campo numerico - Facultad de Ciencias Naturales y Museo

1
Universidad acional de La Plata
Facultad de Ciencias aturales y Museo
Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática
Asignatura: Matemática
Contenidos de la Unidad Temática nº 1
ociones de Geometría. Breve reseña del Campo
umérico. Progresiones Aritméticas y Geométricas.
Logaritmos. Coordenadas Cartesianas en el plano y en el
espacio tridimensional. Sistema de Coordenadas Polares.
Ing. Carlos Alfredo López
Profesor Titular
2
Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática
Asignatura: Matemática
Unidad Temática nº 1
Ing. Carlos Alfredo López
ITRODUCCIÒ A LA GEOMETRÍA:
Existe una estrecha relación entre los conceptos geométricos
y el mundo que nos rodea.
La geometría surge a partir de la observación de cosas
simples y es por ello que el estudio de la geometría no debe aislarse del mundo ni
de las otras áreas de la Matemática.
Es la naturaleza misma quien ha proporcionado al hombre las primeras lecciones de geometría ya que existen
en ella innumerables ejemplos de formas geométricas.
A lo largo de la historia de la humanidad el hombre ha utilizado las formas geométricas que provee la naturaleza
para la creación de objetos útiles para el desarrollo de sus actividades.
La geometría, como descriptor gráfico de los problemas del
hombre proporciona innumerables técnicas útiles para la resolución de problemas.
Ejemplo 1 :
1
3
2
1
5
4
3
2
5
4
P
Hacia qué punto de la cancha debe
lanzarse la bola nº5 para que rebote y
golpee la bola nº1.
La bola nº5 debe lanzarse
hacia el punto P. (se utiliza la idea
de reflexión)
3
Problema:
Indicar hacia qué punto debe lanzarse en realidad la bola nº3 para que rebote y golpee la nº1. El punto P que indica el
diagrama no es el adecuado. Corregir el dibujo.
1
2
3
P
Ejemplo 2: Si sólo se dispone de una cuerda y una cinta de medir puede
construirse un ángulo recto haciendo nudos a 30, 40 y 50 cm. (Esta idea es
utilizada por los albañiles para formar un ángulo recto en la construcción).
50
30
40
Vale el Teorema de Pitágoras: 302 + 402 = 502
4
El rompecabezas chino TANGRAM tiene unos 4000 años de antigüedad.
Dibujar este cuadrado y cortarlo en las siete piezas indicadas.
2
6
1
5
4
3
7
Pueden construirse figuras como las siguientes: (dibujo aproximado)
6
7
3
5
1
4
2
5
Problema: Hacer una figura con las 7 piezas del Tangram y pasarle a algún
compañero para que la resuelva.
PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO:
Punto: * la marca más pequeña que se puede dibujar.
* ubicación sin longitud, ancho o altura.
* es una idea o abstracción.
Recta: * la línea más fina que se puede dibujar.
* longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos.
* es una idea o abstracción.
Plano: * el corte más delgado posible.
* ilimitado, continuo en todas las direcciones pero sin grosor.
* es una idea o abstracción.
Espacio: * todos los puntos que están afuera, sobre y dentro de un
ilimitado, sin longitud, ancho ni altura.
* El conjunto de todos los puntos.
* Es una idea o abstracción.
Las siguientes figuras dan la idea de punto, recta y plano.
RELACIONES ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS.
Para representar puntos sobre un papel, se dibujan marcas lo más
pequeñas posibles.
C
A
B
6
Una recta se puede considerar como un conjunto de puntos. Al dar nombre a un
par de ellos, se define una y sólo una recta.
A
Recta
AB
B
r
Un plano puede definirse si se conocen tres puntos no alineados.
C
A
B
Π
Los puntos A, B y C definen el plano Π. También definen un plano, una recta y un
punto que no le pertenece.
r y A definen
el plano Π
r
A
Π
Algunas definiciones importantes:
•
•
•
•
Puntos colineales: son los que están sobre una misma recta.
Puntos coplanares: son los que pertenecen a un mismo plano.
Rectas que se cortan o “intersecan”: son aquellas que tienen
un único punto común.
Rectas paralelas: son las que no se intersecan, estando sobre
un mismo plano.
7
•
•
Rectas concurrentes: son tres o más rectas que se cortan en un
punto.
Rectas alabeadas: no son paralelas ni coincidentes, ni se
intersecan (son rectas ubicadas en el espacio tridimensional ).
B
C
D
A
.
F
G
E
H
Ejercicio 1 : En la siguiente figura:
a) Nombrar todos los conjuntos de tres puntos colineales.
b) Nombrar conjuntos de puntos no colineales.
c) Nombrar cuatro puntos entre los cuales no haya tres que sean
colineales.
E
F
D
A
B
C
8
Ejercicio 2:
a) Encontrar tres pares de rectas intersecantes.
b) Encontrar tres rectas concurrentes.
c) Enumerar todos los pares de rectas paralelas.
A
B
C
r1
D
r2
E
F
Algunas figuras geométricas básicas.
Teniendo en cuenta que las rectas, los planos y los espacios han sido
definidos como conjuntos de puntos, se definirán del mismo modo las figuras
geométricas.
•
una figura plana es aquella que tiene todos sus puntos en un
plano, pero no sobre la misma recta.
B
Ejemplo: un triángulo.
A
C
Π
•
una figura espacial no tiene todos sus puntos en un mismo
plano.
Ejemplo: un paralelepípedo .
9
Idea de elementos geométricos como conjuntos.
•
la recta es un subconjunto del plano Π.
r
Π
•
la unión de r1 y r2 contiene todos los puntos de las rectas.
r1
r2
Π
•
la intersección de las rectas r1 y r2 es el punto A.
r1
A
r2
• un segmento AB es el conjunto formado por A ,B y por los
puntos alineados que están entre A y B.
B
A
10
•
semi recta: es un subconjunto de una recta formado por un punto
A y todos los puntos que están a un lado de A.
A
•
ángulo : está formado por la unión de dos semi rectas no
colineales que tienen el mismo extremo.
A es el vértice y las
semirectas son los
lados.
A
•
triángulo: es una figura formada por la unión de tres segmentos
que determinan tres puntos no alineados y todos los puntos
interiores a ellos.
B
A; B y C se llaman vértices.
AB, BC , CA son los lados.
C
A
•
cuadrilátero: es la unión de cuatro segmentos, determinados por
cuatro puntos y sus puntos interiores; tres cualesquiera de los
puntos no deben ser colineales y los segmentos solo deben
cruzarse en sus extremos.
B
A
C
D
11
•
circunferencia : conjunto de los puntos del plano que equidistan
de un punto C llamado centro.
P
C
La medición de su longitud asigna un número real a cada segmento.
•
si dos segmentos tienen la misma longitud se los llama
congruentes.
B
A
AB ≅ CD
C
D
•
De igual manera: dos ángulos se dicen congruentes si tienen la
misma medida.
90º
45
º
Los diseñadores utilizan gran variedad de instrumentos y
técnicas de dibujo para elaborar planos exactos referidos a proyectos.
En geometría es necesario conocer el uso de los
instrumentos (la regla sin graduar y el compás).
12
Puede construirse:
a) un segmento congruente con uno dado.
Segmento deseado
b) Un ángulo congruente con uno dado.
1
2
α
Ángulo dado
3
O
1
2
B
4
A
Trazar un arco que interseque ambas semirrectas del ángulo
dado.
Trazar una semirrecta y un arco con la misma abertura de ( 1 ).
3
Abrir el compás tanto como la abertura del ángulo dado
(midiendo sobre el arco dibujado)
4
Con el compás a esa abertura con centro en A, trazar el arco y
luego el segmento punteado OB.
13
Existen tres tipos de ángulos:
a) agudo. ( menor de 90º )
b) recto . ( igual a 90º )
c) obtuso. (mayor de 90º )
135
90º
30º
Dividir un ángulo en dos iguales:
A
B
Con centro en B trazar un arco
que interseque ambos lados del
ángulo en D y E.
C
A
D
B
E
C
Con centro en D trazar un
arco interior al ángulo.
D
B
E
Con centro en E trazar un arco en la
misma abertura definiendo el punto F.
Unir B con F.
A
D
B
E
C
14
Encontrar el punto medio de un segmento:
B
A
1) con centro en A y abertura mayor que ½ AB, trazar un arco.
B
A
2) con centro y la misma abertura, trazar un arco que intersecte al
primero, definiendo los puntos C y D.
C
B
A
D
trazado.
3) la intersección del segmento C D con A B es el punto medio
Ejercicio: Dado:
a)
b)
c)
d)
construir un ángulo de 45º.
construir un ángulo de 22º 30´.
construir un ángulo de 135º.
construir un ángulo de 67º 30´.
POLÍGONOS.
Un polígono es la unión de segmentos que se juntan en sus
extremos de manera tal que:
a ) dos segmentos se encuentran como máximo en un punto.
b) cada segmento toca exactamente a otros dos.
15
Los polígonos reciben su nombre particular según el número de lados
que posean; el de menor número de lados es el triángulo; le sigue el
cuadrilátero, el pentágono, el hexágono, el heptágono, el octógono, etc.
B
* A, B, C, D y E son los vértices.
A
* AB , BC , CD, DE y EA
lados.
C
* Si unimos dos
consecutivos; por ej.
diagonal
E
•
•
son los
vértices no
AC es una
D
Si todas las diagonales están en el interior del polígono, se lo
llama polígono convexo.
Si una diagonal es exterior al polígono, por ejemplo CE , el
polígono es cóncavo.
B
C
D
A
E
Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
B
C
A
Si se cortan los ángulos y se disponen como en la figura siguiente, se
observa que :
B
A
C
16
A$ + B$ + C$ = 180º
La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º
Se observa además que: la suma de dos lados es mayor que
la longitud del tercero.
23
23
27
cortan en un punto.
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se
A
Rectas y planos.
En el plano ( Espacio de dos dimensiones ) dos rectas pueden:
•
•
A) ser paralelas.
B) intersecarse.
En el espacio tridimensional dos rectas pueden :
*a) ser paralelas. (definen un plano )
*b) intersecarse.
*c) ser alabeadas. ( no se intersecan y no están en el mismo plano)
17
•
una recta y un plano son paralelos si no tienen puntos en común.
π
r
•
los planos paralelos no tienen puntos en común.
π2
π1
•
una transversal es una recta que interseca a dos rectas
coplanares en dos puntos distintos.
•
la transversal r corta a r1 y r2 en dos puntos, formando los ángulos
interiores α , β , γ , δ .
r
ϕ
θ
r1
r
α
γ
ε
r
•
•
•
•
β
δ
η
r2
y los ángulos externos η, ε ,θ , ϕ .
Los ángulos α , δ y β , γ se denominan alternos internos.
Los ángulos ε , θ y ϕ , η son alternos externos.
Los ángulos α , ε ; β , η; ϕ , γ y θ , δ son correspondientes
(siempre del mismo lado de la transversal, uno interno y otro
externo)
18
Ejercicios:
1) En el cubo de la figura:
a) Dar cuatro rectas que sean alabeadas con AB.
b) Dar seis rectas paralelas al plano ABCD.
c) Dar tres pares de planos paralelos.
D
C
A
B
H
E
1)
F
En el esquema de la figura:
a) Dar dos pares de ángulos
alternos internos.
b) Dar dos pares de ángulos
alternos externos.
c) Dar dos pares de ángulos
correspondientes.
2)
G
2
1
3
4
5
6
7
8
Cuántos puntos de intersección pueden formarse con tres rectas?
19
Rectas paralelas cortadas por una transversal.
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal,
ángulos alternos internos son iguales. α = β
• Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal,
ángulos alternos externos son iguales. γ = δ
• Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal,
ángulos correspondientes son iguales. θ = ϕ
• Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal,
ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.
(sumados dan 180º ) α + ϕ = 180º
•
θ
α
δ
ϕ
G
los
los
los
los
γ
G
G
β
Triángulos : clasificación.
•
triángulo equilátero : tiene los tres lados congruentes.
•
triángulo isósceles: tiene “ al menos “dos lados congruentes.
•
triángulo escaleno : no tiene lados congruentes.
•
triángulo acutángulo : tiene los tres ángulos agudos.
•
triángulo rectángulo : tiene un ángulo recto.
•
triángulo obtusángulo : tiene un ángulo obtuso.
•
triángulo equiángulo : tiene los tres ángulos congruentes.
•
La altura de un triángulo es el segmento que va desde el vértice
hasta la recta sostén del lado opuesto y es perpendicular a ese
lado opuesto.
20
Ejercicio:
1) Dibujar en cada casilla un triángulo que responda a:
EQUILÁTERO
ISÓSCELES
ESCALENO
ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO
OBTUSÁNGULO
E
B
44º
34º
56º
67º
39º
29º
45
A
C
D
a) completar los ángulos faltantes.
b) Identificar los triángulos:
ABC; ADE; BDC; ABD; ACE; DCE
Como acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
Si la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, puede
demostrarse fácilmente que la medida de un ángulo externo de un triángulo es
igual a la suma de los ángulos interiores no contiguos.
β
α
γ
δ
21
δ =α +β
TEOREMA DE PITÁGORAS: Si ABC es un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de
los catetos.
a
b-c
c
a
b
a
b-c
c
a
c
b
1
2
a 2 = 4. bc + (b − c )
2
a 2 = 2bc + b 2 − 2bc + c 2
a 2 = b 2 + c2
Problemas:
1 ) Un anuncio de venta de un televisor dice que la pantalla es de 29
pulgadas; si la altura es de 0,8 del ancho de pantalla y el aviso refiere a la
diagonal de la misma. Cuál es (expresado en centímetros) la medida del ancho y
de la altura. (1” = 2,54 cm)
22
2)
C
1
1
D
B
1
(fuera de escala)
1
A
Hallar las longitudes AB , AC , AD .
3) Una caja tiene 24 cm. de largo,
8. cm. de ancho y 10 cm. de alto.
Cuál es la longitud de la diagonal AB ?
B
10
8
A
24
Triángulos especiales:
La siguiente tabla representa las dimensiones y especificaciones de
dos tipos distintos de tuercas.
F
F
G
G
23
Tuercas cuadradas y hexagonales.
Tamaño
nominal
F
G
Ancho entre
caras
Ancho entre esquinas
Cuadradas Hexagonal
Básica
Máx.
Máx.
0
5/32
0.221
0.180
1
5/32
0.221
0.180
2
3
4
3/16
3/16
¼
0.265
0.265
0.354
0.217
0.217
0.289
La dimensión F indica el tamaño de la llave que se necesita para la
tuerca. ¿ Cómo pueden calcularse las dimensiones G ?
C
45º
A
F
45º
B
G
Para la tuerca cuadrada.
