Envolventes

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II
AÑO N°4 RTICULO N°3
CALLAO, 7 DE MAYO DEL 2012
LA ENVOLVENTE
La noción de envolvente, está íntimamente relacionado con la teoría de las ecuaciones
diferenciales. Es así que para determinar la envolvente, primero se tiene que resolver una
ecuación diferencial, que como se sabe, estas se fundamentan sobre el cálculo integral y
diferencial (derivadas).Las ecuaciones diferenciales tienen 3 tipos de soluciones:
1) Solución general: cuya representación geométrica es una familia de curvas.
2) Solución particular: gráficamente es representado.
3) Solución singular: que en algunos casos se pueden obtener, al resolver una ecuación
diferencial. Es precisamente, al representarlo gráficamente la solución singular, se obtiene
una curva denominada, “la envolvente”
¿QUÉ ES UNA ENVOLVENTE?
Para dar una idea intuitiva de lo que realmente es la envolvente, primero lo definiremos
geométricamente, para luego analizarlo formalmente. Es así, que en la presente figura 1
se tiene una familia de parábolas P 1, P2,P3 que es la representación gráfica de una
solución general de una ecuación diferencial) y en la misma figura se observa una
parábola etiquetada porla letra P y que “envuelve” a las parábolas P1, P2,P3 .Esta parábola
P es lo que se conoce como una envolvente.
 Otro ejemplo:
En la figura 2 vemos una familia de circunferencias C 1 C2 C3 y C4(comodecíamos
representa gráficamente una solución general) y observamos en la misma figura(2), dos
rectas L1 y L2que “envuelve” por arriba y por debajo a la familia de circunferencias .Estas
rectasL1 y L2 son las envolventes de las circunferencias mencionadas.
En la figura 3, se observa una familia de rectas L 1, L2,L3 y L4 que están “envueltas” por
arriba por la parábola P .Esta última es la envolvente
P, de las familias de rectas L1,
L2,L3 y L4.
Así como en los ejemplos ilustrados, podríamos dar otros mas pero en base a los
enunciados estamos en condiciones, de dar una definición formal de lo que es la
envolvente.
Se llama “envolvente” de una familia de curvas a la curva que en cada uno de sus puntos
es tangente a una de las curvas de la familia de curvas.
FORMULACION MATEMATICA DE LA ENVOLVENTE
Si F(x, y, c)=0 representa la solución general de la ecuación diferencial F(x,y,y ,), la
envolvente de la familia de curvas, en caso exista, será la solución singular de F(x,y,y ,)=0.
 TEOREMA
El siguiente teorema, sirve para hallar la envolvente de una familia de curvas (o rectas)
dadas:
Y= F(x, y, c )= 0
………... Ecuaciones de la familia de curvas.
Yc= Fc(x,y,c) = 0 …………… Derivada parcial de F con respecto al
paramento C.
 EJEMPLO 1:
Determinar la envolvente (o solución singular) de la familia d parábolas:
1
Y= X2+CX + 4C2
La derivada parcial de este polinomio con respecto a C es:
1
Yc= X+ C
2
De tal forma para determinar la envolvente debemos eliminar C en el sistema de
ecuaciones:
1
Y=X2+CX + 4C2=0
1
Yc=X+ C=0
2
……………………
(1)
……………………
(2)
De la ecuación (2) del sistema, se tiene C= -2X, y reemplazando en (1):
1
Y=X2+ (-2X)+ 4 (-2x)2=0
Operando resulta la envolvente, que es representado por la recta:
Y=0
 GRAFICANDO:
1
Y=X2+CX + 4C2
Para:
C=-2, Y=X2-2X+1:P1
Y 1 0 1
X 0 1 2
1
4
X 0
1
Y
C= -1, Y=X2-X+ 4:P2
C=0, Y=X2:P3
Y
X
1
-1
0
1
2
0
0
1
4
1
1
1
1
0
X
1
4
-1
Y
X
1
-2
0
-1
Y
C=1,Y=X2+X+ 4:P4
C=2, Y=X2+2X+1 :P5
-
1
2
1
4
0
1
0
 GRAFIQUEMOS:
 EJEMPLO 2:
Hallar la envolvente, para la familia de parábolas:
Y2=2CX – C2
Usamos nuestro teorema, para eso formulamos nuestro sistema de ecuaciones.
Y2- 2CX + C2=0
………………….
(1)
-2X + 2C=0
………………….
(2)
De (2) obtenemos X=C, el cual sustituimos en (1):
Y2- 2X(X) + X2=0
Operando tenemos:
Y2=X2
Que representa las rectas Y=X y Y= -X, que son las envolventes de la familia de
parábolas, cuya grafica se presenta a continuación.
 USO DE LA ENVOLVENTE EN LA ECONOMIA:
En la teoría económica, específicamente en la microeconomía, hay un tópico referido a la
teoría de costos, donde una parte de esta, se estudia la determinación del tamaño, que
permita producir un nivel de producción a un costo unitario mínimo .Es así, que cuando se
permite variar el tamaño de la producción, se simboliza por la variable capital “K” .se
supone que se está en un horizonte de planeación de largo plazo. Si se grafican distintas
curvas de costos medios (Cm e) para distintos niveles de capital “K” y conjuntamente, la
función de costos medios de largo plazo Cme L ,se tendrá, que esta última es la envolvente
inferior de cada una de las curvas Cme de costo medio de corto plazo.
- BRIONES GUTIERREZ YOSELIN
RESPONSABLE DE LA PUBLICACION
- PROF: EDGAR LOPEZ SALVATIERRA
RESPONSABLE GENERAL