UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS 1

UNIDAD I
OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS
I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez
1
ESQUEMA-RESUMEN DE LA UNIDAD
Álgebra
(Concepstos
básicos)
Suma
Resta
Multiplicación
División
OPERACIONES
CON
MONOMIOS Y
POLINOMIOS
Leyes de
Exponentes
Exponentes
Fraccionarios
Logaritmos y sus
propiedades
Valor numérico de
una expresión
algebraica
2
Presentación
El Álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para
presentar relaciones aritméticas. Al igual que en la Aritmética, las operaciones
fundamentales del Álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y
cálculo de raíces. La Aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las
relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un
triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma
de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos
particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El
Álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las
condiciones del teorema: a2 + b2 = c2
El Álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en
vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar
dichos símbolos. El Álgebra moderna ha evolucionado desde el Álgebra clásica al
poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran
al Álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o
relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de Álgebra es la
que dice que el Álgebra es el idioma de las matemáticas. (Encarta, 2006)
En mi experiencia personal, te podría decir que el Álgebra se emplea en
todos los campos del conocimiento. Posiblemente y de forma cotidiana, no la
aplicamos tal y como la estudiamos, es decir, cuando vamos al supermercado, o
debemos abordar un transporte, o tenemos que ir a pagar los servicios,
difícilmente la solución del Teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2 podría ayudarnos a
resolver tales problemas. No obstante, cuando se trata de “formalizar” una
situación, esto es, expresarla en lenguaje matemático, es cuando el lenguaje que
empleamos es el algebraico; y al formalizar situaciones del mundo real, por
ejemplo situaciones que involucran distancias, rutas, superficies, volúmenes,
3
diferencias, incrementos, proporciones etc…, se van desarrollando estructuras
internas de pensamiento que son capaces de abstraer de la realidad las variables
importantes que deben considerarse para tomar una decisión. Así por ejemplo,
cuando yo me pregunto ¿Cuál es la ruta más corta para ir al supermercado y de
ahí pasar a pagar los servicios de agua, luz y teléfono ahorrando tiempo y
acortando distancias? No dibujo en un papel un croquis (lo cual podría hacerse
con algún fin de formalización), ni dibujo el triángulo rectángulo para calcular las
distancias de los puntos aplicando la fórmula de la distancia, sino que
internamente empiezan a trabajar las estructuras de pensamiento que he
aprendido sobre Geometría, Álgebra y Trigonometría y entonces mi cerebro es
capaz de abstraer la realidad y proporcionarme un algoritmo (la secuencia de
pasos más eficiente) para que yo recorra todos los lugares, haga mis pagos y mis
compras en el orden más adecuado y en el menor tiempo posible. Es tan solo una
forma simple y llana de cómo el Álgebra tiene una aplicación práctica en la vida
cotidiana. Claro que hay una infinidad de aplicaciones y ten por seguro que en
cualquier área de conocimiento que estudies o a la que te dediques, la emplearás
continua y necesariamente.
4
1.1 ÁLGEBRA (CONCEPTOS BÁSICOS).
Expresiones algebraicas
Trabajar en Álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que
una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables,
incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por
los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y
potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar
áreas y volúmenes:

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la
circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Ejemplos de traducción de proposiciones verbales a
expresiones algebraicas
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4,...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x y x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
5
Ejemplos de traducción de proposiciones verbales a
expresiones algebraicas
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 – x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 – x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x.
Un número incrementado en 8: x + 8.
Dos más que tres veces un número: 3x + 2.
Cuatro menos que seis veces un número: 6x – 4.
Doce veces la suma de un número y 5: 12(x + 5).
Cinco menos que dos veces la distancia, d: 2d – 5.
El seis por ciento de un número: 0.06c.
El costo de un artículo incrementado en un 7% de impuestos: c + 0.07c.
El costo de un artículo reducido en 35%: c – 0.35c.
Un número y el número disminuido en 10%: x – 0.10x.
La edad de Luis dentro de seis años: x + 6.
La velocidad del segundo tren es 1.8 veces la velocidad del primero: 1.8v.
David y su hermano comparten $90: 90 – x.
A Tomás le lleva tres horas más que a Roberta terminar la tarea: t + 3.
Hilda tiene $5 más que dos veces el monto de dinero que tiene Héctor: 2x + 5.
La longitud de una mesa es 7 unidades menos que 3 veces su ancho: 3w – 7.
La suma de dos números es 19: 19 – x.
Una tabla de diez metros cortada en dos pedazos: x – 10.
$10,000 compartidos por dos personas:: 10,000 – x.
Los últimos tres ejemplos podrían no ser muy obvios. Considera “La suma de
dos números es 10”. Cuando sumamos x y 10 – x obtenemos x + (10 – x) = 10.
Otro ejemplo: Cuando una tabla de 10 metros se corta en dos tramos serán x y
10 – x. Por ejemplo, si un tramo es de 3 metros, el otro debe ser de 10 – 3 = 7
metros.
6
Tipos de expresiones algebraicas
Monomio.- Expresión algebraica formada por un solo
término. Ejemplo: 2x2
Binomio
Tipos de
expresiones
algebraicas
Un binomio es una expresión algebraica formada por
dos términos. Ejemplo: 2x2 + y3
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por
tres términos. Ejemplo: 2x2 + 3y3 - 2x2
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por
más de un término. Ejemplos: 2x2 + y3 + 2x2 + 5y2 - 2x2
Monomios
Otra definición de un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de
exponente natural. Ejemplo: 2x2 y3 z
Partes de un monomio
Coeficiente.
El coeficiente del monomio es el número que aparece
multiplicando a las variables.
Partes de un
monomio
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus
exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los
exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
7
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra
elevada la variable x.
Primer grado (o grado 1)
P(x) = 3x + 2
Clasificación de
un polinomio
según su grado
Segundo grado (o grado 2)
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Tercer grado (o grado 3)
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
8
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes
nulos.
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el todos sus términos o monomios
son del mismo grado. Ejemplo: P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que sus términos no son del
miso grado. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Clasificación
de
polinomios
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el
término independiente hasta el término de mayor grado.
Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo
forman están escritos de mayor a menor grado.
Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1) Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2) Los coeficientes de los términos del mismo grado son
iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la
misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Para ver el glosario relativo a los conceptos algebraicos más comunes, descarga
el archivo Glosario de Álgebra.doc que encontrarás en la sección de
Herramientas del curso/Glosario.
9
1.2 SUMA DE MONOMIOS, SUMA DE POLINOMIOS,
SUMA DE VARIOS POLINOMIOS CON COEFICIENTES
ENTEROS Y FRACCIONARIOS.
La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).
Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las
dos expresiones algebraicas dadas: a y b.
La suma de a y –b es a – b, porque esta última expresión es la reunión de las dos
expresiones algebraicas dadas: a y –b.
Regla general para sumar
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a
continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos
semejantes si los hay.
1)
Sumar 5a, 6b y 8c.
Los escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a =
+5a, 6b = +6b y 8c = +8c la suma será: 5a + 6b + 8c
Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y
cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn = (a + b)xn
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x2 y3 + 3x2 y3 z
10
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del
mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1.-Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 -3x2 + 4x)
2.-Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3.-Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Otro ejemplo. Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3
procedemos de la siguiente forma:
La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo
altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un
opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un
polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
1.3 RESTA DE MONOMIOS Y RESTA DE POLINOMIOS
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. De
manera formal, se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de
sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).
11
Ejemplo:
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
1.4 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo
coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las
potencias que tenga la misma base.
axn · bxm = (a · b)xn +m
5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como
coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman
el polinomio.
12
3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
Ejemplo:
Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 -2x + 3 y Q(x) = 2x2 - x +3
Modo 1
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 -2x + 3) · (2x2 - x +3) =
= - 3x5 + 9x4 + 10x5 - 5x4 + 15x3 - 4x3 + 2x2 - 6x + 6x2 - 3x + 9 =
= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 - 9x + 9
Modo 2
13
Un ejemplo más del modo 2:
Para multiplicar los polinomios P(x) = 3x4 - 5x2 + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4
procedemos de la siguiente forma, acomodando primero los polinomios conforme
al modo 2:
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no
lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio
inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada
no hay elemento inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera
que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que:
P(x)[Q(x) + R(x)] = P(x)Q(x) + P(x) R(x)
14
1.5 DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. (DIVISIÓN
SINTÉTICA Y TEOREMA DEL RESIDUO)
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del
dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las
potencias que tenga la misma base.
axn / bxm = (a / b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
División de polinomios
Se llama división entera de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q(x) de grado
n al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen
las siguientes condiciones:
P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)
grado de C(x) = m - n; grado de R(x) ≤ n - 1
Los polinomios P, Q, C y R se llaman, respectivamente, dividendo, divisor,
cociente y resto.
15
Ejemplo:
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8
Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
Paso 1.-A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo
dejamos huecos en los lugares que correspondan.
Paso 2.-A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Paso 3.-Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio
del divisor.
x5 / x2 = x3
Paso 4.-Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Paso 5.-Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al
dividendo.
2x4 / x2 = 2 x2
16
Procedemos igual que antes.
5x3 / x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 / x2 = 8
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no
se puede continuar dividiendo. x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
Otro ejemplo concreto:
Al dividir P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1:
Se obtiene que el cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.
17
La descripción del proceso es la siguiente:
1.-El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor
grado del numerador por el del denominador: 5x3/x2 = 5x.
2.-Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.
3.-Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta (la diferencia
obtenida) fuera ahora el dividendo.
4.-El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.
Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es
exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es
divisible por Q(x,) y se cumple la relación: P(x) = Q(x)·C(x)
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x) entre un polinomio de la forma
(x - a) es precisamente el valor de dicho polinomio cuando x vale a.
Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de
grado 1, el resto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un número).
El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es,
precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P(a), pues
como P(x) = (x - a)C(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene:
P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R
18
Ejemplo de aplicación:
Calcular por el teorema del resto el resto de la división:
P(x) / Q(x)
P(x)= x4 − 3x2 +2
Q(x)= x − 3
Hacemos la división sintética para saber cuánto va a quedar como resto.
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
Como el divisor fue (x-3), sustituimos el valor de 3 en el polinomio original, o
sea, el dividendo P(x)= x4 − 3x2 +2 y obtuvimos el valor de 56 que es el mismo
residuo encontrado por división sintética.
19
1.6 LEYES
ENTEROS.
DE
EXPONENTES
PARA
EXPONENTES
Definición de exponente
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.
En el ejemplo gráfico: 82 = 8 × 8 = 64. En palabras: 82 se puede leer "8 a la
segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"
Otro ejemplo: 7 x 7 x 7 x 7 = 74, que se lee 7 elevado a la cuarta, el exponente es
el número 4 (cuatro).
Ahora bien las leyes de exponentes son las reglas de tratamientos de este tipo de
operación.
20
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿Cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,
después otras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx)× (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta:
"m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total
"m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y
una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces,
en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este
ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
21
La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
Y eso es todo.
Bueno, sólo una cosa más... ¿Qué pasa si x = 0, es decir, si la base es igual
a0?
El extraño caso de 00
Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0,
así que alguna gente dice que es "indeterminado":
22
1.7 EXPONENTES FRACCIONARIOS.
Los exponentes fraccionarios, como el que vemos en el siguiente monomio: x½
también se llaman "radicales"
En el ejemplo de 82, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo
funcionaría?
Pregunta: ¿Qué es x½ ?
Respuesta: x½ = la raíz cuadrada de x (o sea x½ =
x)
¿Por qué?
Porque si calculas el cuadrado de x½ tienes: (x½)2 = x1 = x
Para entenderlo más claramente, sigue esta explicación de dos pasos:
1
Primero, hay una regla general: (xm)n = xm×n (Porque primero
multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso "n" veces, en
total m×n veces)
Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6
Así que (x2)3 = x2×3 = x6
2
Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x½:
(x½)2 = x½×2 = x1 = x
Cuando hacemos el cuadrado de x½ sale x, así x½ tiene que ser la
raíz cuadrada de x.
Probemos con otra fracción. Ahora con un exponente de un cuarto ¼:
¿Qué es x¼?
Veamos: (x¼)4 = x¼×4 = x1 = x
Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x?
Respuesta: La raíz cuarta de x.
Así que x¼ = la raíz cuarta de x =
4
x
23
Regla general:
Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:
De hecho podemos hacer una regla general:
Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?
Respuesta: 271/3 =
3
27 = 3
¿Qué pasa con fracciones más complicadas?
Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:

