Estrategias eficientes en los mercados de opciones y futuros

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y
EMPRESARIALES
Departamento de Economía Cuantitativa
ESTRATEGIAS EFICIENTES EN LOS MERCADOS DE
OPCIONES Y FUTUROS
MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR
PRESENTADA POR
Juan Garrido López
Bajo la dirección de los doctores
Gregorio Díaz
Laureano Escudero
Madrid, 2012
© Juan Garrido López, 1999
4< §9
Estrategias Eficientes en los Mercados
de Opciones y Futuros
T
Tesis Doctoral
Juan Garrido López
Directores: Gregorio Díaz, Laureano Escudero
Departamento de Economía Cuantitativa
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad Complutense de Madrid
1998
A mis padres, a mis hermanos, a mi abuelita y a Ester
Agradecimientos
Deseo expresar mi más sincero agradecimiento a los Profesores Gregorio Diaz y Laureano
Escudero por su labor de dirección en esta tesis y por la gran confianza que me han mostrado.
También quiero agradecer las sugerencias recibidas y el apoyo mostrado por el Profesor Miguel Jerez,
tutor de esta tesis.
Agradezco también a todos los lectores por leer mi trabajo y por sus valiosos comentarios y
sugerencias.
Por otro lado, agradezco profundamente la inestimable ayuda que me han prestado mis amigos
Ricardo Martín y Arthur B. Treadway. Su apoyo y sugerencias han hecho mucho más fácil y llevadero
este largo camino.
Quiero, asimismo, expresar mi gratitud al Departamento del Análisis Económico de la
Universidad Complutense y al Instituto Complutense de Análisis Económico (¡CAE) por facilitarme
los medios materiales necesarios para llevar a cabo esta investigación. También quiero agradecer el
interés mostrado por mis compañeros de doctorado y muy especialmente por Luis Nuño con quién he
mantenido largas y deliciosas discusiones.
Fuera del plano profesional, quiero agradecer el constante aliento, el apoyo incondicional y el
interés mostrado por mi familia y por Ester, sin ellos llegar a este momento habría sido prácticamente
imposible.
Juan Garrido López
Indice
Indice
1 Introducción
1
2 Resolución de la ecuación de fllack y Seholes utilizando el método de separación de variables
12
2.1 Estimación del error cometido
25
2.2 Convergencia
27
2.3 Cálculo de sensibilidades
30
2.3.1 Delta de una opción
30
2.3.2 Gamma de una opción
31
2.3.3 Theta de una opción
32
2.3.4 Vega de una opción
33
2.3.5 Rho de una opción
35
2.4 Ejemplos
3 Rendimiento esperado condicionado y varianza condicionada del rendimiento de una opción
37
51
3.1 Rendimiento esperado condicionado de una opción
53
3.2 Varianza condicionada del precio de mercado de una opción
58
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
63
3.3.1 Delta esperada de una opción
63
3.3.2 Gamma esperada de una opción
66
3.3.3 Theta esperada de una opción
68
3.3.4 Vega esperada de una opción
70
3.3.5 Rho esperada de una opción
72
3.4 Ejemplos
4 Cálculo de la estrategia eficiente
4.1 Problema 1: Estrategia á la Markowitz
74
88
92
4.1.1 Ejemplos
93
4.1.2 Comentarios a los resultados del Problema 1
100
4.2 Problema 2: Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
107
4.2.1 Ejemplos
108
4.2.2 Comentarios a los resultados del Problema 2
116
Indice
4.3 Problema 3: Estrategia á la Markowitz con restricciones sobre las sensibilidades esperadas de la
estrategia
122
5 Conclusiones
126
Apéndice 1: Resolución de la ecuación del calor
128
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
131
Apéndice 3: Resolución de la ecuación de Black y Seholes
143
Referencias
145
1 Introducción
Lo que se pretende en esta memoria es generalizar, al ámbito de las opciones europeas sobre
un único activo subyacente, las ideas sobre selección de carteras que aparecen por primera vez en
N4arkowitz (1952)1, es decir, obtener la estrategia, compuesta por opciones europeas sobre un único
subyacente, que minirnice el riesgo de obtener una determinada rentabilidad. Para llevar a cabo este
fin se propone un nuevo método de valoración de opciones, que permite, por tina parte, resolver el
problema mencionado, y por otra, valorar de forma exacta algunos tipos de opciones.
Comenzaremos introduciendo una serie de definiciones básicas (vid. Hulí 1997):
Un contrato a plazo o forward es un acuerdo privado de compra o venta de un activo en un
momento dcterminado del futuro por un precio determinado hoy (precio de entrega). Una de las dos
partes del contrato a plazo asume una posición larga y acuerda comprar el activo en una fecha
específica y a un precio determinado. La otra parte asume una posición corta y acuerda vender el
activo en la misma fecha por el mismo precio. El precio de entrega se suele elegir de tal forma que en
el momento en que se firma el contrato sea cero.
Sea K el precio de entrega, Tel día de vencimiento del contrato y S1 el precio de contado del
activo en el instante t =T. El valor el día de vencimiento o valor terminal de una posición larga en un
contrato a plazo sobre tina unidad de activo es:
ST-K
y de una posición corta:
K-ST.
En la Figura 1.1 se ilustran los valores terminales de un contrato a píazo.
Análisis detallados de muchos de los distintos modelos asociados a la extensa literatura generada por la idea
orírínal de Markowitz pueden encontrarse en Ingersoll (1987) y Zenios (1993).
1 Introducción
Valor terin mal
Valor
K
SI
4<
(a)
(b>
Figura 1.1: Valor terminal de un contrato a plazo. (a) Posición larga. (b) Posición corta
Con respecto a las opciones hay que decir que existen básicamente dos tipos: de compra y de
venta (Cali y Pufl. Una opción de compra da a su poseedor el derecho a comprar un activo (activo
subyacente) a un precio determinado (precio de ejercicio) en una fecha establecida (fecha de
vencimiento). Una opción de venta proporciona a su titular el derecho a vender un activo en una fecha
determinada a un precio establecido. El comprador, al adquirir alguno de estos derechos, pagará por
ellos tina determinada prima.
Una opción se denomina europea si solo puede ser ejercitada en la fecha de vencimiento,
mientras que una opción se denomina americana si puede ser ejercitada en cualquier momento hasta
su fecha de vencimiento incluida.
A menudo es útil caracterizar las posiciones en opciones en términos de su valor terminal.
Llamando Tal día de vencimiento, K al precio de ejercicio y S~ al precio del activo subyacente en el
instante t, entonces una posición larga de opciones de compra tendrá un valor terminal:
maxtST —K,O}
y una posición corta:
—maxfS1 —K,O}.
El valor terminal para una posición larga en una opción de venta será:
max{K—S1,0}
y para una posición corta:
—max{K—ST,O}.
La Figura 1.2 ilustra gráficamente estos tipos de valores terminales.
2
1 Introducción
Valor jonia ja al
Valor (srm [¡(al
(a)
Valor lcrm mal
Valor
1<
<d)
(CI
Figura 1.2: Valor terminal de opciones de compra y venta. (a) Posición larga en una opción de compra.
(b) Posición larga en una opción de venta. (c) Posición coda en una opción de compra.
(d) Posición corta en una opción de venta.
Partiendo de estos tipos básicos de opciones, se puede construir una gran variedad de
estrategias (vid. Coxy Rubinstein (1985), Hulí (1997)y Smith (1976)). Por ejemplo, se toma una
posición larga en opciones de compra y de venta con igual precio de ejercicio e igual fecha de
vencimiento, se obtendría un valor terminal corno el que se muestra en la Figura 1.3. A este tipo de
estrategia se la denomina Straddle y es apropiada cuando el inversor espera un movimiento grande del
precio del activo subyacente pero duda del sentido del mismo.
Valor
Figura 1.3: Straddle. Combinación de una posición larga en opciones de compra y de venta.
3
¡ Introducció,t
Muchas de las estrategias que se utilizami con carácter especulativo en los mercados de opciones y
futuros se detallan en el Apéndice 2. Los operadores eligen unas u otras dependiendo de sus
expectativas sobre la volatilidad y el rendimiento del activo subyacente. En las Tablas A.2.l y A.2.2
dcl Apéndice 2 se muestran las más usadas dependiendo de dichas expectativas. Hasta donde he
podido comimprobar, mediante una búsqueda exhaustiva en la literatura, la formnalización matemática
del problema de la elección de la estrategia eficiente compuesta por opciones europeas, dadas las
expectativas sobre volatilidad y rendimiento del activo subyacente, no está planteada ni resuelta. Para
poder plantear dicho problemna es necesario determinar cuanto debe pagar un inversor por disponer de
tina opción que dentro de T días le proporcione un determinado valor terminal genérico g(S). En la
literatura, este problema de valoración, se encuentra resuelto por diferentes métodos en Black y
Seholes (1973), Merton (1973), Wilmot, DewynneyHowison (1993), liuffie (1988, 1992), Baxtery
Rennie (1996) entre otros, y se puede resumir de la siguiente forma.
Se supone tín determinado activo financiero, llamado acción, cuyo precio, S~S1, sigue el
proceso que evoluciona, atendiendo a consideraciones tanto deterministas corno aleatorias, de acuerdo
con la ecuación diferencial estocástiea2:
dS<log(m)—9
0)Sdt+aSdB1;
S>O
(1)
siendo B~ un movimiento estándar Browniano, en el ambiente propio de estos procesos estocásticos,
y donde log(m) y a son escalares estrictamente positivos y D0 un escalar no negativo que
representan respectivamente el rendimiento esperado, la volatilidad y los dividendos de ¡a acción.
Se puede demostrar que para todo instamite actual t y todo precio del activo subyacente 5
(y. Apéndice 3) el precio, C, del instrumento financiero (la opción) que el día de ejercicio, T,
garantiza el valor termina] g(S), sigue el proceso:
¿XI?
Dt
3C
65
1
2
~
C(S,T)=g(S)
(3)
siendo reí tipo de interés libre de riesgo.
2
(2)
Algunos procesos estocásticos alternativos aparecen en Cox y Ross (1976)
4
.
1 Introducción
Teniendo en cuenta la fórmula de Feynman-Kac, se resuelve la ecuación en derivadas
parciales (EDP) anterior, dando como resultado:
C(S,T— t.r,a)
11)
=
~
Ig(S
cr
3
2ru
1
¿2
2
-OOXT—t)*ia
T—tz)
A
e2dz
(4)
0
que es el valor en t de la opción financiera que en T tiene un valor terminal g(S)
(y. Duffme (1992)).
Para poder plantear, en este contexto, un problema similar al de Markowitz (1952), hace falta
calcLílar primero el precio esperado condicionado de una opción y su varianza. Para ello asumamos las
siguientes hipótesis (Rubinstein (1984)):
1. El inversor y el “mercado” están de acuerdo en que el tipo de interés libre de riesgo
es constante e igual a r.
2. El inversor y el “mercado” están de acuerdo en que el rendimiento del subyacente
sigue una distribución lognormal
3. Las estimaciones del inversor del rendimiento esperado anualizado y de la
volatilidad instantánea del subyacente son Iii y a,las estimaciones del mercado son m y
ci.
4. El precio de mercado de una opción siempre se calcula, utilizando la fórmula
de Black-Scholes para opciones europeas:
C(S, T t; r, ci)
-
Bajo estas condiciones el precio de mercado esperado condicionado para una opción al final del
periodo de posesión, he ¡0,1?], medido como fracción de año, será:
-(Y-JI
E{C~t
h}
=
&h JC(SúeY~T-h;r~te
5
2E2
11)2
dy
(5)
1 Introducción
y su varianza condicionada:
-(~-~~
V{CV
¡4
1
r.
~ 2~ h JI<C(S0eN ,T h;r~o)
_______
-
2~
—
E{C~h}) e
h
dy
(6)
donde:
1 2 —D
jir=Iog(hi)—--ti
‘y
Llamando C0
0.
C(S0,T;r4) al precio hoy del instrumento financiero que garantiza en Tel valor
terminal g, el rendimiento esperado anualizado de la estrategia sera:
—
(E{C~h}>jE
)
C~
y su varianza anualizada:
V{Cjh}
hC~
(vid. Rubinstein (1984)).
Surge, entonces, el principal objetivo de esta memoria: hallar la combinación de opciones, a
gime minirnice la varianza condicionada del rendimiento de la estrategia (7), suieto a conseguir una
determinada rentabilidad, Rh ,(exigida por el inversor) y a Que se cumpla una determinada restricción
presunuestaria, es decir; calcular aquella función g (la estrategia) que sea solución del problema de
optimización funcional
minVm
g
C(S0,T,r,a)
—
6
1
Introducción
Teniendo en cuenta las fórmulas (4), (5) y (6) el problema que se plantea en la memoria se
expresa corno:
cl
2
mmg
j{{~(Soe
sujeta
Ú,(z,y)
)e2 dz
—
j•}WSOJIY))5d
0t
27rh
ti
ti
r(T
-,
h>
a
fJ~§SositYÚe~i
27rh
~
j g(S0e
2ith
Ii
(r—
cl
2
dy
)
2
2hdy
2Ú
dy
2c2h
dze
A
~
c-D0)(T—t)-rcv
)e
2
dz
2
z
2dz=C
2it
J~(S
)e
oe(r<c2Do)<Tt)+c
0
;T—tz
sien do:
o4z~Y)jjr—
~
—Dú}T—t)±a T—t z+y,
Rí, el rendimiento exigido por el inversor y C0 el capital inicial a invertir. En definitiva, lo que se
pretende en la memoria es calcular la frontera eficiente de una cartera de opciones europeas sobre
un
determinado subyacente, donde cada punto de esta representaría una estrategia g a comnprar o vender.
La resolución de este problema permite formalizar matemáticamente el problema de selección
de la estrategia compuesta por opciones europeas, dadas las expectativas del inversor
y del “mercado
sobre la volatilidad y rendimiento del activo subyacente
Para resolver el problema de optimización anterior se desarrolla, en el siguiente capitulo, un
método aproximado de valoración de opciones europeas resolviendo la ecuación de Black y Seholes
(1973) por el método de separación de variables (vid. Churchill (1963), Godunov (1978), Tíjonov,
Samarski y Budak (1980) y Weinberger (1992)).
7
1 Introducción
Para ello se asume una nueva hipótesis:
-
El rango de variación del precio del subyacente está acotado sobre el intervaLo[Sa
5M
‘
],con
O y 5M » 1, de tal forma que se pueden añadir dos nuevas condiciones de contorno a la
ecuación (3) de la forma:
C(S,~,t)
=
f
1(t)
C(SM,t)
=
donde, como se prueba en el Capitulo 2, para opciones europeas se tiene quef1 (t)
f, (t)
u0er<T<> y
u1e -L)0<f-’>, con lo que el nuevo problema a resolver es:
¿lIC
¿)C
=rC —(r--D)S——-—
-
5t
55
C(S,T)=g(S),Sc
t)
=
u 0e ~r(F.~<)
—>3
2
2C
2
5
Ñ~,~M[
te
19, i[
0o (T— o ,te]0,T[
C(SNI,t)zrule
—
cuya solución se puede expresar como suma infinita de autofunciones propias o de forma aproximada
como el producto escalar (para cada 5 y para cada t) de los siguientes vectores:
P
xxx
[u
0 ul gl ~
gNl
(9)
C(S, t; r, ci)
3m, y ~
siendo
13o, j
(nrl
=
PQ’
N) ciertas funciones que no dependen de g(S)yg
0 (n=l ,...,N) los
coeficientes del desarrollo de Fourier asociados al valor terminal. Para N suficientemente grande las
diferencias obtenidas al calcular el precio de la opción obtenido según (4) o según (9) son
prácticamente despreciables.
Hay que hacer notar que, aunque el método propuesto es aproximado a la hora de valorar
algunas opciones europeas, es exacto a la hora de valorar otras, como por ejemplo las opciones con
doble frontera. En este tipo de opciones el derecho a ejercitar la opción aparece (Double-Barrier
Knock-In) o desaparece (Double-Barrier Knock-Out), si el precio del activo subyacente el día de
8
.
1 Introducción
ejercicio se encuentra entre las barreras inferior y superior, que aquí se representan por 5,,, y 5M
respectivamente. Es lógico pensar que si, como se hace en la memoria, S,,,
Oy
5M »
1 el precio
de una opción con doble barrera será muy parecido al precio de una opción valorada mediante el
método propuesto por Black y Seholes (1973\ pero con la ventaja de estar expresada mediante un
producto escalar en lugar de mediante una integral imnprooia
Aprovechando la representación anterior del precio de (a opción, en el Capítulo 3 se
transforma el valor esperado condicionado de la opción (5) y su varianza condicionada (6) en un
producto escalar y en una forma cuadrática respectivamente:
PO’
E{CÍh} =
P
=
[u
0 u1 g1
o—h~0~~m
V{CIh}
~2~bN]
=
de tal suerte que, como se mnuestra en el Punto 4.1, el sistema integral (8) se transforma en un
problema de programación cuadrática con restricciones lineales:
mninP(CI-
PO’- (i + Rh
PQ’
0’Ot’
) Q =0
(12)
1=
que se resolverá, dadas las expectativas del mercado sobre la volatilidad, el tipo de interés libre de
riesgo etc., para distintos valores de iii y
~,
obteniéndose para cada valor de estos parámetros una
función g(S) eficiente. Hay que hacer notar que los resultados obtenidos al resolver este problema
trníien un gran parecido con las estrategias que utilizan, en situaciones de mercado similares, los
operadores (compárese las Tablas 2 y 3 del Apéndice 2). En la memoria se resuelven otros casos
parecidos al anterior, comparando, de igual modo, las estrategias resultantes con las estrategias más
usuales utilizadas por los operadores en cada escenario particular.
9
1
Introducción
La mayoría de los inversores no pueden definir sus expectativas, para una determinada fecha
futura
t
=
h, sobre la volatilidad y rendimiento del subyacente, de una forma tan contundente como la
mostrada en el problema anterior, sólo tienen una idea aproximada de la distribución de éstas. Por
ello podría ser más útil e interesante plantear el problema anterior modelizando las expectativas del
inversor mediante escenarios y asignando a cada uno de ellos una determinada probabilidad. Se usará
la siguiente notación (vid. Zenios (1993), Dembo (1991)):
E:
Conjunto de escenarios posibles sobre la volatilidad en t
ci~:
h, e = 1,..., E
E;
Probabilidad asignada al escenario e, e c
W~:
=
Volatilidad estimada por el inversor en el escenario e-ésimo.
