de Funciones Lineales - Universidad Interamericana de Puerto Rico

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UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
MAEC 2140: Métodos Cuantitativos
Prof. J.L.Cotto
Referencia: Conferencia Ecuaciones Lineales y sus Aplicaciones en
la Economía y la Empresa
A. Ecuación para calcular el valor final de una inversión
al cabo de t años
S  P  Prt
o su forma equivalente
S  P(1 rt )
S es la cantidad final
P el valor inicial de la inversión
r es la tasa de interés
t es el tiempo en años
Ejemplo #1
Si una institución financiera ofrece un CD que rinde 2.5% por un término de 6
años y usted invierte $7.000.00, ¿Cuál será el valor final de su inversión al cabo
del termino?
Solución
** Es importante notar que la tasa de interés debe cambiarse a decimal al
utilizarla en las formulas ****
P = $7,000.00
r = 2.5%
S  P  Prt
S  7,000  [(7,000)(.025)(6)] =
= 7,000 + 1,050
S = $8,050.00
t = 6 años
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Ejemplo #2
Si la cantidad final de una inversión original de $12,500 al cabo de 10 años fue
de $15,000.00 ¿Qué tasa de interés hizo esto posible?
Solución
S = $15,000.00
P = $12,500.
t = 10 años
r=¿?
Despejamos la ecuación original para r y tenemos
r=
r=
S-P
Pt
15,000-12,500
2,500
=
= .02 = 2.0%
(12,500)(10)
125,000
Ejemplo #3
Si originalmente se depositaron $8,500.00 y la cantidad final devengada fue de
$19,000.00 a un interés de 8.5%, ¿Cuánto tiempo tardo en madurar la
inversión?
Solución
S = $19,000.00
P = $8,500.
t=¿?
r = 8.5%
Despejamos la ecuación original para t y tenemos
t=
t=
S-P
Pr
19,000-8,500 10,500
=
= 14.53 años
(8,500)(.085)
722.5
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Ejemplo #4
Si al final de 15 años se obtuvieron $25.000.00 y la tasa de interés fue de
9.75%, ¿Cuál fue la cantidad original depositada?
Solución
S = $25,000.00
t = 15 años
P=¿?
r = 9.75%
Despejamos la ecuación original para P y tenemos
P=
P=
S
1 + rt
25,000
25,000
25,000
=
=
= $10,152.28
1 + (.0975)(15)
1  1.4625
2.4625
B. Ecuación para calcular el Rendimiento de una inversión
Esta ecuación es muy utilizada en el mundo de las finanzas para calcular
rendimiento de acciones, entre otros. El resultado final es parecido a una tasa de
interés pero la formula no contempla la variable tiempo.
R% 
Cf  Ci
Ci
R% = el rendimiento de la inversión expresado en %.
Ci = Cantidad inicial
Cf Cantidad final
Como nota importante, el resultado R% puede ser positivo (+), esto es, hubo
ganancia, negativo (-), esto es, hubo perdida, o cero (0), esto es hubo “break even”.
Al numerador de la formula
Cf = Ci de le denomina la Apreciación Capital
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Ejemplo #1
Si un inversor compra 15 acciones a $2.75 cada una y luego las vende a $3.20
cada una, ¿Cuál fue el rendimiento de la inversión?
Solución
Ci = ($2.75)(15) = $41.25
R% 
Cf = (3.20)(15) = $48.00
R%= ¿ ?
Cf  Ci
48.00 - 41.25
6.75
=
=
= .1636 x 100 = 16.36%
Ci
41.25
41.25
Ejemplo #2
Si se compró una casa en $150,000 y se vendió en $146,500; ¿Cuál fue el
rendimiento de esta transacción?
Solución
Ci = $150,000
R% 
Cf = $146,500
R%= ¿ ?
