Integrales inmediatas

BLOQUE 2 CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRALES INDEFINIDAS
1.- Primeras definiciones .Propiedades
Def: Se dice que F es FUNCIÓN PRIMITIVA de f si F´=f
EJEMPLO: Es evidente que x2 es una primitiva de 2x ya que (x2)´=2x
Pero también x2+1 es primitiva de 2x ya que (x2+1)´=2x y
x2 -3 es primitiva de 2x ya que (x2-3)´=2x.
En general, ( x2+C) es primitiva de 2x ya que (x2+C)´=2x.
Def: Se llama INTEGRAL INDEFINIDA al conjunto de infinitas primitivas de una función,
designándose por  f(x) dx .
NOTAS:
(1) dx indica la variable respecto de la cual vamos a integrar
(2) No todas las funciones tienen integral, De hecho, no existe
e
-x 2
dx
PROPIEDADES:
1)
 (f  g) dx   f dx   g dx
EJEMPLO:  (e x  cos x) dx   e x dx   cos x dx  e x  sen x  C
2)
 kf dx  k  f dx
EJEMPLO:
3
1
 x dx  3 x dx  3  ln x  C
2.-Métodos de integración
Aunque se pueda considerar la integración como el proceso contrario a la derivación, el método de
cálculo es radicalmente distinto. En este caso, nos encontramos más ante un proceso deductivo que
ante uno puramente mecánico.
Pese a esto, existen una serie de modelos a los que las integrales se pueden ajustar.
1.- Integrales inmediatas
2.- Integrales por partes
3.- Integrales racionales.
4.- Integrales trigonométricas
5.- Integrales por cambio de variable.
3.-Integrales inmediatas
Su nombre no se debe a su sencillez sino a la duración del proceso de cálculo. Existen unos cuantos
subtipos, consecuencia de los subtipos existentes en las derivadas,
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
TIPOS
SIMPLE
x
 x dx  n  1
1
 x dx  ln x
x
x
 e dx  e
f n1
 f  f ' dx  n  1
f'
 f dx  ln f
f
f
 e  f ' dx  e
ax
 a dx  lna
 cos x dx  sen x
af
 a  f ' dx  lna
 cos f  f ' dx  sen f
 sen x dx   cos x
2
 sec x dx  tg x
2
 1  tg x  dx  tg x
 sen f  f ' dx   cos f
2
 sec f  f ' dx  tg f
2
 1  tg f   f ' dx  tg f
n
Potencial(n≠-1)
Logarítmico
Exponencial
COMPUESTA
n 1
n
x
Seno
Coseno
Tangente
1
 cos
f
f'
 cos
dx  tg x
2
Cotangente
 1  cotg x  dx  cotg x
2
1
 sen
2

Arco seno
Arco tangente

x
1 - x2
1
2
f'
dx  cotg f
f
f'
 1 - f 2 dx  arc sen f
f'
f
 a 2 - f 2 dx  arc sen a
f'
 1  f 2 dx  arc tg f
f'
1
f
 a 2  f 2 dx  a arc tg a
2
dx  arc sen x
dx  arc sen
 1  cotg f  f ' dx  cotg f
 sen
dx  cotg x
1
dx  tg f
f
2
 cosec f  f ' dx  cotg f
2
x
2
 cosec x dx  cotg x
x
a
a 2 - x2
1
 1  x2 dx  arc tg x
1
1
x
 a 2  x2 dx  a arc tg a
NOTA GENERAL
El cálculo de integrales inmediatas consiste en identificar el tipo de integral que nos den conforme a
la tabla anterior (normalmente en las compuestas) y hacer los cálculos necesarios (escribiendo la
expresión de otra manera, añadiendo constantes…) y resolver.
NOTAS PARTICULARES

1.- Potencial: f n  f ' dx 
f n 1
+C
n 1

Probablemente la integral inmediata más complicada de ver debido a las muchas formas
que puede tener una potencia.

