División

INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA
CURSO DE INGRESO 2015
LENGUAJE ALGEBRAICO
1) Escribir en forma simbólica cada uno de los enunciados.
a) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble
de su producto.
b) El producto de dos potencias de la misma base es igual a otra potencia que tiene le misma
base que las anteriores y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las
potencias que se multiplican.
c) Las edades de los hermanos difieren en 6 años y el año próximo el hermano mayor tendrá
el doble de años que el menor.
d) El volumen de un cilindro es igual al producto de π por el cuadrado del radio de su base y
por su altura.
2) Las expresiones obtenidas en el ejercicio anterior, ¿valen para cualquier valor que se les
dé a las letras que intervienen en ellas?
3) Que expresión genérica le asociarías a la expresión:
(3+7)2 = 102 = 100
32 + 72*+ 2.3 .7 = 9 + 49 + 42 = 100
4) Si una identidad es una igualdad algebraica que vale para cualquier letra que intervenga
en ella. Completa las siguientes identidades:
(a – b)2 = ---------------------a2 – b2 = ----------------------an . bn =-----------------------a . (b + c) =---------------------
5) Que podrían deducir a partir de las identidades anteriores del ejercicio № 4.
6) Asocia cada expresión con su correspondiente expresión algebraica.
a) El triple del cuadrado de a
1) 3a / 4 + b
b) Las tres cuartas partes de un número más otro número
2) 7a + 13b
c) Las tres cuartas partes de la suma de dos números
3) 3.a2
d) Dos números pares consecutivos
4) 2n ; 2n+2
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e) Un múltiplo de 7 más un múltiplo de 13
5) ¾.(a+b)
7) Escribe un posible enunciado para cada una de estas expresiones algebraicas.
a) n + (n-1) + (n+1)
b) (2x+1) + (2x+3)
c) a + 1/a
8) a) Comprueba que la igualdad: 3.(a+b).(a-b) = 3.a2 – 3.b2.¿Se cumple para los valores
a=4; b=3?, ¿y para a=5; b=2?,¿Se cumple para cualquier valor de a y b?, ¿es una
identidad?.
b) Comprueba que la igualdad: 3(a+b).(a-b)=21.¿Se cumple para a=4; b=3. ¿Se cumple
también para a=5; b=2?,¿Se cumple para cualquier valor de a y b?, ¿es una identidad?.
9) De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identidades?.
a) a + a + a=3a
d) a + a + a=15
2
b) x . X = 27
c)
e) m2 – m – 6 = (m+2).(m-3)
x2 – 3x -5 = x2 + 2x +1 - 3
x-2
x-2
10) Completa de la forma más breve posible, el segundo término de estas igualdades para
que resulten identidades.
a) a . a . a . a . a = [ ? ]
a.a
b) 5a – 4 + a – a . a . a = [ ? ]
a.a
d) (1 – b).(1 + b) + b2 + a – 1= [ ? ]
b) a – b + a – c + a – b = [ ? ]
11) Escribe enunciados que permitan expresar verbalmente cada una de estas propiedades.
a) am . an = am+n
b)
n
√an = a
c) (a/b)n = an / bn
d) a . (b-c) = a.b – a.c
12) Escribe una ecuación, de una sola incógnita, para cada uno de estos enunciados.
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a) Queremos que la expresión 3x + 2x + 7 valga 27. ¿cuánto debe valer x?
b) Buscamos un número que sumado con su siguiente de 243. ¿Qué número será?
c) La base de un rectángulo es 3 cm más larga que la altura. El perímetro es 26 cm. ¿Cuál
es la altura?
d) Un matrimonio tiene tres hijos, cada uno le lleva al siguiente dos años. Entre los tres
suman 26 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
e) En un triángulo rectángulo los catetos son iguales y la hipotenusa mide 10 m. ¿Cuánto
miden los catetos?.
13) Completa la tabla
EXPRESIÓN
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
1_ La edad de Ángel
2_ La edad de Marisa
3_ La edad de Ángel es el triple de la edad de Marisa
4_ La edad de Ángel dentro de 5 años
5_ La edad de Marisa dentro de 5 años
6_ La edad de Ángel dentro de 5 años será el doble
de la que entonces tenga Marisa
Busca por tanteo, las edades de Ángel y Marisa.
14) Construye cuatro identidades igualando parejas de estas expresiones algebraicas.
a3 ;
a5 ;
a2
a2 - 1 ;
3b + a. a. a – 6b ;
2
(a+1).(a-1)
15) Al “sacar factor común” construimos una identidad. Hazlo en las siguientes expresiones.
a) 3a + 3b
b) 2 a2 + 6 a
c) X2 + x3
d) 12 a3 b2 – 8 a2 b4
e) a(x+1) + a(x-1)
f)
3ax + 3a + 2bx + 2b
