Las triplas pitagóricas - cremc - Universidad Interamericana de

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
Las triplas pitagóricas
Dr. Álvaro Lecompte
Universisdad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de San Germán
Resumen
Por métodos experimentales y argumentos sencillos, se discute como el proceso
de conseguir triplas pitagóricas corresponde a la factorización en los números complejos
de coeficientes enteros, llamados enteros gaussianos. Las triplas se forman a partir de los
complejos racionales del círculo unitario, los cuales a su vez se consiguen de cuadrados
de enteros gaussianos. Todo el proceso es fácil de programar en la computadora y
permite ilustrar varios conceptos del álgebra abstracta moderna de forma muy concreta.
1. Introducción
Las triplas pitagóricas están formadas por números enteros (a, b, c) tales que a² +
b² = c². Por tanto, existe un triángulo rectángulo con esos números como medidas de sus
lados. La más conocida es (3, 4, 5) pero hay infinitas, empezando por los múltiplos de
esta y muchas otras como (5, 12, 13), (7, 16, 25) y todas las otras que pronto mostraremos.
Puesto que despiertan enseguida la curiosidad, las triplas han sido mencionadas
desde tiempos antiguos. En particular, Fermat las estudió y luego intentó encontrar triplas
que cumplieran an + bn = cn , para otros exponentes diferentes de 2. No encontrando
soluciones más allá de n=2, Fermat dejo escrito que este tipo de triplas no existen para
n>2 y que tenía una prueba. La prueba, si existió, no apareció entre sus papeles. Esta
afirmación es el famoso Teorema de Fermat, cuya prueba estuvo abierta por varios siglos
y sólo se logró a finales del siglo pasado. Se dice que no existen más de 30 personas en el
mundo que puedan entender la prueba cabalmente, por lo que sigue abierto el reto de
presentarla en forma más sencilla.
El estudio de las triplas pitagóricas, así como la búsqueda de una prueba del
Teorema de Fermat llevó al desarrollo de buena parte del álgebra abstracta y de la
geometría algebraica. Además de Fermat, grandes matemáticos como Gauss, Kummert,
Dedekind y otros también estudiaron este tema.
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Recientemente como proyecto de investigación de un grupo de estudiantes de
escuela superior revisamos este tema de las triplas pitagóricas en forma de un
experimento computacional. Luego de escribir los programas para generar las triplas, por
pura observación, entre todos fuimos encontrando varias propiedades que nos llevaron a
redescubrir su misterio, igual que seguramente lo hicieran Fermat y Gauss en su
momento.
Sin recordar ahora fuente alguna, es muy posible que algunos de estos datos
estuvieran en el subconsciente de la memoria de los cursos olvidados de álgebra abstracta
del bachillerato. Recuerdo que cuando nos hablaron del Teorema de Fermat mencionaron
una prueba falsa del siglo XIX en la cual se factorizaba la ecuación de Fermat en los
complejos y se llegaba a una contradicción. La prueba era incorrecta, ya que en el anillo
en cuestión, generado por las raíces enésimas complejas de las unidades combinadas con
coeficientes enteros, no tenía la propiedad de factorización única, la cual se usaba de
forma escondida en los argumentos. Para tratar de corregir la prueba o descartarla, se
desarrolló la teoría de anillos y la factorización en estos por medio de ideales,
introduciendo los conceptos de dominio euclidiano, dominio de ideales principales y
dominio de factorización única. En este trabajo veremos como la factorización en los
complejos gaussianos aparece subyacente en la construcción de las triplas pitagóricas,
pero sin entrar al álgebra abstracta.
Resulta un gozo único cuando tropezamos nuevamente con la unidad de las
matemáticas. Detrás de estas triplas se esconde una buena parte del álgebra moderna y se
goza viendo como cada hecho encaja en su lugar. Presentamos los resultados que se
obtuvieron para el disfrute de los lectores, invitándolos desarrollar por sí mismos estos
cálculos. La ciencia de los números sigue siendo la reina de las matemáticas.
2. Triplas irreducibles y sus generadores
Las triplas pitagóricas
se pueden generar mediante el siguiente truco bien
conocido. Si factorizamos uno de los catetos de la forma:
b² = c² – a² = (c + a) (c – a) = m n
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con m= c + a y n = c – a, la búsqueda se reduce a la de dos enteros m y n cuyo producto
sea un cuadrado. La solución es:
m = f² h,
n = g² h
Para enteros f, g y h. Esta solución es general, ya que f es la parte cuadrática de m,
g la de n y h un factor libre de cuadrados que debe repetirse en m y n. Sustituyendo, en a,
b y c se obtiene:
a = (f² – g²) h /2
b=fgh
c = (f² + g²) h /2
El número h aparece como un factor común de la tripla y podemos dejarlo fuera, ya que
cualquier múltiplo de un tripla pitagórica sigue teniendo la propiedad. Igualmente,
cualquier factor común de f y g aparece como un factor cuadrático de la tripla y se puede
omitir. Por tanto, las triplas irreducibles se consiguen si f > g, son primos entre sí.
Si f y g son de distinta paridad, a y c en esta fórmula resultan ser semi-enteros. En ese
caso restituimos un factor de 2 y usamos en su lugar:
a = f² – g²
b=2fg
c = f² + g²
Si f y g son ambos impares, usamos las primeras fórmulas.
Los estudiantes prepararon un programa en el lenguaje “Mathematica” para estos
dos conjuntos de fórmulas, logrando la Tabla 1 para los valores más pequeños de f y g.
En la computadora se prepararon tablas mucho más extensas, pero esta es suficiente para
discutir las observaciones. Para cada f, a g se le dan todos los valores posibles, de menor
a mayor.
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f
g
a
b
c
2
1
3
4
5
3
1
4
3
5
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
3
7
24
25
5
1
12
5
13
5
2
21
20
29
5
3
8
15
17
5
4
9
40
41
6
1
35
12
37
6
5
11
60
61
7
1
24
7
25
7
2
45
28
53
7
3
20
21
29
7
4
35
56
65
7
5
12
35
37
8
1
63
16
65
8
3
55
48
73
8
5
39
80
89
8
7
15
112
113
Tabla 1
3. Simetría de los catetos
En primer lugar, se puede apreciar en la Tabla 1 como la tripla (a, b, c) aparece
con ciertos valores de la pareja (f , g) y más adelante aparece la tripla (b, a, c) con otra
pareja de f y g. Es natural preguntarse cuál es la relación entre una y otra pareja. La
respuesta se logra tras algunos ensayos. Si (f, g) produce (a, b, c) de primera en la lista,
entonces (f + g, f - g) produce la tripla simétrica (b, a, c) más adelante. La primera tripla
en aparecer siempre ocurre con f y g de distinta paridad, la segunda aparece con f y g
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ambos impares. Efectivamente, si se cumplen las segundas fórmulas para f y g, entonces
con las primeras fórmulas para f + g y f – g se obtiene:
((f + g)² - (f – g)²) / 2 = 2 f g = b
(f + g) (f – g) = f² - g² = a
((f + g)² + (f – g)²) / 2 = f² + g² = c
Esta observación nos llevó a dos conclusiones: en primer lugar no es necesario
usar el primer grupo de fórmulas, ya que la tripla que se produce con f y g ambos impares
aparece más tarde con los catetos en distinto orden. Es decir, para generar las triplas
irreducibles una sola vez, usamos las segundas fórmulas con f > g, primos entre sí y de
distinta paridad.
En segundo lugar, si se itera el método, es decir si se sigue haciendo (f + g, f – g)
con los valores ya obtenidos, se llega a la pareja (2 f, 2 g), que produce un múltiplo de (a,
b, c). Si se sigue iterando se repite la tripla de catetos invertidos y así sucesivamente.
Esta propiedad nos llevó a pensar que debe haber alguna explicación geométrica detrás
de la simetría.
