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PRUEBA DE HIPÓTESIS
El proceso de estimación de parámetros, analizado en el fascículo
anterior y las pruebas de hipótesis son los temas medulares de la
estadística inferencial.
Una prueba de hipótesis inicia con una suposición, denominada
hipótesis, que hacemos en torno a un parámetro de la población, por
ejemplo:
•
El costo de una computadora portátil es de $12,000
•
El salario de los profesores de una secundaria es de por lo menos
$ 6,000
•
El porcentaje de votantes que apoyan a un candidato es de 37%.
•
Las pastillas Halls tienen un contenido neto de 34gr.
Prueba de Hipótesis
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Después
reunimos
estadísticos
de
la
datos
muestra
muestrales,
y
nos
calculamos
servimos
de
los
esta
información para decidir la probabilidad de que el supuesto
parámetro de la población sea correcto. Pongamos el caso
del ejemplo de las pastillas Alls,
“suponemos” que el
contenido neto es correcto porque es lo que marca la
etiqueta de ese producto y por lo tanto el valor de la media
de la población de todo un lote de la producción. Para
verificar la validez de nuestra suposición, obtenemos datos
de una muestra representativa del lote de producción y determinamos
la diferencia entre el valor supuesto y el valor real de la media muestral.
A continuación juzgamos si la diferencia es significativa. Cuanto menor
sea la diferencia, mayores probabilidades habrá de que sea correcto el
valor supuesto de la media poblacional. Y a una diferencia más amplia
corresponderá una probabilidad menor, figura 1
Figura 1. Diferencias entre el supuesto parámetro poblacional y sus estadísticos
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Desgraciadamente no sabemos qué tan grande
debe ser la diferencia entre el supuesto parámetro
de la población y el estadístico muestral para que
automáticamente rechacemos la hipótesis, ni que
tan pequeña debe ser esa diferencia para que de
inmediato la aceptemos. Por esta razón debemos
hacer una prueba de hipótesis que nos ayude en la
toma de decisiones.
“Un método sistemático de evaluar creencias tentativas sobre la realidad
se llama prueba de hipótesis; requiere de la confrontación de
creencias con evidencia y decidir, en vista de esta evidencia, si dichas
creencias se pueden conservar como razonables o deben desecharse por
insostenibles”. 1
Supongamos que el salario de los docentes de una
secundaria es de $6000 pesos mensuales. ¿Cómo
podremos probar la validez de esta hipótesis? Al
aplicar los métodos de muestreo anteriormente
estudiados, calculamos el salario de una muestra
de los profesores. Si encontramos que el estadístico muestral resultó ser
de $ 5 880 pesos, seguramente aceptaremos la suposición anterior.
Pero si el estadístico muestral fuera de $ 4 600 pesos, rechazaríamos la
suposición
por
considerada
falsa.
Los
dos
resultados
podemos
interpretados recurriendo al sentido común.
1
Kohler, Heinz. Estadística para Negocios y Economía, ed.CECSA,
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Por otro lado si el estadístico muestral revela un salario de $5900 pesos,
este valor es relativamente cercano a $6000 pesos. Pero, ¿está lo
suficientemente cerca como para que aceptemos la suposición? Si la
aceptemos o rechacemos, no podemos tener la seguridad absoluta de
que nuestra decisión sea correcta; por tanto, tenemos que aprender a
afrontar la incertidumbre en la toma de decisiones. No podemos aceptar
ni rechazar una hipótesis referente a un parámetro de la población por
sentido común, debemos decidir con objetividad, basándonos en la
información de la muestra, si aceptamos o rechazamos una suposición.
TIPOS DE HIPOTESIS
Hipótesis nula
Al ser
un supuesto se habla de una Hipótesis estadística, y al
comprobarla, estamos hablando de una prueba de hipótesis. Por lo tanto
una proposición adelantada tentativamente como una verdad posible es
llamada hipótesis. En una prueba de hipótesis, debemos de formular el
supuesto valor del parámetro de la población antes de hacer el
muestreo. La suposición que deseamos probar recibe el nombre de
hipótesis nula
y se representa con el símbolo
"Ho:” y se interpreta
como: la hipótesis nula establece. Y podemos decir que es una
declaración tentativa de que el parámetro de la población es igual a un
valor específico e implica la idea de que no hay diferencia entre el
supuesto valor del parámetro poblacional y el estadístico muestral de
prueba.
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Supongamos que queremos probar la hipótesis de que la media de la
población de las pastillas Halls tienen un contenido neto de 34gr.
Podríamos representarla del modo siguiente:
H 0 : µ = 34 gr
y leerla así: "La hipótesis nula establece que la media de la población es
igual a 34 gr"
La expresión hipótesis nula proviene de antiguas aplicaciones de la
estadística a la agricultura y la medicina. A fin de probar la eficacia de
un nuevo fertilizante o medicamento, la hipótesis probada (nula) era
que no producían efecto alguno; es decir, no existía diferencia entre las
muestras tratadas y las no tratadas.
La hipótesis nula H0 es la primera de dos opuestas en una prueba de
hipótesis. Es una descripción del estado de las cosas en un momento
dado, es decir de lo que las personas han pensado durante mucho
tiempo que es cierto. Si H0 se corrobora en una prueba de hipótesis, no
es necesario realizar una acción. Si los resultados de la muestra no
apoyan la hipótesis nula, debemos concluir que no son verdaderos.
Hipótesis alternativa
Cada vez que rechazamos la hipótesis nula, la conclusión que aceptamos
se llama hipótesis alternativa y se representa mediante H1: en el caso
de la hipótesis nula:
H 0 : µ = 34 gr :
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“La hipótesis nula establece que la media de la población es igual
a 34 gr.”
Se pueden considerar únicamente tres hipótesis alternativas:
H1 : µ ≠ 34 gr : “La hipótesis alternativa establece que la media de la
población no es igual a 34 gr.”
H1 : µ > 34 gr : “La hipótesis alternativa establece que la media de la
población es mayor a 34 gr.”
H1 : µ < 34 gr : “La hipótesis alternativa establece que la media de la
población es menor a 34 gr.”
La hipótesis alternativa H1 es la segunda de dos opuestas en una
prueba
de
hipótesis.
Es
un
medio
para
hacer
aseveraciones
trascendentes que contradicen las creencias de las personas. Si H0 no se
puede
corroborar
en
una
prueba
de
hipótesis,
H1
se
acepta
tentativamente y esto requiere iniciar una acción, Por lo tanto se puede
considerar a H1 como la hipótesis de acción. Y podemos decir que es una
declaración tentativa de que el parámetro poblacional tiene un valor
diferente del especificado en la hipótesis nula, es decir, contradice a H0
y constituye la hipótesis de trabajo.
Al formular la hipótesis nula y alternativa, se le llama planteamiento de
las hipótesis y son mutuamente excluyentes, al aceptar H0.se debe
rechazar H1 y al rechazar H0 se debe aceptar H1, no se pueden aceptar
ni rechazar ambas, forzosamente tenemos que aceptar una de las
hipótesis.
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Supongamos que se tienen sospechas de que el
contenido de producto neto de las pastillas Halls
es menor al indicado en la etiqueta que es de
34 gr. El planteamiento de las hipótesis, lo
podemos ejemplificar de la siguiente forma:
H 0 : µ = 34 grs
H1 : µ < 34 grs
Errores Tipo I y Tipo II
Las hipótesis nula y alternativa son aseveraciones sobre la población
que compiten entre sí, es decir o la hipótesis nula es verdadera, o lo es
la
hipótesis
alternativa,
pero
no
ambas.
En
el
caso
ideal,
el
procedimiento de prueba de hipótesis debe conducir a la aceptación de
H0 cuando sea verdadera y al rechazo de H0 cuando H1 sea verdadera.
Desafortunadamente no siempre son posibles las conclusiones correctas.
Como las pruebas de hipótesis se basan en información de muestras,
debemos considerar la posibilidad de errores. La tabla 1 muestra los dos
tipos de errores que se pueden cometer en la prueba hipótesis.
Conclusión
Condición de la población
H0
H1
verdadera
verdadera
Aceptar H0
Conclusión
correcta
Error
Tipo II
Rechazar H0
Error
Tipo I
Conclusión
correcta
Tabla 1. Tipos de errores que se pueden cometer en una prueba de hipótesis
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Se puede observar lo que puede suceder cuando la conclusión es
aceptar H0. Si H0 es verdadera, esta conclusión es correcta. Sin
embargo, si H1 es verdadera, hemos cometido un error tipo II, esto es,
hemos aceptado H0
siendo falsa. Ahora bien, si la conclusión es
rechazar H0 Si H0 es verdadera, hemos cometido un error tipo I, esto
es, hemos rechazado H0
siendo verdadera. Sin embargo, si H1
es
verdadera, es correcto rechazar H0.
Nivel de significancia
La finalidad de una prueba de hipótesis no es poner en duda el valor
calculado del estadístico muestral, sino emitir un juicio sobre la
diferencia existente entre el supuesto parámetro de la población y
estadístico. El siguiente paso, después de formular la hipótesis nula y la
hipótesis alternativa, será decidir qué criterio aplicar para decidir si se
acepta o rechaza H0
En la práctica, la persona que efectúa la prueba de
hipótesis debe especificar la máxima probabilidad
permisible, llamada nivel de significancia α, de
cometer un error de tipo I. Comúnmente se utilizan
los valores de 0.10, 0.05 y 0.01 como niveles de
significancia.
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Supongamos que deseamos probar una hipótesis con un nivel de
significancia de 5% o 0.05. Lo anterior significa que rechazaremos la
hipótesis nula si en promedio la diferencia entre el estadístico muestral
y el supuesto parámetro de la población es tan grande que ella o una
diferencia mayor podría ocurrir, en promedio, apenas cinco o menos
veces en cada 100 muestras, cuando sea correcto el parámetro de la
población. Así pues, suponiendo que la hipótesis es correcta, el nivel de
significancia indica el porcentaje de medias muestrales que se encuentra
fuera de ciertos límites. (recuerde que al hacer la estimación, no olvide
que el nivel de confianza indica el porcentaje de las medias muestrales
que caían dentro de los límites definidos de confianza).
En la tabla 1, la conclusión de rechazar Ho indica que hay un error de
tipo I o que la conclusión es correcta. Así, si se controla la probabilidad
de cometer un error tipo I seleccionando un pequeño valor del nivel de
significancia, tendremos un alto grado de confianza en que sea correcta
la conclusión de rechazar Ho. En esos casos contamos con respaldo
estadístico para concluir que Ho es falsa y que H1 es verdadera.