Teniendo en cuenta estas definiciones:
E
IC(Se~T
-h; r,ci)e
dy
2c~h
J’0,
7th
será el valor esperado ponderado de la estrategia condicionado a t=h sobre los E escenarios y:
e=l
e
E
E
cl
CC
2h
-(y
f(C(SoeY ,T h; r, ci)
-
E{C
—
2e
-lth) 2
24h
1h})
CC
la varianza condicionada del rendimiento de la estrategia ponderada correspondiente. La
formalización matemática de este problema se expresa emi la memnoria de la siguiente manera3:
1
CC
in¡nEJ{{~(Súe¡n<ZY>)e2dz
sujeta
-(y-uh) 2
~~o,(zy)z2
—
JJ~@~Áe
2dze
2G~
2
e
dy
a
JkC(sÚeY,T~h;r,ci)~E{Ch})2e
¿ci
2~2;
dy=(l±R~)C
0
e=l
t)
J~(S
2dz
¿2
i-tz
=
)e
Hasta donde ha podido saber el autor este problema tampoco está planteado ni resuelto.
lo
2c~
dy
1 Introducción
Para abordar la resolución del sistema de optimización funcional anterior se hará uso de los
resultados obtenidos en los Capítulos 2 y 3 de la memoria. De esta manera, el problemna que se trata se
transforma en el problema de programación cuadrática con restricciones lineales4:
E
1
hC~
~
ZWC
c=l
~
PQ~ =(1±Rh)1C
0
e =1
PQ’zÉC
que se resolverá, dadas las expectativas del mnercado sobre la volatilidad, el tipo de interés libre de
riesgo etc., para distintos valores de ffl y los distintos escenarios sobre la volatilidad tic, obteniéndose
para cada valor de estos parámetros una función g(S) eficiente.
Por último, dado que en el Capitulo 3 se expresan las distintas sensibilidades esperadas de una
opción como producto escalar de das vectores se puede resolver problemas como el mostrado en el
Punto 4.2, similar al problema comentado inicialmente, pero donde, además, se afladen una serie de
restricciones sobre las distintas sensibilidades esperadas de la opción (vid. Dilíman y Harding (1985)).
En definitiva, utilizando la metodología de valoración exacta de opciones con doble frontera
genérica desarrollada en cl Capítulo 2, se forínaliza matemáticamente el problema de selección de la
estrategia compuesta por opciones europeas, dadas las expectativas sobre el rendimiento y la
volatilidad del activo subyacente. Este problema se ilustra en la memoria mediante tres ejemplos. En
el primero se calcula la estrategia en sí, en el segundo se mnoleliza las expectativas del inversor sobre
la volatilidad del subyacente mediante escenarios y en el tercero se afladen, al problemna inicial, una
serie de restricciones sobre las sensibilidades esperadas de la opción.
El subindice ‘e’ en el vector Q yen la matriz
especificada en el escenarmo e-esmmo.
Ó significa que deben ser evaluados en
11
la volatilidad
2 Resolución de la ecuación de Black y Scholes utilizando el
método de separación de variables
Como se vio anteriormente, la ecuación en derivadas parciales que sigue el precio de una
opción europea es:
¿lIC zzzrC—(r--D
DC
0)S
5S
C(S, T)
=
2C
1
—--a 225
S
---—-
5>0 tc}9,T[
(11)
2
g(S), 5=0
cuya solución se pudo expresar en forma de la integral impropia:
C(S, 1— t. r, ci)
erc1<t)
=
f~se
r 12 -D0)(T—t)+cs•IT—tz
2
—
2dz.
)e
CC
Sin embargo, a la hora de resolver una serie de problemas similares al que se menciona en el capítulo
introductorio (8) sobre selección de carteras, parece conveniente expresarla de forma más sencilla
desde el punto de vista matemático. Una primera idea consiste en considerar las opciones europeas
usuales como un caso particular de opciones con doble frontera, de tal formna que la frontera inferior
esté suficientemente cercana a cero y la frontera superior suficientemente alejada. Al llevar a cabo
este tipo de aproximación se consigue expresar el precio de la opción como producto escalar de dos
vectores. Como se demuestra a lo largo de la tesis, esta será la clave para resolver el sistema (8).
Por tanto, se supone que el rango de variación del precio del subyacente, 5, está acotado sobre
el intervalo:
[SI,,,SM],con
5m
»~
~0~5M
y se añaden dos nuevas condiciones de contorno al problema, de la misma manera que se hace al
resolver el problema por el método de diferencias finitas (vid. Brennan y Schwartz (1978), Courtadon
(1982), Hulí y White (1990)). Al acotar el intervalo de variación del subyacente se aproxima la
solución al problema original de Black y Seholes, lo que no significa que el nuevo problema a
resolver sea menos realista. De hecho, en muchos paises, como por ejemplo en España, la cotización
de un determinado activo subyacente se suspende si sube o baja en un mismo día un determinado
12
Resolución de la ecuación de Rlack y Seholes utilizando el método de separación de variables
tanto por ciento ¿ (en el caso espaflol 6 = 15%), de tal forma que, si en t=0 el precio del subyacente es
5o, dentro de T días será como máximo S~ (1 + aT) y como mínimo max{So (1
-
BT),O}
Aún en el caso de que por ley se contemplen los anteriores precios máximos y mínimos, es
mtmy imnprobable que se alcancen, de tal forma que se puede tomar como valor de S’~ un número
cercano a
cero y como valor de
al 100(1
ct)% sobre el precio del subyacente. Con todo ello si, como se vio en el capitulo
—
5M
el correspondiente al límite superior de un intervalo de confianza
introductorio, el modelo que sigue el precio del subyacente es:
dS
—
(log(m)
—
D
)
0 5 dt + a 5dB1,
asumiendo la hipótesis de lognormalidad deS (vid. Kon (1984)) y aplicando el lema de Ito (vid. Ito
(1951) y Oksendal (1995)) a Iog(S), se obtiene que el cambio en el logaritmo del precio del
subyacente entre la fecha actual t y cualquier fecha futura wT se distribuye como una normal de
media y desviación estándar:
ej
«1o~(m)—Dú
y ci
es decir:
con:
2
=
log(m)
—
—
2
teniendo en cuenta estos resultados y haciendo corresponder la fecha actual con tO, el intervalo de
confianza buscado será:
[s,
1F
~
e~T±z«¡2cVT]
e~Bz«¡26~
donde z
012 es el valor de la normal estándar tal que:
P(z>z«12)=1 —N(z~12)=
13
a
--
2
Resolución de ¡a ecuación de Black
y
Scholes utilizando el método de separacióa de variables
Para poder desarrollar el precio de una opción en serie de autofunciones, hace falta conocer
cuánto vale este en los extremos del intervalo [Sc~ 5M ~, es decir, especificar dos nuevas condiciones
de contorno de la forma:
{
C(SM,O=f=(t)4
C(Sm,t)=fm(t)
Teniendo en cuenta que 5rn
O y que el precio de la opción según Black y Scholes es (11), podemos
aproximnar el precio de la opción en 55,,, como:
er(T
C(S ~ , 1)
g
t)
2
Jg(S~
=
e
DT
=1
~
2
)e
0>(t)+c
2
dz
CC
2
t)
f~(o)e
2dz
=
g(O) er(Tt)
—
—a)
=u
0e —ffT—í)
Por otra parte, para SM » 1 y teniendo en cuenta que, en la práctica, cualquier instrumento
financiero, con valor termninal g(S), a valorar, está compuesto por combinaciones de Puts y Calís, es
decir, que se puede expresar el valor terminal de la opción como la suma:
N
~(S)=~n
max{K —S,O}-f-m1 niax{S—K,O}
n=1
donde n~y m~ son el número de opciones Put y Cali respectivamente, 1<. el precio de ejercicio de la
opción correspondiente, y N el número de opciones con distinto precio de ejercicio, entonces, para
5
suficientemente alto, se puede aproximar la función g(S) de la forma:
g(S)zz~m
(S-Ky~mS
(12)
m4m
14
Resolución de la ecuación de BlatA y Seholes utilizando el método de separación de variables
donde se considera que S» Kl. Si se sustituye, como antes, el valor de g(S) en (Ii) y se integra se
tiene que el precio de una opción en 5~5M, para 5M suficientemente grande, se puede aproximar
muediante la fórmula:
C(S
M
e «~tí
,t)
JrnSM
e
=
(r~ic2~Do )l¿T —t)+rs II—ti
A
e
2
dz
CC
CC
mS M
=
<+D$1
—t)
le
tíze
.1
2
2
dz =mS Nl
c D 0(Tht)
00
u e —D
0 (1- t)
Por tanto, las dos nuevas condiciones de contorno buscadas son
C(S~,, t)
uoer(Tt)
1t)
C(SM ,t)
uíeDc(
1
4
(13)
Por ejemplo, para una Cali con precio de ejercicio K, las condiciones anteriores se expresan de la
forma:
C(S,~,t)
=
C(SM,t)
=
O
SMeIJO(T0}
y para una Put con el mismo precio de ejercicio:
t)
—
K&r(Tt){
Teniendo en cuenta los comentarios anteriores, se puede plantear el siguiente problema de contorno:
6C
=
clIC
rC—(r--D<j)S—
as
C(S, T)
=
—
1 ,
-a 5
2
—
-
(14)
g(S), Se ~ 5.54
C(S,,t)zou<e -(IT t(
C(S,<
1 ,t)
=
U]e~~<<ií>,t c
‘Recimérdese que, esencialmente, u0 tiene que ver con el comportamiento de gen el origen, mientras que u1 tiene
que ver con su comportamiento en el infinito.
15
Resolución de la ecuación de Black y Scholes utilizando eí método de separación de variables
Debido a la complejidad de la EDP anterior, se consideran los siguientes cambios de
variables:
t
El primero
=
T
=iogI(C~S~-jj.
x
t,
—
transforma (¡4) en una ecuación directa, con la condición de contorno temporal
especificada en
aC
¿lis
--
Ot
u
=
0e’ , t e
El segundo elimina los términos 5 y
es2
*
2
10, T(
que acompañan a
¿~C
y
respectivamente,
de tal foríi~a que se llanian:
2
12
a
2
U= r
—
L
a2
—
logSA~
sin
se obtiene el problema mixto de contorno y valor inicial:
5C
_
,52c
¿XI?
a---- --±b —rC,(x,t)ejfrL[x }3,T(
3x2
Dx
--
C(x,O)=g(5~~X), xe]O,Ljj
(15)
C(O,t)=u
0efl te
=
u1eooT , t e}9,T¡j
16
Resolución de la ecuación de Black y Seholes utilizando el método de separación de variables
La estructura lineal del problema anterior permite desdoblarlo en problemas más sencillos de tal
forma que la solución de la ecuación (II) puede obtenerse como la suma de las soluciones de tres
problemas, cada uno de los cuales con dos condiciones de contorno homogéneas. En definitiva, la
solución a (15) puede obtenerse resolviendo los problemas auxiliares:
A)
¿lIC
__
B)
_
2C
25
C(x,O)
C(0,x)
C(L,r)
+b
OC
OC
_
Ox
2&C
Dr
8>0
C(x,O)
O
U OC
Dx
g(S,,ex)
=
=
O
C(O,r)
=
C(L,t)
=
u0ert
O
O
(3)
OC
=a 202(3
2
OC
Dx
Ox
C(x,O)
=
O
C(O,-r)=O
C(L,t)
Se comienza resolviendo un problema similar al A) para, más tarde, transformar los
problemas 8) y C) en problemas con condiciones de contorno similares a las del A).
Sea la ecuación parabólica en derivadas parciales:
DC __ >82C
DC
±b- —rC,(x,x)e]O,L[xj}9,T[
Ox>
Ox
Dr
C(x,O)
=
6(x), x 610, L[
-re
C(L,z)=O,-re}9,TL
17
(16)
Resolución de la ecuación de Blaek y Seholes utilizando el método de separación de variables
Hagamos:
b
cí=—
2a
Entonces el cambio de incógnitas:
C(x, r)
xxx
e<Íx+H¶ v(x, ~r)
lleva a:
Dv
_
2D>v
]O,L[x }3,T[
a
O-u
v(x,O)
=
eax6(x), x e P,LL
e
xxx
v(L,-r)=O, re IO,TI
que es la conocida ecuación de transferencia de calor sobre una barra de longitud L, y cuya solución
puede calcularse fácilmente por el método de separación de variables (y. Apéndice 1) y es:
v(x,Qx= JeU~GkI,p
~e4É?)>¶
sin
7;
mr
o
(17)
(mi-a
L
2
¡
-r
sin flqT x
----—
O, e
L
II =
donde:
G(~)
sin—¿
L
son los coeficientes de Fourier del dato inicial. Por tanto, se tiene:
C(x, u)
2
2
=
Nótese que a=a(r, D0, a) y
L
É
nr
sin—x
O e
p=r4 r, D% o).
18
Resolución de la ecuación de Black y Scholes utilizando el método de separación de variables
para:
—-njjt+rix
2
L
.
sin
—e
nr
—
L
(18)
x
donde recordemos que:
x=1og~8 j
Sustituyendo en (17) la funcmon:
G(~)
=
g(S~e%
se obtiene que la solución del problema A) es:
-r
VA(x,t)=
sin
e
nr
—~--
L
x
para los coeficientes:
g(S~e ~)sin—~ d~,
[e~
=
L
o
3:
de donde, recuperando la incógnita que nos ocupa, se obtiene
~A
(x,’r) =
2
LE
e
L
n—1
x
LI =
¡
Para resolver el problema B):
OC xxza ,OC ±bOC =-rC,(xyr)e]O,LLXH,TI
Dr
Ox
Ox
--
--,
C(x,0) =0, xc ]O,L¡
C(O,)
C(L,)
Recordemos que las variables
=
=
Ir
(19)
,t ~
O,z e
naturales del modelo son t~T-z y S=SMex.
19
Resolución de la ecuación de Black y Scholes utilizando el método de separación de variables
argumentamos de forína que:
(20)
C(x, ~r)= w(x, ~r)
+ U(x, r)
donde U(x,r) se elige de modo que transforme las condiciones de contorno del problema Ben
condiciones homnogéneas; para ello consideremos la función:
U(x, t)
=
H0 (x)u0e~
que será solución particular de la RiP:
01=1
2
—=a
Dr
OU
¿lii
-rU
Ox
sí:
a>H~ +bH’0 =0.
Nótese que U(0,r)=U(L,rfto se verifica, si se imnpone:
H0(O)=1
HJL)=O
con lo que se llega a la función:
=
b
2’
110(x)zxxB0±B0e
1
B0xx’-
1—e
a
Lb
a
2
Bb =1—B0.
En estas condiciones, una representación de (3, solución de (19) en la forma (20), requiere que
w satisfaga:
0w
+
Ox
o)
b 0w
—
Ox
w(x,O)
=
—H0 (x)u0
w(0,’r)
=
O
w(L,’r) = O
20
rw
Resolución de la ecuación de Black y Selioles utilizando el método de separación de variables
que tiene la misma estructura que (16), de tal forma que su solución es:
w(x, r) = u0
E
(x, r)
donde los coeficientes son:
ni,
h¿j
nl’
sin--
B0±Bbe
=~Lj.
L
Ji
CU>
2
concítíyéndose:
(x, r)
=
u0
E
(x, ~r)+ u0e>H0 (x).
“3
El problema (3) se resuelve de forma similar al B). Ahora, pretendemos representar cualquier solución
de:
OC
20(3
_
Ox>
+
b OC
Ox
C(x,O)
0, x &
jo, L[
(3(0,:)
0,
jo, T[
tE
—
rC,(x,t)c]0,L[x
4J,T[
(21)
re ]o, T[
C(L,x)
en la forma:
C(x, Q
=
w(x, x) + U(x, r)
(22)
con U(x,’r) de modo que transforme las condiciones de contorno en condiciones homogéneas. Así,
para que:
U(x,t)
=
Hí(x)uieDc
(23)
sea solución de la EDP:
OU
5v
2
+
b
—
Ox
21
r
u
(24)
Resolución de la ecuación de Black y Scholes utilizando el método de separación de variables
se rcqusere:
a>H7+bH —(r-—D0)H1 =0
que, para las condiciones:
H(O)
O
H (L) =1
deducidas de nuestro propósito U(0,r)U(L,rftO, llevan a:
D0-r
x
H1(x)~BíeX -bBle a>
=
eL —e
B =—B1.
Entonces, la función w debe verificar el problema:
0w
_
>8>w
0w
Ox>
Ox
O-u
w(x,0) = —J-I~ (x)u0
w(O,-t) =0
w(L,)
=
O
que de nuevo tiene la misma estructura que (16), siendo, por tanto, su solución:
w(x,’r)
u ~J4
cD,(x,r)
de coeficientes:
1=
D
1-lín
÷Be
fejjBie~
mt
L
e
czL ~1~n
~~—t}
2.
c
+
(1—
22
Resolución de la ecuación de Black y Scholes utilizando el método de separación de variables
y concluyendo:
Cc(x,O=uZHmnc~
(x,fl±uie>)OHi(x).
Con todo lo anterior la solución al problema (14) es, por tanto:
C(x,’r)=CÁ(x,Ú-i- C~(x,Ú+ C~(x,)
=
+u0Ho,, +u1H1, )c0 (x,r) +u0erH0(x) + uí&00tH1 (x)
(25)
—I
con:
‘z
x
zxxT — t,
=
Comno se verá en el Capítulo 4, resulta conveniente emplear la notación:
1
2Jlx>c<i~i
•j =
e>L
—
e(
0,1
-i-(1—j—B~ )e(2~])X,
=
(26)
¿nf ~
I3~ (x, ~r)=
2
‘1¾
(x, ‘u) + (jeDÚ * (1— j)er
(27)
nl
para
la que podemos expresar el precio de una opción como:
C(xyfl= ~gcD,Áix,Ú+u
0P0(x,’r)
±u1fl1(x,z)
sobre las variables auxiliares:
‘u
=
T
—
t,
x
=
log¿
s
s nl >~
,.
23
(28)
Resolución de la ecuación de Black y Schoies utilizando U método de separación de variables
Ello es útil, pues si se toman los N primeros téríninos de la serie, se puede expresar el valor de dicho
precio en cada x u , como el producto escalar de los vectores:
[u u1 g1 g>
~g~jP e 9~ N+2
(29)
C(x, r)
=
PQ’, Ce 9?.
Con esto se logra separar, por una parte, todo lo referente al instrumento financiero a valorar,
vector P, y, por otra, todo lo referente a la valoración en si, vector Q. En el Capitulo 5 se verá con más
detalle la utilidad de esta representación a la hora de calcular la estrategia eficiente, que no será más
que calcular el vector 9 (la estratenia) que cumple unos determinados requisitos de varianza y
esperanza. Por último, una aplicación inmediata de este método consiste en la valoración de opciones
5n y S~ como los precios del subyacente a
con frontera (vid. Cho (1997)), sin más que interpretar
partir de los cuales la opción vale una deteríninada cantidad. Podríamnos valorar opciones del tipo
doxvn-and-in, down-and-out, up-and-in y up-and-out, donde el derecho a ejercitar la opción aparece
o desaparece “out” por encima “up” o por debajo “down” del precio actual del subyacente. Por
ejemplo, para valorar una opción Cali del tipo down-and-out con la barrera en S
debe hacer ~11,=
5í)
,
= 5D
únicaínente se
es decir, utilizar las condiciones de contorno:
C(SD,t)
=
C(SM,t)
=
C(S,T)
=
1
O
SMe
g(S)
y calcular los coeficientes de Fourier apropiados para la opción CalI particular.
