Presentamos la solución de Ros.

Problema 200
Xavier Ros
Problema. Determinar, en función del parámetro real a, el número de
raı́ces de la ecuación
ax = loga x.
Solución. En primer lugar, notemos que la función loga x es por definición
la inversa de la función ax , y que está definida solo para a > 0, a ̸= 1.
De este modo, denotando f (x) = ax , la ecuación se puede escribir como
f (x) = f −1 (x), o equivalentemente,
f (f (x)) = x.
Además, la función f es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
A continuación demostraremos que si f es una función monótona, entonces los puntos fijos de f ◦ f son exactamente los puntos fijos de f , es
decir, que si f es monótona y f (f (x)) = x, entonces f (x) = x.
Supongamos f (x) < x y f creciente, y veamos que f (f (x)) < x. Sea
I = (a, b) el máximo intervalo que contiene x y que cumple f (y) < y para
todo y ∈ I (puede ser a = −∞ y/o b = +∞). Si a > −∞, entonces f (a) ≥ a
(por definición de I) y, como f es creciente, tenemos que a < x implica
a ≤ f (a) < f (x). Análogamente, si b < +∞, entonces f (x) < b, y por lo
tanto, tendremos que f (x) ∈ I, y por definición de I, f (f (x)) < f (x), de
donde f (f (x)) < x. De la misma forma, se demuestra que si f es creciente
y f (x) > x, entonces f (f (x)) > x, y lo mismo para f decreciente.
De este modo, el número de soluciones de la ecuación f (f (x)) = x es
el mismo que el de soluciones de f (x) = x, por lo que hemos reducido el
problema a calcular el número de puntos fijos de la ecuación
ax = x.
Definimos la función auxiliar g(x) = ax − x, y notemos que los ceros de
g seran los puntos fijos de f .
Si 0 < a < 1, tendremos que g(0) = 1 > 0 y g(1) = a − 1 < 0, y por
el Teorema de Bolzano g tiene un cero en (0, 1). Además, tendremos que
g ′ (x) = ax ln a − 1 < 0 y por el Teorema de Rolle la función no podrá tener
más de un cero. Por lo tanto, si 0 < a < 1 el número de soluciones de la
ecuación es 1, y dicha solución se encuentra en el intervalo (0, 1).
Si a > 1, entonces g ′ (x) = ax ln a − 1 y g ′′ (x) = ax ln2 a > 0. Como
la derivada segunda no se anula en ningun punto, entonces aplicando el
Teorema de Rolle dos veces obtenemos que g tiene a lo sumo dos ceros.
Como
lı́m g(x) = +∞,
x→±∞
el mı́nimo absoluto de g se encuentra en el punto donde la derivada vale
cero, es decir, xmin = − ln ln a/ ln a. La función g tendrá uno, dos o ningun
cero dependiendo de si este mı́nimo absoluto es cero, negativo o positivo,
respectivamente. Como
g(xmin ) =
ln ln a
ln(e ln a)
1
+
=
,
ln a
ln a
ln a
entonces el signo de este mı́nimo será positivo si ln a > e, negativo si ln a < e
y cero si ln a = e, ası́ que finalmente tendremos que la función f tiene dos
puntos fijos si 1 < a < e1/e , un punto fijo si a = e1/e , y ningun punto fijo si
a > e1/e .