Espín del electrón

EL ESPÍN
Física Cuántica III – Facultad de Física (USC)
1. El efecto Zeeman
Para comenzar vamos a hablar sobre el efecto Zeeman. Para esto, es necesario
introducir el concepto de estructura fina*. La corrección de estructura fina se basa
en la existencia de multiplicidad en las líneas atómicas. Fue predicho por Lorentz
en 1895, un año después fue confirmado por Zeeman.
En un campo magnético, el estado cuántico ‘n’ se desdobla en varios subastados
que dependen de los números cuánticos m l: este fenómeno se denomina efecto
Zeeman y origina la multiplicidad de las líneas del espectro atómico, cuyo
espaciamiento depende de la intensidad del campo.
 Efecto Zeeman normal: Consiste en el desdoblamiento de una línea de
una línea espectral ν0 en tres componentes de frecuencias ν 1, ν2, ν3. Esto
fue lo que observó Zeeman en 1896: que se formaba un “triplete” de una
única línea espectral, tal como mostramos en la siguiente figura:
 Efecto Zeeman anómalo: En contradicción con esta teórica atómica
clásica, muchas veces en vez de observarse este triplete se podían
observar 4,6 ó más líneas de tal forma que:
Desde el punto de vista clásico sólo se puede explicar el efecto Zeeman normal,
sin embargo, la Mecánica Cuántica explica ambos efectos. Se pudieron explicar
todas las líneas del efecto Zeeman tanto normal como anómalo. Para ello, se
empleó la ecuación de Scrödinger y se obtuvo que la energía de los electrones
depende únicamente de los números cuánticos principal y azimutal. A partir de
estos números y dependiendo exclusivamente del azimutal, nace el tercer
número cuántico al que se llama “magnético” y cuya degeneración es dada por
la ecuación (2l + 1). El resultado de esta ecuación indica cuantos orbitales tenía
ese subnivel energético, siendo esos orbitales las líneas que se observaban
como subdivisiones en cada línea espectral.
*Véase apartado 4) Acoplamiento espín-orbita
2. Momento dipolar magnético. Factor giromagnético
 Concepto primitivo de Bohr o semiclásico de momento (dipolar) magnético
Aunque su origen es claramente cuántico, el momento magnético orbital atómico
puede ser deducido empleando el modelo de Bohr o semiclásico.
Sea un electrón de masa m y carga q, que se mueve a una velocidad v siguiendo
una órbita de Bohr de radio r. Su momento angular orbital viene dado por:
L  mvr        0,1,2.... .


Clásicamente, el momento magnético de la espira es   I  A , producto del área
por la intensidad de corriente. La intensidad de la carga por unidad de tiempo
(I=q/T). Con esto, el momento magnético que debe asociarse al electrón por su
movimiento orbital vale:
q
qv
1
q
2
2
  I  A  (  r ) 
(  r )  qvr   
L
T
2r
2
2m
Introduciendo el valor del momento angular predicho por Bohr:
 e

