modelos de gestión de inventarios. - IIT

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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL
Optimización de gestión de inventarios (stocks)
Andrés Ramos
Universidad Pontificia Comillas
http://www.iit.comillas.edu/aramos/
Andres.Ramos@comillas.edu
CONTENIDO
CARACTERIZACIÓN
MODELOS DETERMINISTAS ESTÁTICOS DE
LOTE ECONÓMICO
MODELOS DETERMINISTAS DINÁMICOS
MODELOS ESTOCÁSTICOS
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DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL
Optimización de gestión de inventarios - 1
Introducción
Necesidad de almacenamiento de productos finales para la
venta o materias primas o producto semielaborado para la
producción
Equilibrar calidad y costes
Calidad: fallo en el suministro a clientes
Costes de almacenamiento:
• Costes de capital invertido
• Espacio, mano de obra, transporte o manejo
• Deterioro, obsolescencia, robo, pérdidas
Modelos de inventarios deciden sobre
Cuánto
Cuándo
pedir de un producto para satisfacer la demanda al mínimo
coste
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Optimización de gestión de inventarios - 2
Caracterización de los costes
Costes de compra [€/ud]
Precio por unidad del artículo. Constante o con descuento por cantidad
Coste de orden y/o preparación o pedido [€/pedido]
Realización del pedido. Independiente del volumen
Coste de almacenamiento [€/ud u.t.]
Mantenimiento del inventario. Coste por unidad en inventario y tiempo
Coste de ruptura o carencia o penuria [€/ud u.t.]
Penalización por insatisfacción de la demanda (pérdida de ingresos,
lucro cesante, de clientes, de imagen o de confianza). Coste por unidad
de demanda insatisfecha y tiempo. Criticidad de la ruptura
Coste total del Coste de


 =  compra
 inventario  
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 Coste de
 + 
  orden
 Coste de
 
Coste de


 + 
 + 
 almacenamiento  ruptura 
 

Optimización de gestión de inventarios - 3
Caracterización de la demanda
Según incertidumbre
Determinista: conocida a lo largo del tiempo
Aleatoria o probabilista: se conoce su función de probabilidad
Según cantidad
Estática: constante por unidad de tiempo
Dinámica: variable con el tiempo (semanal, mensual, etc.)
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Optimización de gestión de inventarios - 4
Caracterización del sistema de inventarios
Según tipo de revisión
Periódica con un cierto intervalo (semanal, mensual, etc.). Coincide
con el momento de realizar un pedido.
Continua: se revisa en cualquier momento. El pedido se hace cuando el
inventario está por debajo de un cierto umbral preespecificado (punto
de reorden)
Según plazo o tiempo de entrega
Determinista
Probabilista o aleatorio
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Optimización de gestión de inventarios - 5
Caracterización de los stocks
Stock en tránsito (QT): Aquél que ha sido pedido pero no ha llegado aún
Stock asignado (QA): Aquél que está en el almacén y ha sido comprado
Stock disponible (QD): Aquél que está en el almacén y no ha sido asignado
Stock físico (QF): Aquél que está en el almacén
Stock logístico (QL): Suma del stock en tránsito y del stock disponible
QL=QT+QD= QT+QF-QA
Proveedores
QD
Almacén
Demanda
QA
QT
QF
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Clasificación de modelos de inventarios


Modelos





Modelos deterministas 


Modelos








Modelos








Modelos
estocásticos



Modelos









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estáticos (o de lote económico EOQ)
dinámicos
de revisión continua

Modelos de un sólo periodo


periódicos 

Modelos multiperiodo


Optimización de gestión de inventarios - 7
CONTENIDO
CARACTERIZACIÓN
MODELOS DETERMINISTAS ESTÁTICOS DE
LOTE ECONÓMICO
MODELOS DETERMINISTAS DINÁMICOS
MODELOS ESTOCÁSTICOS
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Modelo estático determinista de lote económico (EOQ)
con revisión continua
EOQ (Economic Order Quantity)
Demanda conocida de antemano
Datos
[ud/u.t.]
d tasa de demanda
cu coste unitario de compra [u.m./ud]
cp coste de orden o pedido [u.m./pedido]
ca coste de almacenamiento [u.m./ud u.t.]
cr coste de ruptura o carencia [u.m./ud u.t.]
l plazo de entrega
[u.t.]
Variables
Q cantidad a pedir o tamaño del pedido
[ud]
T0 instante del pedido inicial o duración del ciclo o tiempo entre
pedidos
[u.t.]
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Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua SIN RUPTURA y CON ENTREGA
INMEDIATA
Q
Q − dt
tiempo
T0
Nivel de inventario Q-dt
Duración del ciclo T0 =Q/d
Coste total del ciclo
Q2
Coste ciclo=Coste orden+c. compra+c. almacenamiento=c p + cuQ + ca
2d
Coste total por unidad de tiempo
C (Q ) =
dc p
Coste ciclo
cQ
=
+ cud + a
Tiempo ciclo
Q
2
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Optimización de gestión de inventarios - 10
Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua SIN RUPTURA y CON ENTREGA
INMEDIATA
Fórmula de Wilson: tamaño del pedido óptimo (mínimo global
derivando e igualando a 0)
Q =
*
2dc p
ca
Tiempo óptimo entre pedidos
Si Q debe ser entero
Q*
T =
d
*
0
Valores grandes: redondear
Valores pequeños
Q *(Q * − 1) <
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2dc p
ca
< Q *(Q * + 1)
Optimización de gestión de inventarios - 11
Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua SIN RUPTURA y SIN ENTREGA
INMEDIATA
Plazo de entrega l > 0
Inferior a la duración del ciclo l < T0
Pedido cuando nivel de inventario sea ld
Superior a la duración del ciclo l > T0
Plazo de entrega efectivo le = l - nT0 siendo le < T0
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Optimización de gestión de inventarios - 12
Caso ejemplo: fábrica de flanes
Una fábrica de flanes recibe de un proveedor los envases de papel de
aluminio en los que se deposita el contenido del flan. La producción anual
de flanes asciende a 500000 unidades. El coste de pedido cp es de 300 € por
pedido (incluye transporte y descarga). El coste de almacenamiento anual
ca es de un 30 % del valor de adquisición. El valor de adquisición de cada
envase es de 0.09 €. El tiempo hasta la llegada del pedido es un día.
Tamaño de pedido óptimo
Q* =
2 dc p
ca
=
2
500000 envases
300 €/pedido
= 10 5409 en vase s
1 año
(30% ⋅ 0.09 €/envase añ o )
Tiempo óptimo entre pedidos
Q * 105409
T =
=
= 0.2108 años ≃ 2.5 m eses
d
500000
*
0
Q2
1054092
Coste total ciclo=c p + cuQ + ca
= 300 + 0.09 ⋅ 105409 + 0.3 ⋅ 0.09 ⋅
= 10086.8 €/ciclo
2d
2 ⋅ 500000
Coste anual = 47846 €/año
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Optimización de gestión de inventarios - 13
Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua CON RUPTURA y CON ENTREGA
INMEDIATA
T0
Q






S
R
t1
t
t2
Se permite nivel de inventario nulo en cierto tiempo
Al recibir el pedido primero se satisface la demanda pendiente
Introduce costes de ruptura
Coste total del ciclo Coste ciclo=c. orden+c. compra+c. almacenamiento+c. ruptura=
S2
(Q − S )2
= c p + cuQ + ca
+ cr
2d
2d
Coste total por unidad de tiempo
dc p
Coste ciclo
caS 2
(Q − S )2
C (Q, S ) =
=
+ cud +
+ cr
Tiempo ciclo
Q
2Q
2Q
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Optimización de gestión de inventarios - 14
Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua CON RUPTURA y CON ENTREGA
INMEDIATA
Formulación genérica
min C (Q, S )
Q ,S
Q ≥S
Q≥0
Solución óptima
Q =
*
2dc p cr + ca
ca
cr
Tasa de ruptura
S =
*
2dc p
ca
cr
cr + ca
cr
r=
cr + ca
Relacionada con nivel de calidad del servicio.
Valor ∼ 1, cr >> ca , casi no se permiten rupturas
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Optimización de gestión de inventarios - 15
Caso ejemplo: fábrica de flanes
La fábrica de flanes quiere reducir los costes de inventario de los envases
de aluminio. Para ello estudia la alternativa de demorar procesos de
pasteurización cuando se carece de envases. Esta demora implica un coste
adicional de 0.20 €/envase y año
Tamaño de pedido óptimo
Q =
*
S =
*
2dc p cr + ca
ca
2dcp
ca
cr
=
cr
=
cr + ca
2 ⋅ 500000 ⋅ 300 0.2+ 0.3 ⋅ 0.09
= 112299 envases
0.3 ⋅ 0.09
0.2
0.2
2 ⋅ 500000 ⋅ 300
= 98942 envases
0.3 ⋅ 0.09
0.2 + 0.3 ⋅ 0.09
Tiempo óptimo entre pedidos
Q * 112299
T =
=
= 0.2246 años ≃ 2.7 m eses
d
500000
*
0
S2
(Q − S )2
Coste total ciclo=c p + cuQ + ca
+ cr
=
2d
2d
989422
(112299 − 98942)2
= 300 + 0.09 ⋅ 112299 + 0.3 ⋅ 0.09 ⋅
+ 0.2
= 10706.9 €/ciclo
2 ⋅ 500000
2 ⋅ 500000
Coste anual = 47671.4 €/año
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Optimización de gestión de inventarios - 16
Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua SIN RUPTURA y CON DESCUENTO
POR CANTIDAD
El coste unitario de compra tiene descuento por volumen

c1
0 ≤ Q < q1




c2 q1 ≤ Q < q 2


cu (Q ) = 

⋮
⋮



c
Q ≥ qm

 m +1
(c1 > c2 > ... > cm +1 )
Coste total por unidad de tiempo
C i (Q ) =
dc p
Q
+ cid +
caQ
,
2
i = 1,.., m + 1
Tamaño del pedido óptimo
C1 (Q ) C (Q )
2
2dc p
ca
Y =
C m +1 ( Q )
Si q < Y < q el valor óptimo
Q* corresponde a
i −1
i
min {C i (Y ),C i +1(qi ), ⋯,C m +1(qm )}
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q1
Y
q2 ⋯ qm
Q
Optimización de gestión de inventarios - 17
Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua SIN RUPTURA y CON DESCUENTO
POR CANTIDAD
Caso de dos costes unitarios
II
I
C1(Q)
III
C1(Q)
C2 (Q)
C2 (Q)
qY
Q'
C1(Q)
Y q
Q'
C2 (Q)
Y
q <Y
Y < q < Q′
q > Q′
Q* = Y
Q* = q
Q* = Y
siendo Q ′ el valor correspondiente a
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Q'
q
C 2 (Q ′) = C 1(Y )
Optimización de gestión de inventarios - 18
Modelo estático determinista de lote económico con
revisión continua SIN RUPTURA y CON VARIOS
ARTÍCULOS y LÍMITE DE ALMACENAMIENTO
Planeamiento general NLP
d i c pi
caiQ i 

i
i
i i
min ∑ C (Q ) = ∑  i + cud +

2 
Q
i
i 
∑s Q
i
i
≤S
i
Qi ≥ 0
siendo si el espacio unitario ocupado por el artículo i y
S el espacio total disponible
Qi* =
2d i c pi
c
Se prueba si los valores
verifican la restricción. Si
no, planteamiento general como problema NLP
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i
a
Optimización de gestión de inventarios - 19
Mejoras potenciales
Demanda dependiente del inventario: a mayor inventario
mayor demanda
Dependencia del inventario inicial
Dependencia del inventario en cada instante
Maximización de beneficios en lugar de minimización de
costes
Coste de almacenamiento dependiente del nivel de inventario
Reparto entre clientes pacientes (demanda retropedida) e
impacientes (pérdida de demanda)
Inventario repartido entre instalaciones (almacén central con
distribuidores locales)
Productos perecederos
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CONTENIDO
CARACTERIZACIÓN
MODELOS DETERMINISTAS ESTÁTICOS DE
LOTE ECONÓMICO
MODELOS DETERMINISTAS DINÁMICOS
MODELOS ESTOCÁSTICOS
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Optimización de gestión de inventarios - 21
Modelo dinámico determinista con revisión periódica
Datos:
t = 1, …, T periodos de estudio
dt demanda al comienzo del periodo t [ud]
ct(Qt) coste de compra (y de pedido) de Qt unidades en el periodo t [€]
ht(It) coste de almacenamiento de It unidades durante el periodo t [€]
Variables:
Qt cantidad a comprar al comienzo del periodo t [ud]
It nivel de inventario al final del periodo t. I0 inventario inicial [ud]
Planteamiento general
min
∑ [c (Q ) + h (I )]
t
t
t
t
t
Qt + I t −1 = dt + I t
Qt , I t ≥ 0
∀t
∀t
Métodos de solución (optimización LP, NLP, MIP, programación
dinámica, heurísticos)
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Optimización de gestión de inventarios - 22
Modelo dinámico determinista con revisión periódica
Planificación de requerimiento de materiales (MRP)
Planifica y organiza las necesidades de la producción
Demanda periódica conocida
Relaciona la demanda de producto final con los materiales y
componentes para fabricarlo
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Optimización de gestión de inventarios - 23
Modelo dinámico determinista con revisión periódica.
Ejemplo MRP
Se fabrican dos artículos: A1 y A2
Demanda trimestral de artículos: A1 100 y A2 150 unidades
Tiempo de entrega (fabricación) de los artículos: 2 y 1 mes
respectivamente
Cada artículo requiere 2 subensamblajes
Tiempo de entrega (fabricación) de subensamblaje: 1 mes
No hay coste de pedido, ni descuento por volumen, coste de producción
constantes. Óptimo: pedir en el último instante
Mes(final)
0
A1 - entrega
A1 - inicio
S - dispon.
S - pedido 200
A2 - entrega
A2 - inicio
S - dispon.
S - pedido
S - Tot disp
ESCUELA TÉCNICA
DE INGENIERÍA
S SUPERIOR
- Total
200
1
2
3
4
5
100
100
200
6
8
100
100
200
9
100
100
200
200
150
150
300
10 11 12
100
100
200
200
150
150
300
7
200
150
150
300
150
150
300
300
300
300
300
200 300
200 300
200 300
200 300
300
200 300
200 300
200 300
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Optimización de gestión de inventarios - 24
CONTENIDO
CARACTERIZACIÓN
MODELOS DETERMINISTAS ESTÁTICOS DE
LOTE ECONÓMICO
MODELOS DETERMINISTAS DINÁMICOS
MODELOS ESTOCÁSTICOS
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Optimización de gestión de inventarios - 25
Modelos estocásticos
Aleatoriedad en los inventarios principalmente debida a
Demanda (cuánto y cuándo pedir)
Plazo de entrega
STOCK
pedido
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pedido
pedido
PUNTO
DE
PEDIDO
Optimización de gestión de inventarios - 26
Modelo estocástico con revisión continua
Modelo EOQ probabilizado
l plazo de entrega [u.t.]
Dl demanda aleatoria durante plazo de entrega (con media µ l) [ud]
α probabilidad de agotar existencias durante plazo de entrega
B stock de seguridad (nivel de inventario que tiene una probabilidad
<α de ruptura de inventario) [ud] P {Dl ≥ B + µl } ≤ α P {Dl − µl ≥ B } ≤ α
Diferencia entre la demanda y su media exceda el stock de seguridad
Ofrece al cliente calidad en el suministro del producto
B + Q*
Stock de seguridad
+
Demanda media
Punto de pedido
B + µl
B
Stock de seguridad
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l
Optimización de gestión de inventarios - 27
Modelo estocástico con revisión continua
Modelo EOQ probabilizado
Si
D
Dl = N (µl , σl )
entonces
P {Dl ≥ B + µl } ≤ α



B

P Z ≥ 
≤α


σ
l



⇒
⇒
B
≥ zα
σl
⇒
B ≥ z ασl
siendo Z = N (0,1) 1 − α = FN (0,1)(z α )
Si la demanda d está dada por unidad de tiempo (día, semana) [ud/u.t.]
D
µl = d l
σl = σ 2l
Punto de pedido [ud]
Cantidad a pedir [ud]
B + µl
Duración del ciclo [u.t.]
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2dc p
ca
Q* =
Q*
T =
d
*
Optimización de gestión de inventarios - 28
Caso ejemplo de stock de seguridad
Demanda
28
30
33
27
22
40
26
33
31
24
29
28
29
31
28
37
33
29
37
28
33
23
31
23
39
31
32
25
35
25
Diferencia
-2
0
3
-3
-8
10
-4
3
1
-6
-1
-2
-1
1
-2
7
3
-1
7
-2
3
-7
1
-7
9
1
2
-5
5
-5
Clase
Histograma
Frecuencia
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
% acumulado
4,5
Frecuencia
#Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
100,00%
4
90,00%
3,5
80,00%
70,00%
3
60,00%
2,5
50,00%
2
40,00%
1,5
30,00%
1
20,00%
0,5
10,00%
,00%
0
-7
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-5
-3
-1
1
3
5
7
Diferencia a la media
9
y
mayor...
y mayor...
Frecuencia % acumulado
3
10,00%
1
13,33%
2
20,00%
1
23,33%
1
26,67%
4
40,00%
3
50,00%
1
53,33%
4
66,67%
1
70,00%
4
83,33%
0
83,33%
1
86,67%
0
86,67%
2
93,33%
0
93,33%
1
96,67%
1
100,00%
0
100,00%
Optimización de gestión de inventarios - 29
Modelo estocástico con revisión continua
Modelo EOQ probabilista
Hipótesis
• Demanda no satisfecha durante plazo de entrega se acumula
• Distribución estacionaria de la demanda durante plazo de entrega
Datos
• l plazo de entrega [u.t.]
• Dl demanda aleatoria durante plazo de entrega [ud]
• f(d) función de densidad de la demanda aleatoria (con media µ D) [ud/u.t.]
• cp coste de orden o pedido [€/pedido]
• ca coste de almacenamiento [€/ud u.t.]
• cr coste de ruptura o carencia [€/ud u.t.]
Q
Resultados
• R punto de pedido [ud]
• Q tamaño del pedido [ud]
R
l
C ic lo 1
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l
C ic lo 2
Optimización de gestión de inventarios - 30
Modelo estocástico con revisión continua
Modelo EOQ probabilista
Coste de pedido por unidad de tiempo [€/u.t.]
cp
µD
Q
Coste de almacenamiento por unidad de tiempo [€/u.t.]
Q

ca  + R − µDl 
2

• Inventario medio: semisuma de inventario al inicio y final del ciclo
• Inventario inicial (Q+R-µ Dl), final (R-µ Dl) [ud]
Coste de ruptura por unidad de tiempo [€/u.t.]
cr
µD
Q
∫
∞
R
(x − R)f (x )dx
∞
• Cantidad de producto faltante (si Dl>R) por ciclo ∫ (x − R)f (x )dx
R
∞
µ
• Producto faltante por unidad de tiempo D ∫ (x − R)f (x )dx
Q
R
Coste total esperado por unidad de tiempo [€/u.t.]
C (Q, R) = c p
Q

µD
µ
+ ca  + R − µDl  + cr D
2

Q
Q
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∫
∞
R
(x − R)f (x )dx
Optimización de gestión de inventarios - 31
Modelo estocástico con revisión continua
Modelo EOQ probabilista
Derivando e igualando a 0
∫
∞
R*
Q*
f (x )dx = ca
µDcr
∞
2µD (c p + cr ∫ * (x − R * )f (x )dx
Q* =
R
ca
Se calculan por procedimiento iterativo (Hadley y Whitin, 1963) que
converge si existe solución factible.
•
Idea: Partir menor valor posible de Q (número esperado de ruptura =0) y
punto pedido (R=0). Actualizar usando alternativamente ecuaciones
anteriores, hasta que diferencia entre dos puntos de pedido es menor que
tolerancia
Algoritmo
Q1 =
2µDc p
ca
y
1. Solución inicial
2. Cálculo de Ri a partir de Qi
3. Comprobar criterio de parada
R0 = 0
∫
∞
R*
Q*
f (x )dx = ca
µDcr
Ri − Ri −1 < ε
4. Cálculo de Qi+1 a partir de Ri
∞
Q* =
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2µD (c p + cr ∫ * (x − R * )f (x )dx
R
ca
Optimización de gestión de inventarios - 32
Modelo estocástico con revisión periódica
Modelo de UN solo periodo
Se piden una vez en todo el periodo (productos estacionales que
caducan al final de la estación)
Datos
•
•
•
•
•
D demanda aleatoria [ud]
f(d) función de densidad
F(d) función de distribución
cp, ca, cu, cr costes de pedido, almacenamiento, compra y ruptura
q0 inventario inicial [ud]
Dos modelos: sin coste de pedido o con coste de pedido
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Optimización de gestión de inventarios - 33
Modelo estocástico con revisión periódica
Modelo de UN solo periodo SIN coste de pedido
Demanda instantánea al recibir el pedido
Equilibrio entre
•
•
Si se pide más que la demanda (D < Q) hay coste de almacenamiento
Si se pide menos que la demanda (D > Q) hay coste de ruptura
Coste total esperado por ciclo [€]
Q
∞
E [C (Q )] = cu (Q − q 0 ) + ca ∫ (Q − x )f (x )dx + cr ∫ (x − Q )f (x )dx
0
Q
Cantidad óptima [ud] F (Q * ) = P(D ≤ Q * ) = cr − cu
cr + ca
Pedido óptimo [ud] Q * − q 0
Cantidad óptima para funciones discretas [ud]
F (Q * − 1) = P(D ≤ Q * − 1) ≤
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cr − cu
≤ F (Q * )
cr + ca
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Modelo estocástico con revisión periódica
Modelo de UN solo periodo CON coste de pedido
Coste total esperado por ciclo [€]
c p + cu (Q − q 0 ) + L(Q ) si Q > q 0

C (Q ) = 


L(q 0 )
si Q = q 0



Coste esperado de almacenamiento y ruptura [€]
Q
∞
L(Q ) = ca ∫ (Q − x )f (x )dx + cr ∫ (x − Q )f (x )dx
0
Q
Determinar si es conveniente realizar el pedido o no
c p + cu (Q − q 0 ) + L(Q ) ≤ L(q 0 )
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c p + cuQ + L(Q ) ≤ cuq 0 + L(q 0 )
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Modelo estocástico con revisión periódica
Modelo de UN solo periodo CON coste de pedido
c −c
Óptimo de la función como en el caso sin pedido F (S ) = r u
cr + ca
Valor s [ud] cp + cuS + L(S ) = cus + L(s )
Política óptima s-S
S

Q =

q


 0
*
si q 0 < s (pedir S − q 0 )
si q 0 ≥ s
(pedir 0)
c p + cu Q + L(Q)
cu Q + L(Q)
s
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S
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Andrés Ramos
http://www.iit.comillas.edu/aramos/
Andres.Ramos@comillas.edu
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