El método de separación de variables proporciona excelentes resultados no sólo en la
valoración de todos estos tipos de opciones, sino también al aplicarlo a la valoración de opciones con
dos fronteras generales (Double-Barrier Knock-Out, Double-Barrier Knock-in), donde las condiciones
de contorno son de¡ tipo:
1
C(SUP , t) = fi (t)
C(SdOWfl,t)
=
24
2.1 Estimación del error cometido
2.1 Estimación del error cometido
Existen dos ftmentes de error que pueden influir significativamente en los resultados obtenidos
al utilizar (6)o al utilizar (28) en la valoración de opciones. Por una parte, la introducción de las dos
nuevas condiciones de contorno (13) y, por otra, la aproximación de una serie ilimitada por la suma de
sus N primeros términos. Respecto de las condiciones de contorno, hay que decir que no influyen
demasiado en el valor de la opción, debido aque laprimera,C(S~,t)
(6), con tal de que S~
—
u eC(1í), está implícita en
0. La segunda aproxima una condición en el infinito, lo que significa que la
influencia de dicho extremo sobre la solución es prácticamente insignificante.
El error cometido al aproximar la suma infinita (25) por la suma de sus N primeros términos
se puede estimnar mediante el siguiente procedimiento.
Como se ha señalado, el precio exacto de la opción se puede expresar en la forma:
N
C(x,x)= ~(g
1
+u0H0, + u1Hí1 Y1t1(x,Ú+u0e”Hjx)
+ uíeDoyHí(x) +
±u0H00±uíHíj~»I<,(x,~c)
n=N+l
donde el último sumando representa el error cometido. Por tanto:
CC
Error(N)
+u0H0~ +u1H1~ftI~(x,’r).
=
-N 1
Ahora bien:
F o N)
3(g5
±u0H0~+uíH1~)t(xz)
=
N
2
L
e
~‘(g~+u0H
+uH ¿e
N
25
.
L>
ni,
sin-—- x
L
:
2.1 Estimación del error cometido
y,
dado que la función seno siempre está acotada entre 1 y -1, entonces:
Error(N) = e ax+nz ~(g,~-m-
u0H0¿ + u1H1~ )e
~-
1?
De la propia definición de los coeficientes de Fourier se tiene que gj =M Vn,M c9?~
2102
222
n,ra
Error(N) =
CC
(M + u0H0~ )e
fl
+~ZuiHíne
I~2
Entonces:
S
ita
ti>
n=N-¡-1
2 ec~
IeLdt
u0H0~ ~
+fljjlM+
L
½
Z
H
e
L2j
222
niTa
2
222
2
ljM•j•eL2dl;
+
L
e
u0
d~-~- tuIHmn e
L
1’4
¡
¶j.
n—N+1
Analizando estos tres sumandos, se introduce la notación:
(30)
2awr
L 1ÑER
=
N
00
¡
222
Ira
L
EJN)= JHo~íe
N
Le
4
2a2
-.
00
-t
e
¶
L>
(31)
a 22
ra
siendo LRF la función error y Ei la integral exponencial
ERF(x)
=
2 Je2du
o
Ei(x)
=
fe>’ du
26
2.2 Convergencia
y:
t
E(N
=HíjúeL=e
(1—
L
(-Qjj
+
—-a- e
A -t
Entonces, dado que la serie del segundo miembro de la última igualdad satisface las condiciones del
Teorema de Leibniz para series con signo variable, el resto de la serie anterior no sobrepasa por su
valor absoluto al primero de los términos omitidos:
rre —aL
-
L
(N-.fl> ,22a>
N-H
-—
--t
(32)
(i— cx)> +
En virtud de (30) (31) y (32) se concluye que el error cometido al aproximar la suma infinita por la
suma de sus N primeros términos se puede aproximar por
4
Error(N)’. ~ 2 Ux*~1~(¿M E1(N) + u0~E>(N) ±[u1~E3(N))
‘L
2.2 Convergencia
En la resolución de (11) por el método de separación de variables, se descompuso el sistema
en tres problemas de la fonna genérica:
0v
_
_ 25¼-—-,(x,Úc}3,LLxJO,Tr
-
Sr
Ox>
v(x,O)
=
f(x), xc jO, LL
v(O, ‘u)
=
O, te ]o,
v(L,’u)=O,rejO,T[
Como se mencionó anteriormente, el problema de contorno (33), es equivalente a la ecuación que
describe un proceso de transferencia de calor en una barra de longitud L y coeficiente de
conductividad a>, en donde inicialmente existe una distribución de temperaturas f(x) y en cuyos
extremos se mantiene, durante todo el proceso, la temperatura a cero grados. Las propiedades de
Nótese que Error(N), E1(N), E>(N) y E>(N) tienden hacia cero conformeN tiende hacia infinito.
27
(33)
2.2 Convergencia
convergencia, unicidad de la solución, etc. de dicha ecuación se estudian en numerosos libros de
Física Matemática como Churchill (1963), Mijáilov (1978), Weinberger (1992) etc. Por ello, no nos
extenderemos demasiado en dichas demostraciones.
Dado que se puede expresar el precio de una opción como:
C(x,-r)
+ u0H0~ + u1H1~ )It~ (x,’u) ±uoe-aH0(x) + umeDOHm(x),
=
II
=
la convergencia hacia el precio vendrá determinada por la convergencia de las series:
(34)
n=1
E
ji
=1
(35)
H~ cD1(x,~,j=O,1.
En el primer caso se tiene que:
CC
fl
E
1
222
it-a
2
2
g~ P~(x,¶)=~~eUx+l
n=I
e
Y
L
De su propia definícion se sigue que los coeficientes de Fourier, g,, estarán uniformemente acotados,
mas
concretamnente se verifica:
4)d~
c= f~e”~ g(S,~e
o
g~ =c,Vn.
Por tanto, la serie (34) tiene cada uno de sus ténninos acotados en valor absoluto por el
correspondiente término de:
2c e~X±n<S e
L
222
nata
rt=1
Esta serie converge para todo ‘u > O y uniformemente en x E
se tiene que probar la convergencia de las series:
E
Hm
‘1D~(x,~,j=O,1.
n=1
28
Lo, LI y ‘u & [o,TI.
En el segundo caso,
2.2 Convergencia
Teniendo en cuenta (26), entonces:
fl2T
NS H¡~ W, (x,’r<-
2 2 2
(1— 2j)1~m
L )-~n s~, (n&~ + (a
~L)
-
j,=m
—
y dado que los términos en seno están acotados conforme n
e
~—,
de (35), demostrando que la serie
—
—>
cz,
-e
u ira
13
sin L x,j=O,1
se puede demostrar la convergencia
converge. Utilizando la desigualdad de Schwarz se
n
nl
obtiene:
2
a)
xe<
nl
«En>)
«Le
2)
donde cada una de las series que aparecen en el lado derecho de la desigualdad convergen.
También hay que hacer notar que la suma parcial de una serie de Fourier para una función
periódica determinada, f, solo se aproxima a ésta uniformemente sobre un intervalo que no contenga
puntos donde f sea discontinua. La naturaleza de dicha desviación es conocida en la literatura como
efecto (Ii ibés. Por ello es de esperar que, aunque la estrategia a valorar, g(S), sea continua en el
intervalo ~S
59SMJ,
en los extremos la convergencia sea mucho peor que en el resto del intervalo,
apareciendo en ellos los picos característicos de dicho efecto.
Por último, hay que tener en cuenta que debido a que las autofunciones asociadas al problema,
tienen términos de la forma:
ni,
sin—- x
e
L
para:
x
=
io~~j ji
~-—
se puede tener problemas de convergencia para valores de alfa positivos y altos, ya que dicho térínino
mio se amortiguaría. Aún así, para valores de ‘u suficientemente grandes, y conforme N tiende a
infinito, cualquier término de las autofunciones asociadas se hace despreciables con respecto a los
primeros.
29
.
2.3 Cálculo de sensibilidades
2.3 Cálculo de sensibilidades
La mayoría de los operadores intentan hacer su cartera inmune a pequeños cambios en los
parámetros fundamentales de la opción en pequeños intervalos de tiempo (vid. Fong y Vasicek
(1984), Bookstaber y Langsam (1988), Dilíman y Harding (1985)).
Parece interesante expresar dichas sensibilidades en forma de producto escalar, como se verá en el
Capítulo 4, e introducirlas como restricciones en el problema del cálculo de la estrategia eficiente
Para llevar a cabo esta tarea es necesario calcular una serie de tediosas derivadas que se emplearán en
los próximos capítulos.
Nos fijaremos fundamentalmente en cinco: Delta, Gamma, Theta, Vega y Rho, cuyas
definiciones matemáticas son:
5(3
A=—
52(3
OC
e~—
St
SC
A=—
Oci
OC
Sr
2.3.1 Delta de una opción
La Delta de una opción se define como la derivada parcial de su precio con respecto al precio
del activo subyacente, es decir:
A
OC
Os
En definitiva, la Delta mide la sensibilidad del precio de la opción ante cambios en el precio del
activo subyacente. En general, se piensa que el precio del activo subyacente va a subir se querrá una
opción o conjunto de opciones con Delta positiva, si se piensa que va a bajar, se querrá que sea
negativa. Y si no se está seguro, se querrá una Delta igual a cero (posición Delta neutral).
Conforme el precio del activo subyacente se mueve y el tiempo transcurre, la Delta de la
posición cambia. Por tanto, para continuar mnanteniendo una determinada Delta objetivo, se hace
preciso revisar constantemente la posición, comprando o vendiendo opciones, de tal forma que la
30
2.3 Cálculo de sensibilidades
Delta global de la posición sea la deseada. Por esta razón, merece la pena expresar en forma de
producto escalar la Delta de una opción, de tal forma que pueda ser introducida como restricción en
problemas de selección de carteras como los planteados en el capítulo introductorio. Por tanto,
tcnicndo en cuenta la representación (28):
op,
N
Ox
~I~m
Ox
Ot ~ +u0--—--—-t-u1
OxOS
OxOS
OxOS
-
OcD~5j30
Ox
uí~í]
donde para jO,l:
OLt2
Ox ——e
L
2x + cxsrn—xl
ni,
cosL
L 2
[ji>n2a>
_
.
___
oí~
O~
Z
N
OH.(x)
2 +
(je’~~ + (1— j)e-r)
OH (x)
Ox
(36)
.1
(37)
2
B~jeJX + (1—
j
—
B
1 )(2a
—
j)e(~])X.
(38)
De esta forma se puede expresar la Delta como el producto escalar siguiente:
Pzxx¡juQu]g1g>...g~]
‘<A
L
Ox Ox
Ox
Ox
Ox
js
(39)
A=PQI
2.3.2 Gamma de una opción
La Gamma de una opción se define como la derivada parcial de la Delta con respecto al
precio del activo subyacente:
=
O>C
OS>
es decir, es la sensibilidad de la Delta ante cambios en el precio del activo subyacente. Lo que indica
es la velocidad con que habrá que hacer los ajustes en la composición de la cartera para mantener la
31
2.3
Cálculo de sensibilidades
Delta objetivo. De nuevo, para poder introducirla como restricción en problemas similares al (8) del
capítulo introductorio, hace falta expresarla como producto escalar de dos vectores.
Derivando dos veces (28):
y
¿~
O’»j¿~oO~cj¿OtiOWjj
¿O’»
donde, teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el cálculo de la Delta y paraj0,1, se tiene que:
0>’»
2
Ox2
L
~Li¿
2ct~~—cos
o2~.
2 ~‘V’H
Ox
¡001
~
x+
—
(40)
2
OOx(t>~ +(je~>ot +(1—j)e”) O>H
(>0
Ox
2H/x)
0
L>,JL)
(41)
-
=
2
n~2jX
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\2(2c—ñx
—
—
—
J)e’~’
(42)
Ox
y, por tanto, se puede expresar la Gamma de una ovción como el producto de los vectores:
P xxx [u
0 u1 g1 g>
.
.g~I
E
=
(43)
PQ’~
2.3.3 Theta dc una opción
La Theta de una opción se define como menos la derivada parcial de su precio con respecto al
tiempo hasta el día de ejercicio, es decir:
oc:
ST
Aunque el precio del activo subyacente no cambie, el mero hecho de que el tiempo pase influye, de
manera decisiva, en que la posición produzca beneficios o pérdidas. Dado que ni la Delta ni la
Gamma captan la influencia del tiempo, el operador necesita
forma adecuada su posición.
32
esta tercera medida para caracterizar de
2.3 Cálculo de sensibilidades
Para poder introducirla como restricción lineal en un problema como el (8) se hace preciso expresarla
como producto escalar de dos vectores. Derivando con respecto de T la ecuación (28) se tiene:
e=—Yg
~
~
Of3~ Sr
Ol3~ O-u
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O’uOT
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ST
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(jDoeDÚ + (1— jfter¶)H¡(x)
(45)
De nuevo se puede expresar la Theta como producto escalar de los vectores:
P=[u
0u1g1g>...g~J
Q[013()
~I3l O(t)i Sr»>
(46)
e=PQ~
2.3.4 Vega de una opción
Hasta ahora se ha asumido implícitamente que la volatilidad del activo subyacente es
constante. En la práctica, la volatilidad varia. Esto significa que el valor de una opción tiende a
cambiar debido a los cambios en la volatilidad al igual que debido a los cambios en el precio del
activo subyacente y el paso del tiempo. Por tanto, es conveniente tener una medida que cuantifmque
dicho efecto.
La Vega de una opción se define como la derivada parcial de su precio con respecto a la
volatilidad:
OC
Da
33
2.3 Cálculo de sensibilidades
Teniendo
en cuenta (28):
~“jiu0 0(30Sc
A=tL~h’»~
5(3~
+
Oc
donde:
Og
ni,
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Oc
ScJ½
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—
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e(=t-~Á)X
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~
)2
—
B1) 2
Ocx
Sc
Ocx
Sc
34
2.3 Cálculo de sensibilidades
se puede expresar la Vega como el producto de los vectores:
P=ru0u1glg§gN}
=
A
[~
0g1 Sg>
[ OciSa
O’»~
a’»>
Ocr Ocr
Oci
Q [oitO(3~
L So
Og~
Oci
1
j
1
~<‘½
(47)
Oci j
Q=[Q(3(3’»CIQ...’»j
A=
~AQÁ
2.3.5 Rho de una opción
La Rho de una opción se define como la derivada parcial de su precio con respecto al tipo de
interés libre de riesgo:
SC
Mide la sensibilidad del valor de una cartera ante cambios en el tipo de interés libre de riesgo. La
magnitud de esta sensibilidad suele ser pequeña y no es tan utilizada por los operadores como la
Delta, la Gamma, la Theta o la Vega. Para poder introducirla como restricción lineal en un problema
como el (8) se hace preciso expresarla como producto escalar de dos vectores. Para ello se deriva con
respecto de r la ecuación (28):
~
-s-g,
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L
Sg,,
___
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Ocx
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Op
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Ocx
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35
2.3 Cálculo de sensibilidades
y para jCZO,l
SR>
=t~IOHin~
Sr
Sr
±H1~ Sr
9=’»~~ ji + (jeDÚ
n=1
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De la misma forma que antes, se tiene que:
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L
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g
g>gN]
Sg Sg>
Sr Sr
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1
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5’»N
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Sr
1
(48)
Sr j
QPnLQkD¡C)l~V>.C)NI
P
En
=
definitiva, lo que se ha conseguido en este capitulo es, por una parte, expresar en forma de
producto escalar de dos vectores tanto el precio de una opción europea como sus sensibilidades más
importantes. Esta aproximación permitirá en capítulos posteriores resolver una serie de problemas de
selección de carteras como los apuntados en el capítulo introductorio. Por otra parte, se desarrolla la
metodología necesaria para poder valorar de forma exacta opciones con doble frontera. A
continuación se muestran una serie de ejemplos que pone de manifiesto la bondad de la aproximación
realizada. Con ellos se pretende mostrar gráficamente la similitud de los resultados al valorar por el
método de separación de variables y por el método de Black y Scholes5.
Nótese que este hecho es fundamental a la hora de resolver el problema (8)
36
2.4
2.4
Ejemplos
Ejemplos
Calculando los coeficientes del desarrollo en autofunciones g1
de ejercicio K=a40, T=120/360, ci =3, r=1og(1.05),S~~ =.1,
SM
=
g>~ para una CalI con precio
300, uo=0, u1300,
N=20 se obtienen los siguientes resultados:
100
80
60
Ap
40
-
-
0-3
20
31
61
91
121
Figura 2.1
Comparación entre el valor de una CalI evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables,
N20
Con N=20 la solución aproximada oscila en torno a la solución propuesta por Black y Scholes (1973),
pero para N suficientemente grande las dos son prácticamente la misma. Por ejemplo para N50:
100
80
Sm
e
40
20
31
61
91
121
Figura 2.2
Comparación entre el
l3lack y Scholes y
valor de una Cali evaluada por el método de
por el método de separación de variables, N50
37
2.4 Ejemplos
Para una Put con precio de ejercicio K=40, T<20/360, c=.3, r=log(l.05),S~ =1, SM
300 u0=K,
u1=0, N=l0 se obtienen los siguientes resultados:
40
6 20
o
31
61
91
121
s
Figura 2.3
Comparación entre el valor de una Put evaluada por el método de
Black y Scholes y por el
método de separación de variables, N0010
Con N=1 O la solución aproximada oscila muy poco en tomo a la solución propuesta por Black y
Scholes (1973). Para N=25
6
40
6 20
Aprox
—
—
B.s
0
31
61
91
121
s
Figura 2.4
Comparación entre el
valor de una Put evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables, N25
6
La velocidad de convergencia a la solución original de Black y Scholes, es mayor para las opciones Put
que para las Cali. debido a que las primeras están acotadas cuando el precio del subyacente tiende a infinito.
38
2.4 Ejemplos
Calculando los coeficientes del desarrollo en autofunciones g1
5M
ejercicio K=40, T=l,
0=3,
g~ para una Cali con precio de
= 300 uo=0, u
r=log(1.05),S~ =1,
1=300, N30 se obtienen los
siguientes resultados para la Delta de la opción:
0.8
0.6
o
0.4
—
—
Aprox
S.S
0.2
lo
25
55
40
70
Figura 2.5
Comparación
l3lack
entre el valor de la Delta de una Cali evaluada por el método
de
y Scholes y por el método de separación de variables, N=30
Con N=30 la solución aproximada oscila muy poco en torno a la solución propuesta por Black y
Scholes (1973). Para N suficientemente grande las dos son prácticamente la Inisma. Por ejemplo, para
N =50:
0.8
0.6
o
0.4
0.2
10
25
40
55
70
Figura 2.6
Comparación entre el valor de la Delta de una Cali evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables, N=50
39
2.4 Ejemplos
Para la Gamma de la opción Cali anterior se obtiene para N30:
0.1
AProx
0.05
—
25
-40
55
-
S.S
70
Figura 2.7
Comparación entre el valor de la Gamma de una Cali evaluada por el método de
3]ack y Seholes y por el método de separación de variables, N=30
Con N=30 la solución aproximada oscila bastante> en torno a la solución propuesta por Black y
Scholes (1973). ParaN suficientemente grande, las dos son prácticamente la misma. Por ejemplo para
N~50:
0.04
0.03
0 0.02
0-01
10
25
40
55
70
Figura 2.8
Comparación entre el valor de la Gamma de una CalI evaluada por el método de
Hlack y Scholes y por el método de separación de variables, N’50
Este comportamiento se puede explicar si se tiene en cuenta que la Gamma de una CalI, el día de ejercicio, es
una Delta de l)irac y, por tanto, es lógico pensar que la convergencia sea más lenta.
40
2.4 Ejemplos
Para la Theta de la opción anterior se obtienen los siguientes resultados:
0.8
--
o
o
40
55
70
-0.8
Aprox
e .1-e
-24
-
--
—
S.S
-.
-3.2
.4
Figura 2.9
Comparación entre el valor de la Theta de una Cali evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables, N’=30
Con N30 la solución aproximada oscila mnuy poco en torno a la solución propuesta por Black y
Scholes (1973). Para N50 las dos son prácticamente la misma:
-40
55
70
-0.8
.Aprox
—
-
S.S
-2.4
-3-2
.4
Figura 2.10
Comnparación entre el valor de la Theta de una CalI evaluada por el método de
Black y Scholes y por ei método de separación de variables, N50
41
2.4 Ejemplos
Para la Vega de la opción anterior se obtienen los siguientes resultados:
10
e
40
-2
55
70
.4
Figura 2.11
Comparación entre el valor de la Vega de una CalI evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables, N30
Con
N30 la solución aproximada oscila bastante en torno a la solución propuesta por Black y
Scho[es
(¡973). Para N suficientemente grande Las dos son prácticamente la misma. Por ejemplo, para
N50:
9.6
8.0
8
7.2
8.4
5.6
4-8
Aprox
—
e
—
0-5
3.2
2.4
1-6
0.8
-0.8
25
40
55
20
$
Figura 2.12
Comparación entre el valor de la Vega de una CalI evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables, N50
42
2.4 Ejemplos
Para la Rho de la opción anterior se obtienen los siguientes resultados:
18
16
14
-Ii
10
1~
O
4
2
o
55
40
-2
70
.4
5
Figura 2.13
Comparación entre el valor de la Rho de una Cali evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables, N0030
Con N~30 la solución aproximada oscila bastante en torno a la solución propuesta por Black y
Scholes
(1973). ParaN suficientemente grande las dos son prácticamente la misma. Por ejemplo, para
N5 0:
14
12
10
8
-—Aprox
CG
-
—
S.S
4
-2
25
40
55
70
5
Figura 2.14
Comparación entre el valor de la Rho de una CalI evaluada por el método de
Black y Scholes y por el método de separación de variables,
43
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3 Rendimiento esperado condicionado y varianza condicionada
del rendimiento de una opción
Una vez que se ha expresado el precio de una opción como producto escalar de dos vectores,
para cada 5 y para cada t, parece interesante expresar de la misma manera el rendimiento esperado de
tina opción (vid. Rubinstein (1984)), así como utilizar el mismo método para transformar la varianza
en una forma cuadrática; todo ello en aras de poder calcular, de una forma fácil. pué instrumento
financiero (vector PV minimiza la varianza del rendimiento de una opción condicionada a una fecha
futura
y
suieta a una serie de restricciones sobre la rentabilidad exigida por el inversor, el presupuesto
del inversor, y sobre las distintas sensibilidades de la opción, etc. Se commenza asumiendo un
determninado modelo para el precio del activo subyacente (Kon (1984)), así como una serie de
hipótesis necesarias para el cálculo del valor esperado y se finalizará expresando como producto
escalar de dos vectores, tanto el precio esperado como las distintas sensibilidades esperadas de la
opción, y expresando como una forma cuadrática la varianza del rendimiento de esta.
Como se vio enel capitulo anterior, el modelo que se asume para el cambio en el logaritmo
del precio del subyacente entre la fecha actual, t, y cualquier fecha futura, h, es:
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siendo S~ el precio en t del subyacente,
m el rendimiento esperado anualizado del subyacente estimado por el inversor,
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D0 Tasa de pago de dividendos continua.
Por tanto:
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S 7
1e
51
Rendimiento esíierado condicionado y varianza condicionada de una opción
donde Yes tina variable aleatoria que se distribuye como la normal:
Asumamos las siguientes hipótesis (vid. Rubinstein (1984)):
1. El inversor y el “mercado” están de acuerdo en que el tipo de interés libre de riesgo
es constante e igualar.
2. El inversor y el “mercado” están de acuerdo en que el rendimiento del subyacente
sigue una distribución lognormal.
3. Las estimaciones del inversor del rendimiento esperado anualizado y de la
volatilidad instantánea del subyacente son iii y a; las estimaciones del mercado son m y a.
4. El precio de mercado de una opción siempre se calcula utilizando la fórmula
de Black—Scholes para opciones Europeas:
C(S, T
—
t; r, a)
Estas hipótesis aíslan una única fuente de discordancia entre el inversor y el “mercado” sobre el
precio de una opción. En la práctica puede haber otras fuentes de discrepancia
como tasas de interés, dividendos, la propia fórmula, etc., pero las diferencias en lavolatilidad
estimada son las más importantes.
Se habla aquí del mercado, como si tuviese “inteligencia” propia (vid. Rubínstein (1984)).
Esto es consecuencia del tipo de inferencias que se pueden hacer de los precios de mercado de un
determinado activo financiero. Por ejemplo, si se conoce el precio de mercado de una determinada
opción, se podría despejar de la fórmula de Black—Scholes lavolatilidad, dados los demás parámetros.
Esta informaría de la opinión del mercado sobre dicha desviación típica.
Las hipótesis anteriores también encierran implícitamente una hipótesis sobre Ja naturaleza de
la ineficiencia en el mercado.
52
3.1 Rendimiento esperado condicionado de una opción
Si se cree que un activo esta mfra o sobrepreciado, para medir su rendimiento esperado sobre
un determinado intervalo temporal, hace falta alguna hipótesis sobre la velocidad con que dicha
diferencia de precios desaparece. En el caso de una opción que está mal valorada con respecto a su
activo subyacente, se sabe que cualquier mfra o sobrevaloración debe desaparecer completamente el
día de ejercicio para que no existan oportunidades de arbitraje. Todos los modelos de valoración de
opciones y todos los estimadores de volatilidad están de acuerdo sobre el valor de una opción relativa
al del subyacente el día de ejercicio. Una posibilidad es medir esta diferencia de precios por el valor
absoluto de la resta entre el valor y el precio y suponer que ésta disminuye como una función lineal
del tiempo hasta el día de ejercicio. Un supuesto más fundamental puede ser derivado de las variables
que afectan el precio de una opción. Aquí se asume que la fuente de mfra o sobre valoración tiene que
ver con las diferencias en la estimación de la volatilidad del subyacente y que tanto el inversor como
el mercado persisten en sus opiniones sobre la volatilidad hasta el día de ejercicio de la opción.
3.1 Rendimiento esperado condicionado de una opción
Bajo las condiciones expuestas en el epígrafe anterior, el precio de mercado esperado para un
instrumento financiero con valor terminal g(S), al final del periodo de posesión del instrumento,
h <T medido como fracción de año, será (vid. Rubinstein (1984)):
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(49)
3.1 Rendimiento esperado condicionado de una opción
Hay que notar que, en el cálculo de la esperanza anterior, el precio de la opción debe
evaluarse en La volatilidad estimada por el “mercado” a (volatilidad implícita), para poder obtener,
dadas las expectativas de volatilidad y rendimiento del subyacente ( é, ji ), el precio de mercado
esperado condicionado a la fecha futura t=h.
Teniendo en cuenta (6), se puede expresar (49) como:
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Lo que interesa para el desarrollo posterior de la investigación, es expresar (50) como
producto escalar de dos vectores de la misma forma que se expresa en el capitulo anterior el precio de
una opción.
Utilizando la representación (28), la integral doble anterior se convierte en una suma de
integrales simples, resolubles por los métodos tradicionales de integración.
El precio de tina opción en S~Sh se puede expresar como:
C(Sh,T—h;r,a)
(X,-t) + u
=
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donde tanto
como
se evalúan en
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2
Por las razones expuestas en el capítulo primero se considera que el precio de la opción es cero fuera del
intervalo tS~~1 ,SM].
54
3.1
Rendimiento
esperado condicionado de una opción
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(51)
—09
Utilizando las propiedades de [a función exponencial, la identidad de Euler:
(52)
e”3 z=cosO+isinO
y con ayuda de Ja integral:
=
ir
a
2—4ac)¡4a
e(b
ERK
1 b + 2ax
L 2a }
(53)
se obtiene que:
~í
«2+2aQt(fl?jj
¡¡
«í¡ú2¡-íog(§P
lm{i’CS=) e
log
)+jiíajj
{ W(y; cr)}
e
(54)
l~~rn
con:
W(y;p)tzi>?ZL
ja
-1-
a 2h
55
}
3.1 Rendimiento esperado condicionado de una opción
Teniendo en cuenta el resultado anteriores fácil ver que:
2
-(y-ph>
ce
dy
a 2~th fi
1e
~21,
—09
dy
0~” + (1— i)e-<t)Hijje
-j{ZH
a
jn
t
+
(je
(1
—
—
n
+
j)ert
)Ñ
1
ZJ~~ +(j&
n--1
donde cI%
se define en (51)y:
2
-(y-ph)
-_
EJ
V-
,.—.¡1
Z7tfl
09
Le
2Ú21¡
I~)
J
dy =
—09
-(y-ph)2
-(y-ph)2
ce
_
2~2l¡
¡i~ío~(sO
e
dy+
1-j--B~
(2~—i~log~
‘.
¡u>
2ú2
h
dy.
~ 2rth
a 2~th
09
—09
Utilizando las propiedades de la función exponencial y el resultado (53), se obtiene que:
IehiIj+J1
km?(Re{w(y;
jñ)
lv-
—
log—~
(i
—y
lI~d2o~o~cij
so
—
j) }) Iog09
so
Por tanto se puede expresar el precio esperado de mercado de una opción, condicionado a una
determinada fecha futura t% y a un estado inicia! So, como:
E{ChFZZ
Dl
56
(55)
3.1 Rendimiento esperado condicionado de una opción
o bien como producto escalar de dos vectores (para cada 5 y para cada t):
E{C’~h} =
Pz4u
(56)
0ujg1g2-.g~]
Por tanto, se puede separar, al igual que con el precio de la opción, por una parte todo lo que
concierne al instrumento financiero a valorar (vector P) y, por otra, todo lo concerniente a la
valoración en sí.
El íendimiento esperado anualizado de la opción será pues la fracción:
m~ =c~tlhlIr
CPQ’)
donde C0 es el precio de mercado hoy (t=O) del instrumento financiero a valorar:
También hay que notar que la tasa de crecimiento g no aparece en la solución de la ecuación
de Black-Scholes (6). Aunque el valor de una opción depende de la desviación típica del rendimiento
del precio del subyacente, no depende de su tasa de crecimiento. Sin embargo, no ocurre lo mismo
con el valor esperado de mercado de la opción, como se aprecia en los resultados anteriores.
Por otra, parte el precio de una opción y su valor esperado descontado sólo coincidirán en el
caso en que i.i
=
r y ~
=
a ; esta es una de las razones por las cuales no es correcto interpretar la
Delta de una opción como la probabilidad de que esta expire “in the money”, ya que para calcular esta
probabilidad se debe hallar el valor esperado de la función U(S-K) donde Ues la función de
1-leaviside, que necesariamente contendría al parámetro ¡d, mientras que la Delta, como se apuntó
anteriormente, no lo contiene.
5-7
3.2 Varianza condicionada del precio de mercado de una opción
3.2 Varianza condicionada del precio de mercado de una opción.
En esta sección se expresa la varianza condicionada a una fecha futura t=h del precio de
mercado de una opción como una forma cuadrática. Esto permitirá, en el Capítulo 5, plantear
diversos problemas del cálculo de la estrategia de mínima varianza sujeta a una serie de
restricciones. La varianza del precio buscada se puede expresar como:
--y
V{CJh}—
a
1
J(C(SoeY,T~h;r,a)~E{C~h})2e
2nh
dy
=Vh
‘o
o corno es habitual:
V{C~h}
=
E{Cflh} —(E{c~h})2
donde utilizando (6) se obtiene por una parte que:
[r(T-Ai)
=
5 f~(Súe
y+(r 1 2 -D
2dze
2
0)(T--h)+e T-hz—--—
)e
dy
-(Y-k
2~2 ~1,
J
2
y por otra:
-
E{Cflh}=
e 2r(T h)
(2
~
y~-
e
1
j{J~(Sóe
-(y-ji
2
2
——
~
‘r~hZ)ID~
2
dy.
Si lo que se pretende es calcular qué instrumento financiero, con valor terminal g(S), minuniza
la varianza sujeta a una serie de restricciones sobre rentabilidad, presupuestarias, etc. Las
fórmulas anteriores no parecen estar expresadas de la forma más sencilla. Sin embargo, si se
utiliza la expresión del precio de una opción (29) y de su valor esperado (56), las fórmulas
58
3.2 Varianza condicionada del precio de mercado de una opción
anteriores se pueden representar simplemente como la formas cuadráticas siguientes:
(E{c~h})2
P~ ‘ÓP’
donde:
í%i31
~2
i30~V1
tt
-
tNI3o
Queda por calcular
tNI3I
tNtl
N
E{C2 h} Ahora bien:
-
=
PQ’QP’ = PQP’
para:
PO«N
POct
PItN
í~
c¾p0 r1131
~
WNPI
~N~l
PIPO
O=Q’Q
$NPO
Entonces la esperanza buscada es:
E{Cflh}
=
E{PQ’QP’} = E{PQP’}
=
PE{O}P’ = POR
con:
-
E{13~}
E{p0j31}
E{PO~N}
E{PP0}
E{P~}
E{PIDN}
E{~II3I}
E{~1p1}
E{~}
E{DNPO}
E{DNPI}
E{~NGí}
59
E{~}
3.2
Varianza
condicionada del precio de mercado de una opción
donde E{f} quiere decir:
-(y -u
ce
E{f}= E{fh}=
S
1
a
2~h
26>2
~
dy
e
(57)
—09
Por tanto, mediante esta formulación, se puede expresar la varianza condicionada del precio de
mercado de una opción como la forma cuadrática:
V{Ch}= P(Ó
La matriz
(ñ
Q’Q)
—
tiene dos propiedades que serán de gran utilidad en el Capítulo 5;
es simétrica y definida positiva. La primera se demuestra trivialmente, dado que, si las matrices
~y
~
Q‘Q) también
son simétricas, la matriz
lo será. Para demostrar la segunda,
basta con observar que una varianza es siempre positiva:
V{Cjh} >0 =~
y se concluye que la matriz
(ñ
QQ)
Q’Q)P’> 0, VP
—
es definida positiva.
Para calcular cada uno de los elementos de O basta con calcular los siguientes valores
esperados, para
j, j’ =
0,1:
E{I3~P~.
1
E{PjD~$
E{dI<4k}
Teniendo en cuenta, como antes, que tanto
‘$,
como
deben ir evaluados en:
t=T—h
x
=
jj=iogl(SO )±y
60
3.2 Varianza condicionada del precio de mercado de una opción
y en la volatilidad implícita a, entonces:
N
B{P1P1~}=ZZH ~ H
n=1
4
00T+(l
~q?~
~=1
(jeDO
+
it
kl
±(je
+
±Q~j9crDzFIJflE{H
} + (jeDot
E {c~~ ~k
(1 ~~~j)e<¶gj’eDOt
}.
+ (1 ~
Utilizando la identidad de Euler y (53), se llega a que:
E{~I
}—A Im{J(y;k — n)— J(y;k
~
+
(58)
jogM
~»jog
5~1
donde:
(2=
‘2’
A
=
1
K I he
2+k2
—~
hí
-
<-y
it a
2’4
-5
ceo2
222’~
ERF(W(y;2a))
4
a’
=
Pj$jjio~
SO
Sn’
+
De la misma manera se tiene que:
E{H/VJ, }= BJ~o )‘E~iYdID
}±
(1
—
j Ci$~ji)
—
E{e(2U])Y4~
1
(59)
donde, para calcular E{e>YcI, Jy E{e(2a2>Yc
0 se utiliza que:
(22
4
E{eÁ ~‘L0
r
ím{ií k5So)
)
*=~;~~j!~j$e-
~2rí(
1J~~
<ct+A)2
eYL=
0%
~log
5
61
~1
+
logsM
¡
(60)
3.2 Varianza condicionada del precio de mercado de una opción
El término E{H~H~- se calcula trivialmente teniendo en cuenta (60), de tal forma que:
B~ BJL So)
E{e(~~’~~
1~
±B~(1<~BY{So j J+2a-j’ E{e (j±2ce—j’)y
E
+
(i
—
j B1 >1 —5— B~—
Ijs
{~
(j+2rx—j)y
4+
E~e(4Ӄ>)Y
)4a~
}
y, por último, dados los resultados anteriores (58) y (59), el valor deE{P/1D~ }se calcula según:
N
E{P ~
}:x
ZHkE~»nLk
} + (je”~~
+
(1— j)ert)E{H~D,
4.
k=1
En definitiva se logra expresar la varianza del precio de la opción condicionada a una
determinada fecha futura como la forma cuadrática:
V{C~I4 =
(61)
—
De nuevo se ha separado la parte concerniente al instrumento financiero a valorar
(vector P) y la concerniente a la valoración en sí. Esta separación, tanto en el precio de la
opción como en su valor esperado y varianza, será crucial a la hora de calcular la estrategia de
mínima varianza que garantice un determinado rendimiento.
Por último, hay que tener en cuenta que, sise llama C0
=
C(S0 ,T; r, a) al precio hoy
de la opción con valor terminal g(S), entonces la varianza anualizada del rendimiento de una
opción condicionada a una fecha futura t=h, se puede expresar como La fracción:
hC~
62
3.3 Sensibilidades esperadas
de una opción
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
Al igual que con el precio esperado de una opción, se puede expresar la Delta, Gamma,
Theta, Vega y Rho esperadas como producto escalar de dos vectores, de tal suerte que se
podrán utilizar en el capítulo siguiente como restricciones lineales en un programa de
mínimización cuadrática de la varianza.
Asumiendo las hipótesis descritas al comienzo de este capítulo sobre el rendimiento del
precio del subyacente, se puede calcular las esperanzas anteriores sin más que integrar sobre la
distribución de dicho rendimiento.
3.3.1 Delta esperada de una opción
Como se vio en el capítulo anterior, se puede expresar la Delta de una opción como la
siguiente suma:
+110~~ —+u1
aPO
(62)
óx
donde las derivadas parciales que componen la suma anterior se describen en las fórmulas (36),
(37) y (38). Integrando (62) sobre la distribución del rendimiento del subyacente se tiene que
—(y
o
~
fS~e’
ap,
«~~n
2~th
-
~
---±u0
-Ó jil¡§
a
N
~
‘o
a 2zrh fS0e~
,> 2
í_ 2e~j¡
j
S2Q
dy
‘o
IS0eY
dy+
iii
+
j.L
~
—‘o
2ck
dy
63
—
~I~O
~
-
dy+
33 Sensibilidades esperadas de una opción
donde tanto
deben ir evaluadas en la volatilidad implícita (estimada
Ox
‘
~éx como Ox
por el mercado), y en:
-u =T—h
x
=
ío~~~)
=
iog(
o
)+ ~
Resolviendo las integrales anteriores, se puede expresar la Delta de mercado esperada como la
suma siguiente:
Z
+u0I%~ ±u1j31~
g4~
ii=j
donde, teniendo en cuenta (57):
09
}
3qj~
t,x=
Ssoley Ox e
1
2
1,
--
Ox
dy
-09
-(y-ji
So)”
2e[L2)
S0L~ 2rh
¡u
con:
S ¿y
Uy
e
+
—
2 1,
cos 9
+
ctsins9 e
2é
dy
y).
Utilizando la identidad de Euler y la integral (53) se obtiene que:
(222
fl
-1
2SQL e
—
Ira
—
iÁ
(nr Re{e¡O’ERF{W(y; a}}±a Im{eiOERF{W (Y;
Y
L
j
0~lM
cí}j
so
jo~¾L
donde:
5
9!
5 tu
—
64
+
111=)~r
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
De la misma forma se puede calcular
=
0,1):
--5
09
ÉL
iOPli
I,~
5 Ox{
DRCl
oJ2-rrh JS0e~ Ox
2
261,
-e
dy
-09
2
-(y-jiS>
1
EJ
OH)
—Ox)
<le
2jthJSoejZ’~&(
2e 2
dy =
ce
r¡
1’4
1
a 2nh
E
H~
¡Sí
1
e
Dc»
JS
09
2e2h
dy+-
--
S
-
l
S0e~
0e~ Ox
-e
Ox
5H~
--5
Ii
dy
-ce
—09
N
t)f1
+(jeDOt
±(1~j)er
¡‘-‘1
donde:
(y-ji 5)2
09
OH~
~1
t=B{
o 2rrh Lot-y
1
Ox
e
2o 2
Li
dy=
-09
1’
09
S
S0e~
1
5 ¡SS
o
0e~
Ja
±(1—i—Bi)(2ct—i{
)2a~i je
26¾
dy
¡u
-09
y utilizando las mismas técnicas de integración que en los casos anteriores se obtiene que:
—B3j
2S~
~e+(j—1)~-~ERF{Re{W(y;
(s~
Yk ji
(1—j—B1)(2a—j)
-
2S0
_
_
—
h(2a—i—1fx+(2ce—J~I)t
SO
ti
_
j
—
1)4J
iIERF{Re{W(y;2cx
— j —1)».
¡
Por tanto, se puede expresar la Delta esperada de una opción como el producto escalar (para
cada x y para cada t) de los vectores:
P=[u0u1g1g2-gj
O
=
[<3O,x <31.x ~
(63)
~2c
i=PQX.
65
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
3.32 Gamma esperada de una opción
Como se demostró anteriormente, la Gamma de una opción se puede expresar como:
ti
I
ji
Ox
n
Oc»
0<
Ozji+ulc
O~I3
Ox2
±110
Ox2
—c» )+ 110 &o,xx
~,<
—
Po,. )+ 11j ~
—
P.~
donde cada uno de los términos de la suma anterior se define mediante (36), (37), (40) y (41).
Utilizando el operador E{
} definido en (57) la Gamma esperada es la suma de
esperanzas siguiente:
c»
N
1,XX
II
P O,xx
¡SrL) -r-u
s2
1
—
s2
Po,x
ji±uIELkxxí!3!x
ji.
Teniendo en cuenta que tanto cLi,, 3
0y I3~ como cualquiera de sus derivadas deben ir
evaluadas en la volatilidad implícita (estimada por el mercado), y en:
t=T—h
x
=
ío~(j~ ji
=
log[j~SO
ji
+ i~
y resolviendo las integrales anteriores se puede expresar la Gamma esperada como:
—
1»
t,, )±u0
~
—
~ )÷u1
—
<3j,x )
donde:
-(y-ji 1,)2
09
3Fc» IS,XX
ni’
—
=
E
~
1
fl,X
}
O
i
2~th
LS~e2 YYOx2
09
66
Oc»n
Ox
2d2h
ji e
dy
(64)
-
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
Restando (36) de (40), se obtiene que:
02c»,
o>)
¿Mt
2
—e
L
_
Ox
í>~
1
~
eH(2cx
kS~)
k
[22a2)
1-11-U
1)—cos9 + a
L
ti
2
a)
—a— n2rr2)
con:
9
=
-~(iog $ + yjf
Sustituyendo este último resultado en (64), utilizando la identidad de Euler y la integral (53), se
obtiene que:
(222
di ¡1,
—t ni’
~ ---~i~ C~’ji el
~
-1
=
it
a
mt Re{eOERF{W
I (2ct
L
(í2)2+=(~tjijflj
~}
22
(y;
44+ -a- nrt ji Im {e OERF{W(Y;añj
tia2
-~
lOg-—
donde:
5 ¡SS
De la misma manera se puede calcular I2>,~
~4v
(i
—
09
E{
ci n,xx -ci
ji,x
}
(je00¶
+ (1- j)e~
{
-H
}
15=1
donde la primera esperanza se calculó en el paso anterior y la segunda se resuelve utilizando
técnicas similares a las anteriormente descritas:
—H
si
+
-4+
(1 —z---- C~ )(2a
___-
—
z)(2ct
) icí—z
—-—-1
67
h(2a~z~2>K+(2u~z~2)c
j
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
Por tanto se expresa la Gamma esperada como:
P=[ufulglg
2.--gNJ
3o,x
Op L<3oxx
<31,xx
1
=
- <3l,x
‘W,xx
—
~1,x
- dbNxx
—
tN,x]
(65)
3.3.3 Theta esperada de una opción
Como se demostró en el Capitulo 2, se puede expresar la Theta de una opción como:
oc»
o»
8P
n
0
Dr
013
(66)
donde las derivadas parciales que componen la suma anterior se describen en las fórmulas (44),
y (45). Integrando (66) sobre la distribución del rendimiento del subyacente, se tiene que:
—1
~ 2irh
Oc»”
a-U
JIS
+11v
5J3~
~?$
je
±11~
Dr
2ú¾
dy =
-(y-ji
EJ
jet
n
261,
dy-EJ
-cl
Cc
u
2~h
S
OI3~
Dr
e
20=1,
dy -
-(y-jih)
S
OI3~ e
~I3~
Ox
como
nl
~ 2i-th
2
he
dy
Dr
-0
donde tanto
oc»15
Dr
,
-‘
5P1
Dr
deben ir evaluadas en la volatilidad implícita (estimada
por el mercado), y en:
X=log~~h
)=
ío~fjj+~
68
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
Resolviendo las integrales anteriores se puede expresar la Delta de mercado esperada como la
suma siguiente:
N
+u0130,
Ó
+U1<31
rl
donde, teniendo en cuenta (57):
-(y-ji
1
ci¡¡.r
-(y-ji
11)2
b
¡ne
~ 2~th JO-u
dYzzAfe”Y sin&e
11)2
1,
dy
con:
2
C s ~)
L~ 2zth
9 =iii~iog5i+ y)
utilizando la identidad de Euler y la integral (53), se obtiene que:
(222
¡Srta
22
Ti)
‘~
d~n,t
1
sso
-e
~
L
Jm{e
ERiF{W(y-
donde:
9,
+ log
=
+~thjit.
Por último (para j0,l):
<3i..
—
13}ZH
(jD
0&DCT + (1
—
(jD
0e~~ + (1
nl
69
—
j)rerr
t )E{H~
—
)1=>.
j)re<
4=
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
Por tanto, se puede expresar la Theta de la opción como el producto:
P=[u0u1g1g2--gj
O
(67)
=
[<3o,<3jt
~lr
~2r
-
3.3.4 Vega esperada de una opción
La Vega de una opción se puede expresar como:
c»~ ±g15Dc»” )
A=Zti~
+
(68)
O
uO-O-& +111 5P1
154
Tomando esperanzas en (68), se obtiene que la Vega esperada de una opción es:
09
Dc»
-i-u0E{-
<ji
Og~
-‘
Zti
-U-
Da j
Da
4i15
D¡3~
Da }
~
O[31
_
Da-J
3
+~15t j±uúbú¡5+u1j 10
Da
donde
c»2 se define en (54) y los demás términos se calculan, utilizando métodos de
integración similares a los anteriormente descritos. Teniendo esto en cuenta, es fácil calcular el
valor esperado de
Oc»
Da
n2n=a=
-rc»
—ti
c»iji
Dcx
Da KW
±iE{y
15+¡O2~
donde:
log-——
¡
ah1”
E{Yt}=AIm{
—
2ce
L
5~
+yre-
~
—
Bek
2
—-t
-——
ó~)
ERF{W(y;
{(69)
L
Ilog~~rn
c oir
E e4
—
a
2iJtck~jia
70
3
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
mt
2-lthtii-’+6 ---±a»
L
B=
)
±4
~!ti(~2
Por último (para j=0,l):
P}zc
<3i,c
01-1Di
+ H115 E{~%-} ji +
Da
(j¿ÚOT +
(1— j)err
D~i-}
donde todos sus términos se han determinado anteriormente excepto el último valor esperado:
bu- 1’.
_
Loa J
x
=
e(=~
—
Dc
íog(ji’ j
=
}+ (1
3>X
OB1 E ~e~
—
j
—
11)2
Oc
ío~~j) + i~
Este se calcula, teniendo en cuenta que:
Ay—-
E{y e A Y
4
—
=
t
h
e
log—-
11 >2
h~e
(y—
ji
2 líe
O
(A
2 -40ji)
(A& + j)ERF{Re{W(y; A)»
2
(70)
Iog
donde para calcular éste último resultado se utiliza de nuevo la identidad de Euler y la integral
(53).
Por tanto, se puede expresar la Vega esperada de una opción como el producto:
u
1
~A
=[~
~—[<3OS
QÁ
glg2gNj
5g> 0g2
OEJ Da
<3~<’ eFler
1000 0~
Dg Nl
Oc
c»20
j
di) Ni
..d:bN]
71
(71)
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
3.3.5 Rho esperada de una opción
La RPm esperada de una opción se calcula de forma muy similar a la Vega esperada, sin
más que tener en cuenta que si, la expresión:
Dg
Dr”
~=tC
n=l
+g15 0%) + ~0 013v + u1 D131
(72)
-~
entonces, tomando esperanzas en (72), se obtiene que la Rho esperada de la opción es:
ZC¿~r
}ji+ uoE{ 013Q }
_
E{ciD
+ u, E {O~}
Dr
donde ci, se define en (54):
ci nr
y E{y
Oc
cii,
c»1 4 se define en (69).
2~>» }+ (1—]
OB
~
Por último, teniendo en cuenta que:
—
e~
—
E
E{e
}
3)x
e(=U
(73)
donde:
X=log( ~
kS
-1= 10g1’Só
)
yS~)
y los resultados desarrollados anteriormente, se determinan los términos de (73), los términos
de
¡3
OH315
+ HJRB{Y~33-V) + (jJDÚ + (1— j)~ftE.~i4
LDJ)
72
tOr
} + (j 1fte~fl—
3.3 Sensibilidades esperadas de una opción
Según se desprende de los resultados anteriores, podemos expresar la Rho esperada
como el producto escalar (para cada x y para cada t) de los vectores siguientes:
P=~uOu
1glg2---gNj
Dg, Dg2
O=[borbj,r
1~
~»
Dg~j
c»
=,r
c»]
=
En resumidas cuentas, lo que se ha conseguido en este capitulo es expresar, en forma de
producto escalar (para cada xv para cada O de dos vectores, tanto el precio esperado de una
opción como las distintas sensibilidades esteradas de ésta. También se expresa
como una fonna
cuadrática la varianza del precio de la opción. De esta manera se tiene todos los ingredientes
necesarios para plantear
y resolver, de forma sencilla, el problema de minimización de la
varianza con determinadas restricciones sobre el rendimiento esperado etc., que se planteó en el
capitulo introductorio. A modo de resumen se tiene:
Tabla 3.1
Resumen de resultados
73
3.4 Ejemplos
3.4 Ejemplos
A continuación se muestran una serie de ejemplos que ponen de manifiesto la bondad
de la aproximación realizada. Calculando los coeficientes del desarrollo en autofunciones
gigN
paraunaCalí conpreciodeejercicioK=70, T~1,hr=l20/360,ce3,
rlog(l.05), S~, =1, SM
=
~ =6, D0=O,
900, u0 =0, u1 ‘=900 m=l ~1y N20 se obtienen los siguientes
,
resultados:
80
60
C 40
Aprox
—
-
S.S
20
lo
40
100
130
Figura 3.1
Comparación entre el precio esperado de una CalI evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, NCc20
Para N=50, prácticamente no existe diferencia:
80
60
0 40
Aprox.
-
—
0-8
20
10
40
70
100
-fao
Figura 3.2
Comparación entre el precio esperado de una Cali evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N=50
74
3.4 Ejemplos
Para una Put con precio de ejercicio K=70, T=1, b=120/360, e ‘=3, ~ =.6
r=log(l.05), ~ =1, SM
=
,
=
0,
900, u0=K,uí%,ml.1 y N20 se obtienen los siguientes
resultados:
80
40
O
20
o
10
40
70
100
130
Figura 3.3
Comparación entre el precio esperado de una Put evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N=20
Para N50:
so
40
20
10
40
70
100
130
Figura 3.4
Comparación entre el precio esperado de una Put evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N’=50
75
3.4 Ejemplos
Calculando los coeficientes del desarrollo en autofunciones g;
de ejercicio K’=40, T’=1, e =3, r”’log(l .05), S,~ =1~
5M
g~ para una CalI con precio
~300 uo’=0, u
1 ‘1000, N20 se
obtienen los siguientes resultados para la Delta esperada de la opción:
1.2
0.9
0.8
c
0.3
—
—
S.S
o
40
70
100
130
-0.3
5
Figura 3.5
Comparación entre el valor de la Delta esperada de una Cali evaluada por el método de
Black-Scholes y por elmétodo de separación de variables, N’=20
Para N=5O:
1.2
0.9
0.6
Aprox.
—
—
B-S
0.3
10
40
70
100
130
Figura 3.6
Comparación entre el valor de la Delta esperada de una CalI evaluada por el método de
Rlack-Scholes y por el método de separación de variables, N50
76
34 Ejemplos
Para la Gamma esperada de la opción CalI anterior se obtiene para N~2O:
0018
0.012
Aprox.
—
—
E-O
C 0.006
0
40
70
100
130
-0.006
5
Figura 37
Comparación entre el valor de la Gamma esperada de una Cali evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N=20
Con N’1O la solución aproximada oscila en torno a la solución propuesta por Black-Scholes.
Para N suficientemente grande las dos son prácticamente la misma, por ejemplo para
NSO:
0.018
0.0 12
c
0006
10
40
70
100
130
s
Figura 3.8
Comparación entre el valor de la Gamma esperada de una Cali evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N=50
77
3.4 Ejemplos
Para la Theta esperada de la opción anterior se obtienen [os siguientes resultados:
o
100
70
—1
—
-
S.S
o -2
.3
.4
-8
5
Figura 3.9
Comparación entre el valor de la Theta esperada de una Cali evaluada por elmétodo de
B]ack-Schoies y por el método de separación de variables, N’=20
Para NrSO:
70
loo
130
-1
—
-
Aprox.
—
6-8
-2
o
-3
.4
-5
Figura 3.10
Comparación entre el valor de la Theta esperada de una opción evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N’=50
78
3.4 Ejemplos
Para la Vega esperada de la opción con N20:
le
12
LIS
e
40
70
100
130
.4
Figura 3.11
Comparación entre el valor de la Vega esperada de una opción evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N=50
La solución parece oscilar un poco con respecto a la solución original. Para N50 la solución es
prácticamente la misma:
16
12
CS
lo
40
70
100
130
Figura 312
Comparación entre el valor de la Vega esperada de una opción evaluada por elmétodo de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, NSO
79
3.4
Ejemplos
Para la Rho esperada, con N20, se obtiene que:
50
40
Aprox.
30
-
—
B-S
C 20
10
o
40
70
100
130
-10
a
Figura 3.13
Comparación entre el valor de la Rho esperada de una opción evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N’=50
Para N~5O:
50
40
Aprox.
-
30
-
S.S
20
10
10
40
70
100
130
Figura 3.14
Comparación entre el valor de la Rho esperada de una opción evaluada por el método de
Black-Scholes y por el método de separación de variables, N50
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4 Cálculo de la estrategia eficiente
Existen cuatro parámetros fundamentales que determinan la elección de una de las múltiples
estrategias especulativas, compuestas por opciones, que un inversor puede utilizar: el rendimiento
esperado del activo subyacente (m), el tipo de interés libre de riesgo (r), la volatilidad estimada por el
inversor(a) y la volatilidad implícita o estimada por el ‘mercado” (a). El problema de selección entre
una determinada combinación de opciones u otra, depende fundamentalmente de sí el rendimiento
esperado del activo subyacente es mayor, menor o igual que el tipo de interés libre de riesgo y de si la
volatilidad estimada por el inversor es mayor menor o igual que la volatilidad implícita. En las Tablas
A.2. 1 y A.2.2 del Apéndice 2 se especifican cuales son las estrategias mas usadas en estas
circunstancias. En lo que conozco, la formalización matemática del problema de la elección de la
estrategia, compuesta por opciones europeas, dadas las expectativas del inversor y del mercado sobre
la volatilidad y rendimiento del activo subyacente, no está planteado ni resuelto. En esta memoria se
aborda de la siguiente manera.
Como se vio anteriormente, el precio de un determinado activo financiero que en t
un valor terminal g(S) es:
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Llamando:
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al precio hoy del instrumento financiero con valor terminal g, el rendimiento esperado anualizado de
la estrategia será:
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y su varianza anualizada:
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Lo que se pretende hallar es aquella combinación de opciones que minimice la varianza del
rendimiento de la estrategia, sujeto a conseguir una determinada rentabilidad y a una determinada
restricción presupuestaria, es decir, calcular aquella función g que sea solución al problema:
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(75)
me=(]+Rh)h
C(S0,T;r,a)
CO
siendo Rí, el rendimiento exigido por el inversor y Co el capital inicial a invertir, o bien, teniendo en
cuenta las fórmulas anteriores el problema se expresa como:
2
mi,,
Jg(SoeÚIzY¾e
2
2
dz
g
—
ff&(Soew(zfle~~~1=dze
o, o,
dy
22 h
2ith
a
sujeta a
y
jI
a
122
-
-~
e
— rif
2o2h
o,
1Df~Súje
dze
—e
(r!02D)(Tt)+c,ÍTS
—
2r
o,
Z
0
jg(S
-
e
2&h
dy
,
•——-
(r—~Q-DoXT—t).e T—tz
dY=(1+R
f~~(soe<rdMÑ)
—o,
o,
(yjihjj
2
1
12
2
2
2
)e 2dz
0e~
89
-
Z
)e
2dz
Cálculo de la estrategia eficiente
siendo:
1~2
—Djj(T—t)+a ~T—t z+~{
En definitiva, se quiere calcular la frontera eficiente de una cartera de opciones sobre un determinado
subyacente, donde cada punto de esta representaría una estrategia g(S) a comprar o vender. De igual
manera se podría plantear el problema de maximización del rendimiento sujeto a que la varianza del
rendimiento de la opción tome un determinado valor y a que sc cumpla la restricción presupuestaria,
es decir:
max
m
g(S)
C(S~
1,T;r,a)=C0{
Vm ~ =V~
donde Vh es la varianza objetivo del inversor, o bien problemas del tipo:
1>
g<S)
C(S0,T;r,a)=
c0J
siendo ?. un indicador de la importancia relativa que tiene para el inversor el riesgo con respecto al
rendimiento. Cualquiera de estos tres problemas dará soluciones muy similares. Por ello nos
centraremos fundamentalmente en el primero (75), considerando también alguna restricción más sobre
las sensibilidades.