Buscando la relación, se preparó una segunda tabla para los ángulos formados por
los vectores (a, b) y (f, g) en el plano cartesiano, enfocada en las parejas simétricas,
obteniendo la Tabla 2. En esta, ang1 es el ángulo de (a, b) y ang2 el de (f, g). Los ángulos
están en radianes.
f
g
a
b
c
ang1
ang2
2
1
3
4
5
0.9273
0.4637
3
1
4
3
5
0.6435
0.3217
3
2
5
12
13
1.1760
0.5880
5
1
12
5
13
0.3948
0.1974
4
1
15
8
17
0.4900
0.2450
5
3
8
15
17
1.0808
0.5404
4
3
7
24
25
1.287
0.6435
7
1
24
7
25
0.2838
0.1419
Tabla 2
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Se observa, como debe ser, que las parejas simétricas tienen ángulos que suman π
/2 = 1.5708, es decir complementarios. Mientras, las de (f, g) tiene ángulos que suman π
/4 = 0.7854. Por allí empezaron los descubrimientos que siguen.
Una segunda mirada a la tabla nos da la explicación de los ángulos: el ángulo de
(f, g) siempre es la mitad del ángulo de (a, b). Este resultado se observa para todas las
triplas, pero necesita de alguna prueba. Vamos a la trigonometría, si:
Cos( ang2) = f / (f² + g²)1/2
Sin( ang2) = g / (f² + g²)1/2
Resulta:
Cos(ang1) = Cos(2 ang2) = Cos²(ang2) – Sin²(ang2) =( f² - g²) /(f² + g²) = a /c
Sin(ang1) = Sin(2 ang2) = 2 Sin(ang2) Cos(ang2) = 2 f g / (f² + g²) = b /c
Esto prueba la afirmación.
La propiedad anterior nos lleva a un método geométrico para producir las triplas
pitagóricas, como sigue:
1) Tome un punto del plano (f, g), con coordenadas enteras.
2) Busque la intersección del radio hacia ese punto con el círculo unitario del plano. Se
obtiene el punto de coordenadas (f, g) / (f² + g²)1/2. Observe que aquí no necesita
preocuparse porque f y g sean primos entre sí, ya que cualquier múltiplo lleva al mismo
punto.
3) Duplique el ángulo de ese radio y obtenga el punto con coordenadas (f² – g², 2 f g) / (f²
+ g²). Este es un punto de coordenadas racionales sobre el círculo unitario.
4) Prolongando el radio que pasa por el último punto, va a llegar a algún punto de
coordenadas enteras (a, b). Para ello, si (s/t , u/v) son las razones irreducibles de las
coordenadas, multiplique el vector por c = mínimo común múltiplo de t y u.
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5) Este mínimo común múltiplo es la hipotenusa buscada, las coordenadas enteras (a, b)
son los catetos. De allí en adelante se consiguen muchas otras triplas múltiplos de la
anterior.
4. Factorización prima de las hipotenusas
Otra exploración de la Tabla 1 lleva a observar que muchas de las hipotenusas
irreducibles son números primos, como 5, 13, 17, 29, 41, 53, etcétera, pero no están todos
los primos. Los otros valores de la tabla, como 25, 65, 85, etcétera, parecen ser números
que se descomponen en los primos anteriores.
Con una tabla más extensa es fácil
verificar estos hechos, pero ¿por qué pasa esto?
Los primos señalados se descomponen como suma de dos cuadrados, p = f² + g².
No hemos encontrado que estos primos tengan un nombre pero los podemos llamar
primos pitagóricos. El único primo que se descompone como suma de dos cuadrados y no
aparece en la lista es 2 = 1 + 1, pero esta es una excepción que va con la pareja f =1, g =1
la cual produce la tripla degenerada (0, 1, 1) usando las primeras fórmulas para f y g
ambos impares. Vamos a dejar 2 fuera de la definición de primo pitagórico, ya que no
encaja con la factorización. En la lista no aparecen hipotenusas pares.
La reflexión sobre esta propiedad de factorización en términos de estos primos
pitagóricos nos llevó a buscar alguna operación de producto subyacente. Con la ayuda del
método geométrico de la sección anterior, no fue difícil darse cuenta que esta debía ser la
multiplicación compleja en el círculo unitario. Es decir, la multiplicación es la del grupo
U(1). En el círculo unitario complejo la multiplicación se reduce a la suma de los ángulos
polares de cada complejo. Cada tripla pitagórica, irreducible o no, lleva al complejo de
coordenadas racionales a/c + i b/c, de norma 1 y, viceversa, los complejos de U(1) de
parte real e imaginaria racional forman un subgrupo multiplicativo de U(1), que da origen
a las triplas pitagóricas.
La multiplicación debe entonces ser:
(a/c+ i b/c) (a’/c’ + i b’/c’) = ( a a’ – b b’)/ ‘(c c’) + i (b a’+ a b’)/(c c’)
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Podemos volver a las triplas de enteros: las hipotenusas, se multiplican directamente. Los
catetos se comportan como las partes reales e imaginarias de un producto de complejos:
(a, b, c) * (a’, b’, c’) = ( a a’ – b b’, b a’ + a b’, c c’)
Para estar seguros, veamos un ejemplo:
(3, 4, 5) * (5, 12, 13) = (-33, 56, 65)
En este ejemplo el producto sale un signo negativo en uno de los catetos. Pero en U(1)
debemos incluir coordenadas negativas, así que esto es razonable. Si esta tripla es
pitagórica, también lo es la convencional (33, 56, 65) que se factoriza como:
(33, 56, 65) = (-3, 4, 5) * (5, -12, 13)
También hay otras dos asociadas con los catetos en otro orden. Las hipotenusas las
tomamos siempre positivas, pero para los catetos podemos jugar con las combinaciones
de signos.
Multiplicando las triplas anteriores en el otro orden de los catetos, resulta:
(4, 3, 5) * (5, 12, 13) = (-16, 63, 65)
La cual es la otra tripla de hipotenusa 65. Esa es la razón por la cual el valor de 65
aparece en la tabla en dos triplas diferentes.
Los cálculos se hacen más fáciles en el anillo de los complejos de parte real e
imaginaria entera. Así podemos dejar de lado los racionales y también las hipotenusas.
Este anillo se conoce como enteros gaussianos, aunque no son enteros sino complejos.
Cada tripla pitagórica la escribimos como a + i b, donde la hipotenusa se recupera
como la norma del complejo. Un entero gaussiano es pitagórico si su norma es un entero.
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Los enteros gaussianos pitagóricos forman un subgrupo multiplicativo de los enteros
gaussianos (dejando fuera el cero).
La segunda parametrización de la tripla (a, b, c) en términos de la pareja (f, g)
corresponde a la factorización:
(a + i b) = (f + i g)²
Es decir, (a + b i) es pitagórico irreducible si y solo si es un cuadrado perfecto en los
enteros gaussianos.
5. Los enteros gaussianos
Rebuscando en un texto de álgebra abstracta encontramos varios ejercicios que pedían
probar propiedades muy relacionadas a las de nuestras triplas pitagóricas para los enteros
gaussianos. Estas son las siguientes. En primer lugar, los enteros gaussianos forman un
dominio euclidiano. Es decir, forman un anillo con una valuación y con un algoritmo de
división para la valuación. Una valuación o grado es una función del anillo con valores en
los enteros no negativos, tal que la valuación de un producto de factores no nulos, es
mayor que la de los factores. El algoritmo de división debe ser tal que dados dos
elementos del anillo, s y t, con t no nula, el primero se descompone como:
s = q t + r con V(r ) < V(t)
En los enteros gaussianos podemos tomar como valuación la suma de los cuadrados de la
parte real e imaginaria. En estos anillos se pueden introducirlos conceptos de
factorización similares a los de los enteros, como el concepto de elementos primos y la
factorización única en factores primos. Por ejemplo, los polinomios tienen algoritmo de
división, usando como valuación el grado. En particular, en los enteros gaussianos hay
elementos primos, que no tienen factores propios, y existe el teorema de factorización
única en términos de los primos del anillo, salvo productos por los invertibles, que en este
caso son ±1 y ± i .