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16) Completa los pares de valores (x,y) para que sean soluciones de cada ecuación.
x
Y= 3x – 4
X – y=4
1
2
y
x
5
0
8
2
4
y
26
0
25
9
17) Escribe una identidad con las letras a, b y c que necesite paréntesis en el primer
miembro y que carezca de paréntesis en el segundo.
18) Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a) El cuadrado de la diferencia de dos números.
b) La diferencia de los cuadrados de dos números.
c) La suma de tres números consecutivos.
d) Un número impar.
e) Un múltiplo de doce.
f)
La suma de dos impares consecutivos.
19) Expresa, mediante una ecuación, el enunciado de este problema: “si a el cuadrado de
cierto número le quitas su doble, obtendrás su quíntuplo”. ¿Cuál es ese número?.
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20) Expresa mediante una ecuación con dos incógnitas cada uno de los siguientes
enunciados.
a) La base de un rectángulo es igual al doble de la altura.
b) La suma de dos números es igual al triple del menor.
c) En un garaje, entre coches y motos, hay 26 ruedas.
21) Expresa en lenguaje algebraico, mediante un sistema de ecuaciones, cada uno de estos
enunciados:
a) La suma de dos números es 21 y su diferencia es 7.
b) La base de un rectángulo es 10 cm mayor que la altura y el perímetro de dicho
rectángulo es de 80 cm.
c) En un garaje el número de automóviles supera en 5 al de motocicletas. El número total
de ruedas es 30.
22) ¿Cuántos números enteros cumplen 1 < x < 2? ¿Cuáles son?, ¿Y cuántos números
racionales? Escribe algunos.
AUTOEVALUACIÓN
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1) Expresa, en lenguaje algebraico, las siguientes propiedades matemáticas:
A
a) El orden de factores no altera el producto.
b) Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, se
obtiene una fracción equivalente a la primera.
2) Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
a)
“Si me gasto 2/5 de lo que tengo, y 60 PTA, me quedaré con la mitad que al principio”.
b)
En un rectángulo, la base es el triple que la altura y el perímetro es 16 metros.
c)
Somos tres amigos. Entre los tres tenemos 2500 PTA. Nos vamos a comer cada uno una
hamburguesa de 300 PTA, después iremos al cine y aún nos sobrará algo.
3) Separa las identidades de las ecuaciones
d) (b+ (1/b) )2 = b2 + 2 + 1 / b2
a) a.(a+m)= a2 + a. m
e) (x+1).(x-1)= 0
b) a.(a+2) = 15
f)
c) 2x+3= 3x+2-x+1
1) Demuestre que es cierta la identidad:
2)
a) Saca factor común en:
b) Transforma en producto:
3x2 – 3 = 3(x+1).(x-1)
(x+2)2 – (x-2)2 = x
8
2x2 – 2x
2x2 – 2x + (x-1).(2x+1)
3) Codifica en una ecuación la condición que liga los siguientes datos: la edad de Alberto
dentro de 12 años será inferior en dos años al doble de su edad actual
B
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1. Asignar a cada frase la expresión, escrita en lenguaje matemático, que corresponda.
a. El doble de un número.
b. La tercera parte de un número, más dos.
c. La tercera parte de, un número más dos.
d. El triple de la quinta parte de un número.
e. La suma de dos números es igual a 18.
f. Un número multiplicado por si mismo
g. Un número más su anterior es igual a 29
h. La diferencia de dos números consecutivos elevado al cuadrado.
2. Considerando un rebaño de “x” ovejas determinar la expresión que representa cada caso
a. Número de patas del rebaño.
b. Número de patas si se mueren 6 ovejas.
c. Número de ovejas después de nacer 18 corderos.
d. Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año.
3. Dada las siguientes expresiones, redactar una frase que represente cada expresión.
a. 2𝑥 + 6
b.
1
𝑦
4
+2
c. 3 . (𝑥 + 1)
d. 𝑎 + 2𝑎 = 21
2
3
e. 1 − (5 + 5)
4. Expresar en lenguaje simbólico las siguientes afirmaciones
a. X es igual a la suma de los dos primeros números naturales.
b. X es un número menor o igual a 5
c. X está comprendido entre la primer y segunda centena.
d. X es un número real positivo menor que
7
3
e. X es un número impar.
5. Determinar cuál de las siguientes expresiones corresponde a la afirmación dada.
a. La suma de un número, su doble y su triple es 42
 A + B + C = 42
 X +X/2 + X/3 = 42
 X + 2X + 3X = 42
 (X +1) + (X +2) + (X+3)= 42
b. La suma de tres números consecutivos es igual a 61
 A + B + C = 61

 X + 2X + 3X = 61

(X +1) + (X +2) + (X+3)= 61
X + X + 1 + X + 2 = 61
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c. La suma de un número con su tercera parte
 X + X/3
 X + 3X


X + 1/3
3X + X/X
d. El recíproco de un número
 X
 -X


1/X
X2
e. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos
(Teorema de Pitágoras)


c2 = (a + b)2
2c = 2a + 2b

c2 = a2 + b2

c = √𝑎2 + 𝑏 2
6. Escribe el área de la zona sombreada en cada una de las figuras
a.
r
b.
x
4x
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c.
h
b-h
b
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NÚMEROS REALES
Introducción
El conjunto de números reales está formado por distintos
subconjuntos que fueron surgiendo para satisfacer distintas
necesidades.
A su vez el conjunto de números reales está contenido en otro
conjunto más amplio que es el conjunto de los números
complejos; el que da solución a problemáticas donde los
números reales no pueden satisfacerlas.
Ambos conjuntos son las “herramientas de cálculo” para
resolver distintos problemas en diferentes áreas y temáticas .
Números Naturales
El conjunto de los Números Naturales es el primer conjunto
numérico que surge con la necesidad del hombre de contar y
numerar objetos de la naturaleza:
N = {1,2,3,...,n,...}
Piensa:
Este conjunto, ¿tiene primer elemento?, ¿tiene úl timo elemento?,
¿cada uno de estos números tiene un siguiente?
De acuerdo a su respuesta analizar si coincide con las
proposiciones siguientes:
“1” es el primer elemento y precede a los demás.
“2” es el segundo elemento y precede a los demás.
Luego, dado cualquier número natural “n” siempre habrá un
número natural “n+1” que le sigue y no existe ningún número
natural entre “n” y “n+1”.
n+1 es el consecutivo de n
Por lo tanto:
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N es un conjunto ordenado.
Este conjunto no tiene último elemento, lo que indica que:
N es un conjunto infinito de números
Operaciones con los Números Naturales
Piensa:
¿Se puede realizar cualquier
Operación con los números naturales?
Los Números Naturales se pueden sumar y multiplicar.
El resultado de estas operaciones es siempre un número natural,
es decir:
Si a , b  N entonces a  b  N ; a  b  N
Esta propiedad se expresa diciendo:
”El conjunto de los números naturales es cerrado respecto de
las operaciones suma y producto”.
Números Enteros
¿Será posible realizar las siguientes operaciones en N?
2-6=?
5-5=?
3:7=?
Para dar solución a la primera diferencia surge la necesidad de
introducir el conjunto de los números “opuestos de los
naturales”.
Opuestos
de
los
Naturales:
son
los
números
naturales
precedidos por el signo menos (-).
Este conjunto se designa por –N, luego:
–N = {.....,-n,....,-3,-2,-1}.
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Con los números pertenecientes a –N, podemos representar
temperaturas bajo cero, saldos negativos en el banco, etc.
Para dar solución a la segunda diferencia surge la necesidad de
introducir el
“0” como la diferencia de cualquier número
natural consigo mismo.
0 N , 0  N
El conjunto formado por N, -N, y “0”, se llama”conjunto de los
números enteros” y se designa por Z, luego:
Z   N  0  N  ..., 3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ...
Conclusión: N  Z , es decir: “todo número natural es entero”.
Responde:
¿Cuál es el opuesto de 4?
¿Cuál es el opuesto de –3?
¿Si
a  N , q u é s i g n o t i e n e – a ?
Operaciones con los Números Enteros
Los números enteros se pueden sumar, restar, multiplicar. El
resultado de estas operaciones es siempre un número entero.
Si a , b  Z entonces a  b  Z ; a  b  Z ; a  b  Z
Esta propiedad se expresa diciendo:
“El conjunto de los números enteros es cerrado respecto de las
operaciones suma, diferencia, y producto”.
Números Racionales
Un problema tal como es la división de 8 en 2, muestra que esta
operación es posible en Z.
En cambio, no existe ningún número entero que sea el cociente
de dividir a 3 en 7.
Para dar solución a esta diferencia se introducen los números
“fraccionarios puros “y se designa por F
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Fraccionarios puros: son los números que pueden escribirse
como el cociente entre dos números enteros distintos de cero y
tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor.
Son racionales los números:
3
,
7
1
,
5
7
6
El conjunto formado por los números enteros y los fraccionarios
puros se llama “conjunto de los números racionales” y se
designa por Q, luego:
Q  ZF
Conclusión: Z  Q , es decir: “todo número entero es racional”.
“Un número racional se puede definir como el cociente entre dos
números enteros p y q, con q 0”.
Es decir:


p
Q   x x  , p, q  Z , q  0 
q


Proponer ejemplos.
Con los números fraccionarios podemos expresar “partes de la
unidad”.
Ejemplo: Repartir 29 kilos de pan entre 4 familias. No es posible
que cada familia reciba un número entero de kilos de pan. Se
entrega 7 kilos a cada una de las familias y sobra 1 kilo para
repartir entre las 4 familias.
Por lo tanto, se les da ¼ kilo de pan más a cada una de ellas .
“Con los números fraccionarios podemos representar situaciones
donde queremos dividir cada unidad en n partes y tomar m
partes de ellas”.
Operaciones con los Números Racionales
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Los números racionales se pueden sumar, restar, multiplicar, y
dividir. El resultado de estas operaciones es siempre un número
racional.
“Q es cerrado respecto de dichas operaciones”.
Recordar:
 Todo número entero se puede expresar como un número
racional con denominador 1.
 Todo número racional en el cual el numerador es múltiplo
del denominador es un número entero.
 No todo número racional es un número entero. (dar
ejemplos)
 Los números racionales se caracterizan porque pueden
escribirse como una expresión decimal infinita periódica.
Ejemplos:
2  2,0000...