Una parte con un número entero, y

Una parte con una fracción del tipo 1/n
Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):
Así que tenemos esto:
Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima,
después haz la raíz n-ésima
Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?
Respuesta: 43/2 = 43×(1/2) =
4  =
3
(4  4  4) =
(64) = 8
1.8 LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES.
24
Antes de abordar este tema, hagamos un repaso acerca de las Potencias y sus
propiedades.
25
Ahora sí, comencemos nuestro estudio sobre los logaritmos:
26
27
28
1.9 VALOR
NUMÉRICO
ALGEBRAICA.
DE
UNA
EXPRESIÓN
Cristina tiene problemas de riñón y el médico le ha recomendado que tome 2 litros
de agua al día.
Para cumplir la recomendación del médico, Cristina quiere conocer la capacidad
que tienen los vasos de su casa, y así podrá saber cuántos tendrá que beberse al
día. Sus vasos tienen forma cilíndrica, con lo que utiliza la fórmula del volumen del
cilindro para calcular su capacidad.
Esta fórmula es una expresión matemática que no sólo tiene números, también
incluye letras que representan el radio del círculo base y la altura del cilindro. La
fórmula del volumen del cilindro es una expresión algebraica.
Para calcular el volumen del vaso, Cristina mide el radio del círculo base, para lo
que mide el diámetro y lo divide entre 2, y la altura del vaso, todo en centímetros.
29
Luego sustituye estos valores en la fórmula y calcula el volumen en centímetros
cúbicos.
Lo que ha hecho Cristina es calcular el valor numérico de la expresión algebraica
que se utiliza para calcular el volumen de un cilindro.
Como 2 litros equivalen a 2.000 centímetros cúbicos, Cristina divide 2.000 entre
294'5 para saber cuántos vasos se tiene que beber, con lo que al final decide que
se beberá 7 vasos al día.
En matemáticas utilizamos letras en lugar de números en muchas ocasiones:

Para expresar y manejar un número que no conocemos.

Para expresar fórmulas con las que obtenemos un resultado, en función de
los valores numéricos que les demos a esas letras.

Para generalizar relaciones y propiedades numéricas.

Con las letras que sustituyen a los números podemos realizar las mismas
operaciones que con los números
30
En resumen:
Una expresión algebraica está formada por números y letras unidos
mediante operaciones matemáticas.
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que
obtenemos cuando sustituimos las letras por números y hacemos las
operaciones que indica la expresión.
Ejemplos finales:
L(r) = 2 · r
r = 5 cm.
L (5)= 2 · 5 = 10 cm
S(l) = l2
l = 5 cm
A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm
V(5) = 53 = 125 cm3
31
REFERENCIAS
Fernández, J.C. (2008) “Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos
gratuitos para todos sus usuarios”. Consultado en Mayo 23, 2009 en
http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html#
García, M.J. (2006) “Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales” Consultado
en Mayo 30, 2009 en http://www.catedu.es/matematicas_blecua/index_soc.htm)
Micronet. Enciclopedia Junior Micronet. Enciclopedia multimedia. Micronet.
Microsoft (2006). Microsoft Encarta (2006). Biblioteca Premium. Microsoft,
Corporation.
Pierce, R. (2008) "Menú de Álgebra" Disfruta Las Matemáticas. Consultado en
Mayo 23, 2009 en http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/index.html
FORTEC, Formación y Tecnología S.L. (2009) Consultado en Julio 28, 2009 en
http://www.deberesmatematicas.com
32