La figura 2 muestra cómo interpretar un nivel de significancia de 5%.
Nótese que 2.5% del área bajo la curva está situado en cada extremo.
Si consultamos la tabla de la distribución normal del apéndice,
podremos determinar que 95% del área bajo la curva queda incluida en
un intervalo que se extiende 1.96 σ x a ambos lados de la supuesta
media. En 95% del área, no existe diferencia de significancia entre el
estadístico muestral y el supuesto parámetro de la población.
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En el restante 5% (las regiones sombreadas), sí hay una diferencia
significativa.
Figura 2. Regiones de diferencia significativa y no significativa con un nivel del 5%
En la figura 2 se examina la misma interpretación, en ella 95% del área
bajo la curva se halla donde aceptaríamos la hipótesis nula. Las dos
partes sombreadas bajo la curva, que representan un total de 5% del
área, se encuentran donde rechazaríamos la hipótesis nula.
Aquí conviene hacer una advertencia. Aun cuando los estadísticos
muestrales en la figura 3 caigan en la región no sombreada (que abarca
95% del área bajo la curva), ello no prueba que nuestra hipótesis nula
(H0) sea verdadera; simplemente el estadístico no ofrece evidencia
estadística para rechazarla. ¿Por qué? Porque la única manera de
aceptarla con certidumbre consiste en que conozcamos el parámetro de
la población.
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Por lo tanto, cada vez que decimos que la aceptamos, en realidad
queremos decir que no se cuenta con suficiente evidencia estadística
para rechazarla. Se ha generalizado el uso del verbo aceptar, en lugar
de no rechazar. Significa sencillamente que, cuando los datos de la
muestra no nos llevan a rechazar una hipótesis nula, la consideramos
como si ésta fuera verdadera.
Figura 3. Regiones de aceptación y rechazo de Ho con un nivel de significancia de 5%
Al seleccionar la significancia no existe un nivel como norma con el cual
se deben probar las hipótesis, regularmente se utiliza el del 5%, pero es
común que en los resultados publicados de investigaciones hayan
recurrido al 1% de significancia. Es posible probar una hipótesis en
cualquier nivel de significancia. Pero recuérdese que nuestra elección del
nivel, es asimismo el riesgo que corremos de rechazar una hipótesis
nula aunque sea verdadera.
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Cuanto más alto sea el nivel de significancia que utilizamos al probar
una hipótesis, mayores probabilidades habrán de rechazar una hipótesis
nula que sea verdadera.
El concepto anterior lo podemos ilustrar con la figura 5, se observa una
prueba de hipótesis con tres niveles de significancia: 1, 10 y 50%.
Hemos indicado la ubicación de la media muestral en cada distribución.
En las partes a y b, podríamos aceptar la hipótesis nula de que la media
de la población es igual al valor supuesto. Pero obsérvese que en la
parte c, rechazaríamos esta misma hipótesis nula. ¿Por qué? Porque allí
nuestro nivel de significancia de 0.50 es tan alto que rara vez la
aceptaremos, cuando no sea verdadera; pero, al mismo tiempo,
frecuentemente la rechazaremos aunque sea verdadera.
Figura 4. Una prueba de hipótesis con tres distintos niveles de significancia
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Distribución adecuada de probabilidad
Después de decidir qué nivel de significancia utilizar, el siguiente paso
en la prueba de hipótesis consiste en determinar la distribución
adecuada de probabilidad. Tenemos que seleccionar entre la distribución
normal y la distribución t de estudent (ver apéndice de tablas). Las
reglas para elegir la distribución de probabilidad apropiada se parecen a
las descritas en el fascículo I, tema II Estimación de parámetros. En la
tabla 2 se resume cuándo usar la distribución normal y la distribución t
al efectuar pruebas para las medias. Más adelante en este capítulo,
examinaremos la distribución idónea para probar las hipótesis relativas
a proporciones.
No se olvide otra regla más al probar el supuesto valor de una media.
Como en la estimación, se utiliza el multiplicador de población finita
cuando
ésta
es
de
tamaño
finito,
el
muestreo
se
realiza
sin
reemplazamiento y la muestra constituye más de 5% de la población.
Desviación
estándar de la
población conocida
Desviación estándar
de la población no
conocida
El tamaño de la muestra
es mayor que 30 (n>30)
Distribución normal
Tabla z
Distribución normal
Tabla z
El tamaño de la muestra
es 30 o menos y
suponemos que la que la
población es normal o
aproximadamente normal
( n≤30)
Distribución normal
Tabla z
Distribución t de
student
Tabla t
Tabla 2. Condiciones para usar la distribución normal y la distribución t en la prueba de hipótesis
para las medias
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TIPOS DE PRUEBAS DE HIPOTESIS
Prueba de hipótesis de dos extremos
A esta prueba también se le llama de dos colas o bilateral, se utiliza
cuando se desea encontrar evidencia estadística de que el verdadero
valor del parámetro poblacional es diferente del especificado en la H0.,
es
decir
rechazará
la
hipótesis
nula
si
la
media
muestral
es
significativamente más alta o más baja que la supuesta media de la
población. Por consiguiente, en una prueba de dos extremos, existen
dos regiones de rechazo. Esto se puede apreciar en la figura 5.
Figura 5. Regiones de aceptación y rechazo de Ho para una prueba de hipótesis bilateral
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Supongamos que se sospecha que una maquina
envasadora de azúcar está llenando mal las
bolsas en la presentación de 2.0 kg. Si el
contenido neto es menor, posiblemente perderá
clientes; si es mayor el contenido de azúcar, se
tendrá una pérdida de producto, disminuyendo la
plusvalía de la empresa. Con la finalidad de observar si el proceso de
envasado de la azúcar está funcionando bien, tomamos una muestra de
las bolsas llenadas por la máquina para probar la hipótesis:
H 0 : µ = 2.0kg
Puesto que no se desea desviar significativamente de 2.0 kg. En
ninguna de las dos direcciones (más o menos) la hipótesis alternativa
apropiada será:
H 0 : µ ≠ 2.0kg
Por lo tanto se utilizara una prueba de dos colas. Es decir rechaza la
hipótesis nula si el contenido neto de azúcar promedio de las bolsas de
la muestra está muy por arriba o muy por debajo de 2.0 kg.
Prueba de hipótesis de un extremo (izquierdo)
Se utiliza cuando se desea encontrar evidencia estadística de que el
parámetro poblacional especificado en H0
es menor. Por ejemplo un
mayorista que compra grandes cantidades de azúcar a la compañía
antes mencionada, en bolsas de 2.0 kg.
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El mayorista no quiere aceptar un embarque de azúcar a menos que el
contenido neto promedio sea de dos kilogramos. Al llegar cada pedido,
el mayorista prueba una muestra para decidir si debe aceptar el
embarque. Éste rechazará el envió sólo si descubre que el contenido
neto no llega a 2.0 kg. Así las hipótesis del mayorista son:
H 0 : µ = 2.0kg
H1 : µ < 2.0kg
Se rechaza H0
sólo si el contenido neto de azúcar promedio de las
bolsas que conformaron la muestra está significativamente por debajo
de dos kilogramos. En la figura 6 se ilustra este tipo de prueba. En ella
vemos por qué a esta prueba se también se le llama prueba de una cola
a la izquierda (o una prueba de extremo inferior).
Figura 6. Regiones de aceptación y rechazo de Ho de una prueba de un extremo izquierdo
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En general, se aplica una prueba de un extremo izquierdo si el
planteamiento de las hipótesis es:
H0 : µ = 0
H1 : µ < 0
H0 : µ ≥ 0
H1 : µ < 0
caso 1
caso 2
donde cero es el valor especifico del supuesto parámetro poblacional. En
tales situaciones, es la evidencia del estadístico muestral que esta
significativamente por debajo de la supuesta media de la población la
que nos hace rechazar la hipótesis nula y por ende aceptamos la
hipótesis alternativa. Dicho con otras palabras, la región de rechazo se
halla en el extremo inferior (extremo izquierdo) de la distribución de la
media muestral; y por eso a esta prueba la llamamos prueba de
extremo inferior. El caso 1 se le llama hipótesis simple porque
únicamente se utiliza un solo valor como el supuesto parámetro
poblacional y al caso 2 se le conoce como hipótesis compuestas, porque
se utilizan una gama de valores como el supuesto valor del parámetro
poblacional.
Prueba de hipótesis de un extremo (derecho)
Se utiliza cuando se desea encontrar evidencia estadística de que el
parámetro poblacional especificado en H0 es mayor, también se le llama
prueba unilateral por la derecha o prueba de extremo superior.
Prueba de Hipótesis
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Esta prueba se aplica cuando las hipótesis son:
H0 : µ = 0
H1 : µ > 0
H0 : µ ≥ 0
H1 : µ > 0
Si el estadístico muestral se encuentra significativamente por arriba de
la supuesta media poblacional, rechazaremos la hipótesis nula en favor
de la hipótesis alternativa. A esto se le llama prueba de extremo
superior, porque la región de rechazo está en el extremo superior de la
distribución de la media muestral. La Prueba unilateral a la derecha se
ilustra en la figura 7; por ejemplo, el gerente de ventas de la
envasadora de azúcar ha pedido a sus vendedores ajustarse a un límite
en los viáticos por concepto de gasolina.
El gerente confía mantener los gastos en un
promedio de $100 pesos por vendedor al día.
Un mes después de fijado el límite, se extrae
una
muestra
de
los
gastos
por
gasolina
presentados diariamente para comprobar si
están observando el límite los vendedores.
La hipótesis nula establece que:
H 0 : µ = 100.00 pesos
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Pero al gerente le interesa observar si los vendedores se están
ajustando al límite en gastos por concepto de gasolina. Por lo tanto, la
hipótesis alternativa apropiada será:
H1 : µ > 100.00 pesos
Se aplica una prueba de extremo superior. Si se rechaza la hipótesis
nula se encontró evidencia estadística de que la media muestral es
significativamente mayor que $100.00. Esta evidencia muestra que los
vendedores no están acatando el límite y se deben tomar las medidas
correctivas.
Figura 7. Regiones de acepación y rechazo de Ho de una prueba de un extremo derecho
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Debemos tener en cuenta siempre que en una prueba de hipótesis,
cuando aceptamos una hipótesis nula basándonos en la información de
la muestra, realmente estamos afirmando que se carece de datos
estadísticos para rechazarla. No estamos diciendo con ello que la
hipótesis nula sea verdadera. La única manera de probar una hipótesis
nula consiste en saber cuál es el parámetro de la población, y como
sabemos eso no es posible en el muestreo. Así pues, aceptamos la
hipótesis nula y actuamos como si fuera verdadera simplemente porque
no encontramos evidencia para rechazarla.
PROCEDIMIENTO PARA ELABORAR UN PRUEBA DE HIPOTESIS
•
Determinar el supuesto valor del parámetro poblacional
•
Obtener los datos
correspondientes.
•
Determinar el nivel de α.
•
Llevar a cabo el planteamiento de las hipótesis.
•
Construir las áreas de aceptación y rechazo de H0
•
Realizar la prueba estadística adecuada.
•
Tomar una decisión para aceptar H0 o no rechazar H0.
•
Emitir una conclusión en términos del problema.
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muestrales
y
calcular
los
estadísticos
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PRUEBAS DE HIPOTESIS
Para una media
Para elaborar una prueba de hipótesis para la media se sigue el
procedimiento antes mencionado y se utilizan las siguientes formulas o
estadístico de prueba (según el caso). El estadístico de prueba es el
que se calcula en una sola muestra aleatoria simple, tomada de la
población de interés, para establecer la verdad o falsedad de la hipótesis
nula.
 Cuando σ es conocida, se utiliza la distribución normal ( “z” ) como
se mostró en la tabla 2
x −µ
Ζc =
σx
Cuando σ no es conocida, y la muestra es grande (n > 30), se utiliza
la distribución de probabilidad “z “.
x −µ
Ζc =
Sˆx

Cuando σ no es conocida, y la muestra es pequeña ≤
(n 30), se
utiliza la distribución de probabilidad “ t “ student.
tc =
Prueba de Hipótesis
x −µ
Sˆx
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Para una mejor comprensión, lo anterior se muestra en la figura 8.
Figura 8. Diagrama de flujo para seleccionar la prueba estadística adecuada para una media
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EJEMPLOS PRUEBA DE HIPÓTESIS
1. Un Ingeniero de control de calidad debe comprobar
que una maquina envasadora de café está vertiendo en
promedio la cantidad de producto por sobre de 30
gramos, además sabe que la desviación estándar del
proceso es de 1 gramo.
Toma una muestra de 36
sobres con café y encontró una media de 2.92 gramos.
¿Con la evidencia obtenida en la muestra se podría
concluir
que
la
maquina
no
está
envasando
correctamente el producto con un nivel α = 0.01?
SOLUCION
Observaciones: Se conoce la desviación estándar poblacional por
lo tanto se utiliza la distribución Z y puesto que se va a verificar
si la maquina envasadora está trabajando correctamente se debe
aplicar una prueba de dos extremos.
1. µ = 3º gramos
3. Determinar el valor de α:
α = 0.01/2 = 0.005
2. DATOS
n = 36
4. Plantear las hipótesis
x = 29.2 gramos
H0: µ = 30 gramos
σ = 1 gramo
H1: µ ≠ 30 gramos
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5. Construir las áreas de aceptación y rechazo de H0
∴ 0.5 − 0.005 =
0.4950
Ζ =2.58
6. Aplicar la prueba estadística adecuada.
Zc =
2.92 − 3.0
= −2.67
0.18
36
7. Tomar una decisión
El valor de Z
c
cae en zona de Rechazo,
Por lo tanto la decisión es rechazar H0.
8. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con un nivel de
significancia del 1% que la maquina envasadora no esta vertiendo en
promedio 3 libras de café, por lo que se recomienda llevar a cabo las
acciones correctivas.
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2. Un comprador de camisas para una tienda
departamental desea probar si las camisas con
etiqueta de manga 33 pulgadas en realidad
satisfacen esa especificación en promedio.
Se
toma una muestra aleatoria de 36 camisas que
entran al almacén, la muestra indica un largo
medio
de
34
pulgadas
son
una
desviación
estándar de 2 pulgadas con un α = 0.05 Realice la prueba.
SOLUCION
Observaciones: No se conoce la desviación estándar poblacional,
pero el tamaño de la muestra es “grande” n > 30, por lo tanto se
utiliza la distribución Z y puesto que se va a probar que un
producto cumpla con las especificaciones de diseño, largo 33
pulgadas (ni mas grande ni mas pequeño) se debe aplicar una
prueba de dos extremos.
1. µ = 33 pulgadas
2. DATOS
n = 36
x = 34 pulgadas
S = 2 pulgadas
3. Determinar el valor de α:
α = 0.05/2 = 0.025
4. Plantear las hipótesis
H0: µ = 33 pulgadas
H1: µ ≠ 33 pulgadas
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5. Construir las áreas de aceptación y rechazo de H0
∴ 0.5 − 0.025 =
0.4750
Ζ =1.96
6. Aplicar la prueba estadística adecuada.
Zc =
34.0 − 33.0
= −3.0
2.0
36
7. Tomar una decisión
El valor de Z c cae en zona de rechazo,
Por lo tanto la decisión es rechazar H0.
8. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con un nivel de
significancia del 5% que las camisas no cumplen con la
especificación de “largo 33 pulgadas”, se sugiere regresar el
pedido que entro al almacén
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3. Un gerente desea probar la resistencia de la tensión del hilo que ha
de usarse en las nuevas máquinas de la
empresa, el cual debe ser de por lo menos
25 libras. Se toma una muestra aleatoria de
16 carretes y se encontró una resistencia de
promedio de 23 libras, con una desviación
estándar 0.2 libras. Realicé la prueba con un
nivel de significancia del 5% y determine si
el hilo es apropiado.
SOLUCION
Observaciones: No se conoce la desviación estándar poblacional,
y el tamaño de la muestra es “pequeño” n≤ 30, por lo tanto se
utiliza la distribución t de estudent. Puesto que se desea probar
si un hilo es adecuado a las necesidades de la empresa que son
de que tenga una resistencia a la tensión de por lo menos 25
libras, se debe aplicar una prueba de un extremo a la izquierda.
1.µ ≥ 25 libras
3. Determinar el valor de:
α = 0.05
2. DATOS
4. Plantear las hipótesis
n = 16
x = 24.9 libras
H0: µ ≥ 25 libras
s = 0.2 libras
H1: µ < 25 libras
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5. Realizar la prueba
g .l = 16 − 1 = 15
t = 1.75
tc =
24.9 − 25
= −2.0
0.2
16
6. Tomar una decisión: El valor calculado de tc cae en zona de rechazo
por lo que se rechaza H0.
7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con un nivel de
significancia del 5% que la resistencia del hilo no satisface la
especificación de 25 libras de resistencia. Se recomienda que
ese hilo no se utilice.
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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
Para elaborar una prueba de hipótesis para la proporción, se sigue el
mismo procedimiento que para la prueba de hipótesis de la media.
Debemos recordar que la distribución binomial, es la distribución
teóricamente correcta que debe usarse para las proporciones, pues los
datos son discretos. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la
distribución binomial se acerca a la distribución normal en sus
características y podemos aplicar esta ultima para aproximar la
distribución de muestreo. En resumen, np y nq necesitan cada una ser
por lo menos 5 para que se pueda utilizar la distribución normal de
probabilidad en sustitución de la binomial.
En este caso se utiliza la siguiente prueba estadística adecuada
Ζc =
p −π
σp
Para una mejor comprensión lo anterior se muestra en la figura 9
Figura 9. Diagrama de flujo para seleccionar la prueba estadística adecuada para una proporción
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EJEMPLOS PRUEBA DE HIPÓTESIS PROPORCIÓN
1. Un fabricante de blusas para dama cree que su marca se vende en
19% de las tiendas de ropa para mujer del
centro
de
la
ciudad
de
México.
Recientemente tomo una muestra de 85
de
esas
tiendas
y
encontró
que
únicamente el 14.12% venden su marca.
Con un nivel de significancia del 4% ¿Se
podría
concluir
que
ha
disminuido
la
presencia de su marca en esa parte de la
ciudad?
SOLUCION
Observaciones: Se desea probar una proporción poblacional y np
es mayor a 5, por lo tanto se puede utilizar la distribución
normal, la hipótesis de trabajo es demostrar si ha disminuido la
presencia de la marca en una región, se debe aplicar una prueba
de un extremo a la izquierda.
1. 𝜋 = 19% de las tiendas venden
la marca
2. DATOS
n = 85
p = .1412
Prueba de Hipótesis
3. Determinar el valor de α:
α = 0.04
4. Plantear las hipótesis
H 0 : π = 0.19
H1 : π < 0.19
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5 Realizar la prueba
∴ 0.5 − 0.04 =
0.4600
Ζ =1.75
0.1412 − 0.19
Ζc =
=−1.15
0.19 × 0.81
85
6. Tomar una decisión: El valor de Z
c
se encuentra en área de
aceptación, por lo tanto la decisión es aceptar H0.
7. Emitir una conclusión: Se encontró evidencia estadística con un α =
0.04 que el 19% de las tiendas de ropa para Dama en el centro de
Ciudad de México venden la marca del fabricante, por lo que se puede
concluir que no ha disminuido su presencia en la zona.
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2. Un vendedor profesional, asegura que al
menos a 1 de cada dos clientes les vende un
reloj. Para probar la afirmación del vendedor
se tomo una muestra aleatoria de 25 clientes
que tuvieron contacto con el vendedor y se
encuentra que diez de ellas compararon un
reloj. Realice la prueba con un nivel se
significancia del 5%.
SOLUCION
Observaciones: Se desea probar una proporción poblacional y np
es mayor a 5, por lo tanto se puede utilizar la distribución
normal, dado que se esta afirmando que se logra al menos un
50% de las ventas, se debe aplicar una prueba de un extremo a
la izquierda.
1. 𝜋 ≤ 0.5 de las familias
3. Determinar el valor de:
α = 0.05
2. DATOS
n = 25
10
= 0.40
25
15
q=
= 0.60
25
p=
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4. Plantear las hipótesis
H 0 : π ≤ 0.5
H1 : π > 0.5
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5. Realizar la prueba
∴ 0.5 − 0.05 = 0.4500
Ζ = 1.65
Ζc =
6. Toma runa decisión: El valor de Z
c
0.4 − 0.5
= −1.02
0.4 × 0.6
25
se encuentra en área de
aceptación, por lo tanto la decisión es aceptar H0.