29
 4,83
6
1
 0,2500 ...
4


5
 1,24 9
4
Números Irracionales
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Los números racionales no abarcan la totalidad de los números ni son suficientes para la
resolución de ciertos problemas de aritmética.
Por ejemplo:
Si x es un número tal que x 2  2 , puede demostrarse que x no es racional.
Existen números que no pueden representarse como el cociente
p
con p, q  Z , q  0 , es
q
decir, no son racionales.
Estos números tienen las característica de ser expresiones decimales infinitas no periódicas.
Este conjunto de números se llama “Conjunto de Números Irracionales” y se designa por “I”.
Son irracionales los números:
2  01,4142135......
  3,1415926.......
¿Qué otro ejemplos puedes dar?
Importante
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“El conjunto de los números Irracionales no es cerrado respecto de las cuatro operaciones
fundamentales”.
Números Reales
El conjunto formado por los números racionales ( Q ) y los números irracionales ( I ) forman un
nuevo conjunto llamado “conjunto de números reales “ y se designa por R.
Tanto los números racionales como los irracionales son números reales.
QI  R
Los conjuntos Q y I son disjuntos, esto significa que no tienen ningún elemento en común, luego:
QI  
Conclusión: Q  R ; I  R
R
Q
I
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Relación de contenencia de los conjuntos numéricos
N
Cero
-N
Números Naturales
0
Opuestos de Naturales
1, 2, 12, 17
-2, -8, -15,- 27
F
1
1
Z
Números Fraccionarios
Números Enteros
1 3 7
, ,
2 7 6
-15, -1, 0, 2, 11, 20
1
Q
I
Números Racionales
Números Irracionales
, -2, 0, 15
R
Números Reales

3
,
2
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Representación de los números reales
Si sobre una recta se fija un origen, un segmento unidad y un
sentido positivo, a cada punto de la recta le corresponde un
único número real y, a cada número real, le corresponde un
único punto de la recta. Por ello se llama recta real o recta
numérica.
0
1
Operaciones con los números reales
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Realiza estas operaciones:
0
1
?
2
10 10  ?
3 3 ?
3:
3
?
7
Observa: el resultado de cada una de ellas es un número real
Luego:
“El conjunto de los números reales es cerrado respecto a las
cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, producto y
cociente”.
Para trabajar con los números reales se tendrán en cuenta las
propiedades más importantes que verifican sus elementos.
Propiedades de la igualdad
1 . P r o p i e d a d R e f l e x i v a :  aR ; a  a
2 . P r o p i e d a d S i m é t r i c a :  a ,  b , a , bR ; a  b  b  a
3. Propiedad Transitiva:
 a ,  b ,  c ; a , b , c R ; a  b y b  c  a  c
4. Propiedad Uniforme:
 a ,  b , a , b  R : i) a  b  a  c  b  c
ii ) a  b  a  c  b  c ; c  0
Propiedades de las operaciones Suma y Producto
1. Propiedad conmutativa:
 a ,  b , a , bR
abba
,
ab  ba
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Ejemplos:
2+3=3+2
5=5
2·3=3·2
6=6
2. Propiedad asociativa:
 a ,  b ,  c ; a , b , c R
(a  b)  c  a  (b  c) ,
(a  b)  c  a  (b  c)
Ejemplos:
(2+3) +6 = 2 + (3+6)
5 +6 = 2 + 9
11 = 11
(2 · 8) · (-6) = 2 · (8 · (-6))
16· (-6) = 2 · (-48)
-96 = -96
3. Propiedad distributiva del producto respecto de la
suma:
 a ,  b ,  c , a , b , c R
(a + b) · c = a · c + b · c
,
c · (a + b) = c · a + c · b
+ 2) · (-3) = 5 · (-3) + 2 · (-3)
7 · (-3) = -15 – 6
-21 = -21
(-3) · (5 + 2) = (-3) ·5 + (-3) · 2
(-3) · 7 = -15 + (-6)
-21 = -21
4. Existencia de elementos neutros: existen dos números
r e a l e s y d i s t i n t o s , e l 0 y 1 t a l e s q u e  aR , s e v e r i f i c a
que:
a + 0 = a ; “0” neutro aditivo
a · 1 = a ; “1” neutro multiplicativo
Ej
e
m
pl
o:
(5
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Ejemplos:
3 + 0 = 3
,
1
1
 1 
5
5
5. Existencia de elementos inversos:
a )  a  R ;  !  a  R / a  (a)  0 ,
-a: inverso aditivo u opuesto de a.
b )  a  R ; a  0 ;  ! a 1  R / a  a 1  1 ,
a 1 
1
: inverso multiplicativo o recíproco de a.
a
Ejemplos:
6 + (-6) = 0
- 6 + 6=0
1
3  31  3.  1
3
1
31  3  .3  1
3
-6: es el opuesto de 6
6 : es el opuesto de -6
1
: es el recíproco de 3
3
1
3 : e s e l r e c í p r o c o d e 31 
3
31 
Importante:
0(cero) no tiene recíproco
Si bien tenemos una idea intuitiva de restar y dividir dos
números reales, a continuación se dan las definiciones rigurosas
usando el concepto de suma y producto.
Resta:
Definición: Dados dos números reales a y b, si existe un
único número real “x” tal que a+x = b, entonces x = b – a
y se llama diferencia entre b y a.
b – a = b + (-a)
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Ejemplo:
5  9  5  (9)  4
División:
Definición: Dados dos números reales a y b con
existe un único número real “x” tal que
x
b
y se llama cociente entre
a
b
 b . a 1 ; a  0
a
a·x = b
a 0, si
entonces
b y a.
Ejemplo:
4
1
 4.51  4.
5
5
Importante:
 a R ; a  0 s e v e r i f i c a q u e :