¼”
A
45º
2
AB = 0,252 + 0,252 = 2 x 0,252
AB = 2 x 0,252 = 0,354
B
24
Para la tuerca hexagonal:
C
F=1/4
60º
A
B
G
AC = x
1
AB = x
2
1
"
8
entonces en el ABC ⇒
conocemos CB =
2
CB + AB
2
2
= AC
2
2
1  x 
2
  +  = x
8  2
que resuelto da x =
siendo G= 2 x =
2 1
•
3 8
4 1
• = 0.289
3 8
Problemas.
1) En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide el doble que el
otro. Si la longitud del cateto más largo es 5, cuál es la longitud de
la hipotenusa.
2) El hueco de una ventana mide 100 cm. de ancho y 70 cm. de
altura. ¿Puede introducirse por la ventana una mesa de ping pong
de 125 cm. de ancho ?
3) Una escalera colocada contra una pared forma un ángulo de 60º
con el suelo. Si la base de la escalera está a 3 metros de la
25
pared. ¿A qué altura del suelo está la parte superior de la
escalera?
4) Si la longitud del lado de un hexágono regular es de 1 cm. ¿Cuál
es la longitud del segmento que une a los puntos medios de dos
lados opuestos?
5) Si un triángulo equilátero tiene lados de longitud 1 m., calcular el
radio de la circunferencia que contiene los tres vértices.
6) Un diseñador está calculando las dimensiones de un hexágono
regular; si la altura (distancia entre las aristas paralelas) es de
120 cm.; calcular la distancia entre los vértices opuestos y la
superficie.
7) Si una pirámide cuadrada tiene todas sus aristas de longitud =2 a)
encontrar las longitudes AB y AC
b)encontrar la longitud de la altura de la pirámide.
c)es ABC equilátero?
A
2
C
B
D
2
2
Acerca de la concurrencia de ciertas rectas en los triángulos.
1) Las perpendiculares trazadas a los lados de un triángulo en sus
puntos medios, se cortan en un punto equidistante de los tres vértices del
triángulo.
B
B
P
P
C
A
2
A
B
P
C
A
C
26
Si queremos localizar un punto equidistante de tres ciudades.
Ciudad B
Ciudad A
P
Ciudad C
2)
Las bisectrices de los ángulos de un triángulo concurren a un
punto P que equidista de los tres lados del triángulo.
B
D
E
P
A
F
C
PD = PE = PF
3)
punto.
Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se cortan en un
B
P
A
C
27
4)
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto situado a
dos tercios de la distancia de cada vértice al lado opuesto. ( Mediana: segmento
que va de un vértice al punto medio del lado opuesto )
B
2
AP = AE
3
2
BP = BF
3
2
CP = CD
3
D
A
Problemas :
E
P
C
F
24
1)
B
A
4
3
El dibujo muestra el frente y la vista lateral de un cuadro colgado en una
pared. El cuadro está apoyado en la pared a lo largo de su base y separado 3 cm.
en la parte superior. Está colgado mediante una cuerda AOB.
Encontrar la longitud AOB.
2)
3m
C
3m
3m
B
D
A
28
ABCD (figura de la página anterior) es un cable flexible. A es un punto fijo y C es
una polea fija. B es un peso que se desliza por el cable de modo que AB y CB
siempre tienen la misma inclinación respecto a la vertical. Encontrar cuánto se
eleva B si se tira de D 2 metros hacia abajo.
CUADRILÁTEROS:
•
Un cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro
puntos, tres de los cuales no deben ser colineales. Los segmentos sólo deben
intersecarse en sus extremos.
A
B
D
•
C
Los lados AB y CD que no tienen vértices comunes, se denominan lados
opuestos.
•
Los lados AB y BC que tienen un vértice común, se denominan por tal razón,
lados adyacentes.
•
Los ángulos A y C son opuestos.
•
Los ángulos A y B tienen el lado AB común; por ello se denominan ángulos
adyacentes.
Descripción de los tipos básicos de cuadriláteros.
•
Trapecio: es un cuadrilátero con exactamente dos lados paralelos.
A
D
B
C
AB // DC
DC = base mayor
AB = base menor
29
• Paralelogramo: es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos
paralelos.
B
C
AB // DC
AD // BC
A
•
D
Rectángulo: es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. (Si además, los
lados son de igual longitud, se trata de un cuadrado).
B
C
A
D
• Rombo: es un paralelogramo con sus cuatro lados congruentes (de igual
longitud).
De acuerdo con las definiciones antedichas, puede construirse el siguiente cuadro:
trapecio
Cuadrilátero
paralelogramo
rombo
rectángulo
cuadrado
Ejercicio 1: Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Un cuadrado es un rectángulo.
Un rectángulo es un paralelogramo.
Un paralelogramo es un rombo.
Un trapecio es un paralelogramo.
Algunos paralelogramos son rectángulos.
Un rombo es un cuadrado.
Algunos rombos son rectángulos.
30
8.
9.
10.
Un paralelogramo es un trapecio.
Un trapecio puede tener sólo dos ángulos rectos.
Un rombo puede tener los cuatro ángulos rectos.
Ejercicio 2: En el esquema de la figura HGIJ es un cuadrilátero;
A
B
C
E
G
H
D
F
I
J
Identificar los vértices correspondientes a los siguientes polígonos
que corresponden al dibujo anterior.:
a)
b)
c)
d) Dibujar e identificar otros tres cuadriláteros.
31
Algunas propiedades de los paralelogramos:
•
•
•
Los ángulos opuestos son congruentes.
Los lados opuestos son congruentes.
Los pares de ángulos adyacentes son ángulos suplementarios.
D
45º
A
135º
C
45º
135º
B
Ejercicios:
1) El paralelogramo de la figura anterior tiene como lados AB = x+5 y CD = 2x-7
Hallar la longitud del lado AB.
2) Sea un paralelogramo ABCD en la cual AB = 2x ; CD = 3y+4 ; BC = x+7 y
AD = 2y. Calcular las longitudes de los lados del paralelogramo.
Problema 1: (Segmento medio: el segmento que une los puntos medios de dos
lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud).
A
B
D
E
C
Se necesita conocer la distancia AB entre puntos opuestos de una laguna. Para
ello se toma un punto C y se localizan los puntos medios de AC y BC. Se mide CD
y, entonces: AB = 2 CD.
32
Problema 2:
H
E
G
I
F
D
J
A
C
B
En la figura se ve un cubo de arista
igual a la unidad.
Si I y J son los puntos medios de EF
y DC, respectivamente:
a) demostrar que AIGJ es un rombo
b) calcular la longitud de los lados del
c) calcular la longitud de las diagonales
del rombo, AG ; IJ
Problema 3: Se necesita replantear en el terreno para una construcción un
rectángulo de 10 m por 5 m. Las estacas se colocan como se indica en la figura,
siendo las esquinas exteriores los puntos en que se cruzan las cuerdas. Después
de tensar las cuerdas, se miden las diagonales, resultando:
E
I
F
B
C
A
D
J
G
H
L
K
AC = 11,10m y BD = 11,25 m.
Cómo deben moverse las estacas ubicadas en F y en G para que ABCD sea un rectángulo?.
Trapecios:
El segmento que une los puntos medios de los dos lados no
paralelos de un trapecio es paralelo a las dos bases y su longitud es igual a la
semisuma de las longitudes de las mismas.
B
C
E
F
A
D
E = punto medio de AB.
F = punto medio de CD.
EF = ½ (BC + AD)
33
Superficie del Trapecio:
B
C
h
A
D
Área ABCD = Área ABC + Área ACD
= ½ h (BC + AD)
Ángulos de un polígono:
cuadrilátero
pentágono
hexágono
Para todos los casos, la suma de los ángulos interiores es igual a la
suma de los ángulos interiores de todos los triángulos que componen el polígono.
Puede construirse la siguiente tabla:
Polígono
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
-----------n-gono
•
•
Número
De
Lados
4
5
6
N
Número
Suma de las
De
Medidas de
Triángulos los ángulos
2
2•180º= 360º
3
3•180º= 540º
4
4•180º= 720º
n-2
(n-2)•180º
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a
dos rectos por (n-2) : 180º (n-2).
180º (n − 2)
La medida de un ángulo de un polígono regular de n lados es
.
n
34
El rectángulo áureo:
En la antigua Grecia, el llamado rectángulo áureo fue
considerado como una de las figuras geométricas estéticamente mejor
proporcionadas. Se trata de un rectángulo de altura unitaria tal que, si le quitamos
un cuadrado de lado unitario en uno de sus extremos, los lados del rectángulo
remanente están en la misma proporción que los lados del rectángulo original.
(Si la altura no es igual a la unidad, deben mantenerse las proporciones).
1
1
Resulta, de acuerdo con lo dicho:
a
1+ a 1
=
1
a
Problema: Calcular la longitud de la base del rectángulo áureo de altura unitaria.
Longitud de la base: 1+a; de la proporción
1+ a 1
= se obtiene: a(1+a) = 1
1
a
a2 + a − 1= 0
− 1 ± 12 + 4 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 + 5
=
= 0,618
2
2
1 + a = 1,618
a=
Construcción del rectángulo áureo:
1º Construir un cuadrado de lado unidad.
B
A
1
M
C
D
F
a
E
35
2º) Con centro en M (punto medio de la base) y radio MC se
traza un arco de circunferencia que interseque la prolongación de AD en el punto
E.
3º) El rectángulo ABFE es áureo.
Proporciones; Semejanza.
Si dos polígonos tiene la misma forma, es decir si los ángulos
correspondientes son congruentes, pero no el mismo tamaño, se dice que son
semejantes. La ampliación de una fotografía sirve para darnos una idea de
semejanza.
4
8
6
12
Los rectángulos de la figura son semejantes; en ellos puede
establecerse la proporción:
4 cm 8 cm
=
6 cm 12 cm
que se denomina así por ser ambos miembros razones iguales. Una proporción
es, entonces una igualdad entre dos razones.
En general
a c
y son proporcionales si:
b d
a b
= con b ≠ 0 y d ≠ 0
b d
Si se cumple la proporción anterior, también se verifican:
a+b c +d
=
b
d
y
a−b c −d
=
b
d
36
Ejercicios:
1. Las medidas de dos ángulos complementarios están en una razón 2/3.
Encontrar las medidas de los ángulos.
2. Las medidas de dos ángulos suplementarios están en una razón 3/5. Encontrar
las medidas de los ángulos.
3. Un segmento de 112 cm se divide en una razón 3 a 5. Encontrar la longitud de
los segmentos.
4. Las áreas de dos triángulos están en una razón de 4 a 9. El triángulo más
pequeño tiene un área de 100 cm². Encontrar el área del triángulo grande.
Áreas y perímetros:
•
Área de un rectángulo:
h
A = b•h
b
•
Área del triángulo:
h A = ½ b•h
b
Problema 1: Encontrar el área del cuadrilátero EIJA si E es el centro del cuadrado
ABCD y HGFE es un cuadrado de lado 4 m, siendo BI = 1m ; IA = 2m
C
B
H
I
E
D
J
A
G
F
37
Problema 2: Si ABCD es un trapecio y E es el punto medio de AB, demostrar que
las áreas de AECD y EBCD son iguales.
D
C
A
B
E
Problema 3: Probar que las Areas A1 y A 2 son iguales. (Observación: las áreas
de los triángulos que genera la diagonal del rectángulo mayor son iguales).
A1
A2
Problema 4: La longitud de las aristas del cubo de la figura es 1. Hallar:
a) Longitud BE.
b) Longitud BH.
c) Área del triángulo BEG.
d) Área del rectángulo BCHE.
H
G
e) Área del triángulo BIC.
E
F
• I
D
A
C
B
38
Perímetro de un polígono: Es la suma de las longitudes de sus lados.
D
E
C
A
B
Apotema: Es la distancia entre el centro de un polígono regular y un lado.
a
Área de un polígono regular:
Área
Del
Triángulo
Perímetro
Pentágono
½a••l
p= 5l
Hexágono
½ a••l
p = 6l
Decágono
½ a••l
p =10l
n-gono
½ a••l
p = nl
En general: Área de un polígono:
perímetro x apotema
2
Área
del
Polígono
5⋅
1
1
1
al = a ⋅ 5l = ap
2
2
2
1
1
1
6 al = a ⋅ 6l = ap
2
2
2
10 ⋅
n⋅
1
1
1
al = a ⋅ 10l = ap
2
2
2
1
1
1
al = a ⋅ nl = ap
2
2
2
39
Ejercicio 1: La longitud de cada lado de un hexágono regular es 4 unidades.
Encontrar el valor de la apotema y el área del hexágono.
Problema 1: Si un edificio cuadrado y otro con forma de hexágono regular tienen
el mismo perímetro, encontrar la relación entre las correspondientes áreas.
El círculo: Conjunto de los puntos del plano que están a una distancia menor o
igual que r (radio) a un punto fijo llamado centro.
El perímetro del círculo recibe el nombre de circunferencia.
Área del círculo: π•r²
Longitud de la circunferencia: 2πr
Problema1: Se desea saber cuantas veces mayor es la cantidad de agua que
puede conducir una cañería de 6 pulgadas de diámetro, respecto de una de cuatro
pulgadas. (una pulgada = 1” = 2,54 cm).
π ⋅ 15,242 cm2
= 182,4 cm2
4
Para 6” = 15,24 cm
A6 =
Para 4” = 10,16 cm
π ⋅ 10,162 cm2
= 81,1 cm
A4 =
4
A 6 182,4cm2
=
= 2,25
A4
81,1cm2
La cañería de 6” de diámetro tiene una sección 2,25 veces que la de 4”, razón por
la cual puede deducirse que permitirá conducir una cantidad de agua 2,25 veces
mayor.
40
Problema 1: Calcular el área que corresponde a los sectores circulares de 100 cm
de radio, para ángulos de 60º y 170º.
Problema 2: Si el área de un sector circular es un décimo del área del círculo;
¿cuál es el ángulo central del sector?
Problema 3: Calcular el área de las regiones rayadas. Ambos cuadrados tienen
lados de longitud igual a 4 m.
Problema 4: Si AB = ½ BC, ¿qué fracción del círculo mayor está rayada?
B
A
C
Problema 5: Si ABC es un triángulo rectángulo, demostrar que el área del
semicírculo que tiene como diámetro la hipotenusa es igual a la suma de las áreas
de los semicírculos que tienen como diámetros los catetos.
C
A
B
B
41
POLIEDROS.
Un poliedro es un objeto tridimensional formado por regiones
poligonales que se denominan caras. Los lados de las caras son las aristas del
poliedro y los vértices de las caras coinciden con los vértices del poliedro.
La Pirámide:
Es un caso particular de poliedro en el cual todas las caras,
excepto una, tienen un vértice en común.
vértice
base
La cara que no contiene al vértice de la pirámide se denomina base de la
misma.
El prisma:
Es un poliedro que tiene:
a) Un par de caras congruentes sobre planos
paralelos. Dichas caras se llaman bases.
b) Todas las demás caras son paralelogramos.
c) Las aristas laterales son paralelas y congruentes.
42
Si las bases del prisma son paralelogramos, el prisma recibe el nombre de
paralelepípedo.
Un caso particular de prisma es el cubo.
Tanto en los prismas como en las pirámides, las caras que no son bases se
denominan caras laterales y las aristas que no pertenecen a la base se llaman
aristas laterales.
Alturas:
• Un segmento perpendicular a las bases de un prisma y que esté
entre ellas es su altura.
• Un segmento entre el vértice de la pirámide y su base y que sea
perpendicular a la base es la altura de la misma.
• Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y sus
aristas laterales son congruentes.
• Una prisma es recto si sus aristas laterales son perpendiculares a
la base.
Ejercicios:
1) a) Dar el nombre del poliedro con vértices ABCDP.
b) En cuántas pirámides dividen al cubo los segmentos que van de P a
cada uno de los vértices.
H
G
E
F
P
D
A
C
B
43
2) El cubo de la figura está cortado por el plano que pasa por A, C y F. Este
corte forma la pirámide ABCF. Justificar que la pirámide es regular.
F
C
A
B
Areas de prismas y pirámides:
Las áreas de prismas y pirámides se obtienen sumando las áreas de
las caras laterales más las áreas de las bases.
Área lateral : l1h + l2 h + l3h + l4 h + l5h
= h(l1 + l2 + l3 + l 4 + l5 )
h
= h• p
L4
L5
L3
L1
donde p = perímetro de la base.
Área de la base = B
Área total = h • p + 2 B
Sea ahora una pirámide regular con base pentagonal.
L2
L = altura inclinada en una cara.
1
1
1
1
1
Área lateral : l1h + l2 h + l3h + l4 h + l5h
2
2
2
2
2
=
=
Área total =
1
l (l1 + l2 + l3 + l4 + l5 )
2
1
l• p
2
1
l• p+ B
2
l5
l4
l
l3
l1
l2
44
Problema:
Una plomada (elemento utilizado en la construcción para determinar la
vertical), está construida con la forma de un prisma hexagonal con la base inferior
unida a una pirámide hexagonal. Calcular el área de la plomada.
(Cuidado!: la base inferior del prisma y la base de la pirámide no corresponden al
área )
2
cm.
8 cm.
Altura inclinada = 5
cm
Problema :
10
cm.
Un recipiente con forma de pirámide
regular tiene la parte superior abierta.
La base es un hexágono regular con las
dimensiones de la figura.
Si se van a pintar 1000 de estos recipientes
Por dentro y por fuera con pintura que rinde
10m2 por litro a un costo de $ 8/ litro.
Cuánto deberá invertirse en pintura?
20
cm.
45
Volumen de prismas.
El volumen de un prisma es el producto de la longitud de una altura
por el área de la base.
h
h
Volumen de una pirámide.
Si una pirámide tiene como área a la base B y su altura es h.
V=
1
B•h
3
Problema:
Calcular el volumen de un tronco de pirámide si la base tiene como área
128 cm2.
5
8
Área y volumen de cilindro.
r
Área = 2π • r • h + 2π • r 2
h
Volumen = π • r • h
2
46
Problema:
Si el radio y la altura de un cilindro se duplican, cuánto se modifican
su área y su volumen ?
Área y volumen de conos.
Un cono puede ser considerado como una
pirámide con un número infinito de caras
laterales. La superficie lateral de un cono
corresponde, entonces a las caras laterales
de una pirámide. La altura inclinada de un
cono, corresponde a la altura de la cara
inclinada de una pirámide y la longitud de
la circunferencia de la base de un cono
corresponde al perímetro de la base de una pirámide.
Resulta, entonces:
Área total =
vértic
e
eje
base
1
1
lC + B = l • 2π • r + π • r 2 = π • r • l + π • r 2
2
2
El volumen de un cono circular recto de altura h y área de la base B es:
V=
1
1
B • h = π • r2 • h
3
3
Problema:
El sólido de la figura se forma cortando un cono con un plano paralelo a la
base y luego perforando la parte superior en forma de cono. Calcular su volumen.
10
37
13
8
16
47
Área y volumen de la esfera:
A = 4π • r 2
r
4
V = π • r3
3
-----o0o-----
48
EL ESPACIO UNIDIMENSIONAL: la recta numérica Breve repaso
sobre los distintos conjuntos numéricos: del número natural al número real.
EL NÚMERO NATURAL:
Un conjunto de elementos que comenzamos a utilizar desde
la infancia es el de los Números Naturales (1,2,3, etc...), que se simboliza con la
letra N, y el conjunto de los Números Naturales ampliado, que incluye al cero y
que simbolizamos con No = N U {0}
Ambos conjuntos cuentan con infinitos elementos, por lo
cual no resulta posible expresarlos por extensión; sin embargo, haciendo abuso
de notación, podemos escribir:
N = {1,2,3,...}
N0 = {0,1,2,3...}
U
N
1
2
3
4
O
Estos conjuntos pueden representarse utilizando una recta
que denominamos recta numérica, sobre la cual se fija un origen O, un sentido
positivo (hacia la derecha), y una unidad de medida U.
1
2
3
4
N0
0
O
En el caso del conjunto de los números naturales ampliado,
al efectuar la representación gráfica hacemos coincidir el cero con el origen del
sistema de referencia. El número que corresponde a cada punto (marcado sobre
la recta a intervalos de longitud U) se denomina abscisa del mismo
En el conjunto de los números naturales pueden definirse
para todo par de elementos cualesquiera que pertenezcan al mismo las
operaciones de suma y producto; ambas dan como resultado elementos del
mismo conjunto en que se opera, razón por la cual se dice que dichas operaciones
son cerradas en el conjunto que tratamos, o bien que son operaciones internas o
que se trata de una ley interna de dicho conjunto.
49
PROGRESIONES ARITMÉTICAS:
Recibe este nombre una sucesión numérica tal que, cada uno de los
términos de la misma se obtiene sumando al anterior un número que se denomina
razón o diferencia de la progresión.
Si a1 es el primer término y r la razón o diferencia, los siguientes
términos se obtienen así:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r
..............................
an = a(n-1) + r = a1 + (n-1)r
resultando entonces la expresión de recurrencia:
an = a(n-1) + r = a1 + (n-1)r
La validez de la expresión anterior para todo n, deberá demostrarse por
aplicación del principio de inducción completa.
Resulta también de particular interés obtener una expresión que nos
permita, sin hacer la suma en forma tradicional, encontrar el valor de la suma de
los n primeros términos de una progresión aritmética. Para ello escribimos:
y
S = a1 + a2 + a3 +...................................+ a(n-2) + a(n-1) + an
S = an + a(n-1) + a(n-2) +................................+ a3
+ a2
+ a1
sumando miembro a miembro:
2S = (a1 + an) + (a2 +a(n-1)) + (a3 + a(n-2)) + .......+ (a(n-2) + a3) + (a(n-1) + a2) +(an +
a1)
como puede verificarse con facilidad, los n paréntesis del segundo miembro de la
expresión anterior tienen el mismo valor:
(a2 + an-1)
= (a1 + r + an - r) = (a1 +an)
(a2 +a(n-1)) = (a3 + a(n-2))
y, como los n paréntesis tiene igual valor:
S=
n ⋅ (a1 + an )
2
50
Ejemplo:
Dada la progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 1 y cuya razón es r = 1
calcular la suma de los n primeros términos.
S=
n(1 + n)
2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS:
Recibe este nombre una sucesión numérica tal que, cada uno de sus
términos se obtiene multiplicando el que le antecede por un número llamado razón
de la progresión.
Si a1 es el primer término y r la razón, los siguientes términos se
obtienen de la siguiente manera:
a2 = a1.r
a3 = a2.r = a1.r2
.......................
an = a(n-1).r = a1.r(n-1)
Al igual que la fórmula de recurrencia que nos permite calcular el
término n-simo de una progresión aritmética, la fórmula precedente deberá ser
demostrada por aplicación del Principio de Inducción Completa.
Análogamente a lo realizado para las Progresiones Aritméticas,
hallaremos una expresión de recurrencia que nos permita calcular el valor de la
suma de los n primeros términos de una Progresión Geométrica.
Sea S = a1 + a2 + a3 +........................... + a(n-1) + an
y
r.S =
r..a1 + r..a2 +..........................+ r..a(n-2) + r..a(n-1) + r..an
como se verifica a2 = r..a1 ; a3 = r..a2 ; ..................... a(n-1) = r..a(n-2) ; etc... por la
definición de Progresión Geométrica, obtenemos restando S - r..S:
S - r..S = a1 -r..an
O bien, reemplazando an por su equivalente:
S(1 - r) = a1 - r..a1.r(n-1) = a1.(1 - rn)
y finalmente
a1 ⋅ 1 − r n
S=
(1 − r )
(
)
51
EL NÚMERO ENTERO:
En el conjunto N0 no pueden resolverse las operaciones de
resta o diferencia en el caso en que el minuendo de la operación sea menor que
el sustraendo. Por ello que resulta imprescindible, (a los efectos de dar solución a
una operación como (3 - 5)), definir un nuevo conjunto numérico; el de los
números enteros que simbolizamos con la letra Z. Este conjunto tiene la
particularidad de no poseer ni primer ni último elemento y se define de tal manera
que:
1) Al conjunto Z pertenecen todos los elementos de N0.
2) Las operaciones de resta con minuendo menor que el sustraendo, siempre
tienen solución en Z.
3) Las operaciones en Z conservan las propiedades establecidas para el
conjunto N0, con excepción de las propiedades de la radicación en el
caso de radicando negativo y exponente par, operación para la cual no
existe solución en este conjunto.
Para conformar el conjunto Z debemos definir para cada
número n ∈N, un nuevo número (-n) que se denomina "opuesto de n"
notación como:
El conjunto Z podrá definirse entonces, haciendo abuso de
Z = {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...}
y se representa en la recta numérica como indica el siguiente gráfico,
U
O
-3
-2
-1
0
1
2
3
en el cual observamos que a cada número entero le corresponde un único punto
sobre la recta numérica, existiendo, en consecuencia, infinitos puntos de la
misma que no corresponden a ningún número entero.
A los efectos de precisar posteriores conceptos,
convenimos en designar:
Z+ = N (conjunto de los números naturales, también llamado de los
enteros positivos)
Z0+ = N0 (enteros positivos ,incluido el cero, o enteros no negativos).
Z- =
Conjunto de los enteros negativos.
resultando:
o bien:
Z+ U {0} U Z- = Z
Z0+ U Z- = Z.
52
Operaciones en Z.
Para el conjunto Z se definen las mismas operaciones vistas
para N0, debiendo cumplirse las siguientes reglas:
1) El producto o el cociente de dos números enteros positivos o de dos números
enteros negativos da como resultado un número entero positivo.
2) Si se multiplican o dividen un número entero positivo y uno negativo, obtenemos
como resultado un número entero negativo.
Se verifica entonces, la siguiente "regla de los signos":
+•+=+
-•-=+
+:+=+
-:-=+
+•-=-
-•+=-
+:- =-
-:+=-
NÚMEROS RACIONALES.
Definición, representación gráfica, expresión decimal periódica. Operaciones
y propiedades.
La operación de división entre números enteros se define
como hemos visto, a partir de la operación de producto:
a
= c
b
⇔
a = b•c
(1)
Para que esta operación arroje resultados en el conjunto Z,
es necesario que a sea múltiplo de b.
Si en (1) tenemos por ejemplo:
a = 5 y b = 3, el cociente será 5 / 3 = c ⇔ 5 = 3 • c
y no existe ningún número entero que satisfaga la última igualdad.
Esta circunstancia genera la necesidad de ampliar nuestro
campo numérico, introduciendo el concepto de número fraccionario, definido como
el cociente entre dos números enteros.
Conformamos de esta manera, un nuevo conjunto numérico:
el de los Números Racionales; sus elementos son tales que, al simplificar los
factores comunes de numerador y denominador, nos queda un número entero, o
bien una fracción irreducible.
20 2 • 2 • 5
33 3 • 11 11
=
=5 ;
=
=
4
4
6
3• 2
2
53
El conjunto de los números racionales se nomencla Q y
puede expresarse simbólicamente:
a
Q =  / a ∈Z
b

∧ b ∈ ( Z − {0})

En consecuencia:
5/3 es racional ya que 5 ∈ Z ∧ 3 ∈ Z.
-5/3 es racional ya que - 5 ∈ Z ∧ 3 ∈ Z
2 es racional ya que 2 = 4/2 y (4 ∧ 2) ∈ Z.
0,2 es racional ya que 0,2 = 2/10 y (2 ∧ 10) ∈ Z.
0,55...es racional ya que 0,55 = 5/9 y (5 ∧ 9) ∈ Z.
Densidad de los números Racionales.
Los números racionales tienen la propiedad de constituir un
conjunto DENSO; en efecto, se puede demostrar fácilmente que entre dos
números racionales existen infinitos números racionales; por ejemplo entre 1/3 y ½
se puede colocar el racional 5/12, que se obtiene efectuando el promedio
1 5 1
verificándose
<
<
es decir que entre 1/3 y 1/2 colocamos el promedio, y
3 12 2
así sucesivamente
5/12
0
1/3
1/2
1
El hecho de que el conjunto de los números racionales Q sea
“denso”, puede llevarnos a pensar que por sucesiva inserción de números
racionales obtenidos efectuando el promedio entre dos números racionales
conocidos habremos agotado todos los puntos de la recta; ello no es así pues,
como veremos, existen números que no pueden ser expresados como razón o
cociente de dos enteros.
El número irracional:
Si construimos un cuadrado de lado igual a la unidad y
pretendemos medir su diagonal, la misma resulta ser la hipotenusa de un triángulo
rectángulo. Como sabemos, para los triángulos rectángulos vale el Teorema de
Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos".
d² = 1² + 1²
d= 2
2 no es un número racional ya que no es posible expresarlo como cociente
entre dos números enteros, y por ello se lo llama IRRACIONAL.
54
fácilmente)
lado).
Resulta también irracional (como puede demostrarse
3 , (razón de la longitud de la diagonal de un cubo a la longitud de su
Geométricamente pueden obtenerse con facilidad los
irracionales y efectuar su representación sobre la recta numérica; la figura
siguiente ilustra el procedimiento:
45º
0
1
2
En general se demuestra que si la raíz n-sima (se lee raíz
enésima o de orden n) de un número entero no es otro número entero, tampoco es
fraccionario (es decir, no es racional), resultando, en consecuencia un irracional;
esto nos indica que la radicación nos provee infinitos números irracionales. Son
también irracionales : la razón entre la longitud de una circunferencia y su
diámetro:
l/d =
π
= 3,141592653589...
y el número e = 2,718281828459045... que aparece en muchos modelos
matemáticos de procesos naturales: desintegración radiactiva, crecimiento de
poblaciones celulares, espiral de los caracoles, etc., y es utilizado como base de
los logaritmos Nepperianos, también llamados logaritmos naturales.
Los logaritmos y las funciones trigonométricas nos proveen
asimismo de infinitos números irracionales.
Los números irracionales se caracterizan por presentar
infinitas cifras no periódicas, lo que justifica que no puedan expresarse mediante
una fracción.
NÚMEROS REALES. Definición, representación gráfica, operaciones y
propiedades.
Los números racionales ya definidos y los irracionales que
terminamos de ver, conforman un nuevo conjunto, llamado de los números
REALES, que se simboliza con la letra R. De este conjunto podemos decir que
"cubre" la recta numérica; es decir, para el conjunto "R" puede establecerse una
correspondencia biunívoca con los puntos de la recta numérica; esta
correspondencia se expresa:
"A cada punto de la recta le corresponde un único número real y
recíprocamente".
Hemos ampliado de esta manera el campo numérico, desde
los números más elementales (los números naturales) hasta el conjunto recién
definido; esta ampliación puede esquematizarse en el siguiente cuadro:
55
Naturales (N)
N0
Cero
ENTEROS (Z)
-
Enteros negat.(Z )
RACIONALES (Q)
FRACCIONARIOS
REALES (R)
IRRACIONALES (I)
56
Logaritmos:
Definición: Llamamos logaritmo en base b de un número x a un número y, si y
es el exponente al que hay que elevar b para obtener x
logb x = y ⇔ by = x
Ejemplos:
; b ∈R+ ∧ b ≠ 1
log2 8 = 3 porque 23 = 8
log2
1
=
16
-4 porque 2-4 =
1
16
Debe tenerse en cuenta que:
•
•
•
•
•
•
•
•
Se verifica que el logaritmo de 1, cualquiera sea la base es igual a 0. (Se
comprueba porque cualquier número elevado a la potencia cero da 1).
Cualquiera sea la base en que se opera, el logaritmo de la base es igual a 1.
(Efectuar la comprobación).
Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números
reales. (Verificarlo).
El logaritmo de cero no existe (Verificarlo).
La operación de logaritmación no es distributiva respecto de ninguna
operación:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores: loga (x ⋅ y ) = loga x + loga y .
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre los logaritmos del
x
numerador y del denominador: loga = loga x − loga y .
y
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el
logaritmo de la base: loga xn = n ⋅ loga x .
• El logaritmo de la raíz n-sima (se lee enésima) de un número es igual a la
inversa del índice multiplicado por el logaritmo de la cantidad sub-radical:
1
loga n x = loga x
n
Los logaritmos más usuales en matemática son los que se
expresan en las bases 10 (logaritmos decimales) y en base e (logaritmos naturales
o Neperianos). Cuando se trata de trabajar con logaritmos decimales se omite
escribir la base: log 100, debe entenderse logaritmo en base 10; los logaritmos
naturales se expresan, por ejemplo: ln 10.
Si bien en todas las calculadoras científicas pueden
obtenerse los logaritmos decimales y los naturales, puede presentarse la
necesidad de calcular el logaritmo de un número en otra base cualquiera.
57
Sea el caso de tener que calcular y = logb x para lo cual
contamos con la calculadora que nos provee los logaritmos en base 10 o en base
e. Generalizando, sea a la base en la cual podemos calcular los logaritmos.
Teniendo en cuenta la equivalencia:
y = logb x ⇔ b y = x
aplicando logaritmos en la base a conocida a la expresión b y = x obtenemos:
loga b y = loga x
que de acuerdo con las propiedades de la potencia para los logaritmos , resulta :
y ⋅ logab = loga x ; o bie n
loga x
logab
lo que significa que el logaritmo de un número x en una base cualquiera b puede
obtenerse cuando se conocen los logaritmos respecto de una base a, dividiendo
el logaritmo del número x calculado en base a por el logaritmo en base a de la
base b.
y=
58
EL
ESPACIO
BIDIMENSIONAL.
Sistema de representación
Cartesiano. Par ordenado. Producto Cartesiano. Distancia entre dos puntos.
Punto que divide un segmento en una razón dada. Sistema de coordenadas
polares. Equivalencia entre los sistemas cartesiano y polar.
PAR ORDENADO.
Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos
y un cierto criterio de ordenación que permite decidir cual es el primer elemento y
cual es el segundo.
Si el primer elemento es a y el segundo es b, el par
ordenado se notará entre paréntesis (a, b).
Igualdad de Pares Ordenados: decimos que:
(a,b) = (c,d)
⇔
(a = c y b = d)
En general se verifica (a,b) ≠(b,a), pero {a,b} = {b.a}, se verifica siempre.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGONALES.
Del mismo modo que se establece una correspondencia
biunívoca entre el conjunto de los números reales y los puntos de la recta
numérica,
que denominamos espacio unidimensional, extendiendo la idea al
espacio de dos dimensiones o bidimensional (el plano), podemos establecer una
correspondencia entre sus puntos y un conjunto formado por pares ordenados de
números reales (x,y). Para ello utilizamos el llamado Sistema de Coordenadas
Cartesianas Ortogonales (Descartes, siglo XVI) constituido por un par de ejes
(rectas orientadas) perpendiculares entre sí, que dividen al plano en cuatro
cuadrantes, debiendo definirse para cada uno de los
ejes la correspondiente unidad de medida:
salvo en casos especiales, en general se adopta
II
I
para ambos ejes la misma unidad.El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las
P(x,y)
abscisas y el vertical (eje y), eje de las ordenadas.
El punto O, intersección de los ejes es el origen del sistema y las componentes de los pares
ordenados (x,y) son las coordenadas del punto
P considerado (abscisa y ordenada respectivaIII
IV
mente).
Actividad: Un triángulo equilátero OAB cuyo lado tiene una longitud a está
colocado de manera tal que el vértice O está en el origen de coordenadas, el
59
vértice A sobre el eje de las abscisas y sobre el semieje positivo y el vértice B está
ubicado en el primer cuadrante (o sea, encima del eje x). Escribir las coordenadas
de los vértices A y B y el área del triángulo.
Distancia entre dos puntos en el plano.
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos cualesquiera del plano
se y
obtiene por aplicación del Teorema de
Pitágoras al triángulo de la figura.
y2
La distancia entre los puntos P1 y P2
P2(x2y2)
P1(x1y1)
y1
d=
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
x
x1
x2
Actividad: Demostrar que los puntos P1 (3,3) ; P2 (-3, -3) y P3 (-3 3 ,3 3 )
son vértices de un triángulo equilátero. Graficar en escala.
División de un segmento en una razón dada.
.
y
B2
P2(x2y2)
P(x,y)
B
B1
P1(x1y1)
A1
x
A
A2
60
Sea el problema de dividir el segmento establecido entre P1 y
PP
P2 en una razón dada r = 1 . Si establecemos una relación de proporcionalidad
PP2
PP
AA
entre los triángulos de la figura, podemos escribir: 1 = 1 ; siendo A1A = x – x1
PP2 AA2
y AA2 = x2 - x
de lo que resulta:
r=
P1P
A A x − x1
= 1 =
;
PP2 AA2 x2 − x
r ( x2 − x ) = x − x1 ; r ⋅ x2 − r ⋅ x = x − x1 ; r ⋅ x2 + x1 = x + r ⋅ x ; x1 + r ⋅ x2 = x(1 + r )
x1 + r ⋅ x2
1+ r
debiendo ser r ≠-1 a efectos de que no se anule el denominador.
x=
Actividad: demostrar la validez de y =
y1 + r ⋅ y2
1+ r
Observación: cuando P es el punto medio del segmento considerado, la razón
que corresponde es r = 1; en estas condiciones los valores de los resultados
anteriores se reducen a:
x +x
y + y2
x= 1 2 ; y= 1
2
2
expresiones que nos dicen: las coordenadas del punto medio de un segmento
resultan iguales a las semisumas de cada una de ellas.