    B     0,1,2...
2m
donde se ha considerado que la carga del electrón es negativa, y hemos
introducido el factor μB denominado magnetón de Bohr, que relaciona el número
cuántico orbital con el momento magnético orbital del electrón.
Con esto se deduce que la existencia del momento angular implica la existencia
de un momento dipolar magnético, y como aquél se encuentra cuantizado, los
valores del momento magnético de los átomos también lo estarán. Además la
relación anterior, entre el momento magnético y el momento angular es correcta
incluso para los momentos magnéticos dipolares originados por el movimiento
orbital (l) de los electrones, a pesar de haber sido obtenidas clásicamente.
Para el caso del momento angular intrínseco o espín (s) la relación correcta que
da la Mecánica Cuántica es 2µB.
Para introducir el concepto actual o cuántico, es necesario antes introducir el
factor giromagnético, ya que será necesario para la explicación.
 Factor giromagnético (g-factor):
El factor giromagnético (g-factor) se encuentra asociado al espín del electrón. Se
trata de una cantidad adimensional que caracteriza el momento magnético y la
relación giromagnética de una partícula o núcleo.
Básicamente se trata de una constante de proporcionalidad que relaciona el
observable momento magnético (μ) de una partícula y la unidad cuántica
fundamental magnética apropiada, por lo general el magnetón de Bohr o
magnetón nuclear.
Para el caso que nos interesa en este caso, que es el del electrón, existen tres
factores giromagnéticos asociados con los tres momentos magnéticos del
electrón.
 Factor giromagnético asociado al espín del electrón
El factor giromagnético de espín del electrón se define como:
donde μS es el momento magnético total resultante de la rotación de un electrón,
S es su omento angular de espín, y μB es la magnetón de Bohr.
En la física atómica, el espín del electrón factor g se define a menudo como el
valor absoluto o negativo de ge:
La componente z del momento magnético se transforma entonces:
El valor gS (factor giromagnético de espín) valor aproximadamente igual a
2.002319 con muy buena precisión.
 Factor giromagnético asociado al momento angular orbital
En segundo lugar, el factor giromagnético de orbital, gL, se define como:
donde μL es el momento magnético total del momento angular orbital de un
electrón, L es la magnitud de su momento angular orbital, y μ B es el magnetón
de Bohr. El valor de gL es exactamente igual a 1 (argumento M.C). Para un
electrón en un orbital con un número cuántico magnético ml, la componente z del
momento angular orbital es:
= μB*ml (gL=1)
 Factor giromagnético asociado al momento angular total (Landé)
Para terminar vamos a definir el factor gJ de Landé (1921):
donde μ es el momento magnético total resultante de giro y el momento angular
orbital de un electrón, J = L+S es su momento angular total y μB es el magnetón
de Bohr. El valor de gJ está relacionado con gL y gS mediante un argumento de
la Mecánica Cuántica.
 Concepto actual o cuántico de momento (dipolar) magnético
En este caso este momento angular está asociado con un número cuántico S tal
que (único valor de S para el electrón es ½):
3
S  s( s  1) 

2

   
El momento magnético electrónico es, cuánticamente:   
L
 2m 
donde L=2π·mvr. Tengamos ahora en cuenta la relación:
donde gL es el factor giromagnético orbital y μ b el magnetón de Bohr. Con esto
g  

nos queda que el momento dipolar magnético:  L   L B L .

