalo [t0 ,t0 + h] se satisface x(s) ≤ y(s). Esta observación
asegura que estamos construyendo una aproximación de x(s) por exceso.
Cuando el procedimiento se aplica al problema de valores iniciales (49) dividiendo el
intervalo [0, 1] en n subintervalos, el valor de h es 1/n, y
1
n
=
.
1−h n−1
Tendremos n de estos factores en la construcción de la nueva aproximación, que resulta ser
n
n
.
n−1
Se puede evitar el n−1 en el denominador considerando la aproximación para n+1, en vez
de para n. Luego de esta operación cosmética, conseguimos la sucesión de aproximaciones
n + 1 n+1
1 n+1
bn =
= 1+
n
n
para el número e.
E JERCICIO 18. Mostrar que cuando se calculan por este método aproximaciones a la
solución x(t) del problema
ẋ = x,
x(0) = x0 ,
se obtiene la sucesión
n
n
.
n−t
Observar que esta fórmula tiene un compartamiento razonable sólo para valores de n tales
que n > |t|. ¿Por qué no es grave esta restricción?
xnI (t) =
2. DISCRETIZACIÓN DE LA ECUACIÓN Y NÚMERO e
37
O BSERVACIÓN 6.1. Con nuestro primer método de Euler podíamos estimar directamente el valor en t0 + h a partir de nuestro conocimiento del valor en t0 . Con este enfoque
el valor en t0 + h queda determinado de manera ímplicita por la construcción, y sólo puede
obtenerse luego de despejar y(t0 + h) de una ecuación. Por esta razón se llama a este método un método implícito, y al anterior un método explícito –y esto explica las etiqueta I y
E con la que los hemos marcado–. Aunque no desarrollaremos aquí esta observación digamos que, en general, los métodos implícitos tienen mejores propiedades numéricas que
los implícitos –de alguna manera son más prudentes, porque “miran” a dónde van a llegar
antes de lanzarse a dar un paso– lo que los vuelve más útiles a pesar de que involucran más
cálculos. Métodos más eficientes para aproximar las soluciones de una ecuación diferencial que los que estamos usando, como son los métodos de Runge-Kutta, no utilizan como
valor para la pendiente de la solución un único valor, sino una combinación convenientemente elegida de valores en puntos calculados a partir de los puntos de partida y llegada
de cada paso del proceso
Nuestra discusión ha generado dos aproximaciones para el número e. Sugiere además
que la primera tiene un defecto respecto a e y la segunda un exceso. La construcción hace
pensar que cuando refinamos la división del intervalo [0, 1] haciendo crecer n las estimaciones mejoran. Todo esto sugiere que el par de sucesiones
1 n+1
1 n
, bn = 1 +
,
an = 1 +
n
n
aproximan a e, que la primera crece y que la segunda crece. Este par es el par de sucesiones
monótonas convergentes que suele presentarse en los curso de cálculo para introducir el
número e. Obsérvese que en esta presentación ambas sucesiones aparecen de manera bastante natural, y sus propiedades más importantes pueden conjeturarse rápidamente de la
construcción que las define.
La construcción que hemos presentado conecta además el cálculo diferencial con el
cálculo numérico, un área de gran importancia en la ciencia contemporánea, especialmente
adecuada para trabajar y visualizar conceptos de cálculo cuando se dispone de computadoras en el aula.
CAPíTULO 7
Aplicaciones de la función exponencial
En este capítulo desarrollaremos algunas aplicaciones de la función exponencial, comenzando por la resolución de las situaciones planteadas en el capítulo 4.
1.
Análisis de los problemas con ecuaciones del tipo x0 = ax
Cuando es posible formular un modelo matemático para una situación, por ejemplo en
la forma de una ecuación de algún tipo, la matemática puede devolver importante información cualitativa y cuantitiva. En general, elaborar un modelo matemática de una situación
es la forma más económica y menos riesgosa de aprender sobre ella. Para los problemas
del capítulo 4 recurriremos a la teoría de las funciones exponenciales desarrollada en el
capítulo 5, que nos dice que la solución de cualquier problema de valores iniciales
ẋ = ax,
(52)
x(t0 ) = x0 ,
con a, t0 y x0 constantes cualesquiera, es
(53)
x(t) = x0 ea(t−t0 ) .
El primer paso para emplear la fórmula (53) en los diferentes ejemplos es seleccionar de
manera adecuada las constantes.
1.1. Caída libre en un medio viscoso. Supondremos que en el campo gravitatorio
terrestre soltamos en un medio viscoso, desde una altura y0 y con velocidad inicial v0 = 0,
un cuerpo de masa m. En estas condiciones, la ecuación que gobierna el movimiento es
my00 (t) = −mg − by0 (t).
Hemos visto que la ecuación conduce a estudiar las soluciones de
b
u0 (t) = − u(t),
m
que hemos escrito en términos de una nueva variable
u(t) = y0 (t) − vl .
La variable u mide la diferencia entra la velocidad instantánea y0 para la caída y la velocidad
límite de caída
mg
vl = − .
b
Fijaremos t = 0 como el instante inicial del movimiento. Tenemos entonces que
u(0) = v0 − vl = −vl .
Nuestra teoría implica que
b
u(t) = −vl e− m t .
39
40
7. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Por lo tanto
(54)
b
y0 (t) = vl + u(t) = vl 1 − e− m t .
La primera constatación es que nuestro modelo efectivamente predice que la velocidad de
caída aproximará a vl a medida que el tiempo crece. Además, la diferencia entre vl y la
velocidad de caída decae exponencialmente. Esto hace la convergencia sea muy rápida,
salvo para valores muy pequeños de la constante b/m, que expresa el balance entre las
fuerzas de viscosidad y el peso.
A partir de (54) podemos determinar y(t), buscando una función cuya derivada sea
igual al miembro de la derecha y tome el valor y0 en t = 0. Obtenemos
m −bt
e m −1 .
y(t) = y0 + vl t + vl
b
Vemos entonces que el conocimiento de las ecuaciones y las constantes involucradas permite determinar la ley horaria del movimiento.
1.2. Presión atmosférica. En la sección 2 del capítulo 4 encontramos como modelo
para la presión del aire sobre la superficie de la Tierra, a una temperatura de 22 grados
Centígrados, la ecuación
(55)
p0 = −Cp,
donde C es un constante aproximadamente igual a 1, 18 × 10−4 m−1 . El modelo predice
entonces que la presión decae exponencialmente con la altura, en la forma
(56)
p(h) = p0 e−Ch ,
donde p0 es la presión medida en el nivel de referencia para la altura, típicamente el nivel
del mar. Para una altura de 4,000 metros el modelo estaría prediciendo una presión igual a
la de referencia, multiplicada por un factor
e−0,472 ' 0, 624.
Es decir, una presión del orden del 60 % la presión de referencia.1
Una aplicación que tiene es modelo es la de estimar la altitud a partir del conocimiento
de la presión del aire. La presión es una magnitud relativamente fácil de medir, y hay una
abundante red de estaciones ubicadas en lugares con alturas conocidas que proveen puntos
de referencia. Si estamos en un punto en el que medimos una presion ph , y queremos
estimar la altura h, desconocida, sobre un punto de referencia en el que se mide una presión p0 , sabemos que la relación entre p0 , ph y h es
ph = p0 e−Ch .
Por lo tanto
(57)
e−Ch =
ph
.
p0
Se trata ahora de encontrar el exponente −Ch que hace que la exponencial sea igual al cociente del miembro del a derecha. Esta cantidad es, por definición, el logaritmo de ph /p0
en base e. El problema de las presiones nos lleva así a invertir la función exponencial y a
introducir una función que tiene gran importancia en el cálculo: el logaritmo en base e, que
1Según http://www.ops.org.bo/altura/doc1.htm, una página de la Organización Panamericana de la Salud
dedicada a los efectos de la altura sobre la fisiología humana, no se desvía demasiado de lo observado en la ciudad
de La Paz.
1. ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS CON ECUACIONES DEL TIPO x0 = ax
41
también recibe las denominaciones de logaritmo natural o logaritmo neperiano. Desarrollaremos este concepto en el capítulo 8.
1.3. Crecimiento de poblaciones. Hemos visto que cuando el crecimiento natural
de una población se modela por una variable continua, obedece a una ecuación del tipo
(58)
x0 = ax,
que tiene funciones exponenciales como soluciones. La constante a puede ser positiva o
negativa, según que la población crezca o disminuya. Este modelo se dedujo haciendo algunas hipótesis sobre la evolución del número de individuos. El siguiente ejercicio muestra
que el comportamiento que predice la ecuación diferencial es consistente con las hipótesis
que llevaron a plantearla.
E JERCICIO 19. Mostrar que si la evolución de una población satisface una ley de
crecimiento exponencial de la forma x0 eat , como predice la ecuación (58) efectivamente es
cierto que para cualquier intervalo ∆t la tasa de crecimiento de la población referida a ese
intervalo, por números de habitantes, se mantiene constante. ¿A qué valor se aproximan
estas tasas de crecimiento cuando se calculan para intervalos de tiempo ∆t cada vez más
cortos, aproximándose a cero?
Nuestro próximo ejercicio tiene que ver con el fenómeno que recibe el nombre de
catástrofe malthusiana, asociado al nombre del economista inglés Thomas Malthus, que
desarrolló esta idea en sucesivas ediciones de su Ensayo sobre el principio de la población,
aparecidas entre el fin del siglo XVIII y comienzos del XIX.
E JERCICIO 20. C ATÁSTROFE M ALTHUSIANA. Supongamos que la evolución del
número de individuos de una población está gobernada por una ecuación como (58), y
que los recursos disponibles para esta población crecen linealmente en el tiempo, según
una función del tipo
r(t) = r0 +C(t − t0 ),
donde C es alguna constante positiva. Mostrar que independientemente de la cantidad inicial de individuos en la población y de los valores de los parámetros r0 , a > 0 y C, el modelo
predice que es inevitable que llegue un momento en que los recursos son insuficientes para
atender las necesidades de toda la población.
Las ideas de Malthus tuvieron influencia sobre el pensamiento de Charles Darwin, y la
formulación de su teoría de la evolución en términos de la supervivencia de los individuos
mejor adaptados a ambientes en los que inevitablemente se desarrollaría competencia por
acceder a recursos vitales.
En el ejercicio 7 habíamos propuesto escribir una ecuación diferencial que modelara
la evolución de una población sujeta a una extracción regular de individuos (por ejemplo,
para su explotación comercial). Nuestro próximo ejercicio proponer extraer del modelo las
conclusiones que implica.
E JERCICIO 21. Hallar las soluciones de la ecuación diferencial del ejercicio 7 que describen la evolución del número de individuos de la población a partir de cualquier condición inicial positiva x(0) = x0 . Discutir el significado de las distintas soluciones, teniendo
en cuenta que para el problema planteado en ese ejercicio el modelo sólo tiene sentido
mientras x(t) sea positiva. En este contexto, ¿qué significa el hecho de que x(t) alcance el
valor 0?
42
7. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
1.4. Decaimiento radioactivo. En el ejercicio 8 desarrollamos un modelo para el
decaimiento de un material radioactivo según el cual la cantidad x(t) de material en cada
instante t obedece una ecuación diferencial del tipo
x0 = −ax,
donde a es una constante positiva, característica del material, que mide su grado de actividad. Naturalmente, el modelo predice que a partir de un instante inicial t0 con un valor
x(t0 ) = x0 , la evolución posterior tendrá un decaimiento exponencial de la forma
x(t) = x0 e−a(t−t0 ) .
(59)
Es interesante observar que x(t) puede representar cualquier medida de la cantidad de
materia presente, como el número total de átomos, la masa, la densidad o la concentración.
La forma usual de caracterizar la actividad del material no es dando el valor de a, sino
el de su vida media. La vida media de un material es el tiempo que demora en desintegrarse
la mitad de una muestra de ese material. En términos de la ley de evolución (59) es el
tiempo t −t0 que debe transcurrir hasta que x(t) se haga igual a x0 /2. Requerimos entonces
que
1
e−a(t−t0 ) = .
2
Vemos entonces que para relacionar la vida media con a necesitamos poder despejar a(t −
t0 ) de esta última igualdad, lo que nos lleva a invertir la función exponencial a través de la
introducción de una función logarítmica.
Un ejemplo paradigmático del uso de este tipo de modelos es la datación por medio
del carbono 14. El carbono 14 es un isótopo radioactivo del carbono, poco abundante en la
naturaleza, que tiene una vida media del orden de los 5,700 años. Se mezcla con los otros
isótopos de carbono, por lo que está presente en toda la materia orgánica. La cantidad total
de carbono en la Tierra se mantiene esencialmente constante, porque se ha alcanzado un
estado de equilibrio en el que el decaimiento de este isótopo compensa su formación en las
capas altas de la atmósfora a través de la interacción de los rayos cósmicos con el isótopo
más abundante del nitrógeno, el nitrógeno 14. Este nivel de carbono 14 es el que tienen
los seres vivos, que participan del ciclo global de carbono, y es del orden 10−12 . Es decir,
aproximadamente un átomo de carbono cada un millón de millones del isótopo 14. Cuando
un ser vivo muere la materia que constituia su cuerpo queda excluida de los intercambios
con el medio y el carbono 14 presente comienza a decaer sin reposición, siguiendo una
ley como (59), a partir del instante t0 en que se produjo la muerte y una abundancia inicial
x0 aproximadamente igual a 10−12 . Midiendo la abundancia x(t) en un tiempo t posterior,
la fórmula (59) provee una ecuación de la que es posible despejar la fecha de muerte t0 .
Una vez más, los cálculos requieren invertir la exponencial, por lo que serán presentados
en ocasión de tratar los logaritmos.
1.5.
Enfriamiento de cuerpos calientes. La ecuación
τ0 = −kτ,
para la evolución de la diferencia
τ(t) = T (t) − θ0
entre la temperatura T de un cuerpo y la temperatura θ0 del ambiente en que esta inmerso
predice una evolución de la forma
(60)
T (t) = θ0 + (T0 − θ0 )e−kt ,
2. INTERÉS CONTINUO
43
donde T0 es la temperatura inicial del cuerpo. Observemos que cuando T0 es menor que
θ0 la temperatura va aumentando, y el proceso describe en realidad el calentamiento del
cuerpo, y no su enfriamento.
La expresión cuantitativa (60) tiene un lugar en la medicina forense: proporciona una
herramienta para estimar la hora de fallecimiento de una persona, a partir de la medida de
su temperatura comporal. El procedimiento es similar al de la datación por carbono 14. La
temperatura del cuerpo de una persona o animal en el momento de su muerte es una variable conocida para los seres humanos y otras especies de sangre caliente. La temperatura
ambiente se puede medir o estimar. La constante k que gobierna el ritmo de enfriamento también puede estimarse a partir de la experiencia (dependerá del tamaño del cuerpo,
tipo de abrigo, etcétera). Con estos datos, para un cierto intervalo de tiempo posterior al
fallecimiento, la medición de la temperatura permite estimar el momento de la muerte.
Nuevamente, el cálculo lleva a invertir la función exponencial que describe la evolución de
la temperatura y lo pospondremos hasta la discusión de los logaritmos en el capítulo 8.
2.
Interés continuo
El modelo más clásico de interés es el del interés simple, en el que la renta que genera
un capital es proporcional al tiempo que dura la inversión. Por ejemplo, si se determina
usando las reglas del interés simple la renta que genera la colocación de un millón de pesos
al 10 % de interés anual durante seis meses, el cálculo arroja un valor igual al 5 % de lo
depositado, es decir 50,000 pesos. Pero esta manera de calcular genera resultados un tanto
paradójicos cuando los períodos de capitalización se fraccionan. Veámoslo con un ejemplo
un tanto simplificado, en el que se deposita una unidad monetaria, por ejemplo un peso,
durante una unidad de tiempo, por ejemplo un año, a una tasa del 100 % de interés. Para
evitar la introducción de enojosos factores iguales a 100, escribiremos la tasa del cien por
ciento como una tasa del uno por uno. Es decir, al cabo de un año nos pagan 1 peso por
cada peso depositado.
Con este contrato, al cabo de un año tendremos 2 pesos. Pero si retiráramos nuestra
inversión al cabo de medio año nos pagarían medio peso de interés por cada peso del
depósito original. Si sumamos interés y capital encontramos entonces que al cabo de un
período de medio año tendríamos 1 + 1/2 peso por cada peso depositado. Esto es cierto
para cualquier capital inicial, y para cualquier período de medio año, independientemente
de cuanto comience.
Volvamos ahora a nuestra inversión de un peso. Supongamos que, retiramos nuestra
inversión seis meses después de hecha. Según los términos del contrato recibiremos 1+1/2
peso. Y a continuación volvemos a depositarla, para sacarla seis meses más tarde. Nuestro
capital final ascenderá a
(61)
(1 + 1/2) × (1 + 1/2),
que es el producto del capital de 1 + 1/2 peso invertido durante la segunda mitad del año,
por el factor 1 + 1/2 que representa la suma de capital e intereses. Por lo tanto, siguiendo
esta estrategia, un año más tarde de nuestra inversión original de 1 peso nuestro capital
asciende a
(1 + 1/2) × (1 + 1/2) = (1 + 1/2)2 = 2,25
pesos. ¡Estupendo! Hemos conseguido sacarle bastante más dinero al banco
¿Y si retiramos cada cuatro meses, cobramos los intereses, y volvemos a depositar
hasta completar el año?. Entonces obtenemos (1 + 1/3)3 ≈ 2,37. Ahora supongamos que
el banco nos permite retirar cada 3 meses: (1 + 1/4)4 ≈ 2,4414 ¿Y si retiramos todos
44
7. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
los meses?: (1 + 1/12)12 ≈ 2,613. Mejor aún. Vayamos todos los días, incluso los feriados: (1+1/365)365 ≈ 2,71456. Una diferencia que podría justificar la molestia. Seguimos
mejorando, vayamos por la mañana y por la tarde: (1 + 1/730)730 ≈ 2,71642. ¡Esto promete!.
¿Siempre seguiremos mejorando? ¿Podremos obtener una ganancia arbitrariamente
grande disminuyendo el tiempo entre operación y operación?. La respuesta a la primera
pregunta es sí. Pero a la segunda es no. Si hacemos el cálculo para la división del año en n
períodos, el pago final es
(62)
(1 + 1/n)n .
Reconocemos en esta expresión una sucesión de valores que crece con n, aproximándose
al número
e ' 2,781828.
De modo que dividiendo más y más el período de capitalización obtenemos una suma cada
vez mayor, tan próxima e como deseemos, pero siempre inferior a este valor límite.
Esta aparente paradoja de los cálculos financieros se resuelve por la vía de trabajar con
tasas de interés efectiva, que hacen que el resultado final del cálculo sea independiente de
la forma en que se fraccionen las capitalizaciones intermedias. Para ver cómo opera esto,
volvamos al primer paso de nuestro desarrollo anterior, en el que dividíamos el año en dos
períodos semestrales. En vez de pagar al cabo de cada semestre 1/2 por peso depositado,
el banco paga una cantidad r, tal que si la suma se vuelve a depositar al cabo del año el
inversor obtenga exactamente un peso. Entonces, en vez de hacer el cálculo que aparece
en (61) se habrá multiplicado
(1 + r) × (1 + r),
para un valor de r escogido de modo tal que la cuenta arroje el resultado 2, que representa
el capital inicial más el interés que el banco debe pagar. Para que esto ocurra, debe ser
√
1 + r = 2,
lo que implica que
√
r = 2 − 1 ' 0,4142.
El número 0,4142 es la tasa de interés efectivo que para un período de seis meses correspende al uno por uno anual. Expresándolo en porcentajes, en la manera en que es más
habitual hacerlo, diríamos que una tasa del 41, 42 % es la tasa semestral correspondiente
al 100 % de interés anual. Si se desea dividir el año en n períodos
más cortos, según este
√
n
modelo para el interés, la tasa correspondiente a cada período es 2 y no 1 + 1/n.
Naturalmente, todo lo anterior se generaliza a una tasa de interés de R pesos por peso
al cabo de una unidad de tiempo, para cualquier valor de R y para cualquier unidad de
tiempo. El total de capital inicial más interes al cabo de 1/n unidades de tiempo será, para
cada unidad inicial de capital,
√
1
n
(63)
1 + R = (1 + R) n .
Si dejamos transcurrir m intervalos de tiempo de longitud 1/n, hasta el tiempo m/n, se
acumularan m de estos factores, hasta alcanzar la suma de
(64)
m
(1 + R) n .
Vemos entonces que para cualquier valor racional t = m/n del tiempo, este modelo de
cálculo predice que el capital crece según la fórmula
(65)
(1 + R)t .
3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL EN PROBABILIDADES
45
Por continuidad, la fórmula vale para cualquier valor real del tiempo t, a diferencia de la
fórmula lineal
1 + tR,
(66)
que sigue las reglas del interés simple.
Las dos fórmulas (65) y (65) coinciden para t = 0, antes de que empiece a correr el
tiempo de capitalización, y para t = 1, porque ambas fueron diseñadas para que la tasa de
interés correspondiente a una unidad de tiempo fuera R. Para t < 1, es decir para tiempos
más cortos que el período de referencia, la primera expresión es menor que la segunda.
Encontraremos que un depósito a plazo fijo mensual, trimestral o semetral paga menos que
lo que calcularíamos usando una expresión lineal. Por ejemplo, al momento de redactar este
material el Banco República anuncia una tasa efectiva anual del 2 % para los depósitos a
plazo fijo de un mes. Al cabo de un mes, recibiremos aproximadamente un 0, 165 % de
interés, y no un 0, 167 %. Para tasas de interés tan bajas la diferencia no es apreciable, pero
para una tasa del 48 % anual el cálculo lineal arrojaría un valor del 4 % para el período de
un mes, en tanto que la tasa efectiva correspondiente es de 3, 3 %. Los mismos cálculos
para una tasa anual del 96 % arrojan los valores de 8 % y 5, 77 %. La razón por la que los
dos cálculos discrepan poco sobre períodos cortas para tasas pequeñas será analizada en
el capítulo 8. En cambio, cuando t es mayor que 1, la fórmula (65) tiene un crecimiento
mucho más rápido que (66). De modo que el crecimiento exponencial de la primera debería
ser una buena alerta contra el riesgo de dejar que al cabo del tiempo se acumulen intereses
que debamos cubrir: su efecto puede ser catastrófico.
3.
Distribución exponencial en probabilidades
Es posible que algún día los seres humanos logren erradicar hasta la última enfermedad
y comprender completamente los mecanismos de la reproducción celular. Entonces podrían
usar todo este conocimiento para detener su envejecimiento a una edad que les asegure
disfrutar de una saludable y permanente plenitud física. Pero esto no los volverá inmortales.
De hecho, mucha gente muere por motivos que no tienen nada que ver con la vejez ni la
enfermedad. En este futuro de ciencia ficción podemos pensar que el paso del tiempo ni
aumenta ni disminuye la propensión a morir, pero que de todos modos las personas morirán
por causas accidentales.
En este mundo idealizado las personas tendrán entonces un cierto tiempo de vida T
(que dependerá de cada persona, naturalmente, pero cuya dependencia no escribiremos
explícitamente), y los valores de T tendrán una cierta distribución que intentaremos caracterizar. Algo similar ocurre en la actualidad: cada persona vive un cierto tiempo de vida T ,
y los valores de T se distribuyen para toda la población sobre un cierto intervalo. Indicadores como la esperanza de vida al nacer, o el tiempo esperado de sobrevida que cada
persona tiene a una edad dada (una variable que a las compañías aseguradoras les interesa
especialmente estimar bien) apuntan a conocer algunos de los rasgos más importantes de
la distribución de T . Lo que diferencia a nuestro mundo real de la ficción que estamos
analizando es la forma en que se distribuyen los valores de T . La distribución de T no es
otra cosa que el conocimiento, para cada intervalo (a, b) de la probabilidad de que T caiga
en (a, b), algo que es usual escribir en la forma
p({T ∈ (a, b)}).
46
7. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Especialmente importante en nuestro análisis será el cálculo, para cada valor de t, de la
probabilidad de que T supere t. En otras palabras, la función de t definida por
(67)
φ(t) = p({T ∈ (t, +∞)}) = p({T > t}).
La principal hipótesis que estamos manejando es la ausencia de envejecimiento, un
rasgo que puede modelarse de la siguiente manera: si una persona ha vivido hasta el tiempo t, entonces la probabilidad de que todavía esté viva en un tiempo posterior t + s es
exactamente igual a la probabilidad de que una persona sobreviva hasta la edad s. En otras
palabras, a cualquier edad la probabilidad de sobrevivir s años más es la misma. Esta es
una característica de un ser o ente que no envejece: su expectativa de vida no cambia con
el tiempo. Veremos que esta propiedad, una vez traducida en una expresión cuantitativa
precisa en términos de la función φ(t) que hemos introducido en (67), prácticamente determina cómo se distribuye la longevidad en la población.
Las hipótesis que hemos hecho sobre T implican que la probabilidad de que T sea
mayor que t + s dado que T es mayor que t, es exactamente igual a la probabilidad de
que T sea mayor que s. Por tanto, para cualquier pareja de números positivos t y s debe
satisfacerse
p({T > t + s|T > t}) = p({T > s}).