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Surge entonces la pregunta de cuales son los primos del anillo de los gaussianos y
como se logra la factorización en este anillo. El programa “Mathematica” incluye la
división y factorización con enteros gaussianos, usando una opción en los comandos. Si
desea puede practicar algunos ejemplos.
Por lo que a nosotros respecta, resulta que la descripción de los primos gaussianos
está muy relacionada las triplas pitagóricas. Si un primo p de los enteros es la suma de
dos cuadrados: p = f² + g², es decir si es pitagórico, entonces se puede factorizar en los
enteros gaussianos de la forma:
p = (f + i g)(f – i g)
y, por tanto, no es un primo gaussiano.
Por el contrario, si un primo de los enteros tiene alguna factorización en los enteros
gaussianos, también debe tener como factor al conjugado y se escribe como:
p = (f + i g)(f – i g) h = (f² + g²) h.
Entonces, h debe ser 1 porque p es un primo y p debe ser una suma de cuadrados. En
otras palabras, los primos pitagóricos son los que no son primos gaussianos, excepto 2
que, como ya explicamos, es un caso especial. 2 = (1 + i) (1 – i) no es primo en los
enteros gaussianos. Los otros primos, como 3, 7, 11, 19, etcétera son primos en los
enteros gaussianos.
¿Qué otros números complejos son primos gaussianos? Suponga que f + i g es
primo gaussiano. Entonces f y g deben ser primos entre sí, para que no exista un factor
real. Además, se tiene:
f² + g² = (f + i g)(f – ig)
Como la factorización de f² + g² es única en los enteros gaussianos y (f + i g) y (f – ig)
ambos ya son primos gaussianos , se concluye que f² + g² es un primo de los enteros. Es
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decir, f² + g² es un primo que es una suma de dos cuadrados, o es 2 o es un primo
pitagórico.
Tenemos entonces dos tipos de primos gaussianos: los primos enteros que no son
suma de cuadrados, como 3, 7, 11, 19, etc. y los números de la forma f + i g, con f y g
primos entre sí donde f² + g² es primo, como 1 + i, 2 + i, 3 + i, 3 + 2 i, 5 + i, 4 + 3 i, 5 + 3
i, etc. . Cada uno va con 4 asociados cambiando el rol de las partes real e imaginaria y los
signos. Precisamente estas son las parejas (f, g) de la tabla 2 con hipotenusa prima.
Los primos gaussianos elevados al cuadrado llevan a las triplas pitagóricas
irreducibles de hipotenusa prima. Los demás números gaussianos elevados al cuadrado
llevan a triplas pitagóricas reducibles o de hipotenusa compuesta por productos de primos
pitagóricos.
6. Factorización de las triplas pitagóricas
Regresando a las triplas pitagóricas irreducibles, suponga que c = f² + g². Entonces, se
tiene
c = f² + g² = (f + ig) (f – i g)
Si (f + i g) no es un primo gaussiano, entonces tiene un factor de la forma (u + i v) que si
es primo gaussiano. Entonces (u – i v) es factor del conjugado (f – i g) y llegamos a
alguna factorización de la forma:
c = (u² + v²) (s + i t) (s – i t) = (u² + v²) (s² + t²)
para algún entero gaussiano s + i t . Por lo que hemos dicho, u² + v² es primo en los
enteros, ya que u + i v es primo en los enteros gaussianos. El otro factor de c también es
suma de cuadrados. Debe estar en la lista de hipotenusas y se factoriza nuevamente en
términos de primos pitagóricos. Así que, finalmente, llegamos a la conclusión de que c
factoriza solamente con factores primos que son pitagóricos.
