ARITMTICA MERCANTIL

Mat. Aplic. I- (Tema 2)
Aritmética mercantil: contenidos
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Aumentos y disminuciones porcentuales
Intereses bancarios
Tasa anual equivalente ( T.A.E.)
Amortización de préstamos
Progresiones geométricas
Anualidades
Porcentajes:
r ⎞
⎛
C final = ⎜1 ±
⎟ . C inicial = C inicial . Índice de variación
100 ⎠
⎝
1.- Una entrada de un cine costaba el año pasado 3,30 € y este año 4,10 €. ¿Cuál ha sido el
índice de variación? ¿ y el porcentaje de subida ?.
Solución:
•
Índice de variación
•
Porcentaje de subida: (1 +
4,10 = I.V. 3,30 de donde I.V. =
4,10
= 1,2424
3,30
r
) = 1,2424 de donde se deduce que r = 24,24 %
100
2.- La cantidad de agua de un embalse ha disminuido en un 35 % respecto a lo que había el
mes pasado. Ahora contiene 74,25 millones de litros. ¿ Cuántos litros tenía el mes pasado?
Solución
•
74,25 = C inicial. (1 −
35
) = C inicial . 0,65; de donde C inicial = 114,23 millones de litros
100
3.- Averigua el índice de variación del precio de un televisor que costaba 450 €, después de
subirlo un 15 % y rebajarlo en un 25 %. ¿ Cuál es el precio actual?
Solución:
15
25
) (1 −
) = 450 . 1,15 . 0,75 = 388,125
100
100
15
25
• Índice de variación: (1 +
) . (1 −
) = 1,15 . 0,75 = 0,8625
100
100
r
• Porcentaje final:
como el I.V. es menor que la unidad (1 −
) = 0,8625 de donde
100
r = 13,75%
•
Precio actual: Cfinal = 450 . (1 +
El resultado final es que el precio del televisor se ha rebajado un 13,75 %
4.- En un examen de francés han aprobado el 60 % de los estudiantes. En la recuperación de
los suspendidos, aprueban el 30 %. En total son 18 los aprobados. ¿ Cuál es el porcentaje de
aprobados? ¿ Cuántos estudiantes son?
-1-
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
Solución
Sea x el número de estudiantes. En primera opción aprueban 60% de x = 0,6 x
De los 0,4 x restantes aprueban el 30 % en segunda opción, de donde el 30 % de 0,4 x = 0,3. 0,4 x.
Como en total han sido 18 los alumnos que han aprobado tenemos 0,6 x + 0,3.0,4 x = 18, resultando
que x = 25.
El porcentaje de aprobados en total será 0,6 + 0,3 . 0,4 = 0,72 es decir 72 %
5.- El precio de un ordenador ha bajado durante los últimos años, pasando de costar 3750 € a
1560 €. Calcular el índice de variación y la disminución porcentual del precio
Solución:
r
);
100
(1 −
r
) = I.V. = 0,416
100
Disminución porcentual
(1 −
r
) = 0,416
100
1560 = 3750 (1 −
r = 58,4 %
6.- Si el precio del alquiler de un apartamento sube un 10 % cada año ¿ cuántos años
tardaría en duplicarse el alquiler ?
Solución
Si el precio final debe ser el doble que el inicial tendremos que 2C = C . (1 +
2 = 1,1 n ,. Aplicando cálculo logarítmico ln 2 = n.ln 1,1 de donde n =
10 n
) y de aquí
100
ln 2
= 7,27 años.
ln 1,1
Deberán transcurrir más de 7 años para que se doble el alquiler. Solución 8 años.
7.- Un librero compró dos manuscritos antiguos por 2250 € y después los vendió obteniendo
un beneficio del 40 %. El primer manuscrito le dejó un beneficio del 25 % y el segundo un
beneficio del 50 %. ¿ cuánto pagó por cada manuscrito?
Solución
Sean x e y los precios que pagó el librero por los manuscritos. Se verifica que x + y = 2250
Por el primer manuscrito obtuvo un beneficio del 25 % luego lo vendió por x. (1 +
25
) = 1,25 x
100
Por el segundo manuscrito obtuvo un beneficio del 50 % luego lo vendió por y (1 +
50
) = 1,5 y
100
Si el beneficio total del 40 % , por la venta de los dos manuscritos consiguió 2250 (1 +
-2-
40
) = 3150.
100
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
x+
y = 2250
⎧
Podemos establecer el sistema de ecuaciones ⎨
de cuya resolución obtenemos
⎩1,25 x + 1,5 y = 3150
que x = 900 € y que y = 1350 €
8.- Con frecuencia los medios de comunicación cometen errores al utilizar los porcentajes.
