Solucion algebraica de sistemas lineales

SOLUCION ALGEBRAICA DE SISTEMAS LINEALES
En general, el método gráfico que describimos en la sección anterior para resolver un sistema de
ecuaciones es poco preciso. Por esta razón vamos a desarrollar ahora tres métodos algebraicos de
solución: MÉTODO DE IGUALACIÓN, MÉTODO DE SUSTITUCIÓN, MÉTODO DE REDUCCIÓN
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Resolvamos el sistema
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones; así:
4x - y = 14 ↔ y = 4x - 14(1)
11−5𝑥
5x + 2y = 11 ↔ 𝑦 = 2
(2)
A continuación, igualamos los resultados obtenidos aplicando la propiedad transitiva de la igualdad
(si a = b y b = c, entonces a = c). Por lo tanto: 4𝑥 − 14 = 𝑦 = 11−5𝑥
2
Como nos ha quedado una ecuación de primer grado con una incógnita, entonces:
2(4x-14)=11-5x↔8x-28=11-5x↔8x+5x=28+11↔13x=39↔x=3
Para hallar la otra incógnita basta sustituir el valor obtenido para x en cualquiera de las ecuaciones
(1) ó (2); así: y = 4(3)-14↔y = 12-14 = -2
Por lo tanto, la solución del sistema dado es la pareja ordenada (3,-2). Dejamos como ejercicio
dibujar ambas ecuaciones en el mismo plano cartesiano y comprobar que se interceptan en el punto
(3,-2).
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el MÉTODO DE
IGUALACIÓN, procedemos así:
1. Despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones.
2. Luego, igualamos ambos resultados aplicando la propiedad transitiva de la igualdad.
3. Como nos queda una ecuación con una sola incógnita, la resolvemos como ya sabemos.
4. El valor de la incógnita obtenida mediante el paso anterior, lo sustituimos en cualquiera de las
ecuaciones dadas y la resolvemos para la incógnita restante.
5. La solución del sistema es el par de valores obtenidos en los pasos 3. y 4.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de igualación:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Resolvamos el sistema
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una cualquiera de las dos
ecuaciones. Por ejemplo, despejemos la y de la primera: y = 4x - 14
A continuación sustituimos este valor en la otra ecuación: 5x+2(4x-4)=11
Como vemos, nos resulta una ecuación de primer grado con una incógnita, la cual resolvemos; así:
5x+2(4x-14)=11↔5x+8x-28=11↔13x=39↔x=3
La otra incógnita la hallamos sustituyendo x por 3 en la ecuación y=4x-14; así:y=4(3)-14
↔y=12-14=-2 Luego, la solución del sistema es x = 3, y = -2.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el MÉTODO DE
SUSTITUCIÓN, procedemos así:
1. Despejamos una incógnita de una cualquiera de las dos ecuaciones dadas.
2. Luego, sustituimos el valor obtenido al despejar en la otra ecuación. De esta forma nos queda
una ecuación con una incógnita.
3. Resolvemos esta ecuación.
4. Finalmente, repetimos los pasos 4. y 5. Descritos en el Método de Igualación.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:
MÉTODO DE REDUCCIÓN
El Método de Reducción se fundamenta en las siguientes propiedades de la igualdad de números
reales:
1. Si multiplicamos ambos lados de una igualdad por un mismo número real, la igualdad se
mantiene.
2. Si sumamos o restamos miembro a miembro dos igualdades obtenemos otra igualdad.
Este método consiste en multiplicar ambos miembros de cada ecuación por números reales
convenientes de tal manera que los coeficientes de una misma incógnita sean de igual valor
numérico pero de signo contrario. A continuación, se suman miembro a miembro las dos ecuaciones
obtenidas, resultando una ecuación con una incógnita.
Resolvamos el sistema
Vamos a igualar los coeficientes de la y aprovechando que tienen signos contrarios. Para elle
multiplicamos la primera ecuación por 2 y dejamos la segunda igual:
(1) x 2 : 8x - 2y = 28
(2) x 1 : 5x + 2y = 11
Ahora sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones: 8x-2y = 28
5x+2y = 11
13x = 39
39
Nos quedó la ecuación 13x = 39, la cual resolvemos normalmente: 13x=39↔𝑥 = 13 = 3
Para hallar la otra incógnita procedemos en la misma forma que lo hicimos en los métodos
anteriores.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el MÉTODO DE
REDUCIÓN procedemos así:
1. Multiplicamos ambos miembros de cada ecuación por números reales convenientes de tal manera que los coeficientes de una misma incógnita sean de igual valor numérico pero de signo
contrario.
2. A continuación sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones para obtener una sola ecuación
con una incógnita.
3. Procedemos de la misma forma que en los métodos anteriores.
Ejemplo 1
8𝑥 + 5𝑦 = 3 ①
y determinemos si el sistema tiene solución
7x + 3y = −7②
única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Solución
Vamos a resolver el sistema por el método de reducción; con este fin igualemos en valor numérico y
signo contrario el coeficiente de la y, multiplicando la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por -5; así:
(1) x 3 : 24x+15y=9
(2)x-5 :-35x-15y=35
Ahora sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones obtenidas: 24x+15y=9
Resolvamos el sistema de ecuaciones{
-35x-15y=35
44
-11x=44↔𝑥 = −11 = −4
Ahora reemplazamos este valor en la ecuación (1) y resolvemos:
35
8(-4)+5y =3 ↔ -32+5y=3 ↔ 5y=35 ↔ 𝑦 = 5 = 7 Luego, el conjunto solución del sistema está
constituido por la pareja ordenada (-4,7). Como vemos, el sistema tiene solución única. Gráficamente
esta solución significa que las líneas rectas que conforman el sistema se interceptan en el punto
(-4,7).Dejamos como ejercicio al lector dibujar este sistema.