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7. Primos pitagóricos
En el mencionado libro de álgebra abstracta se resalta el siguiente resultado
descubierto por Fermat: los primos que son suma de cuadrados, excepto 2, son aquellos
congruentes a 1 módulo 4. Esta propiedad se observa en la Tabla 2: 5 = 4 + 1, 13 = 4 * 3
+ 1, 17= 4 * 4 +1, etc., pero la observación no es una prueba.
La propiedad es necesaria: si p = f² + g² y p no es 2, uno de los dos números,
digamos f, debe ser par y el otro, g, impar. Entonces, f = 2 k y g = 2 l + 1, para enteros k
y l. Sustituyendo, se obtiene:
p = (2 k)² + (2 l + 1)² = 4 (k² + l² + l) + 1
Para mostrar que esta propiedad es suficiente, necesitamos trabajar con mayor detalle la
ecuación p = f² + g² que define los primos pitagóricos.
Una forma de analizar las ecuaciones con enteros es llevarlas a ecuaciones con
congruencias módulo p. Este es el método principal de las ecuaciones con números
enteros. Si es un p primo que se descompone como suma de dos cuadrados, llegamos a:
p = f² + g² = 0 (mod p)
Como los enteros módulo p, Zp, forman un campo, podemos multiplicar por el inverso de
g² para obtener:
(f g-1 )² + 1 = 0
(mod p)
Es decir, si p es primo pitagórico, en Zp la ecuación x² + 1 tiene la solución x = f g-1 y
posiblemente otras. La solución es una especie de raíz de -1 módulo p. Para estos
campos no hay que inventar números imaginarios. No hay contradicciones, ya que los
cuadrados negativos van en contra de la relación de orden de los enteros, pero en Zp no
hay relación de orden compatible con las operaciones.
Al revés, si en Zp existe un entero n (n <p) con n² + 1 = 0 (módulo p). Entonces,
existe q con:
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n² + 1 = p q
La pareja (n, 1) lleva entonces a una tripla pitagórica de las del tipo irreducible, asía que
p q debe ser una de las de nuestra lista y p debe ser un primo pitagórico. Se ha probado
que los primos pitagóricos son exactamente aquellos donde existe una raíz de -1 módulo
p.
¿Cómo conseguimos el n tal que n² + 1 = 0 (mod p)? Esto se facilita si primero
conseguimos un generador para el grupo multiplicativo Zp*. Todos estos grupos son
cíclicos. Un generador es un entero e tal que sus potencias módulo p, van produciendo
todos los enteros de 1 hasta p – 1, en algún orden:
Zp* = { e, e², e³, …
, ep - 1 = 1} (mod p)
Los generadores se conocen como raíces primitivas módulo p y se consiguen al
azar, ya que muchos de los elementos de Zp* son generadores. Existen algoritmos
eficientes para encontrar todas las raíces primitivas. Con frecuencia e = 2, o algún otro
número pequeño funciona y de este se calculan las demás.
Si n² = -1, (mod p), entonces n4 = 1. Se sigue que n puede ser:
n = e(p – 1) /4
(mod p)
Aquí aparece el resultado de Fermat, esta fórmula hace sentido si y solo si p – 1 es
divisible por 4.
Por ejemplo, en Z5 tenemos: 2² = 4 = -1. La descomposición de 5 es directamente
2² + 1 = 5. En Z13 una raíz de -1 es 5: 5² + 1 = 26 = 13 *2. Un último ejemplo es Z29, la
descomposición de 29 es fácil: 5² + 2² = 29. La raíz de -1 entonces es:
n = 5 * 2-1 (mod 29)
Los inversos se consiguen en Zp por una variante del algoritmo de Euclides. El
programa “Mathematica” lo implementa mediante el comando PowerMod. En este caso
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es evidente que 2-1 = 15, (mod 29) y n = 17. Observe ahora que -17 = 12 también sirve.