a
1 porque
a
a · 1 = a
por definición

0
0 porque
a
a · 0 = 0
por definición


a
no está definido porque no existe un único número que
0
multiplicado por 0 sea igual a “a”.
0
no se puede resolver, porque existen
infinitos
0
números que multiplicados por 0 dan como resultado 0.
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Conclusión:
“ No es posible la división por cero”
Propiedad:
“La división es distributiva con respecto a la suma y resta
solamente por derecha”
O sea:
 a ,  b ,  c ; a , b , c R ; c  0
(a + b) : c = a : c + b : c
(a – b) : c= a : c – b : c
Ejemplos:
4 6
2
 
3 3
3
2
( 2 ) : 3  
3
4  6  :
2 5
 1
7 7
7: 71
2  5 :
7
3
Contraejemplo:
2 2

7 3
1
2 2 20
2 : 10 

 
5
7 3 21
1 20

5 21
2 : 7  3  
Es un ejemplo para verificar que no es cierta la propiedad.
Potenciación
D e f i n i c i ó n :  a R y  n N s e d e f i n e l a p o t e n c i a e n é s i m a d e
“a”, como el producto de “n” factores iguales a “a”.
Es decir: an = a · a · .... · a
D o n d e : “ a ” e s l a b a s e d e l a p o t e n cni a f a c t o r e s
“n” es el exponente de la potencia
“an” es la potencia enésima de a.
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Ejemplo:
23  2  2  2  8
2
1 1 1
1
    
4 4 16
4
Conclusión:
“ La potencia solo es negativa cuando la base es negativa y el
exponente impar”. En todos los otros casos es positiva.
Propiedades de la Potenciación:
1) “El producto de potencia de igual base es otra potencia cuya
base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes
dados”.
Es decir:
Si a  R y m , n  N , entonces a m  a n  a m  n
Recíprocamente:
Si a  R ,  m ,  n , m , n  N : a m  n  a m  a n
Ejemplo: 32·33 = 9·27 =243
32+3 = 35 = 243
2) “El cociente de potencias de igual base (no nula) es otra
potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la
diferencia de los exponentes dados”.
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Es decir:
S i a  R ; a  0 , m, n  N con m  n e n t o n c e s :
am
an
 am n
Recíprocamente:
Ejemplo:
23
2
 a  R , a  0 ,  m ,  n , m , n  N ; m  n : a m n 

am
an
8
2
4
2
232  21  2
3) “La potencia de otra potencia es otra potencia cuya base es la
misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes
dados”.
Es decir:
 n  amn
Si a  R y m , n  N , entonces a m
Recíprocamente:
a  R, m, n, m, n  N : a m  n   a m 


n
2
2
 1  2 
1
 1 
E j e m p l o :       
256
 16 
 4  
1
 
4
22
4
1
1
  
256
4
4) “La potencia de un producto es igual al producto de las
potencias de cada uno de los factores”.
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Es decir:
si a, b  R y m  N, entonces : a  bn  an  bn
Recíprocamente:
a, b  R y n  N : an  bn  a  bn
Ejemplo:
3   2 2   62  36
32   2 2  9  4  36
x  y3  x3  y3
5) “La potencia de un cociente (con denominador no nulo) es
igual a la potencia del numerador dividida por la potencia del
denominador”.
Es decir:
n
an
a
si a , b  R ; b  0 y n  N , entonces :    n
b
b
Recíprocamente:
an  a 
 a,  b, a, b  R, b  0 , n  N, entonces: n   
b b
n
Ejemplo:
2
2
1
2 1
    
4
4 2
22
4
2

4 1

16 4
Conclusión:
“La potenciación no es distributiva respecto de la suma ni de la
resta”
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a  bn  an  bn
Ejemplo:
2  52  7 2  49
2 2  52  4  25  29
2  52  2 2  52
49  29
Potencia de exponente entero
Extendemos todas las consideraciones anteriores para el caso en
que el exponente sea cero o entero negativo. Esta extensión debe
preservar las propiedades antes mencionadas.
am
 am  n
an
1) Si m=n (exponente cero)
Vimos:
am
an

an
an
 a n  n  a 0  1;
n
an
a
    1n  1
n
a
a
()
Es decir: “toda potencia de exponente cero y base distinta de
cero es igual a 1”.
Ejemplo:
35
35
3
55
0
 3  1.
35
5
 3
    15  1
5
3
 3
2) Si m<n (exponente negativo)
m n0 o n m0
am
an
 am  n  a  n  m  
1
an m
1
 
a
n m
()
Es decir: “toda potencia de exponente negativo se puede escribir
como potencia positiva invirtiendo la base de la potencia dada”.
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Ejemplo:
1)
33
35
33
35