Y como L  L(  1) nos queda que, finalmente:
Donde μL es el momento dipolar magnético cuántico
.
3. Experimento de Einstein-de Haas
El efecto Einstein-de Haas es un fenómeno físico explicado por Albert Einstein y
Wander Johannes de Haas a mediados de la década de 1910, que supone una
relación entre el magnetismo, momento angular y el espín de las partículas
elementales.
El efecto corresponde a la rotación mecánica que se induce en un material
ferromagnético (de forma cilíndrica y originalmente en reposo), suspendido con
la ayuda de una cuerda muy fina dentro de una bobina, debido a la existencia de
una corriente eléctrica a través de la bobina. A esta rotación mecánica del
material ferromagnético se le asocia un momento angular mecánico, que, por la
ley de conservación del momento angular, se tiene que compensar por un
momento angular de igual magnitud y sentido contrario dentro del propio material
ferromagnético. Teniendo en cuenta el hecho de que un campo magnético
externo, aquí generado por la conducción de corriente eléctrica a través de la
bobina, conduce a la magnetización del espín del electrones en el material (o a
la reversión de espines de los electrones en un material ferromagnético ya
magnetizado, siempre que la dirección de la corriente eléctrica aplicada se elija
apropiadamente).
El efecto Einstein-de Haas demuestra que el momento angular de espín es de la
misma naturaleza que el momento angular de los cuerpos giratorios como se
concibe en la Mecánica Clásica. Esto es de gran importancia, ya que espín del
electrón, al estar cuantificado, no se puede describir en el marco de la Mecánica
Clásica, sino que hay que recurrir a la Física Cuántica.
 Fallo del experimento de Einstein-de Haas:
En el experimento de Einstein-de Haas se trataba de demostrar que el factor
giromagnético de Landé, que previamente hemos introducido, tenía valor unidad
como de la teoría se deducía. Sin embargo, no se llegó al resultado esperado,
sino que se llegó a la conclusión de que el factor giromagnético de Landé tenía
un valor de aproximadamente dos. Se necesitan argumentos de la
Electrodinámica Cuántica para obtener el valor exacto.
A continuación, un pequeño esquema del montaje experimental correspondiente
al experimento comentado:
4. Acoplamiento Espín-Orbita
La existencia de los momentos magnéticos de espín y orbital del electrón
inevitablemente lleva a su interacción mutua. Esta interacción se denomina
interacción espín-órbita. El movimiento orbital aparente del núcleo genera un
campo magnético en la posición del electrón, y el momento del espín del electrón
adquiere energía magnética: una especie de efecto Zeeman interno.
El desdoblamiento de las líneas espectrales (la estructura fina, de la que ya
hablamos antes muy brevemente) se origina por la interacción magnética entre
el espín y el momento angular orbital: lo que denominamos el acoplamiento
espín–orbita. Se intenta ilustrar en la siguiente figura:
Dependiendo de la orientación de su vector de espín, la energía de un electrón
en un determinado estado cuántico, será mayor o menor (por un factor μ BB) que
su energía en ausencia de dicho acoplamiento espín-órbita
Esto tiene como consecuencia el desdoblamiento de todos los estados cuánticos
(excepto el estado S) y, por tanto, el desdoblamiento de cada línea espectral en
dos componentes, dando lugar a la corrección de estructura fina que
adelantamos para poder comentar el efecto Zeeman anómalo.
El acoplamiento espín-orbita habitualmente lo encontramos cuando en un ion, un
átomo o una molécula, además de electrones desparejados (que aportan
momento magnético de espín) tenemos una configuración electrónica con
degeneración orbital. En estos casos, coexiste la interacción electrostática
(repulsión de Coulomb) con la magnética (interacción espín-órbita).
La interacción espín-órbita así considerada está directamente relacionada con el
desdoblamiento a campo nulo y con el factor g de Landé.
5. Experimento de Stern-Gerlach
En 1921, los modelos cuánticos de Sommerfeld y Debye predecían que en un
campo magnético la órbita del electrón de valencia sólo podía asumir ciertas
orientaciones fijas específicas; es lo que en aquellos tiempos se llamaba
"cuantización espacial". Nadie se explicaba cómo podía ser posible que las
órbitas de valencia de los átomos, orientadas en principio al azar en todas las
direcciones posibles, se alineasen instantáneamente, y sin gasto de energía, al
aplicarles un campo magnético, y pudieran mantenerse inalteradas pese a la
acción del campo magnético. Por eso la mayor parte de los físicos de la época
pensaban que la teoría cuántica era sólo un artificio teórico que reproducía una
realidad física desconocida más profunda.
El experimento de Stern y Gerlach es un famoso experimento sobre la deflexión
de partículas. Con él se llegó a la conclusión de que los electrones y átomos
tienen propiedades cuánticas intrínsecas, que las medidas afectan a las
propiedades de las partículas medidas y que los estados cuánticos son
necesariamente descritos por medio de números complejos.
Stern se dio cuenta de que, de acuerdo con la cuantización espacial, sólo eran
posibles dos orientaciones para la órbita del electrón, ambas perpendiculares a
la dirección del campo magnético, pero girando en sentidos opuestos. La
deflexión de cada átomo depende del sentido de giro del electrón, así que, si la
teoría cuántica era correcta, la mitad de los átomos se desviarían hacia un lado,
y la otra mitad hacia el lado opuesto, y no quedaría ninguno en la trayectoria
original del haz.
Stern y Gerlach tardaron más de un año en poner a punto el dispositivo
experimental. En un horno se calentaba plata a unos 1000 ºC. Los átomos
desprendidos por evaporación sólo podían escapar del horno por dos aberturas
sucesivas de 30 micras de anchura, lo que aseguraba que formaban un haz muy
