gestión académica

GESTIÓN ACADÉMICA
VERSIÓN: 2.0
GUÍA DIDÁCTICA
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
I.E. COLEGIO ANDRÉS
BELLO
Nombres y Apellidos del Estudiante:
Docente:
CÓDIGO: PA-01-01
FECHA: 19-06-2013
PÁGINA: 1 de 9
Grado: 6º
Periodo: 4º GUIA #1
Duración: 12 horas
Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas
ESTÁNDAR: Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las
de igualdad, las de distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y
potenciación.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Identifico y reconozco los números en diferentes situaciones, aplicando
graficas de proporcionalidad.
EJE(S) TEMÁTICO(S): 1.NUMEROS DECIMALES:
1.1Fracciones decimales y números decimales.
1.2Clasificación de números decimales y conversiones.
1.3Orden entre números decimales.
1.4Adición y sustracción de números decimales.
1.5 Multiplicación y división de números decimales.
2.RAZONES Y PROPORCIONES:
2.1 Razón y proporción.
2.2 Proporcionalidad directa y regla de tres.
2.3 proporcionalidad inversa.
2.4 Porcentajes.
3. NÚMEROS ENTERROS:
3.1 Números relativos opuestos e inversos aditivos de un numero.
3.2 Orden entre números enteros y valor absoluto.
3.3 Adición y sustracción de enteros
ORIENTACIONES
1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía
2)Lectura texto guía
(seguir correctamente las instrucciones dadas ,
3)Explicación por parte del docente
atención y concentración durante las explicaciones,
4)Desarrollo del taller asignado en grupo o individual.
leer comprensivamente, orden y pulcritud
5)Socialización del trabajo desarrollado.
en el desarrollo de la guía ).
6) Se valorarán todos los momentos de la guía
EXPLORACIÓN
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CONCEPTUALIZACIÓN
Números decimales
Los números decimales pueden escribirse de dos maneras: como fracción o bien en notación decimal.
Ejemplo:
3 / 10
=
0,3
Notación
Fracción
decimal
Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.
Clasificación de los números atendiendo a su parte decimal
1. Números enteros: Carecen de parte decimal, por ejemplo, 1, 8, -3, 9
2. Números decimales exactos:
Tienen un número finito de cifras decimales, ejemplo 2,33 5,6789
3. Numeros decimales periódicos:
Tienen infinitas cifras decimales que siguen una pauta a partir de una dada, a las cifras que se repiten se les llama
periodo,como no se pueden expresar las infinitas cifras se coloca un arco sobre las cifras que forma el periodo, ésto
indica que hay infinitas cifras que se repiten según el perido fijado.
Los números periódicos se subdividen a su vez en:
a)Periódicos puros: Todas la cifras decimales forman parte del periodo
b)Periódico mixto: Hay cifras en la parte decimal que no forman parte del periodo
4. Números decimales no periódicos:
Tienen infinitas cifras decimales que no siguen una apauta, es el caso de números como 3,1416…
Transformación de un decimal finito a fracción
Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción
decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el
número.
Ejemplo 1:
Se anota el número, en este caso 45. Se divide por 1.000, porque hay tres espacios decimales ocupados, luego
simplificamos por 5
Ejemplo 2:
Transformación de un decimal infinito periódico en fracción
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita)
2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca
un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.
Otro ejemplo:
Expresar como fracción 57,18181818....
Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción
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1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el
anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.
2) El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras
tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o
como número mixto.
Orden de números decimales
Como todo sistema numérico, los números decimales forman un conjunto ordenado, por lo que se pueden establecer
relaciones de orden entre ellos.
A continuación, queremos que conozcas estas relaciones, que son:
1. Es mayor el número decimal que tiene más en su parte entera.
Analicemos los siguientes numerales:
a) 3,048
b) 42,025
c) 0,00017
d) 129,6
El numeral d) es el mayor, tiene 129 enteros; luego sigue el b), que tiene 42 enteros; después el a), que tiene 3 y,
finalmente, el c), que no tiene enteros.
Entonces, ordenados de mayor a menor quedan:
129,6 > 42,025 > 3,048 > 0,00017
2. Si los enteros son iguales, o ninguno tiene enteros, conviene igualar la cantidad de cifras en la parte decimal
mediante ceros. Será mayor el que tiene más en la parte decimal.