 33  5  3 2
33
33
33
33
1
  5  3  3  5  3 3  2 3  2  3  2
3
3
3
3 3
3
35  3  3
2
1
1
3 2    
9
3
2)
 2


 5 


2

1
 2


 5 


 2

o b i e n : 

 5 
2
2

1 25

2
2
25
2
25
 5 

 
2
 2
De  y  podemos decir que la propiedad 2 sigue siendo válida
para m y n  Z es decir:
am
 am  n
an
podemos
demostrar
a  R y a  0 m , n , m , n  Z :
De
la
misma
forma
que
las
otras
propiedades siguen siendo válidas para m y n números enteros.
Radicación
Definición: Dado un número real “a” y un número entero
positivo “n”, se llama raíz enésima de “a” a otro número
real “x” tal que “x” elevado a “n” es igual a “a”.
E s d e c i r : a  R, n  N;
n
a  x  xn  a
donde: “n” es el índice de la raíz
“x” es la raíz enésima de “a”
“a” es el radicando
“
Ejemplos:
5
” es el signo radical.
32  2 p o r q u e 2 5  32
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3
 8  2 p o r q u e
 2 3  8
Atención:
 Si el índice es impar, la raíz real es única y del
mismo
signo
que
el
radicando.
Ejemplo:
3
 8  2
porque
y
 23  8
 Si el índice es par, existen 2 raíces reales
opuestas. Elegimos en este caso como resultado la raíz positiva,
a la cual denominamos raíz principal o raíz aritmética. Ejemplo:
9 3 ;
Otro
4
81  3
ejemplo:
 9  x  x2  9 .
No
existe
n
número
real
cuyo
cuadrado sea igual a –9.  9 no tiene solución en R.
Atención: Ninguna raíz de índice par y radicando negativo tiene
solución en R.
La radicación no es cerrada en R.
Por lo antedicho, podemos expresar la definición dada de la
siguiente manera:
a  R; n  N :
n
a  x  xn  a
bajo la condición de que si “n” es par entonces a es mayor o
igual a cero.
Propiedades
a , b , a , b  R , m , n , m , n  N , m y n pares  a  0 y b  0
b0 valen las siguientes propiedades:
1)
n
ab  n a n b
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2)
n
3)
mn
4)
a:b  n a :n b
n p
b0
a  mn a
a m p  n a m ; p  N
Recíprocamente:
1)
n
a n b n ab
2)
n
a :n b  n a:b
3)
mn
4)
n
b0
a m n a
am 
n p
a m p ; p  N
Proponer
ejemplos
mencionadas.
para
cada
una
de
las
propiedades
Importante:
La radicación no es distributiva respecto de la adición ni de la resta:
n
Ejemplo:
25  25  50
25  25  5  5  10
ab na nb
50  10
Operaciones con radicales
Radicales semejantes: Son aquellos radicales que tienen el
mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplo:
2 3
y  5 3
son
radicales
semejantes
cuyos
coeficientes son 2 y –5.
Sumas algebraicas de radicales: La suma algebraica de
radicales semejantes es otro radical semejante a los dados,
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cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes
de los radicales dados.
E j e m p l o : 2 5  5  3 5  5  2  1  3  4 5
Aplicando propiedades, se reducen los radicales de
expresión dada a radicales semejantes para poder operar:
3
Ejemplo:
8 2

3
24  3 8   1  2

3

8  3  3 8  3  1  2
3 8  123 3 2 123 3
3

Cuando los radicales no se pueden
semejantes, la operación queda indicada.
una
8 3 3 
reducir
a
radicales
Racionalización del divisor
Se llama racionalización de una expresión fraccionaria al
procedimiento mediante el cual se logra que el denominador sea
un número racional.
Consideremos los siguientes casos:
1) El denominador es un número que contiene un radical
a) El radical es de índice 2
3
Ejemplo:
8
¿Por
qué
número
multiplicamos
8
para
obtener
un
número
racional?
Si multiplicamos a
8 por
8 obtenemos:
8  8  82  8
Entonces multiplicamos al numerador y al denominador por
no se altera
racionalizado.
el
cociente
dado
3 8
3
3 8


8
8
8 8
Denominador
Denominador
y
el
denominador
8,
queda
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Irracional
Racional
b) El radical no es índice 2
En este caso conviene multiplicar por otro radical del mismo
índice que el del denominador, de tal modo que en el radical
que se obtenga, todos los exponente de las potencias del
radicando sean múltiplo del índice.
Ejemplo: i)
1
5
5

