Entropía calculada de acuerdos a los w según modelo de

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Entropía calculada de acuerdos a los w según
cartera de Harry Markowitz
modelo de optimización de
En 1952 Harry Markowitz revoluciona, la forma de construir portafolios de inversión
con su teoría de selección de carteras, dados sus aportes al análisis de inversiones
le es otorgado el premio nobel en 1990. Markowitz afirma sobre la racionalidad de
los inversionistas que estos están dispuestos a maximizar la rentabilidad a un nivel
de riesgo dado.
Para esto define la rentabilidad del portafolio para dos activos, como la
multiplicación de los pesos de los activos por sus respectivas rentabilidades
esperadas.
𝐸(𝑟𝑝) = ∑ 𝑤𝑖 ∗ 𝐸(𝑟𝑖) = 𝑤1 𝐸(𝑟1 ) + 𝑤2 𝐸(𝑟2 ) + 𝑤𝑖 𝐸(𝑟𝑖 )
A su vez en finanzas todo lo que tenga varianza es riesgoso de finiendo el riesgo
del portafolio como la raíz cuadrada de la varianza.
𝜎𝑝2 =𝑤 21 𝜎1 2 +𝑤 2 2 𝜎2 2 +2𝑤1 𝑤2 𝑐𝑜𝑣𝑎1,2.
Si a todas las combinaciones posibles le calculara su riesgo del portafolio y su
rentabilidad y las graficara en un plano cartesiano siendo el eje X el riesgo y el eje
Y , se graficaría una curva donde se puede maximizar la rentabilidad a un nivel de
riesgo dando , en el instante en que una línea recta toque la curva , para esto debo
combinar un activo libre de riesgo al que denomino Rf.
TOMADO: MATERIAL DE CLASE PROFESOR GUILLERO BUENAVENTURA ICESI
Esta curva tiene eficiencia en combinaciones que maximicen su rentabilidad a un
nivel de riesgo dado, estos portafolios se ubican en la frontera eficiente, e iniciando
en un punto optimizador y terminando en una combinación de 100% en la acción
dominante que es aquella que domina al conjunto del total acciones, graficando en
un plano cartesiano ,siendo el eje x el riesgo de cada acción y en el eje y la
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rentabilidad, observado en el plano cual punto optimiza la rentabilidad a un nivel de
riesgo dado.
TOMADO: MATERIAL DE CLASE PROFESOR GUILLERO BUENAVENTURA ICESI
Esta frontera se optimiza en el momento en que una línea recta la toca el elipsoide,
combinando un activo Rf con la combinación de portafolios arrojada por el punto de
tangencia en el momento en que se maximiza la pendiente de esta línea
denominada la razón de sharpe dada su ecuación:
Razón de Sharpe=
𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜−𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑑𝑒 𝑅𝑓
𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜
Sientdo la maximización de este punto el portafolio optimo recomendado para
realizar la inversión.
APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE PORTAFOLIOS AL COLCALP 20
Se analizó el índice de la bolsa de Colombia, colcalp 20 donde se encuentran las
principales acciones del mercado nacional. Al correr el modelo de optimización en
Excel nos arrojó una composición optima de portafolios de la siguiente forma:
Otorgando un peso mayor a Banco de Bogotá con un 32% , como lo muestra la
gráfica 1
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PORTAFOLIO OPTIMO
Davivienda
Preferencial
18%
Banco de Bogotá
32%
Celsia
20%
Cementos Argos
24%
EEB
1%
Isagen
4%
Corficolombiana
1%
Fuente: Elaboración propia
Este portafolio está ubicado en las coordenadas de riesgo de 0.75% en X y en Y
0.06%, siendo el punto donde se maximiza la rentabilidad a un nivel de riesgo
dado. Este punto se encuentra en el momento en que una línea recta que son
combinaciones de portafolios de un activo rf y el portafolio optimo atraviesa la curva,
como lo seña la flecha en la gráfica siguiente.
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PORTAFOLIO OPTIMO COLCALP
0.100%
RENTABILIDAD DEL PORTAFOLIO
0.090%
0.080%
0.075%
0.073%
0.072%
0.070%
0.067%
0.065%
0.062%
0.058%
0.052%
0.070%
0.060%
0.050%
0.077%
0.040%
0.030%
0.030%
0.020%
0.010%
0.000%
0.000% 0.200% 0.400% 0.600% 0.800% 1.000% 1.200% 1.400% 1.600% 1.800%
RIESGO DEL PORTAFOLIO
De acuerdo a la teoría de Markowitz, y siendo esta el portafolio óptimo de mercado,
calculamos la entropía medida por la ecuación de Shannon =H− ∑𝑁
𝑖=1| 𝑃𝑖 ln𝑃𝑖 .
Meucci en el 2007 expone que la diversificación de la cartera puede ser calculada
por 𝑁𝑒𝑛𝑡 = exp( H− ∑𝑁
𝑛=𝑘+1 𝑃𝑛 ln𝑃𝑛 ).
Remplazamos en la ecuación el pn por los pesos del portafolio óptimo de inversión
y aplicando la ecuación de Meucci , calculamos una entropía de 5.9 para el
portafolio optimo del mercado Colombiano.
Acciones Portafolio
optimo
Banco de Bogotá
EEB
Cementos Argos
Corficolombiana
Isagen
Celsia
Davivienda
Preferencial
w optimo
32.27%
1.50%
23.73%
0.51%
3.61%
20.03%
Pn ln Pn
0.4
0.1
0.3
0.0
0.1
0.3
18.36%
Exp
Entropía
0.3
1.8
5.9
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