Por ejemplo:
4,26 - 4.0009 - 4,3 - 4,92 - 4,1
Igualando resulta:
4,2600 4,0009 4,3000 4,9200 4,1000
Ordenados de mayor a menor quedan así:
4,92 > 4,3 > 4,26 > 4,1 > 4,0009
Si no igualamos las cifras de la parte decimal, habiendo la misma cantidad de enteros o sin ellos, tendremos que ir
comparando los décimos, siendo mayor el que tiene más décimos; si los décimos son iguales, habrá que comparar los
centésimos, y así sucesivamente.
Por ejemplo:
0,024 - 0,068 - 0,0024 - 0,042 - 0,0016
Tienen iguales enteros y décimos.
El mayor es 0,068 , porque tiene la cifra mayor, 6, en los centésimos; le sigue el 0,042, luego el 0,024. Nos quedan dos
numerales con centésimo 0; de éstos es mayor el 0,0024, porque tiene la cifra 2 en los milésimos y queda último el
0,0016:
0,068 > 0,042 > 0,024 > 0,0024 > 0,0016
3. También podemos determinar equivalencia entre números decimales.
Observa estos ejemplos:
a) 0,34 es equivalente a 0,340.
b) 68 es equivalente a 68,0.
Los ceros colocados al final de la parte decimal no cambian el valor del número.
Teniendo en cuenta esto último, podríamos decir que todos los decimales exactos son periódicos con período 0.
Adición y sustracción:
Para sumar o restar números decimales escritos con notación decimal se siguen los siguientes pasos:
1. Se anotan los números en forma vertical, es decir, se anotan hacia abajo, de modo que las comas queden en la
misma columna. Siempre se debe colocar el número mayor arriba.
Ejemplo:
3,7
3,721 + 2,08
21
2,0
+
8
2. Si los números que se ordenaron no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se agregan a la derecha todos los
ceros necesarios para que tengan igual cantidad.
3, 721
+ 2, 080
3. Se suma o resta en forma normal, luego se baja la coma (bajo su columna) y se agrega al resultado.
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3, 721
2, 867
+ 2, 080
– 1, 344
5, 801
1, 523
Multiplicación de un número decimal por un número natural: los pasos son los siguientes:
1. Se resuelve la multiplicación sin considerar la coma
Ejemplo:
1,322 • 2
2644
2. Una vez que se hizo la multiplicación, se cuentan cuantos espacios después de la coma (hacia la derecha) están
ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la izquierda los mismos espacios, y se coloca la
coma.
Ejemplo:
1,322 • 2
2,644
Los espacios decimales ocupados son tres (los espacios decimales son los números que están detrás de la coma) . En el
resultado, se cuentan tres espacios desde el 4 al 6, y se coloca la coma
División: Los pasos son:
1.
Se resuelve la división de la forma acostumbrada.
Ejemplo:
19 ÷ 5
= 3
– 15
4
2. Como el resto es 4 (debe ser un número distinto de cero), se puede continuar dividiendo. Para esto se agrega una
coma en el dividendo y un cero en el divisor.
19 ÷ 5
= 3,
– 15
40
3. Se continúa dividiendo y agregando un cero al resto todas las veces que se quiere; de esto depende el número de
decimales que se quiera obtener.
19 ÷ 5
= 3,8
– 15
40
4
0
0
Razón y proporción numérica
Razón entre dos números
Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos)
entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es el cociente entre
Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya
que
Y la razón entre los números 0,15 y 0,3 es
Proporción numérica
Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas,
estaremos hablando de una proporción numérica.
Entonces:
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”
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Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.
Es decir
En la
proporción
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman
medios.
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es
igual al de los medios.
Así, en la proporción anterior
se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40
Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa
relación puede darse en dos sentidos:
Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y
viceversa.
Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual
cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.
Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de
Magnitudes inversamente proporcionales.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple...
cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?
Número de sacos
1
2
3
...
Peso en kg
20
40
60
...
26
520
...
...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos
servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de
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agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros de agua
50
x
Gramos de sal
1.300
5.200
Se verifica la proporción:
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se
multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
Es decir
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera
parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo
trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo
durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son
indirectamente proporcionales).
Formamos la tabla:
Hombres
3
6
9
...
18
Días
24
12
8
...
?
Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto
será siempre igual.
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se
obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.
Números enteros
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como
positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo,
salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de
los Cardinales).
V a l o r a bs o l ut o
E l v al o r a b s ol u t o de u n n úm er o e n t er o e s e l n ú m e r o n a t ur a l q u e r es u l t a a l s up r i mi r s u
signo.
C r i t er i os p a r a c o n oce r el o r d e n d e l o s n úm e r os e nt e r os .