53
5
1
53

1
5

53
5
1  52
5
5
53  52

5
52
5
55

5
52
5
x
ii)
3
a  b6  c8
Multiplicamos
numerador
y
denominador
por
3
a2  c .
El
exponente de b no se modifica pues es múltiplo de 3.
x
3
a  b6  c8

3
x  a2  c
3
3
a  b6  c8  a 2  c

3
x  a2  c
3
a 3  b6  c9

3
x  a2  c
a  b2  c3
2) El denominador es un binomio
cuadráticos
Ejemplos:
3
a)
(denominador irracional)
5 2
que
contiene
radicales
Para obtener un número racional, multiplicamos numerador y
5  2 (conjugado de
denominador por
5 2)
Utilizando el resultado: (a+b)·(a -b)=a2-b2, obtenemos:
1

5 2

c)
5 2
3



 
  5    2 2
5 2

5 2 5 2


5 2
2
 Denominador racional

5 2

52
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



 2  1  2 3  3 
13


 
3  2   2  3 

 2  3
1 3 1 3  1 3 1 3  3  3


2
1 3 1 3  1 3
12  3
42
2

2
Potencia de exponente racional
Usando el concepto de radicación, extendemos la definición de
potenciación para el caso de exponentes racionales.
D e f i n i c i ó n : a  R , n  N a  0 cuando n es par ;
1
n
a
na
Ejemplos:
1
a ) 64 3  3 64  4
b)
1
2
9
 9 3
m
¿Qué podemos decir respecto de
a n ; m , n  N, a  R
(a 0 si n es
par)?
Como
m 1
1
podemos escribir:
 m m
n n
n
m
m
1
1
 1
m
m
n


n
n
n
ó
 a
 a
a a
 am n  n a m
 
 
De estas consideraciones surge la siguiente definición:
m
an
1
m
n
a
 
 
D e f i n i c i ó n : a  R ; m, n , m, n  N, ( a  0 s i n e s p a r ) :
Ejemplos:
a)
b)
2
125 3
3 125 2  52  25
4
4
 8 3  3  8    2 4  16

m
an
 n am 
n a m
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c)
 9  2    9  y
3
3
9 no está definida en R.
Desigualdades
Una propiedad importante de los números reales que se puede
ordenar.
Los números reales distintos de cero se dividen dos conjuntos,
los reales positivos (R+) y los reales negativos (R-).
Definición: Dados dos números a y b, decimos que a>b si y solo
si
a-b
es
positivo.
Es
decir:
 a  R ,  b  R ; a  b  a  b  p ; p  R  a  b  a  b  0 .
G e o mé t ric am en te : a> b a e st á a la der e ch a de b en l a re c ta .
b
a
Ejemplos:
a)
6  3  6  3  3  R . P o r l o t a n t o 6 e s t á a l a d e r e c h a d e 3 n l a
recta real.
b)
0
c)
3
6
 5  (7)  2 ; 2  R    5  7
Definición: Dados dos números reales a y b decimos que a< b si y
solo
si
aes
negativo.
Es
decir:
a  R,  b  R , a  b  a   q , q  R  a  b  a  b  0 .
Geométricamente: a<b si y solo si a está a la izquierda de b en
la recta real.
a
b
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Otros símbolos de desigualdad son:
“ ” que se lee mayor o igual
abab ó ab
“ ” que se lee menor o igual
abab ó ab
Ejemplo:
Exprese en símbolos los siguientes enunciados:
a) a es un número que puede valer a lo sumo cuatro.
a4
b) La diferencia de x y 5 s inferior a 7.
x-5<7
c) Exprese con notación de conjunto l siguiente enunciado:
a es un número racional que supera a -
3
.
2
3

a  Q / a   
2

Propiedades de las desigualdades
1. Propiedad transitiva:
 a,  b,  c, a , b , c  R ; a  b y b  c  a  c
2. Propiedad de monotonía de la adición:
 a,  b,  c, a , b , c  R ; a  b  a  c  b  c
3. Propiedad de monotonía de la multiplicación y la adición
 a,  b,  c, a , b , c  R
i)
ii)
a b

