Ejercicio

Problemas de Geometría – PAU Andalucia
MATEMÁTICAS II − PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
PAU ANDALUCÍA
Ejercicio 1.— (Junio 2006-A)
Considera el plano π de ecuación 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0 y la recta r de ecuación
𝑥−5
−2
=𝑦=
(a) [1 punto] Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.
𝑧−6
𝑚
.
(b) [0.75 puntos] Para m = –3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.
(c) [0.75 puntos] Para m = –3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.
Ejercicio 2.— (Junio 2007-A)
Considera los planos de ecuaciones 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 y 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 .
(a) [1 punto] Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos
dados.
(b) [1.5 puntos] Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la recta
intersección de los planos dados.
Ejercicio 3.— (Junio 2008-A)
Dada la recta r definida por
𝑥−1
2
=
𝑦+1
3
=
𝑧−2
1
(a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.
(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r.
Ejercicio 4.— (Junio 2008-B)
[2.5 puntos] Dados los puntos A(2, 1, 1) y B(0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del
triángulo de vértices A, B y C es 2.
Ejercicio 5.— (Sobrante 2008)
Sea la recta r dada por �
2𝑥 + 𝑦 − 𝑚𝑧 = 2
y el plano π definido por 𝑥 + 𝑚𝑦 − 𝑧 = 1.
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −𝑚
(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos?
(b) [1 punto] ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano?
(c) [0.5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?
Ejercicio 6.— (Sobrante 2008)
[2.5 puntos] Sea la recta r definida por �
𝑥=1
𝑥−𝑦 =0
y sean los planos 𝜋1 , de ecuación 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, y 𝜋2 , de ecuación 𝑦 + 𝑧 = 0. Halla la recta contenida
en el plano 𝜋1 , que es paralela al plano 𝜋2 y que corta a la recta r.
1
Problemas de Geometría – PAU Andalucia
Ejercicio 7.— (Sobrante 2008)
Se sabe que los planos de ecuaciones 𝑥 + 2𝑦 + 𝑏𝑧 = 1 , 2𝑥 + 𝑦 + 𝑏𝑧 = 0 , 3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 1 se cortan
en una recta r.
(a) [1.25 puntos] Calcula el valor de b.
(b) [1.25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r.
Ejercicio 8.— (Junio 2009-A)
𝑥=𝜇
𝑥=1
[2.5 puntos] Se considera la recta r definida por � 𝑦 = 1 y la recta s definida por �𝑦 = 𝜇 − 1 .
𝑧 = −1
𝑧 =λ−2
Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.
Ejercicio 9.— (Septiembre 2009-A)
Considera el punto P(1, 0, 0), la recta r definida por 𝑥 − 3 =
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 1, 0) + λ(−1, 2, 0).
(a) [1.25 puntos] Estudia la posición relativa de r y s.
𝑦
2
=
𝑧+1
−2
y la recta s definida por
(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s.
Ejercicio 10.— (Sobrante 2009)
Considera el punto A(1, –2, 1) y la recta r definida por las ecuaciones �
𝑥+𝑦 =2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.
(b) [1.5 puntos] Calcula la distancia del punto A a la recta r.
Ejercicio 11.— (Sobrante 2009)
Considera el punto P(1, 0, –2), la recta r definida por �
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0.
𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
y el plano π de ecuación
𝑦+𝑧−2=0
(a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π.
(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π.
Ejercicio 12.— (Sobrante 2009)
Considera el plano π de ecuación 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 7 y la recta r definida por
𝑥−2
2
=
(a) [1.25 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r.
𝑦+1
1
=
𝑧−2
2
.
(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r.
Ejercicio 13.— (Sobrante 2009)
[2.5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 1, –1), es paralela al plano de
ecuación 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 y corta al eje Z.
2
Problemas de Geometría – PAU Andalucia
Ejercicio 14.— (Sobrante 2009)
Sea el punto P(2, 3, –1) y la recta r definida por �
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 1
(a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r.
(b) [1.25 puntos] Halla el punto de r que está más cerca de P.
Ejercicio 15.— (Junio 2010-A)
Considera las rectas r y s de ecuaciones:
𝑥−1=𝑦 =1−𝑧
y
(a) [0.75 puntos] Determina su punto de corte.
�
(b) [1 punto] Halla el ángulo que forman r y s.
𝑥 − 2𝑦 = −1
𝑦+𝑧 =1
(c) [0.75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a r y a s.
Ejercicio 16.— (Junio 2010-B)
Los puntos P(2, 0, 0) y Q(–1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo.
El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación �
4𝑥 + 3𝑧 = 33
.
𝑦=0
(a) [1.5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que
pasa por P y S.
(b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.
Ejercicio 17.— (Septiembre 2010-B)
Considera los planos 𝜋1 , 𝜋2 y 𝜋3 dados respectivamente por las ecuaciones
𝑥+𝑦 =1,
𝑎𝑦 + 𝑧 = 0
y
𝑥 + (1 + 𝑎)𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎 + 1
(a) [1.5 puntos] ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común?
