Números racionales

Capítulo 5
Los números
reales y sus
representaciones
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Diapositiva 5-3-1
Capítulo 5: Los números reales y sus
representaciones
5.1 Números reales, orden y valor absoluto
5.2 Operaciones, propiedades y aplicaciones
de los números reales
5.3 Números racionales y representación
decimal
5.4 Números irracionales y representación
decimal
5.5 Aplicaciones de decimales y porcentajes
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Diapositiva 5-3-2
Sección 5.3
Números racionales y
representación decimal
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Diapositiva 5-3-3
Números racionales y representación
decimal
•
•
•
•
Definición y propiedad fundamental
Operaciones con números racionales
Densidad y media aritmética
Forma decimal de los números racionales
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Diapositiva 5-3-4
Definición: Números racionales
Números racionales =
{x | x es un cociente de dos enteros con
denominador diferente de 0}
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Diapositiva 5-3-5
Términos simplificados
Se dice que un número racional está en sus
términos simplificados si el máximo común
divisor del numerador (número colocado arriba) y
del denominador (número colocado abajo) es 1. Los
números racionales se escriben en los términos
simplificados usando la propiedad fundamental de
los números racionales.
(Véase la siguiente diapositiva).
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Diapositiva 5-3-6
Propiedad fundamental de los
números racionales
Si a, b y k son enteros con b ≠ 0 y k ≠ 0, entonces
ak a
 .
bk b
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Diapositiva 5-3-7
Ejemplo: Escritura de una fracción en
términos simplificados
24
Escriba
en términos simplificados.
27
Solución
24 8  3 8

 .
27 9  3 9
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Diapositiva 5-3-8
Prueba de los productos cruzados para
verificar la igualdad de números racionales
a
c
and
, b  0, d  0,
Para los números racionales
y
b
d
a c

ifsiand
onlysiif a  d  b  c.
y solo
b d
a y d se conocen como “extremos”.
b y c se conocen como “medios”.
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Diapositiva 5-3-9
Suma y resta de números racionales
Si a y c son números racionales, entonces
b
d
a c ad  bc
 
b d
bd
y
a c ad  bc
 
.
b d
bd
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Diapositiva 5-3-10
Suma y resta de números racionales
En la práctica, en los problemas que implican
suma y resta de números racionales, primero se
rescriben las fracciones con el mínimo común
múltiplo de sus denominadores, conocido como
mínimo común denominador (MCD).
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Diapositiva 5-3-11
Ejemplo: Suma y resta de fracciones
Efectúe cada una de las operaciones.
4 2
a) 
9 15
4 2
b)

9 15
Solución
4 2 20 6 26
a)    
9 15 45 45 45
b)
4 2 20 6 14
 


9 15 45 45 45
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Diapositiva 5-3-12
Multiplicación de números racionales
Si a y c son números racionales, entonces
b
d
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a c a c
 
.
b d bd
Diapositiva 5-3-13
Ejemplo: Multiplicación de números
racionales
5 3
Encuentre el producto de  .
9 10
Solución
5 3 15 115 1
 


9 10 90 6 15 6
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Diapositiva 5-3-14
Definición de división
Si a y b son números reales, y b ≠ 0, entonces
a
1
 a .
b
b
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S Diapositiva 5-3-15
División de números racionales
Si
a
b
y
c
d
son números racionales, donde
c

  0 ,
d

entonces
a c a d ad
   
.
b d b c bc
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Diapositiva 5-3-16
Ejemplo: División de números racionales
Calcule el cociente de 2  5 .
9
6
Solución
2 5 2 6 12 4  3 4
   


9 6 9 5 45 15  3 15
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Diapositiva 5-3-17
Propiedad de densidad de los
números racionales
Si r y t son números racionales distintos, con r < t,
entonces existe un número racional s tal que
r < s < t.
Esto nos lleva a la conclusión de que existe una
cantidad infinita de números racionales entre dos
números racionales diferentes.
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Diapositiva 5-3-18
Media aritmética
Para obtener la media aritmética, o
promedio, de n números, se suman los
números y luego se divide la suma entre n. En
el caso de dos números, aquel número que se
encuentra a la mitad de ellos es el promedio.
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Diapositiva 5-3-19
Ejemplo: Obtención de la media
aritmética (promedio)
3 2
Obtenga el promedio de y .
5 3
Solución
3 2 9 10 19
   
5 3 15 15 15
Sume las fracciones.
19
19 1 19
2   
15
15 2 30
Divida la suma entre 2
para obtener la respuesta.
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Diapositiva 5-3-20
Forma decimal de los números
racionales
Cualquier número racional se puede expresar
como un decimal exacto o un decimal
periódico.
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Diapositiva 5-3-21
Criterios para decimales exactos o
periódicos
Un número racional en sus términos simplificados
tiene como resultado un decimal exacto si el
único factor primo del denominador es 2 o 5 (o
ambos).
Un número racional en sus términos simplificados
tiene como resultado un decimal periódico si
tiene un primo diferente a 2 o 5 en la factorización
con números primos del denominador.
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Diapositiva 5-3-22
Ejemplo: Determinar si un decimal es
exacto o periódico
Sin dividir, determine si la forma decimal de los
siguientes números racionales es exacta o periódica.
15
7
a)
b)
16
15
Solución
a) Periódica; hay un múltiplo de 3 en el
denominador.
b) Exacta; el denominador es 24.
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Diapositiva 5-3-23