Cf  Ci
146.500 - 150,000
3,500
=
=
= .-.0233 x 100 = -2.33%
Ci
150,000
150,000
Ejemplo #3
Si un inversor obtuvo un 4.5% de rendimiento en una transacción y la
cantidad original envuelta fue de $250,000, ¿Cuál fue la cantidad final que
obtuvo?
Solución
** nota: es importante expresar el rendimiento (al igual que la tasa de interés)
en decimal al utilizarla en la formula ***
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Ci = $250,000
Cf = ¿ ?
R%= 4.5%
Despejamos la ecuación original para Cf y tenemos
Cf = RCi  Ci
= (.045)(250,000) + 250,000 = 11,250 + 250,000
Cf = $261,500
Ejemplo #4
Si en una transacción un inversor obtuvo $150,000 y el rendimiento fue de un
15.75%, ¿Cuál fue la cantidad original envuelta?
Solución
Ci = ¿ ?
Cf = $150,000
R%= 15.75%
Despejamos la ecuación original para Ci y tenemos
Ci 
Cf
150,000 150,000
=
=
= $129,589.33
1 + R 1 + .1575
1.1575
C. Ecuación para calcular la depreciación lineal (la misma
cantidad) de un activo por N años
V
C n
N
V es la cantidad a descontar (la depreciación) en forma constante
C es el valor inicial del activo
n es el valor residual (si alguno) del activo al cabo de N años
N es el número de años a depreciar
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Ejemplo #1
Un activo de la empresa costo $200,000 y se espera que al terminar su
depreciación renga un valor residual de $20,000 al cabo de 15 años.
Determine la depreciación anual.
Solución
C = $200,000
V
C n
N
=
N = 10 años,

n = $20,000
V=¿?
200,000  20,000
180,000
=
= $12,000/año
15
15
Ejemplo #2
Si un activo se estuvo depreciando a razón de $8,500/año, por espacio de 15
años y su valor residual en los libros de la empresa es de $15,000, ¿Cuál fue el
costo original del activo?
Solución
C=¿?
N = 15 años,
n = $15,000
V =$8,500/año
Despejando la ecuación original para C, tenemos
C = VN + n = (8,500)(15) + 15,000 =
= 127,500 + 15,000 = $142,500
Ejemplo #3
¿Cuál es el valor residual si un activo se deprecia a razón de $10,500/año y por
12 años y su valor de compra fue de $160,000?
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Solución
C = $160,000
N = 12 años,
n=¿?
V =$10,500/año
Despejando la ecuación original por n tenemos
n = C - VN
= 160,000 - (10,500(12) = 160,000 - 126,000
= $34,OOO
Ejemplo #4
¿Por cuánto tiempo se estuvo depreciando un activo cuyo costo original fue de
$190,000, tuvo un residual de $14,500 y su depreciación anual fue de
=$14,500/año?
Solución
C = $190,000
N=¿?
n = $18,000
V =$14,500/año
Despejando la ecuación original por N tenemos
N
C n
190,000  18,000
172,000
=

V
14,500
14,500
= 11.86 años
D. Ecuación para calcular el costo total de una operación
de una empresa
TC  FC  VCxQ donde
TC es el costo total
FC es el costo fijo
VC es el costo variable por unidad
Q las unidades producidas
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Ejemplo #1
Determine los costos totales de una empresa cuyos costos fijos son de $30,000, su
costo variable por unidad es de $2.50 y produjo 5,000 unidades
Solución
FC = $30,000
VC = $2.50
Q = 5,000
TC = ¿ ?
TC  FC  VCxQ =
= 30,000 + [(2.50)(5,000)]
= 30,000 + 12,500 = $42,500
Ejemplo #2
Si una empresa tuvo costos variables de $4.80 por unidad, produjo 10,000
unidades y sus costos totales fueron de $170,000, ¿Cuánto fueron sus costos
fijos?
Solución
FC = ¿ ?