Para resolver el modelo (75), se debe suponer que el inversor tiene estimaciones sobre la
volatilidad
(a) y
sobre el rendimiento esperado del subyacente (1W) y que es capaz de obtener las
estimaciones del “mercado” sobre la volatilidad (vid. Rubinstein (1984>) así como el tipo de interés
libre de riesgo r, el precio de mercado del subyacente So y todos los parámetros
necesarios para la
valoración de opciones. Una vez obtenidos estos parámetros se podría abordar el problema (75) por
medio de técnicas abstractas de optimización sobre funcionales en espacios de dimensión ilimitada
2). Sin embargo, aquí se aborda directamente, haciendo uso de los resultados obtenidos
(L
anteriormente y que se resumen en la tabla 3.1 del
capitulo anterior, de tal suerte que el sistema
integral (75) se transforma en un problema de proaramación cuadrática, en un espacio de dimensión
90
Cálculo de la estrategia eficiente
limitada, consistente en calcular qué condiciones de contorno (vector P) minimizan la varianza del
rendimiento sujeta a una serie de restricciones. Teniendo en cuenta dicha tabla, se resuelve
primeramente el problema más sencillo, con dos únicas restricciones, para más adelante añadirle otras
sobre las sensibilidades de la opción.
Por último, cabe apuntar que, dado que el problema a resolver tiene restricciones lineales y el
Hessiano de la función objetivo es definido positivo, la solución que se encuentre será un mínimo
global. Para la resolución de este tipo de programas cuadráticos existen múltiples programas
disponibles. En este trabajo se utiliza el programa Matlab 5 y en concreto el procedimiento de
programación cuadrática qp.m, todos los demás procedimientos adicionales, necesarios para el cálculo
de precios, valores esperados, varianza etc. también se realizaron con dicho programa
A continuación se presentan una serie de ejemplos de estrategias eficientes. En todos ellos la
volatilidad “estimada” por el mercado es
a =.3,el precio en
t
O del subyacente es S~
tipo de interés libre de riesgo r = log(l.05), la fecha de ejercicio T = 1
instrumento h
=
1 año, el intervalo de precios a estudiar es
=
=
6000,el
año, el periodo de posesión del
10, SM
=
100000, la cantidad de
dinero disponible C
0
=
1, el rendimiento exigido por el inversor Rí,
=
0.1 y el número de términos del
desarrollo de Fourier N=20. Cada una de las figuras consta de dos gráficos: Ja estrategia óptima
cuando quedan 1 años para vencimiento (línea punteada) y la estrategia óptima cuando quedan T-h
años para vencimiento (línea continua). Además se especifica el sentimiento del inversor sobre la
volatilidad y el rendimiento futuro del subyacente, la estrategia a priori
anualizada de la estrategia óptima, a~
1
_______
,
asi como la desviación típica
h
También se hizo uso de algunos algoritmos publicados en Teukolsky, Vetterling, Flannery y Press (1992).
La que usualmente utilizan los traders en situaciones de mercado similares (y. Tabla
Apéndice 2).
Al.
91
1,
4.1 Estrategia á la Markowitz
4.1 Problema 1: Estrategia á la Markowitz
Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, el primer problema que se resuelve es el de
mínimización de la varianza del rendimiento de la estrategia, compuesta por opciones europeas, sujeto
a que el inversor dispone de C0 ptas. y exige un rendimiento del
~»1
J~
por uno, es decir:
2
1-
2
~
m~n
Rh
2
z
jg(s oeo(z~Y))e
2
2h
0ei2
dz
2nh
—
o,
-.~
2
-(y-ji
li)2
-(y-jih)
dze
2~
CC
dy
e
h
dy
.9
sujeta a
2
-(y-ji
r(Th)
ff~(Soeí»(Z¿~})~§~d
eC?0
f~(se
o,
li)
,~27
dy
(r—--c
-OoXT—t)+o ‘T—tz
-o,
)e
0)(Tt)+o.IT~tz
2
f~(soe
2dz=C
0
CC
Utilizando los resultados obtenidos en los Capítulos 2 y 3, se puede expresar el problema de
optimización funcional anterior como el problema de proaramación cuadrática con restricciones
lineales siguiente:
1 minP(<>-O’O)P’
hCg 1’
PO¡~(í~~Rjh C0 =0
(76)
PQ’ =
donde Q,
QyO
se calculan mediante los procedimientos programados en Matlab. Una vez obtenido
el vector óptimo P, el precio de la opción en t se recupera dando valores a S en la ecuación:
C(S,T —h;r,a)
92
=
PQ’.
-z
2
z
2D
(rilo
=(l+Rh)
dz
4.1 Estrategia
~ la Markowitz
4.1.1 Ejemplos
Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: d =29.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W =.95.
Estrategia a priori: Vender CalI.
Estrategia eficiente cuando quedan 1 y T-h años para vencimiento:
1.5
1.2
§ 0.9
0.6
0.3
1000
2500
4000
5500
7000
8500
10000
11500
5
Figura 4.1: a ~ .14 (Línea continua: T años para vto., linea discontinua: T-h años para vto.)
2.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: d =29.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W = 1
-
Estrategia a priori: Mezcla entre vender CalI y vender Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
2-
1< ~
-0.6
2500
4000
5500
¡080..
500
10000
11500
-
5
Figura 4.2: a~ = .29 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
93
4.1 Estrategia á la Markowitz
3.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: ~ =.29.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: Iii = 1.05.
Estrategia a priori: Vender Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan 1 y T-h años para vencimiento:
7000
—1
q
.3
-5
.7
5
Figura 4.3: ac
=
.98 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
4.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: a =.29.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: Iii = 1.1
Estrategia a priori: Vender Put.
Estrategia eficiente cuando quedan 1 y T-h años para vencimiento:
o
5500
7000
8500
10000
11500
g
.3
.4
-6
Figura 4.4: ac
=
.27
(Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
94
4.1 Estrategia á la Markowitz
5.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: d =29.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: ITÍ = 1.15.
Estrategia a priori: Vender Put.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
5500
7000
8500
10000
11500
o
§ -1
-2
-3
-4
$
Figura 45: ac
=
.14 (Línea continua: T
años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
6.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: d =.3.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W =.95.
Estrategia a priori: Vender futuros.
Estrategia eficiente cuando quedan 1 y T-h años para vencimiento:
1.7
--
1.4
-
91.1
-
lo JO
0.8
2500
4000
5500
7000
00
10000
11500
-
0.6
Figura 46: a~
=
.14 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
95
4.1 Estrategia á la Markowitz
7.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: ~
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W
=
1.
Estrategia a priori: Vender futuros o vender CalI.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
2.5
2
1.5
2500
4000
5500
0.5
s
Figura 47: ac
=
.30 (Línea continua: T años para vto., línea discontinna: T-h años para vto.)
8.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: a =.3
-
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: ffl = 1.05.
Estrategia a priori: No hay estrategia, intentar arbitraje.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
El problema de optimización (76) no tiene solución factible y por tanto no existe, para
este caso particular, una estrategia eficiente. En estas circunstancias un inversor sólo
podría recurrir a las estrategias clásicas de arbitraje.
96
4.1 Estrategia ~ la Markowitz
9.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad:
~
zz3
-
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W = 1.1.
Estrategia a priori: Comprar futuros o vender Put.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-b años para vencimiento:
2-
0(00
2500
-40
5500
7000
8500
10000
11500
go-—1
-
-2
-
$
Figura 43?: ~c
22 (Línea continua: 1 años para vto-, línea discontinua: T-b años para vto.)
10.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: ~ =3.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W = 1.15.
Estrategia a priori: Comprar futuros o vender Put.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
2
1.5
0.5
5500
7000
8500
10000
11500
gO
-0.5
-1
‘1.5
-2
$
Figura 4.10: ac
.16 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
97
4.1 Estrategia A la Markowitz
11.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: ~ =.3 1.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W zz=.95.
Estrategia a priori: vender Cali Spread o comprar Put.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
1.6
1.3
10 0
2500
4000
5500
‘7000
8500
10000
15500
0.7
5
Figura 4.11: c~
= .15 (Línea continua: T años para vto., linea discontinua: T-h años para vto.)
12.- Sentimiento
Sentimiento
del inversor sobre la volatilidad:
ó =.31.
del inversor sobre el rendimiento:
1W = 1.
Estrategia a priori:
vender Cali Spread
Estrategia eficiente cuando
quedan
o comprar
Put.
T y T-h años para vencimiento:
3.
2.6 --
2 --
1.6 --
1—
10)0
-.
2500
4000
5500
7
0
10000
11500
0.5
$
Figura 4.12:
a~
.29 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: Y-lo años para vto.)
98
4.1 Estrategia A la Markowitz
13.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: at.31.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W
=
1.05.
Estrategia a priori: Comprar Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
10
fi
9
4
8500
10000
11500
$
Figura 4.13:
=
1.1 (Línea continua: T años para vto-, línea discontinua: T-h años para vto.)
14.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: a =31.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1ff = 1.1.
Estrategia a priori: Mezcla entre comprar Straddle y comprar CalI.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
2.1
1.8
1-5
1.2
7000
6500
10000
11500
o-e
0.3
Figura 4.14: a ~
35 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
99
4.1 Estrategia A la Markowitz
15.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: ~ =.31.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1ff
1.15.
Estrategia a priori: Comprar CalI o Cal! Spread.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
1$
1.4
1.2
10 0
2500
400
‘Éso,
7000
8500
10000
11500
9 0.8
0.5
0.4
0.2
o
5
Figura 415: ac
.18 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
4.1.2 Comentarios a los resultados del Problema 1
Parece existir una cierta correspondencia entre los resultados obtenidos al resolver el
programa cuadrático (76)
y entre las
estrategias que usualmente utilizan los traders en situaciones
similares (este hecho se pone claramente de manifiesto si se comparan las tablas A.2.2 y A.2.3 del
apéndice 2). Se aprecia cierta continuidad en el espacio de las estrategias de tal forma que ,conforme
las estiluaciones del inversor sobre el rendimiento del subyacente van tomando valores más altos,
manteniendo constante la volatilidad estimada, es decir, como se observa en las Figuras 1 a 5,6 a 10 y
11 a 15, la estrategia eficiente pasa de ser vender CalI a vender Put, vender futuros a vender Put y
comprar Cali acomprarPut respectivamente
(y. Figuras 4.18 a 4.23) de una forma suave,
transformándose de la primera a la segunda de manera paulatina y sin cambios bruscos, excepto en el
Caso 8 en el que no existe una estrategia factible y hay un punto de discontinuidad.
También hay que poner de manifiesto que un aumento en Ql no modifica la desviación típica
de la estrategia a ns~ aunque se aumente el riesgo de perder más dinero con la operación, y sólo afecta
a la escala de la figura. Así, por ejemplo, si C0 es 2 en vez de l,Jas estrategias resultantes simplemente
aparecen multiplicadas por un factor 2 sin cambiar su forma relativa. Esta última afirmación está
justificada por la propia estructura de las restricciones que implican que el vector óptimo P sea
100
4.1 Estrategia á la Markowitz
proporcional a la cantidad inicial de dinero invertida Co Por ejemplo, si en el Caso 3 se multiplicase
por 2 la inversión inicial, se obtendrían los siguientes resultados:
5500
7000
8500
‘2
.4
—
-6
co=1
-
00—2
-8
--lO
-
8
Figura 4.16: Variación de la estrategia eficiente conforme varia lainversión inicial. (Línea continua C01, Enea
discontinua C0”2).
Lo que naturalmente modifica la desviación típica de la estrategia a3, son los cambios en el
rendimiento exigido por el inversor RL1. Dado que una opción se puede replicar combinando acciones
con una determinada cantidad del activo sin riesgo, larelación entre c& y Rh debe ser lineal. Por
ejemplo, si en cl Caso 13 se aumentase Rh paulatinamente, se obtendría la frontera eficiente en el
plano (R11 , a~)
(y.
Figuras 24 a 26), donde cada punto de esta frontera vendría a representar una
estrategia a comprar o vender. Cada inversor se situará en un punto u otro de la frontera, dependiendo
de su función de utilidad, grado de aversión al riesgo, etc. Un caso a tener en cuenta cuando se varia
R1 es aquel en el cual el rendimiento exigido por el inversor es tal que (i + R1 )h =erh. Siempre que
se cumpla esta condición e independientemente del escenario en el que nos encontremos, la solución a
priori es comprar el activo sin riesgo que garantice C0 el ptas. en t = Ii. La estrategia eficiente
resultante de resolver (76), bajo cualquier escenario en el caso que nos ocupa, es:
101
4.1 Estrategia á la Markowitz
‘.08
--
1.04
-
9
-1-
086
-
1000
2500
4000
5500
7000
8500
10000
11500
$
Figura 4.17: Estrategia eficiente en el caso en que el rendimiento
exigido por el inversor sea menor o igual al tipo libre de riesgo. (Línea continua: T años para vto., línea
discontinua: T-h años para vto)
Un hecho que llama poderosamente la atención es la suavidad que presentan las estrategias
(y. Tabla A.2.3) en contraste con los picos
característicos de las estrategias usuales en escenarios similares (y. Tabla A.2.2). Este efecto, es
eficientes obtenidas al resolver el problema (76)
debido, fundamentalmente, a que, en el mercado, solo están disponibles una serie de opciones
limitada a un conjunto finito de precios de ejercicio y aquí nos interesamos por una estrategia
genérica g(S) sin ningún tipo de restriccion.
2
o
g (S)
—1
-2
15000
10000
5000
s
0
0.6
0.8
Figura 4.18: Estrategias eficientes en elcaso de que ~
102
1 .2
1
1.4
1 .6
m
.29,c
—
.3,0.6=
~t’É =1.6,
r
=
log(1 .05)
4.1 Estrategia A la Markowitz
2
12~
1.5
11080
1~0
9000
8000
o
8
9(5>
-0.5
6003-
—1
5000
-4.5
4000-
0.6
0.7
0.8
0.9
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.8
0.9
m
1
11
m
12
13
14
Figura 4.19: Contornos de la Figura 4.18
4
3
2
1
g(S~
—1
-2
15000
10000
1.4
1.2
5000
s
0.8
0
0.6
Figura420: Estrategias eficientes enel caso de que
103
m
~
=3,a
=
3,06=m =
l6,r
log(l05)
1.6
4.1 Estrategia á la Markowitz
12003
11000
9000
80035 7000-
9(3)
6000
5000
1~
3000
0.6
0.7
0.8
0.9
1
lA
1.2
1.3
1.4
0~?
1.5
0.8
0.9
1
11
1.2
1.3
14
nl
nl
Figura 4.21: Contornos de la Figura 4.20
15
10
0
15000
1.2
10000
1.1
5000
1
0
m
0.9
Figura422: Estrategias eficientes en el caso de que a
104
31,a
=
3,0.9=m =l2,r
=
log(l05)
4.1 Estrategia A la Markowitz
15
-
11003
1o~
9080
lo
7000
5
q(S}
5000
5
2000
o
0.9
095
1
lOS
1.1
1.15
0.95
1.2
1
1.05
m
115
1.1
m
Figura 4.23: Contornos de la Figura 4.22
150
100
50
g(S)
o
-50
15000
10000
5000
s
Figura 4.24: Variación de
~
1.1
1
1 .2
1 .3
1.4
1 .5
laestrategia con el rendimiento exigido por el inversor para el caso en el que
=l.OS,r log(l.05),1 =R =1.5
~ =31,a=3,ñi
=
h
105
4.1 Estrategia A la Markowitz
15011~
100-
9000
s:L
sc
g(S~
4000-
O
sc
1.05
lA
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
145
1.5
lA
115
12
125
13
135
14
145
Figura 4.25: Contornos de la Figura 4.24
7.1
.09
1.08
1.07
1.06
.05
7.04
.03
.02
0
0.2
0.4
Figura426: Fronteraeficiente enel caso ~
0.6
31,c
106
0.5
s.3,iti
r
1
1.2
l05,r
=
log(l05),l =R =1.5
h
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
4.2 Problema 2: Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
La mayoría de los inversores no pueden definir sus expectativas, para una determinada fecha
futura t
h, sobre la volatilidad y rendimiento del subyacente, de una forma tan contundente como la
mostrada en el problema anterior, sólo tienen una idea aproximada de la distribución de éstas. Por
ello podría ser más útil e interesante plantear el problema anterior modelizando las expectativas del
inversor mediante escenarios y asignando a cada uno de ellos una determinada probabilidad. Se usará
la siguiente notación (vid. Zenios (1993), Dembo (1991)):
E: Conjunto de escenarios posibles sobre la volatilidad en t = ti, e = 1,..., E
w0: Probabilidad asignada al escenario e, e ~ E; (zw~
ij~J
=
~: Volatilidad estimada por el inversor en el escenario e-ésimo.
Teniendo en cuenta estas definiciones:
E
-(y-jih__
24b
Un
W
—‘
~
e=l
JC(SoeY~T
e
-
h;
r,a)e
dy
será el valor esperado ponderado de Ja estrategia condicionado a t4 sobre los E escenarios y:
E
‘o
Z~v?t~~ J(c(soeYrT-h;rca)—E{c~h}Xe
cM
-
Ce
la varianza condicionada del rendimiento de la estrategia ponderada correspondiente. Por tanto, el
problema del cálculo de la estrategia eficiente en estas circunstancias se puede expresar
matemáticamente de la siguiente forma:
mm
‘>
J~Jg(Soeo<4Ú)e2dz
g
__
—
g(S0e’a<~>)
1ri. 1‘o
-
Jd’~2ith
CC
____
2
22
-A’) dy
dze (y24
_
sujeta a
E’c—í
cr
~
2zt
h
f(C(soeY~T-h;r~a)—E{c’~h}Ye1;Á
e
dy=(l-s-R
1,)C0
o,
2dz
~>
1
0e~~ ~
OO)<TL)+C.¡TLZ)
o,
107
=
(y -jI,) 2
2
e
24
dy
4.2 Escenarios sobre
la volatilidad estimada por el inversor
Para abordar la resolución de este problema de optimización funcional se hará uso de los
resultados obtenidos en los Capítulos 2 y 3 de la memoria. De esta manera, el problema que se trata se
transforma en el problema de programación cuadrática con restricciones lineales:
E
1
-minE w~
hC~
P(r=0 Q~0e)P’
“
el
ZWC
PO~ =(1-~-R1,~C0
PQ’ = CO
donde el subíndice ‘e’ en el vector
Q y en la matriz C2 significa que deben ser evaluados en la
volatilidad especificada en el escenario e-ésimo
4.2.1 Ejemplos
Para los próximos ejemplos, se construyen los escenarios mediante árboles binomiales, de tal
forma que el valor de la volatilidad en un determinado nodo ascendente o descendente se calcula,
sumando o restando respectivamente un determinado tanto por ciento de la volatilidad del nodo inicial
al valor de su nodo padre. Se asumirá que la cantidad a sumar o restar es igual al 1 = 3% de una
determinada volatilidad inicial que se especifica en cada figura; también se considera que la
probabilidad de movimientos ascendentes y descendentes es igual a 0.5 y que el número de nodos
finales es igual a 25. Todos los demás parámetros son iguales a los del Problema 1, con lo que las
estrategias en los escenarios medios se corresponderá con los resultados obtenidos en éste.
108
4.2
Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
1.- Escenarios (volatilidad inicial: ~
0.2
a’t1
0.15
w
-iIIIb-t~
AlIIIIIIh
0.1
0.05
o
0.03
0,13
019
024
0.29
034
0.30
045
0,5
VoL> t¡ lida
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W z,95.
Estrategia a priori: Vender Cali ¡Comprar Put con más peso hacia vender Cali, dado que el
escenario medio está en & =.29
-
Estrategia eficiente cuando quedan 1 y T-h años para vencimiento:
1.8
1 .6
1-2
9
2500
4000
5500
0.6
0.3
Figura 4.27: a ~
.14 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
2.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W = 1.
Estrategia a priori: Vender CalI ¡Comprar Put con más peso hacia vender CalI, dado que el
escenario medio está en ~ =.29.
Estrategia eficiente cuando quedan 1 y 14 años para vencimiento:
2.5
2
91.6
4000
5500
0.8
5
Figura 428: ac
=
29 (Línea continua: T afios para vto,, línea discontinua: T-b años para vto.)
109
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
3.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: Th= 1.05.
Estrategia a priori: Vender Straddle ¡ Comprar Straddle.
Esti-ategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
-lo
8
fi
94
2
-2
$
Figura 4.29: a~
86 (Línea continua: T años para vto., lfnea discontinua: T-h años para vto.)
4.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W
=
1.1.
Estrategia a priori: Mezcla entre vender PutI vender Straddle y
comprar Call/ comprar Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
3
2.6
2
91.6
7000
8500
10000
11500
0.6
5
Figura 430: o-~
=
.28 (Línea continua: T años para vto., linea discontinna: T-h años para vto.)
lío
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
5.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W = 1.15.
Estrategia a priori: Mezcla entre vender Put¡ vender Straddle y
comprar CalI! comprar Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
1 .6
1.4
1-2
gí
7000
8500
10000
11500
0.8
0.6
0-4
5
Figura 4.31: a
.15 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
6.- Escenarios (volatilidad inicial: ~
0.2
018
11k
4111k
01
005
o
0.03
0.14
0.19
0.25
0.3
0.36
0.41
0.46
0.52
Va la t¡¡¡dad
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W =95.
Estrategia a priori: Túnel vendido.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
1 .8
1-6
1.2
~
§
0~
0
2500
4000
fibe
5500
00
10000
11500
0.6
0.3
5
Figura 4.32: a0 ‘o 14 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
111
4.2 Escenarios sobre
la volatilidad estimada por el inversor
7.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W = 1.
Estrategia a priori: Túnel vendido.
Estrategia eficiente cuando quedan T y T-h años para vencimiento:
2.5
--
326-
2
--
9
1.1
-—
a oc
2500
4000
5500
7000
00
1Cp
$500.
0.8 --
o.
$
Figura
8.-
4.33:
ac
.29
Sentimiento
del
(Línea
continua:
inversor
Estrategia
a
priori:
Estrategia
eficiente
sobre
T
el
años
0090
vto.,
rendimiento:
Comprar/Vender
cuando
para
línea
1W
=
discontinna:
T-h
años
para
vto.)
1.05.
Straddle.
quedan
T
2500
y
T-h
años
para
vencimiento:
~
-2 $
Figura
4.34:
a
c
1.14
(Línea
continua:
T
años
112
para
vto.,
línea
discontinúa:
T-h
años
para
vto.)
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
9.- Sentimiento del inversor sobre la volatilidad: ~ =.3.
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W = 1.1
-
Estrategia a priori: Mezcla entre vender Put/ vender Straddle y
comprar Call¡ comprar Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan T y Y-Ii años para vencimiento:
3-8
-
32.8
-]
1.6
-
1’
5500
10)0
25
4090’
7000
8500
10000
11500
0.5--
0$
Figura
435:
10.-
G<
.3 l(Linea
Sentimiento
continua:
del
Estrategia
a
priori:
Estrategia
eficiente
inversor
Mezcla
cuando
T
años
sobre
entre
para
el
T
línea
discontinna:
rendimiento:
vender
quedan
vto.,
Put/
y
T-h
1W
Straddle
años
=
y
para
T-h
años
para
vto.)
1.15.
comprar
CalI!
Straddle
vencimiento:
1.8 -
1.8 1 .4
1.2 -
—.—--—--—-—-——,.
1>0>0
0.8 --
2
00
4000
—=500
7000
8500
reoca
¡r500
0-6
0.4 8
Figura
4.36:
a
0
=
16
(Línea
continua:
Y
años
para
113
vto.,
línea
discontinua:
T-h
años
para
vto.)
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
11.- Escenarios (volatilidad inicial: 3 =.3 1):
0.2
0-ls
9-4
_________________________________
~-IIIk
04
____________________
ililil
rilÁlIIIIIIrk’h
005
___________________________
0r9
0r4
52
r2i
525
0.>
~37
042
048
052
o ¡a r¡¡¡dad
Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W =95.
Estrategia a priori: Yúnel vendido (Vender CalI ¡Comprar Put) con más peso hacia
comprar Put, dado que el escenario medio está en a =.3 1.
Estrategia eficiente cuando quedan T y Y-h años para vencimiento:
1-8
-
15-12--
__________________________________________________________________________________________
9
O~ 020
2500
4000
5500
:—
-
70db~’¡8.5fl~
0-e
-
0.2
-
000
11500
s
Figura 4.37: a0
=
15 (Línea continua: T años para vto., línea discontinua: Y-h años para vto.)
12.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento:
ji = 1.
Estrategia a priori: Túnel vendido (Vender Cali ¡Comprar Put) con más peso hacia
comprar Put, dado que el escenario medio está en 3 =.3 1.
Estrategia eficiente cuando quedan T y Y-Ii años para vencimiento:
2.5
2
91-6
10 0
2500
4000
5500
7000
~
3
0.6
o
$
Figura 4.38: a0
=
28 (Línea continua: T años para vto., línea discontin-na: T-h años para vto.)
114
4.2
Escenarios
13.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1W
sobre la volatilidad estimada por el inversor
1.05.
Estrategia a priori: Comprar Straddle ¡Vender Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan Y y T-h años para vencimiento:
lo
9
8
y
$
gs
4
o
2500
4000
5500
7000
8500
10000
11500
5
Figura 4.39: a0
.75(Línea continua: Y años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
=
14.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: 1ff
=
1.1.
Estrategia a priori: Mezcla entre vender Put/ vender Straddle y
comprar Cali! comprar Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan Y y T-h años para vencimiento:
3-5
2.6
2
9
1.6
7000
8500
10000
11500
0.5
$
Figura 4.40: a0
=
.33 (Línea continua: 1 años para vto., línea discontinua: Y-h años para vto.)
115
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
15.- Sentimiento del inversor sobre el rendimiento: ji
=
1.15.
Estrategia a priori: Mezcla entre vender Put/ vender Straddle y
comprar CalI! comprar Straddle.
Estrategia eficiente cuando quedan T y Y-li años para vencimiento:
1.8
1.6
1.4
1.2
7000
8500
40000
19500
0~8
0~6
0.4
$
Figura 4.41: CT~
17
(Línea continua: T años para vto., línea discontinua: T-h años para vto.)
4.2.2 Comentarios a los resultados del Problema 2
En estos ejemplos también parece existir una determinada continuidad en el espacio de las
estrategias eficientes, incluso más fuerte que en el Problema 1, dado que aquí no existe ningún punto
de discontinuidad y las estrategias obtenidas al variar un poco la media de la distribución son muy
similares
(y. Figuras 4.48 a 4.53). Por otra parte, definir la estrategia a priori es bastante más difícil
que en el oroblema anterior y depende significativamente de la distribución de probabilidades de los
escenarios (en nuestro caso, de su media y desviación típica)3.
Intuitivamente parece claro y, se puede comprobar matemáticamente que, conforme dicha
distribución se acerca a la distribución degenerada, la estrategia obtenida debe acercarse cada vez más
a la calculada en el Problema 1. Por ejemplo, conforme disminuye la cantidad a sumar o restar, 1, en
cada paso del árbol de escenarios correspondiente al Caso 9, manteniendo la media constante,
deberíamos ir acercándonos a los resultados obtenidos en el mismo caso del Problema 1, es decir:
Conforme “complicamos” el Problema 1, añadiendo nuevas restricciones, modelizando las expectativas sobre
volatilidad mediante escenarios, etc., se hace más evidente la utilidad práctica del método de cálculo de la
estrategia eficiente desarrollado en la tesis.
116
4.2
046
II
=11111
s111IIIIII
01
w
806
o
001
0.06
016
023
0,3
a?
Escenarios sobre
la volatilidad estimada por el inversor
-
14\
21
91.8
~I-6
1.2
a»1
o~6
0.37
0.44
052
2508
4~
5~
7~
6~
1~
11508
tu
0.06
waIk~
Figura 442: (a) Escenarios sobre la volatilidad (1
=
4% 0.3), (b) Estrategia eficiente bajo los escenarios
mostrados en el gráfico(a) (línea continua) y bajo una volatilidad o03.
0.2
-
3.3
3
016
w
-
01
006
014
019
ti
III’
iIIIIILI
025
03
035
21
2.4
31
9 1.8
1.5
ssx
041
0’E
052
Figura 4.43: (a) Escenarios sobre la volatilidad (1
7~
B~
1~
11503
0.3
3% 03), (b) Estrategia eficiente bajo los escenarios
mostrados en (a) (línea continua) y bajo una volatilidad o=03.
02
3-3
015
3
2724-
w
al
al.
9 1.8
1~6
006
0
016
019
0.23
hill
025
03
034
8.2-
—1-—-——1—
037
041
044
Figura 4.44: (a) Escenarios sobre la volatilidad (1
0,8
lc
06
5508
7~
8508
in
11~
0i
2% 0.3), (b) Estrategia eficiente bajo los escenarios
mostrados en (a) (linea continua) y bajo una volatilidad a=03.
117
4.2
Escenarios
1
9 0.6
2608
o
--
sobre la volatilidad estimada por el inversor
0.2
11k
016
~ ni
3111
AiIIIlfl±
036
O
023
025
0.20
028
03
0.37
034
-0.6
0.35
5808
7~
8508
1~
11508
-
-1’
0.37
Figura 4.45: (a) Escenarios sobre la volatilidad (1
1% 0.3), (b) Estrategia eficiente bajo los escenarios
=
mostrados en (a) (línea continua) y bajo una volatilidad aUn03.
02
016
Un
II
‘III
O--’
ave
5508
7~
8508
1283511508
o
O
-0-6
-1
—‘-5
O
-~
026
027
028
029
03
031
037
-2
~-
033
-2.6
034
Figura 4.46: (a) Escenarios sobre la volatilidad (1
0.5% 0.3), (b) Estrategia eficiente bajo los escenarios
mostrados en (a) (línea continua) y bajo una volatilidad a=0.3.
02
16016
1-
J
al
5208
7~2
8508
1~35
11508
o.
- ______________
-0.6 -
rdJJlIlr!
006
o
02922
029~ 02084
02~
03
02818
0.2835 03.54
AtbL2
-1-5-2
-
fttkLl
02872
Figura 4.47: (a) Escenarios sobre la volatilidad (1
=
0.1% 03), (b) Estrategia eficiente bajo los escenarios
mostrados en (a) (línea continua) y bajo una volatilidad o0.3.
118
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
20
1
15+
10—
q(S)5
-.
0—
-5
15000
1
e
.2
1.1
10000
5000
0
8
0.9
m
Figura 448: Estrategias eficientes en el caso de que la volatilidad inicial de los escenarios sea ~
ar 3 09< ni =l.2yr=log(105).
=
.29,
20
1100010000-
15
90~
10
5
—l
__
O
6000
~i1
.
3028
2000
145
4.1
405
4
095
iruj
0.9
09
095
m
105
1
m
Figura 4.49: Contornos de la Figura 4.48
119
1.1
1.15
4.2 Escenarios sobre la volatilidad estimada por el inversor
30
20
10
g(S)
0-~
-10
15000
115
8
m
Figura 4.50: Estrategias eficientes en el caso de que la volatilidad inicial de los escenarios sea Éy
o = 3 09< m =1.2yr=log(L05).
.3,
20-15-
4
lo
Li
g(5~
8
¿
5
ci
-<E——--
-5
--lo115
1.1
1.05
1
095
U9
0.9
m
0.95
1.05
nl
Figura 4.51: Contornos de la Figura 4.50
120
11
1.15
Escenarios
4.2
sobre la volatilidad estimada por el inversor
14
12?
10-,
8—.
g(S)
6—
4—
2
o
15000
-1.1
10000
115
105
0.95
s
0
1
m
0.9
Figura 4.52: Estrategias eficientes en el caso de que la volatilidad inicial de los escenarios sea ~
c=3.09=msl2yr=log(105).
-Ii
1~0
7000
5 8002
5000
4002
3000
2000
1.1
1.05
098
1000
0.9
0.9
095
nl
105
nl
Figura 4.53: Contornos de la Figura 4.52
121
li
1.15
4.3 Estrategia á la Markowitz con restricciones sobre las sensibilidades
4.3 Problema 3: Estrategia á la Markowitz con restricciones sobre las sensibilidades
esperadas de la estrategia
En los dos problemas resueltos anteriormente, el inversor estaba especialmente interesado en
la minimización del riesgo de no conseguir una determinada rentabilidad. Sin embargo, existen otros
tipos de continaencias, inherentes a la cartera de opciones, que posiblemente le gustaría controlar aún
a costa de aumentar el riesgo de no conseguir el objetivo de rentabilidad. Por dichas contingencias nos
referimos a las posibles variaciones del precio de la cadera debido a variaciones del precio del
subyacente, el paso del tiempo, etc. En resumidas cuentas, es deseable poder fijar las diferentes
sensibilidades de la cadera (vid. Dilíman y Harding (1985)). Para ello se podría plantear un problema
de ruinimización de la varianza del rendimiento de la estrategia sujeto a que el inversor dispone de Co
ptas., exige un rendimiento del Rh por uno e impone objetivos sobre las sensibilidades de la estrategia
esperadas en t
ti, las sensibilidades en t
O o en ambas fechas. Teniendo en cuenta los resultados
resumidos en la Tabla 3.1 se podría plantear una gran variedad de problemas distintos, cada uno de
ellos con diferentes restricciones sobre el rendimiento exigido, la restricción presupuestaria y las
sensibilidades de la estrategia. Por ello, se desarrolla uno de los casos en profundidad a modo de
ejemplo. Supongamos que la volatilidad “estimada” por el mercado es a ~-3, la volatilidad
“estimada” por el inversor es ~ =.31 ,el precio en t
libre de riesgo r
O del subyacente es
log(1.05), el rendimiento esperado del subyacente 1W
=
=
60, el tipo de interés
1.05, la fecha de ejercicio
T = 1 años, el periodo de posesión del instrumento ti = 1 año, el intervalo de precios a estudiar es
S~ =1
=
,
SM
=
10>2, la cantidad de dinero disponible Co
=
1, el rendimiento exigido por el inversor
0.08 y el número de términos del desarrollo de Fourier N26, el inversor resuelve inicialmente
un problema del tipo Markowitz, es decir:
1 minP(Ó-®jI~’
hC~ 1’
~0’-Ú±RJCo=0
PQ’
=
122
4.3
obteniendo como resultado la estrategia en t
Estrategia
~ la Markowitz con restricciones sobre las sensibilidades
=
6-8
6-8
4-8
9 3-6
2.9
1.6
0.9
15
55
35
95
75
115
135
155
Figura454: Estrategia ála Markowitz(~ =31,a
175
.3, r
195
215
log(l05),ni
=
1.05)
Utilizando las fórmulas descritas en el Capítulo 3 se obtiene que la Delta, la Gamma y la Theta
esperadas para dicha estrategia son respectivamente:
A=-7.8302e-003 C0
F= 1.2409e-.003C0
e
=
-8.8240e 002C0
-
y la desviación típica anualizada del rendimiento de la estrategia:
a0
=
0.22
Supongamos que el inversor quiere que la Delta y la Gamma esperadas sean un veinte por
ciento mayores, y la Theta esperada un veinte por ciento menor de tal forma que sus objetivos sobre
dichas sensibilidades sean:
~h
=-7.8302e-003C0(1-.2)
1
—I 2409e-003C0 (1±.2)
Ó —-8 8240e
-
002C0 (1 + .2)
123
4.3
Estrategia
A la Markowitz con restricciones sobre las sensibiJidades
Entonces el nuevo problema a resolver sera:
hC~
P~’-(1±Rb)cO
=0
PQ’=C,
PÉYA
(77)
=A1,
PQ =f,
~Q:~
=Óh
y la estrategia eficiente que cumple las restricciones sobre las sensibilidades:
6.9
6-9
4-9
1
91»
2.9
-‘.9
—
0.9
15
35
55
75
§5
115
135
155
175
105
215
$
Figura 4.54: Línea discontinua: estrategia á la Markowitz, Línea continua: estrategia á la Markowitz con
restricciones sobre las sensibilidades esperadas de la opción.
donde la desviación típica anualizada de la nueva estrategia es ahora a0
.24.
El primer comentario que se debe hacer es que cualquiera que sean los nuevos objetivos sobre
las sensibilidades, repercutirán al alza sobre la desviación típica del rendimiento de la estrategia. En el
ejemplo, éste aumento es aproximadamente del 9%. Esto es debido a que, de alguna manera, estamos
imponiendo una determinada forma a la estrategia y por tanto deja de ser eficiente en el sentido de
mini¡nización de la varianza sin restricciones sobre las sensibilidades. Por ello parece natural utilizar
las restricciones anteriormente descritas en un marco dinámico, donde constantemente se deba
reajustar la cartera según la Delta, Gamma, etc.
124
4.3 Estrategia ~ la Markowitz con restricciones sobre las sensibilidades
Por otra parte, tanto la Vega como la Rho de la estrategia no se ajustan a la estructura del
Problema 3 y no se pueden utilizar como restricciones, debido a que los coeficientes de Fourier a
estimar en estas sensibilidades aparecen mezclados con sus derivadas con respecto al parámetro alfa.
125
.
5 Conclusiones
Las principales aportaciones de esta tesis a la literatura existente en el campo de las opciones
y futuros se pueden resumir en los siguientes puntos.
Asumiendo las hipótesis originales del artículo fundamental de Hlack y Scholes (1973) y
acotando el rango de variación del precio del subyacente a un intervalo finito, se desarrolla un nuevo
método de valoración de opciones con las siguientes características:
a) En aquellos países donde el rango de variación del subyacente esté acotado por
ley, el nuevo método de valoración resulta más realista.
b) Proporciona un método adecuado para valorar de forma exacta las opciones con
doble barrera.
c) Expresa el precio de una opción, que en el modelo de Black y Seholes está
representado mediante una integral impropia, en forma de serie, de tal manera que su
manipulación matemática (derivación, integración) resulta más sencilla.
d) Dicho precio se puede expresar, de forma aproximada, como producto escalar de
dos vectores (para cada 5 y para cada t). El primero comprende todo lo concerniente
a la estrategia a valorar y el segundo todo lo concerniente a la valoración en si.
e) Yeniendo en cuenta los puntos c) y d), se pueden expresar de la misma forma el
precio esperado y las distintas sensibilidades del precio de la opción y de su valor
esperado condicionado, así como mediante una forma cuadrática la varianza
condicionada de la opción.