Teniendo en cuenta la definición de probabiliad condicional, encontramos
p({T > t + s|T > t}) =
p({T > t + s})
,
p({T > t})
lo que permite concluir
p({T > t + s}) = p({T > t}) p({T > s}).
En términos de φ, esta última igualdad significa
(68)
φ(t + s) = φ(t)φ(s),
t, s > 0.
El mismo tipo de argumentos que empleamos en la página 28 para mostrar que para valores
racionales de t la solución de x0 = x es una función exponencial (fórmula (35)), permite
concluir a partir de (68) que para valores racionales de t se tiene
(69)
φ(t) = φ(1)t ,
t > 0.
La función φ no tiene por qué ser continua, pero decrece monotónamente. Por lo tanto,
para cualquier valor de s se satiface
(70)
lı́m φ(t) ≥ φ(s) ≥ lı́m φ(t).
t↑s,t∈Q
t↓s,t∈Q
Dado que para s ∈ Q los valores de φ pueden calcularse por medio de (69) y que la función
φ(1)t es continua, los dos límites en (70) son iguales a φ(1)s . Concluimos entonces que la
igualdad (69) vale para cualquier valor positivo de t.
En el párrafo anterior hemos visto que φ tiene la forma de una exponencial. Es estándar
escribirla como una exponencial con base e, haciendo uso de la observación de que φ(1)
es una probabilidad, por lo tanto cae en el intervalo [0, 1]. Además los casos φ(1) = 0 y
φ(1) = 1 pueden ser rápidamente excluidos del análisis, por lo que podemos asumir que
0 < φ(1) < 1. Dado que la función et es continua, tiende a 0 cuando t → −∞ y toma el
valor 1 en t = 0, existe un único número a ≥ 0 tal que
(71)
φ(1) = e−a .
3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL EN PROBABILIDADES
47
Escribimos entonces
φ(t) = e−at ,
t > 0.
Por su definición, se tiene que
φ(t) = 1 − p({T ≤ t}).
De modo que la función de distribución de probabilidad de la variable T , es
1 − e−at , t > 0,
(72)
F(t) = p({T ≤ t}) =
1,
t ≤ 0,
donde la primera de las igualdades es simplemente la definición de función de distribución
de probabilidad para el tiempo de vida T .
E JERCICIO 22. ¿Qué ocurre cuando φ(1) = 0 y cuando φ(1) = 1?
Una variable con la distribución (72) tiene densidad de probabilidad
−at
ae , t > 0,
f (t) =
0,
t ≤ 0,
y esperanza
1
E(T ) = .
a
Vemos entonces que la hipótesis de que la población no envejece caracteriza completamente la distribución del tiempo de vida de los individuos que la componenen, a menos de
un parámetro directamente relacionado con la esperanza de vida.
Para cerrar este ejemplo, digamos que aunque hemos introducido la distribución exponencial de probabilidades a partir de un ejemplo un tanto ficticio, la hipótesis de no
envejecimiento tiene sentido en problemas prácticos como el decaimiento de materiales
radioactivos o para modelar la rotura de componentes eléctricos en los que el deterioro por
el paso del tiempo no tiene un efecto importante.
CAPíTULO 8
Los logaritmos
Las exponenciales y los logaritmos son más antiguos que el cálculo. Aunque no discutiremos aquí los aspectos históricos haremos un comentario que está directamente relacionado con la invención de los logaritmos por el escocés John Neper (1550–1617). La
observación crucial es que la exponencial es una función uno a uno que transforma las
sumas en productos. En efecto, para cualquier base a de exponenciación se tiene
at+s = at as .
Por lo tanto, recorrer el camino inverso debe transformar los productos en sumas. Tengamos presente ahora que sumar es bastante más fácil que multiplicar y con ese idea en
mente remontémosnos unos cuatro siglos atrás, a un tiempo en que no había computadoras
ni calculadoras y en el que Neper tuvo la brillante idea de ‘deshacer’ el cálculo de exponenciales para transformar productos en sumas. El procedimiento que empleó fue el de
calcular muchas exponenciales y hacer con ellas una tabla.
Logaritmo Número
0,01
1,02
0,1
1,26
0,2
1,58
0,4
2,51
0,8
6,31
1
10
1,3
20
1,32
21
1,34
22
1,36
23
1,48
30
1,49
31
1,51
32
1,52
33
...
...
2,7
500
2,78
600
2,83
672
2,85
700
2,9
800
Al leer la tabla de izquierda a derecha se encuentran las exponenciales1, pero al leer de
derecha a izquierda se hace lo contario: se recupera para cada número el exponente al que
1Para nuestra modesta tabla hemos empleado la base 10, pero no fue esa base la que empleo Neper. Tampoco el
número e, a la sazón desconocido.
49
50
8. LOS LOGARITMOS
hay que elevar 10 para conseguirlo. Es decir, su logaritmo en base 10. Observemos que la
segunda entrada de la primera línea es esencialmente (a menos de los errores de aproximación que deliberadamente hemos introducido al representar todo con pocos decimales)
una raíz centésima de 10. Con este número y multiplicaciones reiteradas pueden calcularse
todas las demas entradas de la tabla. Ayuda también conocer una raíz décima, que aparece
destacada en la segunda fila. Todo esto es laborioso, pero abordable manualmente si sólo
hay que hacerlo una vez.
Supongamos ahora que deseamos hacer una multiplicación. Por ejemplo, la de 22
por 31. En vez de hacer la cuenta buscamos los logaritmos de estos números, recorriendo la
tabla desde la segunda columna hasta la primera. Encontramos 1, 34 y 1, 49. Los sumamos,
el resultado es 2, 83. Ahora buscamos 2, 83 en la primera columna, y vemos qué número le
corresponde en la segunda. Es 672. Este valor es el producto de 22 por 31. De este modo,
las tablas de logaritmos permitían calcular con cierta rapidez productos en los tiempos
anteriores a la aparición de las calculadoras automáticas
E JERCICIO 23. ¿Cómo se utilizaría una tabla de logaritmos para dividir? ¿Y para
calcular raíces cuadradas? En general, ¿para hallar raíces enésimas cualesquiera?
Estas aplicaciones han perdido prácticamente todo su interés hoy en día, en que cualquier calculadora demora en hacer una multiplicación o encontrar una raíz cuadrada menos
tiempo del necesario para abrir el libro que contenga la tabla. Pero en los tiempos de Neper
eran tan importantes que el propio Neper, un hombre eminentemente práctico, publicó su
descubrimiento en 1614 bajo el título de la Construcción del maravilloso canon de los
logaritmos. En el prefacio de su obra el propio Neper expresa su esperanza de que los
logaritmos ahorren en el futuro mucho tiempo y errores a los calculistas, una expectativa
que se vería plenamente colmada. Por ejemplo, fue a través del uso de los logaritmos que
Kepler pudo condensar sus observaciones en forma de las tres famosas leyes que llevan
su nombre y que apuntalarían el desarrollo de la teoría gravitatoria de Isaac Newton. Dos
siglos más tarde, Laplace reconocería la labor de Neper, diciendo que al acortar su labor,
duplicó la vida de los astrónomos. En la actualidad, los logaritmos retienen su interés
teórico como función inversa de la exponencial con propiedades realmente notables.
1.
Algunos problemas que conducen a invertir la exponencial
En el capítulo 7 desarrollamos algunas aplicaciones de la función exponencial. Recorreremos ahora algunos de estos ejemplos, prestando atención al hecho de que naturalmente
nos han llevado a invertir la función exponencial. Más situaciones de este tipo aparecerán
en otros lugares del texto.
1.1. Presión atmosférica. Cerramos la sección 1.2 en la página 40 con la referencia a que la medición de la presión atmosférica puede traducirse en la determinación de
la altura, por la vía de invertir una función exponencial. Este principio, empleado en la
fabricación de altímetros, nos lleva entonces a introducir un logaritmo. Cuando se trabaja
con la base e, como es habitual y conveniente hacerlo, la función resultante es el logaritmo
natural o neperiano, con el que estamos trabajando.
1.2. Datación por carbono 14. El nivel de radiación de una muestra de material
radioactivo es proporcional a la velocidad con la que sus átomos se están desintegrando.
A su vez, esta velocidad es proporcional a la cantidad de átomos, en virtud de la ecuación
2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DEL LOGARITMO EN BASE e
51
x0 = ax que describe este fenómeno. Al tener los logaritmos a nuestra disposición pódemos
vincular la constante a con la vida media τ del material radioactivo, porque
1
e−aτ = .