VC = $4.80
Q = 10,000
TC = $170,000
Despejando la ecuación original para FC tenemos
FC  TC  VCxQ
= 170,000 - [(4.80(10,000]
= 170,000 - 48,000 = $122,000
Ejemplo #3
Si los costos totales de una empresa fueron de $250,000 con costos variables de
$6.00 por unidad y unos costos fijos de $12,000, ¿cuántas unidades se
produjeron?
Solución
FC = $12,000
VC = $7.00
Q =¿?
TC = $250,000
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Despejando la ecuación original por Q tenemos
Q=
TC - FC 250,000 - 12,000 238,000

=
= 34,000
VC
7.00
7.00
Ecuación para calcular los ingresos totales de una empresa
TR  PxQ donde
TR son los ingresos totales
P es el precio por unidad
Q son las unidades vendidas
Ejemplo #1
Si una empresa vende su producto a $5.50 por unidad y vende 6,000 unidades
entonces los ingresos totales son…..
Solución
$P = $5.50
Q = 6,000
TR = ¿ ?
TR = $P x Q = ($5.50)(6,000) = $33,000
Ecuación para calcular la ganancia o pérdida de una
empresa
Π = TR  TC
Π es la ganancia o pérdida
TR son los ingresos totales
TC son los costos tales
Ejemplo #1
Si la empresa del ejemplo anterior tuvo costos totales de $44,000, determine si
hubo ganancias o pérdidas.
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Solución
Π=¿?
TR = $33,000
TC = $44,000
Π = TR  TC
=
(33,000 – 44,000) = - $11,000 Perdidas
Para los ejemplos subsiguientes podemos escribir la ecuación Π = TR  TC
de las siguientes formas
Π = TR  [FC + (VC)(Q)]
Π = PQ  [FC + (VC)(Q)]
Ejemplo #2
Si la empresa manufactura y vende 10,000 unidades sus costos fijos son de
$15,000 con costos variables de $4.50 y realizo ingresos de $80,000, determine
si hubo ganancia o perdida
Solución
Π=¿?
TR =$80,000
VC = $4.50
Q = 10,000
FC = $15,000
Π = TR  [FC + (VC)(Q)]
= 80,000  [15,000 + (4.50)(10,000]
 80,000  [15,000 + 45,000] =
= 80,000 - 60,000 = $20,000 (ganancia)
Ejemplo #3
En el ejemplo #2, si el precio de venta es de $6.50, entonces determine si hubo
ganancias o pérdidas
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Solución
Π = ¿ ? $P = 6.50
VC = $4.50
Q = 10,000
FC = $15,000
Π = PQ  [FC + (VC)(Q)]
 (6.50)(10,000)  [15,000 + (4.50)(10,000)] =
= 65,000 - 60,000 = $5,000 (ganancia)
Ejemplo #4
Dados los siguientes datos, hallar la variable que falta
Π = $200,000 $P = 6.50
VC = $5.50 Q = ¿ ?
FC = $25,000
Q= ¿Qué cantidad se produjo y vendió?
Solución
 = PQ  [FC + (VC)(Q)] =
200,000 = (6.50)(Q) - 25,000 - (5.50)(Q) =
200,000 = (6.50)(Q) - (5.50)(Q) - 25,000 =
200,000 + 25,000 = (1.0)(Q)
$225,000 = Q
Ejemplo #5
Dados los siguientes datos, hallar la variable que falta
Π = $400,000 P = ¿ ? VC = $5.20 Q = 20,000
P = ¿Cuál fue el precio de venta?
FC = $40,000
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Solución
  PQ  [FC + (VC)(Q)] =
400,000 = (P)(20,000) - 40,000 - (5.20)(20,000)
400,000 = (P)(20,000) - 40,000 - 104,000 =
400,000 = (P)(20,000) - 64,000 =
400,000 + 64,000 = (P)(20,000)
464,000 = (P)(20,000) (ahora dividimos ambos lados por 20,000)
P = $23.20