Analiza esta noticia publicada el 26/7/1996:
“ Mazazo a los funcionarios: en el 97 no tendrán subida salarial. En sólo cinco años
habrán perdido el 10,8 % de su poder adquisitivo”
Subida Funcionarios
1993
1,8
1994
0,0
1995
3,5
1996
3,5
1997
0,0
Total pérdida poder adquisitivo
IPC
4,9
4,3
4,3
3,5
2,6
Diferencia
- 3,1
- 4,3
- 0,8
0,0
- 2,6
- 10,8
Solución:
El error se comete al ignorar que cada % individual se aplica sobre el valor obtenido el año anterior
lo que produce un efecto multiplicativo y no sumativo como aparece en la tabla.
La subida salarial, a lo largo de esos años ha sido: (1 +
1,8
0
3,5
3,5
0
) . (1 +
) (1 +
) (1 +
) (1 +
)
100
100
100
100
100
= 1,018 . 1 . 1,035 . 1,035 . 1 = 1, 0905 que corresponde al índice de variación. El % será:
(1 +
r
) = 1,0905 de donde deducimos que la subida salarial ha sido de r = 9,05 %.
100
Si se hubiese aplicado una subida igual al I.P.C. sería
(1 +
4,9
4,3
4,3
3,5
2,6
) (1 +
) (1 +
) (1 +
) (1 +
) = 1,049 . 1,043 . 1,043 . 1,035 . 1,026 =1,2118
100
100
100
100
100
que corresponde al índice de variación del I.P.C. durante esos mismos años. El % será:
(1 +
r
) = 1,2118 de donde deducimos que la subida del I.P.C. ha sido de r = 21,18 %.
100
La pérdida del poder adquisitivo habrá sido 21,18 % - 9,05 % = 12,13 %
9.- Un comerciante compra 50 camisas al precio de 12 € cada una unidad. Con un 20 % de
aumento sobre el precio de compra consigue vender 40 de esas camias. Las 10 camisas
restantes consigue venderlas rebajando su precio un 40 % sobre el precio de venta marcado.
Se pide:
-3-
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
¿ Qué cantidad ha ganado en la operación ?¿ Cuál ha sido el índice de variación de la
operación ? ¿ Cuál ha sido la variación porcentual de la operación?
Solución
Paga por la compra 50 . 12 = 600 €
Vende 40 de ellas con un 20 % de ganancia V 1 = 40 . 12 . (1 +
20
) = 576 €
100
Vende las 10 restantes bajando un 40 % sobre precio venta: V2 = 10 . 12 . (1 +
20
40
) (1 −
)=
100
100
86,4 €
Consigue en la venta V1 + V2 = 576 + 86,4 = 662,4 €
La ganancia será G = 662,4 € - 600 € = 62,4 €
Índice de variación de la operación IV =
Variación porcentual 1,104 = (1 +
662,4
= 1,104
600
r
) de donde r = 10,4 %
100
n
r ⎞
⎛
Intereses bancarios: C en n años = C inicial . ⎜ 1 +
⎟ ;
100 ⎠
⎝
r ⎞
⎛
C en m meses = C inicial . ⎜ 1 +
⎟
1200 ⎠
⎝
m
1.- Un banco paga el 10 % del dinero que se deposita en él, siempre que se mantenga sin sacar
nada durante un año. ¿ Cuánto te darán al cabo de un año si depositas 18500 €? ¿ Y si lo dejas
durante cinco años?
Solución:
En un año
C final = 18500 . (1 +
10
) = 20350 €
100
En cinco años C final = 18500 . (1 +
10 5
) = 29794,435 €
100
2.- Calcula en cuánto se transforman 5000€ en un año, al 10 %,
si los periodos de
capitalización son:
a) semestres; b) trimestres; c) meses. Di en cada caso cuál es la T.A.E. correspondiente
Solución: a) 5512,5 (TAE 10,25 % ); b) 5519,06 (TAE 10,38 % ); c) 5523,56 (TAE 10,47%)
Solución
-4-
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
Semestres: 5000 (1 +
r
10 2
10 2
) = 5512,5 €; T.A.E. = (1 +
) = 1,1025 = (1 +
) ; r = 10,25%
200
200
100
En los restantes apartados se procede de igual forma.
3.- Halla en cuánto se transforma un capital de 10000 € al 5 % anual durante 2 años y 3 meses
si el periodo de capitalización es: a) anual
b) mensual
Solución:
a) anual. Dos años y tres meses equivalen a 2,25 años. CF = 10000 (1 +
5 2, 25
)
= 11160,30
100
b) mensual. Dos años y tres meses equivalen a 27 meses. CF = 10000 (1 +
5 27
) = 11188,10
1200
4.- Recibimos un préstamo de 8500 € al 15 % anual, que hemos de devolver en un solo pago
¿ Cuántos años han transcurrido si al liquidarlo hemos pagado 14866,55 € ?
Solución:
14866,55 = 8500 (1 +
15 n
) ; 1,7490 = 1,15 n . Aplicando cálculo logarítmico tendremos:
100
ln 1,7490 = ln 1,15 n .;
n=
ln 1,749
= 3,9999 ≈ 4 años
ln 1,15
5.- Un capital colocado al 15 % anual durante 4 años, se ha convertido en 5596,82 € ¿ A
cuánto ascendía ese capital ?
Solución
5596,82 = C . (1 +
15 4
) ;
100
5596,82 = C . 1,7490;
de donde C = 3200 €.
6.- Un banco paga el 2 % trimestral. ¿ Cuántos años tienen que estar depositados 2000 € para
convertirse en 2536,48?
Solución
El 2 % trimestral supone un 8 % anual por lo que : 2536,48 = 2000 . (1 +
1,26824 = 1,02 n . Aplicando cálculo logarítmico tendremos: n =
-5-
8 n
)
400
ln 1,26824
= 11,99 ≈ 12 trimestres
ln 1,02
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
7.- Calcula el tanto por ciento anual al que se han de colocar 600 € para que en dos años se
conviertan en 699,84 €. ¿ Y si fuese en tres años?
Solución:
•
En dos años
699,84 = 600 (1 +
.r 2
) ;
100
1,1664 = (1 +
.r 2
.r
) ; (1 +
) =
100
100
.r 3
) ;
100
1,1664 = (1 +
.r 3
) ; aplicando logaritmos:
100
1,1664
=
1,08 de done r=8%
•
En tres años 699,84 = 600 (1 +
ln 1,1664 = 3. ln (1 +
.r
) ;
100
ln (1 +
.r
) = 0,051307
100
(1 +
.r
) = e
100
0,051307
=
1,052646 de donde r = 5,26 %
8.- Calcula la T.A.E. para un rédito anual del 10 % con pagos mensuales de interés.
Solución: (1 +
10 12
.r
) = (1 +
) ;
1200
100
1,1047 = (1 +
.r
) ; r = 10,47 % T.A.E.
100
Amortización de préstamos
(1 + i ) n . i
r
r
Periodo de amortización a = C
siendo i anual =
ó i mensual =
n
100
1200
(1 + i ) − 1
1.- Comprueba que podemos amortizar 10000 € al 10 % anual mediante cuatro pagos
trimestrales de 2649 cada uno.
Solución:
Denominemos por a cada uno de los pagos trimestrales que debemos hacer.
El 1er pago permanece en manos del prestamista 3 trimestres y se ha convertido en:
a . (1 +
10 3
) = 1,07689. a
400
El 2º pago permanece en manos del prestamista 2 trimestres y se ha convertido en:
a . (1 +
10 2
) = 1,050625 . a
400
El 3º pago permanece en manos del prestamista 1 trimestres y se ha convertido en:
a . (1 +
10 1
) = 1,025 . a
400
El 4º pago lo recibe el prestamista al finalizar el año por lo que será únicamente a:
-6-
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
La suma de todos estos pagos deberán compensar la cantidad 10000 (1 +
10 4
) = 11038,129,
400
luego:
1,07689. a + 1,050625 . a + 1,025 . a + a = 11038,129
En el primer miembro tenemos los 4 términos de una p.g. de razón 1,025 cuya suma nos da:
4,152515 . a = 11038,129;
siendo a = 2658,18
2.- Depositamos un cierto dinero al comienzo de un año, en un banco, al 6 % anual. Cada mes
esa cantidad aumenta en progresión geométrica ¿ Cuál es la razón ?
Solución
Cada mes aumentará en (1 +
6
) = 1,005
1200
3.-Al comienzo de cada año depositamos 6000 € en un banco al 7 % anual. ¿ Cuánto dinero
recogeremos al finalizar el 10º año?
Solución
Los 6000 primeros euros, al cabo de 10 años, se convertirán en 6000 (1 +
Los segundos 6000 euros, al cabo de 9 años, se convertirán en 6000 (1 +
7 10
) = 6000.1,07 10
100
7 9
) = 6000.1,07 9
100
..............................................................................
Los últimos 6000 euros, al cabo de un año, se convertirán en 6000 (1 +
7 1
) = 6000.1,07 1
100
El dinero que recogeremos será la suma de las 10 cantidades anteriores, que forman una p.g. de
razón 1,07 y su suma será:
Cfinal =
6000 .1,0710 .1,07 − 6000 .1,07
= 88701,60 €
1,07 − 1
4.- Un ahorrador mete todos los años en la misma fecha 1500 € en una cuenta que le produce
el 6 anual. ¿ Qué cantidad habrá acumulado al cabo de tres años?
Solución
Por los primeros 1.500 € le darán 1500 . (1 +
6 3
) = 1500. 1,06 3 = 1786,52 €
100
Por los segundos 1.500 € le darán 1500 . (1 +
6 2
) = 1500. 1,06 2 = 1685,4 €
100
-7-
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
Por los terceros 1.500 € le darán 1500 . (1 +
6 1
) = 1500. 1,06 1 = 1590 €
100
Al finalizar el tercer año habrá conseguido una cantidad que será la suma de las tres cantidades
anteriores. Dado que el número de sumandos es reducido podemos sumar los tres resultados
anteriores obteniendo 5061,92 €
Si el número de sumandos hubiese sido elevado deberíamos haber obtenido el total teniendo en
cuenta que se trata de la suma de n términos de un progresión geométrica cuya razón es (1 +
6 1
)
100
5.- Recibimos un préstamo de 20000 €, al 12 %, y hemos de devolverlo en 4 años, pagando
cada año los intereses de la cantidad adeudada más la cuarta parte del capital. ¿ Cómo serán
los pagos anuales?
Solución
Deuda al inicio
de
Cada año
Tiempo
Interés más
Intereses
del préstamo
Capital amort
Capital pendiente
1er año 20000
1 año
20000 .12
= 2400
100
7400
15000
2º año 15000
1 año
15000 .12
= 1800
100
6800
10000
3er año 10000
1 año
10000 .12
= 1200
100
6200
5000
4º año 5000
1 año
5000 .12
= 600
100
5600
0
6.- Hemos de amortizar 50000 € en 5 años, con un interés del 15 % de modo que cada año se
paguen los intereses del capital pendiente más la quinta parte del capital total. Calcula lo que
hay que pagar cada año.
Solución:
17500
16000
15000
13500
12000
7.- Compramos un electrodoméstico de 750 € y lo pagamos en 24 plazos mensuales con un
interés del 13 %. ¿ Cuál será la cuota mensual?
Solución
-8-
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
a) Primer procedimiento
24
13 ⎞
13
⎛
)
⎜1+
⎟ .(
n
(
1,295117 . 0,010833
1 + i ) .i
1200 ⎠
1200
⎝
= 35,65 €
= 750 .
m= C .
= 750 .
n
13 24
1,295117 −1
(1 + i ) − 1
(1 +
) −1
1200
c) Segundo procedimiento
Designemos por a la cantidad mensual que debemos pagar.
La primera de esas cantidades estará 23 meses en manos del acreedor por lo que se convertirá en:
23
13 ⎞
⎛
23
a. ⎜ 1 +
⎟ = 1,0108 . a
⎝ 1200 ⎠
La segunda de esas cantidades estará 22 meses en manos del acreedor por lo que se convertirá en:
22
13 ⎞
⎛
22
a. ⎜ 1 +
⎟ = 1,0108 . a
⎝ 1200 ⎠
Y así sucesivamente hasta llegar a la última mensualidad a que, al abonarla, dará la deuda por
saldada. Tendremos pues que:
24
13 ⎞
⎛
1,0108 . a + 1,0108 . a + . . . + a = 750 ⎜ 1 +
⎟ = 971,338
⎝ 1200 ⎠
23
22
a.1,0108 23.1,0108 − a
= 971,338 de donde a = 35,67
1,0108 − 1
8.- Una persona paga un coche en sesenta mensualidades de 333,67 €. Si el precio del dinero
está al 12 % anual ¿ cuál sería el precio del coche si se pagara al contado?
Solución:
60
12 ⎞
12
⎛
⎜1+
⎟ .
1,816696 . 0,01
1200 ⎠ 1200
; 333,67 = C . 0,022244
333,67 = C . ⎝
; 333,67 = C .
12 60
0,816696
(1 +
) −1
1200
de donde C = 15000 €
9.- Comprueba que si pagamos al final de cada año una anualidad de 2500 € durante 8 años,
al 5 %, hemos pagado en total 23872,77 €.
Sugerencia: el acreedor recibe un dinero que negocia con él con igual %.
-9-
Mat. Aplic. I- (Tema 2)
10.- Recibimos un préstamo de 10000 € al 12 % anual que hemos de pagar en un año con
plazos mensuales. El banco nos cobra 350 € por la gestión del préstamo en el momento de su
concesión. ¿ Cuál es el T.A.E. correspondiente a ese préstamo?
Solución:
16,77 % (Sugerencia del préstamo descontaremos la comisión inicial)
- 10 -