(b) [1 punto] Para a = 0, determina la posición relativa de los planos.
Ejercicio 18.— (Junio 2011-B General)
Considera los puntos A(1, 0, –1) y B(2, 1, 0), y la recta r dada por �
𝑥+𝑦 =1
.
𝑥+𝑧 =2
(a) [1’75 puntos] Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B.
(b) [0’75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos P(1, 2, 1) y Q(3, 4, 1) está contenida en
dicho plano.
Ejercicio 19.— (Junio 2011-A Específico)
Considera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2, –1).
(a) [1'25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación
de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B.
𝑥−1
3
=
𝑦
2
= 𝑧 que verifica que el triángulo
(b) [1'25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del
plano de ecuación 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 6 con el eje OX.
3
Problemas de Geometría – PAU Andalucia
Ejercicio 20.— (Junio 2011-B Específico)
[2'5 puntos] Considera los planos 𝜋1 , 𝜋2 y 𝜋3 dados respectivamente por las ecuaciones
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 ,
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 ,
𝑥+𝑧−4=0
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 1, –1), es paralela al plano 𝜋1 y corta a la recta
intersección de los planos 𝜋2 y 𝜋3 .
Ejercicio 21.— (Septiembre 2011-A)
Considera los puntos A(–1, k, 3), B(k+1, 0, 2), C(1, 2, 0) y D(2, 0, 1).
�����⃗, 𝐵𝐶
�����⃗ y 𝐶𝐷
�����⃗ sean linealmente
(a) [1’25 puntos] ¿Existe algún valor de k para que los vectores 𝐴𝐵
dependientes?
(b) [1’25 puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de
volumen 1.
Ejercicio 22.— (Septiembre 2011-B)
Dado el plano π de ecuación 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 y la recta r de ecuaciones �
3𝑥 − 𝑦 = 5
.
𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −13
(a) [1’75 puntos] Halla el punto de intersección del plano π y la recta r.
(b) [0’75 puntos] Halla el punto simétrico del punto Q(1, –2, 3) respecto del plano π.
Ejercicio 23.— (Examen 1 − Junio 2012 Específico − Opción A)
El punto M(1, −1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(2, 1, −1) y B(0, −2, 3) son dos vértices
consecutivos del mismo.
(a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
(b) [1'5 puntos] Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.
Ejercicio 24. — (Examen 1 − Junio 2012 Específico − Opción B)
[2'5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones
=
4
2 x − 3 y

0
2 x − 3 y − z =
Ejercicio 25. — (Examen 2 − 2012 − Opción A)
Dadas las rectas r ≡
x +3 y −9 z −8
=
=
−6
4
4
y
s≡
x −3 y −9 z −8
=
=
3
−2
−2
(a) [1 punto] Determina la posición relativa de las rectas r y s.
(b) [1'5 puntos] Calcula la distancia entre r y s.
Ejercicio 26. — (Examen 2 − 2012 − Opción B)
[2'5 puntos] Los puntos A(1, 1, 5) y B(1, 1, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El
vértice C, consecutivo a B, está en la recta
=
x
y − 6 z +1
. Determina los vértices C y D.
=
−2
2
4
Problemas de Geometría – PAU Andalucia
Ejercicio 27. — (Examen 3 − Septiembre 2012 − Opción A)
Sean los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, −1), C(0, 1, −2) y D(1, 2, 0).
(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.
(b) [0'5 puntos] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.
(c) [1 punto] Calcula la distancia del punto D al plano π.
Ejercicio 28. — (Examen 3 − Septiembre 2012 − Opción B)
[2'5 puntos] Halla el punto simétrico de P(2, 1, −5) respecto de la recta r definida por
�
𝑥−𝑧 =0
𝑥+𝑦+2=0
Ejercicio 29. — (Examen 4 − Junio 2012 General − Opción A)
De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2, −1, 0), B(−2, 1, 0) y C(0, 1, 2).
(a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es
perpendicular al plano que lo contiene.
(b) [0'75 puntos] Halla el área de dicho paralelogramo.
(c) [0'75 puntos] Calcula el vértice D.
Ejercicio 30. — (Examen 4 − Junio 2012 General − Opción B)
Sean r y s las rectas dadas por
6
x + y − z =
r≡
=
3
x + z
s≡
x −1 y +1 z
=
=
−1
6
2
(a) [1'25 puntos] Determina el punto de intersección de ambas rectas.
(b) [1'25 puntos] Calcula la ecuación general del plano que las contiene.
Ejercicio 31. — (Examen 5 − 2012 − Opción A)
Se consideran los vectores 𝑢
�⃗ = (𝑘, 1, 1), 𝑣⃗ = (2, 1, −2) y 𝑤
��⃗ = (1, 1, 𝑘) , donde k es un número real.
(a) [0'75 puntos] Determina los valores de k para los que 𝑢
�⃗, 𝑣⃗ y 𝑤
��⃗ son linealmente dependientes.
(b) [1 punto] Determina los valores de k para los que 𝑢
�⃗ + 𝑣⃗ y 𝑣⃗ − 𝑤
��⃗ son ortogonales.
(c) [0'75 puntos] Para k = −1, determina aquellos vectores que son ortogonales a 𝑣⃗ y 𝑤
��⃗ y tienen
módulo 1.
Ejercicio 32. — (Examen 5 − 2012 − Opción B)
[2'5 puntos] Encuentra los puntos de la recta r ≡
π ≡ x − 2 y + 2z =
1 vale cuatro unidades.
Ejercicio 33. — (Examen 6 − 2012 − Opción A)
[2'5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡
coordenadas y del punto A(3, 2, 1).
x −1 2 − y
= =
z − 3 cuya distancia al plano
4
2
x+3 y +5 z+4
que equidista del origen de
=
=
2
3
3
5
Problemas de Geometría – PAU Andalucia
Ejercicio 34. — (Examen 6 − 2012 − Opción B)
Considera el punto P(1, 0, 2) y la recta r dada por las ecuaciones �
2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0
(a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.
(b) [1'5 puntos] Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.
Ejercicio 35. — (Examen 1 − Reserva 2 Junio 2013 − Opción A)
[2’5 puntos] Determina el punto de la recta r ≡
𝜋1 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 2 = 0
x −1 y
==
z + 1 que equidista de los planos
3
2
y
𝑥 = −4 + λ − 3𝜇
𝜋2 ≡ � 𝑦 = 1 + λ
𝑧=
𝜇
Ejercicio 36. — (Examen 1 − Reserva 2 Junio 2013 − Opción B)
Considera los puntos A(0, 5, 3), B(−1, 4, 3), C(1, 2, 1) y D(2, 3, 1).
a) [1’75 puntos] Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo.
b) [0’75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.
Ejercicio 37. — (Examen 2 − Septiembre 2013 − Opción A)
Considera el plano π de ecuación 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 6 = 0.
a) [1’5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los
ejes coordenados.
b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.
Ejercicio 38. — (Examen 2 − Septiembre 2013 − Opción B)
Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 3, 1), C(2, 1, 2) y D(1, 0, 4).
a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C.
b) [1’5 puntos] Halla el punto simétrico de D respecto del plano 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 + 9 = 0.
Ejercicio 39. — (Examen 3 − Reserva 1 Septiembre 2013 − Opción A)
Considera los puntos A(1, 2, 1), B(−1, 0, 2) y C(3, 2, 0) y el plano π determinado por ellos.
a) [1’75 puntos] Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos
respecto de r.
b) [0’75 puntos] Calcula la distancia de A a r.
Ejercicio 40. — (Examen 3 − Reserva 1 Septiembre 2013 − Opción B)
Considera las rectas r y s dadas por
𝑥 = 2 − 3λ
𝑟 ≡ � 𝑦 = 3 + 5λ
𝑧=
λ
a) [1 punto] Determina la posición relativa de r y s.
b) [1’5 puntos] Calcula la distancia entre r y s.
y
𝑠≡�
𝑥+𝑦 −1=0
𝑧−5=0
6
Problemas de Geometría – PAU Andalucia
Ejercicio 41. — (Examen 4 − Reserva 2 Septiembre 2013 − Opción A)
Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(−1, 0, 3), B(2, −1, 1) y C(3, 2, −3).
a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.
b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo.
c) [0’5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice D.
Ejercicio 42. — (Examen 4 − Reserva 2 Septiembre 2013 − Opción B)
Considera los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 0, 4).
a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes
iguales.
b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular al segmento
AB.
Ejercicio 43. — (Examen 5 − Reserva 1 Junio 2013 − Opción A)
[2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas
r≡x= y= z
y
s ≡ x −1 = y − 2 = z − 3 .
Ejercicio 44. — (Examen 5 − Reserva 1 Junio 2013 − Opción B)
[2’5 puntos] Considera las rectas
𝑟≡𝑥=𝑦=𝑧
𝑠≡�
𝑥=2
𝑦=1
Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t.
y
𝑥 = 1 + 2λ
𝑡≡�𝑦=
3λ
𝑧 = −1 + λ
Ejercicio 45. — (Examen 6 − Junio 2013 − Opción A)
Sea r la recta que pasa por el punto (1, 0, 0) y tiene como vector dirección (a, 2a, 1) y sea s la recta
dada por
 −2 x + y = −2

 −ax + z = 0
a) [1 punto] Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas.
b) [1’5 puntos] Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s.
Ejercicio 46. — (Examen 6 − Junio 2013 − Opción B)
Considera los puntos P(2, 3, 1) y Q(0, 1, 1).
a) [1’75 puntos] Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos.
b) [0’75 puntos] Calcula la distancia de P a π.
7