+ x - IES Gabriela Mistral

LÍMITES
Y
CONTINUIDAD
Tema 6
Matemáticas Aplicadas CS I
1
INDETERMINACIONES
Tema 6.3 * 1º BCS
Matemáticas Aplicadas CS I
2
Límites con infinitos
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Al calcular el límite de una función polinómica, y = P(x), en el infinito, puede ocurrir:
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Lím P(x) = + oo
x à+oo
Lím P(x) = – oo
x à+oo
Lím P(x) = + oo
x à– oo
Lím P(x) = – oo
x à – oo
•
El signo del resultado dependerá del signo que tenga la potencia de mayor exponente
del polinomio que caracteriza la función, que será el que prevalezca.
•
Cuando x à – oo , habrá que tener especial cuidado con el hecho tener potencias de
exponente par o impar, pues un exponente par cambia el signo negativo a positivo y
un exponente impar no.
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Lím + N / P(x) = N / (+ oo) = 0
x à+oo
Lím – N / P(x) = – N / (– oo) = 0
x à+oo
Lím P(x) = N / (– oo) = 0
x à– oo
Lím P(x) = – N / (+ oo) = 0
x à – oo
Matemáticas Aplicadas CS I
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Ejemplos:
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Lím - x5 = - (- oo)5 = – (– oo) = (– oo)
x à – oo
Lím x + 2 = oo + 2 = oo
x à+oo
Lím x2 + 3.x + 2 = (– oo)2 + 3.(– oo) + 2 = oo – oo + 2 = oo
x à– oo
Lím x3 – x = (- oo)3 – (- oo) = – oo + oo = – oo
x à – oo
Lím - x3 + x2 = - (- oo)3 + (- oo)2 = – (– oo) + oo = + oo
x à – oo
Lím 1 / (x – 2) = 1 / (oo – 2) = 1 / oo = 0
x à+oo
Lím 1 / (3 – x2) = 1 / (3 – (– oo)2) = 1 / (3 – oo) = 1 / (– oo) = 0
x à– oo
Lím 1 / (x + x3) = 1 / (oo + (– oo)3) = 1 / (oo – oo) = 1 / (– oo) = 0
x à– oo
Matemáticas Aplicadas CS I
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Indeterminada [0.oo]
•
•
Sabemos que 0.k = 0 siempre.
Sabemos que oo.k = oo siempre.
•
•
Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no
podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto.
Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo]
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•
Para resolverla se procede así:
Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L
xàa
xàa
xàa
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Ejemplo 1
x
x2 - 1
1 0
x (x+1).(x-1)
1+1
lím ------- . ----------- = --- . --- = [oo.0] = lím --------------------- = ---- = 2
xà1 x - 1
x
0 1
xà1 (x – 1).x
1
Matemáticas Aplicadas CS I
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•
Ejemplo 2
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1
x3 + 1
1
0
lím
------- . Lím
---------- = --- . ----- = - [oo.0]
xà – 1 x +1 xà – 1
x
0 –1
•
Resolvemos la indeterminación:
•
•
•
(x+1).(x2 – x +1)
(x2 – x +1)
lím ------------------------- = lím
--------------- =
xà – 1 (x +1).x
xà – 1
x
•
•
•
(– 1)2 – (– 1) + 1
1+1+1
3
= ------------------------- = ------------- = ------ = – 3
–1
–1
–1
•
Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo.
Matemáticas Aplicadas CS I
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Indeterminada [oo/oo]
•
•
Sabemos que oo / k = oo siempre.
Sabemos que k / oo = 0 siempre.
•
Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no
podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto.
Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo]
•
•
•
•
•
Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y
denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes
que presente dicha variable.
N(x) / xm
Lím f(x) = Lím -------------xàa
xàa D(x) / xm
•
•
Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x)
Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo]
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• EJEMPLOS INTUITIVOS DE LÍMITES EN EL INFINITO
• Ejemplo 1
• y = x / (x – 3)
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Para x = 1000 à y = 1000/997 = 1,003
Para x=10000 à y = 10000/9997 = 1,0003
Para x = 100000 à y = 1,00003
Por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco.
Además se acerca a y=1, aunque nunca llega.
Lím
f(x) = 1
xà+oo
• Ejemplo 2
• y = x / (x2 – 4)
•
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•
•
•
•
Para x = 1000 à y = 1000/999996 = 0,001
Para x=10000 à y = 10000/9999996 = 0,0001
Para x = 100000 à y = 0,00001
Para x = 1000000 à y = 0,000001
Lím
f(x) = 0
xà+oo
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Ejemplo 1
• Ejemplo 1
•
2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1
oo
• lím -------------------- = --------------------- = [-----]
• xàoo
x3 – x2 - 5
oo3 – oo2 – 5
oo
• Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor
de los exponentes ( x3 )
•
2 - (3/x2)+ (1/x3)
2 – (3/oo) + (1/oo)
2–0+0
• lím ------------------------- = -------------------------- = ------------- = 2
• xàoo 1 – (1/x) – (5/x3)
1 – (1/oo) – (5/oo)
1–0-0
Matemáticas Aplicadas CS I
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Ejemplo 2
• Ejemplo 2
•
2.x3 - 3x + 1
2.oo3– 3.oo + 1
oo
• lím -------------------- = ------------------------ = [-------]
• xàoo
5 - x2
5 - oo2
- oo
• Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor
de los exponentes ( x3 )
•
2 - (3 / x2) + (1 / x3) 2 – (3/oo) + (1/oo)
2–0+0
• lím ----------------------------- = -------------------------- = -------------- =
• xàoo (5 / x3 ) - (1 / x)
(5/oo) - (1/oo)
0–0
• = 2 / 0 = oo à Vemos que NO existe límite en el infinito.
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Ejemplo 3
• Ejemplo 3
•
2.x + 1
2.oo + 1
oo
• lím -------------------- = ------------------------ = [-------]
• xàoo
5 + x2
5 + oo2
oo
• Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor
de los exponentes ( x2 )
•
(2 / x) + (1 / x2)
(2/oo) + (1/oo)
0+0
0
• lím ----------------------------- = ----------------------- = ---------- = -- = 0
• xàoo (5 / x2 ) + (x2 / x2)
(5/oo) + 1
0 +1
1
• Vemos que el límite en el infinito es 0.
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Indeterminada [oo - oo]
•
•
Sabemos que k + oo = oo siempre.
Sabemos que k - oo = - oo siempre.
•
Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no
podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto.
•
•
Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así
[oo - oo]
•
•
Hay que resolver dicha indeterminación.
Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado
lugar a la indeterminación.
Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla.
•
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Ejemplo 1
•
•
•
•
•
Lím x – √(x2 - x) = [oo – oo] =
xàoo
(x – √(x2 - x)). (x + √(x2 - x))
Lím ----------------------------------------------------- =
xàoo
x + √(x2 - x)
•
x2 - ( x2 - x )
x
• Lím ------------------------------ = Lím ------------------------- =
• xàoo
x + √(x2 - x)
xàoo
x + √(x2 - x)
• Simplificando todo entre x, queda:
•
1
1
• Lím ------------------------------ = ------------------------- = 1 / (1+1) = 1 / 2
• xàoo
1 + √(1 - 1/x)
1 + √( 1 – 0)
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Ejemplo 2
•
•
Lím √(x2 – 2x + 3) – x =[oo – oo] =
xàoo
•
•
•
(√(x2 – 2x + 3) – x ). (√(x2 – 2x + 3) + x)
Lím ----------------------------------------------------------- =
xàoo
√(x2 – 2x + 3 ) + x
•
•
•
x2 – 2.x + 3 – x2
– 2x + 3
Lím -------------------------------- = Lím ---------------------------- =
xàoo √(x2 – 2x + 3) + x
xàoo √(x2 – 2x + 3) + x
•
•
•
•
Simplificando todo entre x, queda:
–2+3/x
–2+0
Lím --------------------------------- = --------------------- = – 2 / (1+1) = – 2 / 2 = – 1
xàoo √(1 – 2/x + 3/ x2) + 1
√( 1 – 0 + 0) + 1
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Ejemplo 3
• Lím √(x2 – 5) – x =[oo – oo] =
• xàoo
•
(√(x2 – 5) – x ). (√(x2 – 5) + x)
• Lím ----------------------------------------------------------- =
• xàoo
√(x2 – 5) + x
•
x2 – 5 – x2
–5
• Lím ------------------------ = Lím ------------------------- = – 5 / oo = 0
• xàoo √(x2 – 5) + x
xàoo √(x2 – 5) + x
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