Ejercicios:
1) Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1) ; (0,3) ; (3,4) ;
(4, -1)
2) Demostrar que los puntos (-2,-1) ; (2,2) ; (5, -2) son los vértices de un triángulo
isósceles.
3) Demostrar que los puntos (2, -2) ; (-8,4) ; (5,3) son los vértices de un triángulo
rectángulo y hallar su área.
4) Demostrar que los puntos (12,1) ; (-3, -2) ; (2, -1) son están ubicados sobre una
misma recta.
5) Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos
son los puntos (-2,3) y (6, -3).
6) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio
es (3,4). Hallar el otro extremo.
7) Los extremos de un segmento son los puntos (7,4) ; (-1, -4) ; hallar la razón en
que el punto (1, -2) divide al segmento.
61
8) Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5) ; (4,2) y (1,1). Hallar
las coordenadas de los vértices.
9) En un sistema coordenado lineal (espacio unidimensional) hallar la distancia
entre los puntos (-5) y (3) ; (6) y (-7) ; (-7) y (-11).La distancia entre dos puntos
es 7. Si uno de los puntos es (-3) hallar las dos soluciones posibles.
10) En un sistema coordenado unidimensional P1(x1) y P2(x2) son los puntos
extremos de un segmento. Demostrar que la coordenada x de un punto P que
PP
divide al segmento P1P2 en una razón dada: r = 1 es:
PP2
x + rx2
x= 1
con r ≠ -1
1+ r
11) Haciendo r=1 en la fórmula obtenida en el ejercicio anterior, demostrar que
la coordenada del punto medio de un segmento rectilíneo es la media
aritmética de las coordenadas de sus puntos extremos.
12) Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son (-7) y (-19).
13) Un extremo de un segmento es el punto (-8) y su punto medio es (3). Hallar
las coordenadas del otro extremo.
14) Un cuadrado de lado 2 a tiene su centro en el origen de coordenadas y sus
lados paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro
vértices.
15) Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2,-1) ; (7, -1) y (7,3). Hallar el
cuarto vértice y el área del rectángulo.
Sistema de coordenadas polares:
P = ( ρ ,ϕ)
ρ
ϕ
O
x
Una manera distinta de referenciar puntos del plano es
conformar un sistema de coordenadas constituido por un polo O y un eje polar x.
En este sistema llamado sistema polar, la posición de un punto queda
determinada trazando un segmento que una dicho punto con el polo O. Las
coordenadas que permiten identificar al punto son el ángulo ϕ que forman la
dirección positiva del eje polar con el segmento trazado desde P hasta O que
recibe el nombre de argumento y la longitud del segmento OP que recibe el
nombre de radio vector ρ
62
Equivalencia entre los sistemas cartesiano y polar:
Definido el sistema de coordenadas polares, puede
establecerse una equivalencia con el sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales dibujando los sistemas superpuestos (orígenes coincidentes y eje x
como eje polar) mediante la utilización de las siguientes fórmulas de
transfomación:
y
a
ρ
O
P(a,b)
b
ϕ
x
a) Si se conocen las coordenadas cartesianas a y b
ρ = a 2 + b 2 , siendo su valor la longitud del segmento OP.
El ángulo ϕ , que forma el semieje positivo de x con la
dirección del segmento OP se obtiene de la relación trigonométrica:
b
tgϕ =
a
que puede escribirse
b
ϕ = arctg
a
NOTA IMPORTANTE: Si bien para las coordenadas polares hemos tomado una
única solución es necesario destacar que, desde un punto de vista estrictamente
matemático tienen la misma posición sobre el plano todos los pares ordenados de
la forma (ρ ; ϕ +2kπ), siendo k un número entero (que puede tomar valores
positivos o negativos) y π = 3,14...
b) Si se conocen las coordenadas polares ρ,ϕ, estableciendo las
correspondientes relaciones trigonométricas:
63
De
cos ϕ =
a
sen ϕ =
;
ρ
b
ρ
;
obtenemos:
a = ρ • cos ϕ
;
b = ρ • sen ϕ
Ejemplo 1: Hallar las coordenadas polares del punto P, si sus coordenadas
cartesianas ortogonales son a= 3 ; b = -5
ρ = a 2 + b2 =
32 + (−5) 2 = ± 34
b
 5
a
 3
el cuarto cuadrante, resultando ϕ = 300º 58´
ϕ = arctg = arctg −  (por ser a positivo y b negativo, el punto estará ubicado en
Ejemplo 2: Hallar las coordenadas cartesianas ortogonales del punto P cuyas
coordenadas polares son ρ=4; ϕ=120º
a = ρ cosϕ = 4 cos 120º = 4 (-1/2) = -2
3
b = ρ senϕ = 4 sen 120º = 4
=2 3
2
(
en consecuencia las coordenadas cartesianas de P son − 2 ; 2 3
)
Ejemplo3:
Hallar la forma polar del lugar geométrico cuya ecuación cartesiana es:
x2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0
Solución:
Podemos reemplazar x² +y² por r² , x por r.cosϕ ; y por r.senϕ,
resultando la ecuación polar buscada:
r 2 − 4r ⋅ cos ϕ − 2r ⋅ sen ϕ + 1 = 0
Ejemplo 4:
Hallar la ecuación cartesiana del lugar geométrico cuya ecuación polar es:
2
r=
1 − cos ϕ
Solución: es conveniente, antes de sustituir, eliminar denominadores:
r − r ⋅ cos ϕ = 2
que puede reemplazarse por:
± x2 + y2 − x = 2
± x2 + y2 = x + 2
64
elevando al cuadrado ambos miembros, se llega a:
y2 = x + 4
Ejercicios:
1) En un sistema de coordenadas polares, dibujar los siguientes puntos:
P1 (1,135º) ; P2 (-3, π/3) ; P3 = (-3,2π/3)
2) Construir un triángulo cuyos vértices son:
P1 (5, 60º) ; P2 (-2, 7π/4) ; P3 (-4,150)
3) Un cuadrado de lado 2.a tiene su centro en el polo y dos de sus lados son
paralelos al eje polar. Hallar las coordenadas polares de cada uno de sus
cuatro vértices.
4) Un punto se mueve de tal manera que para todos los valores de su argumento,
su radio vector permanece constante e igual a 2. Identificar y dibujar el lugar
geométrico.
5) Un punto se mueve de tal manera que para todos los valores de sus radios
vectores su argumento permanece constante e igual a π/4. Identificar y dibujar.
6) Hallar las coordenadas polares de (-2.4) y (4, -2).
7) En cada uno de los casos siguientes, pasar la ecuación dada a la forma polar:
x2 + y2 = 4 ; 5x –4y +3 = 0 ; 2x2 + 2y2 + 2x – 6y +3 = 0 ; x.y = 2
8) En cada uno de los casos siguientes, pasar la ecuación polar a la forma
rectangular:
r.cosϕ -2 = 0 ; r = 2 senϕ ; r = 6cosϕ = 0 ; r - r.cosϕ = 2