7. Emitir una conclusión: Se encontró evidencia estadística con un α
= 0.05 que el vendedor logra una venta en al menos el 50% de
las veces
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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS MEDIAS
Los responsables de la de toma de decisiones, necesitan determinar en
muchas ocasiones si los parámetros de dos poblaciones son semejantes
o son diferentes, es decir si la diferencia entre ellos es estadísticamente
significativa. Una empresa quizá quiera probar, por ejemplo, si las
empleadas reciben sueldos más bajos que los varones por realizar el
mismo trabajo. Es posible que un fabricante de pantalones de mezclilla
desee probar si dos tipos de tela semejantes tienen la misma
durabilidad. Un nutriólogo quiere determinar si dos dietas son igual de
efectivas para el control de peso. Un profesor quiera demostrar que una
nueva técnica didáctica es mejor que la tradicional para impartir
matemáticas a nivel bachillerato.
En todas las situaciones anteriores, nos
debemos de preocupar de los parámetros
de dos poblaciones, a diferencia de la
prueba de hipótesis para una media o una
proporción, no es de gran importancia el
verdadero valor de los parámetros. Lo
relevante es observar la relación existente entre los valores de los
parámetros, o sea en qué difieren estos últimos. ¿Ganan menos las
empleadas que los empleados por el mismo trabajo? ¿Las telas
muestran una durabilidad diferente?
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¿Una dieta es mejor que la otra para el control de peso? ¿Las nuevas
técnicas didácticas mejoran sensiblemente el aprovechamiento de los
alumnos en matemáticas? En esta sección, introduciremos métodos que
nos
permiten
contestar
las
preguntas
anteriores,
mediante
procedimientos de la prueba de hipótesis.
Los supuestos para este tipo de pruebas, es que las varianzas de las
poblaciones sean iguales σ 12 = σ 22 , y que las poblaciones tengan una
distribución normal o aproximadamente normal.
Al estudiar dos poblaciones, la distribución de muestreo que nos
interesa ahora es la distribución de muestreo de /a diferencia entre dos
medias muestrales. La figura, 10 puede ayudamos a conceptualizar esta
distribución.
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En la parte superior de la figura, se indican dos distribuciones
muestrales
x1 y x2 de dos poblaciones, con medias µ1 y µ2 , así como sus
errores estándar, y en la parte inferior se señala la distribución de
muestreo de la diferencia entre las medias muestrales.
En las dos distribuciones teóricas de muestreo de la media están
integradas todas las muestras posibles que pueden extraerse de la
correspondiente distribución de la población. Ahora bien, supongamos
que tomamos una muestra aleatoria de la distribución de la población 1
y otra de la distribución de la población 2. Si restamos las "dos medias
muestrales”, obtendremos:
x1 − x2 diferencia entre medias muestrales
Figura 10. Distribución muestral de la diferencia de medias x1 − x2 y su relación con las
distribuciones muestrales x1 y x2
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Esta diferencia será positiva si
x1 es mayor que x2 y negativa si x2 es
mayor que x1 Al construir una distribución de todas las diferencias
posibles del muestreo de x1 − x2 , obtenemos la distribución de muestreo
de la diferencia entre las medias muestrales, como se indica en la figura
10.
La desviación estándar de la distribución de la diferencia entre las
medias muestrales recibe el nombre de error estándar de la diferencia
entre dos medias y se calcula aplicando esta fórmula:
σ=
x −x
1
2
σ 12
n1
+
σ 22
n2
Si se conocen las desviaciones estándar de las poblaciones, si estas no
se conocen, es posible estimar el error estándar de la diferencia entre
dos medias de la siguiente forma:
σˆ = S
Recordemos que la desviación estándar de la muestra se representa con
S, por lo tanto, la fórmula del error estándar estimado de la diferencia
entre medias se expresa así:
σˆ=
x −x
1
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2
σˆ12
n1
+
σˆ 22
n2
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Procedimiento para elaborar una prueba de hipótesis para dos
medias
El procedimiento para elaborar una prueba de hipótesis para dos medias
es similar al que se utilizo para sola media y se muestra a continuación:
1. Obtención de los datos
2. Determinar el valor de α
3. Plantear las hipótesis según el tipo de prueba:
•
Bilateral o de dos extremos
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
•
•
•
Prueba de Hipótesis
Unilateral a la izquierda
=
H 0 : µ1 µ2
H 0 : µ1 ≥ µ2
H1 : µ1 < µ2
H1 : µ1 < µ2
Unilateral a la derecha
=
H 0 : µ1 µ2
H 0 : µ1 ≤ µ2
H1 : µ1 > µ2
H1 : µ1 > µ2
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4. Establecer las áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula. 2
5. Realizar la prueba estadística
6. Tomar una decisión.
7. Emitir una conclusión en términos del problema.
Prueba estadística adecuada:
La prueba estadística adecuada depende de la información obtenida en
el paso 1 del procedimiento.
1. Cuando σ1 y σ2 son conocidas, se utiliza la distribución “ Z “ de
probabilidad.
Ζc =
x1 − x2
σ 12
n1
+
σ 22
n2
2. Cuando σ1 y σ2 no son conocidas.
Si n1 y n2 son > 30, se utiliza la distribución “ z” de probabilidad.
Ζc =
x1 − x 2
S12 S 22
+
n1 n2
2
Se establecen de igual manera como en la prueba de hipótesis para una media, o una proporción, antes
mencionada.
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Si n1 y n2 son ≤ 30y el muestreo es independiente, se utiliza la
distribución “ t “ de student, de la siguiente forma:
tc =
x1 − x 2
( n1 − 1) S12 + ( n2 − 1) S22
n1 + n2 − 2
•
1 1
+
n1 n2
Si n1 y n2 son ≤ 30 y el muestreo es dependiente, se utiliza la
distribución “ t “ student de la siguiente forma:
tc =
d
Sd
n
Las muestras independientes son aquellas que poseen elementos
tales que los que conforman la muestra tomada de la población A, se
escogen de modo independiente de los elementos que conforman la
muestra tomada de la población B.
“Muestras independientes: muestras tomadas de dos poblaciones en
tal forma que los elementos que forman una muestra se eligen en forma
independiente de los que forman la otra muestra.” 3
Para calcular lo grados de libertad cando se presentan este tipo
de muestreo se calculan con la formula que sigue:
g .l. = n1 + n2 − 2
3
Anderson, Sweeney, Williams, Estadística para administración y economía.
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Las muestras apareadas, dependientes ó acopladas, son aquellas
que una vez seleccionados los elementos de la muestra de la población
A, se acoplan con una “gemela” de la muestra de la población B.
“Muestras apareadas: muestras en las que con cada dato de una
muestra se forman parejas con el dato correspondiente de la otra
muestra.” El uso de muestras dependientes nos permite realizar un
análisis más preciso, porque nos permite controlar factores extraños.
¿Cómo tratar las muestras: como independientes o dependientes? Para
contestar esta pregunta podríamos citar los ejemplos siguientes:
1. El INIFAP desea determinar si una nueva semilla
de maíz híbrido da un mayor rendimiento que una
antigua variedad normal. Si INIFAP pide a 10
agricultores
registrar
el
rendimiento
de
una
hectárea sembrada con la nueva variedad y pide a otros 10 registrar el
rendimiento utilizando la misma superficie, sembrada con la antigua
variedad, las dos muestras serán independientes. Pero si pide a 10 agricultores sembrar una hectárea con cada variedad y registrar los
rendimientos, las muestras serán dependientes y entonces conviene
aplicar la prueba de diferencia para muestras pareadas.
En el segundo caso, las diferencias debidas a fertilizantes, plaguicidas,
riego y otros factores se controlan porque cada agricultor da el mismo
tratamiento a sus dos parcelas. Por tanto, las, diferencias en el
rendimiento pueden ser atribuidas exclusivamente a la variedad de maíz
sembrada.
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2. El director del grupo de secretarias en un gran bufete legal quiere
determinar si la velocidad del mecanografiado depende de la clase de
máquina de escribir que usan ellas. Si somete a prueba siete secretarias
que
utilizan
máquinas
eléctricas
y
siete
que
utilizan
máquinas
mecánicas, deberá tratar como independiente a cada muestra. Si prueba
dos veces a las mismas siete secretarias (una vez en cada tipo de
máquina de escribir), las dos muestras serán dependientes. En la
prueba de diferencia para muestras pareadas, las diferencias entre las
secretarias
se
eliminan
como
factor
influyente,
y
entonces
las
diferencias en la velocidad del mecanografiado pueden ser atribuidas a
las dos clases de máquina.
Para calcular lo grados de libertad en, muestras apareadas:
g .l. = n − 1
A continuación se presentan ejemplos que ilustran los casos anteriores:
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EJEMPLOS PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS MEDIAS
1. Una empresa estudia los tiempos de entrega de dos proveedores de
materia prima. En general, está satisfecha con el proveedor A, y lo
conservará si la media de su tiempo de entrega es igual o menor que la
del proveedor B. Suponga que unas muestras independientes dan las
siguientes
características
de
tiempo
de
entrega
para
los
dos
proveedores:
Proveedor A
n = 50
x = 14 días
S = 3 días
Proveedor B
n = 50
x = 12.5 días
S = 2 días
¿Qué acción recomendaría respecto a la elección del proveedor, con α =
0.05?
SOLUCION
Observaciones: Se desea comparar los tiempos de entrega de
dos proveedores, por lo tanto se debe aplicar una prueba de
hipótesis para dos medias. Las desviaciones estándar de las
poblaciones no se conocen, pero los tamaños de muestra son
“grandes” n > 30, los que nos permite utilizar la distribución “Z”.
Por otra parte la empresa está de acuerdo con su actual
proveedor(A) y lo cambiara si encuentra evidencia de que los
tiempos de entrega son mayores con respecto a un proveedor B,
la prueba indicada es de un extremo a la derecha.
1. Datos
µ1
Proveedor A
n = 50
x = 14 días
S = 3 días
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µ2
Proveedor B
n = 50
x = 12.5 días
S = 2 días
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2. Determinar el nivel de significancia :
α = 0.05
3. Planteamiento de hipótesis
H 0 : µ1 ≤ µ2
H1 : µ1 > µ2
4. Áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula.