estrecho y que todos se movían en la misma dirección. El haz atravesaba
entonces un campo magnético no homogéneo de una décima de Tesla con una
variación de diez Teslas por centímetro generado por un imán de tres metros y
medio de longitud, antes de chocar con una placa colectora, donde la posición
de los átomos de plata depositados indicaría su trayectoria. Y todo esto, al vacío,
para evitar que los átomos de plata chocasen contra las moléculas del aire
durante su recorrido. Con este montaje, la separación esperada de los haces
resultantes en la placa colectora era de sólo 0,2 mm, por lo que los aparatos
debían estar alineados con una precisión de 0,01 mm. Tras problemas técnicos,
finalmente fue Gerlach quien consiguió observar la división del haz.
Veamos un pequeño esquema del montaje experimental del experimento en la
siguiente imagen:
Stern y Gerlach consiguieron determinar que el momento magnético del átomo
de plata era el predicho por el modelo de Bohr, con una precisión del 10%. La
conclusión del experimento es que los momentos magnéticos (y por lo tanto los
espines) sólo pueden tener dos orientaciones determinadas en el espacio. Con
este experimento, la Física Cuántica pasó, de ser un conjunto de recetas que
trataba de explicar el extraño mundo microscópico, a ser una verdadera teoría
física, capaz de hacer predicciones que eran verificadas experimentalmente.
Sin embargo, no podemos terminar aquí la historia de este famoso experimento
que cambió el curso de la Física. En 1927, Ronald Fraser, uno de los estudiantes
posdoctorales de Stern, recalculó el momento magnético del átomo de plata, que
resultó ser nulo. Esto significaba que el haz de plata del experimento no debería
haberse dividido; el campo magnético no podía afectarlo de ningún modo. Varios
físicos teóricos habían propuesto una nueva propiedad, esencialmente cuántica,
para el electrón: el espín. El espín, una especie de rotación intrínseca de las
partículas elementales (una “especie” ya que no se trata de una rotación real). El
espín, como otras propiedades cuánticas, está cuantizado: en el caso del
electrón, sólo puede tener dos valores, que en ciertas unidades son +1/2 y -1/2.
El espín, como todo giro de una partícula con carga eléctrica, contribuye al
momento magnético; así pues, Fraser llegó a la conclusión de que no era el
momento magnético orbital, sino el de espín, el responsable de la división de los
haces en el experimento de Stern y Gerlach. Sin darse cuenta, Stern y Gerlach
habían descubierto el espín tres años antes de que su existencia fuera propuesta.
Hoy en día, casi todos los libros de Física afirman que el experimento de Stern y
Gerlach demostró la existencia del espín del electrón, pero en realidad esto no
se supo hasta cinco años después.
A continuación en el siguiente y último apartado, vamos a profundizar más en el
tema del espín, en especial el del electrón, para tratar de comprenderlo.
6. El Espín
Hemos llegado, tras comentar todos estos experimentos y efectos, al punto
principal de este trabajo, que consiste en tratar de definir el espín y entender sus
propiedades lo mejor posible de acuerdo a los conocimientos previos de los que
hemos tratado.
 Definimos el espín como un momento angular intrínseco alrededor de su
propio eje que, de valor fijo, que poseen las partículas subatómicas. El espín
de una partícula está cuantizado y siempre es múltiplo entero de ħ/2. La
magnitud total del espín es única para cada tipo de partícula elemental, en
concreto viene dada por S  s(s  1) .
Es difícil imaginar cómo se podría obtener una comprensión del mundo de los
átomos y las partículas subatómicas sin pensar en unos minúsculos sistemas
solares y trompos, pero con los avances en Física Nuclear y de Partículas muy
pronto se hizo evidente que hay una gran cantidad de propiedades que son
imposibles de explicar si tratamos de se adhieren a estas ideas simples. De
hecho, el espín es algo muy, muy extraño: no se parece a nada que hayamos
podido observar con la vista.
Con el espín sabemos algo sobre la simetría de las partículas: Una partícula con
espín cero se comporta como un punto: se ve de la misma manera,
independientemente de la dirección desde la que se mire. Algo que tenga una
simetría de 360º y que después de una rotación completa se sitúe en el mismo
estado inicial, es una partícula de espín 1. Una partícula de espín 2 se sitúa en el
mismo estado después de una rotación de 180º. Para tratar de comprender esto,
vamos a basarnos en un ejemplo cotidiano como puede ser una baraja francesa
(de póker). La carta de la izquierda podría ser la partícula con espín-1 (para
recuperar el estado inicial hemos de darle una vuelta completa) y la de la
derecha, la partícula de espín-2 (es la misma carta la veamos por arriba o por
abajo)
El electrón es una partícula de espín ½, y ahora las cosas se vuelven, como ya
comentamos, muy extrañas: una partícula de espín ½ necesita dos rotaciones
completas (2x360 =720°) encontrarse de nuevo en el estado inicial. No hay nada
en el mundo macroscópico que tenga una simetría de estas características. El
sentido común nos dice que algo así no puede existir, que simplemente es
imposible. Actualmente es muy fácil demostrar en el laboratorio que las cosas
suceden de esta manera, por muy extraña e inimaginable que nos parezca. Esta
simetría especial, además, no supone ninguna dificultad matemática y se formula
mediante matrices de Pauli:
En mecánica cuántica el espín de una partícula se representa como un operador
sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita de dimensión 2 s+1 que viene
dado por:
.
Para el electrón que, como dijimos, tiene espín ½ existen dos autoestados
posibles que se denominan up/down o flip/flop, respectivamente:
Con la imagen presentada a continuación se tratan de representar estos dos
autoestados posibles del espín del electrón y con ella cerramos este trabajo: