ELECT-MODULO ASISTENCIA

Análisis espectral
Analizadores de espectros. Medidas de
modulación
Por Javier Martín
Denver Metrología
Electrónica
Desde los inicios de la radio, las
técnicas de modulación han jugado
un desempeñado un papel importante en las comunicaciones electrónicas. Señales de voz o datos
(baja frecuencia) se utilizan para
modular algunas de las características (normalmente la amplitud, la
frecuencia o la fase) de una señal
portadora (alta frecuencia). Mientras esto representa un uso intencionado de la modulación, muchas
veces nos encontramos con modulaciones parásitas como ruido de
fase a la salida de un oscilador o
una modulación residual de frecuencia en una señal modulada en
amplitud. Sean las modulaciones
intencionadas o no, el analizador de
espectros se puede usar para caracterizarlas y medirlas.
La portadora
Las técnicas de modulación
analógica empiezan a partir de una
portadora sinusoidal pura.
[E-1]
Donde:
A = Amplitud de la portadora
(valor de pico)
fc = Frecuencia de la portadora
θ = La fase de la portadora
Figura 1. En la modulación
de amplitud, la amplitud
de la portadora está
determinada por la señal
moduladora. (a) Señal
moduladora. (b) Portadora
modulada en amplitud o
señal modulada.
86
La portadora se puede modular
por medio de varias técnicas diferentes que se pueden clasificar en
dos categorías principales: modulación de amplitud y modulación angular. En la modulación en amplitud, la amplitud de la portadora varía con el tiempo. Del mismo modo,
en la modulación angular, es el coseno del ángulo el que varía con el
tiempo. La modulación angular
puede clasificar, a su vez, en modulación de frecuencia ó modulación
de fase dependiendo de la técnica
de modulación que se emplee.
Todas las técnicas de modulación conllevan un incremento del
ancho de banda ocupado por la
portadora mediante la expansión
de las bandas laterales en el dominio de la frecuencia. Inicial e idealmente, la portadora es una única línea espectral, infinitamente fina,
ocupando solamente una frecuencia. Cuando la portadora se modula, el ancho de banda aumenta dependiendo del tipo de modulación
y de la amplitud de la señal. Las
bandas laterales a ambos lados de
la portadora bien en la forma de
frecuencias discretas ó bien como
formas espectrales continuas (en
modulaciones no periódicas como
en señales de voz ó música).
Modulación de
amplitud
amplitud está siempre dentro del
rango de -1 y +1. Ac[1+am(t)] define la amplitud de la envolvente de
la portadora. Con estas restricciones
sobre a y m(t), la amplitud de pico
de la portadora está siempre dentro
del rango 0 – 2Ac Si en un sistema
de comunicaciones la amplitud de
la envolvente llegara a ser negativa,
es decir, menor que 0, se dice que la
señal está sobremodulada y no podría ser recuperada adecuadamente
en el receptor. La figura 1 muestra
una señal moduladora y la portadora modulada resultante.
Recolocando los términos de la
ecuación v(t) nos permite separar la
portadora y las bandas laterales de
modulación.
Dentro de los diferentes tipos
de modulación, la modulación de
amplitud ó AM es la más simple.
Una señal de AM se representa mediante la ecuación:
[E-2]
Donde:
Ac = Amplitud de la portadora
a = Índice de modulación (0≤a≥1)
m(t)= señal modulante normalizada
fc = Frecuencia de la portadora
La señal moduladora está normalizada, esto quiere decir que su
[E-3]
[E-4]
Donde vc(t) y vs(t) son la portadora y las bandas laterales respectivamente:
For1))))))
Transformando las expresiones
del dominio del tiempo al dominio
de la frecuencia,
[E-5]
La Transformada de Fourier de
vc(t) es un par de funciones delta en
±fc:
[E-6]
Aplicando la Transformada de
Fourier a vs(t):
[E-7]
• Noviembre 2006
Análisis espectral
Sustituyendo E-10b en E-3, obtenemos:
Tabla 1. Índice de
modulación y amplitud
relativa de la banda lateral.
[E-8]
De la ecuación E-8 se extrae
que las bandas laterales en el dominio de la frecuencia es el espectro
de la señal moduladora, M(f), centrada en ±fc (Figura 2b). Añadiendo Vs(f) a Vc(f) obtenemos V(f) que se
muestra en la figura 2c.
[E-11]
Usando la identidad trigonométrica:
[E-12]
[E-9]
Considerando la parte positiva
de frecuencia, se puede ver que el
ancho de banda ocupada por la señal modulada es el doble del ancho
de banda de la señal moduladora.
Esto nos da una relación matemática simple para el ancho de banda
de una señal de AM.
[E-13]
Y puesto que:
,
Dominio del Tiempo
Figura 4. La envolvente de
una señal de AM en el
dominio del tiempo se
puede utilizar para obtener
el índice de modulación.
[E-10]
Donde fmax es la frecuencia
máxima de la señal moduladora.
[E-14]
Por tanto v(t) está formada por
una frecuencia portadora con amplitud Ac y dos bandas laterales, una
a fc + fm y otra a fc - fm, ambas con
amplitudes aAc/2 (figura 3).
El índice de modulación, a,
puede variar desde 0 a 100%. Cuando a = 100 %, la amplitud de cada
banda lateral es A c/2, es decir, la
mitad de la amplitud de la portadora.
La tabla 1, tabula la amplitud
de las bandas laterales con respecto a la amplitud de la portadora
para varios índices de modulación.
Modulación Sinusoidal
Cuando la señal moduladora
está compuesta por una sinusoide:
[E-10b]
• Noviembre 2006
En el dominio del tiempo, como
se puede observar en un osciloscopio, una portadora con una señal
moduladora sinusoidal tendrá el aspecto como la que aparece en la figura 4. Los valores mínimos y máximos de la envolvente de la onda
son Vmin y Vmax. Los índices de modulación se calculan con estos dos parámetros.
El valor máximo de la envolvente sucede cuando la señal moduladora alcanza su máximo valor positivo, que es +1.
[E-15]
El valor mínimo de la envolvente ocurre cuando la señal modula-
Figura 2 (a) Espectro de la
señal moduladora. (b)
Espectro de la señal
moduladora centrada en fc.
(c) Espectro de la señal
modulada.
Figura 3. Espectro de una
modulación de AM con
una señal moduladora
sinusoidal.
87
Análisis espectral
Figura 6. El modo de zero
span de un analizador de
espectros se usa ver las
variaciones de amplitud de
una señal de AM.
dora alcanza su máximo valor negativo, que es -1.
[E-16]
Resolviendo a, a partir de las
dos ecuaciones obtenemos,
[E-17]
Medidas de AM
El analizador de espectros se
puede usar para caracterizar en el
dominio de la frecuencia una señal
modulada en amplitud. Los parámetros que se miden son la amplitud y
frecuencia de la portadora, la frecuencia de la moduladora y el índice de modulación.
La amplitud de la portadora y
su frecuencia se miden como cualquier otra componente espectral. El
índice de modulación se determina
midiendo la amplitud de la banda
lateral con respecto a la amplitud de
la portadora. Normalmente se expresa en dB. La tabla 1 o la siguiente expresión se puede usar para obtener el índice de modulación partiendo de la amplitud relativa de la
banda lateral.
[E-18]
Ejemplo 1
Se utiliza un analizador de espectros para medir de amplitud de
una señal modulada. La figura 5
muestra la medida. Determinar la
frecuencia modulada y el índice de
modulación de la señal.
Figura 5. Medida de una
señal modulada en
amplitud con analizador de
espectros..
88
La característica del delta marker se usan para medir las diferencias de amplitud y frecuencia entra
la portadora y las bandas laterales.
Las bandas laterales tienen una amplitud de -40 dB con respecto a la
amplitud de la portadora y están
desplazadas 10 kHz con respecto a
la frecuencia de la portadora. Por
tanto la frecuencia moduladora es
de 10 kHz. El índice de modulación
es:
[E-19]
Modo Zero Span
La mayoría de analizadores de
espectros proporcionan una función simple pero potente para
observar variaciones lentas en la
amplitud de señales.
El analizador de espectros se
configura para un frequency span
de cero con un tiempo de barrido
distinto de cero.
La frecuencia central se configura para igualar a la de la portadora
y el resolution bandwidth debe ser
lo suficientemente largo como para
que entren las bandas laterales.
De este modo, el analizador representa la amplitud de la señal con
respecto al tiempo dentro de las
limitaciones del detector y de los
anchos de banda de video y de
resolución.
Puesto que el tiempo de barrido mínimo es de unos 25 ms en los
analizadores más rápidos y el máximo en torno a los 300 ms, esta característica se puede usar para señales que varían rápidamente. La frecuencia de la moduladora más baja
que se puede observar es aproximadamente 1/(tiempo de barrido o
sweep time). Un ciclo ocupará toda
la pantalla.
La figura 6 muestra la medida
con zero span en un analizador de
espectros. Se puede observar la variación debida a la modulación de
amplitud en la señal.
El funcionamiento del analizador de espectros en zero span no se
limita a medidas de modulación; se
puede usar para caracterizar cualquier señal que varia lentamente en
amplitud.