2.- El nuevo método de valoración junto con las nuevas expresiones del precio esperado, la
varianza, etc., permite generalizar, al ámbito de las opciones europeas sobre un único activo
subyacente, las ideas sobre selección de carteras aparecidas originalmente en Markowitz (1952). Es
decir, permite formalizar matemáticamente el problema de la elección de la estrategia eficiente
compuesta por opciones europeas, dadas las expectativas sobre volatilidad y rendimiento del activo
subyacente Que hasta donde he podido comprobar. mediante una búsQueda exhaustiva en la literatura
126
.
Conclusiones
no esta planteado ni resuelto. En definitiva, permite resolver una serie de problemas en los que se
calculan, dadas las expectativas del inversor y del mercado sobre la volatilidad y rendimiento del
subyacente, la estrategia financiera, compuesta por opciones europeas sobre un único subyacente, que
minimiza la varianza condicionada del rendimiento de la estrategia, sujeta al cumplimiento de una
serie de restricciones. Los problemas de este tipo que se resuelven en la tesis son los siguientes:
a) Cálculo de la estrategia financiera que minimiza la varianza de su rendimiento
sujeta a que el inversor dispone de una determinada cantidad de dinero y exige un rendimiento de un
determinado tanto por ciento.
b) Cálculo de la estrategia financiera que minimiza la varianza de su rendimiento
sujeta a que el inversor dispone de una determinada cantidad de dinero y exige un rendimiento de un
determinado tanto por ciento, modelizando las expectativas del inversor sobre la volatilidad mediante
escenarios
c) Cálculo de la estrategia financiera que minimiza la varianza de su rendimiento
sujeta a que el inversor dispone de una determinada cantidad de dinero y exige un rendimiento de un
determinado tanto por ciento e impone objetivos sobre las sensibilidades de la estrategia esperadas en
un determinado instante de tiempo.
Hay que destacar que las soluciones teóricas obtenidas al resolver estos problemas, están en
concordancia con las estrategias que usualmente utilizan los traders en situaciones de mercado
similares.
Aparte de algunas extensiones inmediatas como la resolución de problemas similares a los
expuestos en el Punto 2 (con distintas restricciones, otro tipo de función objetivo, etc.), aparecen dos
cuestiones fundamentales a investigar en el futuro:
1
.-
Cálculo de la estrategia eficiente formada por opciones sobre distintos subyacentes.
2.- Generalización de este trabajo y del punto anterior permitiendo que las opciones puedan
ser americanas.
127
Apéndice 1: Resolución de la ecuación del calor
En el Capítulo 2, página 17, se vio que para resolver la ecuación de Black y Scholes por el
método de separación de variables, es necesario resolver la ecuación:
Dv_
—
_
—
2v
5
k—-
5 ,(x,t) e 43,L[x 9I~ (k >0)
st
v(x,0) = f(x), x e >O,14
v(0,t)
v(L,t)
=
(Ahí)
0,t >0
=
Esta ecuación es famosa en los libros de física y representa el modelo de variación de la temperatura
(y)
según la posición (x) y el tiempo (t) en una varilla de longitud L, cuyos extremos se mantienen
durante todo el tiempo
a temperatura constante O y cuya distribución inicial de
temperaturas en la
barra es f(x). La ecuación (A.l .1) esta resuelta en numerosos libros de fisica matemática (y. Churchill
(1963). Yíjonov y Samarski (1980), Yijonov, Samarski y Budak (1980), Weinberger (1992), etc.) y a
continuación se detalla su resolución según el libro de Churchill (1963).
Primeramente buscaremos una serie de funciones que satisfagan la ecuación diferencial:
2v
Dv
~
y las condiciones homogéneas v(O,t)
=
v(L,t)
5
=
(A.l.2)
O, y que todas esas funciones tengan la forma
especial:
v(x,t)=X(x)T(t),0=x=L,t=O.
(A.l3)
La sustitución de (A.1.3) en (A.l.2) produce:
X”
17’
X
kT
44.1.4)
El lado izquierdo de la ecuación (A. 1.4) es una fúnción solo de x, mientras que el segundo
miembro solo depende de t. Si t se mantiene constante en el lado derecho, entonces el primer
miembro,
—~,
debe permanecer constante aunque x varíe. Análogamente, si x se mantiene constante
en el lado izquierdo,
17’
—
permanecerá constante en el segundo cuando t varíe. En consecuencia, la
128
:
Apéndice 1: Resolución de la ecuación del calor
igualdad solamente podrá ser válida si cada una de las dos expresiones es la misma constante, que por
razones de comodidad designaremos por —2.. De esta manera, la ecuación (A.l.4) se convierte en:
xfl
1’
X
kT
la cual consta de las dos ecuacíones:
x”
-i-XX=O
y:
T’±XkT=O
Concentrémonos
primeramente en X(x).
Las condiciones homogéneas en los puntos extremos
determinan:
v(O,t)
=
X(O)T(t)
=
O, v(L,t)
X(L)T(t)
O.
Si T(t) es una función no trivial entonces la ecuación (Al .5) solo se verifica si X(O)
por lo tanto X(x) debe satisfacer el problema de valores de
(A.1.5)
X(L) = O,
contorno, también conocido por problema
de Sturm-Liouville
x’,+-,Vx=O
(~ái.6)
X(O)
=
X(L) = O
que tiene una solución no trivial si y solo si 2. es uno de los valores propios
22
nr
n~l,2,3,...
,
=
y que la función propia asociada con 2. es:
X0(x)=sin
mix
L
, n=l,2,3,...
el razonamiento que apoya estas dos últimas ecuaciones es el siguiente:
entonces la ecuación (A. 1.6) implica
-
Si 2.
=
O,
-
2.
=
—c~ 2
X(O)
=
<
~, X(x)
=
A coshax +
X(L) = O implican A
B
=
que
X(x)
O.
B sinh cix, y entonces las condiciones
0.
129
Apéndice 1: Resolución de la ecuación del calor
-
Si 2.
=
2
a
>-
0. X(x)
=
A cosctx + B sinax. y las condiciones X(0)
mt
implican A =0 y que a
—,
=
X(L) = O
para algún entero positivo n.
Entonces la ecuación T’ + 2. k 1 = O, puede reescribirse como
+
22
nit
kT~zO.
Una solución no trivial de la ecuación anterior es:
— —~
kt
T
0(t)=e
1
y por tanto:
22
bit
y 1(x,t)
=
fllt
sin—x
e
n
=
1,2,3,...
Mediante el principio de superposición se llega a que la solución a la ecuación (A. 1.1) es del tipo:
kt
v(x,t)
Icite
sin mr
x
L
“9-,’
Falta solamente aplicar la condición v(x,O)
=
f(x) , que implica:
mr
v(x,O) = ¿c~ sin—x
L
.
=
f(x)
pero esta es una serie de Fourier en senos de f(x) sobre el intervalo [0, L] una vez se escoja:
c~
=—
j. f(x)
~
L
Nótese, por último, que el estado asintótico es:
limv(x,t)
=
O
independientemente de la distribución inicial de temperaturas.
130
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
A.1 Definiciones preliminares
a) Contrato forward:
Contrato que obliga al comprador a comprar una cantidad determinada del activo de
referencia en una fecha (Y) y a un precio (K) especificado en el contrato. El vendedor del forward esta
obligado a vender en las condiciones establecidas contractualmente por las partes intervinientes.
Los ingresos netos en función del precio del activo de referencia (5) en t = Y serán:
-Comprador: g(S)
5
- K
-Vendedor: -g(S)
b) Opción de compra (Cali):
Es un contrato que proporciona a su poseedor <el comprador) el derecho (no la obligación) a
comprar un número determinado de acciones (activo subyacente), a un precio establecido (K), en
cualquier momento antes de una fecha determinada (T), o bien únicamente en esa fecha. El número de
acciones, la descripción de las mismas (clase y empresa), el precio de la ejecución del contrato y la
fecha hasta que el contrato tiene validez son las caracteristicas fundamentales del contrato.
El comprador tiene la alternativa de ejercer o no su derecho, mientras que el vendedor está
obligado a satisfacer el requerimiento del comprador.
Los ingresos netos en función del precio del activo subyacente en t
-Comprador: g(S) = max{S
—
=
T, serán:
K,OJ
-Vendedor: -g(S)
c) Opción de venta (Put):
Es un contrato que proporciona a su poseedor (el comprador) el derecho (no la obligación) a
vender un número determinado de acciones (activo subyacente), a un precio establecido, en cualquier
momento antes de una fecha determinada, o bien únicamente en esa fecha. El comprador de la opción
de venta tiene la alternativa de ejercer o no su derecho (vender), mientras que el vendedor está
obligado a satisfacer el requerimiento del comprador.
131
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
Los ingresos netos en función del precio del activo subyacente en t = 1, serán:
-Comprador: g(S) = max{K
—
S,O}
-Vendedor: -g(S)
A.2 Clases de opciones
Se Puede establecer distintas clasificaciones de las opciones según los diferentes aspectos
relativos a su operativa que se toman en consideración.
A.2.2.1 Según su naturaleza
a) Opción de compra o “Cali”
b) Opción de venta o “Put”
A.2.2.2 Según el periodo de ejercicio de la opción
a) Opción europea: Se denomina así a la opción que solo puede ejercitarse al vencimiento
del correspondiente contrato.
b) Opción americana: Se denomina así a la opción que se puede ejercitar en cualquier
momento de la duración del contrato.
A.2.2.3 Según la relación entre el precio de ejercicio y del subyacente
a) At the money: Adquieren esta denominación cuando el precio de ejercicio es igual al
precio de mercado del subyacente.
b) Out of the money: Se les denomina así cuando el precio de ejercicio es superior en la Cali e inferior
en la Put con respecto al precio de mercado del activo subyacente.
e) lii the money: Esta situación tiene lugar cuando el precio de ejercicio es inferior en la Cali y
superior en la Put con respecto al precio de mercado del activo subyacente.
Aunque existen otros tipos de clasificaciones también importantes, no se mencionan por no
ser necesarias para la comprensión de esta tesis.
A.2.3 Factores que determinan el precio de una opción
Las seis variables fundamentales que determinan el precio de una opción son:
1. Precio del activo al que se refiere la opción (S)
2. Precio de ejercicio de la opción (K)
132
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
3. Volatilidad del rendimiento del activo subyacente (a)
4. Tipo de interés libre de riesgo (r)
5. Dividendos del activo subyacente durante la vida de la opción (D0)
6. Tiempo hasta la última fecha de ejercicio de la opción (Y)
Como se demuestra en el capitulo introductorio, el precio de una opción europea que el día de
ejercicio garantiza una función de pagos g(S) es:
C(S, 1; r, a)
=
~
J~(Se
o)
•YZ)e~
2dz
A.2.4 Estrategias básicas compuestas por opciones y futuros
Combinado futuros, opciones CalI y opciones Put, se puede conseguir cualquier tipo de
función de pagos g(S) el día de ejercicio de la opción. Algunas de las funciones de pagos más usuales
se recogen en esta sección. Se mostrarán desde el punto de vista del comprador’, especificando como
se construyen y cual sería el ingreso neto el día de ejercicio. Al final del apéndice se muestra un
cuadro resumen que indica cuando comprar o vender dichas opciones.
-
Nombre de la estrategia: Cali
Como se construye: Comprar una CalI
Ingresos netos el día de ejercicio:
g(S>
‘Si el comprador tiene una función de pagos el día de ejercicio g(S), el vendedor tendrá una función de pagos
igual a -g(S)
133
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
2. Nombre de la estrategia: Put
Como se construye: Comprar una Put
Ingresos netos el día de ejercicio:
vis>
K
3. Nombre de la estrategia: Futuro
Como se construye: Comprar un futuro o comprar CalI y vender Put con el mismo precio de
ejercicio.
Ingresos netos el día de ejercicio:
o
K
$
-1<
134
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
4. Nombre de la estrategia: CalI Spread
Como se construye: Comprar CalI, vender CalI con precio de ejercicio mayor.
Ingresos netos el día de ejercicio:
O(s)
$
-K
5. Nombre de la estrategia: Put Spread
Como se construye: Comprar Put, vender Put con precio de ejercicio menor.
Ingresos netos el día de ejercicio:
-K
6. Nombre de la estrategia: Guts
Como se construye: Comprar Cali, comprar Put con precio de ejercicio mayor.
Ingresos netos el día de ejercicio:
135
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
7. Nombre de la estrategia: Two by one ratio CalI Spread
Como se construye: Vender CalI, comprar dos Calís con precio de ejercicio mayor.
Ingresos netos el día de ejercicio:
g(S~
s
8. Nombre de laestrategia: Two by one ratio Put Spread
Como se construye: Vender Cali, comprar dos Calís con precio de ejercicio mayor.
Ingresos netos el dia de ejercicio:
gis
9. Nombre de la estrategia: Butterfly
Como se construye: Comprar Put (o Cali), vender dos Puts (o Calís) con precio de ejercicio mayor,
comprar Put (o CalI) con precio de ejercicio igual al mayor de todos.
Ingresos netos el dia de ejercicio:
136
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
lO. Nombre de la estrategia: Straddle
Como se construye: Comprar Put, comprar CalI con igual precio de ejercicio.
Ingresos netos el día de ejercicio:
<si
o
II Nombre de la estrategia: Strangle
-
Como se construye: Comprar Put, comprar CalI con precio de ejercicio mayor.
Ingresos netos el día de ejercicio:
o
12. Nombre de la estrategia: Iron Butterfly
Como se construye: Comprar Straddle, vender Strangle.
Ingresos netos el día de ejercicio:
oro,
137
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
13. Nombre de la estrategia: Combo
Como se construye: Vender Cali, comprar Put con precio de ejercicio menor
Ingresos netos el día de ejercicio:
g<Oi
14. Nombre de la estrategia: Ladder
Como se construye: Comprar CalI, vender CalI con precio de ejercicio mayor, vender Cali con
precio de ejercicio aún mayor.
Ingresos netos el día de ejercicio:
ob
15. Nombre de la estrategia: Condor
Como se construye: Compra Put (o CalI), vender Put (o CalI) con precio de ejercicio mayor,
comprar Put (o Cali) a precio de ejercicio todavía mayor.
Ingresos netos el día de ejercicio:
O(S)
138
Apéndice 2: Aspectos básicos de las opciones y futuros
16. Nombre de la estrategia: Calendar Spread
Como se construye: Vender Put (o CalI), comprar Put (o CalI) con mayor tiempo de maduración
(esta última será vendida cuando expire la primera).
Ingresos netos el dia de ejercicio:
ob>
17. Nombre de la estrategia: Diagonal Calendar Spread
Como se construye: Vender Put (o Cali), comprar Put (o CalI) con mayor tiempo de maduración y
precio de ejercicio diferente (esta última será vendida cuando expire la primera).
Ingresos netos el día de ejercicio: Similar al anterior.
1 8. Nombre de la estrategia: Straddíe Calendar Spread
Como se construye: Vender Straddle, comprar Straddle con mayor tiempo de maduración (este
último será vendido cuando expire el primero).
Ingresos netos el día de ejercicio:
g(O>
139
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0-1
Apéndice 3: Resolución de la ecuación de Black y Seholes
Con la intención de que la tesis sea autocontenida, se procede a resolver la ecuación de
valoración de opciones propuesta por Black y Seholes en 1973.
Supongamos un determinado activo financiero, llamado acción, cuyo precio, 5, sigue el
proceso que evoluciona atendiendo a consideraciones tanto deterministas como aleatorias de acuerdo
con la ecuación diferencial estocástica:
dS~ =(log(m)—D0)
s
dt±a S,dB;
S~ >0
siendo B~ un movimiento estándar Browniano, en el ambiente propio de estos procesos estocásticos,
y donde log(m) y a son escalares estrictamente positivos y D0 un escalar no negativo que
representan respectivamente el rendimiento esperado, la volatilidad y los dividendos de la acción.
Junto al anterior se considera otro tipo de activo, llamado bono cuyo precio {x~ : t =0}
evoluciona exclusivamente de manera determinista a partir de la ecuación diferencial:
dw<
=w,rdt
es decir:
~i¼=v0e~
t>O
Sea (a(t),b(t»un vector cuya primera componente indica el número de acciones y la
segunda el número de bonos respectivamente de una determinada cadera en el instantet, t ejjO,Tj,
determinando la cartera:
C(S50t)=a(t)S,
-i-b(t)w5
-
De no haber extracción de fondos, la naturaleza de los coeficientes hace que la variación de la cadera
en el intervalo t y t-f-h sea:
—w<1t
a(t)(SVh —S5)+b(t)(w<±1,
para h suficientemente pequeño, que conduce a la expresión diferencial:
dC(S< ,t) = a(t)dS + b(t)dxji,, t c [o,T]
143
Apéndice 3: Resolución de la ecuacióa de Black y Scholes
conocida en la literatura como la propiedad de autofinanciación acumulativa (y. Duffie (1992)).
Claramente, nos interesamos por el proceso {C(SI ,t) : te
C(S0,T) =g(S0), donde g : R+
—>
[ojj}
con valor terminal
Res una función continua, que represente el precio de g(S0)
en cualquier instante de tiempo t e [O,T] y de tal forma que pueda ser replicado en todo momento
por la cartera de acciones y bonos (a(t),
b(t)).
Aplicando el lema de Ito tenemos que:
dC(85,t) = (C<(s~,t)+
y
1,
2C(StfldtsCíst\dB
(log(m)—D)S<C5(S~~t)±rjcrS1 sS~I~i)-I-a<SkS~/~.
A la vista de la propiedad de autofinanciación se tiene:
dC(S5 , t)
=
a(t)dS5 + b(t)dw~ = (a(t)(log(m)
—
D0 }S~ + b(t)w~ )dt + aS~dB1
con lo que la propiedad de descomposición única de los procesos de Ito (y. Sección SC Duffie (1992))
lleva a:
a(t)=C5(S<,t)
de donde:
C(S<,t) = C5(S5,t)S1 ±b(t)w5,
es decir:
xl”
obteniéndose la ecuación en derivadas parciales:
5C
DC
C(D)SDC!252
st
55
2
5S~
C(S,T) = g(S), 5 =O
Yeniendo en cuenta la fórmula de Feynman-Kac se resuelve la ED? anterior, dando como resultado:
C(S 0,1
—
t,r,a)
=
e 2ii
{g<s
í2~DoxT~t)+5
que determina el precio de una opción con valor terminal genérico g(S).
144
Referencias
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Political Economy
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Futuras Markets, 6, 15-31.
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Churchill, R., 1963. Fourier Series and Boundary Value Problems. McGraw-Hill.
Courtadon, 0., 1982. “A More Accurate Finite Difference Approximation for The Valuation of
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