PROGRESIONES ARITMÉTICAS

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Se define como progresión aritmética a una sucesión de números reales a1, a2, a3,... an... en los que la
diferencia entre términos consecutivos es constante:
an+1 − an = constante
A la diferencia entre términos consecutivos se le denomina d. Puede ser positiva o negativa, en el
primer caso corresponde a una progresión creciente y en el segundo a una progresión decreciente.
Término general de una progresión aritmética
El término general de una progresión aritmética en una expresión en función de n, que permite
calcular cualquier término de la progresión conocida su posición. Se denomina an, siendo n la posición de
cualquier término de la sucesión.
A partir de la definición se obtiene la expresión de término general
a n = a 1 + (n − 1)d
de está expresión se pueden obtener otras análogas que permiten calcular la diferencia o la posición del
término:
a − a1
a − a1
+1
n= n
d= n
d
n −1
Ejemplo 1. Calcular el término general de una progresión aritmética sabiendo que a15 = 63 y a29 = 119.
Él término general de una progresión aritmética se expresa a partir del primer término y la diferencia.
Aplicando la expresión del término general a los términos a15 y a29, se obtiene un sistema de dos ecuaciones y
dos incógnitas (a1 y d)
a 15 = a 1 + (15 − 1) ⋅ d = 63 
a = 7
 a 1 + 14d = 63
⇒ 1
operando : 
a 29 = a 1 + (29 − 1) ⋅ d = 119
a 1 + 28d = 119  d = 4
conocidos a1 y d, el término general queda:
a n = 7 + (n − 1) ⋅ 4
ordenando
a n = 4n + 3
Interpolación de medios aritméticos
Interpolar aritméticamente m números entre dos números a y b es formar una progresión aritmética
de m + 2 términos en los que a y b son respectivamente el primero y el último término de la progresión.
El problema de la interpolación se reduce a calcular la diferencia de la progresión ya que el primer
término se conoce. Para calcular la diferencia se tiene en cuenta que el número de términos de progresión será
m + 2(m por el número de términos que se quieren interpolar y dos por los extremos), aplicando él término
general y teniendo en cuenta que a1 es el extremo inferior(a) y an el extremo superior(b):
b−a
b−a
d=
=
(m + 2) − 1 m + 1
conocida la diferencia, se obtienen los m medios aritméticos.
Ejemplo 2. Interpolar cinco medios aritméticos entre 1 y 2.
Teniendo en cuenta que se quieren interpolar 5 medios aritméticos, la progresión costará de siete
términos, siendo el primero 1 y el último 7. La diferencia será:
2 −1
1
d=
=
(5 + 2) − 1 6
Los medios aritméticos se obtienen a partir de 1 término sumando la diferencia.
1, 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 2
6 6 6
6
6
Suma de n términos de una progresión aritmética
Una propiedad muy importante de las progresiones limitadas es que la suma de los términos
equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
a 1+ k + a n − k = a 1 + a n
≡ Término que va precedido de k términos
a
siendo:  1+ k
a
 n − k ≡ Término que va seguido de k términos
Aplicando esta propiedad se llega a la expresión de la suma de n términos de una progresión aritmética:
a +an
Sn = 1
⋅n
2
Ejemplo 3. Si el primer día de pretemporada un ciclista recorre 75 Km y cada día aumenta en 5 Km la
distancia recorrida, calcular cuantos kilómetros se ha recorrido el primer mes. Supóngase que el mes tiene 30
días.
Se pide calcular la suma de los treinta primeros términos de una progresión aritmética de diferencia
cinco y de primer término 75
a + a 30
S 30 = 1
⋅ 30
2
a1 es dato del enunciado(a1 = 75), a30, se puede hallar mediante el término general, ya que se conoce
a1 y d
a = 75
a 30 = a 1 + (30 − 1) ⋅ d =  1
 = 75 + (30 − 1) ⋅ 5 = 220 Km
 d=5 
sustituyendo en la expresión de la suma:
a + a 30
75 + 220
S 30 = 1
⋅ 30 =
⋅ 30 = 4425 Km
2
2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Se define como progresión geométrica a una sucesión de números reales a1, a2, a3,... an... en los que
cada término, excepto el primero, es igual al término anterior multiplicado por un número r. A este número r
se le denomina razón de la progresión
Término general de una progresión geométrica.
Teniendo en cuenta la definición de progresión geométrica:
a n = a 1 ⋅ r n −1
Para calcular cualquier término de la progresión conocida la razón, no es necesario conocer a1,
valdría cualquier término de la progresión(a k).
a n = a k ⋅ r n −k
Ejemplo 1. En una progresión geométrica se sabe que a3 = 6 y a7 = 24.
a) Calcular a1 y la diferencia
b) Obtener la expresión de término general
a.
Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica a los términos conocidos,
se obtiene un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas(a1 y d).
 a 3 = 6 a =a ⋅r n −1  n = 3 : a = a ⋅ r 3−1
3
1
n 1→



n = 7 : a 7 = a 1 ⋅ r 7 −1
a 7 = 24
sustituyendo y ordenando
 a 1 ⋅ r 2 = 6

a 1 ⋅ r 6 = 24
El sistema se resuelve por sustitución, despejando a1 de la primera ecuación y sustituyendo en la
segunda ecuación
6
 a 1 ⋅ r 2 = 6 a1 = 2  6 6
r→
 