Hay que saber que
n
1
 x n (potencias de exponente negativo) , m x n  x m ( potencias de
xn
1
exponente fraccionario) y la combinación de ambas

xn
x
n
m
El único caso de potencia que no es potencial, es cuando el exponente es -1, en el que la
integral no es potencial sino logarítmica.
2.- Logarítmica: 



m

f'
dx  ln f +C
f
Debemos tener o poder conseguir la derivada del denominador en el numerador
Es imprescindible tener un cociente
El valor absoluto es obligatorio en integrales definidas (más adelante)
3.- Exponencial


4.- Seno:
f
f
 e  f ' dx  e  C
f
 a  f ' dx 
ó
af
C
lna
Debemos tener o poder conseguir la derivada del exponente
Es obligatorio tener una exponencial
 cos f  f ' dx  sen f +C
5.- Coseno:  sen f  f ' dx   cos f +C
6.-Tangente:
 sec f  f ' dx  tg f  C
2
ó
 1  tg f  f ' dx  tg f  C
2
ó
f'
 cos
2
f
dx  tg f  C
7.- Cotangente:
 cosec

2
f  f ' dx  cotg f  C


ó  1  cotg 2 f  f ' dx  cotg f  C
ó
f'
 sen
2
f
En ambos casos la integral más difícil de detectar es la última versión que luego puede ser
confundida con una integral trigonométrica
dx  cotg f  C
8.- Arco seno:

9.- Arco tangente:

f'
1- f 2
dx  arc sen f  C
f'
 1 f
2
dx  arc tg f  C
ó
ó

f
dx  arc sen  C
a
a2 -f 2
a
f'
2
f'
1
f
dx  arc tg  C
2
a
a
f
En estos casos es importante darse cuenta de que en el numerador necesitamos la derivada
de la función que está al cuadrado y no del cuadrado en sí
NOTA FINAL IMPORTANTE
Es evidente que no siempre nos van a dar la integral ajustada exactamente a los modelos expuestos
anteriormente. Va a haber muchas veces que cuando tengamos una integral delante de nosotros
deberemos cambiarle el aspecto para conseguirlo. La técnica más importante (aunque no la única)
para conseguirlo es completar la derivada usando constantes.
EJEMPLOS
 sen 2x dx  esta integral no es inmediata ya que como f=2x, nos falta la derivada
=
f’=2
1
1
1
1
 2  sen 2x dx    2  sen 2x dx   ( cos 2 x)    cos 2 x  C
2
2
2
2
En este caso, conseguimos resolver la integral porque la derivada es obtenida multiplicando
por una constante y esta pude ser sacada fuera. Veamos que en la siguiente situación, no se
puede repetir el proceso.
 sen x
1
2
dx  esta integral no es inmediata ya que como f=x2, nos falta la derivada f ’ = 2x
 2x  2x  sen x
2
dx pero aquí no podemos sacar fuera de la integra l
, con lo que esta integral o se puede resolver de este modo.
1
ya que contiene x
2x
Antes de continuar con el resto de los métodos, hay que dominar este tipo de integrales, porque de
aquí en adelante lo único que haremos es realizar cálculos para transformar la integral dada en una o
varias inmediatas.
4.-Integrales por partes
Se pueden resolver por la fórmula  u  dv  u  v   v  du , que puede ser fácilmente recordada
por la frase “Un día vi un viajero vestido de uniforme”, aunque se conocen otras versiones más o
menos cómicas.
La fórmula puede ser probada de modo sencillo. En efecto, si diferenciamos:
d (uv)  u  dv  v  du  u  dv  d (uv)  v  du  de dondesi integramos en ambosmiembros
 u  dv  u  v   v  du
Las integrales por partes se pueden generalizar en tres casos
CASO 1 : Producto de polinomio por función trigonométrica (seno , coseno) o exponencial
Se toma como u al polinomio y como dv la función trigonométrica o exponencial y se aplica el
método tantas veces como indique el grado del polinomio
Ejemplo:
 x cos x dx  [PARTES] =[u=x → du= 2x dx ; dv= cos x dx→ v = sen x ] =x senx  2x sen x dx  [PARTES]= [u=2x→ du= 2 dx ; dv= sen x dx → v = - cos x ]= x senx - (-2x cos
x -  2 (-cos x) dx   x senx + 2x cos x - 2  cos x dx = x senx + 2x cos x - 2  sen x +C
2
2
2
2
2
2
CASO 2 : Producto de polinomio por función trascendente (logaritmo, arco tangente o arco
seno)
Se toma como u a la función trascendente y como dv la función polinómica y se aplica el método y
aparecerá una integral más sencilla (inmediata, racional o por partes ora vez)
Ejemplo:
1
 ln x dx  [PARTES] =[u=ln x → du= 1/x dx ; dv= 1 dx → v = x ] = x lnx -  x  x dx 
x lnx
-  1dx  x lnx – x+ C
CASO 3: Producto de función exponencial por función trigonométrica (seno, coseno)
En este caso, se aplica el método por partes dos veces y se despeja la integral que se desea, sin
obligación de elegir ninguna de las dos funciones como u.
Ejemplo:
e
e
x
cos x dx  [PARTES] =[u=e-x → du=- e-x dx ; dv= cos x dx→ v = sen x ] =e-x senx -
x
sen x dx  [PARTES] =[u=e-x → du=- e-x dx ; dv= sen x dx→ v = -cos x ] =e-x senx -( e-x