Efectivamente, 12² = 144 = 145 -1 = 5 * 29 – 1.
8. Las triplas sin pasar por lo generadores
Se ha probado que los primos pitagóricos son aquellos para los cuales existe una
raíz de -1 módulo p. Es decir, existe n con: n² + 1 divisible por p. Además, son los de
módulo 1 con 4. ¿Será que aquí tenemos un método directo para descomponer el primo p
como la suma de dos cuadrados? Veamos. Existen algoritmos eficientes para encontrar al
azar alguna raíz primitiva de Zp*. Si p-1 es divisible por 4, entonces podemos hacer la
potencia n = e(p-1)/4 y tenemos el n tal que n² = -1 (mod p). De n² + 1= 0 (mod p ) resulta:
(g n)² + g² = 0 (mod p)
Esto ocurre para todo g. Sabemos que con algún g debe salir:
f² + g² = p ( en los enteros)
Por tanto, podemos avanzar con las multiplicaciones de la forma g * n (mod p), tanteando
hasta lograr nuestra descomposición. Quizás no es muy eficiente, pero debe funcionar.
Finalmente, si nos dan un c cualquiera, ¿podemos saber directamente si c es la
hipotenusa de una tripla pitagórica, reducible o irreducible? La respuesta es afirmativa: Si
factorizamos c, los factores primos que no son pitagóricos, esto es no iguales a 1 modulo
4, solamente pueden ocurrir si son factor común de la tripla (a, b, c). Por tanto estos no
los consideramos inicialmente, sino al final. Los factores que son primos pitagóricos
llevan a diferentes triplas. Si no tiene ninguno de estos primos como factor, no se puede
lograr la tripla.
Por ejemplo, sea c = 130 = 13 * 5 * 2. El 2 se deja para el final, como múltiplo
común. Con el 5 se buscan las posibles triplas, que son (3, 4, 5) y (4, 3, 5). Lo mismo se
hace con el 13: (5, 12, 13) y (12, 5, 13). Multiplicando estas tenemos:
(3, 4, 5) * (5, 12, 13) = ( -33, 56, 65)
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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
Y también:
(4, 3, 5) * (5, 12, 13) = (-16, 63, 65)
Estas son las dos posibles triplas con 65 de hipotenusa. Dejando fuera los signos y
multiplicando por 2, tenemos dos triplas básicas y sus asociadas para 130: (66, 112, 130)
y (32, 126, 130).
Es una buena pregunta si el algoritmo de descomponer p como suma de dos
cuadrados se directamente se puede hacer más eficiente.
9. Conclusión
Con los primos pitagóricos tenemos un problema interesante: Zp es un campo,
pero Zp[i], los enteros gaussianos módulo p, no lo es. En los enteros gaussianos módulo p
tenemos divisores de cero. En particular, ( n + i) (n – i) = 0 (mod p). La paradoja se
resuelve ya que p no es un primo gaussiano.
Esto no es más complicado que la
afirmación: Zq es un campo si y solo si q es primo. Los invertibles de Zp[i] forman un
grupo multiplicativo de orden p²/2, ya que p factoriza como producto de los dos primos (f
+ i g) y (f – i g). Otros problemas similares se presentan al pasar de los enteros a los
enteros con algún número algebraico, como Z[ 2 ]. Al tomar módulo p pueden surgir
divisores de cero. Así que mucho cuidado con el álgebra: a veces es posible generalizar
métodos y propiedades de los enteros a otros anillos, pero otras no se puede.
Referencias
Dummit, D., Foote, R. (1991). Abstract Algebra,New Jersey: Prentice Hall,
Markov, L. (2006). Pythagorean Triples and the Problem A = m P for Triangles,
Mathematics Magazine, 79, 114-121.
Álvaro Lecompte Montes, [email protected] Catedrático Asociado de matemáticas en la
Universidad Interamericana de Puerto Rico, San Germán, Puerto Rico. PH D en Ciencias de la Universidad
de Viena.
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