Capítulo 3. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer

Capítulo 3.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
1. Si hay inicialmente 50 gramos de una substancia radiactiva y al cabo de 3 días quedan sólamente
10 gramos ¿qué porcentaje de la cantidad original queda al cabo de 4 días?
2. Si hay inicialmente 300 gramos de una substancia radiactiva y al cabo de 5 años quedan 200
gramos ¿cuánto tiempo debe transcurrir antes de que queden solamente 10 gramos?
3. En una cueva de Sudáfrica se encontró el cráneo de un homínido junto con los restos de una
fogata. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo es igual a la de la fogata. Se ha establecido que
solamente el 2 % de la cantidad original de carbono 14 queda en la madera quemada de la fogata.
Calcule la edad del cráneo si la vida media del carbono 14 es aproximadamente de 5600 años.
4. Una solución de salmuera entra a velocidad constante de 8 litros/minuto en un tanque que
inicialmente contiene 100 litros de solución de salmuera en el cual estaban disueltos 5 kilogramos
de sal. La solución en el interior del tanque se mantiene bien agitada y sale con velocidad de 8
litros/minuto. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque es de 0.5 kilogramos/litro,
determine la cantidad de sal presente en el tanque al cabo de t minutos. ¿Cuándo alcanzará la
concentración de sal en tanque el valor de 0.2 kilogramos/litro?
5. Una solución de salmuera entra a velocidad constante de 4 litros/minuto en un tanque que
inicialmente contiene 100 litros de agua. La solución en el interior del tanque se mantiene bien
agitada y sale con velocidad de 3 litros/minuto. Si la concentración de sal en la salmuera que entra
al tanque es de 0.2 kilogramos/litro, determine la cantidad de sal presente en el tanque al cabo de t
minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración de sal en tanque el valor de 0.1 kilogramos/litro?
6. Una reacción química de segundo orden implica la interacción (colisión) de una molécula de una
substancia P con una molécula de una substancia Q (se escribe P + Q → X en la notación usual).
Suponga que p y q son las concentraciones iniciales de las substancias P y Q, respectivamente, y sea
x(t) la concentración de X en el instante t. Entonces p − x(t) y q − x(t) son las concentraciones de
P y Q en el instante t, y la velocidad con la transcurre la reacción se describe mediante la ecuación
diferencial
dx
= α(p − x)(q − x),
dt
donde α es una constante positiva. (1) Si x(0) = 0, encuentre x(t). (2) Si las substancias P y Q son
dx
las mismas entonces
= α(p − x)2 . Si x(0) = 0, encuentre x(t).
dt
1
7. Dos substancias A y B se combinan para formar la substancia C. La velocidad de reacción es
proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no han reaccionado aún. Al
principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se
observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuántos gramos de C se forman
en 20 minutos? ¿Cuál es la cantidad de C para un periodo largo de tiempo? ¿Qué cantidad de las
substancias A y B queda tras un largo periodo de tiempo?
8. Resolver el problema anterior si al principio hay 100 gramos del reactivo A ¿Cuándo se formará
la mitad de la cantidad límite de C?
9. Suponga que, en cierta reacción química, una substancia P se transforma en una substancia X.
Sea p la concentración inical de P y x(t) la concentración de X en el instante t. Entonces p−x(t) es la
concentración de P en t. Además suponga que la reacción es autocatalítica, es decir, que la reacción
es estimulada por la misma substancia que se está produciendo. Por la tanto, dx/dt es proporcional
dx
tanto a x como a p − x, y
= αx(p − x), donde α es una constante positiva. Si x(0) = x0 , encontrar
dt
x(t).
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