Otros tipos de
modulación de
amplitud
La modulación AM estándar incluye una portadora y dos bandas
laterales que son simétricas alrededor de la portadora. Una considerable cantidad de potencia se emplea
para generar la portadora, que no
contiene información ya que no varía con la señal moduladora. Toda la
información de la señal moduladora reside en las bandas laterales. Ya
que la portadora no contiene información y consume mucha potencia,
hay ocasiones que se elimina, dando lugar a modulaciones denominadas de doble banda lateral (DSB),
también conocidas como modulaciones de AM con portadora suprimida ó modulaciones de doble banda lateral con portadora suprimida.
Las dos bandas laterales, superior e inferior contienen la misma información, por tanto son redundantes y una de ellas puede ser eliminada. A esta nueva modulación sin
una de sus bandas laterales se denomina modulación de banda lateral
única o SSB. Excepto en algunos casos, en las modulaciones SSB, la
portadora se suprime o se atenúa
enormemente. Si la banda lateral
que se suprime es la superior, la modulación resultante se denomina
• Noviembre 2006
Análisis espectral
modulación lateral inferior o LSB. En
cambio, si lo que se suprime es la
banda lateral inferior, la modulación se llama modulación lateral superior o USB. Comparadas con otras
formas de AM, la modulación SSB
es la que ocupa el ancho de banda
más estrecho necesitando la mitad
del ancho de banda de la modulación AM estándar y/o la modulación
DSB.
puesto que la frecuencia es la derivada de la fase con respecto al tiempo,
Modulación angular
Donde,
k f = Constante de desviación
de frecuencia
θ 0 = Fase inicial para t = 0
Mientras que en AM se modula la amplitud de la portadora, otra
opción es modular el ángulo o fase
de la portadora. Dependiendo de la
implementación, este tipo de modulación se denomina modulación de
frecuencia (FM) o modulación de
fase (PM). La diferencia entre FM y
PM es algunas veces muy sutil ya
que ambas formas de modulación
pueden se pueden obtener una a
partir de la otra variando la respuesta en frecuencia de la señal moduladora.
En la ecuación de la portadora
se introduce el término de variación
de fase con el tiempo:
[E-23]
Obtenemos,
[E-24]
puede utilizar en la implementación
de circuitos prácticos. Lo contrario
también es cierto, es decir, un circuito modulador de frecuencia se puede usar para obtener una portadora modulada en fase, derivando la
señal moduladora antes de introducirla en el modulador. Ya que las
operaciones de integración y diferenciación se pueden aproximar
mediante filtros paso-alto y pasobajo respectivamente, las diferencias
entre FM y PM recaen en la respuesta en frecuencia de los circuitos
moduladores.
Modulación Sinusoidal
Estableciendo la fase inicial a
cero, la portadora modulada en frecuencia tiene la forma:
Consideremos el caso importante donde la señal moduladora es
una sinusoide. En un sistema FM:
[E-25]
[E-26]
La figura 7 muestra la señal
moduladora, la portadora resultante modulada en fase y la portadora
resultante modulada en frecuencia.
Notar la diferencia entre el cambio
de fase de la portadora y el cambio
de la frecuencia.
La portadora modulada en frecuencia es:
[E-27]
[E-20]
Resolviendo la integral,
Donde θ(t) es la fase que varía
con el tiempo y que contiene la información de la moduladora.
Para modulaciones de fase, el
término de fase es directamente
proporcional a la señal moduladora:
[E-28]
[E-21]
Introduciendo el índice de modulación,
Donde,
kp = Constante de desviación
m(t) = Señal moduladora
Substituyendo E-21 en E-20:
[E-22]
Para modulaciones de frecuencia, la frecuencia debe ser proporcional a la señal moduladora. Y
• Noviembre 2006
La discusión matemática anterior se centró en la conversión de la
señal moduladora en un término de
fase para obtener una portadora
modulada en frecuencia. Por tanto,
integrando la señal moduladora en
un sistema de modulación de fase
es equivalente a modular en frecuencia la portadora. Esta técnica se
,tendremos:
Figura 7. La diferencia
entra la modulación de
frecuencia y de fase se
puede ver fácilmente
considerando el caso en el
que la señal moduladora es
una onda cuadrada. (a)
Señal moduladora. (b) La
portadora modulada en fase
tiene siempre la misma
frecuencia. (c) La
portadora modulada en
frecuencia cambia su
frecuencia cuando se
produce el escalón.
[E-29]
El índice de modulación se define,
[E-30]
89
Análisis espectral
Figura 8. La FM de banda
estrecha es muy similar a la
AM excepto en la fase. (a)
Espectro de una señal de
AM. (b) Espectro de una
señal de FM de banda
estrecha.
Donde ∆f es la desviación de
frecuencia en Hercios y puede ser
expresada,
Como se ha indicado anteriormente, una portadora modulada en
ángulo con una señal sinusoidal tiene la forma:
[E-31]
Modulación angular de
banda estrecha
La modulación angular se divide en dos tipos: de banda estrecha
(índice de modulación bajo) y de
banda ancha (índice de modulación
ancho). Consideremos primero el
caso de banda estrecha, cuando β
es pequeño (menor que 0.2 radianes).
[E-32]
Aplicando la identidad:
[E-36]
tendremos,
[E-33]
Para pequeños β,
, y
con lo que,
[E-34]
La expresión E-34 se puede
descomponer en sus líneas espectrales aplicando la propiedad:
Figura 10. Una medida
del espectro de una señal de
FM de banda ancha con
numerosas bandas laterales
especiadas en múltiplos de
la frecuencia moduladora..
90
[E-35]
La expresión E-36 se parece a la
fórmula de la modulación de AM.
Exactamente igual que en las modulaciones de AM, la modulación de
FM de banda estrecha tiene bandas
laterales a ± fm de la portadora. Hay
una diferencia sutil entre AM y FM
de banda estrecha y es que la fase
de la banda lateral inferior (fc – fm)
está desfasada 180 grados como
indica el signo menos del término
(figura 8). Si la información de fase
no está disponible (como sucede en
la mayor parte de los analizadores
de espectros) las dos tipos de modulaciones no se pueden distinguir en
el dominio de frecuencia.
Modulación angular de
banda ancha
[E-37]
Las matemáticas necesarias
para expandir esta ecuación en componentes de frecuencia individuales
es tediosa y no puede ser resuelta
de una forma finita. Sin embargo, se
puede desarrollar en una serie de sinusoides con funciones de Bessel
de primer orden como coeficientes
(ver desarrollo en la figura 9)
Aunque las funciones de Bessel
no se pueden resolver de una forma
finita, se han tabulado; un pequeño
conjunto de estas funciones se dan
en la tabla 2. Examinando la ecuación E-38 se observa que las componentes espectrales están situadas a
la frecuencia de la portadora y a
múltiplos de la frecuencia de la moduladora alejándose de la portadora.
Uno podría pensar en una señal
de FM como en una portadora que
se va moviendo de forma continua
hacia delante y hacia atrás de acuerdo a la señal moduladora. Pero el
efecto real para modulaciones sinusoidales son bandas laterales discretas espaciadas cada fm. Teóricamente, el número de bandas laterales se extiende hacia el infinito. En la
práctica, las bandas laterales van
decreciendo en amplitud a medida
que se alejan de la portadora, llegando a un punto en el que son suficientemente pequeñas para ser ignoradas.
En aquellos casos en los que el
índice de modulación es grande, la
modulación angular se denomina
de banda ancha.
Como su propio nombre indica,
en el dominio de la frecuencia, la
señal ocupa un mayor ancho de
banda que en el caso de banda
estrecha.
• Noviembre 2006
Análisis espectral
[E-38] Donde Jn(β) es la función de Bessel de orden n, evaluada en β.
Regla de Carson
Con una sola frecuencia en la
señal moduladora, la tabla de funciones de Bessel se puede utilizar
para obtener el espectro exacto de la
señal modulada y de ahí deducir su
ancho de banda. Con múltiples frecuencias en la señal moduladora,
como en modulaciones de voz, el
análisis se vuelve rápidamente inmanejable. No obstante, para estimar
el ancho de banda de una señal modulada en frecuencia se puede la
regla de Carson.
laterales estarán espaciadas en múltiplos de 5 kHz con respecto a la
portadora. La tabla 3 muestra los siguientes coeficientes para la bandas
laterales para un índice de modulación = 2.
Medidas de FM
[E-39]
Recordar que ∆f es la desviación de frecuencia de pico y fm es la
frecuencia moduladora. Para el caso
de un único tono, fm es la frecuencia del tono. Para señales moduladoras multitono, fm es la frecuencia
más alta.
Ejemplo 2
Determinar el espectro de una
portadora de 10 MHz modulada
por una señal de 5 kHz con una
desviación de frecuencia de 10 kHz.
El índice de modulación será
β=fm/fm=10 KHz / 5 kHz=2. Puesto
que la señal moduladora tiene una
frecuencia de 5 kHz, las bandas
• Noviembre 2006
La desviación de frecuencia de
un transmisor de radio ó generador
de señal se puede determinar mediante esta técnica denominada
método de nulos. Se escoge una señal moduladora de manera que el
nivel de desviación deseado produzca un nulo en la frecuencia de la
portadora. La salida se monitoriza
con un analizador de espectros.
Puesto que los nulos de portadora ocurren a muchos valores diferentes del índice de modulación, es
importante el nulo de portadora
correcta. Normalmente, la cantidad
de desviación se establece a cero
para posteriormente ir gradualmente aumentando su valor mientras se van anotando los nulos de
portadora.
Las componentes espectrales
individuales de una señal de FM se
pueden medir directamente con un
analizador de espectros en la que la
frecuencia y la amplitud de las líneas
espectrales se pueden determinar
en valor absoluto o relativo a la portadora. La medida de la desviación
de frecuencia es más complicado.
Método «Nulos de Portadora»
La línea espectral de la portadora de una señal de FM (con modulación sinusoidal) desaparece para
ciertos valores de β. Estos puntos
nulos de portadora se listan en la
tabla 4.
Figura 9. Desarrollo en
serie de Bessel de la
Ecuación 37
Tabla 2. Funciones de
Bessel de primer orden
Jn(β).
Tabla 4. Tabla de Nulos de
Portadora en FM.
Ejemplo 3
Se ajusta un generador para
que su desviación de FM sea de 5
kHz. ¿Qué frecuencia debería tener
la señal moduladora para que el primer nulo se produzca a esta desviación de frecuencia?
El primer nulo ocurre a:
Tabla 3. Coeficientes para
las bandas laterales para un
indice de modulación =2
AM y FM combinada
En muchos circuitos de alta frecuencia, las señales pueden tener
modulaciones de amplitud y/o modulaciones de FM (ó fase) parásitas.
Cuando aparecen diferentes tipos
de modulación simultáneamente,
las medidas pueden resultar confusas.
91
Análisis espectral
Ejemplo 4
Figura 11. Modulación
AM, FM combinada.
[E-40]
[E-41]
Recordar que la señal de AM y
la de modulación angular de banda
estrecha son idénticas excepto por la
fase de la banda lateral inferior.
Una portadora que tiene simultáneamente AM y FM de banda
estrecha se puede modelar mediante las ecuaciones de AM y FM de
banda estrecha, ecuaciones 14 y
36 y se asume que la interacción
de estas dos señales no genera
nuevos componentes de frecuencia
(fig. 11).
Figura 12. Señales simultáneas de AM y FM generan
modulaciones que son
asimétricas en el dominio
de la frecuencia. (a) Espectro de una señal de AM.
(b) Espectro de una señal
de AM de banda estrecha.
(c) Cancelación perfecta de
la BL inferior debido a
AM y FM simultánea.
(d) Cancelación parcial de
la BL inferior.
92
Si a = β, se cancela la banda lateral inferior, por tanto:
En este análisis se han hecho
varias suposiciones.
• Las fuentes de modulación se han
supuesto que son las mismas.
• No hay diferencia de fase entre las
dos modulaciones.
• Los dos índices de modulación
son iguales.
Estas condiciones raramente se
cumplen en la práctica y las cancelaciones nunca se completarán. Sin
embargo, es fácil encontrar cancelaciones parciales (ver figura 12) con
bandas laterales que no son simétricas.
El nivel de la portadora de una
señal modulada en amplitud y frecuencia es 0.1V.
La amplitud de la banda lateral
superior es de 0.05V y la amplitud de la banda lateral inferior de
0.02V.
Estimar los índices de modulación de AM y FM.
El nivel de la banda lateral superior es mayor que el de la banda
lateral inferior, de manera que representa la suma de las bandas laterales de AM y FM.
Ac(a+β)=0.05, a+β=0.05/0.1=0.5
El nivel de la banda lateral inferior es más pequeño de manera que
representa la resta de las bandas laterales de AM y FM.
Ac(a-β)=0.02, a-β=0.02/0.1=0.2
Resolviendo, obtenemos que:
a = 0.035 y
β = 0.15
Los dispositivos que limitan la
amplitud de una señal como
los mezcladores, suelen convertir
modulaciones de amplitud en en
modulaciones de fase.
Con frecuencia, solamente una
parte de la Amplitud Modulada se
convierte a Phase Modulada, generando una señal combinada AM/PM
a la salida del dispositivo.
En el dominio de la frecuencia,
produce un espectro de banda lateral única, ó lo que es más probable,
un espectro con bandas laterales
asimétricas.
Bibliografia
Agilent Technologies, “Spectrum Analysis Amplitude and Frequency Modulation” Application
Note 150-1. ❏
• Noviembre 2006