Ejemplo 2
Resolvamos el sistema
Solución
En primer lugar es necesario eliminar los signos de agrupación y reducir términos semejantes; así:
De (1): 5x+10y-3x-11y = 14↔ 2x - y = 14 (3)
De (2): 7x-9y-3x+12y = 38 ↔4x+3y=38 (4)
Por lo tanto, el sistema formado por las ecuaciones:
Es equivalente al
original y, en consecuencia, su solución es la misma.
Resolviendo este nuevo sistema por cualquiera de los métodos estudiados obtenemos
x=8, y=2. (¡comprobarlo!).
Ejemplo 3
2𝑦−5
3
Resolvamos el sistema { 𝑥+18
10
=𝑥−
=𝑦−
4𝑥+1
9
3𝑦+2
7
①
②
Solución
Para resolver el sistema debemos eliminar, en primer lugar, los denominadores. Veamos:
De (1): 9x-4x-1 = 6y-15↔5x-6y = -14 (3)
De (2):70y-30y-20 = 7x+126↔7x-40y = -146 (4) Eliminando la x de (3) y (4) nos queda que y = 4.
Luego, obtenemos que x = 2. (¡comprobarlo!
Ejemplo 4
Resolvamos el sistema
Solución
Multipliquemos la ecuación (1) por 3 y la (2) por -1:
(1) x 3 : 3x-3y =12
(2) x -1:-3x+3y = 2
0 + 0 = 14↔0 = 1 4 ¡ CONTRADICCIÓN!
Si dibujamos las gráficas de estas rectas en el plano cartesiano, comprobaremos que son
PARALELAS; es decir, el sistema es INCONSISTENTE y NO TIENE SOLUCIÓN.
Ejemplo 5
Resolvamos el sistema
Solución
Multipliquemos la ecuación (2) por 2:
(1) x 1 : 4x + 6y = 3
(2) x 2 : -4x - 6y = -3
0 + 0 = 0 ↔0 = 0 i IDENTIDAD !
Si dibujamos las gráficas de estas rectas en el plano cartesiano comprobaremos que COINCIDEN;
es decir, el sistema posee INFINITAS SOLUCIONES.
1. Si al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas obtenemos una expresión
de la forma 0=k, donde k≠ 0, entonces el sistema NO TIENE SOLUCIÓN y las rectas son
PARALELAS.
2. Si al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas obtenemos una expresión
de la forma 0 = 0, entonces el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES y las rectas son
COINCIDENTES.
Ejemplo 6
Resolvamos el sistema {
bx + cy = a + b ①
1
1
1
1
2a
ax (a-b - a+b) + cy (b-a - a+b) = a+b ②
Solución
Antes de resolver el sistema debemos eliminar los signos de agrupación y los denominadores de la
ecuación (2):
1
1
1
1
2a
ax
ax
cy
cy
2a
ax
ax
cy
cy
2a
ax (a-b - a+b) + cy (b-a - a+b) = a+b ↔ (a-b - a+b) + (b-a - a+b) = a+b ↔ a-b - a+b - a-b - a+b = a+b
El m.c.m. de los denominadores es (a+b)(a-b). Por lo tanto, multiplicando ambos miembros de la
igualdad por (a+b)(a-b) nos queda: ax(a+b)-ax(a-b)-cy(a+b)-cy(a-b) = 2a(a-b)
↔ a2x + abx - a2x + abx - acy - bey - acy + bey = 2a2 - 2ab ↔ 2abx - 2acy = 2a2 - 2ab (3)
bx + cy = a + b ①
Ahora resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (3): {
2abx- 2acy = 2a2 -2ab 
Multipliquemos la ecuación (1) por 2a:
(1) x 2a: 2abx + 2acy = 2a( a + b )
(3) x 1 : 2abx - 2acy = 2a2 - 2ab
4abx
4a2
a
= 2a2 + 2ab + 2a2 - 2ab ↔ x = 4ab = b Reemplazando este valor de x en la
a
ecuación (1) nos queda: b (b) + c y = a + b ↔ a + cy= a+b ↔ cy = b ↔ y =
a
b
b
c
Por lo tanto, la
solución del sistema es x = b- , y= c .
Ejemplo 7
8 9
- =1 ①
x y
Resolvamos el sistema {10
x
6
+ y = 7②
Solución
Este sistema, contrariamente a lo que pueda pensarse, NO se resuelve quitando primero los
denominadores. Mostraremos dos métodos de solución.
PRIMER MÉTODO: Multipliquemos la ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por 3 y, luego, sumemos
miembro a miembro:
16 18
(1) x2: x - y = 2
46
46
↔ x = 23 ↔ x = 23 = 2 Sustituyendo este valor en (1) obtenemos y = 3
30
18
(2) x3: x + y = 21
1
SEGUNDO MÉTODO: El sistema podemos escribirlo así: {
1
8 x -9 y = 1 ①
1
1
10 x + 6 y = 7②
1
Si hacemos u = x y v =
entonces el sistema queda: { 8u-9v = 1
10u + 6v = 7
1
1
1
1
La solución de este sistema es 𝑢 = 2 y 𝑣 = 3 Haciendo de nuevo 𝑢 = 𝑥 y 𝑣 = 𝑦 y reemplazando
1
y
obtenemos: x = 2 y y = 3.
Ejemplo 8
𝑥 − 2𝑦 = 3 ①
Usemos el DERIVE para resolver el sistema de ecuaciones: {
2x + 4y = 6②
Solución: