File - Ruta del Aprendizaje Teoría de Números

TEORÍA DE LOS
NÚMEROS
Historia y aplicaciones
El presente documento expone las principales ideas
sobre teoría de números, además, en él se evidencian
diferentes aplicaciones de dicho tema. Así, éste
representa un apoyo en el aprendizaje de las
matemáticas para estudiantes de sétimo año.
José Navarro Matarrita
09/11/2013
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
INTRODUCCIÓN
La escuela Pitagórica, formada por una organización griega de
astrónomos, filósofos, matemáticos y músicos llamados Pitagóricos, tenía como
fundamento la idea de que el número era un elemento fundamental que formaba
parte del Universo, es decir, todas las cosas son en esencia números. Uno de
sus principales aportes fue la distinción entre números primos y compuestos.
Un gran matemático de la antigua Grecia fue Euclides, este vivió en
Alejandría, cerca del año 300 a.C. Una de sus obras más famosas fue la
creación de 13 libros denominados “Elementos” en donde expone su gran
conocimiento matemático. Los libros VII, VIII y IX estaban dedicados a la Teoría
de los Números, en ellos expone los conceptos de números pares, impares,
primos y compuestos, además del algoritmo para determinar el máximo común
divisor. Asimismo, demostró los teoremas fundamentales de la divisibilidad.
Otro matemático griego que dio un gran aporte en el estudio de los
números primos fue Eratóstenes, él ideó un método para determinar si un
número es primo o no: la “Criba”.
Figura1: Escuela de Atenas
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
ÍNDICE
Introducción
……………………………………………..2
Números pares e impares .…………………………………………..4
Factores y divisores
……………………………………………..5
Múltiplos y submúltiplos ……………………………………………..6
Divisibilidad
……………………………………………..7
Reglas de divisibilidad
……………………………………………..7
Números primos
……………………………………………..10
Números compuestos
……………………………………………..11
Factorización
……………………………………………..12
Máximo divisor común
……………………………………………..13
Mínimo común múltiplo ……………………………………………..14
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
NÚMEROS PARES E IMPARES
Números pares
Números pares, son todos aquellos números Naturales que se pueden expresar de
la forma 2n , donde n   .
Ejemplos:
a) 8  2  4 , entonces 8 es un número par.
b) 12  2  6 , entonces 12 es un número par.
c) 26  2  13 , entonces 26 es un número par.
d) 48  2  24 , entonces 48 es un número par.
e) 60  2  30 , entonces 60 es un número par.
Números impares
Números impares, son todos aquellos números Naturales que se pueden expresar
de la forma 2n  1 , donde n   .
Ejemplos:
a) 9 = 2 · 4 +1
b) 11  2  5  1
c) 17  2  8  1
d) 31  2  15  1
e) 59  2  29  1
Ejercicios
1) Determine los conjuntos de números pares e impares que se hallan entre los
números 30 y 47, incluidos ambos.
2) Escriba tres números consecutivos pares cualesquiera, mediante su definición.
3) Escriba tres números impares consecutivos cualesquiera, mediante su
definición.
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Factores y divisores
Considere el siguiente problema:
Al inicio del curso lectivo, Ana compra una buena cantidad de lápices para sus hijos. Si
en la tienda donde los adquiere solo los venden en cajas de 12 lápices, ¿podrá comprar
36 lápices?¿Y 40 lápices?
Un número natural “b” es factor de otro número natural “a” si y solo si
existe un número natural ”c”, tal que a= b · c; o, dicho de otra forma, son
aquellos números que se multiplican para obtener otro.
Ejemplos:
a) 2 es factor de
b) 4 es factor de
c) 6 es factor de
d) 9 es factor de
6 , ya que 6  2  3 .
32 , ya que 32  4  8 .
30 , ya que 30  6  5 .
99 , ya que 99  9  11 .
Un número natural “b” es divisor de otro número natural “a” si y sólo si
existe un número natural “c” tal que a  b  c . Por ejemplo: 5 es divisor
de 10 ya que 10/5= 2.
Ejemplos:
a) 2 y 5 son factores y divisores de 10, ya que 10  2  5 .
b) 3 y 6 son factores y divisores de 18, ya que 18  3  6 .
c) 4 y 7 son factores y divisores de 28, ya que 28  4  7 .
d) 9 y 10 son factores y divisores de 90, ya que 90  9  10 .
En resumen, los divisores o factores de un número, son aquellos que los dividen en
forma exacta.
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Tenga en cuenta que, el 1 es divisor de todos los números.
Un número natural “a” es múltiplo de otro número natural “b” si y sólo si
existe un número natural “c” tal que a = b·c. Por ejemplo 12 es múltiplo de 3,
ya que 12=3·4.
Múltiplos y submúltiplos
Un número Natural “b” es submúltiplo de número natural “a” si y sólo si existe un
número Natural “c” tal que a= b·c Por ejemplo 3 es submúltiplo de 12 ya que
12=3·4.
Expresado otra manera, los múltiplos se forman al multiplicar un número por todos los
números cardinales (0,1, 2, 3,…). Esto significa que cada número tiene un conjunto
infinito de múltiplos.
Notas importantes:
 El 1 es submúltiplo de cualquier número Natural.
 Todo número Natural es múltiplo de sí mismo.
 Todo número Natural es submúltiplo de sí mismo.
 Todo número Natural diferente de cero, es submúltiplo de sí mismo.
 El cero es múltiplo de todo número Natural.
Ejercicios
a) Escriba en el espacio subrayado, cinco múltiplos de
1) 7: _________________________________.
2) 9: _________________________________.
3) 20:________________________________.
4) 25: ________________________________.
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
b) Escriba en el espacio subrayado, los divisores de
1) 18: ________________________________.
2) 24: ________________________________.
3) 72: ________________________________.
4) 80: ________________________________.
Divisibilidad
Considere el siguiente problema:
Un número Natural “a” es divisible por un número natural “b” si y sólo si al dividir a
entre b, el cociente es un número natural “c” y el residuo de dicha división es cero.
Es decir, “b” es un factor o divisor de “a”. Por ejemplo, al dividir 12 entre 6, el
cociente es 2 y el residuo es cero, por lo tanto, 12 es divisible entre 6.
Luis tiene varias paletas de madera con las que quiere formar cuadrados. ¿Conseguirá
formar cuadrados con 12 paletas? ¿Y con 21?¿Y con 104?¿Y con 569?¿Y si quisiera
formar triángulos, los podría llevar a cabo con el número de las paletas descrito
anteriormente?
Reglas de divisibilidad
1. Divisibilidad por 2:
Un número natural es divisible por dos si el último dígito de su numeral corresponde
a un número par.
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Ejemplos:
a) En el numeral 1496, su último dígito es par, por lo cual 1496 es divisible entre
dos.
b) En el número 348, su último dígito es par, por lo tanto, 348 es divisible entre dos.
c) En la cantidad 54, su último dígito es par, por lo cual, 54 es divisible entre dos.
2. Divisibilidad por 3:
Un número natural es divisible por 3, si la suma de los dígitos de su numeral es un
múltiplo de 3.
Ejemplos:
a) Al sumar los dígitos del numeral 1560 se obtiene: 1+5+6+0=12 que corresponde
a un múltiplo de 3, por lo tanto, 1560 es divisible por 3.
b) Al sumar los dígitos del numeral 132 se obtiene: 1+3+2=6 que corresponde a un
múltiplo de 3, por lo tanto, 132 es divisibles por 3.
c) Al efectuar la adición de los dígitos del número 18 se obtiene: 1+8=9 que
corresponde a un múltiplo de 3, por lo tanto, 18 es divisible por 3.
3. Divisibilidad por 4:
Un número natural es divisible por 4 si los dos últimos dígitos de su numeral
representan un múltiplo de 4.
Ejemplos:
a) En el numeral 2316, los dos últimos dígitos corresponden a un múltiplo de 4, por
lo tanto, 2316 es divisible por 4.
b) En la cantidad 348, los dos últimos dígitos corresponden a un múltiplo de 4, por
lo tanto, 348 es divisible por 4.
c) En el numeral 8912, los últimos dos dígitos corresponden a un múltiplo de 4, por
lo tanto, 8912 es divisible por 4.
4. Divisibilidad por 5:
Un número Natural es divisible por 5 si el último dígito de su numeral es 0 o 5.
Ejemplos:
a) En el numeral 1235, su último dígito es 5, por lo cual 1235 es divisible por 5.
b) En la cantidad 520, su último dígito es 0, por lo tanto, 520 es divisible por 5.
c) En el numeral 54675, su último dígito es 5, por lo tanto, 54675 es divisible por 5.