1 . T od o n ú me r o n e ga t i vo e s me n o r q u e c e r o.
2 . T od o n ú me r o p os i t i vo e s ma yo r q u e c e r o.
3 . D e d o s e n t e r os n e ga t i vo s es ma yo r e l q ue t i e n e me n o r va l or ab s o l ut o .
4 . D e l os e nt e r o s p os i t i vo s , es ma yo r e l q u e t i en e ma yo r va l o r a bs o l ut o
inverso aditivo
El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número, esto es, el inverso aditivo de un número x es - x.
La suma de un número y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0.
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Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)
Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas
(son fáciles; sólo requieren de práctica).
Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):
Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las
siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ejermplos :
– 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)
12 + 25 = 37
( sumo y conservo el signo)
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del
número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa
que se debe considerar el número sin su signo).
Ejemplo:
– 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo
y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12,
por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).
5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
– 14 + 34 = 20
Resta en Z
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta
manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de
signo que deben hacerse:
a)
Cambiar el signo de la resta en suma y
b)
Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario
Ejemplo 1:
–3 – 10
a) cambiamos el signo de resta por el de suma:
–3 + 10
b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo de operación (que ahora es el +):
– 3 + – 10 = –13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)
Ejemplo 2:
19 – – 16
a) cambiamos el signo de resta por el de suma:
19 + –16
b) cambiamos el signo del número que está a la derecha (– 16) del signo de operación (que ahora es el +):
19 + + 16 = 19 + 16 = 35
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 03_2006
Multiplicación y División en Z
La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y
luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:
+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –
Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )
12 • – 4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: + • – = – )
ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
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GLOSARIO
Utilice el diccionario y busque el significado de las siguientes palabras, teniendo en cuenta que se relacionen con el
tema visto. Debe escribir con correcta ortografía
Inverso aditivo, números enteros, números decimales, razón, proporción.
DESARROLLO DE COMPETENCIAS
Desarrolle en su cuaderno las siguientes actividades con orden, pulcritud, buena letra y ortografía.
1 U n a j ar r a va c í a p e sa 0 . 6 4 kg, y l l e n a d e a gu a 1 . 7 2 8 kg. ¿ C u á n t o p es a el a gu a ?
2 U n c i c l i s t a h a r ec o r r i d o 1 4 5. 8 k m e n u n a e t a pa , 1 3 6 . 6 5 km e n o t r a et a pa y 1 6 2 . 6 2
k m e n u n a t er c er a et ap a .
¿C u á n t o s ki l ó me t r os l e q u e da n p or r ec o r r er s i l a ca r r e r a e s d e 1 00 0 k m?
3 D e u n de p ó si t o c o n a gu a s e sa c a n 1 8 4 . 5 l y d e s p u é s 1 2 8 . 7 5 l , f i n al me n t e s e s a ca n
8 4 . 5 l . Al f i n al q u ed an e n el d e pó s i t o 1 60 l . ¿Q u é c a n t i d a d d e a gu a h a bí a el de p ó si t o?
4 S e t i e ne n 2 4 0 c aj a s c o n 2 5 b o l s a s d e ca f é c a da u n a. S i c a da bo l s a p e sa 0 . 6 2 kg,
¿c u á l e s e l p e s o d e l ca f é ?
5 S a b i e n d o q ue 2 . 0 77 m ³ d e a i r e p e sa n 2 . 7 k g, c a l c ul a r l o qu e p es a 1 m³ d e a i r e.
6 E va s i gu e u n r é gi me n d e a d e l ga za mi e n t o y n o p u e d e p a s a r e n ca d a c o mi d a d e 6 0 0
c a l or í a s .
A ye r a l mo r zó : 1 2 5 g d e p a n , 1 4 0 g d e e s pár r a go s , 4 5 g d e q u e s o y u n a ma n za n a d e
1 3 0 g.
S i 1 g d e p a n d a 3 . 3 c a l o r í as , 1 g d e e s p á r r a go s 0 . 3 2 , 1 g d e q u e s o 1 . 2 y 1 g d e
ma n za n a 0 . 5 2 .
¿R e s p e t ó E va s u r é gi me n ?
Razones y proporciones
1) En una caja con fichas hay : 10 fichas rojas, 5 fichas azules y 15 fichas amarillas.
a) La razón entre las fichas rojas y azules es:
b) La razón entre las fichas amarillas y rojas:
c) La razón entre las fichas rojas y las faltantes(azules y amarillas) es:
d) La razón entre el total de fichas y las azules es:
2) Si en una carretera recta de Norte a Sur de 4800 metros José parte del Norte y Ariel del Sur. Si la razón de lo
que recorrieron hasta cruzarse fue 7 es a 5. ¿Cuántos metros recorre cada uno?
3) Se desea repartir una ganancia de $4.800.000, entre tres socios, de forma proporcional al aporte de capital de
cada uno, Si el aporte está en la razón de 1:3:4, ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
4) Los ángulos de un triángulo están en la razón de 1:3:5, ¿Cuánto mide cada uno?
5) En una competencia que tiene un premio de $ 1.050.000, Pedro demoró 4 minutos, Francisco 8 minutos y
Carlos 2 minutos. ¿Cuánto recibe Pedro si deben repartirse inversamente proporcional al tiempo ocupado?
6) Se dividen 126 litros de un líquido en tres cantidades que están en la razón 2 : 5 : 7 . ¿Cuántos litros tiene la
cantidad mayor?
7) Dos números están en la razón 5 : 2 . Si sumados dan 44, ¿Cuáles son los números?.
8) La siguiente receta alcanza para una docena de galletas: 2 tazas de harina, 1 taza de azúcar, 1 litro de leche, 3
huevos y 5 cc de vainilla, 100 g de mantequilla y 2 cucharaditas de polvos de hornear.
a) Para hacer 6 galletas se usarían solo________tazas de harina.
b) Para hacer 24 galletas se necesitarán________huevos.
c) Para hacer 30 galletas necesitarás_______litros de leche.
9) Una poste de 6 metros de alto proyecta una sombra de 8 metros de largo ¿cuál es el alto de un edificio si a la
misma hora proyecta una sombra de 28 metros?
10) Para construir un camino en 15 días se necesitan 25 obreros. ¿Cuántos días tardarán en construir el mismo
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camino 20 obreros?
Ej e r c i ci o s y p r o b l e ma s d e n ú me r o s e n t e r os
1 O r d e n ar , e n s e nt i do c r e ci e nt e , r e pr e se n t a r gr á f i ca me n t e , y c a l cu l a r l os o p u es t os y
va l o r e s a b s ol ut o s de l o s s i gu i e n t e s n úm e r os e n t e r o s :
8 , − 6 , − 5 , 3 , − 2 , 4 , −4 , 0 , 7
2 R e p r es e nt a r gr áf i came n t e , y c a l c u l ar l os o p u e st o s y va l o r e s a b s o l ut o s de l o s
s i gu i e nt e s n úm er o s en t e r os :
−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
3 S a c ar f ac t or c o mú n e n l as e x pr es i o ne s:
1 3 · 2 + 3 · ( − 5) =
2 ( − 2) · 12 + ( − 2 ) · ( −6 ) =
38 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =
4 ( − 3) · ( − 2) + ( − 3 ) · ( − 5 ) =
4 R e a l i za r l a s si gu i e nt e s o p er a ci o n e s c o n nú m e r os e nt e r os
1 ( 3 − 8 ) + [ 5 − ( − 2) ] =
2 5 − [ 6 − 2 − ( 1 − 8 ) − 3 + 6] + 5 =
3 9 : [ 6 : ( − 2) ] =
4 [ ( −2 ) 5 − ( − 3) 3 ] 2 =
5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =
6 [ ( 17 − 1 5) 3 + ( 7 − 12 ) 2 ] : [ ( 6 − 7) · ( 1 2 − 2 3 ) ] =
5 R e a l i za r l a s si gu i e nt e s o p er a ci o n e s c o n nú m e r os e nt e r os
1 ( 7 − 2 + 4) − ( 2 − 5) =
2 1 − ( 5 − 3 + 2 ) − [ 5 − ( 6 − 3 + 1) − 2] =
3 − 1 2 · 3 + 1 8 : ( − 1 2 : 6 + 8) =
SOCIALIZACIÓN
1) Puesta en común del trabajo desarrollado.
3) Evaluación escrita del tema visto.
5) Revisión de corrrecciones.
2) Retroalimentación de posibles dudas.
4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes.
6) Revisión del trabajo desarrollado
COMPROMISO
PREPARAR EVALUACION ESCRITA PARA LA PROXIMA CLASE
ELABORÓ
NOMBRES
CARGO
JOSE LUIS PEÑA G.
Docentes de Área
DD
MM AAAA
05
04
2014
REVISÓ
APROBÓ
ALEXANDRA URIBE
Jefe de Área
09
04
Coordinador Académico
2014
DD
MM
AAAA