cos x -  e  x (-cos x) dx  e-x senx -e-x cos x -  e  x cos x dx
Con lo que si unimos el principio con el final queda:
e
x
cos x dx  e-x senx -e-x cos x -  e  x cos x dx
Despejamos:
2  e  x cos x dx  e-x senx -e-x cos x .
Con lo que el resultado final es :
e -x senx - e -x cos x
 C.
 e cos x dx 
2
x
Nota:
Una regla mnemotécnica para recordar consiste en elegir para derivar (u) la función cuya inicial vaya
antes en la palabra ALPES
Arcoseno/arctotgte
Logaritmo
Polinomio
Exponencial
Seno/coseno
5.-Integrales racionales
Son aquellas que se componen del cociente de dos polinomios .Según la relación entre los grados
del numerador y el denominador, se dan dos casos.
Caso 1: Grado numerador ≥grado denominador
En este caso se realiza la división polinómica y se aplica la fórmula D= d●c +r, pero despejada, es
decir
D
r
c .
d
d
La integral de c (cociente) será inmediata al ser un polinomio, mientras que la de
r
, si tenemos
d
suerte será inmediata (log), pero lo normal es que haya que aplicar el caso 2 de integrales racionales
que expondremos a continuación.
Ejemplo:
x3  2 x2  x  1
 x2  3x  2 dx  Realizamos la división polinómica = c(x)=x+1 , r(x) = 2x-3 =
2x - 3
2x - 3 

  x  1  x2  3x  2 dx  Separamos =  x dx  1 dx +  x 2  3x  2 dx 
x2
 x  ln x 2  3x  2  C
2
Caso 2: Grado numerador <grado denominador
Para resolver estas integrales, se factoriza el denominador en factores irreducibles, a cada uno de los
cuales y según el tipo de raíces, se les asocia un sumando con un coeficiente indeterminado.
Se unen todos estos sumandos y se hallan los coeficientes indeterminados, quedando el cociente
original descompuesto en suma de cocientes cuya integral será inmediata.
Veamos según el tipo de raíz obtenida en el denominador, qué tipo de sumando se le asocia y qué
primitiva termina surgiendo de ese sumando.
a) Raíz real simple
SUMANDO :
A
,
x-a
RESOLUCIÓN: se resuelve como una integral de tipo logarítmica
b) Raíz real múltiple
SUMANDOS:
An
A1
  
n
x  a 
x - a 
RESOLUCIÓN: las n-1 primeras integrales serán potenciales y sólo la última se resuelve
como una integral de tipo logarítmica.
c) Factor cuadrático irreducible
SUMANDO:
Mx  N
ax 2  bx  c
RESOLUCIÓN: Se trata de una integral neperiano-arco tangente
Ejemplo 1: Calcular la integral
x
2
1
dx
4
Primer paso: descomposición factorial del denominador
x 2  4 =(x+2) (x-2)
Segundo paso: Descomposición en fracciones simples
1
A
B


x 4 x2 x2
2
Hacemos común denominador a la derecha e igualamos:
1=A(x-2)+B(x+2)
Para calcular A y B se puede dar cualquier valor pero lo más fácil son las raíces ,
es decir 2 , -2.
Para x=2 →1 = 4B→B=1/4
Para x=-2 →1 = -4A→A=-1/4
Tercer paso: integración.
1 
 -1
1
1
1
1
 4  4 dx  - 1
dx

 x 2  4   x  2 x  2  4  x  2 dx  4  x  2 dx 


-1
1
ln x  1  ln x  2  C
4
4
Ejemplo 2: Calcular la integral
x
3
3x  5
dx
 x2  x  1
Primer paso: descomposición factorial del denominador
x 3  x 2  x  1 =(x+1) (x-1)2
Segundo paso: Descomposición en fracciones simples
3x  5
A
B
C



2
2
x  x  x  1 x  1 x  1 x  1
3
Hacemos común denominador a la derecha e igualamos:
3x+5=A(x-1)2+B(x+1)+C(x+1)(x-1)
Para calcular A, B,C se puede dar cualquier valor pero lo más fácil son las raíces
, es decir 1 , -1 y otro valor fácil como 0 .
Para x=1 →8 = 2B→B=4
Para x=-1 →2 = 4A→A=1/2
Para x=0 →5 =A+ B-C→C=-1/2
Tercer paso: integración.
-1 
 1
3x  5
1
1 1
 2  4  2 dx  1 1 dx  4
dx

 x3  x2  x  1   x  1 x  12 x  1  2  x  1
 x  12 dx  2  x  1 dx 


x  1  1 ln x  1  1 ln x  1  4 1  1 ln x  1  C
1
ln x  1  4
2
1
2
2
x 1 2
1
Ejemplo 3: Calcular la integral
x
3
1
dx
1
Primer paso: descomposición factorial del denominador
x 3  1 =(x+1) (x2-x+1)
Segundo paso: Descomposición en fracciones simples
1
A
Mx  N

 2
x  1 x  1 x  x 1
3
Hacemos común denominador a la derecha e igualamos:
1=A(x2-x+1)+(Mx+N)(x+1)
Para calcular A, M,N se puede dar cualquier valor pero lo más fácil son las
raíces -1 , y otros valor fáciles como 0 y 1 .
Para x=-1 →1 = 3A→A=1/3
Para x=0 →1 = A+N→N=2/3
Para x=1 →1 =A+ 2M+2N→M=-1/3
Tercer paso: integración.
Aparecen una integral logarítmica y otra neperiano-arco tangente
x
3
1
1
1
1
x-2
1
1
dx  
dx   2
dx  ln x  1  I1
1
3 x 1
3 x -x 1
3
3
Calcularemos aparte I1.En primer lugar obtendremos la integral de tipo logarítmico
x-2
1 2x - 4
1 2x - 1 - 3
1
2x - 1
3
1
dx   2
dx   2
dx   2
dx   2
dx 
- x 1
2 x - x 1
2 x - x 1
2 x - x 1
2 x - x 1
1
3
ln x 2 - x  1  I 2
2
2
x
2
Calcularemos aparte ahora I2.
Debemos convertir el denominador en 1+f2 . Esto se consigue completando cuadrados.

1
x 
1
1
1
3
2
dx  
dx 
arctg
2
 x 2 - x  1 dx   2
1 3


2
3
3 
1
x -x 

x





4 4
 2 
4 
2
3
 2x  1 
arctg

2
 3 
Ahora sustituyendo I1 e I2 nos queda :
1
1 1
1
x-2
1
1
1
 2x 1 
2
 x3  1 dx  3  x  1 dx  3  x 2 - x  1 dx  3 ln x  1  6 ln x - x  1  3 arctg 3   C
6.-Integrales trigonométricas
Aunque hay muchas integrales trigonométricas pueden ser inmediatas o reducirse a estas mediante
un cambio de variable adecuado, existen algunas integrales que se pueden resolver mediante otros
métodos.
Caso 1 : Potencias pares de senos y/o cosenos
Se reducen a potencias de índice menor mediante las fórmulas del ángulo mitad :
sen 2 x 
1  cos2x
1  cos2x
; cos 2 x 
2
2
Ejemplo:
2
1
1
1
1
1
 1  cos2x 
2
2
 cos x dx   2  dx  4  1  cos 2x  2cos2x dx  4  1dx  4  2cos2xdx 4  cos 2xdx  4 x
1
1
 sen2 x  I
4
4
4
Calculamos I por el mismo método:


1
1
1
1
1
 1  cos4x 
I   cos2 2x dx  
 dx   1  cos4xdx   1dx   cos4xdx  x  sen4 x
2
2
2
2
2
8


En definitiva, sustituyendo:
 cos
4
1
1
1
1
3
1
1
x dx  x  sen 2 x  x 
sen 4 x  x  sen 2 x 
sen 4 x  C
4
4
8
32
8
4
32
Caso 2 : Potencias impares de senos y/o cosenos
Se toma una potencia impar y dentro de ella la máxima potencia par posible ( es decir uno menos),
y a esta se le aplica la fórmula fundamental despejada, obteniéndose integrales de tipo potencial.
Ejemplo:
 sen
5
2
x dx   sen4 x  senx dx   (1  cos2 x)2senx dx   sen xdx 2  sen x  cos2 x dx   sen x  cos4 x dx   cosx
cos3 x cos5 x

C
3
5
Caso 3: Producto de senos y cosenos de exponente 1 y distinto argumento.
Usaremos las fórmulas que transformaban sumas en productos, pero en sentido contrario es decir
transformando productos en sumas. A partir de ahí, as integrales resultantes son inmediatas de tipo
seno o coseno.
Las fórmulas son:
AB
AB
1
 cos
 sen C  cos D  (senC  D  sen(C  D))
2
2
2
AB
AB
1
cos A  cos B 2  cos
 cos
 cos C  cos D  (cosC  D  cos(C  D))
2
2
2
AB
AB
-1
cos A  cos B  2  sen
 sen
 sen C  sen D  (cosC  D   cos(C  D))
2
2
2
sen A  sen B 2  sen
Ejemplo:
1
 sen 5x  cos 3x dx  2  sen8x  sen2x dx  2  sen8x dx   2  sen2x dx    16 cos 8x - 4 cos 2 x  C
1
1
1
1
Caso 4: Potencias de tangentes o cotangentes.
Dentro de la potencia de la tangente (o la cotangente) se toma un tg2x y se le suma y resta 1, se
separa en dos integrales. La primera es potencial y la segunda se le aplica el mismo proceso ( a lo
mejor es inmediata)
Ejemplos:
 tg
2




x dx   1  tg 2 x - 1 dx   1  tg 2 x dx -  1dx  tg x  x  C
sen x
 tg x dx  tg x  tg xdx  1  tg x - 1   tg xdx  1  tg x   tg x dx -  tg xdx   1  tg x   tg x dx -  cos x dx 
3
2
2
2
2
1
tg 2 x
 ln cosx  C
2
7.-Integrales por cambio de variable
Es el método más utilizado y su propósito es transformar la integral que nos ocupa en otra más
sencilla de resolver .Para ello sustituiremos la variable con respecto a la que estábamos integrando
por una función de una nueva variable
Es importante reseñar que cuando se resuelve esta primitiva en función de la nueva variable es
necesario volver a pasar a la variable x ( deshacer el cambio) .Cualquier función puede ser utilizada
como cambio de variable siempre que simplifique la integral aunque existen cambios.-tipo para
determinadas situaciones
CAMBIOS TRIGONOMÉTRICOS
Supongamos que debemos solucionar una integral como
 R( senx , cos x) siendo R( senx , cos x)
una función racional de senos y cosenos .Entonces:
Si R( -senx , cos x)= -R( senx , cos x)→cos x = t
Si R( senx ,- cos x)= -R( senx , cos x)→ sen x = t
Si R( -senx , -cos x)= R( senx , cos x)→tg x = t
En caso negativo , siempre queda la opción de usar el cambio universal que es tg x = t , que
2
x
transformará la integral trigonométrica en racional .Con este cambio = arc tg t , dx = 2dt2 ,
2
1 t
2
sen x = 2t 2 cos x = 1  t
1 t
1 t 2
Ejemplo 1 :
sen 2 x
1


dx Com oR(- senx,-cosx)R(senx , cos x ), se usa tg x  t   tg x t 
dx  dt  dx  cos2 x  dt 
4
2
x
cos x


 cos
tg 3 x
sen 2 x
t3
2
2
2
cos
x

dt

tg
x
dt

t
dt


C

C
 cos4 x


3
3
Ejemplo 2 :

dt 
 sec x dx Com oR(senx,-cosx) R(senx , cos x ), se usa sen x  t   sen x t  cos x dx  dt  dx  cos x  
1
dt
1
1
 cos x cos x   cos x dt  1  sen
2
2
x
dt  
1
dt  racional
1 t 2
CAMBIOS PARA FUNCIONES IRRACIONALES


  x,
n

ax  b
cx  d

dx , se realiza el cambio igualando el radicando a tn :El caso mas habitual es x=tn


Ejemplo :
 x
x
x


dx  x t 2  dx  2tdt  
t
t2
t
1 
dt

 2t  dt  2  
dt  2  
dt  2   1 

dt  2   dt  2  
2
2
1

t
t

1
t
1
t t
t t


2t  2 ln t  1  2 x  2 ln x  1  C

 x,

a 2  x 2 dx , se realiza el cambio x=a sent ó x= a cos t :
Ejemplo :



4  x 2 dx x 2  sent  dx  2  cos t dt   4  4sen 2 t  2  cos t dt  2 4 1  sen 2 t  cos t dt  4 cos2 t  cos t dt 
4 cos2 t dt  trigonometrica caso1

 x,

a 2  x 2 dx , se realiza el cambio x=a tg t
Ejemplo :

1
1
1
1


1  x 2 dx x tg t  dx 
dt   1  tg 2 t 
dt  2 sec 2 t 
dt  4
dt
2
2
2
cos t 
cos t
cos t
cos3 t

Esta integral se hace con un cambio de variable