c c
a b
a  b y c0 a c bc y

c c
a  b y c 0 a c  bc y
Doble desigualdad
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A dos desigualdades de igual sentido que se verifican
simultáneamente, las podemos escribir juntas como una doble
desigualdad.
Si a  b y b  c  a  b  c
Resolver los siguientes cálculos combinados:
1) a ) (1,2 − 0, 2̂) ∶
7
8
3
b ) √1 −
1
1
9
− 0, 7̂ =
−9
7
+ (
1
c ) √2 . √2 + 2−1 ∶
1
4
2
7
̂+ ) =
.0, 25
+ √0,04 =
−1
d ) 2 . √2, 7̂ − (1, 3̂) .0,04̂ + 2−2 =
4
1
25
3
e ) 0,08̂ . [(2) . √8 + √64] − 0,26̂ =
2) Sumar los siguientes radicales
a ) √27 − √50 + √12 + √8 =
3
b ) 5√125 + 6 √45 − 7√20 + 2 √80 =
3
3
3
3
c ) 3 √16 − 2√250 + 5√54 − 4√2 =
3) Racionalizar
a)
√2 −3
√2+ 3
=
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b)
2
=
4
√2𝑥 2 𝑦 3
c)2
3
√3−√5
=
4) Hallar el o los valores de “x”, representar en la recta numérica.
a)
𝑥+5+2𝑥+3
2
=
9𝑥+6−3𝑥
3
b ) 5 . (𝑥 − 4) = 2. (𝑥 − 5)
1
c ) √2 𝑥 − 1 = 4
d ) −3(𝑥 − 5) < −2 (5𝑥 + 1)
e ) 5 (2𝑥 − 4) > 4(𝑥 − 1) + 𝑥
f)
1
2
2
3
. (𝑥 − 3) ≤ − (3𝑥 − 5)
TRABAJO PRÁCTICO
1. Clasificar los siguientes números indicando al conjunto al que pertenecen y luego da una
relación de inclusión desde éste conjunto hasta llegar al conjunto de los números Reales.
𝟕, 𝟓
𝟐
𝟔
𝟔
𝟐
√𝟖
𝟐
𝟒
−𝟑 √𝟏𝟔
𝟎
𝟏𝟐
− 𝟏𝟕
𝟒𝟕
𝟑
√−𝟐𝟕
𝟎
𝟏
𝟏
2𝟓
𝟏
̂
𝟔𝟑, 𝟓𝟑
2. Dados los siguientes números convertir en fracción aquellos que no se encuentre
𝑎
𝑟
expresados como tal. Luego las fracciones obtenidas expresarlas como: 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 ;
aplicando el algoritmo de la división.
3,1
3
54
4, 555 …
10, 4222 …
50
3
52
13
(−3)
8
3. Ubicar los siguientes números en la recta numérica.
−
16
6
33
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−
3
5
2,5
12
7
3
√2
√8
− √7
4. Resolver las siguientes operaciones combinadas y analizar en cada caso las propiedades
utilizadas.
a. [82 + 23 − 2. (15 + 5) − 2] + 5. (4 − 8) =
b.
1
2
[(5+ − 2) . 4,7 + 6]+ 4 − (
−√9
3
3
5
3
13 1
− )
3
2
2
4
=
3
7
0
c. (√(4 + 1) : 2 + 2 + 2) . [√(7 − 1) . (−8) + 2] =
5. Aplica las propiedades de la potencia para reducir las siguientes expresiones
a. 𝑎4 . (−𝑎) ∶ 𝑎2
b.
𝑥 .𝑥 . 𝑥 3
(𝑥 .𝑦)2
c.
102𝑛+1
10𝑛+1
d.
e.
.
3𝑦
6𝑥 2
[(2𝑥+3𝑥)2 ]
−3
. 125𝑥 10
25𝑥 2
10𝑥+𝑦 .10𝑦−𝑥 .10𝑦+1
10𝑦+1 .102𝑦+1
6. Teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación, demostrar que:
∀𝑎 ≠ 0 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎0 = 1
7. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores:
𝑎 = 0,027
a. 𝑎−𝑚 . 𝑎𝑛/𝑚 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 { 𝑛 = 2
𝑚=3
𝑎
= 0,002
𝑚
b. 𝑎𝑛 : (𝑎𝑛 )𝑚 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 { 𝑛 = 2
𝑚=0
8. Resolver aplicando las propiedades de la radicación
3
a. √4 .16 + √27 =
4
16
b. √256 =
c. 3√2 − √8 =
1/3
d. (√64) =
4
e. 4√𝑎 . √𝑎3 + 2𝑎 =
𝟑
f. √𝒂 . √𝒂𝟐 =
3
4
g. 5 . √3 .2 √√9 =
3
4
h. 2√𝑚 . 8√𝑚2 . 3√𝑚3 =
i. (2√3 . 4. 41/2 ) + 5√12 − (√4 . √3) =
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𝟑
j.
k.
𝟑
√𝟐 . √𝟑𝟐
𝟑
√𝟖
3
√3 .𝑚4/3
=
=
9
√27𝑚2
9. Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones.
𝟓
a.
𝟑
b.
𝟓
c.
𝟑
√𝟒
𝟐
√𝟐𝒙𝟐
𝟏
√𝟐𝟒
√𝟐√𝟐 𝟑√𝟐
d.
=
𝟒
√𝟖
𝟒
𝒑
𝟔
𝒒
e. √ ∶ √ =
𝒒
𝒑
f.
g.
𝟐
𝟐−√𝟓
𝟐√𝟑−𝟑√𝟐
𝟐√𝟑+𝟑√𝟐
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10. Sabiendo que el perímetro de un rectángulo es de 12√3 cm y la base tiene una longitud de
√3 cm. Determinar la altura del rectángulo.
11. Determinar la superficie del sector sombreado sabiendo que la altura (paralela a la base del
rectángulo) del triángulo es la tercera parte del lado mayor del rectángulo.
√ 3√16
3
√54
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