 2 ⋅ r = 24
a 1 ⋅ r 6 = 24
r
simplificando y despejando se obtiene r
r 4 = 4 ⇒ r = ±4 4 = ± 2
conocido r se calcula a1
6

Sí r = + 2 ⇒ a 1 =
6 
+ 2
a1 =
:
2 
6
r Sí r = − 2 ⇒ a 1 =

− 2

b.
 a1 = 3 
n −1
 : a n = 3⋅ 2

r
2
=


a n = a 1 ⋅ r n −1 : 
a
3
=

n −1
1

: a = 3⋅ − 2
r = − 2  n
(
)
(
)2
=3
(
)2
=3
Interpolación de medios proporcionales
Interpolar n medios proporcionales entre dos números dados es formar una progresión geométrica
cuyos extremos sean los números dados y este formada por n + 2 términos, incluidos los extremos.
El problema de la interpolación es el calculo de la razón, lo que se soluciona aplicando el término
general al extremo superior.
a n + 2 = a 1 ⋅ r n +1 ⇒ r = n +1
a n+2
a1
Ejemplo 2. Interpolar tres medios proporcionales entre 2 y 5.
Se pide calcular los tres término centrales de una progresión geométrica de cinco términos conocidos
el primero y el quinto, por lo tanto el problema se reduce a calcular la razón.
Aplicando el término general a a5 conocido el valor de a1, se calcula la razón
4 40
a = 2 
5
5 ⋅ 23
4
=
a n = a 1 ⋅ r n −1 : {n = 5}: a 5 = a 1 ⋅ r 5−1 :  1
;5 = 2 ⋅ r ⇒ r = 4 = 4
3
2
2
2⋅2
a 5 = 5
conocida la razón se calculan los términos pedidos:
4
40 4
= 40
2
4 40
40
a 3 = a 2 ⋅ r = 4 40 ⋅
=
= 10
2
2
4
4 40
10 2 ⋅ 4 40 2 ⋅ 4 250 4
a 4 = a 3 ⋅ r = 10 ⋅
=
=
= 250
2
2
2
a 2 = a1 ⋅ r = 2 ⋅
Nota: Todos los radicales se han simplificado y racionalizado
Producto de n términos de una progresión geométrica.
Los términos de las progresiones geométricas limitadas cumplen que el producto de términos
equidistantes de los extremos es constante e igual al producto de los extremos
a 1+ k ⋅ a n − k = a 1 ⋅ a n
≡ Término que va precedido de k términos
a
siendo:  1+ k
 a n − k ≡ Término que va seguido de k términos
Aplicando esta propiedad se llega a la expresión del producto de n términos de una progresión geométrica:
Pn =
(a 1 ⋅ a n )n
Suma de n términos de una progresión geométrica.
Partiendo de la expresión de la suma de n términos de una progresión geométrica y restándola a la
misma expresión multiplicada por r se llega fácilmente a una expresión para la suma de n términos:
a ⋅ r − a1
Sn = n
r −1
sustituyendo a n por su expresión en función del término general, se obtiene una expresión para la suma de n
términos que solo es función de a1 y de r.
Sn =
(
)
a1 ⋅ r n −1
r −1
ambas expresiones se usan indistintamente.
Suma de una progresión geométrica ilimitada.
Si el valor absoluto de una progresión está comprendido ente 0 y 1,
0 < r <1
se puede calcular la suma de los infinitos términos de la progresión.
a
S∞ = 1
1− r
15 3 3
, , , ...
8 4 10
Aplicando la expresión de la suma de n términos de una progresión geométrica para n = 5:
Ejemplo 3. Calcular la suma de los cinco primeros términos de la progresión:
(
)
a1 ⋅ r 5 −1
r −1
Puesto que se conoce a1, el único dato que falta es r. Para conocer la razón basta con dividir dos
término consecutivos
3
a
a
2
r = n +1 : r = 2 = 4 =
an
a 1 15
5
8
conocidos a1 y la razón, se sustituyen en la expresión de la suma
5

15   2 
⋅   − 1


8 5

 3093
S5 =
=
2
1000
−1
5
S5 =
)
Ejemplo 4. Calcular la siguiente suma ilimitada: 1'02 = 1 + 0'02 + 0'002 + 0'0002 + ...
A partir del segundo sumando, los términos forman una progresión geométrica de razón:
0'002 1
r=
=
0'02 10
aplicando la expresión de la suma ilimitada:
1
)
a
1 46
0'02
= 1 + 50 = 1 +
=
1'02 = 1 + 1 = 1 +
9
1
45 45
1− r
1−
10
10