Ejercicios propuestos (Series) - Jos Luis Quintero D vila

Ejercicios propuestos (Series)
Prof. José Luis Quintero
1. Establezca en cada caso si la sucesión converge o diverge y
encuentre el límite de las sucesiones convergentes:
∞
 n.e sen(n ) 
a.  2

 n + 10 n=1
b.
{ n + 1 − n}
∞
∞
n =1
 sen( n ) 
c. 

n n=1

d.
{n
2
}
∞
+ 3n − n n =1
e. {ln(n) − ln(n + 1)}n=1
∞
∞
 ln( π + en ) 
f. 

3n

n=1
∞
n2 
 2


 n −1 
g.  2
 
n
+
4

 


n=1
∞
 n 
h. 
2
 (ln(n)) n=1
∞
 (n + 2)2 (n + 2)2 
i. 
−
 Rta. −4
n
+
4
n

n=1
∞
n2 +1 

+
n
1



j. 

 diverge
n
−
1



n =1
∞
 2 − 3e −n 
k. 
Rta. 41
−n 
 8 + 5e n=1
∞
 n n 
l. 
 
 n + 1 n=1
∞
2. Dada la serie
∑
n =1
2
:
3n
a. Identifiquela como una serie geométrica y obtenga el valor
de su suma.
b. Transformela en una serie telescópica y obtenga el valor de
su suma.
Respuesta: la suma es igual a 1.
∞
3. Calcular la suma de la serie
∑
1 + 2n + 3n
.
5n
∞
3n + 2 + 2n −1
.
7n +1
n=2
4. Calcular la suma de la serie
∑
n=2
∞
5. Calcular la suma de la serie
∑
n =1
∞
6. Calcular la suma de la serie
∑
n =0
∞
7. Calcular la suma de
∑
n =1
∞
8. Calcular la suma de
∑
n =3
2n + 1
. Rta: 1.
n2 (n + 1)2
1
. Rta. 1/2 .
(n + 2)(n + 3)
2
.
n(n + 1)(n + 2)
 3

6
−
 n (n + 3)(n + 4)  .
5

∞
9. Expresar
∑ ln(ln(nn+).1ln() −nln(+ 1n))
como una serie telescópica y
n =2
1
calcular su suma. Rta. ln2
.
∞
10.Calcular la suma de la serie
∑
n =0
 3n
3n+1 


 1 + 2n − 1 + 2n+1  . Diverge


11.Usando el criterio de la integral, establezca la convergencia o
∞
divergencia de la serie
∑
3
n2e −n . Converge. Integral
1
3e
.
n =1
12.Usando el criterio de la integral, establezca la convergencia o
∞
divergencia de la serie
∑e
n
n
. Converge.
n =1
13.Aplicando el criterio del cociente, establecer la convergencia o
∞
divergencia de la serie
∑
n =1
1.3.5...( 2n − 1)
. Rta. Diverge.
n4
14.Aplicando el criterio del cociente, establecer la convergencia o
∞
divergencia de la serie
∑
n =1
nn
. Rta . Diverge.
n!
15.Estudie la convergencia de las siguientes series alternas:
∞
a.
∑
( −1)n
Rta. Converge condicionalmente
3n + 2
∑
( −1)n
Rta. Converge absolutamente
(3n + 2)2
∑
( −1)n+1(n + 2)
Rta. Converge condicionalmente
n2 + 5n + 6
n =1
∞
b.
n =1
∞
c.
n =1
16.Halle el radio y el intervalo de convergencia para cada serie de
potencias:
∞
a.
∑
n =1
∞
b.
Rta. [ −1,1)
∑ (−1) n x
n
n =0
∞
c.
xn
n
∑
n =0
2 n
( x − 3)n
3n
Rta. ( −1,1)
Rta. (0,6)
∞
d.
∑
n3
( x + 1)n Rta. ( −4,2)
n
3
∑
(2x − 1)n
n 4 + 16
∑
( x − 5)n
n. ln(n)
∑
(2n + 1) n
x
nn
∑
( −1)n
∑
3n 4n+1 x n
7n+1
7 7
Rta. ( − 12
, 12 )
∑
8n ( x − 1)n
nn
Rta. Converge para toda x
n =0
∞
e.
n =0
∞
f.
n =2
∞
g.
n =1
∞
h.
n =0
∞
i.
n =0
∞
j.
n =1
Rta. [0,1]
Rta. [4,6)
Rta. Converge para toda x
5n
( x − 2)n
n
2 +1
Rta. ( 85 , 12
)
5
17.Hallar el desarrollo de MacLaurin de f ( x ) = ln(1 + 2x 2 ) y
encuentre el intervalo de convergencia de la serie obtenida.
18.A partir de la serie geométrica y por cambios de variable
construya la serie de MacLaurin de las siguientes funciones
indicando su dominio de convergencia.
x
1
a. f ( x ) =
b. f ( x ) =
2
2
1− x
4x + 1
19.A partir de las series de e x y de senx construya las series de
1 − e−x
a. f ( x ) =
.
x
sen( x 2 )
b. f ( x ) =
.
x2
20.A partir de la serie geométrica y por derivación o integración,
halle las series de:
1
a. f ( x ) =
(1 − x )2
b. f ( x ) = arctg( x 2 )
21.Hallar el desarrollo en serie de potencias de x de la función
f ( x ) = x 2 sen( x 2 ) y determinar su intervalo de convergencia.
∞
Rta.
∑
n=0
( −1)n x 4(n+1)
converge para toda x
(2n + 1)!
22.Usando el desarrollo obtenido en el apartado anterior, calcular
∫
1
f(x)dx con un error menor que 10 −5 . Rta. 0.1821114
0
23.Determine la serie de MacLaurin para e − x
estimar
∫
1
2
y utilicela para
2
e − x dx hasta tres cifras decimales exactas.
0
3
24.Hallar el desarrollo de la serie de MacLaurin de f ( x ) = e − x y
utilicela para estimar la integral
∫
1
3
e − x dx con un error menor
0
−2
que 10 .
∞
Rta.
∑
n=0
( −1)n x 3n
n!
0.805
25.Obtenga el desarrollo de MacLaurin de la función
ex − e−x
f (x) =
y determinar su intervalo de convergencia.
2
26.Hallar el desarrollo en serie de potencias de x de la función
1
,
f ( x) =
(1 + x 3 )2
determinando su intervalo de convergencia.
∞
Rta.
∑ (−1)
n +1
nx 3(n−1) , − 1 < x < 1.
n =1
1/2
27.Usando el resultado anterior calcular
∫ f(x)dx , con un error
0
−4
menor que 10 . Rta. 0.4717
∫
28.Calcular con tres decimales exactos:
29.Calcular con un error menor que 0.03:
1 − cosx
dx Rta 0.239
x
0
1
∫
ln(1 + x)
dx .
x
0
Rta.0.83861
1
30.Encuentre una representación en serie de potencias de la
1 − cos x
función f ( x ) =
.
x
∞
Rta.
∑ (−1)
n +1
n =1
x n−1
(2n)!
31.Tomando en cuenta el ejercicio anterior, aproxime con una
exactitud de dos cifras decimales:
∫
1
f(x)dx . Rta.
0
23
48
.