2
Entonces
log 2
a=
τ
y el decaimiento del material a partir de una cierta concentración x0 en el instante t0 sigue
la ley
t−t0
t−t
1 τ
− log 2 τ 0
x0 e
= x0
.
2
Según este modelo, la medición del nivel de actividad en un tiempo t arroja un valor
a(t) = ax0 e− log 2
t−t0
τ
que puede contrastarse con el valor de actividad ax0 , de referencia el carbono 14 en la materia orgánica que se esté analizando. Concluimos entonces que la antigüedad del material
a datar es
τ
a(t)
∆t = t − t0 =
log
.
log 2
ax0
Vemos que es esencial despejar el parámetro t de la función exponencial, a través del
recurso a un logaritmo.
E JERCICIO 24. Determinar cómo interviene el cálculo con logaritmos en el cálculo
del tiempo del deceso de una persona, según el modelo discutido en las secciones 5 del
capìtulo 4 y 1.5 del capítulo 7.
1.3. Distribución exponencial. En la sección 3 logramos caracterizar la distribución del tiempo de vida de entes que no envejecen por una función exponencial, de la
forma φ(t) = φ(1)t . Luego hicimos la observación de que φ(1) podía escribirse como la
exponencial e−a para un cierto valor positivo de a. Esto es equivalente a invertir la exponencial con un logaritmo, porque la igualdad
e−a = φ(1)
es equivalente a
−a = log φ(1).
El hecho de que φ(1) esté en el intervalo (0, 1) implica que su logaritmo es negativo, por
lo que a es una constante positiva.
2.
Definición y propiedades del logaritmo en base e
La exponencial define una correspondencia
exp : R → (0, +∞)
que a cada t ∈ R le asocia exp(t) = et . Se trata de una función estrictamente creciente y
sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva y tiene una inversa
log : (0, +∞) → R,
que es justamente el logaritmo en base e. La propiedad
exp(t + s) = exp(t) exp(s),
t, s ∈ R
52
8. LOS LOGARITMOS
implica que
log(xy) = log(x) + log(y),
(73)
x, y > 0.
Naturalmente, como exp(0) = 1, se tiene que log(1) = 0. Si x = exp(t), como
exp0 (t) = exp(t)
tenemos
1
1
1
=
= .
exp0 (t) exp(t) x
Es la eleccion de la constante e como base para los logaritmos lo que hace que la derivada de este logaritmo sea justamente igual a 1/x. En la próxima sección discutiremos la
relación que el cálculo diferencia e integral establece entre los logaritmos en cualquier
base y funciones de la forma C/x.
log0 (x) =
(74)
3.
Logaritmos y proporcionalidad inversa
No importa qué base se adopte para calcularlos, los logaritmos comparten la fundamental propiedad (73). Llamemos loga a un logaritmo cualquiera, referido a una cierta base
a. Para intentar el cálculo de su derivada en un punto x formamos el cociente incremental
1
1
x + ∆x
∆x
loga (x + ∆x) − loga (x)
=
loga
=
loga 1 +
.
∆x
∆x
x
∆x
x
Introduciendo como nueva variable
∆x
h=
x
el cociente incremental puede expresarse como
1 loga (1 + h) 1 loga (h) − loga (1)
=
.
x
h
x
h
La última igualdad está justificada porque para cualquier logaritmo se tiene que loga (1) =
0. La conclusión es que una función logaritmo es derivable en cualquier punto x si y sólo
lo es en x = 0, y que en caso de que sea derivable se tiene
1
log0a (x) = log0a (0) .
x
Por tanto, las derivada de cualquier logaritmo es igual a una constante por 1/x, donde la
constante dependerá de la elección de la base para el logaritmo. Observemos que para este
argumento no hemos usado para nada nuestro conocimiento de que existe una base natural
para el logaritmo que hace que la constante sea igual a 1.
El cálculo de primitivas también apunta hacia la relación entre los logaritmos y la
función 1/x.
La primera observación que haremos es que el cálculo de derivadas sugiere que hay
un “hueco” en las derivadas de las potencias. Para todo exponente entero se tiene
dt m
= mt m−1 ,
dt
lo que permite determinar una primitiva de cualquier potencia t n , con n 6= −1, en la forma
t m+1
.
m+1
El caso m = −1, que corresponde a la función inversa, cae fuera de este esquema. El
exponente que le correspondería a una primitiva para la función inversa, de exponente −1,
3. LOGARITMOS Y PROPORCIONALIDAD INVERSA
53
es (−1) + 1 = 0, que origina la función constante t 0 , que, obviamente, no nos ayuda en el
cálculo de primitivas de t −1 .
Es interesante ver el resultado de intentar calcular una primitiva de t m abordando la
determinación de
Z x
(75)
t m dt
1
por medio de sumas de Riemann basadas en una partición geométrica del intervalo [1, x].
Consideremos entonces un número natural n cualquiera y
√
q = n x.
Para fijar ideas supongamos x > 1. Entonces
1 = q0 < q < q2 . . . < qn−1 < qn = x
es una partición de [1, x] y
n−1
(76)
sn =
∑ qim
i=0
n−1
qi+1 − qi = (q − 1) ∑ qi(m+1)
i=0
una suma de Riemann para la integral (75), subordinada a esa partición. Cuando m 6= 1
la expresión (76) es una suma geométrica que podemos evaluar. Al calcularla teniendo
presente que qn = x obtenemos, para m 6= −1,
sn = (q − 1)
q−1
qn(m+1) − 1
= (m+1)
xm+1 − 1 .
(m+1)
q
−1
q
−1
Cuando n tiende a infinito q aproxima a 1. El cociente que aparece en el primer factor es
conocido para nosotros: es el inverso del cociente incremental en 1 de la función t m , y por
lo tanto aproxima a 1/(m + 1). En resumen, este cálculo muestra que si m es entero y x > 1
entonces
Z x
xm+1 − 1
t m dt =
, m 6= −1.
m+1
1
Además, los argumentos que hemos presentado se generalizan sin mayor dificultad para
x > 0 cualquiera.
Cuando m = −1 la suma sn en (76) es aún más fácil de evaluar. Obtenemos
√
(77)
sn = n(q − 1) = n( n x − 1).
Pero el paso al límite encuentra un obstáculo que sólo puede salvarse con el conocimiento
del cálculo de logaritmos, porque el resultado es el logaritmo neperiano de x. Antes de
abordarlo vamos a mostrar dos argumentos con distinto grado de formalidad que sugieren
que la integral que buscamos evaluar debe tener las propiedades de un logaritmo.
Consideremos el valor
Z x
1
(78)
A(x) =
dt,
1 t
de la integral que corresponde al caso m = −1 en la expresión general (75). A(x) es igual
al área comprendida bajo la hipérbola 1/t, entre las abcisas 1 y x. Antes del desarrollo
del cálculo integral se conocía ya un argumento que sugería que esta área debía tener la
propiedad básica
(79)
A(xy) = A(x) + A(y)
54
8. LOS LOGARITMOS
que caracteriza a los logaritmos. Dado un número y > 1, la clave es observar como se
deforma el plano (t, s) por medio de la transformación
(t, s) 7→ (yt, s/y).
(80)
La primera observación es que esta correspondencia conserva las áreas, porque produce
un estiramiento de y unidades en el eje horizontal, y comprime y unidades en el vertical.
De modo que a la hora del cálculo del áreas las dos deformaciones se compensan exactamente, produciendo figuras más estiradas en sentido horizontal que las originales, pero de
igual área. La segunda es que deja invariante la hipérbola, ya que un punto (t, s) sobre la
hipérbola esta caracterizado porque s = 1/t. Dado que
s/y = 1/(yt)
encontramos que (yt, s/y) también está en la hipérbola. Por lo tanto, nuestra transformación
lleva la región comprendida bajo la hipérbola entre las abcisas 1 y x a la región comprendida bajo la hipérbola entre y y xy, manteniendo su área. Ésta es la clave para establecer
(79), porque el área entre 1 y xy se puede descomponer como la suma del área entre 1 y y,
igual a A(y) más el área entre y y xy, igual a A(x) en virtud del argumento que acabamos
de desarrollar. Este argumento relativamente elemental muestra la propiedad del logaritmo
para las áreas bajo la hipérbola.
La misma propiedad puede establecer son argumentos de cálculo integral algo más
elaborados. Escribimos
Z xy
Z y
Z xy
1
1
1
A(xy) =
dt =
dt +
dt.
1 t
1 t
y t
La primera integral del miembro de la derecha es A(y). Para la segunda integral hacemos
el cambio de variable u = t/y. Entonces
Z xy
1
y
t
dt =
Z x
1
1
u
du = A(x).
De este modo concluimos que A satisface la propiedad (79).
Los dos argumentos que acabamos de desarrollar sugieren que la primitiva de 1/t
debe ser un logaritmo, cuya base es una elección natural como base para los logaritmos.
Lo que no sugieren es cuál debe ser la base, que queda implícitamente determinada como
el número x tal que
Z x
1
dt = 1.
1 t
O BSERVACIÓN 8.1. Es posible desarrollar todo el cálculo con los logaritmos y las funciones exponenciales usando la integral (78) como definición del logaritmo natural log x,
para luego definir la exponencial et como su inversa. Por ejemplo, el influyente y clásico
Introducción al cálculo y al análisis matemático, de Richard Courant y Fritz John, sigue
este camino.
Más allá de las ventajas y desventajas que tiene uno u otro ordenamiento de la teoría,
es importante tener presente la red de conexiones lógicas y conceptuales que vincula estas
nociones, que aparecen en la matemática por diversas vías. Una más, que aquí no hemos
explorado, es a través de las series de potencias. Este último enfoque es especialmente
interesante como vía de introducción de la exponencial. En particular porque se extiende
con toda naturalidad al campo complejo.
4. EL PAPEL DEL NÚMERO e
4.
55
El papel del número e
En esta sección veremos como la introducción del número e, de la función exponencial que lo tiene como base y de su inversa, el logaritmo natural, permite ampliar nuestro
repertorio de cálculo de límites y echar luz sobre algunos de los problemas que quedaron
planteados en la sección anterior.
Ya hemos visto el límite tipo
eh − 1
= 1,
h→0
h
para la exponencial et con base e, que es completamente equivalente a que esta exponencial
tiene derivada 1 en t = 0 y al desarrollo
lı́m
eh = 1 + h + h × o
cuando h → 0. Recordeos que o indica un infinitésimo. Ambas expresiones tienen su correlato para el logaritmo neperiano, que pueden obtenerse del hecho de que la derivada
en t = 1 de logt toma el valor 1. Al escribir el cociente incremental para la derivada de
logaritmo en 1, recordando que log 1 = 0, se consigue el límite tipo
lı́m
h→0
log(1 + h)
= 1,
h
que implica el desarrollo
(81)
log(1 + h) = h + h × o
cuando h → 0.
En la discusión previa a la introducción de los logaritmos intentamos aproximar la
integral entre 1 y x > 1 de la función 1/t por medio de sumas de Riemann sn , según la
fórmula (77). El conocimiento de la función exponencial permite calcular el límite cuando
n tiende a infinito de esta expresión, a partir de la expresión de la raíz enésima de x como
una exponencial:
√
1
n
x = e n log x .
Si llamamos h al cociente 1/n, que aproxima a 0, tenemos
√
eh log x − e0
n( n x − 1) =
,
h
y ahora es evidente que el producto del miembro de la izquierda aproxima a log x.
En la sección anterior vimos que la derivada de un logaritmo es igual a una constante
por 1/x. La constante depende de la elección de la base de logaritmo, y la base e es justamente la que hace que esta constante tome el valor 1. Una vez fijado e como base para los
logaritmos neperianos, que hemos dado en designar con la expresión log, si tomamos otra
base a cualquiera, tendremos
log(x)
,
loga (x) =
log(a)
de modo que
1 1
log0a (x) =
.
log(a) x
Se puede hacer un análisis similar desde el punto de vista de cualquier función exponencial
f (t) = at .
56
8. LOS LOGARITMOS
Si en un valor cualquiera de t formamos su cociente incremental
at+∆t − at
a∆t − 1 t
=
a,
∆t
∆t
Concluimos que una exponencial es derivable en cualquier punto si y sólo lo es en t = 0, y
que en ese caso su derivada es
f 0 (t) = f 0 (0)at ,
una constante por la propia función. Nuevamente, la constante dependerá de la base a
escogida, y la elección de e como base hace que esa constante sea igual a 1. Para otras
bases tenemos
f (t) = at = et log a
y
f 0 (t) = log a et log a = log a at .
La constante es justamente log a.
Habíamos observado en la página 34 que el análisis de los cocientes incrementales de
la exponencial sugiere definir e como
1
lı́m (1 + t) t .
t→0
El cálculo que acabamos de desarrollar confirma que esta expresión tiende a e. Al escribir
(82)
1
1
(1 + t) t = e t log(1+t) ,
en el exponente del miembro de la derecha aparece
1
log(1 + h),
h
que tiende a 1 cuando h tiende a cero. Por lo tanto la expresión en (82) tiende a e1 = e.
E JERCICIO 25. Mostrar que cualquier expresión de la forma
1
(1 + t + o × t) t ,
donde o es un infinitésimo cuando t tiende a 0, tiene a e como límite cuando t tiende a 0.
E JERCICIO 26. Las funciones exponencial y logaritmo permiten definir para x > 0 y
un exponente s cualquiera la potencias
xs = es log x .
Mostrar que cuando s es un entero esta definición coincide con la usual. Calcular la derivada de esta función con respecto a x. Comparar con los resultados conocidos para el caso de
potencias con exponente entero.
5.
Aplicaciones
Dedicamos esta sección a una variedad de resultados sobre el uso de funciones logarítmicas en distintos lugares de la ciencia.
5. APLICACIONES
57
5.1. Cálculo de primitivas. El hecho de que la función logaritmo sea una primitiva
de la función 1/x permite calcular primitivas de expresiones de la forma f 0 (x)/ f (x). Para
manejar el caso en que f pueda ser negativo, obsrvemos que
d log |x| 1
= , x 6= 0.
dx
x
De modo que, como consecuencia de la regla de la cadena, se tiene que
Z
f 0 (x)
dx = log | f (x)| +C.
f (x)
Con C indicamos una constante de integración cualquiera. La igualdad es válida mientras
f no se anule.
E JERCICIO 27. Mostrar que si v(t) es una función positiva que para t ≥ t0 satisface
(83)
v0 (t) ≥ av(t),
entonces
v(t) ≥ v(t0 )ea(t−t0 ) .
Sugerencia: integrar la desigualdad
v0 (t)
≥a
v(t)
entre t0 y t.
5.2. Logaritmos e información. Un bit es una unidad de información que permite
decidir entre dos alternativas. La expresion bit es un acrónimo de binary digit, o dígito
binario, que alude a un símbolo que puede tomar los valores 0 o 1. Con dos bits de información se pueden distinguir cuatro posibilidades, con tres ocho y con cuatro dieciséis.
Cada bit multiplica por dos las alternativas, que van creciendo de forma geométrica como
potencias de 2. Entonces con k bits podemos distinguir entre
n = 2k
configuraciones diferentes. Vemos así que el número k de bits que especifica la información
necesaria (en el sentido de cantidad de bits disponibles, que es el que se emplea habitualmente para describir cuanta memoria tiene una computadora) es
k = log2 n,
el logaritmo en base 2 del tamaño del espacio de posibles configuraciones.
Hacia fines de la primera mitad del siglo XX el matemático e ingeniero Claude Shannon sentó las bases de la teoría de la información que está en los cimientos de toda la
tecnología de comunicaciones que hoy usamos, introduciendo la noción de cantidad de
información de una cierta fuente S que emite una cierta cantidad n de símbolos si con
probabilidades pi , para i = 1, . . . , n. En la teoría de Shannon los logaritmos tienen un papel
esencial. La razón es que si hay una segunda fuente T , independiente de la primera, emitiendo símbolos t j con probabilidades q j , j = 1, . . . , m, ambas fuentes en conjunto emiten
m × n símbolos (si ,t j ) con probabilidades pi × q j . La teoría de Shannon asigna a la información que en estas condiciones aportan las fuentes S y T en conjunto un valor igual a la
suma de la información de cada fuente por separado. Esta propiedad de la información, que
esencialmente traduce una propiedad multiplicativa en una aditiva, implica que los logaritmos tengan un papel esencial en la determinación de la cantidad de información de una
fuente, en un todo de acuerdo con la discusión heurística de nuestro párrafo anterior.
58
8. LOS LOGARITMOS
Aunque en este contexto lo más natural es usar los logaritmos en base 2, es posible
usar el logaritmo natural, con base e, en la definición de la información de Shannon. Como
log x = log2 x log 2
trabajar con el logaritmo neperiano introduce una constante de proporcionalidad igual a
log 2 en todos los cálculos, lo que implica medir la información en una unidad diferente al
bit, llamada nat.
5.3. Interés continuo. Hemos visto que cuando se utiliza un modelo continuo para
la capitalización de intereses a partir de un cierto capital C0 , a una tasa de interés R para un
período de referencia de T unidades de tiempo, el capital acumulado al tiempo t es
t
C(t) = C0 (1 + R) T .
Naturalmente, esto puede expresarse como una exponencial en base e, en la forma
t
C(t) = C0 elog(1+R) T ,
que pone en evidencia que C(t) crece según la ecuación diferencial
log(1 + R)
C(t).
T
Esta última expresión indica que el capital está creciendo en cada instante con una velocidad igual al miembro de la derecha, por lo que al cabo de un período ∆t pequeño se habrá
incrementado en una cantidad igual a
log(1 + R)
∆C '
C(t)∆t,
T
un número proporcional a C(t) y al período de capitalización ∆t. Esta aproximación es
más exacta cuanto más se aproxima a 0 el incremento ∆t, de modo que podemos ver a la
constante de proporcionalidad
log(1 + R)
(84)
T
como una tasa instantánea de interés, equivalente a la tasa R sobre un período T .
Cuando R es próximo a cero, sabemos en virtud de (81) que log(1 + R) es esencialmente igual a R, de modo que en este caso la tasa instantánea (84) toma un valor muy
próximo a R/T , que para un período corto de tiempo ∆t se traduce en una tasa R∆t/T , que
es justamente el valor que asigna el modelo de interés simple. Vemos así que el desarrollo
asintótico (81) permite explicar el fenómeno que para tasa de interés pequeñas habíamos
apreciado en la página 45 de la sección 2.
C0 (t) =
CAPíTULO 9
Refinamiento y aplicaciones de los modelos de caída libre
¿Desde qué altura se asoma al vacío el joven de la historieta?
La historieta nos lleva a plantearnos una pregunta sobre algún aspecto del mundo que
podemos describir a través de las ecuaciones de la física y sus soluciones. En este caso
se trata de un juego, pero es esencialmente el mismo antiguo juego que nos ha hecho capaces, entre otras cosas, de inventar máquinas más pesadas que el aire para volar, naves
que pueden llevarnos al espacio o al fondo del océano o una tecnología de comunicaciones
que nos permite estar en contacto con lo que ocurre en lugar del mundo y con nuestros
seres queridos físicamente distantes. Todo esto es posible, en buena parte, porque la humanidad ha desarrollado la habilidad de crear modelos matemáticos y calcular con ellos
los valores de las variables críticas para el diseño o para el análisis de una situación. En
las próximas secciones vamos a recurrir a las distintas descripciones que hemos propuesto
para la caída de un cuerpo hacia la superficie de la Tierra, y las emplearemos para proponer
una respuesta a la pregunta que hemos formulado. Haremos uso de la modelizacion que
hemos desarrollado en el capítulo 5 y de las funciones exponenciales y logarítmicas que
hemos estudiado en los capítulos 5 y 8.
1.
El modelo sin resistencia del aire
Mediremos las alturas a partir del nivel en que la lágrima se desprende del ojo, y
supondremos que en ese instante la lágrima tiene velocidad nula. Las condiciones iniciales
para el movimiento son
(85)
y(0) = 0,
v0 = y0 (0) = 0.
El modelo sin resitencia del aire predice una ley horaria de la forma
y(t) = −
gt 2
.
2
Si aceptamos para g el valor de 10m/s2 la distancia que se recorre durante una caída de
2, 02 segundos es de 20, 402m. Tenemos aquí una primera estimación del valor de la altura
del edificio.
59
60
9. REFINAMIENTO Y APLICACIONES DE LOS MODELOS DE CAÍDA LIBRE
2.
El modelo con resistencia lineal
Cuando modelamos la resistencia del aire introduciendo en la ecuación del movimiento un término proporcional a la velocidad pero de sentido contrario, la ecuación que gobierna la caída es
my00 = −by0 − mg,
que puede escribirse en la forma
y00 = −βy0 − g,
(86)
luego de dividir entre m. El primer problema con este modelo es tener una estimación
razonable del valor de β. La obtendremos a partir de resultados sobre la velocidad límite vl
de gotas de agua cayendo en el aire. La relación entre β, g y vl es
vl = −g/β.
Una gota de agua del tamaño de una lágrima tiene una velocidad límite del orden de los 8
metros por segundo, valor que aceptaremos para nuestros cálculos y que sugiere escoger
β ' 1, 251/s.
Una vez determinados los valores de las constantes del problema, podemos pasar al
estudio de las ecuaciones. Tal como hicimos antes, la ecuación (86) permite derivar para la
diferencia
u(t) = v(t) − vl ,
entre la velocidad instantánea y la velocidad límite, la sencilla ecuación
u0 (t) = −βu(t).
El valor inicial de u es
u(0) = 0 − vl = −vl ,
por lo que
u(t) = −vl e−βt .
En consecuencia,
y0 (t) = v(t) = vl 1 − e−βt .
Integrando esta expresión, con la condición inicial y(0) = 0 obtenemos la fórmula
vl −βt
e −1
(87)
y(t) = vl t +
β
Ahora solo nos falta evaluarla para los valores de las constante y del tiempo que corresponden a nuestro ejemplo particular. El resultado es 10, 27 metros.
E JERCICIO 28.
1. Calcular la velocidad a la que, según el modelo que estamos empleando, la lágrima golpea el suelo. Calcular el cociente entre esta velocidad y la velocidad
límite.
2. Calcular el tiempo que debe transcurrir hasta que la velocidad de caída sea igual
al 90 % y al 99 % de la velocidad límite. Calcular en ambos casos la distancia
recorrida.
E JERCICIO 29.
1. Asumiendo el modelo de caída libre en un medio con resistencia lineal para la caída de Chisov, dar el valor de la constante β a partir de
los datos disponibles.
2. Calcular el tiempo de caída hasta que la velocidad sea igual al 90 % y al 99 % de
la velocidad límite. Calcular en ambos casos la distancia recorrida.
3. EL MODELO CON RESISTENCIA CUADRÁTICA
3.
61
El modelo con resistencia cuadrática
En el caso con resistencia cuadrática, la ecuación que gobierna la caída es
my00 = b(y0 )2 − mg,
donde b es una constante positiva. Esta elección hace que el término cuadrático en la velocidad sea positivo, lo que corresponde a la situación en que el cuerpo cae y la resistencia
hace fuerza ‘hacia arriba’, oponiéndose al peso. Dividiendo entre m, la eucación puede
queda en la forma
y00 = β(y0 )2 − g.
(88)
Igual que hicimos antes, estimaremos β a partir de los datos disponibles sobre la caída de
lagrimones. Este modelo implica la relación
β = g/(vl )2 .
Con nuestros datos, escogemos Una gota de agua del tamaño de una lágrima tiene una velocidad límite del orden de los 8 metros por segundo, valor que aceptaremos para nuestros
cálculos y que sugiere escoger β ' 0, 1561/m.
La ecuación (88) implica que la velocidad debe satisfacer la igualdad
v0
= 1.
βv2 − g
Esta igualdad puede integrarse entre el tiempo de inicio de la caída, que fijaremos en cero,
y un tiempo t, y pasando en el miembro de la izquierda a la variable v se obtiene
Z v
0
dv
= t.
βv2 − g
La integral de la izquierda puede evaluarse, recurriendo a un truco estándar del cálculo
integral que consiste en descomponer la función racional en suma de expresiones con denominador lineal, en la forma
!
1
1
1
1
p
p
= p
−
,
βv2 − g 2 βg v − g/β v + g/β
que tiene como primitiva una suma de logaritmos. Si tenemos en cuenta que para
p
vl = − g/β,
se obtiene así
v + vl 1
,
p log v − vl 2 βg
de modo que
√
v + vl
= −e2 βgt .
v − vl
El signo de menos en el miembro de la derecha aparece porque la expresión dentro del
valor absoluto es negativa. Podemos ahora despejar
√
e2 βgt − 1
v(t) = √
vl .
e2 βgt + 1
62
9. REFINAMIENTO Y APLICACIONES DE LOS MODELOS DE CAÍDA LIBRE
Desearíamos ahora integrar esta expresión para hallar la posición en función del tiempo.
Esto puede hacerse gracias a un nuevo truco de cálculo, que pasa por sacar como factor
común en el denominador y el numerado una exponencial:
√
√
e βgt − e− βgt
√ vl .
v(t) = √
e βgt + e− βgt
Ahora
el numerador es prácticamente la derivada del denominador, salvo por un factor
p
βg, y reconocemos que la expresión puede integrarse usando una vez más un logaritmo.
Poniendo el origen de alturas en el punto en que comienza la caída la condición inicial para
el movimiento toma la sencialla forma y(0) = 0. Concluimos entonces que
√
√ !
1
e βgt + e− βgt
(89)
y(t) = − log
.
β
2
Podemos ahora usar los valores de las constantes y del tiempo, para obtener la estimación
de la altura de la Facultad de Física a través de este modelo. El resultado es 11, 76 metros.
O BSERVACIÓN 9.1. El truco de sacar una exponencial de factor común puede parecer
un tanto misterioso para quien no esté familiarizado con las funciones
eu − e−u
senh u
eu + e−u
, senh u =
, tanh u =
,
2
2
cosh u
que reciben, respectivamente, los nombres de coseno hiperbólico, seno hiperbólico y tangente hiperbólica. Para la tangente hiperbólica se tiene
cosh u =
eu − e−u
e2u − 1
=
.
eu + e−u
e2u + 1
Una primitiva de la tangente hiperbólica es log(cosh u). En realidad, todos los cálcul de
esta sección se simplifican bastante una vez que se conocen las funciones trigonométricas
hiperbólicas, sus inversas y sus derivadas.
tanh
4.
Introduciendo algunas simplificaciones crudas
Es posible introducir un modelo sumamente simplificado para la caída en un medio
con resistencia: asumir que todo el tiempo el cuerpo está cayendo a su velocidad límite. En
nuestro caso hemos aceptado una velocidad límite de 8 metros por segundo, lo que predice
para el edificio una altura de 16, 16 metros.
5.
Comentarios finales
En la sección anterior hemos analizado cuatro posibles modelos para la caída libre en
el aire. La caída de una gota de agua en el aire es un fenómeno bastante complejo, pero
de los modelos empleados es de pensar que el que mejor aproxima la realidad es el que
describe la resistencia del aire por un término cuadrático, que arrojó para el edificio una
altura de unos 12 metros. El modelo con resistencia lineal dio algo menos, apenas un poco
más de 10 metros. Al despreciar la resistencia del aire encontramos un valor de algo más de
20 metros. Un modelo aún más sencillo que este, extremadamente simplificado, en el que
sólo teníamos en cuenta la velocidad límite arrojó una aproximación de unos 16 metros,
más cercana al valor que consideramos verdadero que el modelo de caida sin resistencia
que podríamos considerar la simplificación más natural para el problema.
Todos los modelos que hemos estudiado pueden aplicarse a la caída libre de Chisov.
En este caso también tenemos una estimación de la velocidad límite de caída, del orden
5. COMENTARIOS FINALES
63
de los 200 kilómetros por hora o 56 metros por segundo, conocemos aproximadamente
la altura de la caída, pero desconocemos el tiempo que tardó Chisov en tocar Tierra. El
modelo sin resistencia del aire conduce a un valor de algo menos de 38 segundos. Pero
este modelo predice un valor absurdmante alto para la velocidad de llegada al suelo, por
lo que debemos descartar esta estimación. Si suponemos que Chisov cayó todo el tiempo
a su velocidad límite entonces el cálculo nos dice que demoró unos 126 segundo en tocar
el suelo. Es más difícil determinar el tiempo a partir de las fórmulas (87) y (89). Para la
primera expresión no hay una fórmula explícita sencilla para despejar t en función de y.
Para la segunda sí la hay, pero no la usaremos. Simplemente observaremos que en una
caída tan larga el modelo de caída libre a velocidad constante no debe alejarse demasiado
a la realidad, algo que podemos verificar viendo qué altura predicen estos modelos para
una caída de 126 segundos. Al hacer las cuentas encontramos valores de 6,691 metros y
6,786 metros. Simplemente tanteando en una planilla de cálculo rápidamente se encuentra
que estos modelos con predicen valores de unos 132 y 130 segundos para la caída. Vemos
entonces que en esta situación un modelo muy simple logra capturar lo esencial de la
situación: en una caída muy larga casi todo el tiempo se está cayendo a la velocidad límite.
Cuando se introduce una fórmula para la resistencia se encuentra que la diferencia entre la
velocidad de caída y la velocidad límite decae muy rápido, exponencialmente, lo que viene
a confirmar la idea de que el período de aceleración tiene poca influencia en el trayecto
total recorrido o en el tiempo total de caída.
Antes de dejar algunos ejercicios para el lector, digamos que la discusión de los párrafos anteriores viene a ilustrar un aspecto básico de la modelización: al estudiar cualquier
situación a través del modelo se introducen simplificaciones, se incluyen algunas variables
y se descartan otras. Es imprescindible mantener el equilibrio entre la complejidad del
modelo y su exactitud, y muchas veces esta última viene dada por el contexto en el que
el modelo se va a usar. Quizás nada mejor todo esto que el siguiente texto de Jorge Luis
Borges: En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el Mapa de
una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el Mapa del Imperio, toda una Provincia.
Con el tiempo, estos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos
levantaron un Mapa del Imperio, que tenía el Tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes
entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y los Inviernos. En los Desiertos del Oeste perduran despedazadas
Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el País no hay otra
reliquia de las Disciplinas Geográficas.
E JERCICIO 30. Completar los cálculos necesarios para justificar las afirmaciones
hechas acerca de los tiempos de caída de Chisov.
E JERCICIO 31. Hallar una fórmula explícita que permita calcular el tiempo de caída en función de la altura caída, para el modelo en que la resistencia del aire se supone
cuadrática.
La historia de los modelos para el movimiento de cuerpos en el aire no se termina acá.
A pesar de lo mucho que hemos trabajado, todavía hay efectos que deben ser tenidos en
cuenta en algunas situaciones. Nos remontaremos un poco más atrás que en el tiempo que
en el caso de Chisov, hasta la primera guerra mundial.
Al final de la Primera Guerra Mundial (1918), cuando los éxitos de la aviación francesa e inglesa dieron fin a las incursiones aéreas enemigas, la artillería alemana puso en
práctica, por primera vez en la historia, el bombardeo de ciudades enemigas situadas a
64
9. REFINAMIENTO Y APLICACIONES DE LOS MODELOS DE CAÍDA LIBRE
más de cien kilómetros de distancia. El estado mayor alemán decidió emplear este nuevo procedimiento para batir la capital francesa, la cual se encontraba a más de 110 km
del frente. Hasta entonces nadie había probado este procedimiento. Los propios artilleros
alemanes lo descubrieron casualmente. Ocurrió esto al disparar un cañón de gran calibre
con un gran ángulo de elevación. Inesperadamente, sus proyectiles alcanzaron 40 km, en
lugar de los 20 calculados. Resultó, que estos proyectiles, al ser disparados hacia arriba
con mucha inclinación y gran velocidad inicial, alcanzaron las altas capas de la atmósfera, en las cuales, debido al enrarecimiento, la resistencia del aire es insignificante. En
este medio poco resistente es donde el proyectil recorrió la mayor parte de su trayectoria,
después de lo cual cayó casi verticalmente a tierra. Esta observación sirvió de base a los
alemanes para proyectar un cañón de gran alcance, para bombardear París desde una
distancia de 115 km. Este cañón terminó de fabricarse con éxito, y durante el verano de
1918 lanzó sobre París más de trescientos proyectiles. El primer disparo, lanzado el 23 de
marzo, ocasionó 256 muertes. He aquí lo que después se supo de este cañón. Consistía en
un enorme tubo de acero de 34 m de largo y un metro de diámetro. El espesor de paredes
de la recámara era de 40 cm. Pesaba un total de 750 toneladas. Sus proyectiles tenían
un metro de largo y 21 cm de diámetro, y pesaban 120 kg. Su carga requería 150 kg de
pólvora y desarrollaba una presión de 5000 atmósferas, la cual disparaba el proyectil con
una velocidad inicial de 2.000 m//s. El fuego se hacía con un ángulo de elevación de 52o
y el proyectil describía un enorme arco, cuyo punto culminante se encontraba a 40 km de
altura sobre la tierra, es decir, bien entrado en la estratosfera. Este proyectil tardaba en
recorrer los 115 km, que mediaban entre el emplazamiento del cañón y París, 3,5 minutos,
de los cuales, 2 minutos volaba en la estratosfera. Estas eran las características del primer
cañón de ultra-largo alcance, antecesor de la moderna artillería de este género.
E JERCICIO 32. Según este texto, ¿qué efecto que no hemos tenido en cuenta no puede
despreciarse cuándo se dispara un proyectil hasta una altura muy elevada? ¿Cómo sugerirías modificar las ecuaciones de un disparo vertical para tenerlo en cuenta? ¿Cómo se
puede extraer información útil de las ecuaciones resultantes?
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