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
5. Divisibilidad por 6:
Un número Natural es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
Ejemplos:
a) 18 es divisible por 2, pues su último dígito es par, además es divisible por 3
porque al sumar sus dígitos se obtiene un múltiplo de 3 (1+8=9), por lo tanto, 18
es divisible por 6.
b) 264
c) 7896
6. Divisibilidad por 7:
Un número Natural es divisible por 7 si el doble del número representado por el último
dígito de su numeral, restado del número representado por los otros dígitos, es un
múltiplo de 7.
Ejemplos:
a) En el numeral 343 el último dígito corresponde a 3 y su doble es 6 (2·3=6),
entonces 34 – 6 = 28, el cual es un múltiplo de 7, por lo tanto 343 es divisible por
7.
b) 315
c) 182
7. Divisibilidad por 9:
Un número Natural es divisible por 9, si la suma de los dígitos representados por el
numeral es un múltiplo de 9.
Ejemplos:
a) En el numeral 297 al sumar sus dígitos se obtiene 2+9+7 =18, el cual es un
múltiplo de 9, por lo tanto, 297 es divisible por 9.
b) 1341
c) 35784
8. Divisibilidad por 10:
Un número Natural es divisible por 10 si el último dígito de su numeral es 0.
Ejemplos:
a) En el numeral 52 340 el último dígito es 0, por lo cual 52340 es divisible por 10.
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
b) 250
c) 56930
9. Divisibilidad por 11:
Un número Natural es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los números
representados por los dígitos alternos de su numeral y la suma de los números
representados por los otros dígitos es un múltiplo de 11.
Ejemplos:
a) Para saber si 57 420 es divisible por 11 sumamos los dígitos de manera alternada, es
decir:
5+4+0=9
7+2=9
Luego restamos los resultados:
9–9=0
En este caso la diferencia es 0, y el cero es múltiplo de todo número natural, por lo tanto
57 420 es divisible por 11.
b) 5412
c) 4268
Un número primo es un número Natural que tiene exactamente dos divisores
diferentes (el 1 y sí mismo).
Números Primos
Ejemplos:
a) Los divisores del 2 son el 1 y sí mismo, únicamente, por lo tanto, 2 es un número
primo.
b) 3
c) 29
d) 61
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Los números compuestos tienen más de dos factores distintos.
Números Compuestos
Ejemplos:
a) Los factores del 9 son 1, 3, 9 por lo cual 9 es un número compuesto.
b) El 4, que tiene tres divisores: 1, 2, 4.
c) El 15, que tiene cuatro divisores: 1, 3, 5, 15.
d) El 30, que tiene ocho divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Es importante destacar que tanto el 1 como el 0 no son números primos ni
números compuestos.
Ejercicio
Clasifique la siguiente lista de números naturales en primos o compuestos según
corresponda.
1) 567__________.
6) 455__________.
11) 163__________.
2) 178__________.
7) 357__________.
12) 721__________.
3) 923__________.
8) 181__________.
13) 93__________.
4) 117__________.
9) 111__________.
14) 1010__________.
5) 216__________.
10) 343__________.
15) 7227__________.
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Se puede utilizar la Criba de Eratóstenes para determinar números primos, éste método
consiste en utilizar una tabla con los números naturales e ir marcando o desechando los
números divisibles entre 2, entre 3, 5 y así sucesivamente. Al final, los números que
quedan sin marcar son los números primos.
Figura2: Criba de Eratóstenes
La factorización de un número natural consiste en expresarlo como el producto
de dos o más factores.
.
Factorización de un número natural
Por ejemplo: 12 = 4 · 3
o bien, 12 = 2 · 2 · 3
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Cuando los factores son números primos, ella corresponde a la factorización completa;
la cual se conoce con el nombre de teorema fundamental de la aritmética.
Ejemplos:
Número natural
Descomposición en factores primos
36
2  2  3  3  22  32
50
2  5  5  2  52
180
2  2  3  3  5  22  32  5
Considere el siguiente problema:
Andrés trabaja en un aserradero y tiene tres varillas de madera de 30cm, 60cm y 90cm
de longitud respectivamente. Si quiere dividirlas en trozos de la misma longitud sin que
sobre ni falte nada. Mencione tres longitudes posibles para cada trozo. ¿Cuál es la
El máximo común divisor de dos o más números Naturales corresponde al
mayor número Natural divisor de ambos y se denota por m.c.d.
mayor longitud que podría utilizar en cada trozo Andrés?
