Mecánica Cuántica Curso 2006 Práctico 3: Algebra 1. a) Haga los

Mecánica Cuántica
Curso 2006
Práctico 3: Algebra
1. a) Haga los productos que se indican:

1
 −2
−3

3
 −2
4

12
 −6
9

5 1
7
0  3 9
2
−7 0
3
5
8
1
0
3
11
−5
8

1
5
6   −6
2
1

6
−8
−2   12
4
−5

8
2 
4

2 4
3 0 
−1 5

12 −20
−18
30 
9 −15
b) Halle la inversa de:

9
 3
1
1
5
3

3
2 
1


2
−3 
1
−4
3
 6 −4
−3
2

2
 1
2
5
3
1

6
2 
15
c) Ortonormalice por el método de Schmidt la base (3, 1, 2) ; (−1, 2, 0) ; (1, −1, −2).
2. a) Halle los autovalores y autovectores de:

10
 −12
6
−2
5
0
µ

−16
24 
−7
2 1+i
1−i
3

1
 −1
1

−1 1
1 1 
1 1
µ
.6 .8 i
.8 i
.6
¶


1
1−i
2+i
 1+i
2 1+3i 
2−i 1−3i
1
¶
b) Diga cuales de dichas matrices son hermı́ticas y cuales unitarias. Diagonalı́celas y en
el caso de las matrices hermı́ticas hágalo con una matriz unitaria. En el caso de aquellas
matrices de las dadas, que sean unitarias, verifique que su determinante vale 1.
3. Considere la matriz

2.5
A =  −1
.5
1

−1 .5
3
1 
1 2.5
a) Halle autovalores y autovectores.
b) Halle los proyectores de A y muestre que los autovectores de A lo son también de sus
proyectores.
c) Muestre que los proyectores de A son (i) indempotentes , (ii) forman una descomposición
de la unidad. (Se dice que un operador A es idempotente si es igual a su cuadrado, o sea
A = A2 .)
4. a) Pruebe que es (ABC)−1 = C −1 B −1 A−1 y (AB)† = B † A†
b) Pruebe que si existe A−1 y (A − B)−1 entonces (A − B)−1 = A−1 + A−1 B(A − B)−1
c) Si A, B y C son hermı́ticas, halle el ij−ésimo elemento de A† BC en función de los
elementos A, B y C.
5. a) Verifique que una matriz normal (es decir que conmuta con su adjunta) cumple que: i) Si
todos sus autovalores son reales es hermı́tica, ii) Si todos sus autovalores son de módulo 1 es
unitaria.
b) Construir: i) Una matriz que sea a la vez hermı́tica y unitaria. ii) Una matriz normal ni
hermı́tica ni unitaria.
6. Se define el conmutador de 2 matrices A y B como [A, B] = AB − BA.
Probar que:
a) [A, B] + [B, A] = 0 y [A, A] = 0
b) [A, B + C] = [A, B] + [A, C] y [A + B, C] = [A, C] + [B, C]
c) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] y [AB, C] = [A, C]B + A[B, C]
d) [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0
e) Si A y B conmutan con su conmutador [A, B] entonces es:
i) [A, B n ] = nB n−1 [A, B]
ii) [An , B] = nAn−1 [A, B]
P
0
iii) [A, F (B)] = [A, B]F , donde por definición, si es F (B) = n an B n serı́a
P
0
F (B) = n an n B n−1
7. Si A(t) es un operador que depende de una variable cualquiera, se define
0
A (t) = Ȧ(t) =
a)
dA
dt
= lim A(t+dt)−A(t)
. Demostrar que:
∆t
d exp (Bt)
= exp (Bt) B
dt
d exp (Bt) exp (Ct)
= B exp (Bt)
dt
exp (Ct)+exp (Bt) C exp (Ct), donde exp (A) =
b)
por definición y B y C son operadores constantes (no dependen de t).
P∞
8. a) Demostrar que [A, F (A)] = 0 donde (F (A) = n=0 an An )
P∞
n=0
An /n!
b) Bajo que condiciones es exp (A) exp (B) = exp (A + B) ?
9. Sea A una matriz normal de orden n con autovalores (todos distintos entre si) λ1 . . . λm con
(n ≥ m).
a) El polinomio secular de A será D(λ) = λn + α1 λn−1 + . . . + αn . Pruebe que
l Id
Pk = Πk6=l A−λ
λk −λl =
P (A)
(A−λk Id) P 0 (λk )
donde P (A) es el polinomio secular reducido (con iguales raı́ces que D(λ) pero todos simples),
0
P (λ) = dP
dλ y Pk es el proyector de A asociado a λk .
2
b) Verificar que
P
P (X)
P
= Id. Verificar además que esta igualdad implica que
Pk = Id,
P k
(descomposición de la unidad) y luego que, cualquiera sea X entonces X = k Pk X.
k (X−λk Id) P 0 (λk )
c) Si n = m y luego P (λ) = D(λ) pruebe que
Pk =
An−1 +ck2 An−2 +...+ckn Id
λn−1
+ck2 λn−2
+...+ckn
k
k
donde
ckp = αp−1 + λk Sk p−1
10. a) Halle autovalores y proyectores de la matriz

0 1
B= 0 0
1 0

0
1 
0
y usando los proyectores, obtenga los vectores propios de B.
b) Diagonalice y halle proyectores de la matriz hermı́tica

1
 0

 3
0
0
1
0
3
3
0
1
0

0
3 

0 
1
11. En un espacio vectorial de dimensión 2, considere el operador cuya matriz se escribe, en la
base ortonormal {| 1 > | 2 >}
µ
σy =
0 −i
i
0
¶
a) Es σy hermı́tica? Calcule sus valores y vectores propios en la base {| 1 > | 2 >}. Halle
también sus proyectores y verifique que se cumplen las relaciones de ortogonalidad y clausura.
b) Idem que a) para las matrices
µ
σx =
µ
M=
√2
−i 2
0 1
1 0
√
i 2
3
¶
µ
σz =
1
0
0
−1
¶
√
0
2
√
h̄ 
L = 2i
− 2
√0
0 − 2

¶

√0
2 
0
(L representa un operador en un espacio de 3 dimensiones en vez de 2).
c) Demuestre que las matrices σx , σy y σz cumplen σx2 = σy2 = σz2 = Id. Estas matrices
se llaman matrices de Pauli. Muestre que cualquier matriz de orden 2 puede ponerse como
combinación lineal de la identidad y las matrices de Pauli.
d) Muestre que
exp(iασx ) = Id cos α + iσx sin α
3
y que se cumple una relación idéntica para σy y σz , y también para toda matriz del tipo
σµ = νσx + µσy con ν 2 + µ2 = 1.
Calcule
exp(2iσx ), (exp(iσx ))2 y exp(i(σx + σy ))
4