5. Realizar la prueba estadística adecuada:
=
Ζc
Prueba de Hipótesis
x1 − x 2
=
S12 S 22
+
n1 n2
14 − 12.5
= 2.94
32 22
+
50 50
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6. Tomar una decisión:
Rechazar H0
7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.05, de que el
tiempo de entrega del proveedor A es mayor que la del
proveedor B, se recomienda cambiar de proveedor o
comprometer al actual proveedor que disminuya sus
tiempos de entrega.
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2. Una compañía constructora está preocupada por el tiempo que se
pierde debido a accidentes de trabajo. Por ello, dispuso montar un
programa de seguridad para reducir el tiempo perdido debido a dichos
accidentes. El programa duró 36 meses y, al finalizar, el tiempo perdido
por accidentes tuvo un promedio de 96 h mensuales, con una desviación
típica de 15h. En los 36 meses anteriores al programa de seguridad, el
tiempo perdido por accidentes promedió 110h mensuales con una
desviación estándar de 18h. Determine si fue efectivo el programa de
seguridad para disminuir el tiempo perdido por accidentes de trabajo. se
un nivel de significación de 5%.
SOLUCION
Observaciones: Se desea probar si la implementación de un
programa de seguridad industrial disminuye el tiempo perdido
por accidentes de trabajo, se van a comparar los tiempos
perdidos que se tenían anteriormente con los obtenidos después
de cierto período de implantación del programa, por lo tanto se
debe aplicar una prueba de hipótesis para dos medias. Las
desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen, pero los
tamaños de muestra son “grandes” n > 30, los que nos permite
utilizar la distribución “Z”.
1. Datos
µ1
Después del
programa
n = 36
x = 96 horas
S = 15 horas
µ2
Antes del
programa
n = 36
x = 110 horas
S = 18 horas
2. Determinar el nivel de significancia :
α = 0.05
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3. Planteamiento de hipótesis
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ2
4. Áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula.
5. Realizar la prueba estadística adecuada:
Ζc =
x1 − x 2
S12 S 22
+
n1 n2
=
96 − 110
152 182
+
36 36
=−3.59
6. Tomar una decisión:
Rechazar H0
7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.05, de que
los tiempos perdidos debido a los accidentes de trabajo ha
disminuido después de implementar el programa de
seguridad.
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3. El director de una escuela cree que si se introduce equipo multimedia
a los distintos temas de conversación en la enseñanza del idioma inglés,
el estudiante adquiere mayor dominio de dicho idioma. Para poner a
prueba tal hipótesis, en la escuela se implemento un laboratorio
equipado con multimedia, se impartieron clases durante un periodo de
10 semanas (una hora diaria de lunes a viernes) a un grupo de 36
estudiantes; y utilizando los métodos actuales, a un grupo similar de 40
se le impartieron los mismos temas, pero sin utilizar la multimedia. Al
finalizar el curso se obtuvieron los siguientes resultados:
Grupo experimental Grupo de control
(con multimedia)
(sin multimedia)
n = 36 alumnos
n = 40 alumnos
∑Χ= 2340
∑Χ=2400
S=9
S = 12
Pruebe si los recursos de multimedia mejoraron el aprendizaje del
idioma inglés. Use α= 0.02.
SOLUCION
Observaciones: Se desea demostrar que la tecnología multimedia
aumenta la comprensión del idioma ingles al comparar los
resultados obtenidos con los que comúnmente se obtenían sin
utilizar esta técnica, se debe aplicar una prueba de hipótesis
para dos medias. Las desviaciones estándar de las poblaciones
no se conocen, pero los tamaños de muestra son “grandes” n >
30, los que nos permite utilizar la distribución “Z
1. Datos
µ1
(con multimedia)
Prueba de Hipótesis
µ2
(sin multimedia)
n = 36 alumnos
n = 40 alumnos
x = 65
x = 60
S=9
S = 12
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2. Determinar el nivel de significancia:
α = 0.02
3. Planteamiento de hipótesis
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ2
4. Áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula.
5. Realizar la prueba estadística adecuada:
=
Ζc
x1 − x 2
=
S12 S 22
+
n1 n2
65 − 60
= 2.07
92 122
+
36 40
6. Tomar una decisión:
Rechazar H0
7. Conclusión: Se encontró evidencia
estadística con α = 0.02, de que la
tecnología
multimedia
incrementa
la
comprensión del idioma ingles.
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4. Suponga que se toman muestras aleatorias independientes de 15
obreras sindicalizadas y 20 no sindicalizadas, todas ellas trabajaban a
destajo y se obtuvieron los siguientes salarios por día en pesos.
Obreras sindicalizadas
122.4
118.9
116.7
114.05
116.2
120.0
116.1
119.1
116.5
118.5
119.8
117.0
114.3
117.2
116.3
Obreras no sindicalizadas
117.6
114.4
116.6
115.0
117.65
115.0
117.55
111.2
115.9
119.2
111.85
116.65
115.2
115.3
113.3
¿Parece haber alguna diferencia en el salario promedio entre los dos
grupos?
SOLUCION
Observaciones: Se van a comparar los salarios de dos grupos de
mujeres trabajadoras, se debe aplicar una prueba de hipótesis
para dos medias. Las desviaciones estándar de las poblaciones
no se conocen, y los tamaños de muestra son “pequeñas” n ≤ 30,
los que nos indica que la distribución apropiada es la “t” de
estudent con sus grados de libertad correspondientes, al utilizar
a dos grupos de mujeres trabajadoras diferentes las muestras
son independientes.
1. Datos
Prueba de Hipótesis
µ1
µ2
(obreras
sindicalizadas)
(obreras
sindicalizadas)
n = 15 obreras
n = 15 obreras
x = 117.54
x = 115.49
S = 2.24
S = 2.21
no
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2. Determinar el nivel de significancia :
α = 0.05
3. Planteamiento de hipótesis
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
4. Áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula.
g .l. = 15 + 15 − 2
g .l. = 28
2.05
∴ tt =
5. Realizar la prueba estadística adecuada:
tc
117.54 − 115.49
= 2.52
(15 − 1) 2.242 + (15 − 1) 2.212 • 1 + 1
15 + 15 − 2
15 15
6. Tomar una decisión:
Rechazar H0
7. Conclusión: Se encontró evidencia
estadística con α = 0.05, de que existe una
diferencia significativa en los salarios de
ambos grupos de mujeres trabajadoras.
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5. Juan Díaz es un supervisor de producción en una línea de montaje de
las unidades de disco de una empresa ensambladora de computadoras.
Esta compañía contrató un sistema de música ambiental, con la
esperanza
de
que
los
trabajadores
se
relajen
y
aumenten
su
productividad. El señor Díaz se muestra escéptico ante esa hipótesis y
teme que la música los distraiga y haga disminuir su productividad.
Muestreo la producción semanal de seis trabajadores antes que la
música fuera instalada y después de la instalación, a continuación se
muestran los datos que obtuvo:
Empleado
Semana sin música
1
137
2
140
3
148
4
147
5
143
6
140
Semana con música
142
136
158
145
150
148
¿Ha aumentado producción promedio? Utilice α = 0.025.
SOLUCION
Observaciones: Se va a compara la productividad de una muestra
de empleados con dos ambientes de trabajo, sin y con música,
Además a cada persona se le cuenta su productividad en cada
ambiente de trabajo, por lo tanto se trata de un muestreo
apareado, la distribución apropiada es la “t” de estudent con sus
grados de libertad correspondientes
1. Datos
Empleado
1
2
3
4
5
6
µ1
Semana con música µ2
137
140
148
147
143
140
142
136
158
145
150
148
Diferencia (d)
-5
4
-10
2
-7
∑= d
-8
-24
Semana sin música
d=
Prueba de Hipótesis
−24
= −4.0
6
S d = 5.69
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2. Determinar el nivel de significancia:
α = 0.02
3. Planteamiento de hipótesis
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ2
4. Áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula.
g .l.= 6 − 1
g .l. = 5
∴ tt =
2.57
5. Realizar la prueba estadística adecuada:
tc =
−4
d
=
= −1.72
S d 5.69
6
n
6. Tomar una decisión:
Aceptar H0
7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.025, que la
productividad de los trabajadores es igual en los dos
ambientes de trabajo, o bien no se encontró una diferencia
significativa, es decir un ambiente de trabajo con música no
incrementa la productividad.
Prueba de Hipótesis
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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PROPORCIONES
Se pueden determinar pruebas de hipótesis donde intervienen dos
poblaciones, cuando la diferencia entre sus respectivas proporciones es
de mayor importancia. Al igual que en la prueba de hipótesis para la
diferencia entre dos medias, en este caso, también se utiliza para
comparar dos situaciones, que sean similares entre sí.
Procedimiento para elaborar una prueba de hipótesis para dos
proporciones.
1.
Obtención de los datos
2.
Determinar el valor de α
3.
Plantear las hipótesis.
Bilateral
H 0 : π1 = π 2
H1 : π 1 ≠ π 2
Unilateral a la izquierda
=
H 0 : π1 π 2 H 0 : π1 ≥ π 2
H1 : π 1 < π 2 H1 : π 1 < π 2
Unilateral ala derecha
H 0 : π1 π 2 H 0 : π1 ≤ π 2
=
H1 : π 1 > π 2 H1 : π 1 > π 2
Prueba de Hipótesis
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4. Establecer las áreas de aceptación y rechazo. 4
5.
Realizar la prueba estadística y tomar una decisión.
6. Emitir una conclusión en términos del problema.
Prueba estadística adecuada:
Recordemos que la distribución binomial es la distribución correcta de
muestreo, únicamente tenemos que asegurarnos de que np y nq sean
mayores que cinco, para poder utilizar la distribución “Z”.
Para calcular la prueba estadística adecuada se utiliza la
siguiente formula.
Ζc =
p1 − p2
σ
p1 − p 2
Para calcular el error estándar estimado de la diferencia entre
dos proporciones:
σ
4
p1 − p 2
=
p1 • q1 p2 • q2
+
n1
n2
De igual manera se establecen, como en la prueba de hipótesis para una proporción.
Prueba de Hipótesis
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EJEMPLO:
1. El gerente de un restaurante de pizzas desea saber si los pedidos por
teléfono recibidos durante el día (A) y durante la noche (B) se entregan
a tiempo en la misma proporción. En una prueba de tres meses, tomo
una muestra de 250 de dichos pedidos (de día y de noche) y encontró
que 240 de día y solo 220 de noche son entregados a tiempo. Haga la
prueba con un nivel de significancia de 0.05.
1. DATOS
* Pedidos de día
n = 250 pedidos de los cuales
p = 240 / 250= 0.96
q = 1 – 0.96 = 0.04
* Pedidos de noche
n = 250 pedidos de los cuales
p = 220 / 250= 0.88
q = 1 – 0.88 = 0.12
2. Determinar el valor de α
α = 0.05
3. Plantear la hipótesis
H 0 : π1 = π 2
H1 : π 1 ≠ π 2
Prueba de Hipótesis
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4. Áreas de aceptación y rechazo
∴0.5 − .025 = 0.475
z = 1.96
Zc =
0.96 − 0.88
= 3.33
0.96 × 0.04 0.88 × 0.12
+
250
250
5. Decisión: Rechazar H0
6. Conclusión
Se encontró evidencia estadística con un nivel de significancia del 5%
que los pedidos recibidos por teléfono durante el día y noche no se
entregan en la misma proporción.
Prueba de Hipótesis
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EVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS
Relacione las dos columnas y determine la letra que le corresponde a
cada uno de los enunciados de la izquierda:
Probabilidad de un error de tipo II.
( )
Conclusión que aceptamos cuando los
datos no apoyan la hipótesis nula.
( )
Hipótesis, o suposición, acerca de un
parámetro de la población que deseamos
probar, generalmente una suposición del
status quo (situación actual).
( )
Rechazo de una hipótesis nula cuando es
verdadera
( )
Aquellas que se
extraen de dos
poblaciones de modo que los elementos
no
sean
seleccionados
independientemente entre sí, a fin de
permitir un análisis más preciso o
controlar algunos factores extraños.
( )
Probabilidad de un error de tipo I.
( )
Suposición, o conjetura, que hacemos
sobre un parámetro de la población
( )
Prueba de hipótesis, en la cual hay sólo
una región de rechazo; es decir,
únicamente nos interesa saber si el valor
observado se desvía del supuesto valor en
una dirección
( )
Aceptación de una hipótesis nula cuando
es falsa
( )
Prueba de Hipótesis
A. ERROR DE TIPO I
B. HIPOTESIS
C. ALFA α
D. HIPOTESIS
ALTERNATIVA
E. HIPOTESIS NULA
F. BETA β
G. MUESTRAS
DEPENDIENTES
H. NIVEL DE
SIGNIFICANCIA
I. ERROR DE TIPO II
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Continuación
Relacione las dos columnas y determine la letra que le corresponde a
cada uno de los enunciados de la izquierda:
Prueba de hipótesis de un extremo, en la
cual un valor muestral que está
significativamente
por
encima
del
supuesto valor de la población llevará a
rechazar la hipótesis nula.
( )
Valor que indica el porcentaje de los
valores muestrales que se halla fuera de
ciertos límites, suponiendo que
la
hipótesis nula sea correcta, esto es, la
probabilidad de rechazarla cuando es
verdadera.
( )
Prueba de hipótesis en la cual se rechaza
la hipótesis nula, si el valor muestral es
significativamente mayor o menor que el
supuesto valor del parámetro de la
población; prueba que incluye dos
regiones de rechazo.
( )
Prueba de hipótesis de un extremo, en la
cual un valor muestral que está
significativamente
por
debajo
del
supuesto valor de la población nos llevará
a rechazar la hipótesis nula.
( )
Prueba de hipótesis de la diferencia entre
las medias muestrales de dos muestras
dependientes.
( )
Prueba de Hipótesis
J. PRUEBA DE
DIFERENCIAS
PAREADAS
K. PRUEBA DE DOS
EXTREMOS
L. PRUEBA DE
EXTREMO (COLA)
SUPERIOR
M. PRUEBA DE EXTREMO
INFERIOR
N. PRUEBA DE UN
EXTREMO (COLA)
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. La cadena de tiendas MARTI de artículos deportivos ha iniciado una
promoción especial para su horno de propano y piensa que la
promoción deberá culminar en un cambio de precio. Sabe que, antes
de comenzar la promoción, el precio promedio al menudeo del horno
era de $419.5 pesos, con una varianza de $2872.96 pesos. La tienda
muestrea 16 de sus detallistas una vez iniciada la promoción y
descubre que el precio medio de los hornos ahora es de $389.5 pesos.
En un nivel de significancia de .02, ¿tiene motivos para pensar que el
precio promedio al menudeo ha disminuido?
Solución: a) Zc = - 2.24 Se rechaza H0.
2. De año 2000 al 2005, la razón media de precio/ganancias de de las
acciones que cotizan en la Bolsa de Mexicana de Valores fue de
14.35%, con una desviación estándar de 9.73. En una muestra de 30
acciones elegidas al azar, la razón media de precio/ganancias fue de
11.77% en 2006. ¿Esta muestra ofrece suficiente evidencia para
afirmar (en un nivel de significancia de .05) que en el presente año la
razón media de la Bolsa Mexicana de Valores ha disminuido con
respecto a su valor anterior?
Solución: a) Zc = -1.45 Se acepta H0.
Prueba de Hipótesis
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3. Una fábrica de focos supone que la vida de su producto es de 145
horas, con una desviación estándar de 21 horas. De una muestra de
25 focos se obtiene una media muestral de 130 horas. En un nivel de
significancia de .01, ¿debe la compañía concluir que la vida media de
los focos es menor que las 145 horas supuestas?
Solución: a) Zc = - 3.57 Se rechaza H0.
4.Cinepolis sabe que una película de gran éxito se exhibirá un promedio
de 84 días con una desviación estándar de 10 días, en cada sala
donde se pase la cinta, El gerente de Cinepolis ubicado en plaza San
Marcos en Cuautitlan Izcalli desea comparar la popularidad de la
película de éxito en su región con la que alcanzó en otras sucursales
del país. Seleccionó aleatoriamente 75 Cinepolis del país y descubrió
que exhibieron la película un promedio de 81.5 días. Con un nivel de
significancia de 1 %, pruebe esta hipótesis.
Solución: a) Zc = - 2.17 Se acepta H0.
5. Un gerente afirma que la comisión promedio que cobra ESTAFETA por
los servicios de paquetería con 500 gramos o menos de peso es de
$144 pesos, con una desviación estándar de $52 pesos. Un contador
tomo una muestra aleatoria de 121 órdenes de los clientes y
determinó que pagaron un promedio de $151 pesos por los servicios
de paquetería. Con un nivel de significancia de .10, ¿podemos afirmar
que los costos de mensajería de Estafeta son superiores?
Solución: a) Zc = 1.48 Se rechaza H0.
Prueba de Hipótesis
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6. Todos los días la PFP, descubre aproximadamente 28 millones de
pesos
en
artículos
introducidos
ilegalmente
al
país,
(aduanas,
aeropuertos, puertos, puntos de venta, comercio informal etc.) con
una desviación estándar de $16 millones al día. En una muestra de 64
días, este organismo interceptó un promedio de 30.3 millones de
dólares en artículos de contrabando. ¿Indica esa muestra que a las
autoridades responsables les debe preocupar el hecho de que el
contrabando haya rebasado su nivel histórico?
Solución: a) Zc = - 1.15 Se acepta H0.
7. El consumo de gasolina en México había crecido a una tasa mensual
de .57%, con una desviación estándar de .10% al mes. En 15 meses
escogidos aleatoriamente, el consumo de gasolina aumentó a un
porcentaje promedio de apenas .43% por mes. En un nivel de
significancia de .01, ¿puede afirmar usted que el consumo de gasolina
ha disminuido?
Solución: a) Zc =
-5.42 Se rechaza H0.
8. Un jugador consiguió un promedio de bateo de .343, con una
desviación estándar de .018. y encabezó la liga en el promedio de bateo
durante muchos años. Sin embargo, en el 2006 su promedio es apenas
de .306. El jugador está renegociando su contrato de la próxima
temporada, y el sueldo que obtendrá depende mucho de su capacidad
para convencer al dueño del equipo de que su promedio de bateo
anterior y el de la temporada 2006 no difiere significativamente. Si el
dueño está dispuesto a usar un nivel de significancia de .02, ¿reducirá el
sueldo del jugador en el próximo año?
Solución: a) Zc =
Prueba de Hipótesis
-2.06 Se rechaza H0.
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9. El 19% de las amas de casa prefiere la marca “Colgate” según lo
publicado por una revista el año pasado. Se hizo un estudio y se
muestreó 85 amas de casa y se encontró que 14.12% de ellas
prefieren la marca. Con un nivel α de 0.04, ¿hay pruebas de que la
marca ha disminuido en las preferencias de las amas de casa?
Solución:
Zc =
-1.14 Se acepta H0.
10. Crédito Familiar sucursal Cuautitlan I en el último año otorgo más
de 9500 prestamos, 350 fueron muestreados para determinar qué
proporción fue concedida a las mujeres. La muestra reveló que 41 %
de los préstamos se otorgaba a las mujeres. Un estudio similar,
efectuado hace 5 años, mostró que 35% de los prestatarios eran
mujeres. En un nivel de slgnificancia de .02, ¿puede usted afirmar
que la proporción de préstamos otorgados a las mujeres ha
cambiado significativamente durante los últimos 5 años?
Solución:
Zc =
-2.35 Se rechaza H0.
11. Algunos teóricos de las finanzas piensan que los precios diarios del
mercado de valores, constituyen una "fluctuación aleatoria con
tendencia positiva". Si tienen razón, entonces el promedio industrial
Dow Jones habrá de mostrar una ganancia en más del 50% los días
de actividad bursátil. Si el promedio aumentará en 101 de 175 días
seleccionados aleatoriamente, ¿qué pensaría usted de la teoría
anterior? Use un nivel de significancia de .01.
Solución:
Prueba de Hipótesis
Zc =
-2.03 Se acepta H0.
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12. La “Costeña” está a punto de decidir si producir una marca nueva de
tomate con mucho condimento. El departamento de investigación de
la compañía aplicó una encuesta telefónica a nivel nacional en 6,000
familias y averiguó que la salsa sería comprada por 335 de ellas. Un
estudio mucho más exhaustivo hecho 2 años antes reveló que 5% de
las
familias
comprarían
la
marca
entonces.
En
un
nivel
de
significancia de 2%, ¿deberá la compañía concluir que hay un mayor
interés en el sabor más condimentado?
Zc =
Solución:
13.
Un
fabricante
de
cortadoras
de
pasto
-2.06 Se rechaza H0.
quiere
comparar
la
confiabilidad de los aparatos que él produce con la de otra marca
que se expende a nivel nacional. Sabe que 15% de las cortadoras de
su competidor requieren reparación durante él primer año de uso.
Una muestra de 120 de sus clientes reveló que, 22 de ellos,
necesitaban reparaciones el primer año de uso. En el nivel de
significancia de .02, ¿hay evidencia de que las cortadoras del
comerciante difieren en su confiabilidad de las de su competidor?
Solución:
Zc = 1.02 Se acepta H0.
14. Si tenemos una media muestral de 15.7, una desviación están dar
de la muestra de 6 y un tamaño de la muestra de 16, pruebe la
hipótesis de que el valor de la media de la población es 17 contra la
alternativa de que éste sea menor que 17. Use un nivel de
significancia de .025.
Solución: tc = -0.87 Se acepta H0.
Prueba de Hipótesis
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15. Si una muestra de 20 exámenes revela una media muestral de 16
aciertos y una variancia muestral de 2.25 aciertos pruebe la
hipótesis de que la media de la población es de 15 aciertos, contra
la alternativa de que sea algún otro valor. Use el nivel de
significancia de .01.
Solución: tc = 2.98 Se rechaza H0.
16. Un vendedor de bienes raíces tomó una muestra aleatoria de 7
casas en una zona del municipio de Atizapan de Zaragoza en el
estado de México y encontró que el valor promedio estimado del
mercado era de $560,000 pesos, con una desviación estándar de
$49,000 pesos. Pruebe la hipótesis de que, para todas las casas de
la zona, el valor medio estimado es inferior de $600,000 pesos. Use
el nivel de significancia de .05.
Solución: tc = -2.16 Se rechaza H0.
17. El departamento de procesamiento de datos de la compañía de
seguros de vida MetLife México ha instalado nuevas terminales de
video a colores para reemplazar las unidades monocromáticas
usadas anteriormente. Los 95 operadores capacitados para emplear
las nuevas máquinas necesitaban un promedio de 7.2 horas antes de
alcanzar un nivel satisfactorio de rendimiento. Su variancia muestral
fue de 16.2 horas al cuadrado. La larga experiencia con operadores
en las antiguas terminales monocromáticas revela que tenía un
promedio de 8.1 horas en las máquinas antes de dar un rendimiento
satisfactorio. En un nivel de significancia de .01, ¿debe el supervisor
del departamento llegar a la conclusión de que es más fácil aprender
a operar las nuevas máquinas?
Solución:
Prueba de Hipótesis
Zc = -2.17 Se acepta H0.
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18. Un documental de televisión dedicado a la comida chatarra afirmó
que, en promedio, los norteamericanos tienen un exceso de peso de
10 libras aproximadamente. Para probar esta hipótesis, se tomó una
muestra
de
18
personas
seleccionados
aleatoriamente,
y
se
descubrió que su exceso promedio de pesó era de 12.4 libras, con
una desviación están dar de la muestra de 2.7 libras. En un nivel de
significancia de .01, ¿hay razones para dudar de lo mostrado en el
documental?
Solución: tc = 3.77
19.
Un
distribuidor,
de
software
para
sistemas
Se rechaza H0.
operativos
de
computadoras personales está planeando la oferta inicial de sus
existencias al público, a fin de reunir suficiente capital de trabajo y
financiar el desarrolló de un sistema integrado de la séptima
generación. Con las actuales ganancias de $1.61 por acción, el
distribuidor y sus suscriptores estaban considerando un precio de
oferta de $21, o sea 13 veces las ganancias. A fin de verificar si el
precio es adecuado, escogieron en forma aleatoria 7 firmas de
software cotizadas en la bolsa de valores y descubrieron que su
razón promedio de precio/ganancias era de 11.6, con una desviación
estándar de la muestra de 1.3. Cuando α = .02, ¿puede el
distribuidor afirmar que las acciones de las empresas de software
cotizadas en la bolsa de valores tienen una razón promedio de
precio/ganancias que es significativamente diferente de 13?
Solución: tc = -2.85
Prueba de Hipótesis
Se acepta H0.
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20. Se reunieron dos muestras independientes de observaciones. En la
primera muestra de 40 elementos, la media fue de 198 y la
desviación estándar de 15. La segunda muestra de 55 elementos
tenía una media de 204 y una desviación estándar de 11. Usando α
= .01, pruebe si puede considerarse razonablemente que las dos
muestras provienen de poblaciones que tengan la misma media.
Solución:
Zc = -2.14 Se acepta H0.
21. Para celebrar su primer aniversario, Raúl Pérez decidió comprarle a
su esposa unos aretes de diamantes. Le mostraron 9 pares con
gemas de marquesa que pesaban aproximadamente 2 quilates cada
par. Debido a las diferencias de color y calidad de las piedras, los
precios variaban de un juego a otro. El precio promedio era de
$2,990 pesos con una desviación estándar de $370 pesos. Raúl
también examinó 6 pares con piedras en forma de pera, que tenían
aproximadamente el mismo peso de dos quilates. Estos aretes
costaban un precio promedio de $3,065 pesos, con una desviación
estándar de $805 pesos. Basándose en esta evidencia, ¿puede Raúl
concluir (en un nivel de significancia de .05) que, los diamantes en
forma de pera cuestan más en promedio que los diamantes de
marquesa?
Solución: tc = -0.25
Prueba de Hipótesis
Se acepta H0.
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22. Los datos que muestra a continuación son
una
muestra
escogidas de
aleatoria
de
9
la revista The
empresas
Wall Street
Journal del 5 de febrero de 2006. ¿Fueron en
promedio
diferentes
las
ganancias
por
acción en 2004 y 2005? Realice la hipótesis
con α = .02.
Empresa
Ganancias en 1984
Ganancias en 1985
1
1.38
2.48
2
1.26
1.50
3
3.64
4.59
4
3.50
3.06
5
2.47
2.11
6
3.21
2.80
Solución: tc = -0.54
7
1.05
1.59
8
1.98
0.92
9
2.72
0.47
Se acepta H0.
23. En las negociaciones de la revisión del contrato colectivo de las
AAPAUNAM, el sindicato realizó entrevistas
entre sus agremiados, para averiguar si
preferían
un
incremento
considerable
en
primas para la jubilación o un aumento más
pequeño al salario. En una muestra de 1000
hombres, 743 se pronunciaron en favor del
incremento en las primas para la jubilación.
De
500
mujeres
entrevistadas,
405
estuvieron en favor del aumento a las primas de jubilación. Pruebe la
hipótesis según la cual proporciones iguales de hombres y mujeres
favorecen el incremento de las prestaciones de la jubilación. Use un
nivel de slgnificancia de .05.
Solución:
Prueba de Hipótesis
Zc = -0.67 Se acepta H0.
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24. Una muestra de 32 fondos de inversión que ofrecen los bancos a los
ahorradores; mostró que su tasa anual
promedio de rendimiento durante el año
de
2006
fue
de
7.23%,
con
una
desviación estándar de la muestra de .51
%. Un año antes, una muestra de 38
fondos
de
inversión
tuvo
una
tasa
promedio de rendimiento de 8.36%, con
una desviación estándar de la muestra de .84%. ¿Es razonable
concluir que las tasas de interés de este instrumento de inversión
han disminuido durante 2006?
Solución:
Zc = -6.92 Se rechaza H0.
25. Dos laboratorios de investigación han producido independientemente
medicamentos que dan alivio a los que
sufren artritis. El primer fármaco fue
probado en un grupo de 90 víctimas de
artritis, dando un promedio de 8.5 horas
de alivio, con una desviación estándar de
1.8
horas.
El
segundo
fármaco
fue
probado en 80 víctimas de artritis y produjo un promedio de 7.9
horas de alivio, con una desviación estándar de 2.1 horas. En un
nivel de significancia de .05, ¿ofrece el segundo medicamento un
periodo significativamente más corto de alivio?
Solución:
Prueba de Hipótesis
Zc = 1.8 Se rechaza H0.
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26. Dos secciones de una gran ciudad
están siendo consideradas como sede
de centros de atención diurna. De 200
familias entrevistadas en una sección,
la
proporción
en
que
la
madre
trabajaba de tiempo completo fue de
0.52. En la otra sección, 40% de las
150
familias
entrevistadas
tenían
madres que trabajaban en empleos de tiempo completo. En un nivel
de significancia de .04, ¿existe una diferencia significativa en la
proporción de madres que trabajan en las 2 áreas de la ciudad?
Solución:
Zc = 2.25 Se rechaza H0.
27. Una planta eléctrica alimentada con carbón está estudiando la
posibilidad de instalar 2 sistemas diferentes de anticontaminación. El
primero
ha
reducido
la
emisión
de
contaminantes
a
niveles
aceptables 68% de las veces, determinados con 200 muestras de
aire. El segundo sistema, más costoso, ha disminuido las emisiones
a niveles aceptables en 76% de las veces, determinados con 250
muestras de aire. Con un nivel α = 0.02 determine si el segundo
sistema es más eficiente para disminuir la contaminación.
Solución:
Prueba de Hipótesis
Zc = -1.76
Se acepta H0.
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28. Banca Serfin quiere determinar
la
eficiencia
ejecutivos
de
de
sus
cuenta
nuevos
en
la
obtención de clientes. Luego de
terminar su capacitación, los nuevos ejecutivos dedican varias
semanas a conseguir clientes para que abran cuentas en el banco.
Los datos que se muestran a continuación representan el número de
nuevas cuentas abiertas en sus dos primeras semanas por 10
ejecutivas y 8 ejecutivos de cuenta seleccionadas al azar. ¿Podría
concluirse que las mujeres son más eficaces en obtención de nuevas
cuentas que los hombres?
Número de cuentas nuevas
Ejecutivas de cuenta
12
11
14
13
13
14
13
12
Ejecutivos de cuenta
13
10
11
12
13
12
10
12
Solución: tc =2.25
14
12
Se rechaza H0.
29. La PROFECO selecciona varios modelos de automóvil y evalúa su
ahorro de combustible. En el estudio de este año sobre 2 modelos
subcompactos de 2 fabricantes, el Kilometraje promedio de 12
automóviles de marca A fue de 10.94 kilómetros por litro, con una
desviación están dar de 1.53 kilómetros por litro. Las 9 unidades de
la marca B que fueron probadas arrojaron un promedio de 12.9
kilómetros por litro con una desviación estándar de 1.73 kilómetros
por litro. Con alfa al 2%, ¿debe llegarse a la conclusión de que los
automóviles de ambas marcas tienen el mismo rendimiento de
kilometraje por litro de gasolina consumido?
Solución: tc = -2.75
Prueba de Hipótesis
Se rechaza H0.
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30. A nueve proveedores de la FESC de equipo de cómputo se les
solicito una cotización de 2 impresoras semejantes tipo láser. Los
resultados de estas cotizaciones se muestran a continuación. ¿Es
razonable afirmar que, en promedio, la impresora marca HP cuesta
menos que la impresora Xerox?
Distribuidor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Precio de HP
3500
4190
3850
3600
4050
3950
3890
4090
3750
Precio de Xerox
3700
4250
3690
3750
3890
3850
3950
4250
4000
Solución: tc = -0.98 Se acepta H0.
31. Un fabricante de auto partes acaba de desarrollar dos nuevos
limpiaparabrisas de dos materiales sintéticos, desea investigar si los
limpiaparabrisas
tienen
la
misma
durabilidad.
Equipa
12
automóviles, pertenecientes a empleados de la empresa, con
limpiaparabrisas fabricados de los dos materiales sintéticos. En 6 de
los vehículos el limpiaparabrisas derecho fue fabricado con el
material A y el de la izquierda con el material B; en otros 6
automóviles, el material A se utilizó en el limpiaparabrisas izquierdo.
Los automóviles fueron conducidos en condiciones normales de
manejo hasta que los limpiaparabrisas empezaron a deteriorarse y
ya no limpiaban bien. Los datos anexos proporcionan la vida útil (en
días) de los limpiaparabrisas. ¿Tienen la misma durabilidad los
limpiaparabrisas fabricados con los dos materiales sintéticos?
Automóvil
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Limpiaparabrisas
Izquierdo
162 323 220 274 165 271 233 156 238 211 241 154
Limpiaparabrisas
Derecho
183 347 247 269 189 257 224 178 263 199 263 148
Solución: tc = -0.51 Se acepta H0.
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32. Una fábrica de pastillas de RAM (memoria de acceso aleatorio) para
computadoras está en vías de decidir si sustituirá su actual línea de
montaje semi automatizada por una línea totalmente automatizada.
Esta empresa ha reunido algunos datos de pruebas preliminares
sobre la producción de pastillas por hora, datos que se presentan a
continuación, y quisiera saber si debe mejorar su línea de montaje.
Formule (y pruebe con α = .02) las hipótesis correspondientes para
ayudarle a llegar a una decisión.
x
Línea semiautomática
Línea automática
198
206
Solución:
s
32
29
n
150
200
Zc = -2.40
Se rechaza H0.
33. Un club de salud ha estado anunciando un riguroso programa de
acondicionamiento físico. El club sostiene que, al cabo de 1 mes en
el programa, el participante promedio será capaz de hacer en dos
minutos 8 planchas más de las que podía hacer al inicio del
programa. Se tomo una muestra de 10 participantes que están en el
programa ¿Qué opina de la afirmación del club? Use el nivel de
significancia de .025.
Participante
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Antes
Después
38
45
11
24
34
41
25
39
17
30
38
44
12
30
27
39
32
40
29
41
Solución: tc = -9.01 Se rechaza H0.
Prueba de Hipótesis
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34. Un grupo de médicos clínicos está efectuando pruebas con algunos
pacientes para determinar la eficiencia de un nuevo antihipertensivo.
Un grupo de enfermos con hipertensión fueron elegidos al azar y
luego fueron asignados aleatoriamente al grupo de control (que
recibía un antihipertensivo bien probado) o al grupo experimental
(que recibía el nuevo fármaco). Los médicos anotaron el porcentaje
de pacientes cuya presión sanguínea se redujo a un nivel normal en
el lapso de un año. En un nivel de significancia de 0.01, pruebe las
hipótesis apropiadas para comprobar si el nuevo medicamento es
significativamente más eficaz que el anterior para reducir la
hipertensión.
GRUPO
PROPORCIÓN QUE
MEJORÓ
NUMERO DE
PACIENTES
Experimental
0.45
120
Control
0.36
150
Solución:
Zc = 1.50
Se acepta H0.
35. Un armador de automóviles piensa que es exagerada la afirmación
del fabricante de llantas pues asegura que la vida de sus productos
es de 40,000 millas. El distribuidor registra cuidadosamente el
millaje obtenido con una muestra de 64 de esas llantas. La media
resulta ser 38,500 millas. La desviación estándar de la vida de todas
las llantas de este tipo fue calculada antes por el fabricante en 7,600
millas. Suponiendo que el millaje tiene una distribución normal,
determine el máximo nivel de significancia en el cual aceptaremos la
afirmación del fabricante respecto a la vida de sus llantas.
Solución:
Prueba de Hipótesis
α = 0.0571
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36. Recientes investigaciones han mostrado
que al menos 40% de los adultos toman
regularmente una taza de café durante el
desayuno. Una muestra aleatoria de 450
individuos reveló que 200 de ellos solían
tomar café en el desayuno. ¿Cuál es el valor
probable de α en una prueba de hipótesis
que pretende demostrar que la afirmación
de las investigaciones era correcta? (Sugerencia: pruebe H0:π=0.4
frente a H1: π>0.4)
Solución:
α = 0.0274
37. Un taller usa una sierra controlada por una máquina para cortar
secciones de los tubos que se emplean en los aparatos de medición
de la presión. La longitud de las secciones está normalmente
distribuida, con una desviación estándar de .06 pulg. Se han cortado
25 piezas con la máquina calibrada para cortar secciones de 5.
Pulgadas de largo. Cuando se las midió, su longitud media fue de
4.97 pulgadas. Use valores probables de α para determinar si la
máquina debería ser recalibrada porque la longitud media es
significativamente diferente de 5 pulgadas.
Solución:
Prueba de Hipótesis
α = 0.0062
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38. Una empresa de servicios educativos anuncia que 80% de las veces
su curso de preparatoria aumentará la puntuación de un individuo en
los
exámenes
de
admisión
a
la
universidad.
El
director
de
mercadotecnia de la empresa, desea averiguar si se trata de una
afirmación razonable. Ha examinado los registros de 125 estudiantes
que se inscribieron en el curso y descubrió que 94 de ellos
efectivamente aumentaron su puntuación. Use valores probables de
α para determinar si los anuncios de la empresa de servicios
educativos deben cambiarse porque el porcentaje de los estudiantes
cuyas calificaciones aumentan es significativamente diferente de
80%.
Solución:
α = 0.0901
39. La biblioteca de la FESC
sospecha que el número
promedio
de
libros
prestados a cada alumno
por semana ha cambiado
en
los
últimos
Anteriormente,
años.
un
promedio de 3.4 libros se
prestaban a los alumnos
por semana. Sin embargo, una muestra reciente de 23 estudiantes
dio un promedio de 4.3 libros por semana, con una desviación
estándar de 1.5 libros. En un nivel de significancia de .01, ¿ha
aumentado el promedio de libros prestados?
Solución: tc = 2.87 Se rechaza H0.
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40. La PROFECO investiga las acusaciones contra una
embotelladora que recientemente inicio operaciones
en el país BIGCOLA, porque no llena los refrescos
correctamente, ha muestreado 200 botellas y ha
descubierto que el contenido promedio es de 31.7
onzas de líquido. En la etiqueta de las botellas se
imprimió un contenido neto de 32 onzas de líquido.
Se sabe que la desviación están dar del proceso es
de 1.5 onzas de líquido. ¿Deben los inspectores llegar a la conclusión
de que, las botellas no están siendo llenadas correctamente? Use un
α=0.02.
Solución:
Zc = -2.82
Se rechaza H0.
41. El grupo Steren vende todo lo relacionado a la
electrónica y sus componentes. Ha tenido mucho
éxito
en
muchas
ciudades
donde
hay
universidades, pero también ha sufrido algunos
fracasos. Un análisis de estos últimos la ha
llevado a adoptar una política de no abrir una tienda a menos que
tenga una seguridad razonable de que por lo menos 15% de los
estudiantes de la ciudad compren sus productos. Una encuesta de
300 de los 2,400 estudiantes realizada en un pequeño colegio de
humanidades,
ha
revelado
que
57
de
ellos
comprarían
sus
productos. Si la empresa está dispuesta a correr un riesgo de 5%,
¿debe abrir una tienda en esta localidad?
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42. En 1982, una encuesta de 50 hospitales municipales de Estados
Unidos reveló una tasa promedio de ocupación de 73.6%, con una
desviación estándar de 18.2%. Otra encuesta de 75 hospitales
municipales, realizada en 1985, descubrió una tasa promedio de
ocupación de 68.9%, con una desviación estándar de 19.7%.
¿Podemos afirmar que la tasa promedio de ocupación ha aumentado
significativamente
durante
los 3
años transcurridos entre
las
encuestas?
43.
En
respuesta
a
las
críticas
concernientes
al
extravío
de
correspondencia, SEPOMEX implantó nuevos procedimientos para
resolver el problema. Al jefe de correos se le ha asegurado que con
este cambio se reducirán las pérdidas por debajo del porcentaje
tradicional de 0.3%. Después de que los nuevos procedimientos
llevaban 2 meses en vigor, SEPOMEX patrocinó una investigación en
la cual un total de 8,000 cartas fueron enviadas desde varias partes
del país. Dieciocho de ellas no llegaron a su destino. En un nivel de
significancia de .10, ¿puede el jefe de correos afirmar que los nuevos
procedimientos cumplieron su cometido?
44. Si queremos aceptar la hipótesis nula 75% de las veces cuando es
correcta, ¿dentro de cuántos errores estándar alrededor de la
supuesta media debe caer la media muestral para que se halle en la
región de aceptación? ¿Y dentro de cuántos debe caer si queremos
tener una seguridad de 96% de aceptar la hipótesis nula cuando sea
verdadera?
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45. Una compañía está tratando de mejorar
la
distribución
de
su
producto
estrella
Yacult. Para lograrlo ha ampliado su fuerza
de
ventas
pues
quiere
introducir
el
producto en nuevos locales. Antes del
incremento de la fuerza de ventas, la
compañía
muestreó
150
tiendas
de
abarrotes y averiguó que 44% de ellas
expendían el producto. Luego de contratar a más vendedores, una
muestra de 200 tiendas de abarrotes indicó que 52% de ellas vendían
Yacult. Con α = 0.04, ¿puede la compañía concluir que la distribución
del Yacult ha mejorado?
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