Máximo común divisor
Ejemplos:
a) Los divisores de 12 son 1,2,3,4,6,12 y los divisores de 18 son 1,2,3,6,9,18, por lo
tanto el mayor divisor común para 12 y 18 es 6.
b) 32 y 48
c) 36 y 72
d) 50 y 90
El concepto de máximo común divisor es muy usado para la resolución de problemas
que implican dividir unidades en el máximo posible, según las condiciones dadas, por
ejemplo:
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
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“Paco y Rosa tienen 20 bolas blancas, 25 amarillas y 35 rojas, y quieren hacer el mayor
número de collares sin que sobre ninguna bola. ¿Cuántos collares pueden hacer?
¿Cuántas bolas de cada color tendrá cada collar?”
Solución: Primero se determina el máximo común divisor de 20, 25 y 35.
20 25 35 5
4
5
7
Entonces, se pueden realizar 5 collares con 4 bolas blancas, 5 bolas amarillas y 7 rojas
cada uno.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales corresponde al
menor múltiplo de todos ellos y se denota por m.c.m.
Considere el siguiente problema:
Juana es una estudiante que utiliza una red social cada 3 días. Su amigo Luis en su
accede cada 5 días y su hermano Alex ingresa cada 8 días. Si ellos coincidieron en su
visita a ésta red social el día 24 de julio, ¿en qué fecha vuelven los tres a coincidir?
Ejemplos:
a) Los múltiplos de 3 son 0, 6, 12, 18, 24, … y múltiplos de 9 son 0, 9, 18, 27, … Para
efectos de mínimo común múltiplo el cero no se toma en cuenta, entonces, el mínimo
múltiplo común de 6 y 9 es 18.
b) 4 y 8
c) 12 y 32
d) 24 y 48
Este concepto es muy utilizado en la resolución de problemas que implican determinar
el mínimo de tiempo en que coincidirán distintos eventos.
Por ejemplo:
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
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“Un faro enciende cada 20 segundos, otro cada 30 segundos y otro cada minuto,
entonces, si coincidieron a las 7pm, ¿a qué hora volverán a coincidir?
Solución: Se debe determinar el mínimo común múltiplo de 20, 30 y 60, pues un minuto
tiene 60 segundos.
20 30 60
10 15 30
5 15 15
2
2
3
5
5
5
5
1 1 1
Entonces, el mínimo común múltiplo de 20, 30 y 60 es 2 · 2 · 3 · 5= 60, entonces
volverán a coincidir dentro de 60 segundos, es decir a las 7: 01”.
Ejercicios
A) Determine el m. c. m de los siguiente números naturales.
1) 8 – 12
2) 6 – 24
3) 25 – 50
4) 80 – 120
5) 6 - 10 – 3
6) 12 - 4 - 8
7) 4 - 6 -8 - 9
8) 12 - 24 - 32- 48
B) Determine el m. c. d de los siguientes números naturales.
1)
2)
3)
4)
12 – 24
34 – 42
16 – 24 – 32
48 – 64 - 56
5) 35 - 75
6) 18 – 27 - 36
7) 15 – 25 – 40 - 60
8) 256 – 128 – 512 – 64
C) Resuelva los siguientes problemas, aplicando el m. c. m y el m. c. d.
1) Para la fiesta de Luis Ángel, su mamá compró 160 confites y 120 chocolates
para preparar las bolsitas de los invitados. ¿Cuál es la mayor cantidad posible
de bolsitas que pueden alistar? ¿Cuántos confites y chocolates llevarán cada
bolsita?
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TEORÍA DE LOS NÚMEROS
2) Don Adrián confeccionará los trajes de presentación para una graduación. En
ellos utilizará 50m de tela roja, 35m de tela verde y 75m de tela amarilla, además
debe utilizar la misma cantidad de tela en cada traje. ¿Cuál es la mayor longitud
de tela de cada color que debe utilizar para cada traje?
3) En la parada del autobús, el azul pasa cada 12 minutos t el verde pasa cada 15
minutos. ¿Cuántas veces coinciden los dos buses en 10 horas?
4) Un automóvil necesita que le cambien el aceite cada 3000km, el filtro de aire
cada 6000km y las bujías cada 18000km. ¿A qué número mínimo de kilómetros
habrá que hacerle todos los cambios a la vez?
BIBLIOGRAFÍA
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Raphael. (1509) Escuela de Atenas. [figura] Recuperado de:
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Shemesh, Marina (s.f) Números. [figura] Recuperado de:
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